11.2整式的乘法课件 2025-2026学年 华东师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“整式的乘法”，涵盖单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式。课堂导入先回顾幂的运算性质，再通过地球与太阳距离等实际问题引入，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点是结合公益助农、退耕还林等情境培养数学眼光，通过乘法运算律推导法则发展运算能力与推理意识，利用几何意义（如长方形面积）和应用问题强化数学语言表达，助力学生理解，方便教师教学。

第十一章 整式的乘除 11.2整式的乘法 第十一章 整式的乘除 11.2.1 单项式与单项式相乘 1.掌握单项式与单项式相乘的运算法则. 2.能够灵活地进行单项式与单项式相乘的运算. 学习目标 幂的运算： 同底数幂的乘法法则：am·an = am+n (m、n都为正整数) 幂的乘方法则：(am)n = amn (m、n都为正整数) 积的乘方法则：(ab)n = anbn (m、n都为正整数) 同底数幂的除法法则：am÷an = am-n (a ≠0，m、n都为正整数，且m>n) 新课引入 回顾 光的速度约是3 × 105km/s，太阳光照射到地球上需要的时间约是5 × 102 s，你知道地球与太阳的距离约是多少吗？ 地球与太阳的距离约是(3×105)×(5×102)km. 如何计算这个式子呢？ 试一试 （1）计算：(3×105)×(5×102)； （乘法交换律、结合律） （同底数幂的运算性质） 解：(3×105)×(5×102) = (3×5)×(105×102) = 15×107 = 1.5×108 新知学习 将(3×105)×(5×102)看成是单项式(3×105)与(5×102)相乘，利用乘法交换律和结合律进行计算 （2）如果将数字和字母混合，比如2x3·5x2，怎样计算这个式子？ 可以利用上面的技巧，将2x3·5x2看成是单项式2x3与5x2相乘， 进一步可以将2x3与5x2拆开，看成是2·x3和5·x2 接着可以利用乘法交换律、结合律及同底数幂的运算性质来计算(数字和数字算，字母和字母算)： 2x3·5x2 = 10·(x3·x2) = 10 x3+2 = 10x5. 例1 计算： (1) 3x2y·(-2xy3); (2) (-5a2b3)·(-4b2c)； 解：原式 = [3·(-2)]·(x2·x)·(y·y3) = -6x3y4； 解：原式 = [(-5)· (-4)] · a2· (b3· b2) · c = 20a2b5c； 单项式与单项式相乘 有理数的乘法与同底数幂的乘法 乘法交换律和结合律 转化 系数相乘 相同字母的幂相乘 不变，作为积的一个因式 归纳总结 单项式与单项式的乘法法则： 单项式与单项式相乘，只要把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式. 温馨提示 1.在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积； 2.注意按顺序运算； 3.不要漏掉只在一个单项式里含有的字母因式； 4.此性质对于多个单项式相乘仍然成立． C 例2 x 的 m 次方的 5 倍与 x2 的 7 倍的积为（ ） A. 12x2m B. 35x2m C. 35xm+2 D. 12xm+2 例3 计算： (1) 3x2 ·5x3； (2)4y ·(-2xy2)； (3) (-3x)2 ·4x2； (4)(-2a)3(-3a)2. 解：原式 = (3×5)(x2·x3) = 15x5； 解：原式 = [4×(-2)]x·(y·y2) = -8xy3； 解：原式 = 9x2·4x2 = (9×4)(x2·x2) = 36x4； 解：原式 = -8a3·9a2 = [(-8)×9](a3·a2) = -72a5. (5) (-5a2b)(-3a)； (6) (2x)3(-5xy3). 解：原式 = [(-5)×(-3)](a2·a)b = 15a3b； 解：原式 = 8x3(-5xy3) = [8×(-5)](x3·x)y3 = -40x4y3. 例4 计算：0.5x2y · - (-2x)3·xy3. 解： 原式 方法总结：1.在单项式乘法与加减的混合运算中，实数的运算顺序同样适用； 2.如果单项式的系数既有小数又有分数，通常把小数化为分数，再进行计算； 3.计算结果有同类项的要进行合并； 4.如果系数是带分数，要写成假分数形式． 讨论 a 1. a·a 表示什么几何意义？ a a·a可以看作边长是a的正方形的面积. 2. 你能说出3a·2b的几何意义吗？ 2b 3a 3a·2b可以看作是长是3a ，宽是2b的长方形的面积 3.你能说出3a·5ab的几何意义吗？ 3a 5a b 3a·5a·b可以看作长是5a ，宽是3a，高是b的长方体的体积. 例5 小明的步长为a厘米，他量得一间屋子长15步、宽14步，这间屋子的面积是多少平方厘米？ 解：15a·14a = 210a2(平方厘米) 答：这间屋子的面积是210a2平方厘米. 1.若(ambn)·(a2b) = a5b3，则m+n = ( ) A.8 B.7 C.6 D.5 D 随堂练习 2.某高校学生利用暑期开展公益助农活动，已知共有100名学生去果园帮助果农采摘苹果，当天平均每个学生采摘了2a斤苹果，若果园以3ab元/斤的价格将当天采摘的所有苹果售出，则该果园可以收入_________元． 600ab 解析：∵100·2a·3ab＝600ab(元)， ∴该果园可以收入600ab元． 3. 计算： 解：原式 = = = 4. 已知a3m＝4，b2m＝3，求(bm)6－(a2b)3m·bm的值． 解：∵a3m＝4，b2m＝3， ∴(bm)6－(a2b)3m·bm ＝(b2m)3－(a6mb3m·bm) ＝(b2m)3－(a3mb2m)2 ＝33－(4×3)2 ＝－117. 注意 法则 单项式与 单项式相乘 1.计算时,要注意符号问题； 2.不要出现漏乘现象； 3.运算要有顺序：先乘方，再乘除，最后加减； 4.对于混合运算，注意最后应合并同类项 单项式与单项式相乘，只要把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式. 课堂小结 第十一章 整式的乘除 11.2.2 单项式与多项式相乘 1.掌握单项式与多项式相乘的运算法则. 2.能够灵活地进行单项式与多项式相乘的运算. 学习目标 新课引入 回顾 把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式. 我们已经学会了单项式与单项式相乘，那么单项式与多项式相乘呢？ 单项式与单项式相乘的法则： 某地区为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长p m，宽b m的长方形绿地，向两边分别加宽a m和c m，你能用几种方法表示扩大后的绿地面积？不同的表示方法之间有什么关系？如何从数学的角度认识不同的表示方法之间的关系？ a b c p 新知学习 探究 解：为了求扩大后的绿地面积，一种方法是先求扩大后的绿地的边长，再求面积，即为 p(a+b+c). ① 我们也可以先分别求原来绿地和新增绿地的面积，再求它们的和， 即为 pa+pb+pc. ② 由于①②表示同一个数量，所以 p(a+b+c) = pa+pb+pc. 上面的等式提供了单项式与多项式相乘的方法. 这个结果也可以由图看出. a b c p pa pb pc 相当于乘法分配律的化简 试一试 计算：2a2 · (3a2－5b). 根据乘法分配律，乘以它的每一项． 解：原式 = 2a2 · 3a2 + 2a2 · (-5b) = 6a4 - 10a2b. 例1 计算：(-2a2)·(3ab2 - 5ab3). 解：(-2a2) · (3ab2 - 5ab3) = (-2a2) · 3ab2 + (-2a2) · (-5ab3) = -6a3b2 + 10a3b3. 单项式与多项式相乘 单项式与单项式相乘 乘法分配律 转化 归纳总结 单项式乘多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加. 例2 先化简，再求值：x2(3 - x) + x(x2 - 2x) + 1，其中 x = -3. 解： x2(3-x) + x(x2-2x)+ 1 = 3x2 - x3 + x3 - 2x2 + 1 = x2＋1. 当x = -3 时， 原式 = (-3)2 + 1 = 9 + 1 = 10. 你答对了吗？ 易错警示 1.注意活用乘法分配律，将积的问题转化为和的问题，不要漏项； 2.注意确定积的每一项的符号时，既要看单项式的符号，又要看多项式每一项的符号； 3.注意单项式与多项式相乘，其积仍是多项式且积的项数与多项式的项数相同． 例3 计算： (1) (-4x)·(2x2+3x-1)； 解：(1) 原式＝(-4x) · (2x2) + (-4x) · 3x + (-4x) · (-1) ＝-8x3 - 12x2 + 4x； (2) 原式 = (2) (3)－2x2·(xy+y2)-5x(x2y-xy2). 解：原式 = ( -2x2) · xy + (-2x2) · y2 + (-5x) · x2y + (-5x) · (-xy2) = -2x3y + (-2x2y2) + (-5x3y) + 5x2y2 = -7x3y + 3x2y2. A B C 3a+2b 2a-b 4a 例4 如图，一块长方形基地用来种植A、B、C 3种不同的蔬菜，求这块地的面积. 解：由题意得， 4a[(3a + 2b) + (2a - b)] = 4a(5a + b) = 4a·5a + 4a·b = 20a2 + 4ab. 答：这块地的面积为20a2 + 4ab. 1．已知2y = x2 - 3，求2x(x - 3y) - 2y(2 - 3x) - 4 的值． 解：∵ 2x(x - 3y) - 2y(2 - 3x) - 4 ＝2x2－6xy - 4y + 6xy - 4 ＝2x2 - 4y - 4 ∵2y = x2 - 3， ∴x2 - 2y = 3， ∴原式 = 2(x2 - 2y) - 4 = 2×3 - 4 = 2. 随堂练习 2．已知(-2x)2·(3x2 - mx - 6) - 3x3 + x2中不含 x 的三次项，试确定 m 的值． 解：原式 = 4x2·(3x2 - mx - 6) - 3x3 + x2 ＝12x4－4mx3－24x2 - 3x3 + x2 ＝12x4 - (4m + 3)x3 - 23x2. ∵原式不含x3项，所以4m + 3 = 0. ∴m = 3. (1)若 a2 + a - 1 = 0，求 a3 + 2a2 + 2022 的值； 解：由 a2 + a - 1 = 0，得a2 + a = 1. a3 + 2a2 + 2020 = a(a2 + a) + a2 + 2022 = a2 + a + 2022 = 2023. (2) 如果 x + x2 + x3 + x4 = 0，求x + x2 + x3 + … + x2023 + x2024 的值． 解：x + x2 + x3 + … + x2019 + x2020 = (x + x2 + x3 + x4) + (x5 + x6 + x7 + x8) + … + (x2021 + x2022 + x2023 + x2024) = (x + x2 + x3 + x4) + x4(x + x2 + x3 + x4) + x8(x＋x2＋x3＋x4)＋…＋x2020(x＋x2＋x3＋x4) = 0. 注意 法则 单项式与 多项式相乘 (1)计算时,要注意符号问题,多项式中每一项都包括它前面的符号,单项式分别与多项式的每一项相乘时，同号相乘得正，异号相乘得负 (2)不要出现漏乘现象 单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加. 课堂小结 第十一章 整式的乘除 11.2.3 多项式与多项式相乘 1.理解并掌握多项式与多项式的乘法运算法则. 2.能够灵活运用多项式与多项式的乘法运算法则进行计算. 学习目标 计算：(1) -3xy2z · (x2y)2 (2) x(x2 - 1) + 2x2(x + 1) - 3x(2x - 5) 前面我们已经学习了单项式乘单项式、单项式乘多项式，那么多项式与多项式相乘时怎么计算呢？让我们一起来探究吧！ 解：原式 = -3xy2z · x4y2 = -3 · (x · x4) · ( y2 · y2) · z = -3x5y4z 新课引入 回顾 解：原式 = x3 - x + 2x3 + 2x2 - 6x2 + 15x = 3x3 - 4x2 + 14x m a b n 探究 某地区在退耕还林期间，有一块长 m 米，宽 a 米的长方形林地的长、宽分别增长 n 米和 b 米，请你表示这块林地现在的面积. 不同的表示方法： (a+b)(m+n)； m(a+b)+n(a+b)； 新知学习 bm am bn an am+an+bm+bn. a(m+n)+b(m+n)； 由于四种方法表示同一个数量，所以(a+b)(m+n)= am+an+bm+bn 通过上面的等式你能总结出多项式与多项式相乘的计算方法吗？ (a+b)(m+n)= am+an+bm+bn 如下式所示，等式的右边可以看作左边用线相连的各项成绩的和： 归纳总结 多项式乘多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 1 2 3 4 (a+b) (m + n) = am 1 2 3 4 +an +bm +bn 例1 计算： 结果中有同类项的要合并同类项. 计算时要注意符号问题. （1）(x+2)(x-3)； （2）(2x+5y)(3x-2y). -3x = x2-x-6 = x2 +2x -6 = 6x2 = 6x2+11xy-10y2 -10y2 -4xy +15xy 例2 计算： (1)(m - 2n)(m²+mn - 3n²)； (2) (3x² - 2x + 2)(2x + 1). 解：(m - 2n)(m²+mn - 3n²) = m·m² +m·mn - m·3n² - 2n·m² - 2n·mn + 2n·3n² = m3 + m²n - 3mn² - 2m²n - 2mn² + 6n3 = m3 - m²n - 5mn2 + 6n3； 解： (3x² - 2x+2)(2x+1) = 6x3 +3x² - 4x² - 2x+4x+2 = 6x3 - x²+2x+2. 计算时不要漏乘. 例3 计算: (1) (2x+1)(x +3)； (2) (m+2n)(3n-m)； 解:(2x+1)(x+3) = (2x)·x+(2x)·3+1·x+1×3 = 2x2+6x+x+3 = 2x2+7x+3； 解：(m+2n)(3n-m) = m·(3n)-m·m+(2n)·(3n)-(2n)·m = 3mn-m2+6n2-2mn = 6n2-m2+mn； (3) (3x+1)(x+2)； (4) (x-8y)(x-y)； 解：(3x+1)(x+2) = (3x)·x+(3x)×2+1·x+1×2 = 3x2+6x+x+2 = 3x2+7x+2； 解： (x-8y)(x-y) = x2-xy-8xy+8y2 = x2-9xy+8y2； (5) (x + y)(x2 - xy + y2). 解： (x + y)(x2 - xy + y2) = x3-x2y + xy2 + x2y -xy2 + y3 = x3＋y3. 例4 先化简，再求值：(a-2b)(a2+2ab+4b2)-a(a-5b)(a+3b)，其中a＝-1，b＝1. 当a＝-1，b＝1时， 解：原式＝a·a2+a·(2ab)+a·(4b2)-2b·a2-2b·2ab-2b·4b2-(a2-5ab)(a+3b) = a3-8b3- (a2·a+a2·3b-5ab·a-5ab·3b) = a3-8b3-a3-3a2b+5a2b+15ab2 = -8b3+2a2b+15ab2. 原式＝-8×13+2×(-1)2×1+15×(-1)×12＝-21. 归纳总结 多项式乘法与加减相结合的混合运算，通常先算出相乘的结果，再进行加减运算，运算中特别要注意括号的运用和符号的变化；当两个多项式相减时，“－”后面的多项式通常用括号括起来，这样可以避免运算结果出错． 1.先化简，再求值：(x-2y)(x+3y)-(2x-y)(x-4y)，其中x＝-1，y＝2. 解：原式＝x2+3xy-2xy-6y2-(2x2-8xy-xy+4y2) ＝x2+xy-6y2-(2x2-9xy+4y2) ＝x2+xy-6y2-2x2+9xy-4y2 ＝-x2+10xy-10y2. 当x＝-1，y＝2时， 原式＝-(-1)2+10×(-1)×2-10×22 ＝-1-20-40＝-61. 随堂练习 2.若(x2＋nx＋3)(x2－3x＋m)的乘积中不含x2项和x3项，求m、n的值． 解：解法一：原式＝x4－3x3＋mx2＋nx3－3nx2＋mnx＋3x2－9x＋3m ＝x4＋(n－3)x3＋(m－3n＋3)x2＋(mn－9)x＋3m. 则m、n的值分别是6、3. 由题意，得 解得 解法二：在乘积中，含x2项的是mx2＋3x2－3nx2＝(m－3n＋3)x2，含x3项的是－3x3＋nx3＝(n－3)x3. 由题意，得 解得 则m、n的值分别是6、3. 方法总结 不含x2项和x3项，则说明合并同类项后，x2项和x3项的系数均为0，由此得方程或方程组求解．本题解法除了直接展开多项式与多项式的乘积外，也可以不用全部展开，只考虑最后所得积中含x2的项和x3的项． 3.智能化工业可以大大提高生产的效率．某工厂将原有的(n－5)台机器全部替换为智能机器，已知一台原来的机器每天可以生产(m－3)个电路板，一台智能机器每天可以生产2m个，则该工厂现在比原来每天多生产电路板多少个？ 解：[2m－(m－3)](n－5) ＝(m＋3)(n－5) ＝mn＋3n－5m－15. 答：该工厂现在比原来每天多生产电路板（mn＋3n－5m－15）个. 注意 法则 多项式与 多项式相乘 1.不要漏乘； 2.正确确定各符号； 3.结果要最简 1.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 2.（a+b)(m+n) = am+an+bm+bn 课堂小结 $