第15期 圆锥曲线的方程 核心素养综合测评-【数理报】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步学案（人教A版）

高中数学人教A版选择性必修第一册第13~16期 数理括 答案详解 2025~2026学年高中数学人教A版选择性必修第一册第13~16期(2025年10月) 第13期2版参考答案 由此可得a=35,b=25, 专项小练一 所以双曲线的商近线方程为y:±子。 1.B;2.C;3.C. 即为3x±2y=0. 4.(-0,0)U(2,+∞)；5.5或9. 3.设M(x,y),由题意可知x≠±3， 6解：)苦-苦=1 m本)4 .Y (2)因为b=4,c=5,所以a2=c2-62=9. 整理可得动点以的轨迹方程为号-云=1(x≠士3》。 因为焦点在y轴上， I FFI 4e=台=1P,P,=102-6=2 8 所以双曲线的标准方程为兮-云=1 5.依题意得a=1,b=3,因此c=10, (3)因为c=22,a=b,所以c2=a2+b2=2a2, 根据双曲线的定义得IIPF2I-PFI1=2, 即(22)2=2a2,所以a2=b2=4. 即IIPF2I-3I=2,解得IPFI=5或IPFI=1, 又因为双曲线的焦点在y轴上， 又IPF2「=1<c-a,不合题意，舍去， 所以所求双植线的标准方程为片-聋=1。 所以IPF2I=5. 6.由题意知IAP1+|AF2I=1API+lAF1I-2a, 专项小练二 要求IAPI+1AF2I的最小值， 1.,2.B:3.C4-号=155.0 只需求IAPI+1AF,I的最小值， 6解：设要求的双由线方程为号-。-A(以子0， 当A,P,F,三点共线时取得最小值， 则IAPI+IAFI=IPFI=√37， 把点P2,3)代人可得子名=A,解得A=-宁 所以IAPI+|AF2I=IAPI+lAF,I-2a≥/37-25. 所以双曲线方程为号-号=1 、2 7.由题意可知双曲线C的渐近线方程为y=±名， 点P(-1,5)在一条渐近线上， 第13期3版参考答案 如图所示，则女=原，即6=5a, 双曲线同步核心素养测评 一、单项选择题 1~4 DBBC 5 ~8 ACAD 提示： 1.设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为2a,2b,2c, 由题知b=万a,于是a2+b2=c2=a2+7a2=8a2, 则c=22a,即e=c=22 且两条渐近线的倾斜角分别为60°，120°， 则∠P0F=60° 2把双质线方程化为标准形式为若斋=1， 又1PF1=2,I0PI=√(-1)2+(3)2=2， 高中数学人教A版选择性必修第一册第13~16期 所以△OFP为等边三角形，从而c=1OFI=2 C的渐近线上的点到F距离的最小值为F到渐近线的距离 又a2+b2=c2,b=5a,解得a2=1,b2=3, d=c=b=4,所以(A)正确； 所以双曲线C的方程为一号=1 离心率e=行=子，所以（国）不正确： 8.由題意得双曲线左焦点(-2,0)， 双曲线上，右顶点到F的距离最小，5-3=2，所以(C)正确； 当直线垂直于横轴时， 1AB1=2√2，不符合题意， C的通径长为咎：号放()正疏 双曲线的渐近线方程为y=±x; 故选(A)(C)(D) 故可设l:y=k(x+2)(k≠±1)，A(x1,y),B(x2,2), 11.设焦距为2c, 联立 y=k(x+2), 不妨取C的一条渐近线为y=-各， x2-y2=2, b 可得(1-2)x2-4k2x-4k2-2=0, 则直线1的方程为y= x-c, a 1+2三1E6·=二442 42 垂足为A,易知1OA|=a,IAF3I=b. 1-k2, 因为1PFI=3b-2a,所以1PF2I=3b. 由弦长公式知 设线段PF的中点为E, IAB1=√2+1Ix1-3 则1FE1=兰，10E1=兰-a =F+i.8(+) 1k2-1T 1A1=1r,E1-A1=号 =4→k2+1=√212-1「， 在Rt△AE0中，IOEI2=1OAI2+1AE12, 则k=±(2-1)或k=±(2+1)， 即（-）=心+（）广解得号=号 2 故存在四条直线满足条件. 2 二、多项选择题 故双曲线的渐近线方程为y=±了，故(A)错误： 9.BCD:10.ACD:11.BC. 提示： =可=多解得e=空放(B)正确： a 号+片=1表示桃圆， 9若方程， s听=5m=1A,1X划0A1=6=d, 1 3-t>0, 故(C)正确； 则t-1>0,解得1<t<3,且t≠2，故(A)错误； 设直线I被以IF,F2I为直径的圆截得的弦为MW, 3-t≠t-1, 易知点A即为MN中点， 3-t>0, 故IMWI=2IAFI=2b=3a,故(D)错误. 若曲线C为椭圆，且长轴在y轴上，则t-1>0, 故选(B)(C). 3-t<t-1, 三、填空题 解得2<t<3,故(B)正确； 12号号=11-3=4号 =1 若曲线C是双曲线，则(3-t)(t-1)<0, 提示： 解得t<1或t>3,故(C)正确； 12.设双曲线的方程为mx2+y2=1(mn<0), 3-t>0, 若曲线C是圆，则t-1>0,解得t=2,故(D)正确。 代入点A2,2)83,-2. l3-t=t-1, 4 可得 4m+3n=1, 故选(B)(C)(D). 9m+8n=1, 10.由题意可得2a=6,2c=10, 1 所以a=3,c=5,b=c2-a=4, 「m= 3 解得{ y 则双线6号后1 所以双线的标准方程为号-=1 n=- 高中数学人教A版选择性必修第一册第13~16期 13.设A(),8(),则乎-疗=1，至-疗=1， 所以双南线的标准方程为后-后。1 3y2 两式相减得好（名+）名-)-(0，+，)0-为)=0 (3)设以y=±2x为渐近线的双曲线方程为 因为P为线段AB的中点， 若-号=Aa≠0， 所以x+x2=8,1+y2=2. 当入>0时，a2=4入， 所以二2=1，即所求直线1的斜率为1， x1-x2 所以2a=24=6=9 1 所以直线1的方程为y-1=x-4,即x-y-3=0. 当入<0时，a2=-9x, 经检验符合题意 14.由题可知点P必落在第四象限，∠F,PF,=90°， 所以2a=2√-9n=6→A=-1. 设1PF2I=m,∠PF2F1=01,∠PF,F2=02, y2 厅以双曲线的标准方程为号-二】 1或 、x2 9-4=1 4 由kpr2=tan0=2,求得sin0:= 2 5 16.解：(1)设点C(x,y),则II CAI-1CB11=2, 因为∠FPF2=90°，所以kpF1·km2=-1, 所以C的轨迹是双曲线且焦点在x轴上， 求得m=-子，即am仍=之求得sin0,= 1 由2a=2,2c=1AB1=25,得a2=1,b2=2, 5 由正弦定理可得： 故点C的轨迹方程是父-号=1 I PFI:I PF2I:IFF2 I sin 0 sin 02 sin 90= (2)由已知条件得直线方程为y=x-2, 2:1:5, 与2- 2=1联立，消去y得2+4x-6=0, 则由IPF2I=m得IPFI=2m,IFF2I=2c=√5m, 因为4>0，所以直线与双曲线有两个交点 由5o5=宁1Pf1Pg=m2m=8 1 设D(x1,y1),E(x2,2),则x1+x2=-4,1七2=-6， 解得m=22, 所以IDE1=√I+2Ix1-x2I 则1PF21=22,IPFI=42, =2√(x1+x2)-4x=45. 1FF2I=2c=2√10，c=√10， 17.解：(1)由题易得双曲线的渐近线方程为bx±ay=0, 由双曲线第一定义可得 则点F,到渐近线的距离为c±0=b, √+a 1Pf1-lPf2I=2a=22,a=2,b=√2-a=8, 所以由题意知c+a=2b. 所以双曲线的方程为号一。-1 因为+=6，所以b=亭， 四、解答题 故所求双曲线的渐近线方程是4x±3y=0. 15解：（1)设双曲线的标准方程为号-号 (2)因为∠FPF2=60°， =1(a>0,b>0) 所以由余弦定理得IPFI2+1PF2I2-2IPF1IPF2I· 由图京知2水=12，后=子且2=心+尔 c0s60°=1F1F212, IPF 12+1 PF2 12-1 PF 1I PF2 I 4c2, 所以b=6,c=10,a=8, 由双曲线的定义得IIPF1I-PF211=2a, 6网6=1或2、x 所以双曲线的标准方程为兰一号 6436=1 平方得IPF,12+lPF22-2 I PF I PF2I=4a2,② (2)因为e=￡=2，所以c=2a,b2=c2-a2=a2. ①-②得IPF1I1PF21=4c2-4a2=462, 根据三角形的面积公式得 又因为焦点在x轴上， 所以设双曲线的标准方程为。一 PF1PF I sin 60 -=1(a>0). 把点(-5,3)代人方程，解得a2=16. -9×4=56=45, 一3 高中数学人教A版选择性必修第一册第13~16期 所以2=48， _2 a aox+b+6=0, 由(1)中6= 于得a2= 9B=27, 1x2y2 干视A警+ 故所求双曲线方程是2748=1 4(6号-d8-=0. a = a 2 a2=2, 18.解：(1)由题设可得 解得 4 1 b2=1, 因此直线号-罗-1与风线号-名=1a>06 a2- =1, 0)相切于点(xo,yo), 所以双线C的方程为号-？