专题03 不等式10考点复习讲义（讲+练）-【题海探秘】2025-2026学年高一上学期数学期中复习（人教A版必修第一册）

2025-2026高一上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019必修第一册） 专题03 不等式10考点复习指南 知识1：作差法比较大小 作差法的依据：①；②；③ 步骤： (1)作差； (2)变形； （目的：便于判定差的符号，常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等） (3)定号；（当差的符号不确定时，一般需要分类讨论） (4)下结论。（根据当差的正负与实数大小关系的基本事实下结论） 知识2：不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 知识3：重要不等式 一般地，，有，当且仅当时，等号成立. 知识4：基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） （注意：一正，二定，三相等，特别“一正”，“三相等”这两类陷阱） 知识5：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系 方程的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 的图象 方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 不等式 的解集 {x|x<x1或x>x2} R 知识6：分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 知识7：简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)． 知识8：一元二次不等式恒成立问题 (1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0； (2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0； (3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形． 注：对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形． 常用解题技巧 1.比较大小的常用方法 （1）作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论. （2）作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论. （3）构造函数，利用函数的单调性比较大小. （4）取特值，举反例. 2.判断不等式的常用方法 （1）利用不等式的性质逐个验证. （2）利用特殊值法排除错误选项. （3）作差法. （4）构造函数，利用函数的单调性. 3.基本不等式求最值 （1）前提：“一正”“二定”“三相等”. （2）要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. （3）条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法. 4.利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值. 5.对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有 （1）根据二次项系数为正、负及零进行分类. （2）根据判别式Δ与0的关系判断根的个数. （3）有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论. 6.一元二次不等式的实际应用关键是能根据题意建立出不等关系，从而根据实际求解不等式. 7.恒成立问题求参数的范围的解题策略 （1）弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数. （2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论. 考点1 数(式)的大小比较 1．【多选】（2025高一·湖北·期中）已知，，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025高二·全国·专题练习）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 3．（2025高一·湖南湘潭·期中）两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降，有以下两种方案：甲方案是每次购买这种物品的数量一定；乙方案是每次购买这种物品所花的钱数一定.对于以下两种购物方案的优惠程度的说法正确的是（    ） A．甲方案更优惠 B．乙方案更优惠 C．甲乙一样优惠 D．无法确定 4．（2025高一·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 考点2 不等式的基本性质 5．（25-26高一·新疆·期中）设为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 6．【多选】（2025高一·福建泉州·期中）若，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025高一·浙江·期中）设，若，则下列不等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（2025高一·广东汕头·期中）若，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 9．（2025高一·广东江门·期中）下列命题是真命题的是（      ） A．若，则. B．若，则 C．若，则 D．若，，则 10．（2025高一·四川广安·期中）下列命题中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 11．【多选】（2025高一·云南玉溪·期中）若，则下列命题中错误的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若，则 12．【多选】（2025高一·湖北武汉·期末）下列几种说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 考点3 不等式性质的综合应用 13．（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 14．（2025高一·河南郑州·期中）已知，，则的取值范围是 ． 15．（2025高一·广东韶关·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．【多选】（2025高一·云南昆明·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 17．【多选】（2025高一·浙江台州·期中）设x，y为实数，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高一·河南郑州·阶段练习）已知，求的取值范围 . 19．【多选】（2025高一·四川泸州·期中）若，，则的取值可能为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点4 基本不等式的理解及常见变形 20．【多选】（2025高一·陕西延安·阶段练习）下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，最小值为 C．当时， D．当时， 21．【多选】（2025高一·四川眉山·期中）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 22．【多选】（2025高一·重庆南岸·期中）下列说法正确的是（    ） A．函数的最大值是 B．函数的最小值是2 C．函数的最小值是6 D．若，则的最小值是8 23．（2025高一·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 考点5 利用基本不等式求最值 24．【多选】（2025高一·浙江嘉兴·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．的最小值为2 B．已知，则的最小值为 C．函数的最小值为2 D．若正数满足，则的最小值为3 25．【多选】（2025高一·浙江湖州·阶段练习）已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 26．【多选】（2025高一·四川眉山·期中）已知且，则下列说法正确的有（    ） A．的最小值为9 B．的最小值为6 C．的最大值为 D．的最小值为9 27．【多选】（2025高二·浙江宁波·期中）已知，为正实数，，则（   ） A．的最大值为1 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值3 28．【多选】（2025高一·安徽宣城·阶段练习）已知为正实数，且，则（   ） A．的最小值为8 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 29．【多选】（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知 为正实数， ，则下列说法正确的是（   ） A． B． 的最小值为 -1 C．的最小值为 12 D． 的最小值为 30．【多选】（2025高三·辽宁丹东·阶段练习）已知，均为正实数，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 31．【多选】（2025高一·河北保定·期中）已知且，则下列不等式恒成立的有（    ） A． B． C． D． 32．【多选】（2025高一·河南·期中）设正实数x，y满足，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是9 C．的最小值为 D．的最小值为2 考点6 利用基本不等式解决恒成立问题 33．（2025高一·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 34．（2025高一·全国·专题练习）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 35．（2025高一·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 36．（2025高一·福建福州·阶段练习）已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 37．（2025高二·江苏无锡·期中）若，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 38．（2025高一·山东·期中）已知正实数满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 39．（2025高一·江苏苏州·期中）若正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A．B．或C． D．或 考点7 基本不等式的实际应用 40．（2025高一·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 41．（2025高二·浙江杭州·期末）某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（   ） A． B． C． D． 42．（2025高二·云南·期末）要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 43．（2025高一·上海徐汇·期中）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 考点8 求解一元二次不等式 44．（25-26高一·辽宁·期中）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 45．（2025高一·甘肃白银·期中）解下列不等式. (1)； (2). 46．（25-26高一·浙江·期中）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 47．（2025高一·吉林长春·阶段练习）. (1)若对任意的都有成立，求的范围； (2)解关于的不等式. 考点9 一元二次不等式的应用 48．【多选】（25-26高一·广东·期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 49．【多选】（2025高二·山东威海·期末）已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 50．【多选】（2025高一·广东江门·期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 51．【多选】（2025高二·浙江温州·期中）已知函数，若非空集合，且，则下列说法中正确的是（   ） A．的取值与有关 B．为定值 C． D． 52．【多选】（2025高一·陕西西安·期末）关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 53．【多选】（2025高一·广东汕头·期中）若关于的不等式 的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．函数在上单调递增 考点10 一元二次不等式恒成立（有解）问题 54．（2025高一·福建福州·阶段练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 55．（2025高二·山西长治·期中），不等式恒成立，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 56．（2025高一·贵州·期中）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 57．（2025高二·浙江·期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 58．（2025高一·浙江宁波·期末）若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 59．（2025高二·北京·期中）“”是“不等式在上恒成立”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 60．（2025高三·河南许昌·期中），恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 61．（2025高一·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 62．（2025高一·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 63．（2025高一·安徽·期中）已知命题“”，命题：“”，若命题均为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 64．（2025高一·山西·期中）若命题“，”为假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 65．（2025高一·江苏镇江·期中）命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 66．（2025·福建宁德·模拟预测）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B．，或 C． D．，或 1．（2025高一·全国·课后作业）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 2．（2025高一·广西柳州·期中）已知，，，则的最小值为（    ）． A．4 B． C．6 D． 3．（2025高一·江苏扬州·期中）已知集合，，（    ） A． B． C． D． 4．（2025高一·贵州遵义·期中）已知，且，则的最小值是（    ） A．6 B．12 C． D．27 5．（2025高一·上海·期末）已知且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025高一·山东淄博·期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.对于实数下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（2025高一·全国·专题练习）若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2025高一·山东临沂·期中）已知关于的不等式恰有5个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．【多选】（2025高一·湖南益阳·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 10．【多选】（2025高一·陕西咸阳·期中）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C． D．关于的不等式的解集为 11．【多选】（2025高一·甘肃庆阳·期中）已知a，b为正实数，且，，，则（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为2 12．（2025高二·江苏盐城·阶段练习）若，则的最小值为 ． 13．（2025高一·河北·期末）已知，，则的取值范围是 . 14．（2025高一·福建莆田·期中）设且关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 15．（2025高一·云南玉溪·期中）（1）比较与的大小． （2）已知，，比较与的大小． 16．（2025高一·江苏常州·期中）（1）设，且，求的最小值； （2）设，求的最小值. 17．（2025高一·湖北孝感·阶段练习）已知关于的不等式的解集为或 (1)求的值； (2)解关于的不等式 18．（2025高一·北京·阶段练习）设函数． (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)当时，求关于的不等式的解集； (3)对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19．（2025高一·北京·期中）为了减少碳排放，某公司革新技术，将其生产过程中产生的二氧化碳加工成副产品.已知该公司每月处理二氧化碳的量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）和处理量（吨）之间的函数关系式为，且每处理1吨二氧化碳所得的副产品价值为元. (1)该公司月处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最低？ (2)该公司按照以上方式处理二氧化碳，每月能否获利？若能，求出每月最大利润；若不能，求出每月最小亏损. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026高一上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019必修第一册） 专题03 不等式10考点复习指南 知识1：作差法比较大小 作差法的依据：①；②；③ 步骤： (1)作差； (2)变形； （目的：便于判定差的符号，常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等） (3)定号；（当差的符号不确定时，一般需要分类讨论） (4)下结论。（根据当差的正负与实数大小关系的基本事实下结论） 知识2：不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 知识3：重要不等式 一般地，，有，当且仅当时，等号成立. 知识4：基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） （注意：一正，二定，三相等，特别“一正”，“三相等”这两类陷阱） 知识5：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系 方程的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 的图象 方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 不等式 的解集 {x|x<x1或x>x2} R 知识6：分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 知识7：简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)． 知识8：一元二次不等式恒成立问题 (1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0； (2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0； (3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形． 注：对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形． 常用解题技巧 1.比较大小的常用方法 （1）作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论. （2）作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论. （3）构造函数，利用函数的单调性比较大小. （4）取特值，举反例. 2.判断不等式的常用方法 （1）利用不等式的性质逐个验证. （2）利用特殊值法排除错误选项. （3）作差法. （4）构造函数，利用函数的单调性. 3.基本不等式求最值 （1）前提：“一正”“二定”“三相等”. （2）要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. （3）条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法. 4.利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值. 5.对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有 （1）根据二次项系数为正、负及零进行分类. （2）根据判别式Δ与0的关系判断根的个数. （3）有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论. 6.一元二次不等式的实际应用关键是能根据题意建立出不等关系，从而根据实际求解不等式. 7.恒成立问题求参数的范围的解题策略 （1）弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数. （2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论. 考点1 数(式)的大小比较 1．【多选】（2025高一·湖北·期中）已知，，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由作差法结合题意可判断各选项正误； 【详解】由，， 对于，由，所以 A正确； 对于B，由，所以B错误； 对于C，由，因为的符号不确定，则与的大小无法确定，所以C错误； 对于中，因为，又，所以，故，即，所以D正确． 故选： AD 2．（2025高二·全国·专题练习）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【答案】C 【分析】应用作商法比较的大小关系即可. 【详解】由题设，易知x，y＞0，又， ∴x＜y. 故选：C. 3．（2025高一·湖南湘潭·期中）两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降，有以下两种方案：甲方案是每次购买这种物品的数量一定；乙方案是每次购买这种物品所花的钱数一定.对于以下两种购物方案的优惠程度的说法正确的是（    ） A．甲方案更优惠 B．乙方案更优惠 C．甲乙一样优惠 D．无法确定 【答案】B 【分析】设物品价格为，甲方案每次购买物品数量为y，乙方案每次购买物品所花的钱为z，分别计算比较两种方案物品平均价格可得答案. 【详解】设物品价格为，甲方案每次购买物品数量为y，乙方案每次购买物品所花的钱为z，其中. 则甲方案购买物品平均价格为： ；乙方案购买物品平均价格为：. 注意到，则乙方案更优惠. 故选：B 4．（2025高一·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【答案】①； ②； ③； 【分析】①利用有理根式可得，再由即可得的大小关系； ②用作差法比较即可； ③用作差法或作商法比较即可. 【详解】解： ① ， 因为， 所以， 即； . ② ， . ③ 方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以， 所以. .. 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以. . 考点2 不等式的基本性质 5．（25-26高一·新疆·期中）设为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特例判断A的真假，根据不等式的基本性质，判断BCD的真假. 【详解】对A：若，则，故A错误； 对B：因为，两边同除以，可得，故B正确； 对C：因为，所以，故C错误； 对D：因为，两边同乘以，得：，故D错误. 故选：B 6．【多选】（2025高一·福建泉州·期中）若，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】作差，由不等式的性质判断ABD选项，举反例排除C选项. 【详解】A选项，， 因为，所以，所以，，A正确； B选项，， 因为，所以，所以，，B正确； C选项，当时，，C错误； D选项，， 因为，所以， 当时，，， 当时，，，D错误； 故选：AB. 7．（2025高一·浙江·期中）设，若，则下列不等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用不等式的性质及作差法判断A，B，C，再应用特殊值法判断D. 【详解】因为，则，则，A选项正确； 因为，则，则，B选项正确； 因为，则，则，C选项正确； 取，所以，D选项错误； 故选：D. 8．（2025高一·广东汕头·期中）若，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可. 【详解】对A，由，所以，错误； 对B，由，，所以，正确； 对C，由，所以，错误； 对D，由，所以，错误. 故选：B 9．（2025高一·广东江门·期中）下列命题是真命题的是（      ） A．若，则. B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】举例说明判断ABC；作差推理判断D. 【详解】对于A，取，则，，此时，A错误； 对于B，取，则，，此时，B错误； 对于C，取，则，C错误； 对于D，由，得，， 因此，即，D正确. 故选：D 10．（2025高一·四川广安·期中）下列命题中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】利用不等式的性质或者特值排除法可得答案. 【详解】因为，所以，因为，所以，A正确； 因为，所以，所以，B正确； C错误，比如，而； 因为，，所以，所以，D正确. 故选：C 11．【多选】（2025高一·云南玉溪·期中）若，则下列命题中错误的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据不等式的性质，结合作差法，比较大小即可. 【详解】对于A，因为且，则，但不确定的正负，当时，，故A错误； 对于B，，因为且，所以，则即，故B错误； 对于C，若，则，所以，故C正确； 对于D，若，则则故D错误. 故选：ABD. 12．【多选】（2025高一·湖北武汉·期末）下列几种说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】取特例判断A，根据作差法判断BC，利用不等式性质判断D. 【详解】当时，满足，但不成立，故A错误； 因为，所以，即，故B正确； 因为，所以，即，故C正确； 因为，所以，所以， 又，所以，故D正确. 故选：BCD 考点3 不等式性质的综合应用 13．（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由不等式的同向可加性得到结果. 【详解】因为，得，，所以． 故选：B． 14．（2025高一·河南郑州·期中）已知，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】运用不等式的性质进行求解即可. 【详解】根据不等式的性质由，， 故答案为： 15．（2025高一·广东韶关·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 则，即的取值范围是. 故选：C. 16．【多选】（2025高一·云南昆明·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据不等性质分别判断各选项. 【详解】A选项：由，，得，A选项错误； B选项：由，得，而，故，B选项正确； C选项：由，，得，故，C选项错误； 对于D，由，得，而，则，D选项正确； 故选：BD． 17．【多选】（2025高一·浙江台州·期中）设x，y为实数，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用不等式的性质逐项分析即可. 【详解】A：因为，所以，即，故正确； B：因为，所以，即，故错误； C：因为，所以，所以，所以，故正确； D：因为，所以，所以，所以，故错误； 故选：AC. 18．（25-26高一·河南郑州·阶段练习）已知，求的取值范围 . 【答案】 【分析】先将表示成关于与的表达式，再利用不等式的性质即可求得答案. 【详解】设，则， 解得，则， 因， 则， 故， 即的取值范围为. 故答案为：. 19．【多选】（2025高一·四川泸州·期中）若，，则的取值可能为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】ABC 【分析】由不等式性质可得范围，即可得答案. 【详解】因为，， 所以，则． 故选：ABC． 考点4 基本不等式的理解及常见变形 20．【多选】（2025高一·陕西延安·阶段练习）下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，最小值为 C．当时， D．当时， 【答案】AD 【分析】由基本不等式结合题意可判断各选项正误. 【详解】对于A，当时，，所以， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B，，当且仅当，即时取等号，又因为，故等号取不到，故B错误； 对于C，当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，当时，，当且仅当，即时取等号．故D正确. 故选：AD 21．【多选】（2025高一·四川眉山·期中）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式可判断ABC选项，利用特殊值法可判断D选项. 【详解】对于A选项， 若，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，A对； 对于B选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立，B对； 对于C选项，若且，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，C对； 对于D选项，若，取，则，D错. 故选：ABC. 22．【多选】（2025高一·重庆南岸·期中）下列说法正确的是（    ） A．函数的最大值是 B．函数的最小值是2 C．函数的最小值是6 D．若，则的最小值是8 【答案】ACD 【分析】根据基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，对于函数， ， 当且仅当时等号成立，所以A选项正确. B选项，， 当无实数解，所以等号不成立，所以B选项错误. C选项，对于函数，， ， 当且仅当时等号成立，所以C选项正确. D选项，由基本不等式得， 所以， 当且仅当时等号成立，所以D选项正确. 故选：ACD 23．（2025高一·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 【答案】C 【分析】根据题意，结合小于或等于圆的半径求解即可. 【详解】由题意，由于小于或等于圆的半径，是圆的直径， 且，， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C. 考点5 利用基本不等式求最值 24．【多选】（2025高一·浙江嘉兴·阶段练习）下列说法正确的有（    ） A．的最小值为2 B．已知，则的最小值为 C．函数的最小值为2 D．若正数满足，则的最小值为3 【答案】BD 【分析】举反例判断A；变形后利用基本不等式判断B；结合对勾函数的单调性可判断C；将化为，结合“1”的巧用，即可判断D. 【详解】对于A，当时，，即的最小值为2错误； 对于B，时，，则， 当且仅当，即时取等号， 则的最小值为，正确； 对于C，， 令，则在上单调递增， 故的最小值为，C错误； 对于D，正数满足，即， 则，当且仅当时取等号，D正确， 故选：BD 25．【多选】（2025高一·浙江湖州·阶段练习）已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】A，利用变形，利用基本不等式求解即可；B，由可得，利用基本不等式求解即可；C，利用，解一元二次不等式即可；D，原式变形为，利用基本不等式求解即可. 【详解】由得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，对 , ， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，B错 因为，当且仅当时取等号， 解不等式得，故的最大值为，C对 ， 当且仅当即时取等号， 此时取得最小值，D正确 故选：ACD. 26．【多选】（2025高一·四川眉山·期中）已知且，则下列说法正确的有（    ） A．的最小值为9 B．的最小值为6 C．的最大值为 D．的最小值为9 【答案】AB 【分析】根据基本不等式以及函数关系，可得答案. 【详解】对于A，由，则，当且仅当时等号成立， 整理可得，解得，即，故A正确； 对于B，由，则，当且仅当时等号成立， 整理可得，解得，故B正确； 对于C，由，当时，整理可得， 由，则，即，解得， 所以，故C错误； 对于D，由，当时，整理可得， 由，则，即，解得， 则， 当且仅当等号成立，故D错误. 故选：AB. 27．【多选】（2025高二·浙江宁波·期中）已知，为正实数，，则（   ） A．的最大值为1 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值3 【答案】ACD 【分析】根据已知等式，结合基本不等式的“1”的巧用，分式分离，平方转化等方法逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，，为正实数，，所以， 当且仅当时，的最大值为1，故A正确； 对于B，由于，由A选项可知， 所以，所以的最小值为2，故B不正确； 对于C， ， 因为，为正实数，，所以， 则， 当且仅当，即时，的最小值为，故C正确； 对于D，，当且仅当时，的最小值3，故D正确. 故选：ACD. 28．【多选】（2025高一·安徽宣城·阶段练习）已知为正实数，且，则（   ） A．的最小值为8 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可 【详解】对于选项A，由，得， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以选项A正确， 对于选项B，因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，所以选项B错误， 对于选项C，因为， 当且仅当，即时取等号， 又，解不等式得，即，得到的最大值为8，所以选项C错误， 对于选项D，由选项A知，由，得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，所以选项D正确. 故选：AD. 29．【多选】（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知 为正实数， ，则下列说法正确的是（   ） A． B． 的最小值为 -1 C．的最小值为 12 D． 的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据题意，化简得到，令，得到，结合函数单调性，可判定A正确；由，得到，结合二次函数的性质，可得判定B正确；化简，利用基本不等式，可得判定C不正确；由，得到，可判定D正确. 【详解】由，可得， 对于A中，令，则且， 可得，则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 可得，所以，所以A正确； 对于B中，由，可得， 则， 当且仅当时，取得最小值，所以B正确； 对于C中，由， 当且仅当时，即时，即时，等号成立，所以C不正确； 对于D中，由， 可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以D正确. 故选：ABD. 30．【多选】（2025高三·辽宁丹东·阶段练习）已知，均为正实数，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】对A，利用基本不等式即可解得； 对B，将2换成，进而利用基本不等式得到答案； 对C，将原式化简为，进而根据代换，然后得到答案； 对D，将原式变化为，进而化简，然后设，而后用进行代换，最后用基本不等式得到答案. 【详解】因为，均为正实数，且， 对A, ，当且仅当时取“=”，正确； 对B， ，当且仅当时取“=”，错误； 对C， ，当且仅当时取“=”，正确； 对D， ，设， 则上式， 当且仅当时取“=”，正确； 故选：ACD. 31．【多选】（2025高一·河北保定·期中）已知且，则下列不等式恒成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于A，因为，， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，因为， 当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，， 则，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，因为， 当且仅当，即时取等号，而, 故D错误. 故选：ABC. 32．【多选】（2025高一·河南·期中）设正实数x，y满足，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是9 C．的最小值为 D．的最小值为2 【答案】BC 【分析】根据基本不等式一一求解最值即可. 【详解】对于A，， 当且仅当，即时等号成立，故A错误； 对于B，， 当且仅当即时等号成立，故B正确； 对于C，由A可得，又， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D，， 所以的最大值为，当且仅当，即时等号成立，故D不正确. 故选：BC. 考点6 利用基本不等式解决恒成立问题 33．（2025高一·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【答案】B 【分析】将不等式变形为，利用基本不等式即可得出答案． 【详解】，，则， 不等式 恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数m的最大值为. 故选：B. 34．（2025高一·全国·专题练习）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】A 【分析】根据，由基本不等式得出的最小值8， 然后根据这个最小值确定m的取值范围. 【详解】， ，当且仅当时等号成立， 恒成立，， 解得. 故选：A. 35．（2025高一·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 36．（2025高一·福建福州·阶段练习）已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据基本不等式“1”的妙用先求得的最小值，进而转化问题为，解不等式即可求解. 【详解】由，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 要使恒成立，则， 解得，即实数的取值范围为. 故选：A. 37．（2025高二·江苏无锡·期中）若，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式求得最小值，再由一元二次不等式求解即可. 【详解】不等式恒成立，即， ， 等号成立的条件是，即，与条件联立，解得， 所以的最小值是8，即，解得． 故选：A 38．（2025高一·山东·期中）已知正实数满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得，利用基本不等式求得的最小值，进而可得，求解即可. 【详解】因为正实数满足， 所以，则， 当且仅当，即时取等号， 因为不等式恒成立， 所以，即． 故选：C． 39．（2025高一·江苏苏州·期中）若正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A．B．或C． D．或 【答案】C 【分析】利用代换1法，结合均值不等式求出最小值，再解绝对值不等式即可求出选项. 【详解】因为正实数x，y满足， 所以， 当且仅当，即时取等号， 又由不等式恒成立， 所以，解得：， 故选：C. 考点7 基本不等式的实际应用 40．（2025高一·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 【答案】 【分析】求出房屋的总造价，利用基本不等式可得答案. 【详解】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m， 所以房屋的总造价为， 因为，所以， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：. 41．（2025高二·浙江杭州·期末）某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出方程，然后利用基本不等式求解可得结果. 【详解】由题意得，，则， 因为，即 所以， 所以，当且仅当时取等号. 故选：B. 42．（2025高二·云南·期末）要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 【答案】B 【分析】设水池底部长宽分别为米，根据已知有、总造价，应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】设水池底部长宽分别为米，则， 所以水池总造价为， 当且仅当时等号成立，故总造价最小值为元. 故选：B 43．（2025高一·上海徐汇·期中）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 【答案】当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，为198400元． 【分析】根据题意表达出总造价，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】解：设池底的一边长为，则另一边长为，总造价为元， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，最低为198400元． 考点8 求解一元二次不等式 44．（25-26高一·辽宁·期中）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】整理可得，根据一元二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】由，可得：， 解得：或 ，即 故选：D 45．（2025高一·甘肃白银·期中）解下列不等式. (1)； (2). 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案, （2）分，和三种情况求解. 【详解】（1）不等式可化为， ∴ 不等式的解集是. （2）原不等式可化为， 若时，解为, 若时，解为， 若时，解为. 46．（25-26高一·浙江·期中）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由不等式的性质化简，然后由相应二次方程根的大小得出不等式的解． 【详解】因为，， 所以， 又不等式对应方程的根为：，且， 所以不等式的解为或， 故选：C． 47．（2025高一·吉林长春·阶段练习）. (1)若对任意的都有成立，求的范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）就、分类讨论，后者再结合判别式可求的范围； （2）就、、、及分类讨论后可得不等式的解集. 【详解】（1）即为， 若，则恒成立；若，则，即， 故 （2）即为即， ①当时，，即解集为， ②当时，令得， (i)当时，，开口向上，此时不等式的解集为； (ii)当时，，开口向下，此时不等式的解集为； (iii)当时，，开口向下， 此时不等式的解集为或； (iiii)当时，，开口向下，此时不等式的解集为或. 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或; 当时，解集为; 当时，或. 考点9 一元二次不等式的应用 48．【多选】（25-26高一·广东·期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 【答案】BD 【分析】利用三个二次关系，待定系数可确定参数之间的关系及符号一一判定选项即可. 【详解】关于的不等式的解集为或， ，故A错误； 对于B、C选项，已知和3是关于的方程的两根， 由根与系数的关系得， 则，， 不等式，即，又，解得，B正确； 且，C错误； 对于D选项，不等式，即，即， 解得或， 故不等式的解集为或，D正确. 故选：BD. 49．【多选】（2025高二·山东威海·期末）已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【答案】BD 【分析】对于A，根据不等式的解集得到判断A；对于B，结合题意得到和3是关于x的方程的两根，再结合韦达定理得到，将目标不等式化为，求出解集判断B，对于C，结合得到判断C，对于D，将合理变形后求出解集判断D即可. 【详解】对于A，因为关于的不等式的解集为， 所以和3是关于的方程的两根，且，故A错误； 对于B，由已知得和3是关于的方程的两根， 由韦达定理得，解得， 对于不等式，即化为，解得，故B正确； 对于C，可得，故C错误； 对于D，对于不等式，可化为， 而，则化为，解得，故D正确． 故选：BD 50．【多选】（2025高一·广东江门·期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 【答案】ACD 【分析】根据一元二次不等式的解集，确定的关系及符号，可判断AC的真假；解不等式可判断BD的真假. 【详解】因为不等式的解集为或， 所以和是一元二次方程的两个实数根，且该一元二次函数的开口向下. 所以且，解得.A正确； ，解得，故的解集为，B错误； ，C正确；， 解得. 所以的解集为，D正确. 故选：ACD 51．【多选】（2025高二·浙江温州·期中）已知函数，若非空集合，且，则下列说法中正确的是（   ） A．的取值与有关 B．为定值 C． D． 【答案】BD 【分析】令，从而化为，不妨设的解集为，可得，由，从而得，且，化简，解得或，又是方程的两个根，利用韦达定理可得，则，进而求得的取值范围. 【详解】令， 则可化为， 不妨设的解集为，即， ，即， 故， 又，且， ，且， ，且， 由，解得， 故选项A错误，选项B正确； ， ， 有解， ，即或， 又是方程的两个根， 即是方程的两个根， 故，即， ， 又，则， 解得：， 又或， ， 故选项C错误，选项D正确. 故答案选：BD. 52．【多选】（2025高一·陕西西安·期末）关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 【答案】ACD 【分析】由不等式的解集得到，同时和是的两个根，进而得到 ，，逐项判断即可； 【详解】由一元二次不等式得解集结构可得： 且和是的两个根， 故，，得，， A选项：由可判断A正确； B选项：，故B错误； C选项：由得得，故C正确； D选项：由得，得，得或，故D正确； 故选：ACD 53．【多选】（2025高一·广东汕头·期中）若关于的不等式 的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．函数在上单调递增 【答案】ACD 【分析】利用三个二次的关系，将条件转化成方程的根的情况，判断的符号，利用韦达定理得到的数量关系，再根据选项一一判断或求解不等式即得. 【详解】对于A，由题意，方程有两根为和2，且，故A正确； 由韦达定理，即. 对于B，由， 即解得或，故B错误； 对于C，因，且， 故，故C正确； 对于D，， 因，故该函数在上单调递增，故D正确. 故选：ACD. 考点10 一元二次不等式恒成立（有解）问题 54．（2025高一·福建福州·阶段练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据题意，分和两种情况讨论，即可求出的取值范围． 【详解】当时，不等式化为恒成立， 当时，不等式不能恒成立， 当时，要使不等式恒成立，需， 解得， 综上所述，不等式对任意恒成立，的取值范围是， 故选：A. 55．（2025高二·山西长治·期中），不等式恒成立，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一元二次不等式恒成立得出，再应用基本不等式计算求解. 【详解】因为，不等式恒成立， 当时，不恒成立，不合题意； 当时，满足且， 即，所以，所以， 所以，， 当且仅当即，取的最小值为. 故选：B. 56．（2025高一·贵州·期中）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分类讨论和，结合二次函数的性质列出不等式即可求解． 【详解】， 因为不等式对于任意均成立， 所以当时，，符合题意； 当时，则，解得， 综上所述，， 故选：D． 57．（2025高二·浙江·期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】即不等式对应函数图象与x轴相切或在x轴上方，据此可得答案. 【详解】因关于的不等式的解集为， 则图象与与x轴相切或在x轴上方， 当时，，此时的解集不是R 则. 故选：B 58．（2025高一·浙江宁波·期末）若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由不等式恒成立，确定，且，再由基本不等式即可求解． 【详解】不等式可化为， 当时，不等式为，不满足对任意的恒成立； 当时，，图象开口向下，不满足题意， 所以，且，所以， 所以，且，； 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4． 故选：C 59．（2025高二·北京·期中）“”是“不等式在上恒成立”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式恒成立有恒成立，应用基本不等式及充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】对于，可化为恒成立， 由，当且仅当时取等号，故， 所以“”是“不等式在上恒成立”的充分不必要条件. 故选：A 60．（2025高三·河南许昌·期中），恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】分离参数变为在上恒成立，利用基本不等式求解最值得，即可得解. 【详解】，恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，则实数的最大值为. 故选：C 61．（2025高一·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化问题为对于恒成立，进而由结合基本不等式求解即可. 【详解】由，得， 则问题转化为对于恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 62．（2025高一·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为，结合二次函数的最值性质即可得解. 【详解】依题意，令， 则，其图象开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，则， 因为存在，使得成立， 所以，即， 即，解得， 所以的取值范围是， 故选：C. 63．（2025高一·安徽·期中）已知命题“”，命题：“”，若命题均为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据含量词的命题为真命题，可得关于参数的不等式，解得的范围，依题再求各范围的交集即得. 【详解】由命题“”是真命题，可得，即； 由命题“”为真命题，可得，解得， 因命题均为真命题，故可得． 故选：B． 64．（2025高一·山西·期中）若命题“，”为假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全称量词命题的否定与真假性，将问题转化为二次不等式的有解问题，从而得解. 【详解】因为“，”为假命题， 所以“，”为真命题， 则在区间上有解， 设，则的图象开口向上，对称轴为， 且，则当时，函数取得最大值为， 所以，即的取值范围是. 故选：C. 65．（2025高一·江苏镇江·期中）命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先写出原命题的否定，然后根据存在量词命题的真假性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，命题“，”为真命题， 所以，由于， 所以当时，取得最小值为， 所以. 故选：A 66．（2025·福建宁德·模拟预测）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】D 【分析】应用基本不等式求出，不等式有解，只需即可. 【详解】因为正实数，满足， 所以， 所以 ， 当且仅当且，即时等号成立. 因为不等式有解， 所以只需，即即可， 所以或. 故选：D 1．（2025高一·全国·课后作业）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】解一元二次不等式即可得解. 【详解】不等式，即，解得或， 所以原不等式的解集为或. 故选：D 2．（2025高一·广西柳州·期中）已知，，，则的最小值为（    ）． A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由于，，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为. 故选：B 3．（2025高一·江苏扬州·期中）已知集合，，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解分式不等式化简集合，再利用交集的定义求解即得. 【详解】解不等式，得，解得或， 则或，而， 所以. 故选：C 4．（2025高一·贵州遵义·期中）已知，且，则的最小值是（    ） A．6 B．12 C． D．27 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，，得 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：C 5．（2025高一·上海·期末）已知且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用特殊值判断A、B、D，根据对勾函数的性质判断C. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：当时，，，此时，故B错误； 对于C：因为且，所以， 又在上单调递增，所以， 显然满足，故C正确； 对于D：当时，，故D错误. 故选：C 6．（2025高一·山东淄博·期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.对于实数下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，或是代入特殊值，即可判断选项. 【详解】A：若，此时，与题意不相符，故A错误； B：若，则，与题意不相符，故B错误； C:若，则，但是，与题意不相符，故C错误； D:若，两边平方，则，与题意相符，故D正确. 故选：D 7．（2025高一·全国·专题练习）若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对二次项系数进行分类讨论可得符合题意，再利用判别式可求得结果. 【详解】当时，不等式为对任意实数不是恒成立的，故舍去. 当时，函数的图像抛物线开口向上， 且即时符合题意，解得（舍去）或. 当时，函数的图像是开口向下的抛物线，函数值不可能恒为正，不符合题意. 综上可知，实数的取值范围是. 故选：B. 8．（2025高一·山东临沂·期中）已知关于的不等式恰有5个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出方程的根，接着分类讨论求出、和三种情况下不等式的解集，再结合题意即可得解. 【详解】解方程得， 当时，不能等式解集为， 因为不等式恰有5个整数解，则这5个整数解为， 所以，符合； 当时，不等式解集为，不符合； 当时，不等式解集为， 因为不等式恰有5个整数解，则这5个整数解为， 所以，符合； 综上，满足题意的实数的取值范围是. 故选：C. 9．【多选】（2025高一·湖南益阳·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据不等式的性质进行判断可得结论. 【详解】因为，，根据不等式的性质，则，故A正确； 同理：，故BC正确. 如，，但不成立，故D错误. 故选：ABC 10．【多选】（2025高一·陕西咸阳·期中）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C． D．关于的不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】根据二次函数的图象与性质确定的关系判断各选项． 【详解】由图象可得，时，，A错； 和是方程的解， 则，因此，，B正确； 开口向下，，，C正确； 不等式为，即，，所以，D正确． 故选：BCD． 11．【多选】（2025高一·甘肃庆阳·期中）已知a，b为正实数，且，，，则（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为2 【答案】BD 【分析】A.利用基本不等式判断；B.利用基本不等式结合“1”的代换判断；C.利用基本不等式结合“1”的代换判断；D.利用基本不等式判断. 【详解】对于A，因为，则，， 当且仅当时取“＝”，所以ab的最小值为4，A错误； 对于B，由，得，， 当且仅当，时取“＝”，B正确； 对于C，， 当且仅当时，取“＝”，C错误； 对于D，因为，所以， 则，当且仅当时，取“＝”，D正确. 故选：BD. 12．（2025高二·江苏盐城·阶段练习）若，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】将整理为，再根据不等式性质即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：3 13．（2025高一·河北·期末）已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由不等式的性质求解. 【详解】，， 设， 所以，解得：， 所以， 又， 所以，即的取值范围是. 故答案为： 14．（2025高一·福建莆田·期中）设且关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据已知不等式的解集确定出的关系以及的正负，然后求解对应一元二次不等式的解集即可. 【详解】因为的解集为，所以，所以， 所以，解得， 故答案为：. 15．（2025高一·云南玉溪·期中）（1）比较与的大小． （2）已知，，比较与的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）作差法得出差值为负； （2）作差并因式分解得出即可判断正负. 【详解】（1）因为 ， 所以； （2）， 因为，， 所以，， 所以， 所以． 16．（2025高一·江苏常州·期中）（1）设，且，求的最小值； （2）设，求的最小值. 【答案】（1）1；（2）. 【分析】（1）根据已知条件直接利用基本不等式求解即可； （2）对化简变形得，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为1； （2）因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立 所以的最小值为. 17．（2025高一·湖北孝感·阶段练习）已知关于的不等式的解集为或 (1)求的值； (2)解关于的不等式 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题中条件，根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，解出即可； （2）先化简不等式，因式分解后，讨论的范围得到解集. 【详解】（1）根据题意，得方程的两个根为1和， 由根与系数的关系得， 解之得 （2）由（1）得关于的不等式， 即，因式分解得． ①当时，原不等式的解集为； ②当时，原不等式的解集为； ③当时，原不等式的解集为； 18．（2025高一·北京·阶段练习）设函数． (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)当时，求关于的不等式的解集； (3)对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据不等式解的情况判断对应方程解的情况，利用判别式列不等式，解不等式可得参数范围； （2）分情况讨论不等式所对应方程的解，进而确定不等式的解集情况； （3）分离参数可得，结合基本不等式求最值可得参数范围. 【详解】（1）当时，，此时的解集为，成立； 当时，不等式的解集为， 则，解得， 综上所述，即； （2），即为， 当时，，解得，即； 当时，即为， 对应方程的解为，， 当时，不等式为，且，不等式的解集为或，即； 当时，不等式为，且，不等式的解集为，即； 当时，，不等式为，解得，即； 当时，不等式为，且，不等式的解集为，即， 综上所述： 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； （3）由已知对任意的，不等式恒成立， 即恒成立，即， 又是，恒成立， 则， 又，则，当且仅当时等号成立， 综上所述. 19．（2025高一·北京·期中）为了减少碳排放，某公司革新技术，将其生产过程中产生的二氧化碳加工成副产品.已知该公司每月处理二氧化碳的量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）和处理量（吨）之间的函数关系式为，且每处理1吨二氧化碳所得的副产品价值为元. (1)该公司月处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最低？ (2)该公司按照以上方式处理二氧化碳，每月能否获利？若能，求出每月最大利润；若不能，求出每月最小亏损. 【答案】(1) (2)能获利，最大利润为 【分析】（1）根据月处理成本（元）和处理量（吨）之间的函数关系式可得，再根据基本不等式可得解； （2）设利润为，则，再根据二次函数性质可得最值. 【详解】（1）由已知月处理成本（元）和处理量（吨）之间的函数关系式， 则每吨的平均处理成本为， 当且仅当，即时取等号， 即当月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低； （2）设利润为，则， 又， 则当时，取最大值为， 该公司按照以上方式处理二氧化碳，每月能获利，且最大利润为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $