专题强化练9 定点、定值及探究性问题-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

专题强化练9　定点、定值及探究性问题 1.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,点P(0,2),坐标原点为O,连接PA,PB,分别交椭圆C于点M,N,△PAB为直角三角形,且|MN|=|AB|. (1)求椭圆的标准方程; (2)设直线l与椭圆C交于D,E两点(均不与A,B重合),若·=0,求证:直线l过定点. 2.已知椭圆方程为+=1(a>b>0),过点A(-a,0),B(0,b)的直线的倾斜角为,原点O(0,0)到该直线的距离为. (1)求椭圆的方程; (2)对于D(-1,0),是否存在实数k,使得直线y=kx+2交椭圆于两点P,Q,且|DP|=|DQ|?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由. 3.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的准线与y轴的交点为A(0,-1). (1)求抛物线C的方程; (2)若经过点(-1,0)的直线l与抛物线C相切,求直线l的方程; (3)若过点M(0,2)的直线l1与抛物线C交于P,Q两点,证明:+为定值. 4.已知F1(-2,0),F2(2,0),点P满足||PF1|-|PF2||=2,记点P的轨迹为E. (1)求轨迹E的方程; (2)直线l经过点A(5,0),倾斜角为45°,且与轨迹E交于C,D两点(C在A,D之间),若=λ,λ∈R,求λ的值; (3)已知点T(-1,0),过点F2作斜率不为0的直线m与轨迹E交于M,N两点,记直线TM,TN的斜率分别为k1,k2,那么k1·k2是不是定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由. 5.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),设P是双曲线C上任意一点,O为坐标原点,F为双曲线的右焦点,A1,A2分别为双曲线的左、右顶点. (1)已知点P在右支上时,总有|PO|>|PF|,求的取值范围; (2)设过右焦点F的直线l交双曲线于M,N两点,M在第一象限内,如图1,若△OMN为等边三角形,求的值; (3)若a=2,b=,动点Q在双曲线上,且与双曲线的顶点不重合,直线QA1和直线QA2与直线x=1分别相交于点S和T,如图2,是否存在定点E,使得ES⊥ET恒成立?若存在,请求出定点E的坐标;若不存在,试说明理由. 　　 答案 1.解析　(1)因为△PAB为直角三角形, 所以由椭圆的对称性知,∠APB=90°,则|OP|=|AB|,即2=×2a,所以a=2,则|MN|=|AB|=,结合相似的知识可得N, 将代入+=1,得+=1, 又a=2,所以b=1, 所以椭圆的标准方程为+y2=1. (2)证明:由(1)知,B(2,0). 由题意,可设直线DE的方程为x=ty+m(m≠±2), 联立消去x得,(t2+4)y2+2tmy+m2-4=0, 则Δ=4t2m2-4(t2+4)(m2-4)=16(t2-m2+4)>0,设D(x1,y1),E(x2,y2),则y1+y2=,y1·y2=.(*) =(x1-2,y1),=(x2-2,y2), 因为·=0,所以(x1-2)(x2-2)+y1y2=0, 将x1=ty1+m,x2=ty2+m代入上式,整理得, (t2+1)y1y2+t(m-2)(y1+y2)+(m-2)2=0, 将(*)式代入上式,得(t2+1)·+t(m-2)·+(m-2)2=0,整理得5m2-16m+12=0, 解得m=或m=2(舍),故直线l:x=ty+,它恒过点. 2.解析　(1)因为过点A(-a,0),B(0,b)的直线的倾斜角为,所以=tan ,即=, 故过点A(-a,0),B(0,b)的直线的方程为y=(x+a), 故原点O(0,0)到该直线的距离为=,解得a=(负值舍去), 故b=1,所以椭圆的方程是+y2=1. (2)设P(x1,y1),Q(x2,y2). 将y=kx+2代入+y2=1得,(3k2+1)x2+12kx+9=0, 则Δ=144k2-36(3k2+1)>0,解得k>1或k<-1, 设PQ的中点为M,则xM==-,yM=kxM+2=. 由|DP|=|DQ|,得DM⊥PQ, 所以kDM===-, 所以3k2-4k+1=0,得k=1或k=, 由于k>1或k<-1, 故k=1,k=均不成立,所以不存在满足条件的k. 3.解析　(1)由题可知=1,即p=2,则抛物线C的方程为x2=4y. (2)依题意,当直线l的斜率不存在时,l:x=-1,与抛物线只有一个交点,但不相切,故直线l的斜率必存在. 设l的方程为y=k(x+1),与抛物线方程联立,消去y,得x2-4kx-4k=0,则Δ=16k2+16k=0,解得k=0或k=-1,经检验均成立, 所以直线l的方程为y=0或x+y+1=0. (3)证明:由题意知,直线l1的斜率一定存在,设l1:y=tx+2,P(x1,y1),Q(x2,y2), 联立消去y,得x2-4tx-8=0,则Δ'=16t2+32>0,x1+x2=4t,x1x2=-8, 而|PM|2=+=(1+t2),|QM|2=+=(1+t2), 所以+====,是定值. 4.解析　(1)因为||PF1|-|PF2||=2<|F1F2|=4,所以点P的轨迹是以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的双曲线, 设此双曲线的方程为-=1(a>0,b>0), 易知又b2=c2-a2,所以即轨迹E的方程为x2-=1. (2)因为直线l经过点A(5,0),倾斜角为45°, 所以直线l的方程为y=x-5, 联立解得或由C在A,D之间可得C(2,-3),D(-7,-12), 则=(-3,-3),=(-12,-12), 由=λ得(-3,-3)=λ(-12,-12),解得λ=. (3)设直线m的方程为x=ny+2,M(x1,y1),N(x2,y2),x1≠-1,x2≠-1. 联立消去x,得(3n2-1)y2+12ny+9=0, 则3n2-1≠0,Δ=144n2-36(3n2-1)=36n2+36>0, 所以 则k1·k2=·=== ===-1, 故k1·k2是定值,且该定值为-1. 5.解析　(1)设点P(x0,y0),x0≥a,则|PO|2=+,|PF|2=+, 要使|PO|>|PF|,则|PO|2>|PF|2,代入并化简得x0>, ∵x0≥a,∴<a,即<a2,即<3, 又∵a>0,b>0,∴的取值范围是(0,). (2)若△OMN为等边三角形,则|OM|=|ON|,故xM=xN,直线l的斜率不存在,故直线l:x=c, 则xM=xN=c,yM=,∵△OMN为等边三角形,∴c=yM,即c2=,即a2+b2=,∴=. (3)由题知双曲线C的方程为-=1,A1(-2,0),A2(2,0),设点Q(x1,y1),则-=1,x1≠±2, 易得直线QA1:y=(x+2),则S, 直线QA2:y=(x-2),则T, 由Q点在双曲线上,且双曲线关于x轴对称得, 若存在定点E,使得ES⊥ET恒成立,则点E只能在x轴上,设E(t,0),则·=0, ∴(1-t)2+=(1-t)2-=0,解得t=-或t=, 即存在满足题意的定点E,其坐标为或. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$