=1 所以过双曲线号-卡=1(a>0,6>0)上一点（6,6 (2)设A(1),B(x2),直线：y=-2t+6 1 的切线方程为号-是山 因为点M(2,1)不在直线l上，所以t≠2. (3)证明：当n=0时，直线l的斜率不存在， [y=-2x+i, 由对称性知，点T为线段PQ的中点； 由 得x2+4tx-4(2+1)=0, 号-1 当n≠0时，设P(x1y1),Q(,y2),线段PQ的中点N(t,s), x22 则4=162+16(+1)>0，x+龙2=-4t,x为=-4(2+1)， a =0 由 消去y得： 自+6周 =二15+(x+3)-4(t-1) 3-2(x1+x2)+4 (倍g)+2-=0 -4(+》-4=4==1, -4(2+1)+8t+4 由2 =1,得x2-2mx+a2=0, 可得t=1,所以直线1的方程为y=-号y 2t+1. 则6=十当=m, 2 191)解：由题可得2-后=1，即方=兰-1， 婴学1，于是s:(答-）=n 联立2 -1 -oy=1, 即点T与点N重合，所以点T为线段PQ的中点. 消去y得：（空-圣）+-1+)=0. 第14期2版参考答案 则x2-2xx+后=0，显然4=4x后-4后=0， 专项小练一 所以该直线与双曲线有且只有1个公共点. 1.C;2.D;3.BD. 4(0,6):51 (2)解：由1)知，直线号-y=1与双曲线号-子=1 6.解：令x=0,y=2,所以号=2，得p=4, 相切于点(xo,少o), 又抛物线的焦点在y轴的正半轴， 所以过双曲线，--=1(a之0，b>0）上一点(，》 所以抛物线的标准方程为x2=8y 的切线方程为o_。 =1. 令y=0,x=-3,所以号=3，得p=6, 又抛物线的焦点在x轴的负半轴， 证明如下：显然疗- 然6-台=1，即号-d26=26, 所以抛物线的标准方程为y2=-12x. 专项小练二 xox Yoy =1, 由 消去y得： 1.A:2B:3.BC4.7;516 x22 2=1， 6.解：设A(xAya),B(xB,yg), 一4 高中数学人教A版选择性必修第一册第13~16期 由-2+1=0可得y-4y+2p=0. 即直线1的斜率为兮 Ly =2px, 7.因为x=-1是抛物线y2=4x的准线， 所以yA+yB=4p,yAyg=2p, 所以P到x=-1的距离等于IPF1. 所以1AB1=√个+2·√(yA+yB)-4yayB=4√5. 过P作PQ于l于Q, 即2p2-p-6=0,因为p>0,解得p=2. 则P到直线l1和直线，的距离之和为PF1+PQ「， 第14期3版参考答案 当F,P,Q三点共线时取得最小值， 即为F(1,0)到直线4x-3y+6=0的距离， 抛物线同步核心素养测评 所以最小值为4-0+61=2， 一、单项选择题 16+9 1-4 BDCD 5-8 CACC 8.由题可得抛物线的焦点坐标为F(1,0), 提示： 准线方程为x=-1. 1.由抛物线y=82得抛物线标准式为5=，2印= 、1 由题意可知直线AB的斜率存在且不为0， 设直线AB的方程为y=k(x-1)(k≠0). 故焦点在y轴上，开口向上，焦点坐标为(0，立) 联立方程，广=4， y=k(x-1), 2.因为抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(-1，-1)， 消去y得2x2-(22+4)x+2=0. 所以-号=-1，即p=2, 设A(x1y1),B(x2,y2),则xx2=1. 所以抛物线的焦点坐标为(0,1). 因为1FAI=x1+1,IFBI=x2+1, 3.设点A的坐标为(x,y) 所以IFAII FBI=(x1+1)(x2+1) 由点A到y轴的距离为9可得x=9, =+2x2+x12+1 由点A到抛物线C的焦点的距离为12， =x1+x2+2=8, 所以IABI=|FAI+lFB1=x1+2+2=8 可得x+号=12，解得p=6. 二、多项选择题 4.若焦点在x轴上，设抛物线方程为y2=ax, 9.ACD:10.BC:11.ABD. 将点P(-4,-2)的坐标代入得a=-1, 提示： 所以抛物线的标准方程为y2=-x 9.设A(x1,y1),B(x22). 若焦点在y轴上，设方程为x2=by 由题意得r(0,2),则=之 将点P(-4,-2)的坐标代入得b=-8. 1 所以抛物线的标准方程为x2=-8y. 所以1AF1=为+乞=1，故(A)正确； 故所求抛物线的标准方程是y2=-x或x2=-8 当点A为坐标原点时，距离准线的距离最小， 5.因为直线y=kx-k=k(x-1),所以直线过点(1,0). 为7，故(B)错误： 又点(1,0)在抛物线y2=2px(p>0)的内部， 因为1AF1=+方=2，所以=子， 3 所以当k=0时，直线与抛物线有一个公共点； 当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点.故选(C). 所以x好=3，解得x1=±5， =6y1, 6.设A(1,少1)，B(,2),则{ 号=6y2, 所以S△AOF=2 4 所以x-x号=6y1-6y2, 故(C)正确； 整理得2=+2 由∠A0B=90°得x1x2+y12=0, x1-x2 6 即x+4(x)》2=0, 因为弦AB的中点为(1,4)， 所以2=+=2=1 解得x1x2=0(不合题意，舍去)或x1x2=-4, x1-x2 6 6=3 所以y12=4, 5 高中数学人教A版选择性必修第一册第13~16期 所以10A10BI=√+7√x好+ 故点P有且仅有两个，(D)正确。 故选(A)(B)(D) =2+y7√2y2+y号 三、填空题 =√y1y2√(2+y1)(2+y2) =2√8+2(y1+y2), 128:133:14号 因为为+y2≥2√少y2=4, 提示： 当且仅当y1=y2=2时等号成立， 12.由条件知，直线y=x-1过抛物线的焦点， 所以1 OA I-I OB1≥8，故(D)正确 将y=x-1代人抛物线方程y2=4x, 故选(A)(C)(D) 整理得x2-6x+1=0, 10.抛物线x2=4y的准线方程为y=-1,故(A)错误； 设A(x1少)，B(2,2),则x1+2=6, 由IAF1+|BFI=4,得y1+1+y2+1=4, 所以1AB1=x1+x2+2=8. 13.由题得F(1,0),准线为x=-1, 则1+2=2，所以点P的纵坐标p=业=1， 2 点A在抛物线外，故d=IPFI, 即为点P到x轴的距离为1，故(B)正确； 则d+lPAI=IPFI+IPAI≥IAFI=3, 因为直线1交抛物线于A,B两点，显然I的斜率存在， 当且仅当F,P,A共线且P在F,A两点之间时等号成立. 设1的方程为y=:+m,与)=子联立消去 14圆(x-1)2+y=25的圆心为F(1,0),故号=1， 整理得x2-4kx-4m=0, 即p=2, 所拟名一加，所以5=手×聋=花 m x-)2+=25·可得 由 4 16 y=4x 若直线AB经过焦点F,则m=1,yy2=1,故(C)正确； x2+2x-24=0,故x=4或x=-6(舍)， 若yy2=1,则m=±1，当m=I时，直线AB过焦点F 故A4,±4)，放直线4Fy=±号(x-1), 当m=-1时，直线AB过点(0，-1)，故(D)错误 即4x-3y-4=0或4x+3y-4=0, 故选(B)(C). 11.y2=4x,p=2,l:x=-1. 故原点到直线AF的距离为d=41=4 5 又圆A半径为1，圆心为A(0,4), 四、解答题 所以点A到直线的距离为1， 15.解：(1)由题可知点M到点F(-2,0)的距离与到直线 所以圆A与1相切，(A)正确； x=2的距离相等， 当P,A,B三点共线时，yp=ya=4, 所以动点M的轨迹是以F(-2,0)为焦点， 代入y=4x中，xp=4,所以PA=4, x=2为准线的抛物线， 所以PQ=√PA2-T=√5，(B)正确； 故点M的轨迹方程为y2=-8x 当1PB1=2时，xp=1,yp=2(假设P在x轴上方）. (2)设Q(x,y),M(x,yo) 此时，B(-1,2),P(1,2),A(0,4),4P2=AB=5,BP2=4. 则-2=2所以而=2x+2, 因为AP2+AB2≠BP, y%=2y, Lyo =2y, 所以PA与AB不垂直，(C)错误； 又y哈=-8x0,故(2y)2=-8(2x+2). 因为PB=PF(F为抛物线C的焦点)， 即y2=-4(x+1)为所求。 所以PA=PB时，PA=PF 16.解：如图1，建立平面直角坐标系， 所以，点P在AF中垂线上. 又40,4)，51,0)，所以4中垂线的方程为x=4-与 15 联立 =4y-7’得y-16y+30=0,4>0. 2=4x, 所以AF的中垂线与抛物线C有两个交点， -6 高中数学人教A版选择性必修第一册第13~16期 设拱桥所在的抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0)。 因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以上≠2， 由题意得B(4,-5),将点B的坐标代入抛物线方程， 从而4=(2p)2-4(-2b)>0,化简得p+2b>0. 解得口：号所以孢物线的标准方程为父：一5 则1+为=-2p,从而0=当2=-2 2 当小船的两侧和拱桥接触时小船不能通航。 因为M(xo,yo)在直线l上，所以x=2-p, 设此时船面宽为AA',则A(2,ya), 因此线段PQ的中点坐标为(2-P,-P) 又点A在抛物线上，由2=-与 （iⅱ)解：由(i)知线段PQ中点M(2-p,-p)在直线y =-x+b上， 得=-三 41 所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p. 又知船露出水面上的部分高子米， 4 由(1)知p+2b>0,于是p+2(2-2p)>0,解得p< 设水面与抛物线拱顶的距离为h, 因此p的取值范围为(0，专) 则6=方+子 =2(米)， 19.解：(1)设P(x1y1),Q(x2,2),其中≠x 即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船开始不能通航。 17.解：(1)由点P(x,w2p)在抛物线C上， 得(2p)2=2pxo,解得=p, 由抛物线定义得，1PP1=+号=受-=3，解得》=2， 图2 故抛物线C的方程为y2=4x (2)设直线l的方程为x=my+1, =得-乃=4-4 由 =4x2, 联立=4红， 消去x,得y2-4my-4=0, 4 Lx =my +1, 变形得上 x1-x2y1+y2 故y1+y2=4m,yy2=-4, 所以5=，4，所以42.25 所以名=手差-倍-1+=(a侧+)+ y1+y2 2 3 16 (my2+1)=m(y1+y2）+2=4m2+2, 所以线段P0中点纵华标的值为号 (2)设y轴上存在定点S(0,s)满足题意. 则0A.0B=-(x1+2）=x2+yy2=-3, 由题意，直线MW的斜率存在且不为0， 即4m2+2=3,解得m=±2， 1 设直线MW:y=kx+s, 所以所求直线1的方程为y=2x-2或y=2-2x P(年）（车）（臣）w(年) 18.(1)解：因为抛物线)>=2p(p>0)的焦点（号，0） 由了=：+8”消去整理得-4y+4s=0, ly=4x, 在直线1：x-y-2=0上，所以号-0-2=0， 由4=16-16ks>0,得ks<1, 解得p=4,所以抛物线C的方程为y2=8x. (2)(i)证明：设P(x11),Q(x22), 则%+=专=餐 4 线段PQ的中点M(xo,Yo). 因为P,T,M三点共线， 因为点P和Q关于直线1对称， 所以（华-5）为=（年-）m。 所以直线1垂直平分线段PQ, 解得y1y,=-43. 所以直线PQ的斜率为-1， 则可设其方程为y=一x+b. 同理，可得2y4=-45. y1-y2 4 由广=2，消去得子+2py-20=0 又kw= ly =-x+b, 7 高中数学人教A版选择性必修第一册第13~16期 4 Y3Y4 =5, =4E+-45-万(+y) 所以Sa=2×4×25=45. 1 Y3 Y4 6.因为F,F2是双曲线的左、右焦点， 4s P为双曲线左支上的任意一点， 所以=全 =-3,解得3=-3. y3+y4 k 所以1Pp,Pr=2a,代人得 所以直线MW恒过定点(0，-3)： I PF2 12 (I PF 1+2a)2 4a2 I PFI I PFI =I PF:1+4a+PFT 第15期3版参考答案 4a2 ≥2/PgI×1Pp,T+4a=8a, 圆锥曲线的方程核心素养综合测评 当且仅当IPF,I=2a时取等号， 一、单项选择题 又点P是双曲线左支上任意一点， 1~4 BABD 5 ~8 CACD 所以1PFI≥c-a,即2a≥c-a,所以e≤3， 提示： 所以双曲线离心率e的取值范围是(1,3]. 1.直线x+2y+4=0交x轴于点(-4,0)， 7.设弦的两个端点坐标分别为(x1,y1),(x2,2), 交y轴于点(0，-2)， 、依题意得a=4,6=2,所以椭圆方程为名+} + =1. a 62 =1, 则 2.由题意可知e=2, 62 =1, 则6 /c2-a 3 =√e-1=5, 两式作差得 所以双曲线的渐近线方程为y=±5x, (+)(x-++)(1=2）=0. a 即5x±y=0. 又M(-4,1)是弦的中点， 3.不妨设点D在第一象限，则点E在第四象限， 所以x1+x2=-8,少1+y2=2, 联立 x=2, 「x=2, 结合已知直线的斜率为1， -2,解得 y=±2p, 警 x1-X2 则D(2,2D),E(2,-2p), 因为0.0正=0，所以4-4p=0,解得p=1, 所议√（合 所以C的准线方程为：=一号=一子 8.依题意a=3,b=5,c=2, 4.由题意知a=1. F(-2,0),F2(2,0),N3,5), 不妨设点M在第一象限， 则1NF21=√2+(5)2=6， 则由题意有IAB1=IBM1=2,∠ABM=120. 1NF1=√52+(5)2=30， 过点M作MW⊥x轴于点V, 所以IMWI+1MF,I≥INFI=√/30， 则IBW1=1,IMN1=5,所以M(2,3), 当M位于线段VF,与椭圆交点M2处时等号成立 代入双葡线方程得4一亭=1，解得6=1， 根据椭圆的定义可知IMNI+1MF1「=IMWI+2a- 所以双曲线的方程为x2-y2=1. I MF,I =6+I MNI -I MF2 I, 5.因为y2=4x,所以焦点F(1,0),准线l:x=-1, 如图1所示，设NF2的延长线与椭圆相交于M1, 过焦点F且斜率为5的直线41：y=5(x-1), 将其与y2=4x联立得3x2-10x+3=0, 解得x=3或=子（舍去）， 故A(3,23),所以1AKI=4, 图 8 高中数学人教A版选择性必修第一册第13~16期 则当M位于M1时，6+lMNI-MF2I取得最大值， 解得r=多（万-1），故(D)正确 为6+1NF2I=6+6, 故选(C)(D) 综上，IMW1+1MFI的取值范围为[√30,6+√6]. 11.过双曲线的右顶点A(a,0)作x轴的垂线交渐近线y= 二、多项选择题 b 9.AC;10.CD;11.ABD. x于点B(a,b),则10B1=c=I0F1, 提示： 不妨设M,P在x轴上方， 9.由∠M0F=45°，可得an∠M0F=Io =1, 即后=后， 联立方程组 =·解得=4 l6=4o, 图2 所以(A)正确，(B)不正确； 因为IOBI=IOFI,∠AOB=∠MOF,∠OAB=∠OMF 又由抛物线的定义，可得1MF1=名+号=4+1=5， =90°，所以Rt△OAB≌Rt△OMF, 所以(C)正确； 所以1FM1=IABI=b,1OMI=IOA1=a, 在△0FM中，可得10F1=1,IMFI=5,10M1=42, 由已知证=2网得1PW1=冬， 由余弦定理得cos∠OFM=I0F12+1MFI2-IOM1? 由IOM12=IFM1MPI,得 21 OFII MFI :+42。号所以D)错误 心=各，所以&=，所以名=， a 2×1×5 所以双曲线的渐近线方程为y=±√2x,故(C)错误； 故选(A)(C) 10.由题可得a=22,b=2,c=2, 因为c=心+公=3a,所以e=合=厅，故(D)正确： 又P为椭圆上一点，不妨设P(m,n),m>0,n>0, 因为OM⊥直线FP,且IOMI=a, 则5am=方×2e×n=3. 所以直线FP与圆x2+y2=a2相切，故(A)正确； 双曲线的焦点坐标为（±5a,0), 解得元=子，故(A)错误： 为中心在原点焦点在x轴上的椭圆， 半焦距G=√4a2-a=√5a,焦点坐标为（±5a,0), 解得m=少，所以P(是) 所以E与云+ 2疗+京=1有相同的焦点，故(B)正确 2 所以1=(2)°+=+2 4 故选(A)(B)(D). 三、填空题 1P1=(-2+=翠-2m 12:1a号-言-：14-2 所以1P吹，121P,12-(2)=2x2-16=子>0， 提示： 所以∠FPF,<,故(B)错误； 12.由题意得2，=0+号，解得0=， 由椭圆定义可得△E,PF,的周长为2a+2c=4(2+1), 即A5,-3 故(C)正确； 设△FPF2的内切圆半径为T, 代人=2px(p>0),得(-3)2=2p·号，解得p=3. 1 由2·(42+4)=3， 13设双曲线的方程是号-子=1A≠0，A≠). -9 高中数学人教A版选择性必修第一册第13~16期 把点(2,2)代人方程，得1-4=入，解得入=-3， 解得天=3该：=号 故所求的双围线的方程是号-了。-3，即号一音 312=1. 则两个交点的坐标分别为(3,0)， 14.如图3，连接QF· 故IABI= -)+(号) =245 5 17.解：(1)设椭圆的焦距为2c, 则由2c=2得c=1, 因为后-停所以a=厅6=反 a 图3 所以椭圆C的标准方程为号+号=1 设1QF2I=x(x>0),则IPF11=4x (2)设直线l:x=ty+1, 因为IPFI+|PF2I=2a,IQFI+lQF2I=2a, x ty +1. 所以1PF21=2a-4x,IQFf11=2a-x 联立，2得(2t+3y+4y-4=0 -=1 在△PFQ中，∠F,PQ=90°， 2 所以1PFI2+1PQI2=1QFI2, 设A(x1y1),B(2,2), 即(4x)2+(2a-4x+x)2=(2a-x)2, -4t -4 则1+为=22+31·为=2r+3 整理得a=3x, I PF I 4x 4x 所以an∠PF,￡=P,=2a4=6x-4=2, 又分=2所以哈+2=多 1 所以直线PF2的斜率k=tan(180°-∠PF,F)=-2. 即+5) yy2 =-2 四、解答题 所以=子，解得：= 2, 15解：()由题可得2+(-)=y+ 故直线1：2x±y-√2=0. 化简得x2=2y.故点P的轨迹方程为x2=2y 18.(1)证明：双曲线C的渐近线方程为x±2y=0. (2)由题意设A(x1,y1),B(x2,y2), 点P(x,）到直线x-2y=0的距离4=1x-2y 将直线方程y=x+1与抛物线方程x2=2y联立得x2- 5 2kx-2=0, 点P(x,)到直线x+2y=0的距离山，=1x+2yL 5 则x1+x2=2k,x1x2=-2. 所以点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积为 所以1AB1=√1+k2·√(x1+x2)-4xx d,d=1x-2y1L.1x+2L--4L =个+区·4h2+8=26, 5 5 5 解得2=1，所以k=±1. 又P(x,)在双曲线C上，所以号-=1， 16.解：(1)由题意可设C的标准方程为 即x2-4y2=4, -=1(a>0,6>0) 所以山4=号，是一个常数 由题意知c=5片=青结合心+= (2)解：由号-=1得子=苦-1≥0， 解得。=36=4，故C的标准方程为号-6=1 解得x≤-2或x≥2.所以1P412=(x-3)2+y (2)由(1)知C的右顶点为(3,0)， =-3+号-1=(-号)+号 可设直线l的方程为y=2x-6. 、2 当=号时，1P12取得最小值号 联立 写-6=l,消去y可得52-4+17=0， y=2x-6 所以1PA1的最小值为 10本森责任端横：蒋玉清 相纸编板质量反馈电话 兹理格 2025年10月20日·星期 高中数学 025152712068 担纸发行责量反墙电话： 第 15期总第1159期 人教A ()滤c阴连身鞋： 0351-5271248 选择性必修第一 平面三角形与空 山西师范大学主管 山西师大教育科技传媒集团主办 数理 徐文 国内统 连续出版物号：CN140707八F)邮发代号：21-289 句四面体的类比 专题辅学 所以糊圆G的方尼为片+子=1 (-) 阴 (2)正明：设点H(m,-2)(m≠0) （1}三角形：三 角形有外接，其国 圆锥曲线中的定点、定值问 题 D(xo.yo).E(yE】 易知A(0,1),B(0,-1) 心为外心，外心是各 。山西 刘荣 边套直平分线的交 在冠性曲战的动态世界里，动点，动直线看 上AMF=∠BME正明：直线AB的料率为定值 所以直线的方程为y一名+1 点 以繁复杂，却往往藏着不变的“点”与相 解析：(1)设(x),则6■2m 直线B的方程为y=一 x-1 定的”度量”一这便是定点与定值问题 这类 四面体，四而 可题要求我们在变化中捉不变的本质 揭示 易知F(号0 有外球，心为 图形运动的内在规律，是检验代数运算能力与 则半径r=1 联立 得 外心，外心是各的 几何直观洞察力的地佳试金石.下面汤过典型 1=√-+ 走平分线的交点 风板.一是经早确话在每作后的不性 +两+公 (2)三形：三 倒1已知椭圆C过点A1,》.两个然点分 (的器=0， 角形有内初，其国 因为0，所以当=0时.1F=号 24m 别为(-1,0).(1,0) 心旁内心，内心是各 (1)求南圆C的标准方程： 又圆M的面积的最小值为： 6, 的平分线的交点 2》E,F是圆C上的两个动点，如果直创 以r =I MFI.=1. 同理，可产 内心到各边的距 AE的韩率与AF的斜率瓦为相反数，证明直线 则号=1，以p=2 分内切的半径 EF的斜率为定值，井求出这个定值 所以直线DE的斜率为-上 (2)证明：由(1)知搅物线C:2=4杠 16网 (1》解析：由题意知e■1， 25 则1,2)， 以直线DE的方程为 又F(1.0).所以MF⊥x轴 16m 其中为三角 设C的方%+卡 因为过M作抛物线的两条弦A,MB 因为 在上所以+ =1 有∠AMF=∠BMF 琴面积，，b,e为三 即y6- 所以直线MA,WB的预料角互补 边长 解得6=3或6=-（去） 即直线A,MB的斜率之和为0 所以直线DB过定点(0，-之)】 四而体：四而 有内切珠，其心 以衡圆C的方程为 设A(任，B停小≠ 例4已知双曲线2-，2=2的左，右焦点分 4 别为F,F:,过点F,的动直与双曲相交于 内心，内心是各二面 (2)证明：设直线AE方程为y=(x 直线AM的斜率= 1-2 1+2 4,B两点求在x轴上是否存在定点C,使C 角的平分而的交点 32 ,代入精阀方程得(3+4址)x2+4(3-2水)x+ -1 丽为常数若存在，求出点C的坐标：若不存在。 内心到各面距离为 直规R的斜率kw= 4 内树球的径 4 -12=0 请明理由。 为+21 解析：假设在x姓上存在定点C(侧.0) 因此4 R=5+5+ 设EFr,).因为点A1.》在 =0,整理得y,+为=-4。 使C,C屈为常数 所以直线AB的斜率 当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程为 其中V为面 - -12 y=x-2)(k+±1). 的集积S,S,S 椭圆上，所以= 3+4 ,Jx=红+ 4 =-1 代人 量2得 为各面面积 (1-2)x2+42x-(42+2)=0 (3)三角形：三 32 -k. 放直线AB的斜事为定值 设A(),B() 又直线E的斜率与AF的率互为相反数 角形的三条中线交 在上式中以-k代.可得 例3已知新c: + =1(>>0 2-1 一杰，称为重心， 4侵◆-2 的离心为号抛物线2p>0的点 则C.c 重心到点的距 (-m)(-m)+E(1-2)(-2】 为对应中我的子 3+4 =-,++k 是（行，0），M(告b)是抛物线上的点，H为直 =(K+1)马-(2+m)(,+￥)+4k2+m 找y-4上任 =+4 +2_422+m】+4报+m 四面体：四面 一点，A,B分别为椭圆C的上 4-1 的四条中残（顶点与 所以直线F的斜率如一 顶点.且A,BH三点的连线可以构成三角形 (1)求椭圆C的方程： =21-2+ 相对面的童心的缝 -k,+x)+2站 (2)直线HA.HB与莉圆C的另一交点分别 因为C属.C店是与素无关的常数 线)变于一点，称为 为点D,E,证明：直线DE过定点 所以4-4m=0,即m=1. 心，重心到项点的 即直线EF的斜率为定值，其植为号 解析：(1)由抛物线焦点为（分，0） 此时c.c店=-1 离为对应中线的 例2已知物线C:,2=2x(n>0)的您 当AB与x轴垂直时 得地物线方程为y2=2 为F,以抛物线上一动点为圆心的圆经过点 则点A,B的坐标分别为(2,2)，(2 F,且圆M的面积的最小值为T =2 2). (1)求p的值 2× 解得 此时.c=(1,2)·(1,-2)=-1 (2)当点M的横坐标为1且位第一象 故在x轴上存在定点C(1,0).使CC为 时，过M作抛物线的两条弦A,B。满足 =+2 常 N 烟·装水澡 6.p =2. 画 O =(x.y).FP (x+.y). ：电话精0(0.0)。(-3。！) 2+6 0 (B)2 :: -7-20..04-0-2.0 y=2x-2y=2-2r 1+i= 三水)水之) 2650. · 28t2.00. -的最小值为84.则双曲线 圆锥曲线的方程 ”级生在支意-点名片 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 的离心率e的取值道用是 核心素养综合测评 (A)(1,3] (B)(3,+) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (C)1.2 (D)(2,+x) 。数理报社试题研究中心 12.若世物线2=2r(p>0)上的点A(,-3》到其焦点的 1已知圆c号1a>6>0)的一条新在的直线方 离是《到y轴距离的2倍，则P一 第1卷选择题（共58分） 程是x-y+5■0，的中点坐标是W(-4,1).则椭圆C的离心率 B.过点(2,2)且与号 一y产=1有相同近线的双曲线方程为 一、单项选择题：本愿共8小题，每小题5分，共40分 是 L若直线+2+4=0过椭网后+台=1a>6>0)的阅 (a)分 8号 e马 D号 14.如图1，F,F分别是椭圆的左 右焦点，点P是以F,F2为直径的圆与榴 轴增点和左顶点，则翻圆方程为 &已知椭圆C:号+号=1的左右焦点分州为R,5,点M在 圆在第一象限大的交点.延长PF与桶圆 高中数学。 (号+5=1 (国后+号 交于点Q.若PF,=41F:1,则直线 C上，点N的坐标为(3,5).则MN1+M,的取值国为 P下，的斜率为 o管后 (D后·号 四、解答通：本题共5小题，共7分 (A)[4+6.6+后 (B)[6◆6,9+后 2若双线-舌=1e>0>0)的离心率为2，期双 15.(13分)设点P(,y)(y≥0)为平面直角坐标系x0内的 (G)[0,4+6] (D)[30,6◆6] 个动点（其中0为生标原点），点P到定点M(0,)的距离比点P到 选择性必修第一册人教A版核心素养综合测评 线的新近线方程为 二、多项选择愿：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.已知抛物线C:2=r的您点为F,点M()在C上，若 x轴的陌离大号 性必修第 (A)厅x±y=0 (B)x±5y=0 (D)5x±y■0 LM0F=45(0为坐标原点)， (C)y0 (1)求点P的轨迹方程： (A)a=4 (B)%=4 3直线￥=2抛物线C:y2=2r(p>0)交干D,E两点，若0D (2)若直线y=红+1与点P的轨迹相交于A,B两点，且 (C)I MFI=5 0泥=0，其中0为坐标原点，则C的准线方程为 (DmoL0PM=号 A ( 》 AB1=26,求实数的值 10.已知P是圆:号+=1上一点，,分别为其左，右 (C)x=-1 (D)x=-2 焦点，且△F,PF的面积为3，则下列说法正跳的是 ( 4已知点4(-1.0.1.0)为级线话-=1(>0b> (A)P点组坐标为3 (B)LFPE>是 版核心素养综合测评 0)的左，右顶点，点在双曲线上，AABM为等三角形，且顶角为 120,则该双曲线的标准方程为 (G)△FPE的周长为4(2+1) (A2-=1 (B)2-号=1 (D)△F,P5,的内砌调半径为（万-） (ce-号=1 (D2-y2=1 1过双曲线5-=1(>0,6>0)的右点F作新证 5物线y子=4标的焦点为F,准线为1，经过点F且韩率为的 找的垂线，交y轴于点P,垂足为点1，若F,2P则( 直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,M状上【，重足为点K (A)直线FP与网x2+2=a2相切 则△AKF的面积是 (E2示+子1有相酮的瓶点 (A)4 (B)35 (C)45 (D)8 （G)E的新近方为=号 6下，R分别为双曲线号-卡=1(a>0,6≥0)的左右焦点 (D)E的离心率为5