第10期 直线和圆的方程 核心素养综合测评-【数理报】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步学案（人教A版）

高中数学人教A版选择性必修第一册第9~12期 数理括 答案详解 2025~2026学年高中数学人教A版选择性必修第一册第9~12期(2025年9月) 提示： 第9期2版参考答案 1.l:mx+y=0经过定点(0,0)， 专项小练一 由于02+2×0+02-3=-3<0， 1.C;2.A;3.BCD 则定点在圆内 4.12 5；5.3x-4y±10=0. 故直线l:mx+y=0与圆C的位置关系是相交 2.圆C1:x2+y2-2x+4y=4, 6.解：由于(2-1)2+(4+3)2=50>1，故点M在圆外. 化为(x-1)2+(y+2)2=9, 当切线斜率存在时，设切线方程是y-4=k(x-2), 圆心为C(1,-2),半径为71=3； 即kx-y+4-2k=0, 圆C2:x2+y2+6x-8y=0, 由于直线与圆相切，故k+3+4-2=1, 化为(x+3)2+(y-4)2=25, √2+(-1)尸 圆心为C2(-3,4),半径为2=5 解得长=兰 两圆心距离为 所以切线方程为24x-7y-20=0. 1CC2「=√(1+3)2+(-2-4)7=23 当切线斜率不存在时，直线x=2与圆相切. 因为2-1=2<2√13<8=11+2， 综上，所求切线方程为24x-7y-20=0或x=2. 所以圆C与圆C2相交. 专项小练二 3.圆的方程可化为(x-1)2+(y+2)2=5-m, 1.C;2.C:3.ABD.4.3;5.(0,2-2]. 所以圆心为(1，-2)， x2+y2-4x+2y=0, 设圆心到直线x-y-3=0的距离为d, 6.解：(1)联立 x2+y2-2y-4=0, 则d=1+2-31=0, 两式相减并整理得x-y-1=0, 冷 所以过A,B两点的直线方程为x-y-1=0. 因此弦长6就是直径2r,所以r=3. 所以2=5-m=9今m=-4. (2)依题意圆C1是圆心(2，-1)，半径为5的圆， 4.设圆心坐标为(a,-a), 圆C2是圆心(0,1)，半径为5的圆， 由圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切可得 则所求圆的圆心必是C1与C2的中点，即为(1,0)， 又由勾股定理可得所求圆的半径为 2a=20二41，解得a=1,所以半径r=2, r=√(5)2-[(1-0)2+(0-1)2]=5， 故该圆的方程为(x-1)2+（y+1)2=2. 则所求圆的方程为(x-1)2+y2=3. 5.由题意可知两圆的圆心距为 /(3-0)2+(-4-0)2=5, 第9期3版参考答案 设圆C的半径为，因为两圆相外切， 直线与圆、圆与圆的位置关系同步核心素养测评 所以5=r+1,解得r=4, 一、单项选择题 所以圆C的方程为(x-3)2+(y+4)2=16. 1 ~4 ACCB 5~8 DCBB 6.根据题意圆x2+(y-1)2=1, 高中数学人教A版选择性必修第一册第9~12期 其圆心为(0,1)，半径为1，圆(x-2)2+(y-5)2=9, 二、多项选择题 其圆心为(2,5)，半径为3，圆心距d=√4+16=25， 9.ABC:10.AB:11.BCD. 有25>3+1=4，两圆外离， 提示： 9.圆C1:x2+y2=1的圆心为(0,0)，半径为1， 则A,B两点之间的最短距离为25-4. 圆C2的标准方程为(x-3)2+(y+4)2=1, 7.如图1，拱形桥ACB, 圆心为(3，-4)，半径为1. y 圆心距ICC2I=√16+9=5，显然两圆外离. 1PQ1mim=1G1C21-1-1=3, 1PQ1mx=lC1C2I+1+1=7, 图1 故(A)正确，(B)正确； 以AB所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴， 两个圆的圆心所在的直线斜*为1。。一手 3-0 建立平面直角坐标系， 故(C)正确； 则A(-10,0),B(10,0),C(0,5),圆心在y轴上， 因为两圆外离，所以不存在公共弦，故(D)错误 设为E(0,b),则有1AEI=ICE1, 故选(A)(B)(C): 即100+6=15-b1, 10.将直线1的方程变形为x+2-m(y+1)=0, 整理可得26+15=0，解得6=- 2 x+2=0 「x=-2, 由 可得{ y+1=0 ly=-1, 所以圆心为E(0,-罗），半径为1CE1=15-61= 所以直线1过定点(-2，-1)，故(A)正确： 所以圆的方程为+(+艺)=6空 2 C被1截得的弦长最长时，直线l过圆心C(5,I), 4 7 则7-2m=0,解得m=乞，故(B)正确： 设Da,3),则有+(3+)- 4” 圆C的圆心为C(5,1),半径为r=2, 解得a=√46. 当直线与C相切时， 所以要使小船通过圆拱桥，船宽最长为2√46. 