精品解析：江苏省南京玄武外国语学校2023-2024学年九年级上学期数学竞赛培优卷

【玄外】初三数学提优卷 1. 如图，在中，，，的内心、外心分别为点、点，且有，则的长度为（ ） A. 8 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长交外接圆于点D，连接，，，，过I作于F，于G，于H，根据三角形内切圆和圆周角定理求出，根据证明，可得出，根据点I是的内心，可得出，即可求解． 【详解】解∶延长交外接圆于点D，连接，，，，过I作于F，于G，于H， 则与的内切圆相切于G，与的内切圆相切于F，与的内切圆相切于H， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵点I是的内心， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，是半径， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的外心与内心，切线长定理，全等三角形的判定与性质，垂径定理等知识，明确题意，添加合适的辅助线是解题的关键． 2. 如图，矩形纸片，，先沿对角线将矩形纸片剪开，再将三角形纸片沿着对角线向下适当平移，得到三角形纸片，然后剪出如图所示的最大圆形纸片，则此时圆形纸片的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设最大圆圆心为O，与AD切点为M，与CD切点N，连接OM、ON，可得正方形OMDN，再利用OM∥CD得到线段比计算即可． 【详解】设最大圆半径为r，圆心为O，与AD切点为M，与CD切点N，连接OM、ON，如图： ∴OM=ON，且OM⊥AD，ON⊥CD ∵∠D=90° ∴四边形OMDN是正方形， ∴ ∵矩形纸片， ∴ ∴ ∵OM∥CD ∴ ∴ 解得 故选：A． 【点睛】本题考查切线的性质、相似三角形的性质与判定，解题的关键是确定最大圆与两个直角三角形的四条直角边都相切． 3. 如图，在△ABC中点D为△ABC的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4．则△DBC的面积是（ ） A. 4 B. 2 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】过点B作BH⊥CD于点H．由点D为△ABC的内心，∠A=60°，得∠BDC=120°，则∠BDH=60°，由BD=4，BD：CD=2：1得BH=2，CD=2，于是求出△DBC的面积． 【详解】解：过点B作BH⊥CD于点H． ∵点D为△ABC的内心，∠A=60°， ∴∠BDC=90°+∠A=90°+×60°=120°， 则∠BDH=60°， ∵BD=4，BD：CD=2：1 ∴DH=2，BH=2，CD=2， ∴△DBC的面积为CD•BH=×2×2=2. 故选B. 【点睛】本题考查了三角形内心的相关计算，熟练运用含30°角的直角三角形的性质是解题的关键． 4. 如图，圆的内接四边形的顶点关于的对称点恰为的内心，．则圆的半径为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接BI、DI、OB、OD，作OE⊥BD于E，，先根据内心的性质求出，根据轴对称特点求出，根据圆内接四边形性质求出，，，解直角三角形求出OB即可． 【详解】解：连接BI、DI、OB、OD，作OE⊥BD于E， 设，则 ∵为的内心， ∴BI、DI分别平分∠ABD、∠ADB， ∴， ∴， ∴， ∵ 与关于BD对称， ∴ ∵四边形为圆内接四边形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了圆内接四边形、三角形的内心、垂径定理、轴对称、解直角三角形等知识，综合性较强，解题的关键是根据内心的特点求出∠A的度数． 5. 如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙当⊙与正方形ABCD的边相切时，BP的长为______． 【答案】3或 【解析】 【分析】分两种情况：⊙与直线CD相切、⊙与直线AD相切，分别画出图形进行求解即可得． 【详解】如图1中，当⊙与直线CD相切时，设， 在中，， ， ， ，； 如图2中当⊙与直线AD相切时，设切点为K，连接PK，则，四边形PKDC是矩形， ， ，， 在中，， 综上所述，BP的长为3或． 【点睛】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，会用分类讨论的思想思考问题，会利用参数构建方程解决问题是关键． 6. 如图，扇形的圆心角，半径为，正方形内接于该扇形，则正方形的边长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，圆的有关知识，勾股定理，添加恰当辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．过点O作于点H，交于点K，连接，交弧于，证明四边形为矩形，是等腰直角三角形，，设，则，，进一步利用勾股定理求解即可． 详解】解：过点O作于点H，交于点K，连接，交弧于， ∵过圆心，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 设，则，， 在中，， ∴， ∴或（不合题意舍去） ∴的长为， ∴正方形的边长为． 故答案为：． 7. 如图，两个同心圆 O，小圆的半径为 1，大圆的半径为，点 A 为小圆上的动点，P、Q 是大圆上的两个动点，且 ，则 的长的最大值是_____________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：如图，取中点，连接，，，，则，，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最大， ∵，中点， ∴， ∵， ∴， ∴当、、三点共线时，最小，此时最大， ∴， 解得或（舍去）， 故答案为：4． 8. 如图，在矩形ABCD中，，，M，N分别是BC，DC边上的点，若经过点A，且与BC，DC分别相切于点M，N，则的半径为______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接OM，ON，OA，延长NO交AB于点E，设的半径为r，根据切线的性质可得OM⊥BC，ON⊥CD，可得四边形BMOE、四边形OMCN都为矩形，从而得到BE=OM=r，OE=BM，CM=ON=r，进而得到OE=BM=BC-MC=3-r，AE=AB-BE=4-r，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接OM，ON，OA，延长NO交AB于点E， 设的半径为r， ∵与BC，DC分别相切于点M，N， ∴OM⊥BC，ON⊥CD， 在矩形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠C=90°， ∴NE⊥AB， ∴∠AEN=∠BEN=90°， ∴四边形BMOE、四边形OMCN都为矩形， ∴BE=OM=r，OE=BM，CM=ON=r， ∴OE=BM=BC-MC=3-r，AE=AB-BE=4-r， 在Rt△AOE中，（3-r）2+（4-r）2=r2， 解得： （舍去）， ∴的半径为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 9. 如图，的两边、分别切于点、，若，则__________． 【答案】15°##度 【解析】 【分析】如图，连接，，求解，可得，证明，再利用三角形的外角和的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵的两边、分别切于点、， ∴，而， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，圆周角定理的应用，切线的性质，四边形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，熟记以上基础知识是解本题的关键． 10. 如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E，F是延长线上一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接，取的中点G，连接，若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接．由，，可得，由是的直径，D是的中点，，进而可得，即可证明为的切线； （2）如图，过G作，垂足为H．设的半径为r，则．在中，勾股定理求得，证明，得出，根据，求得，进而求得，根据勾股定理即可求得． 【小问1详解】 解：如图所示，连接． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的直径，D是的中点， ∴． ∴． ∴，即． ∴． ∴为的切线． 【小问2详解】 解：解：如图，过G作，垂足为H． 设的半径为r，则． 在中，由勾股定理得， ∴， 解得． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵G为BD中点， ∴． ∴，． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 11. AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，P是半径OB上一点，PE⊥AB交BC于F，交AC的延长线于E，D是EF的中点，连接CD， （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）连OD交BC于G，若G为OD的中点，AC＝6，求CE的长． 【答案】（1）见解析；（2）6 【解析】 【分析】（1）连接OC，欲证明CD是⊙O的切线只要证明OC⊥CD即可． （2）想办法证明BA＝BE，利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题． 【详解】（1）证明：连接OC， ∵AB是△ABC的外接圆⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ECF＝180°﹣∠ACB＝90°， ∵D是EF的中点， ∴DC＝DE， ∴∠E＝∠ECD， ∵OC＝OA， ∴∠A＝∠ACO， ∵PE⊥AB， ∴∠APE＝90°， ∴∠E+∠A＝90°， ∴∠ACO+∠ECD＝90°， ∴∠OCD＝90°， ∴CD是⊙O的切线． （2）解：连接BE，PC，OC． ∵∠OCD＝∠OPD＝90°， ∴O，P，D，C四点共圆， ∠COD＝∠CPD， ∵∠ECB＝∠EPB＝90°， ∴E，C，P，B四点共圆， ∴∠CPE＝∠CBE， ∴∠COD＝∠CBE， ∵∠OCD＝90°，OG＝GD， ∴CG＝GO＝GD， ∴∠COD＝∠OCG， ∵OC＝OB， ∴∠OCG＝∠OBC， ∴∠ABC＝∠CBE， ∵∠A+∠ABC＝90°，∠E+∠CBE＝90°， ∴∠A＝∠E， ∴BA＝BE， ∵BC⊥AE， ∴EC＝AE＝6． 【点睛】此题考查切线的判定，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 12. 从⊙O外一点A引⊙O的切线AB，切点为B，连接AO并延长交⊙O于点C，点D，连接BC． (1)如图1，若∠A=26°，求∠C的度数； (2)如图2，若AE平分∠BAC，交BC于点E，求∠AEB的度数． 【答案】（1）∠C=32°；（2）45°． 【解析】 【分析】（1）连接OB，根据切线的性质，得∠OBA=90°，又∠A=26°，所以∠AOB=64°，再用三角形的外角性质可以求出∠ACB的度数； （2）由角平分线及三角形外角性质可得∠C+∠CAE=∠FBA+∠BAF，即∠BEF=∠BFE,再利用直径所对的圆周角是直角即可求解． 详解】解：（1）如图：连接OB， ∵AB切⊙O于点B， ∴∠OBA=90°， ∵∠A=26°， ∴∠AOB=90°-26°=64°， ∵OB=OC， ∴∠C=∠OBC， ∵∠AOB=∠C+∠OBC=2∠ACB， ∴∠ACB=32°． （2）如图，连接BD交AE于点F. ∵AB是⊙O的切线， ∴∠C=∠DBA． 又∵AE是∠CAB平分线， ∴∠CAE=∠BAE， ∴∠C+∠CAE=∠ABD+∠BAE， ∴∠AEB=∠BFE． ∵CD是⊙O直径， ∴∠CBD=90°． ∴∠AEB=45°． 13. 四边形是正方形，⊙O经过A，D两点且与边相切于点E，动点P在射线上且在点C的右侧，动点Q与点O位于射线的同侧，点M是的中点，连接，． （1）如图1，若点M在⊙O上，且．求证：是⊙O的切线； （2）如图2，连接交于点G，若，，，当点M在⊙O内时求的值（用含m的代数式表示），并直接写出m的取值范围． 【答案】（1）答案见解析； （2）； 【解析】 【分析】（1）连接OE，OM，OC．证明△OCE≌△OCM可得∠OMC＝∠OEC＝90°，进而可得结论； （2）连接EO并延长交AD于点F，连接OA，OD．证明BE＝EC＝BC，过点Q作QH⊥CP于H，连接CQ．根据GE∥QH，可得．进而列式计算即可得m取值范围． 【小问1详解】 证明：连接，，． ∵切⊙O于点E， ∴，即． ∵点E，点M在⊙O上， ∴． 又∵，， ∴， ∴，即， 又∵点M在⊙O上， ∴是⊙O的切线． 【小问2详解】 解：如图2，连接并延长交于点F，连接，． ∵OA=OD， ∴点O在AD的垂直平分线上，， 又∵是正方形， ∴点O在BC的垂直平分线上， ∴点E是BC中点，． ∵， ∴，即， 解得，即圆的半径为． ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴． ∵点M是的中点， ∴． ∴． 过点Q作QH⊥BP交BP于点H， ∵，所以， ∴． ∵点M是的中点，所以， ∴． 当点M在圆上时，EM最大，如图3，连接，，． 此时， ∴，此时， 又∵m＞0， ∴当点M在⊙O内时，． 图2 图3 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【玄外】初三数学提优卷 1. 如图，在中，，，内心、外心分别为点、点，且有，则的长度为（ ） A. 8 B. 6 C. D. 2. 如图，矩形纸片，，先沿对角线将矩形纸片剪开，再将三角形纸片沿着对角线向下适当平移，得到三角形纸片，然后剪出如图所示的最大圆形纸片，则此时圆形纸片的半径为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在△ABC中点D为△ABC的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4．则△DBC的面积是（ ） A 4 B. 2 C. 2 D. 4 4. 如图，圆的内接四边形的顶点关于的对称点恰为的内心，．则圆的半径为_______． 5. 如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙当⊙与正方形ABCD的边相切时，BP的长为______． 6. 如图，扇形的圆心角，半径为，正方形内接于该扇形，则正方形的边长为__________． 7. 如图，两个同心圆 O，小圆的半径为 1，大圆的半径为，点 A 为小圆上的动点，P、Q 是大圆上的两个动点，且 ，则 的长的最大值是_____________． 8. 如图，在矩形ABCD中，，，M，N分别是BC，DC边上的点，若经过点A，且与BC，DC分别相切于点M，N，则的半径为______． 9. 如图，的两边、分别切于点、，若，则__________． 10. 如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E，F是延长线上一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接，取的中点G，连接，若，求的长． 11. AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，P是半径OB上一点，PE⊥AB交BC于F，交AC的延长线于E，D是EF的中点，连接CD， （1）求证：CD是⊙O切线； （2）连OD交BC于G，若G为OD的中点，AC＝6，求CE的长． 12. 从⊙O外一点A引⊙O的切线AB，切点为B，连接AO并延长交⊙O于点C，点D，连接BC． (1)如图1，若∠A=26°，求∠C的度数； (2)如图2，若AE平分∠BAC，交BC于点E，求∠AEB度数． 13. 四边形是正方形，⊙O经过A，D两点且与边相切于点E，动点P在射线上且在点C的右侧，动点Q与点O位于射线的同侧，点M是的中点，连接，． （1）如图1，若点M在⊙O上，且．求证：是⊙O的切线； （2）如图2，连接交于点G，若，，，当点M在⊙O内时求值（用含m的代数式表示），并直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $