第三章 圆锥曲线的方程（举一反三讲义·培优篇）高二数学人教A版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程（举一反三讲义·培优篇） 【人教A版】 题型1 椭圆中的焦点三角形问题 1．（2025·广西柳州·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于B、C两点，则的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【解题思路】根据条件可得，然后根据椭圆的定义求解即可. 【解答过程】由椭圆，得， 过且垂直于的直线与椭圆交于B、C两点， 所以为线段的垂直平分线， 得， 则的周长为. 故选：B.    2．（2025·广东深圳·模拟预测）设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由椭圆标准方程可得，，，根据题意得或，结合图形，利用椭圆的定义求出的三边长，即可求得其面积 【解答过程】由椭圆：可得，， ， 因为上一点且在第一象限，则 由为等腰三角形，则可得或， 当时，， 此时的面积为：； 当时，，不合题意，舍去. 综上，可得的面积为. 故选：C．    3．（24-25高二上·河北石家庄·期中）设点为椭圆上一点，，分别为的左、右焦点，且 ，则的面积为 . 【答案】 【解题思路】利用给定条件，利用椭圆的定义及余弦定理求出，再利用三角形面积公式计算即得. 【解答过程】依题意，椭圆的半焦距， 在中，，， ， 由余弦定理得， 即， 则，所以. 故答案为：. 4．（24-25高二上·河北衡水·期末）已知点是椭圆上的一点，和是焦点，焦距为，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求出、的值，可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程； （2）利用椭圆定义结合余弦定理可求得的值，结合三角形的面积公式可求得的面积. 【解答过程】（1）因为椭圆的焦距为，得， 又，则，得， 因此，椭圆的标准方程为. （2）因为点是椭圆上的一点，则有， 可得，① 又由结合余弦定理，得② ①②可得，即， 则的面积. 5．（24-25高二上·广东广州·期中）设椭圆的左，右焦点是，离心率为，上顶点坐标为 (1)求椭圆的方程； (2)设P为椭圆上一点，且，求焦点三角形的周长和面积． 【答案】(1); (2),. 【解题思路】（1）由椭圆的上顶点坐标求得由离心率及椭圆中的关系可求得，从而得椭圆的方程； （2）根据椭圆的定义得及焦距长可得，由平方及余弦定理解焦点三角形，得，再结合三角形面积公式求得. 【解答过程】（1）由题意知，解得，. ∴椭圆的方程为. （2）由（1）知，∴ 又∵P为椭圆上一点，∴， ∴焦点三角形的周长. 在△中，由余弦定理，得 即 ① 由平方，得 ② ②-①，整理得， 所以三角形的面积. 题型2 椭圆中的最值问题 1．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设出点坐标，利用坐标表示出并进行化简，再根据椭圆的有界性结合二次函数的性质求解出的最大值. 【解答过程】设，，且， 所以 ， 又因为，所以当时取最大值， 所以， 故选：C. 2．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用椭圆的定义，将转化为，结合图形，得最小值. 【解答过程】如图，M为椭圆C上任意一点，则， 又因为N为圆E：上任意一点， ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 由题意知，，，则， 所以的最小值为. 故选：B．    3．（2025·宁夏银川·二模）已知，P是椭圆上的任意一点，则的最大值为 . 【答案】 【解题思路】先根据条件得，再利用基本不等式求最值. 【解答过程】由已知可得为椭圆的焦点， 根据椭圆定义知， 所以， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 故答案为：. 4．（24-25高二·全国·课后作业）已知P是椭圆上一点，，求的最小值与最大值． 【答案】最小值为，最大值为11 【解题思路】设点P的坐标为，则，由 ，利用二次函数的性质求解. 【解答过程】因为P是椭圆上一点， 所以，且椭圆焦点在y轴上， 点P是椭圆上任意一点，设点P的坐标为， 则， 所以， ， ， 因为， 当时，， 所以 当时， . 5．（24-25高二·全国·课后作业）（1）已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，求的最大值； （2）已知，是椭圆的左焦点，点是椭圆上的动点，求的最大值和最小值． 【答案】（1）100；（2）的最大值为，最小值为． 【解题思路】（1）利用椭圆定义和基本不等式求的最值；（2）求的最值时，利用椭圆的定义将其转化为求的最值，显然当，，三点共线时取得最值． 【解答过程】（1）∵，，当且仅当时取等号， ∴，当且仅当时取等号， ∴的最大值为100． （2）设为椭圆的右焦点，可化为， 由已知，得，∴， ∴． ①当时，有，等号成立时，最大，此时点是射线与椭圆的交点，的最大值是． ②当时，有，等号成立时，最小，此时点是射线与椭圆的交点，的最小值是． 综上，可知的最大值为，最小值为． 题型3 双曲线中的焦点三角形问题 1．（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【解题思路】利用双曲线的定义可求得的周长. 【解答过程】如图，由题意可得，的周长为， 由双曲线的定义可得 ，又 ， 所以 ， 所以的周长为12． 故选：B.    2．（2025·江西·二模）过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解题思路】设双曲线的左焦点为，连接、，根据双曲线的对称性得到，设，，结合双曲线的定义及余弦定理求出，再由面积公式计算可得. 【解答过程】设双曲线的左焦点为，连接、，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 由，则， 不妨设在双曲线的右支上，设，，又， 由双曲线的定义可得， 在中由余弦定理可得，， 即，解得， 所以. 故选：D. 3．（2025高二·全国·专题练习）已知双曲线的右焦点为，为其左支上任意一点，点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【解题思路】根据双曲线的定义得到焦点坐标和，通过分析当，，三点共线（点在图中点处）时，周长最小，计算得到结果； 【解答过程】如图，的周长，， 因为，所以， 当，，三点共线（点在图中点处）时，周长最小， ，， 此时． 所以答案为：. 4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的左、右焦点分别为． (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）求出椭圆的焦点坐标，再利用待定法求出双曲线方程. （2）利用双曲线定义，结合余弦定理、三角形面积公式求解. 【解答过程】（1）椭圆的焦点为和， 依题意，，解得，所以双曲线的标准方程为. （2）设，，则由双曲线的定义得， 在中，， 则， 所以的面积. 5．（24-25高一上·上海·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为. (1)若的实轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程； (2)已知是双曲线的左支上一点，）.当周长最小时，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用实轴长，和焦距求出渐近线. （2）利用双曲线定义，及两点之间线段最短，得到点在线段上，得到直线的方程，再代入得到面积. 【解答过程】（1）令双曲线的半焦距为，依题意，， 由，得，则，所以双曲线的渐近线方程为. （2）由双曲线的定义可得， 所以的周长为, 由于为定值，要使的周长最小，则应使最小为， 即点在线段上, ∵，所以直线的方程为：， 即，将其代入，解得或（舍去）， 因此点.所以. 题型4 双曲线中的最值问题 1．（25-26高二上·全国·课后作业）已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】D 【解题思路】由双曲线的定义得，由三角不等式得出，即可求解． 【解答过程】如图，设双曲线的右焦点为，连接，则， 因为， 而，所以 ， 当三点共线且在之间时等号成立，故的最大值是1． 故选：D． 2．（2025高二·全国·专题练习）已知是双曲线的下焦点，，是双曲线上支上的动点，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【解题思路】求出上焦点的坐标，由双曲线的定义可得，求得的值，即得结果． 【解答过程】由得，， ， 所以下焦点，上焦点为， 由双曲线的定义得 ， 当，，三点共线时，取得最小值9． 故选：A． 3．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为 . 【答案】 【解题思路】利用双曲线定义，将转化为，结合圆的性质求解即可. 【解答过程】设双曲线的左焦点为，连接，. 由题知，实轴长， 由双曲线定义知，， 则 ， 当P，D，三点共线时，取得最小值， 且最小值为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知双曲线的离心率为，为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为. (1)求双曲线的方程; (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 【答案】(1) (2)23 【解题思路】（1）利用点到直线的距离公式和离心率列方程求出，，，即可得到双曲线的方程； （2）根据双曲线的定义将的最小值转化为的最小值，然后根据两点之间线段最短求最小值即可. 【解答过程】（1）由题意知，解得， 则， 所以双曲线的方程为. （2）设双曲线的左焦点为，则， 由双曲线的定义知：，则， 可得， 当，，三点共线时，最小，且最小值为. 故的最小值为. 5．（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知双曲线 的实轴长为 4，离心率等于 2 . (1)求双曲线的方程； (2)已知定点 ，若双曲线的左焦点为，为双曲线右支上任意一点，求的最小值. 【答案】(1) (2)9 【解题思路】（1）利用待定系数法求双曲线方程； （2）首先利用双曲线的定义，结合数形结合，求距离和的最小值. 【解答过程】（1）由条件可知，，，得，， 所以双曲线方程为：； （2）∵是双曲线的左焦点， ∴，，，， 设双曲线的右焦点为，则， 由双曲线的定义可得，则， 所以 ，    当且仅当三点共线时，等号成立， 因此，的最小值为9. 题型5 与抛物线有关的最值问题 1．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知P是抛物线上的一个动点，那么点P到直线的距离与到该抛物线准线距离之和的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据抛物线的定义把点到的距离转化到点到焦点的距离，就是求点到直线的距离. 【解答过程】设过点分别向准线和作垂线，垂足分别为， 因为抛物线的焦点，由抛物线的定义得：， 所以只需要求最小即可. 当且仅当三点共线时最小，且最小值为点到直线的距离，即. 故选：B. 2．（2025·北京大兴·三模）已知点是准线为的抛物线上一动点，于点，点，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】由抛物线的性质，结合抛物线的定义求解即可． 【解答过程】由题意抛物线的焦点为， 由抛物线的定义可得：， 则， 当且仅当、、三点共线时取等号． 即的最小值是3． 故选：C. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知点及抛物线上一动点，则 的最小值是 ． 【答案】2 【解题思路】根据抛物线的定义将点到焦点的距离转化为到准线的距离，再根据三点共线时距离和最短求出结果即可. 【解答过程】∵即， ∴焦点为，准线为：， 由抛物线的定义，点到焦点的距离等于到准线的距离，即， ∴， ∵当三点共线时，最小，此时， ∴， 故答案为：2. 4．（2025高三·全国·专题练习）求抛物线上一点到两点的距离之和的最小值． 【答案】 【解题思路】数形结合，根据抛物线的定义，结合两点间线段最短进行求解即可. 【解答过程】由抛物线的标准方程可知，点是该抛物线的焦点，准线方程为， 过作直线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义可知：， 于是， 所以当三点共线时，到两点的距离之和最小，最小值为. 5．（24-25高二·上海·随堂练习）在两个条件①点；②点中任选一个，补充在下面的问题中．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在此抛物线上移动，求： (1)点P到点F与它到________的距离之和的最小值； (2)点P到点与它到准线l的距离之和的最小值； (3)点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）选①：因点在抛物线的内部，由抛物线的定义，点P到点F与它到点B的距离之和的最小值就是点B到准线l的距离，即可求出；选②：因点在抛物线外部，所以最小值就是点B到点F的距离，由两点距离公式即可求出； （2）点P到点与它到准线l的距离之和的最小值即为的最小值，即为，由两点距离公式即可求出； （3）点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值，即为点F到直线的距离，由点到直线距离公式即可求得. 【解答过程】（1）因为抛物线的焦点F的坐标,准线l的方程为, 选①：因点在抛物线的内部， 根据抛物线的定义，点P到焦点F的距离即为点P到准线l的距离, 所以最小值就是点B到准线l的距离， 故最小值是； 选②：因点在抛物线外部，所以最小值就是点B到点F的距离， 故最小值是. （2） 因为点在准线l上， 点P到准线l的距离即为点P到焦点F的距离， 所以点P到点与它到准线l的距离之和的最小值即为的最小值， 则最小值为. （3） 点P到准线l的距离即为点P到焦点F的距离， 所以点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值， 即为点F到直线的距离，由点到直线距离公式得． 题型6 椭圆的弦长与“中点弦”问题 1．（24-25高二上·重庆·期末）已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设直线方程，联立直线与椭圆，根据的面积求出，利用弦长公式求出弦长. 【解答过程】如图： 由题，不妨设，直线斜率存在， 设直线方程， 联立， ， ， 解得， 故， 故选：D. 2．（24-25高二上·河北廊坊·期末）已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】判断点在椭圆内，利用点差法求出直线的斜率即可得其方程. 【解答过程】椭圆，由，得点在椭圆内，设， 则，两式相减得， 而，因此，即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 故选：A. 3．（24-25高二上·甘肃·期末）已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则 ． 【答案】 【解题思路】利用“点差法”求得直线的斜率，写出直线方程，联立方程组结合弦长公式即可求解. 【解答过程】设, 则，两式作差可得：， 因为为线段的中点，所以， 则， 所以直线的方程为， 联立，则， 所以， 故答案为：. 4．（25-26高二上·全国·课后作业）已知椭圆，其中离心率为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）根据离心率和过点列方程组求解即可； （2）分直线l斜率存在和不存在时讨论，当直线l斜率存在时，设其方程为，与椭圆方程联立，利用弦长公式求出弦长，列方程求解即可． 【解答过程】（1）由题意得，解得，， ∴椭圆的标准方程为． （2）分直线斜率是否存在讨论： 当斜率不存在时，直线方程为，此时截得的弦长为，不符合题意； 当斜率存在时，设直线的方程为， 联立得， 设直线与椭圆的交点为，， 则，，， 则 ， 化简得, 解得, ∴直线的方程为． 综上，或. 5．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设，根据条件得出，化简即可. （2）设直线方程，与抛物线方程联立，得出和，再利用中点坐标公式即可求得. 【解答过程】（1）设，则由题意可得， 化简得，故的方程为. （2）由题意可知，直线的斜率不为0， 故设直线 ，， ，得， 则， 则， 因线段的中点坐标为， 则，， 解得，经检验，满足， 则直线的方程为. 题型7 双曲线的弦长与“中点弦”问题 1．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期末）过双曲线的右焦点作与轴垂直的直线，交双曲线于、两点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出直线的方程，将直线的方程与双曲线的方程联立，求出交点坐标，即可求得的值. 【解答过程】在双曲线中，，，则， 所以，双曲线的右焦点坐标为， 由题意可知，直线的方程为，联立，解得， 可取、，故. 故选：B. 2．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用点差法可得直线斜率，进而可得直线方程. 【解答过程】设弦端点，， 由，在双曲线上， 则， 两式做差可得， 即， 又弦被点平分， 则，代入上式可得， 则， 即直线方程为，化简可得， 故选：D. 3．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）设是双曲线上的两点，且线段的中点是，则直线的斜率为 ． 【答案】1 【解题思路】设，通过点差法即可求解； 【解答过程】设，则的中点 在双曲线上，，两式相减得， 则，则． 此时，即，联立方程，消去y得， 此时，故直线与双曲线有两个交点. 故答案为：1. 4．（24-25高二上·甘肃临夏·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. (1)求的方程； (2)过点作直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求这条直线的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意可得，进而求解即可； （2）分直线斜率不存在和存在两种情况，结合点差法求解即可. 【解答过程】（1）由题意知，， 解得，故双曲线的方程为. （2）①当过点的直线斜率不存在时，若点为的中点， 则点必在轴上，这与矛盾； ②当过点的直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为， 设，因为点为线段的中点， 所以， 因为在双曲线上，所以， 则， 所以， 则所求直线方程为，即.经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. 5．（24-25高二上·四川达州·期末）已知中心在坐标原点的双曲线的右焦点坐标，且离心率. (1)求双曲线的标准方程和渐近线方程； (2)过双曲线右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，求. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）由题意可得的值，再由离心率，可得的值，进而求出的值，由此可求出双曲线的方程以及渐近线方程； （2）由题意得到直线方程，与双曲线方程联立，利用弦长公式计算即可. 【解答过程】（1）由题意可得，可得，且焦点在轴上， 所以， 所以双曲线的方程为：；渐近线的方程为：； （2）过双曲线右焦点且倾斜角为的直线方程为：， 联立双曲线方程可得：， 所以， 则. 题型8 抛物线的弦长与焦点弦问题 1．（24-25高二上·河南南阳·期末）过抛物线的焦点的直线交于两点，其中点在第一象限，且，则（    ） A． B．6 C． D．8 【答案】A 【解题思路】根据抛物线焦半径公式先确定点坐标，从而可得直线的方程，与抛物线方程联立求弦长. 【解答过程】易知的斜率存在，设， 则，得， 因为点在上，所以， 又点在第一象限，故，所以， 又，所以， 所以直线的方程为，即． 联立，得，则， 由抛物线的定义，得． 故选：A. 2．（24-25高二上·广东广州·期末）斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用直线过抛物线焦点以及斜率为，表示出直线方程，然后联立抛物线方程，结合韦达定理和焦点弦性质，即可求出线段长度. 【解答过程】由题知，抛物线方程为， 所以抛物线焦点为， 所以该直线方程为， 即， 联立，得， 设，则， 所以. 故选：A. 3．（24-25高二上·湖南郴州·期末）已知抛物线，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则 ． 【答案】 【解题思路】首先求出直线与轴的交点坐标，即可得到抛物线方程，再设，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，再由焦点弦公式计算可得. 【解答过程】直线过点，又抛物线的焦点坐标为， 所以，解得，所以抛物线，设，， 由，消去可得，显然， 所以，则. 故答案为：. 4．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）已知抛物线的焦点为F，是C上一点，，且的面积为4． (1)求p的值； (2)设点P在第一象限，过点的直线交C于两点，直线分别与y轴相交于两点，求线段的中点坐标． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据抛物线定义表示，可得，，利用三角形面积可求的值. （2）设过点的直线方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理表示两根和与积，表示直线方程，计算点纵坐标，求和可得结果. 【解答过程】（1）由题意得，，，得， ∴，故， ∴的面积，解得． （2） 由（1）得，，. 设过点的直线方程为，， 由，得， 由，得或，且， ∵点，∴设直线的方程为， 令，得， ∴，同理， ∴， 故线段的中点坐标为. 5．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于点，. (1)若直线的斜率为，求； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）直线的方程为，联立，求出两根之和，两根之积，利用弦长公式得到； （2）当直线的斜率为0时，不合要求，设直线的方程为，与联立得，得到两根之和，两根之积，计算出，得到，得到垂直关系. 【解答过程】（1）直线的方程为， 联立得，显然， 设，则， 则； （2）当直线的斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去， 设直线的方程为， 与联立得，显然， 设，则， 则， 故，所以，即. 题型9 圆锥曲线中的面积问题 1．（24-25高二上·甘肃兰州·期末）已知是双曲线的左焦点，过倾斜角为的直线与双曲线渐近线相交于、两点，为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】不妨设点在直线上，点在直线上，将直线的方程与两渐近线方程联立，求出点、的坐标，分析可知，，求出、的值，利用三角形的面积公式可求得的面积. 【解答过程】在双曲线中，，，则， 则，双曲线的渐近线方程为， 不妨设点在直线上，点在直线上， 由题意可知，直线的方程为， 联立可得，即点， 联立可得，即点， ， 因为，，则，所以，， 且，所以，， 故选：D. 2．（24-25高二下·湖北荆门·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于点A，B两点，若面积是的2倍，则（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据面积公式结合定义计算求解得出或，再联立方程结合判别式计算求解. 【解答过程】设直线与x轴的交点为M，则． 所以，． 因为，所以． 由得，即，，． 所以，解得或． 因为与C有两个交点，联立消y得， 则，解得．所以 故选：C. 3．（24-25高二上·山西太原·期末）已知过抛物线C：（）的焦点F且斜率为的直线与C相交于A，B两个不同点，若，则（O是坐标原点）的面积为 . 【答案】1 【解题思路】设直线方程为，设，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理结合弦长公式求得，再求出到直线的距离后，由面积公式计算． 【解答过程】由题意，直线方程为，设， 由得， 所以， 又， 所以，解得（负值舍去），即直线方程为， 所以到直线的距离为， ， 故答案为：1. 4．（24-25高二上·江苏南通·期末）设椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于点，且轴. (1)求的周长； (2)设点在上，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题干的条件求出，进而得到.利用椭圆的对称性以及两点之间的距离公式即可求得结果； （2）由（1）知，设出与直线平行的直线，与椭圆联立使得判别式等于0，即可求得直线，再利用平行线的距离公式与面积公式即可求得结果. 【解答过程】（1） 已知椭圆的右焦点为，因为， 所以,因为轴，把代入椭圆方程中，得到， 不妨设，因为关于原点对称，则， 所以， 由椭圆的对称性可知：,所以， 所以的周长为； （2） 由（1）得， 由，可得直线的方程为：， 当的面积的最大值时，就是椭圆上的点到直线的距离最大时， 即与直线平行且与椭圆相切时，如上图，设， 联立，整理得：， 因为直线与椭圆相切，所以判别式，解得：，不妨取，所以直线， 则两平行线的距离， 故的面积的最大值. 5．（2025·黑龙江·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，渐近线方程为． (1)求的方程； (2)设轴上方的点，分别在的左支与右支上，若，求四边形的面积． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据给定条件，求出渐近线方程，进而求出即得的方程. （2）设，利用向量关系表示出点坐标，再建立方程组求出点坐标即可求出面积. 【解答过程】（1）双曲线的渐近线方程为，依题意，，半焦距， 而，解得， 所以的方程为. （2）设，而，由，得， 依题意，，解得，即， ，， 等腰底边上的高， 又四边形为梯形，则， 所以四边形的面积为. 题型10 圆锥曲线中的参数范围及最值问题 1．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆，过点且斜率为的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到焦点的距离的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由点差法结合已知可得，进而求出，根据椭圆上一点到焦点的距离的最小值为求得结果. 【解答过程】设，则， 两式作差得，即，即①， 因为点恰好是的中点，所以， 又因为直线的斜率为， 将它们代入①式得，解得， 又，则， 所以椭圆上一点到焦点的距离的最小值为． 故选：B． 2．（24-25高二上·浙江金华·期末）已知直线与双曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点，则当运动时，点到两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意首先得点在双曲线上面运动，画出图形结合双曲线定义以及三角形三边关系分类讨论即可求解. 【解答过程】联立，化简并整理得， 由题意，化简得， 解得， 所以过点且与垂直的直线方程为， 在该直线方程中分别令，依次解得， 所以， 即点在双曲线上面运动，双曲线的图象如图所示：    若在右支上面，可以发现点为的右焦点，不妨设其左焦点为， 所以， 等号成立当且仅当点与点重合，其中点为线段与双曲线右支的焦点， 若在左支上面，如图所示：    所以， 等号成立当且仅当点与点重合，其中点为线段与双曲线左支的焦点， 综上所述，点到两点距离之和的最小值为. 故选：A. 3．（2025·全国·模拟预测）已知、两点是双曲线的左、右顶点，点是的右焦点，点是过点且与实轴垂直的直线上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【解题思路】分两种情况讨论，①当点与点重合时，直接求出的值；②当点不与点重合时，不妨设点为第一象限内的一点，设点，利用两角差的正切公式结合基本不等式可求得的取值范围，可求得的取值范围，再结合余弦函数的单调性可求得的最小值. 【解答过程】当点与点重合时，，此时，， 当点不与点重合时，不妨设点为第一象限内的一点，如下图所示： 在双曲线中，，，， 设点，则，， 所以， ，当且仅当时，即当时，等号成立， 因为，此时，为锐角，则， 所以，，即的最小值为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆，、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点．若的周长为，且的最小值为． (1)求的方程； (2)设点，过的直线与椭圆交于、两点，记直线、的斜率分别为、，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据椭圆的定义个焦半径公式可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出的值，由此可得出椭圆的方程； （2）分两种情况讨论，①直线与轴重合，求出的值；②直线不与轴重合时，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可求出的取值范围，综合可得答案. 【解答过程】（1）因为是椭圆上任意一点，且的周长为，则，可得， 设点，则且，所以，， 易知，则 ， 所以，的最小值为，所以，，解得，则， 因此，椭圆的方程为. （2）如下图所示： 若直线与轴重合时，此时，，则， 若直线不与轴重合时，设直线的方程为，设点、， 联立可得， 则， 由韦达定理可得，， 所以， . 综上所述，的取值范围是. 5．（2025·四川泸州·二模）设F为抛物线 的焦点，点P在H上，点，若． (1)求的方程； (2)过点F作直线l交H于A、B两点，过点B作x轴的平行线与H的准线交于点C，过点A作直线CF的垂线与H的另一交点为D，直线CB与AD交于点G，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先由得点的横坐标，再利用抛物线的定义即可得解； （2）联立直线与抛物线的方程，得到，再根据题意依次求得点与点的坐标，从而将转化为关于的表达式，从而得解. 【解答过程】（1）依题意，点的坐标为， 又，，所以点的横坐标为， 由拋物线的定义得，所以， 所以拋物线的方程为. （2）由（1）知点的坐标为，设直线的方程为， 联立，消去，得，易知， 设，则，故， 因为的准线为，因为直线平行于轴， 所以点的坐标为，则直线的斜率为， 所以直线的斜率为，其方程为， 因为点的纵坐标为， 所以点的横坐标为， 所以 ， 因为，则，所以， 即的取值范围是. 题型11 圆锥曲线中的定点、定值问题 1．（2025·安徽马鞍山·一模）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若A，B为椭圆C上的两点，且满足，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）首先根据椭圆的离心率和椭圆上一点的坐标求出椭圆的标准方程； （2）分直线斜率不存在和存在两种情况进行讨论，利用向量垂直的性质得到关于参数的方程，进而求出直线所过的定点. 【解答过程】（1）因为椭圆C离心率为，所以，    又因为点在椭圆C上，所以，解得，，    椭圆C的标准方程为： （2）①当斜率不存在时，设的方程为， 则，，，， 因为，所以，    因为，所以，    所以，解得或（舍）；    ②当斜率存在时，设的方程为， 联立消去y得，    即， 设，则，， ，，    因为，所以， 即，    代入化简得， 即，    当时，，此时方程为，过定点，舍去；    当时，，此时方程为，过定点．    综上，直线过定点．    2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知点A，B分别是双曲线的上、下顶点，点P满足． (1)求点P的轨迹方程； (2)是否存在点P，使得过点P的动直线l交双曲线C于M，N两点，且与的斜率之和为定值？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，或. 【解题思路】（1）表示顶点坐标，设，利用条件建立方程，即可得到结果. （2）设动直线方程以及直线斜率，联立直线与双曲线方程表示点坐标，代入直线方程可构造出都满足的一元二次方程，利用斜率之和为定值解决问题. 【解答过程】（1）由题意得，，设， 由，得，整理得， 所以点的轨迹方程为. （2）存在，理由如下： 设动直线方程为，直线斜率为，直线斜率为， 则直线，直线，， 由得，，点的横坐标，纵坐标， 由点在动直线上，得， 整理得，同理得， 因此是方程的两个根，， 则为定值，令，则，代入动直线方程得， ，令，得， 代入动直线方程得，，即， 点代入（1）中轨迹方程得，，解得， 所以点的坐标为或. 3．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知椭圆的离心率为，点在上，过作直线与交于、两点，直线、的斜率分别为、． (1)求的标准方程； (2)判断是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，-2 【解题思路】（1）由题意列方程组，求出的值，即得答案； （2）设直线l的方程并联立椭圆方程，可得根与系数的关系，求出的表达式，结合根与系数的关系化简，即得结论. 【解答过程】（1）由题意可得，解得， 故的标准方程为； （2）由题意知直线l的斜率存在，设其方程为，设， 联立得，得，需满足， 则， 则 ， 即为定值-2. 4．（25-26高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，过的直线交于两点，，直线与的另一个交点分别为． (1)判断直线的斜率与直线的斜率之比是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由． (2)证明：直线经过定点． 【答案】(1)是，2 (2)证明见解析 【解题思路】（1）设直线，斜率分别为，然后根据题意利用韦达定理把表示出来作比值即可； （2）结合（1）设直线，利用已知条件求出设直线即可. 【解答过程】（1）设直线，斜率分别为，则为定值． 理由如下：如图， 易知，设，直线， 联立得， ．① ， 因为，所以， 所以点为线段OD的中点， 因为，所以， 故直线， 代入抛物线方程可得：， 则．② 联立①②得，同理可得， 所以， 所以，为定值． （2）由（1）知． ， 因为N，B，D三点共线，所以， 化简得， 所以，即， 所以． 设直线， 由得， ， 解得，所以直线方程为：， 当， 所以直线过定点． 5．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知双曲线：的一条渐近线为l：，且右焦点到直线的距离为2． (1)求双曲线的方程； (2)已知是的右顶点，、是上与不重合的两点，且，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据点到直线的距离可求，再根据的关系及可求的值，得双曲线标准方程. （2）先讨论直线无斜率时，求出直线过点，当直线有斜率时，设直线：，与双曲线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理可得，，，再根据，可求的关系，进而可得直线经过的定点，排除不合题意的即可得问题答案. 【解答过程】（1）双曲线的右焦点，到直线的距离为2， 所以 ，又 . 所以双曲线：. （2）如图： 易知. 当直线的斜率不存在时，设直线：. 不防取，， 由，所以 . 所以或（舍去）. 所以直线过点. 当直线的斜率存在时，设直线：. 由，消去得：（）. 由 . 设，， 则，， 所以 , 由，所以 ， 即， 所以 ， 所以 或. 由得，所以直线过定点，舍去； 由得，所以直线过定点. 综上可得：直线过定点. 题型12 圆锥曲线中的定直线问题 1．（24-25高二上·山西运城·期末）已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于两点，求证：的内心在一条定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）由题意可得，代入点的坐标可得，求解可得椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为，联立方程组，由韦达定理可得，设直线的斜率分别为，计算可得恒成立，进而可得结论. 【解答过程】（1）因为椭圆两个焦点为，所以，则， 又点在椭圆上，所以.即， 两式联立，解得，所以椭圆的标准方程为. （2）由题意可知直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为， 联立，得， 则，得， 设，则， 设直线的斜率分别为. 所以， 因为， 所以恒成立，则直线的倾斜角互补，即的平分线总垂直于轴， 所以的内心在定直线上. 2．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知双曲线的中心为坐标原点，左、右顶点分别为，，虚轴长为6．    (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与的右支交于，两点，若直线与交于点．证明：点在定直线上； 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）由直接求出双曲线方程即可； （2）设直线方程和设，直曲联立表示出韦达定理，利用点在双曲线上代入化简表示出直线方程，联立两方程化简即可； 【解答过程】（1）设双曲线的标准方程为， 依题意有， 所以双曲线方程为. （2）    (i)证明:设直线方程为:，设， 联立方程，消去得:， ， ， 是双曲线上的点， ， 直线，同理直线， 联立方程得 ， 解得，故点在定直线上. 3．（24-25高三上·黑龙江黑河·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，且过点． (1)求C的方程； (2)若直线与C交于M，N两点，直线与相交于点G，证明：点G在定直线上，并求出此定直线的方程． 【答案】(1)； (2)证明见解析，. 【解题思路】（1）由椭圆的长轴长及所过的点列方程组求参数，即可得椭圆方程. （2）设则，，联立直线l与椭圆方程，由判别式、韦达定理求k的范围及、关于k的表达式，再联立直线与求交点坐标，即可证结论并确定直线方程. 【解答过程】（1）因为，所以，解得． 因为C过点，所以，解得． 所以C的方程为． （2）由题意，设，则，． 由，整理得，则， 解得且，，． 由得： ， 所以点G在定直线上． 4．（24-25高二上·湖北·期末）已知抛物线的焦点为，设动点的坐标为． (1)若，求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程； (2)设过动点的两条直线均与相切，且的斜率分别为，满足．证明：动点在一条定直线上． 【答案】(1)或； (2)证明见解析 【解题思路】（1）分别讨论直线斜率是否存在，利用判别式为0即可得直线方程； （2）设出直线方程并利用韦达定理可得，结合即可求出动点在直线上. 【解答过程】（1）当经过点P的直线不存在斜率时，直线方程即为， 与抛物线抛物线C：有且只有一个公共点，符合题意， 当经过点P的直线存在斜率时，不妨设直线方程为， 代入抛物线方程化简得：， ，即，直线方程即为 因此所求直线方程为或； （2）证明：设过点P与抛物线C的相切的切线方程为， 由，消去整理得， 因为与抛物线C相切，所以， 即． 又因为，是方程的两根，则有， 由 ，可得，即 从而动点在直线上. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，为的右支上一点，且． (1)求的方程； (2)设的左、右顶点分别为，直线与交于两点，与轴交于点，直线与交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1)． (2)证明见解析 【解题思路】（1）由双曲线定义将条件转化为最小值，从而利用求最小值解即可； （2）由直线过设方程联立椭圆方程利用韦达定理得坐标关系式，再设直线与方程并联立求得点坐标的表达式，利用点横、纵坐标关系可证明点在定直线上. 【解答过程】（1）由题知，即， 又为的右支上一点，则， 所以 ， 故当最小时，最小， 而，故， 即，故，故的方程为． （2）    当直线的斜率为0时，不满足题意； 当直线的斜率不为0时，由过点，可设其方程为， 联立消去得， 设，， 则，，故（）， 由（1）知，， 则直线的方程为，直线的方程为， 联立消去得， 将，代入上式得， 得，将（）代入化简得 ， 即，所以点在定直线上． 题型13 圆锥曲线中的向量问题 1．（24-25高二上·重庆·期中）椭圆的右顶点为A，上顶点为，，点为椭圆上一点且，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】由椭圆方程可知点的坐标，根据向量可得，，将代入椭圆方程运算求解即可. 【解答过程】椭圆的右顶点，上顶点， 设，则， 由可得，解得，即， 又由，则， 将代入椭圆方程，得， 即，解得或（舍），所以. 故选：A. 2．（24-25高二下·安徽安庆·阶段练习）已知点P为双曲线C：（，）上位于第一象限内的一点，过点P向双曲线C的一条渐近线l作垂线，垂足为A，为双曲线C的左焦点，若，则渐近线l的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设渐近线l的方程，由两直线垂直的条件可得直线的方程，联立两直线方程求得A的坐标，再由向量共线的坐标表示可得P的坐标，代入双曲线的方程，化简整理可得所求直线的斜率． 【解答过程】解：设，渐近线l的方程为，① 直线的方程为，② 联立①②可得，， 即有， 由，可得，， 解得，，即， 由P在双曲线上，可得， 化为，即， 可得， 所以直线l的斜率为． 故选：D． 3．（24-25高二上·上海·课后作业）若斜率为的直线l过双曲线的上焦点，与双曲线的上支交于两点，，则的值为 ． 【答案】 【解题思路】先假设出直线方程，再代入双曲线方程，利用韦达定理得，，再结合有，联立解得的值，从而得解． 【解答过程】因为双曲线：，所以， 设直线方程为，代入双曲线方程消去得 ． 设， 因为，且， 所以，． 因为，所以， 所以，， 两式联立解得（负值舍去）． 故答案为：. 4．（24-25高二上·天津和平·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为.A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足. (1)若点P的坐标为，求椭圆的方程； (2)设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且，直线，的斜率之积为，求实数m的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据条件以及可得A点的坐标，再根据离心率的条件以及a，b，c的关系可求得a，b，c的值，从而求出椭圆的方程； （2）直线与椭圆位置关系，一般有两个思路，一是利用韦达定理，二是利用点坐标变换，本题选用后一种思路：设，则由的斜率之积，得，由，解出代入椭圆方程化简得，从而求出实数的值． 【解答过程】（1）因为，而，所以， 代入椭圆方程，得，①又椭圆的离心率为， 所以.② 由①②，得，. 故椭圆的方程为， （2）设， 因为，所以． 因为，所以， 即 于是 代入椭圆方程，得， 即，③ 因为在椭圆上，所以． ④ 因为直线的斜率之积为，即，结合②知．⑤ 将④⑤代入③，得， 解得． 5．（24-25高二上·河北唐山·期中）已知双曲线的离心率为，实轴长为2. (1)求双曲线的标准方程 (2)设直线与双曲线交于两点，是否存在满足（其中为坐标原点）若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)不存在；理由见解析； 【解题思路】（1）根据离心率以及实轴长计算可得结果； （2）联立直线与双曲线方程，由根与系数得关系以及向量数量积的坐标表示求出，并结合交点个数可判断结论. 【解答过程】（1）由实轴长为2可得，即； 再由离心率为可得，即， 所以， 可得双曲线的标准方程为； （2）如下图所示： 联立，整理可得， 显然，且，解得且； 设，可得， 所以 ， 即，解得，不满足且，不合题意； 因此不存在满足. 题型14 圆锥曲线中的存在性问题 1．（24-25高二上·上海浦东新·期末）已知直线l经过抛物线的焦点F，交抛物线于M，N两点，若在y轴负半轴上存在一点，使得为钝角，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出点坐标并设出直线l的方程，联立直线l与抛物线方程，利用韦达定理结合向量数量积的坐标表示求解作答. 【解答过程】抛物线的焦点，显然直线l的斜率存在，设其方程为， 由消去y得：，设，则， ，当且仅当且时取等号， ，，则 ，而存在一点，使得为钝角， 即存在一点，使得，因此，则，即有， 所以t的取值范围为. 故选：A. 2．（24-25高二下·安徽合肥·期中）设O为坐标原点，直线过抛物线：（）的焦点且与交于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为2 C．若，则 D．轴上存在一点，使为定值 【答案】D 【解题思路】对于A选项，利用过焦点的弦长最短时是通径的结论即可得到；对于B选项，利用抛物线上的点的性质进行转化，再结合图象，三点共线时，对应的线段和最小；对于C选项，得到点的坐标，直线方程，联立直线与抛物线的方程求得点的坐标进而求得；对于D选项，设出直线方程，与抛物线方程联立，得到韦达定理，代入进行化简，要使得为定值，，从而存在点. 【解答过程】 A选项，因为过焦点，故当且仅当为通径时，最短，即，从而，故A错误； B选项，由抛物线的定义知，所以， 由图知，当且仅当三点共线时，取得最小值，即，故B错误； C选项，由图是抛物线的准线与准线的交点，所以，在中，，所以， 所以，所以，所以， 联立得，得，从而， 所以，故C错误； D选项，设，联立得，， 设，则，设轴上存在一点， 则 ， 故当时，，即存在使得为定值，故D正确. 故选：D. 3．（24-25高二上·重庆·期中）双曲线E：，过作直线l交双曲线于A，B两点，若不存在直线l使得P是线段的中点，则t的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】根据中点坐标公式及点差法,可求得直线的斜率与t之间的关系,结合直线与双曲线有两个不同的交点,可得满足P为线段中点时t的范围,从而即可得结果. 【解答过程】因为双曲线方程为，设，若点P为线段的中点， 则，又，两式相减并化简可得， 又直线的斜率，即， 设直线l的方程为，联立 , 化简可得 因为直线与双曲线有两个不同的交点， 所以，又， 化简得，即或， 所以不存在直线l使得P是线段中点的t的取值范围为， 故答案为：. 4．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆的长轴长为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知椭圆上点处的切线方程是.在直线上任取一点引椭圆的两条切线，切点分别是、. ①求证：直线恒过定点； ②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②存在， 【解题思路】（1）根据椭圆的长轴长为，离心率为，由求解； （2）①设，，，由，，且，经过点，得到求解；②设实数存在，则，分直线斜率不存在，斜率，斜率，利用弦长公式求解. 【解答过程】（1）解：由题意可知，所以， 所以， 所以椭圆的方程为. （2）①设，，， 由题设可知：，， 又因为，经过点，所以， 所以，均在直线上，即， 由，解得，所以直线过定点. ②设实数存在，因为，所以， 当直线斜率不存在时，此时直线的方程为， 由解得， 所以，故. 当直线斜率时，不满足题意； 当直线斜率时，设直线的方程为，则， 故， 所以， 联立可得，显然， 所以，， 所以. 综上可知，存在满足条件. 5．（24-25高二上·湖南永州·期中）已知椭圆的右焦点，且经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过右焦点作直线与椭圆交于，两点，为坐标原点. （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）若斜率存在，是否存在椭圆上一点及轴上一点，使四边形为菱形？若存在，求，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）或；（ii）不存在，理由见解析 【解题思路】（1）根据椭圆的定义及性质可求得结果； （2）（i）先考虑斜率不存在时，不满足题意，当斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，求出弦长，再根据三角形的面积可求出结果；（ii）根据菱形对角线互相垂直平分可构造出等式，即可求得结果. 【解答过程】（1）由题可知，左焦点， ，， ，， 故椭圆的标准方程为； （2）（i）由题设，斜率不存在时，，不符题意， 设方程为，，，， 由， ，， ， 原点到直线的距离， ， 解得：直线方程为：或； （ii）设的中点为，则为的垂直平分线， 而，， 故，故， 故的直线方程为：， 令，则，故，， 而在椭圆上，故， 整理得，该方程无解，所以不存在满足条件的点. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 圆锥曲线的方程（举一反三讲义·培优篇） 【人教A版】 题型1 椭圆中的焦点三角形问题 1．（2025·广西柳州·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于B、C两点，则的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 2．（2025·广东深圳·模拟预测）设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为（     ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河北石家庄·期中）设点为椭圆上一点，，分别为的左、右焦点，且 ，则的面积为 . 4．（24-25高二上·河北衡水·期末）已知点是椭圆上的一点，和是焦点，焦距为，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求的面积． 5．（24-25高二上·广东广州·期中）设椭圆的左，右焦点是，离心率为，上顶点坐标为 (1)求椭圆的方程； (2)设P为椭圆上一点，且，求焦点三角形的周长和面积． 题型2 椭圆中的最值问题 1．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 2．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·宁夏银川·二模）已知，P是椭圆上的任意一点，则的最大值为 . 4．（24-25高二·全国·课后作业）已知P是椭圆上一点，，求的最小值与最大值． 5．（24-25高二·全国·课后作业）（1）已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，求的最大值； （2）已知，是椭圆的左焦点，点是椭圆上的动点，求的最大值和最小值． 题型3 双曲线中的焦点三角形问题 1．（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 2．（2025·江西·二模）过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 3．（2025高二·全国·专题练习）已知双曲线的右焦点为，为其左支上任意一点，点，则周长的最小值为 ． 4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的左、右焦点分别为． (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 5．（24-25高一上·上海·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为. (1)若的实轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程； (2)已知是双曲线的左支上一点，）.当周长最小时，求的面积. 题型4 双曲线中的最值问题 1．（25-26高二上·全国·课后作业）已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 2．（2025高二·全国·专题练习）已知是双曲线的下焦点，，是双曲线上支上的动点，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 3．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为 . 4．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知双曲线的离心率为，为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为. (1)求双曲线的方程; (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 5．（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知双曲线 的实轴长为 4，离心率等于 2 . (1)求双曲线的方程； (2)已知定点 ，若双曲线的左焦点为，为双曲线右支上任意一点，求的最小值. 题型5 与抛物线有关的最值问题 1．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知P是抛物线上的一个动点，那么点P到直线的距离与到该抛物线准线距离之和的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京大兴·三模）已知点是准线为的抛物线上一动点，于点，点，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025高三·全国·专题练习）已知点及抛物线上一动点，则 的最小值是 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）求抛物线上一点到两点的距离之和的最小值． 5．（24-25高二·上海·随堂练习）在两个条件①点；②点中任选一个，补充在下面的问题中．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在此抛物线上移动，求： (1)点P到点F与它到________的距离之和的最小值； (2)点P到点与它到准线l的距离之和的最小值； (3)点P到直线与它到准线l的距离之和的最小值． 题型6 椭圆的弦长与“中点弦”问题 1．（24-25高二上·重庆·期末）已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河北廊坊·期末）已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·甘肃·期末）已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则 ． 4．（25-26高二上·全国·课后作业）已知椭圆，其中离心率为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程． 5．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 题型7 双曲线的弦长与“中点弦”问题 1．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期末）过双曲线的右焦点作与轴垂直的直线，交双曲线于、两点，则（     ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）设是双曲线上的两点，且线段的中点是，则直线的斜率为 ． 4．（24-25高二上·甘肃临夏·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. (1)求的方程； (2)过点作直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求这条直线的方程. 5．（24-25高二上·四川达州·期末）已知中心在坐标原点的双曲线的右焦点坐标，且离心率. (1)求双曲线的标准方程和渐近线方程； (2)过双曲线右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，求. 题型8 抛物线的弦长与焦点弦问题 1．（24-25高二上·河南南阳·期末）过抛物线的焦点的直线交于两点，其中点在第一象限，且，则（    ） A． B．6 C． D．8 2．（24-25高二上·广东广州·期末）斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖南郴州·期末）已知抛物线，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则 ． 4．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）已知抛物线的焦点为F，是C上一点，，且的面积为4． (1)求p的值； (2)设点P在第一象限，过点的直线交C于两点，直线分别与y轴相交于两点，求线段的中点坐标． 5．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于点，. (1)若直线的斜率为，求； (2)求证：. 题型9 圆锥曲线中的面积问题 1．（24-25高二上·甘肃兰州·期末）已知是双曲线的左焦点，过倾斜角为的直线与双曲线渐近线相交于、两点，为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·湖北荆门·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于点A，B两点，若面积是的2倍，则（    ） A． B．或 C． D． 3．（24-25高二上·山西太原·期末）已知过抛物线C：（）的焦点F且斜率为的直线与C相交于A，B两个不同点，若，则（O是坐标原点）的面积为 . 4．（24-25高二上·江苏南通·期末）设椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于点，且轴. (1)求的周长； (2)设点在上，求的面积的最大值. 5．（2025·黑龙江·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，渐近线方程为． (1)求的方程； (2)设轴上方的点，分别在的左支与右支上，若，求四边形的面积． 题型10 圆锥曲线中的参数范围及最值问题 1．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆，过点且斜率为的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到焦点的距离的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江金华·期末）已知直线与双曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点，则当运动时，点到两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·全国·模拟预测）已知、两点是双曲线的左、右顶点，点是的右焦点，点是过点且与实轴垂直的直线上的动点，则的最小值为 . 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆，、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点．若的周长为，且的最小值为． (1)求的方程； (2)设点，过的直线与椭圆交于、两点，记直线、的斜率分别为、，求的取值范围． 5．（2025·四川泸州·二模）设F为抛物线 的焦点，点P在H上，点，若． (1)求的方程； (2)过点F作直线l交H于A、B两点，过点B作x轴的平行线与H的准线交于点C，过点A作直线CF的垂线与H的另一交点为D，直线CB与AD交于点G，求的取值范围． 题型11 圆锥曲线中的定点、定值问题 1．（2025·安徽马鞍山·一模）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若A，B为椭圆C上的两点，且满足，求证：直线过定点． 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知点A，B分别是双曲线的上、下顶点，点P满足． (1)求点P的轨迹方程； (2)是否存在点P，使得过点P的动直线l交双曲线C于M，N两点，且与的斜率之和为定值？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知椭圆的离心率为，点在上，过作直线与交于、两点，直线、的斜率分别为、． (1)求的标准方程； (2)判断是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 4．（25-26高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，过的直线交于两点，，直线与的另一个交点分别为． (1)判断直线的斜率与直线的斜率之比是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由． (2)证明：直线经过定点． 5．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知双曲线：的一条渐近线为l：，且右焦点到直线的距离为2． (1)求双曲线的方程； (2)已知是的右顶点，、是上与不重合的两点，且，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 题型12 圆锥曲线中的定直线问题 1．（24-25高二上·山西运城·期末）已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于两点，求证：的内心在一条定直线上． 2．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知双曲线的中心为坐标原点，左、右顶点分别为，，虚轴长为6．    (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与的右支交于，两点，若直线与交于点．证明：点在定直线上； 3．（24-25高三上·黑龙江黑河·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为，且过点． (1)求C的方程； (2)若直线与C交于M，N两点，直线与相交于点G，证明：点G在定直线上，并求出此定直线的方程． 4．（24-25高二上·湖北·期末）已知抛物线的焦点为，设动点的坐标为． (1)若，求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程； (2)设过动点的两条直线均与相切，且的斜率分别为，满足．证明：动点在一条定直线上． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，为的右支上一点，且． (1)求的方程； (2)设的左、右顶点分别为，直线与交于两点，与轴交于点，直线与交于点，证明：点在定直线上． 题型13 圆锥曲线中的向量问题 1．（24-25高二上·重庆·期中）椭圆的右顶点为A，上顶点为，，点为椭圆上一点且，则的值为（    ） A． B． C． D．2 2．（24-25高二下·安徽安庆·阶段练习）已知点P为双曲线C：（，）上位于第一象限内的一点，过点P向双曲线C的一条渐近线l作垂线，垂足为A，为双曲线C的左焦点，若，则渐近线l的斜率为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·课后作业）若斜率为的直线l过双曲线的上焦点，与双曲线的上支交于两点，，则的值为 ． 4．（24-25高二上·天津和平·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为.A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足. (1)若点P的坐标为，求椭圆的方程； (2)设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且，直线，的斜率之积为，求实数m的值. 5．（24-25高二上·河北唐山·期中）已知双曲线的离心率为，实轴长为2. (1)求双曲线的标准方程 (2)设直线与双曲线交于两点，是否存在满足（其中为坐标原点）若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 题型14 圆锥曲线中的存在性问题 1．（24-25高二上·上海浦东新·期末）已知直线l经过抛物线的焦点F，交抛物线于M，N两点，若在y轴负半轴上存在一点，使得为钝角，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·安徽合肥·期中）设O为坐标原点，直线过抛物线：（）的焦点且与交于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为2 C．若，则 D．轴上存在一点，使为定值 3．（24-25高二上·重庆·期中）双曲线E：，过作直线l交双曲线于A，B两点，若不存在直线l使得P是线段的中点，则t的取值范围是 . 4．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆的长轴长为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知椭圆上点处的切线方程是.在直线上任取一点引椭圆的两条切线，切点分别是、. ①求证：直线恒过定点； ②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 5．（24-25高二上·湖南永州·期中）已知椭圆的右焦点，且经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过右焦点作直线与椭圆交于，两点，为坐标原点. （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）若斜率存在，是否存在椭圆上一点及轴上一点，使四边形为菱形？若存在，求，若不存在，请说明理由. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$