则7-2m 1+m2 2,解得m=慕放(C)错误 因为6.5<46<7，所以13<2√46<14， 由(C)可知，直线1与C相切时只有一种情况，故(D)错误 所以船宽最长约为13米， 故选(A)(B) 8.由x=√个-y得x2+y2=1(x≥0)， 11.设圆心为C,则C(-2,-5),圆的半径为5， 该曲线表示的是圆x2+y2=1在y轴及右侧的部分， 所以圆与x轴相切.如图3. 如图2所示，y=x+b表示斜率为1， 在y轴上的截距为b的直线.由直线与圆相切， 得圆心到直线的距离d=一 1b1 +-疗=1， 解得b=±√2， 结合图形知b的取值范围是b=-√2或-1<b≤1. 图3 设切点为P,则P(-2,0),连接PA,PB,PC,MC, 则1PM1=6, 因为∠MPA=∠MBP,∠PMA=∠BMP, 所以△MPA△MBP, 所以IPM12=IMA11MB1=36. 图 设AB的中点为N,连接CW,则CN⊥AB, 2 高中数学人教A版选择性必修第一册第9~12期 设圆心C到直线AB的距离d, 四、解答题 则0≤d<5,1MC1=√(4+2)2+53=6T, 15.解：(1)设圆01，圆02的半径长分别为11,2， IMW1=√MCI2-d=61-E, 且易知r1=2. I MAI+I MBI =21 MAI +I ABI 因为两圆相外切，所以10021=11+12， =2I MAI+2I ANI =2I MNI 所以2=101021-r1 =261-, =√(2-0)2+(1+1)2-2 2 1 =2(2-1). 因为1M0=MAT+MBT 所以圆02的方程是(x-2)2+(y-1)2=12-82. = (2)设圆02的方程为(x-2)2+(y-1)2=(r3>0), =LMNI 圆O1,O2的方程相减得弦AB所在直线的方程为4x+4y+ 18, 后-8=0. 36 际以1MQMP 所以圆心O(0,-1)到直线AB的距离为 0-48-4-()=, 2 因为0≤d<5,所以366≤1M01<6. 61 √4+4 故选(B)(C)(D) 解得号=4或子=20. 三、填空题 所以圆02的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+ 12.2x+y-6=0;13.(-1,4):14.12. (y-1)2=20. 提示： 16.解：(1)设圆M的标准方程为(x-a)2+y2=r2(a≤ 12.由圆的几何性质知圆心与A的连线与弦所在直线垂直， 0,r>0), 设圆心为Q.因为圆心为o(2,-3),km=之 则圆，心(a,0)到直线x+y+22=0的距离为a+2D1 2 所以弦所在直线斜率存在且斜率为-2. 2+4=2, 所以所求直线的方程是2x+y-6=0. 由题意得 1a+221 13.圆C1:x2+y2-2x-m=0可化为(x-1)2+y2=1+m, 2 圆C2:x2+y2+4y+m=0可化为x2+(y+2)2=4-m, 解得a=0或a=42(舍去)，所以2=4， 则1C1C21=√1+4=5,1+m>0,4-m>0, 所以圆M的标准方程为x2+y2=4. 因为两圆恰有2条公切线，所以圆C1与圆C2相交， (2)设直线l的方程为y=x+1, 所以1√个+m-√4-m1<5<√个+m+√4-m, 则圆心M到直线1的距离为一1 解得-1<m<4,所以m的取值范围为(-1,4). +1 14圆x2+y2-4x+2y-4=0可化为 1 (x-2)2+(y+1)2=9, 可得圆心坐标为M(2,-1),半径为3. 又点P(0,-2)到直线l的距离d= 3 +1 由圆的弦的性质可得，最长的弦即圆的直径. 1 即AC的长为6. 所以SaPB=2XIAB1Xd 因为点0(0,0)， 2 4k2+3 3 所以1M01=√(2-0)2+(-1-0)=5. 2√+×+ 弦BD最短，则弦BD和MO垂直，且经过点O, =3 2 此时IBDI=2√9-5=4. 解得2=1，k=±1， 故四边形ABCD的面积为 则直线I的方程为y=±x+1. 1AC1X1Bm1=空x6x4=12 17.解：由题知圆01的圆心01(-1，-3)，半径1=1； -3 高中数学人教A版选择性必修第一册第9~12期 圆02的圆心02(3，-1)，半径2=3， =51m+31 则10,021=√(3+1)2+(-1+3)7=25>1+2， √m+1 所以两圆外离，所以两圆有四条公切线。 所以51m+31 /m2+1 =5,解得m=-号 当公切线的斜率存在时， (2)cos∠MPW=1-2sin2∠MPC 可设公切线方程为y=kx+b,即kx-y+b=0, 2 -k+3+61=1, -1-2(0) 1+2 则 32 13k+1+b1=3, =1- 1CP12, 1+ 由(1)知点C到直线1的距离d=51m+3L 4 m2 +1 解得=0或= k=-4 b=-4b=0 所以ICPI≥d,所以ICPI=d时，cos∠MPV的值最小， b=-2 即cas∠MPN的最小值为1-是. 当公切线的斜率不存在时， 直线x=0也和两圆相切. 由已知得1-是号解得4=35， 所以所求切线方程为y+4=0,4x-3y=0,x=0,3x+4y +10=0. 所以5=35，解得m=子 m2+1 18.解：(1)根据题意可设圆心C(2t,t),t>0,半径为r 此时直线l的方程为2x-y-5=0, 则半径r=2t,由勾股定理可得2+(3)2=(2t)2, 设P(a,2a-5),以CP为直径的圆记为圆D, 解得t=1, 则圆D的方程为(x+3)(x-a)+(y-4)(y-2a+5)=0, 所以圆心C的坐标为(2,1). 即x2+y2+(3-a)x+(1-2a)y+5a-20=0, ① (2)依题意设圆心C(a,b),半径为R 圆C的方程为x2+y2+6x-8y+9=0, ⑨ 1 因为圆心C在直线y=2x上，所以a=26, 由②-①得(a+3)x+(2a-9)y-5a+29=0, ③ 因为M,V两点为圆C和圆D的公共点， 若圆C与直线x-2y-1=0相切， 所以③即为直线MN的方程， 所以a-26-1山=R= 5 ③变形得(x+2y-5)a+3.x-9y+29=0, 5 3 若圆C与圆Q:x2+(y-2)2=1相外切， 「x+2y-5=0, x=-15 解得 则ICQI=R+1, 3x-9y+29=0, 44 Y= 15 即√(a-0)2+(b-2)2=1+R, 可得562-4b+14-25 =0, 所以直线M经过定点（号错） 5 该方程△<0，所以该方程无解， 第10期3版参考答案 故不存在满足题意的圆C 直线和圆的方程核心素养综合测评 19.解：(1)圆C的圆心C(-3,4),半径r=4, 一、单项选择题 由弦AB的长为2√T得点C到直线l的距离为 1~4 ABAA 5~8 DCCB d=VP-(分1AB1） 提示： 1.直线方程为x-tan60°-3=0， =√42-() 即x-3y-3=0, =5, 又d=L(2m+1)×(-3)+(m-2)×4-3m-41 由此可知该直线的斜率为汽。 √(2m+1)2+(m-2)7 所以直线的倾斜角为30°， 高中数学人教A版选择性必修第一册第9~12期 2.因为圆C:x2+y2+mx+1=0, 7.若直线1的斜率不存在，则的方程为x=3, 即(x+受)+y=学-1， 圆心(0,2)到1的距离为3，易求得弦长为8，符合题意； 若直线1的斜率存在，设1的方程为y=k(x-3), S==(受-1)m=,解得m=22 即kx-y-3k=0, 3.由直线x+2y+m=0(m>0)与x-y-3=0平行 故圆心(0,2)到1的距离 可得-n=2,即n=-2, d=-23张-尽-4=3，解得k=高 2+1 则直线x+2y+m=0(m>0)与x+2y-3=0的距离 则l的方程为5x-12y-15=0. 为5，所以m+3=5, 2+2 综上，直线l的方程为5x-12y-15=0或x=3. 解得m=2或m=-8(舍去)， 8.易知直线l:mx+y-3m-2=0, 所以m+n=2+(-2)=0. 即m(x-3)+y-2=0过定点P(3,2), 4.设C(x,y),M(0,m),N(n,0). 因为(3-5)2+(2-4)2<25， 因为A(5,-2),B(7,3), 故点P(3,2)在圆M内， x+5 =0 x+7 当弦AB最短时，直线I垂直于PM, 2 =n, 所以 y-2 又m-等号=1，所以1(-）=-1， 2 =m, y+3=0 2 解得m=1,此时圆N的方程是(x+2)2+y2=9. 解得x=-5,y=-3,m=-2,n=1, 因为两圆圆心之间的距离 则c(-5,-3),(0,-3）10. 1MN1=√(5+2)2+(4-0)7=65， 两圆半径分别为5,3，且√⑤>4=5+3， y+2 所以圆M与圆N的位置关系是外离. 所以直线MN的方程为5 1 =1 二、多项选择题 9.ACD;10.BC;11.ACD. 即5x-2y-5=0. 提示： 5.当a+1=0时，a=-1,此时l1:x= 4 3 9.对于直线3x-ay+1=0,令y=0, 2:y=-9,显然两直线垂直， 解得x=了 当a=0时，此时l1:-2x+y+4=0, 2:x=9,显然两直线不垂直， 故直线恒过点(-弓，0）：一定不经过原点，故(4)正确； 当a+1≠0且a≠0时，因为l1上l2, 1 所以(a-2)(a+1)+a(a+1)=0,解得a=1, 当a=0时直线即为x=-了，直线过二、三象限， 综上，a=1或a=-1. 当a≠0时直线即为y=3x a 6.设点P(0,2)关于直线x-y+1=0对称的点Q(a,b). ,6-2 若8>0.则>0，>0，直线过-、二三象限 a-0 =-1, 则 a+0_6+2+1=0, 若a<0,则片<0，<0.直线过二、三四象限， 2 2 所以直线一定过二、三象限，故(B)错误，(C)正确； 解得a=1,b=1,即Q(1,1), 因为点Q(1,1)在圆C外， 因为直线恒过点（宁，0）· 所以1+1+2+m>0,解得m>-4, 因为x2+y2+2x+m=0表示圆， 所以直线3x-y+1=0可表示经过点(-号0）的所有 所以4-4m>0,解得m<1, 直线，故(D)正确 所以m的取值范围是(-4,1). 故选(A)(C)(D) 5 高中数学人教A版选择性必修第一册第9~12期 10.依题意设P(2cos0,2sim0), 解得=4半径，=4-+3+1=5， 则1PA12=(2c0s日+2)2+(2sin0+2)2 b=3, =12+8cos0+8sin0 故所求的圆的方程为(x-4)2+(y-3)2=25. 1PB12=(2cos0+2)2+(2sin0-6)2 13.圆x2+y2-4x+3=0可化为(x-2)2+y2=1. =44+8cos0-24sin0. 圆心坐标为(2,0)，半径为1， 1PC12=(2cos0-4)2+(2sin0+2)2 二的几何意义为圆上的动点M(x,)与定点(0,0)连线 =24-16c0s0+8sim0, 所以1PA12+lPB12+lPC12=80-8sim0, 的斜率， 又sin0∈[-1,1]，则80-8sin0e[72,88]. 设过(0,0)的圆的切线方程为y=x,即x-y=0. 故选(B)(C). 由圆心(2,0)到切线的距离等于半径1， 业n贵票 2 化简得x2+y-8x-4y+4=0,故(A)正确： 将圆C的方程化为标准方程得(x-4)2+(y-2)2=16, 则圆心为(4,2)，半径为4， 图1 易知点(-3，-2)在圆C的外部， 则圆上的点到点(-3，-2)的最小距离为 得12L=1,解得=± 2+1 3 √（-3-4)2+(-2-2)-4=65-4>4， 则在圆C上不存在点M到点(-3，-2)的距离为4， 所以之的取值花围是[-] 故(B)错误； 14.根据题意作出图2，AB为两圆的公切线，切点分别为A,B. C上的点到直线3x-4y+6=0的最大距离为圆心到直线 3x-4y+6=0的距离加上半径， 即2一8+61+4=6，故(C)正确： w9+16 显然直线1的斜率存在， 设直线1的方程为y-2=k(x+4), 图2 即kx-y+4k+2=0,由于圆C的半径为4， C1(2,2),C2(-1,-1),所以直线CC2的斜率k=1, 则要使C上恰有三个点到直线I的距离为2， 显然与直线AB的斜率不相同，所以1≠r2, 只需圆心到该直线的距离为2， 不妨设0<11<2 即81=2，解得k=± ,故(D)正确 √+1 15 过C,作AB的平行线交AC2于点E, 故选(A)(C)(D). 则EC2=2-T1,AB=EC1且AB∥EC, 三、填空题 C1C2=√(2+1)2+(2+1)7=32=r1+2 0 12x-4+0y-3y=25:18.[-59]: 所以直线AB与直线C,C2的夹角的正切值为： 14会 tan o 提示： 所以C=号G-, 12.由题知C(0,0),设所求的圆的圆心为M(a,b), 又EC+EC=C,C,整理得 则由题意可得MA=MB,kc=kc, 2 所以(a-1)2+(b+1)2=(a-8)2+(b-6)2, [g-n)]+-)2=18, 且6-0=6-0 1a-0=8-0 解得n-7= 92 5 ② 6 高中数学人教A版选择性必修第一册第9~12期 32 122 (2)以B为圆心，300千米为半径作圆， 联立①②，得=5，=5， 和直线y=x+400相交于A1,A,两点 所以12= ×亚-器 设台风中心移到A时，城市B开始受台风影响（危险区）， 5 5 直到A2时，解除影响。 四、解答题 因为点B到直线y=x+400的距离d=2002(千米)， 15.解：(1)由 「x-y+1=0, 解得 l2x+y-4=0, y=2. 所以1A1421=2√3002-(2002)2=200（千米）. 即l1和l2的交点坐标为(1,2)， 而 =10(小时)， 因为直线1经过点（3,3)，所以直线1的斜率为}=之 所以城市B处于危险区城的时间是10小时. 所以直线1的方程为y-2=之(x-D, 18.解：(1)设圆C的半径为r, 若选条件①， 令y=0得x=-3,所以直线1在x轴上的截距为-3. 则圆心C到直线3x+4y+17=0的距离是圆C的半径， (2)因为直线l与直线l3:4x+5y-12=0平行， 即r=-6+4+17=3, 所以可设直线1的方程为4x+5y+m=0, 又直线1经过点(1,2)，所以4×1+5×2+m=0, 所以圆C的方程为(x+2)2+(y-1)2=9. 得m=-14, 若选条件②， 所以直线1的一般式方程为4x+5y-14=0. 则圆M的圆心为(2,4)，半径为2， 16.解：(1)直线l:mx-y+1+2m=0, 所以r+2=√(2+2)2+(4-1)2=5， 即y-1=m(x+2), 所以r=3, 故直线恒过定点(-2,1)， 所以圆C的方程为(x+2)2+(y-1)2=9. 又(-2+2)2+12<5，故点(-2,1)在圆C内， 此时直线1一定与圆C相交 若选条件③，由 3x+y+2=0,得=-2， Lx-3y+14=0, y=4, (2)设点M(x,y), 所以r=4-1=3, 当直线AB的斜率不为0时，k=Y) x+2 所以圆C的方程为(x+2)2+(y-1)2=9. 叉6c中26ux6e=-l, (2)圆N:(x-m)2+y2=m2(m>0)的圆心为(m,0), 半径为m,两个圆有公共弦， 即21 +2×x2-1 则1m-31<ICWl<m+3, 即1m-31<(m+2)2+1<m+3, 化简可得(x+2)2+(-)广=子≠-2： 解得m> 2 5 当直线AB的斜率为零时， 两圆公共弦所在直线方程为(m+2)x-y-2=0. 显然中点M的坐标为(-2,1)，也满足上述方程. 又两圆的公共弦长为2， 故M点的轨迹方程为(x+2)2+(-之）广=子（点 则圆心C到公共弦所在直线的距离为 （-2,0)除外) d=1-2m-4-1-21 12m+71 √/(m+2)2+1 √m2+4m+5 17.解：(1)以B为原点，正东方向为x轴正方向建立如图3 所示的直角坐标系， 且2√9-=2， 则A地的坐标是(-400,0)， 解得m=0-山或m=二-山（合去， 2 台风中心移动路径所在直线的斜率k=1, 2 所以台风中心移动路径所在的直线方程为y=x+400. 经检验符合题意。 故存在实数m=而-1 2， 使得圆N与圆C公共弦的长度为2. 19.解：(1)根据题意得 B 圆C半径，=3×24×41=2， 图3 √32+4 高中数学人教A版选择性必修第一册第9~12期 所以圆C方程为(x-2)2+(y-4)2=4. 解得a>-2. (2)由已知可得直线l斜率存在，设其方程为y=kx, 2.点P(-1,1,1)关于yOz平面的对称点为M(1,1,1), 因为△ABC为直角三角形，所以∠ACB=90°， 则光线所走过的路程是 所以点C到直线的距离是万， 1MQ1=√(-3-1)2+(3-1)2+(3-1)2=26. 所以24-4型=万，即2-8张+7=0， P+1 3.因为AB=a,AC=b,AD=c, 所以k=1或k=7, 所以=之(a+b),花=6+c), 所求直线1的方程为y=x或y=7x (3)存在.设存在定直线'满足要求， 所以元=d-Ad=分(b+c）-2(a+b) 由已知可得直线斜率存在， 设其方程为y=mx-1, =2(c-a）, 解方程组：得Q(n) 所以元+aG=c-a)+之b+c) Ly mx-1. 联立， 0++6 (x-2)2+(y-4)2=4, 得(1+2)x2-(4+8)x+16=0, 4.由两圆的方程得两圆的公共弦所在的直线方程为x+2y 4=(4+8k)2-4×(1+k2)×16>0, =0. 解得上>子， 将x2+y2+2x=0化为(x+1)2+y2=1, 则圆心为(-1,0)，半径r=1, 设A(x1,当)，B(x2y2) 所以圆心(-1,0)到直线x+2y=0的距离 所以斯+名=4+8张 1+ d=-1L=5 4+8k2 √5 所以少+3= 1+2 所以P的坐标为P(华异紫)k>是 所以公共弦的长度为2P-正=4 5.因为AD·D元-AB.BC 所以1OP1OQ1 =(Ad+AA)·A店-(A店+·A 紫 =A市.AB+A.A店-A店，AD-AM.A币 4+2 m-k =AA.(A店-AD)=AA.Di 由已知+2 =4, m-k =4对>子恒成立， 所以A4·BD=-4, (8m+4)k-(4m2-1)=0对k> 子恒成立， COs(AA,BD)= AA·BD -4 3 r8m+4=0, 所以 4m2-1=0, 所以m=-2: 1 1112x3=子 D C 所以存在定直线'满足条件，其方程为y=-2x-1, 1 B 即x+2y+2=0. 第11期参考答案 B 图1 核心素养阶段测评（二） 一、单项选择题 -1 6因为kc=2-=-1, 1 ~4 ACAB 5~8 BCDC 所以直线AC的方程为y=-（x-1), 提示： ① 1由题盒知w号得丹= L<0, 即y=-x+1, 设小狗的位置为点P,当BP上AC时，小狗距离小明最近， -8 高中数学人教A版选择性必修第一册第9~12期 此时直线BP的方程为y=x+2, ② 所以圆C的方程为(+)广+(-3)炉= 4 联立①②，解得x=-2y=立， 1 3 二、多项选择题 13 因此所求位置的坐标为(-2,2) 9.BC:10.ABD:11.BCD. 提示： 7.以D为原点，DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建 9.直线l的斜率为a2+a+1. 立如图2所示的空间直角坐标系， 若直线l与直线x-y=0平行， C 则a2+a+1=1,解得a=-1或a=0,故(A)错误； 当a=-1时，直线I的方程为x-y+1=0, 直线I的斜率为1，直线x+y=0的斜率为-1， 显然直线l与直线x+y=0垂直，故(B)正确； D 易知(C)正确； 当a=0时，直线1的方程为x-y+1=0, 图2 令x=0得y=1,令y=0得x=-1, 则M(2,A,2),D1(0,0,2),E(2,0,1),F(2,2,1), 所以当a=0时，直线1在两坐标轴上的截距不相等， ED=(-2,0,1),Ef=(0,2,0),E=(0,A,1). 故(D)错误 设平面D,EF的一个法向量为n=(x,y,z), 故选(B)(C) n·ED1=-2x+z=0, 10.圆C:x2+y2=1的圆心为(0,0)，半径为1. 则 ln·E=2y=0, 若l:y=kx+b与圆C:x2+y2=1相切， 取x=1得n=(1,0,2), 则161=1，解得6-公=1，故(A)正确： √2+I 所以点M到平面D,EF的距离为 若4b2-2=1, d=1mmL:2=25 I n l 则圆心到直线1的距离d:一牛=宁， 1 55 √+1 因为N为ME的中点，所以N到平面D,EF的距离为号 此时直线被圆截得的弦长为2√径-d=5,故(B)正确； 因为462-2=1， 8因为圆心为c(-之，3）： 所以设圆c的方程为(x+）+y-32=2,>0), +斤s1, 圆心到直线的距离为161 1 此时圆上有三个点到直线1的距离为了，故(C)错误； 将直线1的方程代人圆C的方程， 得到52-20+空-2=0， 当6=子时，直线的方程为y=:+分 设P(x1y1),Q(x22), 即直线过定点(0，)· 则有元+为=4%=子-亏 又因为+（宁）】 <1,可得点在圆内， 因为02.00=0， 故直线与圆相交，故(D)正确， 所以xx2+上2=0， 故选(A)(B)(D) 所以(3-2)·(3-2y2)+y12=0, 11.由已知AB⊥AD,AB⊥AF, 整理得9-6(y1+y2)+5y1y2=0, 又AF∩AD=A,AF,ADC平面FAD, 即9-6x4+5×(-写)=0， 所以AB⊥平面FAD,以A为坐标原点，AD,AB所在的直线 为x,y轴，过A垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐 解得=25 4 标系， -9 高中数学人教A版选择性必修第一册第9~12期 如图3所示，又二面角E-AB-D的平面角为60°， 则d=1.mL=8=5故(D)正确 I nI 85 3 故选(B)(C)(D). 三、填空题 2:4+(-)= 图3 提示： 12.因为4d=BC,CC=AM, 所以∠FAD=60°，AB=2AF=4, 所以MN=M店+BN 所以A(0,0,0),B(0,4,0),E(1,4,5),G(4,2,0), A正=(1,4,3)，BC=(4,-2,0), =子成+子C 所以4正.BG=4-8+0=-4≠0， =(D++子(BC+C 所以AE,BG不垂直，故(A)错误 B成=(1,0,5)，AG=(4,2,0), =子店+子和+子， 所以c0s〈B成，.⊙：庄·花4 又M=awA正+BAd+yAM, 1BE11AG12×2√5 5， 1 1 3 所以a=2B=4y=4, 所以直线BE与AG所成角的余弦值是，故(B)正确， 设平面AGE的一个法向量为n=(x,y,z), 放u+B+y= 3 n·AC=0, 13.如图4，以鼻尖所在位置为原点0，中庭下边界为x轴， 由已知 n·A正=0， 垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，因为三庭中一 庭的高度为2cm,五眼中一眼的宽度为Icm, r4x+2y=0, 所以 x+4y+5z=0, 取=1可得y=2=5 则平面46E的-个法向量为m=(山，-2,7）。 图4 又BG=(4,-2,0), 所以cos(BC,n〉= BG.n 所以A(24）B(-,2） I BGII nI 所以kAB= 4-2 =1 8 15 25x85 10· -(昌) 3 3 设直线BG与平面AGE所成的角为0， 利用点斜式方程可得到直线AB:)-2=x+之， 则sin0=Icos(BC,n〉i, 即为2x-2y+7=0, 所以直线BG与平面AGE所成角的正弦值是压， 10 所以原点0到直线AB的距离为d=7L=72 4+44 故(C)正确. 14设圆01,02,03,04的半径分别为1,2,3,14， 因为B=(0,-4,0), ,T1=T2, 平面6的个法的量为m=,-2.2) 由题意可得1+2=|002「=4， 设点B到平面AGE的距离为d, 1+n=1001=2 -10有望珍览洲瓣心游（思上券〉〉串|指漆位麻装蒂·作器丑武 本蚕责任编辑：藕还清 相纸编框质量反馈电话 02515271268 相纸发行质量反德电话 数理相 202s 年9月8日·星期 高中数学 第 10期总第1154期 人教A 0351-5271248 选择性必修第一 教授与乞丐 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 社长：徐文 国内统 连续出版物号 CN 140707NF)邮发代号：21-28 两人可时在白 “方凳的主例 数学思想在 由已知得√4-m=万，解得m=±1 想想方法：西数与方程思越在直线与周中 直线与圆中的应用 的应用，本情是通过代数方法解决见问题：周 方程表示因彩（如克线针藏式、的准式），联 尽管衣脑子卫筑 ⊙贵州 李华春 上方视组分析位置关系料孔式料相交，槽知】 一、化归与转化恩组 济几何量（距离、独长）转化为函敏表达式求最 人的发，然而我从未 思想方法：棒化与化如恶想在直线与的有 装列有批片意承 价转化是把未知解的向题转化〔在已有 关问题中常表现为一板性点我图形转化为特妹点 值，或引入参数处理动态问题，最终实现几何条 我实竹青春年 知识范围内可解的问题的一种重竖的思想通 成特徒图形充分义播特珠结状的代就式系数 维粉东赶北计其 过不的转化，达到化生为熟，化新为旧，化复 程等相关的儿何意义，转化为有类直线的平，点 三，分黄讨论思想 和无尽的中度 数为简单、北上油复始本等构. 到点当点到直线的离等问题来解染 分类讨论思想具有逻辑性，合性，探索 也 例1设直线l:3+2y-6=0,P(m,n)为 二、函数与方程思圳 的特点，更能考查学生的数学能力.在进行分类 线 1上的动点，则m3+n2-2的最小值为 函数思想，是指用函数的概念和性质 讨论时.首当其冲的可题是瞄准分类讨论的切 析何圆转化问题和解决问题，方程思想，是从 人点，走准分类对象，优化分类序，明确分类 (B) 问题的做量关系入手，用数学语言将问题中 快乐 标准，方能做到不重不条分缕析 我想年 的条件转化为数学横型（方程，不等式、或方程 例5已知直线：*+my+1=0与直线：m2x 不等式的合)，然后通过解方程（） ()海国C保写素： 18.(17 一1=D互相垂直，别实数m为 第二位：“我是 不等式（组）来使问题获解有时，还场过函数与 之写，这一生成从未有 答案：(B), 方程的瓦相转化与接轨，达到解央可圆的目的 (A)2(B0或2 快的觉，走到 解析：3+ -2m=m2+（m-12-1. 例3已知在△ABC中，LACB=0BC =4 (C)2成2(D)0成2 其中m+(-1)的几意义为点(m,) AC=3,P是AB上一点，则点P到AC,BC的距离 答案：(B). 时同都浪在无 与点(0,1)之间的距离的平方， 花积的最大值是 架析：将直线的方mx -2y-1=0化 比同中 根掘几句意义，将求代数式的最值问题转 (A)2 (B)3 物的感 化为求两点问的距离问题。 (C)4 (D)5 为式得=司 丙为点(0,1)到直线1：3x+2y -6=0的 答案：(B) 对T直线1：x+y+1=0 042-6.4厘 解析：建立如图2所示的 当m=0时：x=-1 2.1).C 创过 主世 篇d= V3+27 13 直角坐标系 进 步转化为点到直线的距离问思， 则B所在的直线方程为 此时4y=一之，显然两直线垂直： 去吧。成会让徐 善年轻一日的。 上帝 =1(0<x<4, 当0时，y■- 评子，屑念了纯们的没康 + 两人又童新曰到了 0<y<3) 若1与6垂直，则4=-1， 生命从1然岁开 期m2+-2山的最小值为始-1言 例2已知两点A(1.D) 所以：=4-兰0<y<3 即-。×号=-1，解得m=2 抄了一边 B(0,2),点P圆G:(+1) 设规段AB上任意一点P(x,y) 综上，当m=0或m=2时，山与2垂直 =1上任意一点， 则点P到AC,BC的距离来积为 例6若圆C:x-1)2+y+5)3=1与 △PB的面积的最小值为 中 =斯-=-(-) +3. 圆C:(x一+y2=1没有公共点，则实数a的 不 取范围是 答案：2 则当=时，采积对的最大植为3 答案：(-x,0)U(2.+✉) 第的工失 解析：底边AB所在直线方程为+子=1， 例4已知圆C:x2+y21与直线1：x-y 解析：网G:(*-1)3+(y+5)=1的圆 年去了，上帝义召见 m=0相交于不问的A,B两点 心为C(1.-3),半径r=1,圆C2:(-)2+ 即2x+y-2=0 (1)求实数m的取值范国： y2=1的画心为C(a,0),半径n=1, 心C到该直线的距离为 (2)若1AB1=万，求实数m的值 两圆无公共点，则两圆外宾或内含 d=12×(-1+0-21 >1 解：由+= 从而行分类时论 √2+T 消去y得。 5x-y+m=0 当两圆外实时，1C,G1>1+2=2, 学 故账边AB与圆C相离所以△PAB面积的 4x2+25mgm2-1=0. 所以√a-1)2+(0+3)>2. 最小值取决干△PA的高的最小值， 由已知得(2尽m)2-16( =1>0 解得a<0或a>2: 结合河知最小为-，： -1 解得-2<m<2 当两圆内含时，1C,C <151-31=0 放实数m的取值范围是(-2.2)》 无解 大启示：不囊瑟 所以△PAB面积的最小值为 (2)设圆C的半径为：， 以的取值范是-0,0)U(2.+0》 埋每自己的境昆不世 要学会如及，知的小 因为西心C(0.0)到直线I:5x-y+m=0 思想方法：本章中，在直线和圆的任置关系 才会快 =×+2× 1) 的高为d=m 的判断中常需要时直线斜率是否存在进什分奥 计论，在圆与国的位置美桑的判斯中常常要对 =2- 心亚和年之的大小美以及心的住置 以1AB1=2F-=2,1- 等进行分奥讨论 (下转第2版】 21 素养专练 数理极 短母额补·型驶地坐低|审(<轿一竖)领会版粘货如震肚 (上接第1版) 作出图象，如图3 的最大值，最小值分别楚0C1+,1QC1-, 四、数形结合思想 要使【与相交，且交点在第一象限 因为1QC1■√(2+2)+(7-3丁■42 数形结合思想就是婴使抽象的数学语音与直 南报1中个1、与l之相 t=22. 观的图形姑合起来，使抽象思维与形象思维结合 其中过点A,B,山过点A且与平行 起来，作罗庚先生说过：“数形本是两依绮，焉能分 依圆度导，=-2，。=1 i以1MQ1m■62.1MQ1■22 作两边飞数缺形时少直观，形少数时难入微”。 则-2<-a<1,即-1<a<2 (2由题查知点N在国上=：昌表示的是 例7直线：x+y-4=0与直线-y 例8已知國C:x2+y2-4x-14y+45=0及 定点Q(-2,3)与回上的动点N连线1的料率 2=0相交于第一象限，则实数。的取值范闲是 50(-2.3). (1)若点M是圈C上任意一点，求1MQ1的最 设1的方程为y-3=(x+2)。 (A)(-1,2) 大值，最小值： 即红-y+2业+3=0. (2)若点N(a,6)满见关系：a2+-4a-166 当直线与圆相时，d=「， (B》(-1,+￥) C)(-,2) +45=0求：=号的最大值 期2-7+2432w5 1 (D)(-,-1)U(2,+) 解折：圆C:x+y2-4-14y+45=0可国为 化简得-4h+1=0,解得k=2±5. 答案：(A) (*-2)2+(y-7)2▣8 解析：直钱4：x+ 40.4 (1)因为(-2-2) 的最大值为2 4=0恒过定点A(0, (3-7)2>8,所以点 思想方法：与圆有光的最值问题，直线与国的 4).其斜率为-a 直线4x-y-2■0 m2.0 Q(-2,3)在圆外点M是 交点问斑、与的位关幕同题都写能用到 圆C上任意一点，如图4 数彩站合思想科用最形站合解决问题，比传统的 与x轴的交点为(2.0》 结合图形可知MQ 解法更形、更巧妙，并且计算登小 第9期2版参考答案 圆心列线能面离为 该方程△<0，所以恢方程无解， 收不存在有足度的图C 椒2五2 9.解：(1)G的图心-3,4)，径r=4 由微AB的长为2得点G到直线1的闻离为 425:53-4y±10=0 5 又点P0.-2)到点线的离4=司 624￥-7y-0=0成x=2 专项小练二 又d.2m4》×(-3》+m-2×4-3m-4 /2用+1T+-2T 1.C:2C:3.AHmn4.3:5〔0.2-万 615-x=1=0 爵 ,51m+3刘 2)-12=3 解=1，★=1 第9期3版参考答案 则直钱的方程为于=1车+1 阴：5，解得- m1 7.解：由盟知圆0的圆20，(-1，-3)，半径r一i 一，单项洗招量 1-4A0C通3-8DC 图0的图03，-1)，半径63， (2)em∠aPw-1-2ir∠nre 1001=③+1+(-1+3》=25>+2 =1-2(） 三、填空通 所以团外离，研以两园四条公谢线 2.2+y-6=0:3（-1,4:142 当公的料丰存在时 四、解答道 可设公切方程为+6，即一y+b=0, 5解：(1)设遇化，圆0的半径长分别为4 -+3±1=1， 且号知1-之 因为国粉外，防以10，心1·+2 以1P1≥.以ICP时=d时，∠%的值最小. 8) 3就+1+61 #3 所以r=0- 即o…∠NPN的最小信为1-子 ▣2-04(1+1-2.2（反-1） 所的方程品x2)◆女-1)。2-8反 由已知特1-琴-是期特d=35, 2)月以，方程为x=2+《￥-1。(301 s-o 6- 园，的方程相减得弦所在直线的方程为4 53g,聘m子 /m+1 出公5线学事不存计 4y+-8-0 点线x01用H机 此时直线的力程为2 -y-5=0 所匹C0,(0,,1)到直线A想的距离为 以所求方程为+4=D,4-3y0,x。0,3 设,2a-5),以CP为直径的W记为圆. 0=14-()=, 刘圆D的方程x+3)G-)+G-4y-3+5)=0. +平 报解：1》晨拒愿可模24，》d>0.半径为 即2+2+(3-a)x+1-2ay5-200,① 能得=4或20 件=24，由勾定理可得2+5=(2) c的方军均2+ 2 由2-①得a3江+(2a-9y-5+9■0， 所以厘0，的方程为x-2)2+{y-1)2=4成（年-2）9 因为M,N两点为图C正D的公共点， 0s话1) 州) -(d) D5+8-214) -1)220 以心，G坐为(2,1 无0加为有线W的方积 16解：1》团罪的建行程为（事-a)+￥=(a (2)依圆爸授通心Ca,b),半径为尾 0>0).刘心(.0)到直线x+y+2=0的范 因为圆心c在直子上，所以。2 3变移得：+2-5m+3-g+29=0 为+221 若图G与直线￥-2y-【=0相切， o 2+4=2 解一是 (今水)就线一 () 若圆C西0：江+(y-2)2·1相外切， b= 41C01=R+1 解得a=0现。42（会去）.时以了产▣4. 即/a-0+(B-2=1+& 点线M经过定点（是 -01(5) 01--5) 0=5+-x() Z.0) (十·-二元) ) 81-21-8)E 边厘量的起池方程为2+子=本 2)设线1的方程为缸+1 可得5球-，425：0， 仔兹琳