23.4 中位线【一课一练】2025-2026学年华东师大数学九年级上册（原题+解析）

2025-2026学年华东师大数学九年级上册 第23章图形的相似 23.4中位线 基础提题型训练 知识点1三角形的中位线及其性质 1.[2024广安中考]如图，在△ABC中，D,E分 别是AC,BC的中点若∠A=45°，∠CED=70°， 则∠C的度数为( ) A45° B.50° C.60° D.65 2如图，在△ABC中，D,E分别为AB,AC的中点，则 等 () A.1 马% D 3.[2024巴中中考]如图，☐ABCD的对角线AC, BD相交于点O,E是BC的中点，AC=4.若 □ABCD 的周长为12，则△C0E的周长为() A.4 B.5 C.6 D.8 4.一题多解[2024海南中考]如图是跷跷板示意图，支柱0M经过AB的中 0→B A 点0，OM与地面CD垂直于点M,OM=40cm,当跷跷板的一端A着地C 时， 另一端B离地面的高度为cm 5.[2024浙江中考]如图，D,E分别是△ABC边 D AB,AC的中点，连接BE,DE若 ∠AED=∠BEC, DE=2,则BE的长为 知识点2三角的重心及其性质 6.如图，己知CD上的点M是△ABC的重心，AB=18, MN//AB交CD于点M,则MN=() A.9 B D.6 7.如图，己知G为直角三角形ABC的重心，连接BG并延长，交 AC 于点D,连接AG,∠ABC=90°，且AB=12cm,BC=9cm 2025-2026学年华东师大数学九年级上册 △AGD的面积是cm2 8如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5,点G是△ABC的重心， GHL BC,垂足是H,求GH的长. 能力提升训练 9.教材P79练习T1变式如图，在△ABC中， D,E,F分别是边AB,AC,BC的中点， AF,CD,BE相交于点G,AF,BE,CD分 别 与DE,DF,EF相交于点H,M,N若 AF=185,则GH的长为() A25 B35 C. D65 10.[2024重庆中考A卷]如图，在△ABC中，延长 AC至点D,使CD=CA,过点D作DE//CB,且 DE=DC,连接AE交BC于点F若∠CAB=∠CFA CF=1,则BF= 11.教材P80习题T3变式[教材呈现]下面方框中的内容是数学华东师大版 教材九年级上册第80页的第3题，请你利用这道题证明的结论 ∠PMN=∠PNM完成下面的问题 如图1，在四边形00000000中，0000=0000,00是对角线0000的中 点，00是0000的 中点，00是0000的中点，求证：∠000000=∠000000. 2025-2026学年华东师大数学九年级上册 图1 [问题解决]如图2，在四边形ABCD中，AD=BC,P是对角线BD的中点，M是DC的 中点，N是AB的中点，连接NM并延长，分别与AD,BC的延长线交于点E,F,连接 PN,PM.求证：∠AEN=∠NFB· 图2 [拓展延伸]如图3，在△ABC中，AC<AB,点D在AC上，AD=BC,P是BD的中 点，M是DC的中点，N是AB的中点，连接NM并延长，与BC的延长线交于点G,连接 GD,PN,PM当DC=2,∠DGC=90°时，求DG的长 图3 12.推理能力[2025杭州拱墅区段考]如图，正方形 ABCD的边长为3V2,对角线AC,BD相交于点0， 点B在CA的延长线上，OE=5,连接DE (1)求线段AE的长 (2)若F为DE的中点，求线段AF的长 13如图，已知△ABC,点D在BC上，点E在 AC上，连接AD,BE,AD与BE相交于点F. 2025-2026学年华东师大数学九年级上册 [问题1]若BE是△ABC的中线，BF=3PE,求器的值， [问题2】若AD是△ABC的中线，器=京，求能的值. [问题3]若AD是△ABC的中线，△ABF的面积与△DBF的面积之比是1：3，且 AE=2,求EC的长. [问题4]若AD是△ABC的中线，且AE=FE,求证：AC=BF· [问题5]如图，DE是△ABC的中位线，F为DE的中点，连接AF并延 长交BC于点G.若S△EFG=1,求S△4Bc· 2025-2026学年华东师大数学九年级上册 参考答案 1D【解析】：D,E分别是AC,BC的中点，：DE是 △ABC的中位线，·DE//AB.:∠A=45°， .∠CDE=∠A=45::∠CED=70°，÷∠C=180°-45°-70°=65°. 2.D【解析】根据题意，得DE为△ABC的中位线，·DE//BC,DE=专BC, A△ADE△ABC,SaAE 3.B【解析】：四边形ABCD是平行四边形，÷O是AC的中点.又：E是BC的中 点，·OE是△ABC的中位线，÷OE=AB.:□ABCD的周长为12， ·AB+BC=×12=6,÷△C0E的周长为 0E+CE+0C=(AB+BC+AC)=专×(6+4)=5 4.80【解析】通解如图，过点B作BN⊥CD于点 N.:OM⊥CD,BN⊥CD,·OM//BN,:O是 AB的中点，÷OM是△ABN的中位线， ÷BN=20M=80cm,即另一端B离地面的高 U 2025-2026学年华东师大数学九年级上册 度为80cm 另解铷解法一的图，：OM1CD,BN⊥CD,:OM//BN, ÷△A0M~△ABN,·器=品：0是AB的中点，OM=40cm, :、=克，：BN=80cm,即另一端B离地面的高度为80cm, 5.4 【解析】：D,E分别是△ABC边AB,AC的中点， ÷DE是△ABC的中位线，·DE//BC, BC=2DE=4,·∠AED=∠C:∠AED=∠BEC, ∠C=∠BEC,·BE=BC=4· 6.D【解析】：点M是△ABC的重心， AD=DB=吉AB=9(重心是三角形三条中线的交点)，器=青 (重心与一边中点连线的长是对应中线长的结).：MN//AB, A△CMN△CDB,·器=器=号，即罗=青，解得MN=6· 7.9【解析】：点G为直角三角形ABC的重心，·BG=2GD, AD=DC,:S△AGD=青S△4BD=青XS△ABc=言S△4Bc,而 S△4Bc=3AB.BC=54cm2,:S△4GD=9cm2 8.解：如图，连接BG并延长交AC于点D, :点G是△ABC的重心，：BG=2GD,CD=AD=昌 :GH⊥BC,∠C=90°，·GH//CD,·△BHG∽△BCD, 是=器，“粤=，GH=月 6 2025-2026学年华东师大数学九年级上册 9B【解析】D,E,F分别是边AB,AC,BC的中点，·点G是△ABC的重 心，DE//BC,·GF=吉AF=6V5,EG=GB,△EGH△BGF, 器=器=，“GH=cP=3后. 10.3【解析】：DE//CB,CD=CA,:CF是△ADE的中位线， :.DE=CD=AC=2CF=2,AF=EF, ·AD=AC+CD=4.:DE//CB,÷∠CFA=∠E, ∠ACB=∠D.:∠CAB=∠CFA,·∠CAB=∠E.:CD=CA,DE=CD, ·CA=DE.在△CAB和△DEA中， I∠CAB=∠E, ∠ACB=∠D,·△CAB≌△DEA CA-DE (A.SA),÷BC=AD=4,÷BF=BC-CF=3 11.[问题解决]证明：：P是BD的中点，M是DC的中点， ·PM//BC,∠PMN=∠NFB,同理可得∠PNM=∠AEN :∠PMN=∠PNM,·∠AEN=∠NFB [拓展延伸]解：根据题意得，PN和PM分别是△ABD和△BCD的中位线， :PN//AD.PN=AD,PM/BC.PM=BC. ·∠CMG=∠PNM,∠MGC=∠NMP :AD=BC,&PM=PN,·∠PNM=∠PMN, ·∠CMG=∠MGC,·CM=DM=CG=1: :∠DGC=90°，·由勾股定理可得，DG=VCD2-CG2=V5 12.(1)解：：四边形ABCD是正方形， 2025-2026学年华东师大数学九年级上册 ·0A=0C=0D=0B,∠D0C=90° 在Rt△D0C中，0D2+0C2=DC2 :DC=3V2,:0D=0C=0A=0B=3 :0E=5,·AE=0E-0A=5-3=2 (2)如图，延长DA到点G,使AG=AD,连接EG,过点E作EH⊥AG于 点H :F为DE的中点，A为GD的中点， ·AF为△DGE的中位线 在Rt△EAH中，∠EAH=∠DAC=45°，·AH=EH AH2+EH2=AE2.AH=EH=V2, GH=AG-AH=32-2=22 在Rt△EHG中，EG2=EH2+GH2=2+8=10, ÷EG=V10 :AF为△DGE的中位线，“AP=BG=四 13.解：通解如图1，过点E作EP//AD交BC于点P :AE=CE,·DP=CP :EP/AD,器=器=3，BD=3DP, …脱=器=是 P 2025-2026学年华东师大数学九年级上册 另解如图2，过点E作EQ//BC交AD于点Q :点E是AC的中点，÷点Q是AD的中点，·CD=2QE 易得△BDF△EQR,∴器=器=3，：BD=3QE, 哭-器-是 [问题2]解：通解如图1，过点D作DG//BE交AC于点G :品=京，“器=京，“能= :AD是△ABC的中线，÷BD=DC,·器=器=1 设AE=1,则EG=3, AE 另解如图2，过点D作DM//AC交BE于点M,则器=器，器= :D是BC的中点，·BC=2BD, 器=2，即CE=2DM 0 2025-2026学年华东师大数学九年级上册 :器=京，器=寺，器=有，即AB=DM, AcC=A+EC=写0N,是-器= [问题3]解：通解如图1，过点D作DH/BE交AC于点H :AD是△ABC的中线，·BD=DC 又：DH//BE,EH=HC :△ABF的面积与△DBF的面积之比是1：3，·祭=青 :DH//BE,器=器=青，“能=言， :EC=6AE=6×2=12 另解如图2，过点D作DGAC交BE于点G, :点D是BC的中点，÷DG是△BCE的中位线，÷EC=2DG. :△ABF的面积与△DBF的面积之比是1：3，·器=是=3， DG=3AE,:EC=6AE=6X2=12 [问题4]证明：通解如图1，过点D作DM//BE交AC于点M, .∠AFE=∠ADM :点D是BC的中点，÷DM是△BCE的中位线， 0