期中模拟卷2025-2026学年苏科版九年级数学上册

2025-2026学年期中模拟卷苏科版九年级数学上册 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列方程为一元二次方程的是（  ） A． B．x2+xy+2＝0 C．x2+x﹣3＝0 D．x2﹣2x﹣3 2．已知的半径为1，长为1.2，则下面图形正确的可能是（    ） A． B． C． D． 3．对于函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，的值随值的增大而减小 B．当时，的值随值的增大而减小 C．的值随值的增大而减小 D．的值随值的增大而增大 4．已知是一元二次方程的一个解，则m的值是（    ） A．﹣3 B．3 C．0 D．0或3 5．如图，为⊙O的直径，，则（    ） A．50° B．45° C．40° D．55° 6．已知点、、在函数的图像上，则，，的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 7．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若，则（   ） A． B． C． D． 8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）    A．abc＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．a﹣b+c＜0 D．2a+b＝0 二、填空题 9．若，则 ． 10．若，是一元二次方程的两个根，则 ， ． 11．将二次函数图像向下平移个单位长度，平移后的解析式为 ． 12．关于的方程有实数根，则m的取值范围是 ． 13．如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，交于点M，N，作直线分别交于点D，E，若，则的度数是 ． 14．用半径为，面积为的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 ． 15．如图，平分，点是边上一点，以点为圆心、大于点到的距离为半径作弧，交于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作直线分别交、于点、．若，，则 ． 16．若是关于x的一元二次方程，则m的取值范围为 ． 17．二次函数的对称轴为，则的值是 ． 18．如图，，，，是线段上的一个动点，以为直径画分别交、于、，连接，则线段长度的最小值为 ． 三、解答题 19．解方程： (1) (2) 20．解方程 (1) (2) 21．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度米，拱高米，    (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米是否要采取紧急措施？ 22．如图，在中，，以为直径的与相交于点，且，垂足为．    (1)求证：是的切线； (2)，的半径为，求图中阴影部分的面积． 23．如图，已知抛物线经过两点． (1)求该抛物线的解析式和顶点坐标． (2)直接写出当时，求y的取值范围． 24．第19届杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，杭州亚运会秉持“绿色、智能、节俭、文明”的办会理念，且亚运会的一套吉祥物是“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”．    (1)据市场调研发现，某工厂今年8月份共生产5万套“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增长率相同，10月份该工厂生产了7.2万套吉祥物，求该工厂平均每月生产量增长率是多少？ (2)已知某商店吉祥物平均每天可销售20套，每套盈利40元，在每套吉祥物降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10套．如果每天要盈利1440元，则每套吉祥物应降价多少元？ 25．我们定义：如果圆的两条弦互相垂直，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”.如：如图，已知的两条弦，则、互为“十字弦”，是的“十字弦”，也是的“十字弦”. （1）若的半径为5，一条弦，则弦的“十字弦”的最大值为______，最小值为______. （2）如图1，若的弦恰好是的直径，弦与相交于，连接，若，，，求证：、互为“十字弦”； （3）如图2，若的半径为5，一条弦，弦是的“十字弦”，连接，若，求弦的长. 26．如图1，抛物线与轴交于点、（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上一个动点，连接 (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2所示，当点在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时点坐标． (3)若点是轴上的一个动点，点是抛物线上一动点，的横坐标为．试判断是否存在这样的点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年期中模拟卷苏科版九年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B B A C B D 1．C 【分析】利用一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：x2+x﹣3＝0是一元二次方程， 故选C． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键． 2．D 【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径的大小关系判断点与圆的位置关系即可． 【详解】解：∵的半径r长为1，若， ∴， ∴点A在圆外， 故选：D． 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，解题关键是熟知点圆的位置关系与点到圆心的距离和半径决定． 3．B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为轴， ∴当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小； 故选：B． 4．B 【分析】将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟记一元二次方程的解的定义（使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解）是解题关键． 5．A 【分析】连接，由为直径，则，可得，即可求出． 【详解】连接，如图所示： ∵为直径， ∴， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查圆周角定理的运用，①直径所对的圆周角为直角；②在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，熟练掌握知识点是解题的关键． 6．C 【详解】x=-1时，y1=4×（-1）2+6×（-1）+12=10；x= 时，y2=4× +6×+12=40；x=时，y3=4×（）2+6×+12=16，所以，．故选C. 7．B 【分析】先运用圆的切线长定理可以得到：PA=PB，再利用等腰三角形的性质即可求出∠PAB的度数，最后利用切线的性质解题即可. 【详解】解：PA，PB是⊙O的切线， 故选：B. 【点睛】本题考查圆的切线的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键. 8．D 【分析】由图可知a＞0，与y轴的交点c＜0，对称轴x＝1；函数与x轴有两个不同的交点；当x＝﹣1时，y＞0． 【详解】由图可知a＞0，与y轴的交点c＜0，对称轴x＝1， ∴b＝﹣2a＜0； ∴abc＞0，A错误； 由图象可知，函数与x轴有两个不同的交点， ∴△＞0，B错误； 当x＝﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0，C错误； ∵b＝﹣2a，D正确； 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能够从给出的图象上获取信息确定a，b，c，△，对称轴之间的关系是解题的关键． 9．0或3 【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键．方程左边提取公因式x分解因式即可求解． 【详解】解：， ， 或， 解得或3， 故答案为：0或3． 10． 【分析】利用根与系数的关系可求得和的值，代入求值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，． 11． 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，根据二次函数图像平移的规律“左加右减（横轴），上加下减（纵轴）”即可求解． 【详解】解：二次函数图像向下平移个单位长度， ∴， ∴平移后的解析式为， 故答案为： ． 12．/ 【分析】分当时，当，即时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：当时，即时，原方程即为，解得，符合题意； 当，即时， ∵关于的方程有实数根， ∴， 解得且； 综上所述，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 13．/84度 【分析】由作图可知，为线段的垂直平分线，则，，由，得，根据，计算求解即可． 【详解】解：由作图可知，为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和．解题的关键在于确定角度之间的数量关系． 14． 【分析】应为圆锥侧面母线的长就是侧面展开扇形的半径，利用圆锥侧面面积公式：，就可以求出圆锥的底面圆的半径． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为，， 由扇形的面积：， 得： 故答案为： 【点睛】本题考查了圆锥侧面面积的相关计算，熟练掌握圆锥侧面面积的计算公式是解题的关键，注意用扇形围成的圆锥，扇形的半径就是圆锥的母线． 15． 【分析】利用基本作图得到∠AFO=90°，再根据角平分线的定义得到∠EOF=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系先求出OF，再求出OA的长． 【详解】解：由作法得AD⊥ON于F， ∴∠AFO=90°， ∵OP平分∠MON， ∴∠EOF=∠MON=×60°=30°， 在Rt△OEF中， ∴OF=， 在Rt△AOF中，∠AOF=60°， ∴ ∴OA=2OF=2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．同时还考查了直角三角形的性质． 16． 【分析】根据形如叫做一元二次方程，列式计算即可． 【详解】因为是关于x的一元二次方程， 所以， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义即形如叫做一元二次方程，熟练掌握方程的条件是解题的关键． 17．2 【分析】由抛物线的对称轴列出方程，求出的值即可． 【详解】解：的对称轴为， 对称轴为， ， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，准确解一元一次方程是解题的关键． 18． 【分析】由垂线段的性质可知，当为的边上的高时，直径最短，如图，连接，过O点作，由为等腰直角三角形，则，即此时圆的直径为4，再根据圆周角定理可得到，则在中，可得，，最小时，最小，也就是最小，即可求解． 【详解】解：由垂线段的性质可知，当为的边上的高时，直径最短，    如图，连接，过O点作， 在中，， ∴，即此时圆的直径最小为4， ∵， 由等腰三角形的性质可得：， 由垂径定理可得：， ∴， 在中，， ∴， ∴, ∵ ∴最小时，最小，也就是最小， ∵ ∴，， ∴，即最小为， 故答案为． 【点睛】本题考查垂径定理、垂线段最短，勾股定理以及含直角三角形的性质，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解． 19．(1) (2)， 【分析】根据方程的特点选择直接开平方法即可解答． 【详解】（1）解： ， 两边同时除以3得：， 开平方：； （2）， 移项得：， 两边同时除以9得：， 开方得：， 解得：， 【点睛】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，解此题的关键是掌握平方根的定义． 20．(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了用配方法和因式分解法解一元二次方程． （1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （2）利用直接开平方法解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得， 配方得，即， 开方得， 解得，； （2）解：， 开方得， 或， 解得，． 21．(1)米 (2)不需要采取紧急措施，理由见解析 【分析】（1）连接，利用表示出的长，在中根据勾股定理求出的值即可； （2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长，据此可得出结论． 【详解】（1）连接， 由题意得：， 在中，由勾股定理得：， 解得，； （2）连接， ， 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：． ． ， 不需要采取紧急措施． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 22．(1)证明过程见详解 (2)图中阴影部分的面积为 【分析】（1）如图所示，连接，根据等腰三角形的性质可得，，根据，可得，由此即可求解； （2）如图所示，连接，与交于点，根据圆的基础知识可得的值，根据垂径定理可得的值，由此可算出，再根据扇形的面积计算方法可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接，    ∵点在上， ∴是半径，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴是的切线． （2）解：如图所示，连接，与交于点，    ∵是直径， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，且的半径为， ∴，且， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， 由（1）可知，，， ∴，且的半径为， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握切线的证明方法，扇形面积的计算方法，不规则图形面积的计算方法等知识是解题的关键． 23．(1)，顶点坐标 (2) 【分析】（1）将，两点坐标代入解析式，待定系数法就可求出，的值，再由化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）当时，由图象可直接得出y的取值范围 【详解】（1）解：将将，两点坐标代入， 可得：， 解得：， ， 化为顶点式：，则顶点坐标为． （2）由图得当时， ∴，函数取最小值， 当时，， 当时，， 所以y的取值范围为： 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，以及图象与性质，牢固掌握待定系数法及其性质是解题的关键． 24．(1)该工厂平均每月生产量增长率是 (2)每套吉祥物应降价4元 【分析】（1）设该工厂平均每月生产量增长率是，根据8月份共生产5万套，10月份该工厂生产了7.2万套吉祥物，列出方程进行求解即可； （2）设每套吉祥物应降价元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 本题考查一元二次方程的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 【详解】（1）解：设该工厂平均每月生产量增长率是，由题意，得： ， 解得：或（舍去）； 答：该工厂平均每月生产量增长率是． （2）设每套吉祥物应降价元，由题意，得：， 解得：或（不合题意，舍去）； 答：每套吉祥物应降价4元． 25．（1）10，6；（2）见解析；（3）. 【分析】（1）根据“十字弦”定义可得弦的“十字弦”为直径时最大，当CD过A点或B点时最小； （2）根据线段长度得出对应边成比例且有夹角相等，证明△ACH∽△DCA,由其性质得出对应角相等，结合90°的圆周角证出AH⊥CD，根据“十字弦”定义可得； （3）过O作OE⊥AB于点E，作OF⊥CD于点F,利用垂径定理得出OE=3，由正切函数得出AH=DH,设DH=x，在Rt△ODF中，利用线段和差将边长用x表示，根据勾股定理列方程求解. 【详解】解：（1）当CD为直径时，CD最大，此时CD=10， ∴弦的“十字弦”的最大值为10； 当CD过A点时，CD长最小，即AM的长度,过O点作ON⊥AM,垂足为N,作OG⊥AB，垂足为G,则四边形AGON为矩形， ∴AN=OG, ∵OG⊥AB,AB=8， ∴AG=4， ∵OA=5， ∴由勾股定理得OG=3， ∴AN=3， ∵ON⊥AM, ∴AM=6， 即弦的“十字弦”的最小值是6. （2）证明：如图，连接AD， ∵，，， ∴ , ∵∠C=∠C, ∴△ACH∽△DCA, ∴∠CAH=∠D, ∵CD是直径， ∴∠CAD=90°, ∴∠C+∠D=90°, ∴∠C+∠CAH=90°, ∴∠AHC=90°, ∴AH⊥CD, ∴、互为“十字弦”. （3）如图，过O作OE⊥AB于点E，作OF⊥CD于点F，连接OA，OD，则四边形OEHF是矩形，∴OE=FH,OF=EH, ∴AE=4， ∴由勾股定理得OE=3， ∴FH=3， ∵tan∠ADH=, ∴tan60°= , 设DH=,则AH=x, ∴FD=3+x,OF=HE=4 -x, 在Rt△ODF中，由勾股定理得，OD2=OF2+FD2， ∴(3+x)2+(4 -x)2=52, 解得，x= , ∴FD=, ∵OF⊥CD, ∴CD=2DF= 即CD= 【点睛】本题考查圆的相关性质，利用垂径定理，相似三角形等知识是解决圆问题的常用手段,对结合学过的知识和方法的基础上，用新的方法和思路来解决新题型或新定义的能力是解答此题的关键. 26．(1) (2)时，有最大值，最大值为，点的坐标为 (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）抛物线经过点、，用待定系数法即可求解； （2）根据二次函数解析式分别求出的长，再求出的面积，如图2（见解析），过点作轴交于点，设，则，用含的式子表示出，由此即可求解； （3）根据平行四边形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点、， ∴，解得，， ∴该抛物线的表达式为． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点和点关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图2，过点作轴交于点， 设所在直线的解析式为：，过点， ∴，即所在直线的解析式为：， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴点的坐标为． （3）解：抛物线的表达式为，点的横坐标为， ∴，即，且， ①如图所示，四边形为平行四边形， ∴，且， ∴点的纵坐标为，，解得，，， ∴点的坐标为， ∴， 设点， ∵， ∴，则，即； ②如图所示，四边形是平行四边形，过点作轴于，过点作轴于， ∴，，， ∴， ∴，且,设，， ∴，解得，，， 当时，，即，则；当时，，即，则， ∴点的坐标为或； ③如图所示，四边形为平行四边形， ∴，， ∴设，则， ∴，即点的坐标为； 综上所示，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握二次函数图像的性质，动点的运动规律，几何图形的面积计算方法及性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $