第05讲：指数函数与对数函数【十一大题型】讲义-2025-2026学年高一数学上学期期期中《考点·题型·密卷》复习（人教A版2019必修第一册）

第05讲：指数函数与对数函数 【题型归纳】 【考点归纳】 考点1．根式 (1)一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)()n＝a. 当n为奇数时，＝a， 当n为偶数时，＝|a|＝ 考点2．分数指数幂 正数的正分数指数幂：＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 正数的负分数指数幂：＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 考点3．指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)． 考点4．指数函数及其性质 (1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 增函数 减函数 考点五．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作 lg N. 以e为底的对数叫做自然对数，记作 ln N. 考点六．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)． (2)对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM (n∈R)． (3)对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)． 考点七．对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 增函数 减函数 常用结论 1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，. 2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 3．logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)，＝logab(a>0，且a≠1，b>0) 4．如图，给出4个对数函数的图象． 则b>a>1>d>c>0，即在第一象限内，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 【题型探究】 题型一：指数和对数的运算 【例1】．（24-25高一下·河北保定·期中）（1）计算：； （2）计算； （3）已知，求的值. 【例2】．（25-26高一上·河南·期中）化简求值： (1) (2) 【例3】．（23-24高一下·江苏南通·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值. （3）已知，，试用，表示. 【例4】．（24-25高一上·河南漯河·期中）（1）计算. （2）计算. （3）化简：. （4）已知，求的值. 题型二：指数函数的概念与图像 【例1】．（24-25高一上·湖北恩施·期中）已知且，则函数与函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【例2】．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知函数（，且）的图象过定点（m，n），则（   ） A． B． C． D． 【例3】．（24-25高一上·江苏无锡·期中）函数的图象大致为（    ）. A．B．C． D． 题型三：指数函数的定义域和值域问题 【例1】．（22-23高一上·山东德州·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【例2】．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【例3】．（24-25高一上·广东惠州·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 题型四：指数函数的单调性问题 【例1】．（25-26高一上·云南·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【例2】．（24-25高二下·江西赣州·阶段练习）已知函数，且对于任意的，有，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例3】．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五：指数函数的最值问题 【例1】．（24-25高一下·云南·阶段练习）已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的最大值为（   ） A． B． C．5 D．6 【例3】．（24-25高一上·安徽·期中）设，若函数在上的最小值是2，则其在上的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例4】．（24-25高一上·浙江衢州·期中）若，则函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型六：对数函数的定义域和值域问题 【例1】．（24-25高一下·湖南永州·期中）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【例2】．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3】．（23-24高一上·天津南开·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 题型七：对数函数的图像问题 【例1】．（21-22高一上·安徽芜湖·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【例2】．（23-24高一上·河南·期末）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【例3】．（23-24高一上·湖南长沙·期末）若函数（，且）的图象过点，则函数的大致图象是（   ） A．   B．   C．   D．   【例4】．（23-24高一下·浙江·期中）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（    ） A．B．C． D． 题型八：对数函数的单调性问题 【例1】．（24-25高一下·广西·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2】．（24-25高一下·浙江杭州·期中）若函数（且）满足：对于任意、且，都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例3】．（24-25高一下·湖北·期中）已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型九：对指幂函数比较大小 【例1】．（24-25高一上·云南昆明·期末）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【例2】．（24-25高一下·云南·期中）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【例3】．（24-25高一下·陕西西安·期中）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型十：指数和对数函数的实际应用 【例1】．（24-25高一上·山东潍坊·期中）某放射性物质在衰变过程中，其质量（单位：克）与年数满足关系式（为初始质量，为常数，）.已知经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，再经过6年，该放射性物质的质量变为初始质量的（   ） A． B． C． D． 【例2】．（24-25高一下·辽宁·期中）某企业为研发新产品，投入研发的经费逐月递增.已知该企业2025年1月投入该新产品的研发经费为20万元，之后每个月的研发经费在上一个月的研发经费的基础上增加20%，记2025年1月为第1个月，第个月该企业投入该新产品的研发经费不低于40万元，则的最小值是（    ）（参考数据：，） A．3 B．4 C．5 D．6 【例3】．（24-25高一下·云南昆明·期中）Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ） （参考数据：，） A．14 B．15 C．16 D．17 题型十一：对数和指数函数的综合问题 【例1】．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的图象经过点. (1)求的值； (2)求不等式的解集； (3)若成立，求实数的取值范围. 【例2】．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性； (3)若，判断函数在内的单调性并用定义证明. 【例3】．（25-26高一上·全国·期末）已知函数． (1)若，求的定义域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【例4】．（24-25高一上·湖北恩施·期中）已知函数，其中，且． (1)求函数的定义域； (2)已知，若不等式对任意实数恒成立，求实数m的取值范围． 【例5】．（25-26高一上·新疆·期中）已知函数，且是上的奇函数. (1)求实数的值； (2)①判断函数的单调性并用定义证明； ②求不等式的解集； (3)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高一上·江苏·期中）已知函数，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 2．（25-26高一上·河南·期中）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·云南昆明·期中）若函数在上恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·云南·期中）近日，经我国某地质与生命科研所研究发现，在热带雨林地带，某种乔木型果树的根茎长度（单位：米）与其存活时间（单位：年）近似满足函数模型：．当该种果树的根茎长度大于2.9米时，其可稳定扎根于土壤中，吸收土壤中的水分和养分从而进入“稳定期”，则该种果树从栽种开始至少需要几年才能进入“稳定期”（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（24-25高一上·湖北恩施·期中）函数，若在区间上的值域为，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·湖北恩施·期中）设函数（a，b为实数），已知，则的值为（   ） A． B．4 C．5 D．与a，b的取值有关 7．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知是上的单调函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·山西晋城·期中）已知函数的定义域为，为偶函数，若对任意的，，都有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·湖南·阶段练习）已知函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知函数，则下列结论正确的是（　　） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递增 11．（24-25高一下·湖南·期中）已知，令，则下列结论正确的是（   ） A．的定义域是 B．的解集为 C．是奇函数 D．在区间上单调递增，在区间上单调递减 12．（24-25高一上·云南玉溪·期末）下列结论中，正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．是偶函数 C．若，则 D．函数（且）的图象必过定点 13．（24-25高一上·广东汕头·期中）下列各式比较大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 14．（24-25高一下·北京·期中）计算 ． 15．（2025·全国·模拟预测）若函数（且）的图象过定点A，且点A在幂函数上，则 ． 16．（24-25高一下·河南平顶山·期末）已知，且，函数在上单调递减，则实数a的取值范围为 . 17．（24-25高一下·广东广州·期中）若且，已知是上的单调函数，则实数a的取值范围为 ． 四、解答题 18．（25-26高一上·河南南阳·期中）（1）求值：； （2）求值：； （3）已知，求的值. 19．（25-26高二上·上海·阶段练习）已知函数是定义域为上的偶函数. (1)求的值； (2)解不等式； (3)若在上的最小值为，求的值. 20（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)任意，求实数的所有整数解. 21．（24-25高一下·四川成都·期末）已知函数，（，且）. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)当时，若有两个零点，求实数的取值范围. 22．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲：指数函数与对数函数 【题型归纳】 【考点归纳】 考点1．根式 (1)一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)()n＝a. 当n为奇数时，＝a， 当n为偶数时，＝|a|＝ 考点2．分数指数幂 正数的正分数指数幂：＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 正数的负分数指数幂：＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 考点3．指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)． 考点4．指数函数及其性质 (1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 增函数 减函数 考点五．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作 lg N. 以e为底的对数叫做自然对数，记作 ln N. 考点六．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)． (2)对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM (n∈R)． (3)对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)． 考点七．对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 增函数 减函数 常用结论 1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，. 2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 3．logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)，＝logab(a>0，且a≠1，b>0) 4．如图，给出4个对数函数的图象． 则b>a>1>d>c>0，即在第一象限内，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 【题型探究】 题型一：指数和对数的运算 【例1】．（24-25高一下·河北保定·期中）（1）计算：； （2）计算； （3）已知，求的值. 【详解】（1）计算：根据指数运算法则，可得，即. 计算：可得. 计算：设，根据对数的定义可得，即，则，解得. 计算：. 将以上结果相加：. （2）计算： ，则. 又，所以. 计算：，，则. 将两部分结果相加：. （3）对两边平方，可得，即，所以. 对两边平方，可得，即，所以. 将，代入，可得. 【例2】．（25-26高一上·河南·期中）化简求值： (1) (2) 【详解】（1） （2） 【例3】．（23-24高一下·江苏南通·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值. （3）已知，，试用，表示. 【答案】（1）1；（2）4；（3） 【分析】（1）根据对数的运算性质及换底公式计算可得； （2）首先求出、，再由立方和公式计算可得； （3）依题意可得，，再根据对数的运算性质及换底公式计算可得. 【详解】（1） . （2）因为，则， 则， 所以； （3）因为，，所以，， 所以 . 【例4】．（24-25高一上·河南漯河·期中）（1）计算. （2）计算. （3）化简：. （4）已知，求的值. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）因为，两边同时平方并整理得，同理可得， 所以. 题型二：指数函数的概念与图像 【例1】．（24-25高一上·湖北恩施·期中）已知且，则函数与函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】利用指对函数的图象特征分和判断. 【详解】当时，在R上单调递减且恒过 ，在 上单调递减且恒过 ，B不符合，D符合， 当时, 在R上单调递增且恒过，在 上单调递增且恒过，A、C不符合. 故选：D. 【例2】．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知函数（，且）的图象过定点（m，n），则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数的性质，可得到函数必过的定点，从而进行指数运算即可. 【详解】因为，所以函数过定点， 即，则， 故选：A. 【例3】．（24-25高一上·江苏无锡·期中）函数的图象大致为（    ）. A．B．C． D． 【答案】A 【分析】分析函数的奇偶性可排除选项B，根据时可确定选项. 【详解】设，则， ∴函数为奇函数，选项B错误. 当时，， 由得，， ∴，∴，CD错误，选项A符合要求. 故选：A. 题型三：指数函数的定义域和值域问题 【例1】．（22-23高一上·山东德州·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出函数的定义域，再结合指数函数的性质计算可得. 【详解】函数的定义域为，又当时，所以， 当时，所以， 所以函数的值域为. 故选：B 【例2】．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，运算求解即可得函数的定义域. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 【例3】．（24-25高一上·广东惠州·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对符合函数拆分，由二次函数的性质求出内函数的值域，再由指数函数求出外函数的值域，即可得到复合函数的值域. 【详解】令，对称轴，开口向上，∴， ∴，∵，∴函数在上单调递减， ∴， 故选：D 题型四：指数函数的单调性问题 【例1】．（25-26高一上·云南·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数、指数函数的性质，结合复合函数的单调性判断确定单调递增区间. 【详解】由在上单调递减，在上单调递增， 而在定义域上单调递减，则的单调递增区间为. 故选：D 【例2】．（24-25高二下·江西赣州·阶段练习）已知函数，且对于任意的，有，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的单调性列出不等式组，求解即得. 【详解】由题意，函数是上的增函数， 则，解得. 故选：B. 【例3】．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考虑的两段分段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系即可求解出a的范围． 【详解】因为单调递减，故对应的指数函数部分、二次函数部分都要单调递减， 对指数函数在单调递减，需， 对二次函数，开口向下、对称轴为，故二次函数在单调递减，满足要求， 此外还需满足分段点处的函数值满足，整理得，解得或， 结合，可得， 故选：B． 题型五：指数函数的最值问题 【例1】．（24-25高一下·云南·阶段练习）已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数单调，结合分段讨论外函数单调性，再确定内函数二次函数的单调性即可求解. 【详解】当时，，所以外函数是单调递减的指数函数， 此时要使得函数在区间上单调递增， 则满足二次函数在区间上单调递减， 即满足对称轴，解得，结合，可得； 当时，，所以外函数是单调递增的指数函数， 此时要使得函数在区间上单调递增， 则满足二次函数在区间上单调递增， 即满足对称轴，解得，结合，可得； 综上可得a的取值范围是或， 故选：A. 【例2】．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的最大值为（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据得，利用奇函数定义求出时，，再由单调性求解最大值即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 则当时，， 若时，则，， 所以， 由和在R上单调递减，知在上单调递减， 故当时，所以. 故选：B 【例3】．（24-25高一上·安徽·期中）设，若函数在上的最小值是2，则其在上的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】设，将此函数转化为一元二次函数的最值分析求解即可. 【详解】．设， 则．因为，所以， 当时，；当时，． 故选：A． 17．（24-25高一上·浙江衢州·期中）若，则函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】若，则，则，， 且， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 因此，当时，函数的最小值为. 故选：B. 题型六：对数函数的定义域和值域问题 【例1】．（24-25高一下·湖南永州·期中）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解. 【详解】函数， ，， ． 故选：B. 【例2】．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得在上的值域与在上的值域的并集为R，据此可得答案. 【详解】在上单调递增，则在上的值域为. 若时，函数在上单调递减， 值域为，与并集不是R，故不满足题意； 若时，函数在上单调递增， 值域为，要使与并集为R，则， 即满足题意. 故选：B 【例3】．（23-24高一上·天津南开·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式求的范围，结合对数的性质求复合函数定义域，判断端点值是否可取，进而确定值域. 【详解】由，当且仅当时等号成立， 而，所以， 所以，故值域为. 故选：D 题型七：对数函数的图像问题 【例1】．（21-22高一上·安徽芜湖·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由奇偶性排除两个选项，再由函数值的正负排除一个选项后得正确结论． 【详解】易知函数定义域是， 又， 故是奇函数，图象关于原点对称，排除CD， 当时，，排除B， 故选：A． 【例2】．（23-24高一上·河南·期末）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出函数的定义域，即可判断B、D，再根据函数在上的单调性排除C. 【详解】函数，令，解得， 所以函数的定义域为，故排除B、D； 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，故排除C. 故选：A 【例3】．（23-24高一上·湖南长沙·期末）若函数（，且）的图象过点，则函数的大致图象是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】先将点代入函数求出的值，再根据对数函数的图象判断即可. 【详解】因为函数（，且）的图象过点， 所以，解得， 所以， 该函数为偶函数，关于轴对称，且在单调递增，在单调递减， 只有B中图象符合该函数特点， 故选：B 【例4】．（23-24高一下·浙江·期中）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】分、讨论，结合图象可得答案. 【详解】当时，是单调递增函数，图象恒过点， 是单调递减函数，图象恒过点； 当时，是单调递减函数，图象恒过点， 是单调递增函数，图象恒过点； 所以满足条件的图象为D. 故选：D. 题型八：对数函数的单调性问题 【例1】．（24-25高一下·广西·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用对数型复合函数单调性，结合定义域列式求解. 【详解】函数在上单调递减，而函数在上单调递减， 则函数在上单调递增，且恒有， 因此且，解得， 所以的取值范围为. 故选：D 【例2】．（24-25高一下·浙江杭州·期中）若函数（且）满足：对于任意、且，都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，函数在上为减函数，根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】不妨设，由可得， 所以，函数在上为减函数， 函数在上为减函数，则，解得； 函数在上为减函数，则； 且有，即， 所以有，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 【例3】．（24-25高一下·湖北·期中）已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数的单调性、二次函数的单调性结合对数函数定义域列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】根据复合函数的单调性法则、二次函数的单调性结合已知条件可知，二次函数在区间上单调递减， 所以有. 根据对数函数的定义域可知，应有在区间上恒成立， 则只需要，即，所以. 综上所述，. 故选：D. 题型九：对指幂函数比较大小 【例1】．（24-25高一上·云南昆明·期末）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指对数的运算及其性质判断大小关系. 【详解】由，即. 故选：D 【例2】．（24-25高一下·云南·期中）若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的性质判断的范围，根据指数函数的性质判断的范围，再化简分析判断. 【详解】因为在上递增，且， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 因为，所以， 所以， 故选：C. 【例3】．（24-25高一下·陕西西安·期中）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合对数运算化简，再根据指数函数与对数函数的单调性函数值大小即可得结论. 【详解】， 因为函数在上单调递增， 所以，即， 因为函数在上单调递减， 所以，即， 故. 故选：D. 题型十：指数和对数函数的实际应用 【例1】．（24-25高一上·山东潍坊·期中）某放射性物质在衰变过程中，其质量（单位：克）与年数满足关系式（为初始质量，为常数，）.已知经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，再经过6年，该放射性物质的质量变为初始质量的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意，时，求时的值. 【详解】经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半， 即时，， 则再经过6年，，. 故选：D 【例2】．（24-25高一下·辽宁·期中）某企业为研发新产品，投入研发的经费逐月递增.已知该企业2025年1月投入该新产品的研发经费为20万元，之后每个月的研发经费在上一个月的研发经费的基础上增加20%，记2025年1月为第1个月，第个月该企业投入该新产品的研发经费不低于40万元，则的最小值是（    ）（参考数据：，） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】表示出第个月投入的研发经费为万元，根据题意列不等式，并根据指数函数和对数的运算性质求出的取值范围，即可得解. 【详解】由题意可得，则，所以， 所以， 则，又因为，所以的最小值为5. 故选：C. 【例3】．（24-25高一下·云南昆明·期中）Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ） （参考数据：，） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【详解】由于，所以， 依题意，则， 则，由， 所以，即， 所以所需的训练迭代轮数至少为16次． 故选：C. 题型十一：对数和指数函数的综合问题 【例1】．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的图象经过点. (1)求的值； (2)求不等式的解集； (3)若成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数的图象经过点，所以，解得. （2），定义域为，，即为奇函数； 因为为增函数，为减函数，所以为增函数， 等价于，即， 所以，解得或，故解集为. （3）由（2）可知函数为增函数，，所以； 等价于，即在恒成立， 因为，当且仅当时等号成立， 所以在上的最小值为， 所以，即， 实数的取值范围是. 【例2】．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性； (3)若，判断函数在内的单调性并用定义证明. 【详解】（1）由题意得，，解得， 所以函数的定义域为. （2）由， 则，故函数为偶函数. （3）由，则， 函数在上单调递减，证明如下： 任取， 则，即， 所以函数在上单调递减. 【例3】．（25-26高一上·全国·期末）已知函数． (1)若，求的定义域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【详解】（1）若，则，令，得， 故的定义域为． （2）令，则. 因为函数是上的增函数，在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的判断方法可得： 函数在上单调递增,且在上恒成立， 所以，解得. 故的取值范围为. （3）因为对任意，存在，使得不等式成立， 所以. 令，，因为， 所以，. 又二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数有最小值，故当时，. 所以对于任意恒成立，即对于任意恒成立， 故对于任意恒成立. 又由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 故，即的取值范围为． 【例4】．（24-25高一上·湖北恩施·期中）已知函数，其中，且． (1)求函数的定义域； (2)已知，若不等式对任意实数恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)当，定义域为；当时，定义域为 (2) 【分析】（1）根据指数函数的单调性，分情况求出函数定义域； （2）先求出，然后参变分离，问题转化成，求出不等式左边的最小值即可. 【详解】（1）设，由题知，即， 根据指数函数的单调性， 当时，由，解得； 当时，由，解得. 综上，当，定义域为；当时，定义域为 （2）时，即，即，解得， 由于，此时， ， 则， 即， 即， 即， 设， 令，则， 此时， 根据对勾函数的单调性，在上递减， 注意到，则在取得最大值，即， 则，此时，则 【例5】．（25-26高一上·新疆·期中）已知函数，且是上的奇函数. (1)求实数的值； (2)①判断函数的单调性并用定义证明； ②求不等式的解集； (3)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)0 (2)①单调递增，证明见解析；② (3) 【分析】（1）利用函数为奇函数，结合其定义，即可求得答案； （2）①结合（1）得出的解析式，结合函数单调性的定义可判断并进行证明；②利用函数单调性的定义求解，即得答案； （3）由已知可分离参数，得对恒成立，即可构造函数，求出新函数的最值，即可求得答案. 【详解】（1）因为是上的奇函数，所以， 所以，所以， 即，化简得， 即，所以，解得； （2）①由（1）得， 所以， 所以函数在上单调递增，证明如下： 由于的定义域为R，任取， 则， 因为，所以，，，所以， 所以，所以函数在上单调递增； ②因为是上的奇函数，所以不等式等价于，即， 因为函数在上单调递增，所以，解得， 所以不等式的解集为； （3）因为，所以，即， 因为，不等式恒成立， 所以当时，恒成立，则； 当时，恒成立， 令，， 则，该函数在为减函数， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高一上·江苏·期中）已知函数，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】先求出，再将该值代入相应的解析式后可求函数值. 【详解】,故， 故选：A 2．（25-26高一上·河南·期中）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】依题意，解得， 所以的定义域是. 故选：C 3．（25-26高一上·云南昆明·期中）若函数在上恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法将函数转化为，再利用二次函数求最值即可求解. 【详解】令，，， 可转化为， 又开口向上，且对称轴为， 在上单调递增，， 函数在上恒成立，即在上恒成立， 也就是，，解得. 实数的取值范围为. 故选：C. 4．（25-26高一上·云南·期中）近日，经我国某地质与生命科研所研究发现，在热带雨林地带，某种乔木型果树的根茎长度（单位：米）与其存活时间（单位：年）近似满足函数模型：．当该种果树的根茎长度大于2.9米时，其可稳定扎根于土壤中，吸收土壤中的水分和养分从而进入“稳定期”，则该种果树从栽种开始至少需要几年才能进入“稳定期”（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由题意且，结合指数函数的单调性解不等式求解即可. 【详解】由题意，令且，则， 由在上单调递减，且， 所以该种果树从栽种开始至少需要5年才能进入“稳定期”. 故选：B 5．（24-25高一上·湖北恩施·期中）函数，若在区间上的值域为，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用分段函数的单调性画出图象，进而结合图象可求的取值范围. 【详解】令函数，则在上单调递减， 又函数在上单调递增， 于是函数在上单调递减， 则，其值域为； 所以由，解得. 又，在上单调递增，在上单调递减， 其值域为. 所以，解得或. 画出图象如下图所示： 结合图象可知， 使得在区间上的值域为，则实数t的取值范围是. 故选：B 6．（24-25高一上·湖北恩施·期中）设函数（a，b为实数），已知，则的值为（   ） A． B．4 C．5 D．与a，b的取值有关 【答案】B 【分析】计算可得，再利用对数运算法则可得，则有，即可得解. 【详解】由，， 则 ， 又，则， 故， 则. 故选：B. 7．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知是上的单调函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用分段函数的单调性结合对数函数单调性列式求解即可. 【详解】因为当时，为减函数，且时，. 又因为在上为单调函数，所以只能为单调递减函数， 所以解得， 故选:D. 8．（24-25高一下·山西晋城·期中）已知函数的定义域为，为偶函数，若对任意的，，都有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性确定其对称性，再由单调性解不等式即可. 【详解】因为为偶函数，所以的图象关于对称， 又对任意的，，都有， 即在上单调递增，结合对称性则在上单调递减， 所以， 即①，显然无解； 或②，解之得. 故选：C 9．（24-25高一下·湖南·阶段练习）已知函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分析得，其中，不等式等价转化为，通过分析的单调性和奇偶性可得结果. 【详解】由题意得，函数， 令，则， 由得， ∴，即. ∵，在上为增函数，在上为减函数， ∴在上为增函数， ∵定义域为，且， ∴是上的奇函数，故. ∴由得，，解得或， ∴实数的取值范围为. 故选：A. 二、多选题 10．（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知函数，则下列结论正确的是（　　） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递增 【答案】ABD 【分析】根据指数函数的性质，结合函数关于轴对称定义、单调性的性质逐一判断即可. 【详解】对A：由恒成立，故函数的定义域为，故A正确； 对B：，由，则， 故，则，故B正确； 对C：，故关于对称，故C错误； 对D：，由且为增函数， 则为减函数，则在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 11．（24-25高一下·湖南·期中）已知，令，则下列结论正确的是（   ） A．的定义域是 B．的解集为 C．是奇函数 D．在区间上单调递增，在区间上单调递减 【答案】ABC 【分析】A选项，根据真数大于0得到不等式，求出定义域；B选项，根据函数单调性和定义域得到不等式，求出不等式解集；C选项，先求出函数定义域，再得到，C正确；D选项，在上单调递增，在上单调递减，从而得到D错误. 【详解】A选项，由已知，，故， 解得，所以的定义域为，A正确； B选项，由，得解得正确； C选项，的定义域为， 又， ∴为奇函数，C正确； D选项，在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，D错误． 故选：ABC 12．（24-25高一上·云南玉溪·期末）下列结论中，正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．是偶函数 C．若，则 D．函数（且）的图象必过定点 【答案】ACD 【分析】根据奇偶性的定义判断A、B；由指数函数的单调性判断C；根据对数函数的性质求函数图象所过的定点坐标判断D. 【详解】的定义域为，且， 所以函数为偶函数，故A正确； 函数的定义域为，且， 所以函数为奇函数，故B不正确； 当时，为单调递增函数，由，得，故C正确； 因为（且）， 所以函数（且）的图象必过定点，故D正确. 故选：ACD 13．（24-25高一上·广东汕头·期中）下列各式比较大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用指数函数的单调性逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，且，所以，所以A错误， 对于B，，因为在上单调递减，且， 所以，即，所以B正确， 对于C，，因为在上单调递增，且， 所以，即，所以C正确， 对于D，因为在上单调递增，且，所以， 因为在上单调递减，且，所以， 所以，所以D正确. 故选：BCD 三、填空题 14．（24-25高一下·北京·期中）计算 ． 【答案】 【分析】由对数的运算性质进行求解． 【详解】 ， 故答案为： 15．（2025·全国·模拟预测）若函数（且）的图象过定点A，且点A在幂函数上，则 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义得到，，根据指数函数的性质得到定点为，从而代入求解，得到. 【详解】是幂函数，则，所以，． 在中，令，得，所以定点为， 故，又，解得． 故答案为： 16．（24-25高一下·河南平顶山·期末）已知，且，函数在上单调递减，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】考虑各段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系，由此可求结果. 【详解】因为函数在上单调递减， ∵，解得 ∴实数a的取值范围为 故答案为：. 17．（24-25高一下·广东广州·期中）若且，已知是上的单调函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据一次函数单调递增得出函数是增函数，再根据对数复合函数的单调性及分段函数列不等式求解即可. 【详解】因为在R上单调，且当时，单调递增， 所以在R上单调递增，则需满足，解得， 即a的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 18．（25-26高一上·河南南阳·期中）（1）求值：； （2）求值：； （3）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）借助指数幂运算法则计算即可得； （2）借助对数运算法则计算即可得； （3）借助完全平方公式计算即可得. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）由，则，即， ，又，则，故， 故. 19．（25-26高二上·上海·阶段练习）已知函数是定义域为上的偶函数. (1)求的值； (2)解不等式； (3)若在上的最小值为，求的值. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数定义列式求得的值，进而计算得解； （2）先根据定义法判断的单调性，结合偶函数性质，即可求解不等式的解集； （3）由，令，得，分别讨论和，即可求得的值. 【详解】（1）因为是定义域为上的偶函数， 则，即， 所以，即， ， . （2）由（1）可知，设， 则 ， ， ，即， 函数在上单调递增， 则不等式化为：， 可得， 且， . （3）， ， 令，由，则， ， 当时，当时，，解得； 当时，当时，，解得，不符合题意，舍去； 综上，可知. 20（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数． (1)判断的奇偶性，并证明； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)任意，求实数的所有整数解. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)在上单调递减，证明见解析 (3)或 【分析】（1）利用奇偶性的定义结合对数的运算证明即可； （2）利用单调性的定义任取满足，结合对数的运算判断的符号证明即可； （3）由在上的单调性求出的最值，解不等式即可. 【详解】（1）函数是奇函数，证明如下： ，所以，解得函数定义域, 因为任意，都有， 又，所以函数是奇函数. （2）在上单调递减，证明如下： 法一：任取满足， 因为 ＝， 因为，，且单调递增， 所以，， 依据同向不等式的可加性， 所以， 即，所以在上单调递减． 法二：任取满足，因为， 所以， 因为，， 所以，即， 所以，即，所以在上单调递减． （3）由第（2）问知在上单调递减， 所以， 因为， 所以， 所以，即得，解得， 因为，所以或． 21．（24-25高一下·四川成都·期末）已知函数，（，且）. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)当时，若有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)奇函数，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据对数函数的定义域进行求解即可. （2）根据函数的奇偶性的定义进行求解即可. （3）首先通过化简求出的解析式，然后判断对数函数的单调性和值域，进而可求出的范围. 【详解】（1）由题意得， 由，得， 所以的定义域为. （2）因为，定义域关于原点对称， 由于， 所以是奇函数. （3）当时，.定义域为. 则函数为偶函数， 令，根据二次函数的性质，在上单调递增，在上单调递减，所以. 而是单调递增的，所以函数在上单调递增，在上单调递减. 故. 要使有两个零点，即有两个解， 所以，所以实数m的取值范围是. 22．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)在上是递减函数，证明见解析 (3). 【分析】（1）利用奇函数的定义列式求出值. （2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性推理得证. （3）利用奇函数及单调性脱去法则“f”，再分离参数并利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）由是定义在上的奇函数，得， 则， 所以. （2）由（1）知，函数在上是递减函数， 任取，且，， 由，得，则，，即， 所以是定义在上的递减函数. （3）由，得， 由（2）知，是上的递减函数，则，即， 依题意，对任意的恒成立， 而，则，当且仅当，即时取等号， 因此，所以实数的取值范围是. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $