专题02 直线与圆的方程（4知识&17题型&4易错）（期中知识清单）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题02 直线与圆的方程 （4知识&17题型&4易错） 【清单01】直线的方程 1、直线的倾斜角 （1）倾斜角的定义：当直线与轴相交时，我们把轴称为基准，轴的正向与向上的方向之间所产生的角叫做直线的倾斜角． （2）倾斜角的范围：当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角的取值范围为，具体如下： 2、直线的斜率 （1）斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母表示，即． （2）斜率公式：经过两点、的直线的斜率公式为． 3、直线方程的五种形式 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 与x轴、y轴均不垂直的直线 截距式 横截距a，纵截距b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 （A2＋B2≠0） 平面直角坐标系内所有直线 【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数． 【清单02】两条直线的位置关系 1、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2． ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2． （2）两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1． ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2． 2、两条直线的交点的求法 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)， 则l1与l2的交点坐标就是方程组的解． 3、三种距离公式 （1）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝． 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝． （2）点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． （3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝． 【清单03】圆的方程 1、圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b)，半径：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心： 半径：r＝ 2、点与圆的位置关系 点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2． 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆内 3、二元二次方程与圆的关系 不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆． 若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有： （1）当F＝0时，圆过原点． （2）当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上． （3）当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点． （4）当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切． 【清单04】直线与圆、圆与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系 （1）直线与圆位置关系的判断方法 ① ② （2）圆的切线与切线长 ①过圆上一点的圆的切线 过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2． 过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2． ②过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0． ③切线长 从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 ． 两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝． 【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． （3）圆的弦长：直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法 ①几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2. ②代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|． 2、圆与圆的位置关系 （1）圆与圆位置关系的判断方法(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|) 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 交点个数 0 1 2 1 0 d与，的关系 【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论． （2）两圆公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 【题型一】直线的倾斜角与斜率 1、求直线倾斜角的方法及关注点 （1）定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角． （2）关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论． 2、求直线斜率的方法 （1）定义法：由倾斜角的值（或范围）求斜率的值（或范围）时，用定义式求解． （2）公式法：由两点坐标，求斜率，利用两点斜率公式求解． （3）待定系数法：如果直线沿轴负方向平移个单位长度，再沿轴正方向平移个单位长度后，又回到原来的位置，求直线的斜率．此类问题可通过平移前和平移后的两个方程的同一性，进行相应系数的比较求得结果． 【例1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）过点和点的直线倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由过点和点的直线为，即其倾斜角为.故选：B 【变式1-1】（24-25高二上·河南开封·期中）若经过，两点的直线斜率为1，则实数（    ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】B 【解析】过，两点的直线斜率为， 所以，解得，．故选：B． 【变式1-2】（24-25高二上·贵州贵阳·月考）已知直线的斜率，则该直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线倾斜角为，则， 由可得， 所以.故选：B. 【变式1-3】（24-25高二上·福建泉州·期中）平面直角坐标系中，直线的方向向量为，则的倾斜角为 . 【答案】 【解析】由题意直线的方向向量为， 则直线的斜率，设直线的倾斜角为， 所以，所以的倾斜角为. 【题型二】直线与线段相交求范围问题 利用直线的斜率的几何意义求最值（或取值范围）两点注意 （1）直线的斜率反映了直线的倾斜程度，且（，是直线上横坐标不等的两点）； （2）在求形如的式子的最值时，可以将看作动点与定点所确定的直线的斜率，数形结合求出最值（或取值范围），即将代数问题转化为几何问题来处理． 【例2】（24-25高二上·广东中山·月考）设点､，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解析】如图所示： 依题意，， 要想直线l过点且与线段AB相交， 则或，故选：A 【变式2-1】（24-25高二上·福建三明·月考）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线的方程可化为， 联立方程组，可得，所以直线过定点， 由题意得，直线的斜率一定存在， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即， 因为，所以或， 又直线的斜率，所以， 故直线的倾斜角的取值范围是．故选：D． 【变式2-2】（25-26高二上·重庆·月考）已知点，，若直线与线段AB相交，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线过定点， 而，， 由图可知，要使直线与线段AB相交， 则或，即k的取值范围是.故选：B. 【变式2-3】（24-25高二上·四川眉山·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围 . 【答案】 【解析】设点，依题意，． 因为直线与线段有交点，所以或， 由图可知直线的斜率的取值范围是． 【题型三】五种直线方程的求解 （1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程； （2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程． 【例3】（24-25高二下·北京·期中）以为端点的线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为则， 所以线段AB的中垂线的斜率为， 又线段的中点为，即， 所以线段中垂线方程为：，即.故选：C． 【变式3-1】（24-25高二上·北京·期中）动直线与一点．当点到直线的距离最大时，直线的方程为 ． 【答案】 【解析】直线方程变形为：， 由解的：，即直线过定点， 当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大，又 此时，则，则直线的方程为，即. 【变式3-2】（23-24高二上·海南三亚·期中）已知的顶点为，，，求： (1)边AC上的中线所在直线的方程； (2)边AC上的高所在直线的方程； 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设中点为，所以，即， 所以，直线：，即， 所以边上的中线所在的直线方程为. （2）由题意得，所以边上高的斜率为， 所以边上高所在直线的方程为：，即. 【变式3-3】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由，即， 则，解得，所以直线过定点. （2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则， 由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. （3）已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 【题型四】两条直线平行与垂直关系 由一般式方程确定两直线位置关系的方法 直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)， l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) l1与l2垂直的充要条件 A1A2＋B1B2＝0 l1与l2平行的充分条件 ＝≠(A2B2C2≠0) l1与l2相交的充分条件 ≠(A2B2≠0) l1与l2重合的充分条件 ＝＝(A2B2C2≠0) 【例4】（24-25高二下·山西·期中）若直线与直线垂直，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】由直线与直线垂直，得，所以.故选：C 【变式4-1】（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知直线与直线平行，则实数a的值为（    ） A． B． C．或1 D．或1 【答案】D 【解析】由直线与直线平行，得，解得或， 所以实数a的值为或1.故选：D 【变式4-2】（24-25高二下·江西上饶·期中）（多选）若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．5 【答案】AD 【解析】由斜率的定义，直线的斜率， 因为，则，解得或， 代入验证或时，两点横坐标均不同，直线的斜率均存在， 故或均满足题意，故选：AD. 【变式4-3】（24-25高二上·山东济宁·月考）已知直线，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线可化为， 直线可化为， 因为，所以且.故选：C. 【题型五】两条直线的交点问题 求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程． 【例5】（24-25高二上·黑龙江绥化·月考）直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解方程组，得， 所以所求交点坐标为.故选：B 【变式5-1】（24-25高二上·黑龙江·月考）若直线与的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得， 因为两条直线的交点在第一象限，故且，故， 故，解得或.故选：A. 【变式5-2】（25-26高二上·江苏南京·月考）（多选）设为实数，若三条直线，和不能构成三角形，则实数的取值可能为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】AD 【解析】①当三条直线交于一点时不能围成三角形， 由，得到交点坐标为， 由直线过点，可得得； ②当直线与直线平行时， 不能围成封闭图形，则且，解得； ③当直线与直线平行时， 不能围成三角形，则且，解得.故选：AD. 【变式5-3】（25-26高二上·安徽亳州·月考）（多选）已知与是直线（k为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况说法错误的是（    ） A．无论k、M、N如何，总是无交点 B．存在k、M、N使之无交点 C．无论k、M、N如何，总是唯一交点 D．存在k、M、N使之有无穷多交点 【答案】ABD 【解析】由于与是直线（k为常数）上两个不同的点， 故，， 又， 由于，因此，故直线不平行，也不重合， 故两直线相交，因此只有唯一的交点，故C正确，ABD错误，故选：ABD 【题型六】直线的距离公式及应用 点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 （1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式． （2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等． 【例6】（24-25高二下·浙江·期中）若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】有已知直线与直线平行， 则，即， 此时直线与直线，即满足平行， 则两直线间距离，故选：D. 【变式6-1】（24-25高二上·湖南邵阳·期中）已知两点和到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【解析】依题意得，直线过线段的中点，或与直线平行. 线段的中点坐标为，且在直线上， ，解得； 由两直线平行知，解得. 因此的值为或，故选：A 【变式6-2】（23-24高二上·山西运城·期中）若，点到直线的距离是，则这条直线的斜率是 . 【答案】 【解析】由题意结合点到直线的距离公式可得： 又，故，所以， ，解得， 又，故，所以， 则这条直线的斜率 【变式6-3】（24-25高二上·山东济南·月考） ，函数的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】设点，和直线，到l的距离分别为， 易知，显然. 当且仅当重合时取得等号.故选：C 【题型七】直线的对称关系及应用 1、点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． 3、点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)， 则有 4、线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． 【例7】（24-25高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且， 所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得.故选：C. 【变式7-1】（24-25高二上·广东清远·期中）已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，设直线的方程为且. 因为直线关于直线对称，所以与间的距离等于与间的距离. 由两平行直线间的距离公式，得，解得或（舍去）. 所以直线的方程为.故选：D. 【变式7-2】（24-25高二上·云南玉溪·期中）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线不会经过下列哪个点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】倾斜角为的且过的直线的方程为，即， 设点关于直线的对称点，则， 即，解得，即， 于是反射后的光线所在的直线方程为，即， 对于A：时，； 对于B：时，； 对于C：时，； 对于D：时，.故选：D 【变式7-3】（24-25高二上·贵州黔东南·期中）已知点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】如图，设关于直线对称的点为，则 解得，则， 所以.故选：D. 【题型八】圆的标准方程与一般方程 1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． 2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； （2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 【例8】（24-25高二上·湖南长沙·期中）以点为圆心，且经过点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为圆是以点为圆心，且经过点， 所以圆的半径为：， 所以圆的方程为，故选：A 【变式8-1】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，则的中点为，且， 所以为直径的圆的方程为，即，故选：A. 【变式8-2】（24-25高二上·河南南阳·月考）已知圆经过两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆心的坐标为. 因为圆心在直线上，所以①， 因为是圆上两点，所以， 根据两点间距离公式，有，即②， 由①②可得. 所以圆心的坐标是），圆的半径. 所以，所求圆的标准方程是.故选:C. 【变式8-3】（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知点，，，则的外接圆的标准方程为 ． 【答案】 【解析】对于和，中点坐标为. 再求线段的斜率. 那么垂直平分线的斜率为（因为两条垂直直线的斜率乘积为）. 利用点斜式，可得线段垂直平分线方程为，即.   线段的中点坐标为. 线段在轴上，其垂直平分线为. 联立，把代入， 得，解得. 所以圆心坐标为. 根据两点间距离公式，圆心到的距离就是半径. . 根据圆的标准方程，可得. 则的外接圆的标准方程为. 【题型九】直线与圆的位置关系判断 直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． （3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 【例9】（24-25高二上·天津·期中）直线l：与圆C：的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【答案】A 【解析】圆C的圆心坐标为，半径为2，直线l的方程为， 圆心到直线l的距离为， 所以直线l与圆C的位置关系是相交.故选：A. 【变式9-1】（24-25高二上·福建莆田·期中）若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相离 【答案】B 【解析】因为点在圆外，所以. 圆的圆心坐标为，半径. 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离. 由，可得，则，即圆心到直线的距离. 所以直线与圆的位置关系是相交.故选：B. 【变式9-2】（24-25高二上·山东菏泽·月考）（多选）直线：与圆：的公共点的个数可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BC 【解析】圆：的圆心为，半径， 当时，点到直线的距离， 因此直线与圆相切或相交，所以直线与圆的公共点个数为或．故选：BC． 【变式9-3】（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆上，直线与圆相切 B．点在圆内，直线与圆相离 C．点在圆外，直线与圆相切 D．点在圆上，直线与圆相交 【答案】A 【解析】圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切， 因为，故点在圆上.故选：A. 【题型十】由直线与圆的位置关系求参数 根据直线与圆位置关系求参数问题步骤 第一步：明确直线与圆的方程形式，圆的一般方程化为标准方程，直线的斜截式化为一般式． 第二步：选择合适的代数条件，优先用距离法，次用判别式法． 第三步：建立不等式（或方程）并求解参数范围． （1）求根据题目要求的位置关系（相离/相切/相交），代入对应的代数条件，建立关于参数的不等式； （2）求解不等式时，注意参数的隐含限制（如圆的半径为正、直线斜率存在的条件等），最终取“不等式解”与“隐含限制”的交集． 【例10】（24-25高二上·辽宁·期中）“”是“直线与曲线恰有1个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】曲线表示圆心，半径为的圆的上半部分（包括与轴的交点）， 直线的斜率为1，在轴上的截距为， 当直线与曲线恰有1个公共点时，该直线与曲线相切或有一个交点， 如图所示： 相切时，圆心到直线距离等于2，则， 即或（舍去，因为当时与下半部分相切，不符合题意）. 由图象可知，有一个交点时，. 综上可知，当直线与曲线恰有1个公共点时，或. 于是，当“”时，直线“与曲线恰有1个公共点”，则充分性成立； 当直线与曲线恰有1个公共点时，或，则必要性不成立. 所以， “”是“直线与曲线恰有1个公共点”的充分不必要条件. 故选：A 【变式10-1】（24-25高二下·上海·期中）若直线与曲线有两个公共点，则实数b的取值范围是 . 【答案】 【解析】曲线即, 如图所示，当即时，直线与曲线有两个公共点， 直线向左上移动，当直线与曲线相切时，有一个公共点， 原点到直线的距离为半径，即，解得， 所以，当有两个公共点时. 【变式10-2】（24-25高二下·黑龙江佳木斯·月考）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是______________． 【答案】 【解析】当时，曲线为（）， 表示以为圆心，1为半径的圆的右半圆； 当时，曲线为（）， 表示以为圆心，1为半径的圆的左半圆； 所以曲线的图像如图所示： 当直线位于与之间或与之间时， 直线与曲线有两个不同的交点， 当直线位于时，直线与圆相切， 则，解得； 当直线位于时，； 直线位于与之间时，. 同理可得，直线位于与之间时，. 综上，实数的取值范围是. 【变式10-3】（24-25高二上·四川成都·期末）已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】由圆，可得圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 由圆上至少有3个点到直线的距离为1， 所以.故选：A. 【题型十一】直线与圆的相交弦长问题 1、几何法：如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 2、代数法：若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点， 则|AB|＝·＝ ·|yA－yB| (其中k≠0)． 特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|． 【例11】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线与圆相交于M、N两点，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】由，一般式为， 由的圆心为，半径为2， 所以到的距离为， 综上，.故选：D 【变式11-1】（24-25高二下·湖南·期中）已知直线与圆相交于两点，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】设圆心到直线的距离为， 则由点到直线的距离公式可得． 因为，所以，解得．故选：B. 【变式11-2】（24-25高二下·云南·期中）已知直线与圆交于A、B两点，若，则a的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由圆可知圆心，半径， 由，解得， 则圆心到直线的距离为，则，解得.故选：C． 【变式11-3】（24-25高二下·福建福州·期中）已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则弦长的取值范围是 . 【答案】 【解析】由直线l：，得直线l恒过定点， 由圆C：，得，圆心，半径为， 又，即点在圆内， 当直线l经过圆心时，， 当直线时，，则， 所以的取值范围是. 【题型十二】圆的切线与切线长问题 1、几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证； 2、代数法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证． 【例12】（24-25高二上·江苏镇江·期中）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由圆的方程，可得圆心坐标为， 将的坐标代入圆的方程，得，则点在圆上， 又，所以过点与圆相切的直线的斜率为1， 所以过点的切线方程为，即.故选：D. 【变式12-1】（24-25高二下·湖南常德·开学考试）已知圆C:,过点P（3,1）作圆C的切线，则切线方程为 ． 【答案】或 【解析】由题意知 在圆外,当切线斜率不存在时,切线方程为 ，满足题意； 当斜率存在时，设为 切线方程为 ． 综上，切线方程为或 【变式12-2】（2025·湖北黄冈·二模）已知方向向量为的直线与圆相切，则的方程为 ． 【答案】 【解析】因为直线的方向向量为，所以设直线方程为，即， 又直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离为，解得， 所以直线方程为. 【变式12-3】（24-25高二上·吉林·月考）若过点作圆的切线，切点为，则 ． 【答案】2 【解析】 由题意得圆的圆心坐标，半径，， 则， 所以. 【题型十三】圆与圆的位置关系 可用代数法与几何法判断圆与圆的位置关系： （1）几何法：通过比较两圆半径为r1，r2与圆心距d＝|O1O2|之间的关系判断； （2）代数法：联立两圆的方程，通过确定方程解的个数来判断圆与圆的位置关系． 【例13】（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【解析】由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 则，，， 由，则两圆相交.故选：C. 【变式13-1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）圆和与圆的位置关系为（    ） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为，所以， 故圆与圆相交.故选：B. 【变式13-2】（24-25高二上·青海西宁·期中）已知圆，圆，则圆的位置关系为（    ） A．内含 B．外切 C．内切 D．相交 【答案】C 【解析】由圆得：， 所以圆的圆心坐标为，半径， 又由圆得：， 所以圆的圆心坐标为，半径， 则圆心距， 由于，所以， 则圆的位置关系为内切.故选：C. 【变式13-3】（24-25高二上·山东·期中）已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】B 【解析】因为，所以， 故的圆心为，半径且， 而的圆心为，半径， 因为关于直线对称，所以直线经过圆心， 故，解得，由两点间距离公式得， 所以，则圆与圆外切，故B正确.故选：B. 【题型十四】两圆的公共弦问题 公共弦长的求法 （1）代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． （2）几何法：将两圆作差可得到公共弦所在直线方程，利用其中一个圆的圆心和半径，求得该圆心和公共弦所在直线的距离即弦心距，在弦心距、弦的一半和半径构成的直角三角形中，利用勾股定理可以求得弦的一半，进而得到公共弦长． 【例14】（24-25高二上·河北邢台·期末）圆与圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由圆与圆方程相减可得：， 所以公共弦所在的直线方程为，故选：A 【变式14-1】（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据已知条件， ：，化为：， ：，化为：， 因为两圆相交，所以两圆方程相减得：， 所以直线的方程为：.故选：A 【变式14-2】（24-25高二上·广东深圳·期中）圆与的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知圆，圆， 两圆方程作差，得到其公共弦的方程为：， 而圆心到直线的距离为， 圆的半径为，所以，所以.故选：D 【变式14-3】（24-25高二下·湖北·期中）已知圆和圆，则两圆的公共弦长为 . 【答案】 【解析】 如图，由圆与圆相减， 整理可得两圆的公共弦所在直线方程为：， 由圆的圆心到直线的距离为， 由弦长公式，可得两圆的公共弦长为. 【题型十五】两圆的公切线问题 两圆公切线方程的确定 （1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程； （2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程． 【例15】（24-25高二下·湖南娄底·期中）圆与圆的公切线有且仅有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】A 【解析】圆：，所以，. 圆：，所以，. 因为，，所以. 所以圆与圆相离.所以两圆有4条公切线.故选：A 【变式15-1】（24-25高二上·湖南·月考）圆：与圆：的内公切线长为（    ） A．3 B．5 C． D．4 【答案】D 【解析】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为：故选：D 【变式15-2】（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）（多选）与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切， 则两圆有三条公切线，如图， 的中点为两圆外切切点， 当公切线过的中点，且与垂直时， 因为，所以公切线的方程为，即； 当公切线与平行，且到公切线的距离为时， 设公切线的方程为， 所以，解得或， 所以公切线的方程为或． 综上所述，公切线的方程为或或.故选：BCD． 【变式15-3】（24-25高二上·江苏苏州·期中）圆与圆C关于直线对称，写出两圆的一条公切线： . 【答案】答案不唯一 【解析】设关于直线对称点的坐标为， 则，解得， 圆C的方程是，其圆心坐标为，半径为1， 两圆的圆心距， 所以两圆外离，且， 设与OC平行的公切线方程为，即， 则由O到直线的距离，可得，解得， 所以两圆的一条公切线为或， 另外，根据对称性可知，，也为两圆的公切线. 【题型十六】圆的轨迹问题 1、直接法：直接根据题目提供的条件列出方程； 2、定义法：根据圆、直线等定义列方程； 3、几何法：利用圆的几何性质列方程； 4、代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式． 【例16】（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知点P在圆上运动，为坐标原点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设线段的中点， 则由题，且即， 所以即， 所以线段的中点的轨迹方程为.故选：A. 【变式16-1】（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·开学考试）已知A，B为圆上的两个动点，P为弦AB的中点，若，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的方程可化为，，半径， 因为，所以， 又是的中点，所以， 所以点的轨迹方程为．故选：B. 【变式16-2】（25-26高二上·河北保定·月考）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹． 【答案】(1)；(2)以为圆心，为半径的圆 【解析】（1）因为圆过A,B两点,所以圆心C在线段的垂直平分线上. 因为,所以线段的中点为,直线AB的斜率， 所以线段的垂直平分线斜率不存在,方程为:. 因为圆C的圆心在轴上,所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,所以圆心为. 又半径，所以圆的方程为:． （2）设，．由，得, 所以即 因为点在圆上，所以，所以， 化简整理得的轨迹方程为:， 所以点的轨迹是:以为圆心，为半径的圆． 【变式16-3】（24-25高二上·江苏常州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，点满足，则点的轨迹为圆，设其圆心为，已知直线：经过定点，则的面积的最大值为 ． 【答案】 【解析】设，则， 整理得到：， 故，轨迹圆的半径为， 直线可化为，故直线过定点， 中，边上的高的最大值为轨迹圆的半径，而， 故面积的最大值为. 【题型十七】与圆有关的最值问题 求解与圆有关的最值问题步骤 第一步定型：根据题目条件确定最值问题的类型； 第二步作图：根据几何意义，画出图形，利用数形结合思想求解； 第三步求值：根据图形，利用相关知识求解． 【例17】（24-25高二上·安徽·期中）已知直线恒过点，圆，则圆上的点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，圆上的点到直线的距离可取到最大值，而， 所以，又圆的半径为2， 故圆上的点到直线的距离的最大值为．故选：B. 【变式17-1】（24-25高二下·贵州遵义·期中）已知点满足，点，则的最大值为（    ） A．3 B． C． D．6 【答案】C 【解析】 因为，变形得， 所以轨迹是以为圆心，以为半径的圆的上半部分，如图所示， 则当与点重合时线段长度最大， 可知当与点重合时，, 在中根据勾股定理可知.故选：C. 【变式17-2】（24-25高二上·福建福州·期中）已知实数，满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】即表示圆心为，半径为的圆， 又表示过点和点的直线的斜率， 如图所示：直角中，，，, 故，同理可得， 所以.故选：B. 【变式17-3】（24-25高二上·福建莆田·期中）已知圆，若为圆上的动点，则的最大值与最小值的差是 . 【答案】40 【解析】圆的方程为，其圆心. 根据两点间距离公式，原点到圆心的距离 . 因为在圆上运动，圆的半径. 表示点到原点距离的平方. 的最小值为； 的最大值为. 最大值与最小值的差为. 【易错一】误解“截距”与“距离”致错 点拨：截距是指曲线与坐标轴交点的横（纵）坐标，它是一个实数，可为正数、负数、零，而距离一定是非负数，应高度重视． 【典例】（24-25高二下·河南·期末）直线在轴的截距为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】令，得，所以直线在轴的截距为.故选：A 【变式】（24-25高二上·上海·月考）过点，且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程为 ． 【答案】和 【解析】当在x轴、y轴上的截距为0时，设直线方程为，代入，可得 ，故，此时直线方程为， 当截距均不为0时，设直线方程为，将代入可得，解得， 故直线方程为，即， 综上可得满足条件的直线方程有：和. 【易错二】忽视斜率不存在的情况致错 点拨：(1)在解决两直线平行的相关问题时，若利用l1∥l2⇔k1＝k2求解，忽略k1，k2不存在的情况，就会导致漏解． (2)对于解决两直线垂直的相关问题时，若利用l1⊥l2⇔k1·k2＝－1求解，要注意其前提条件是k1与k2必须同时存在． 【典例】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】若则直线与垂直，满足题意， 若则,则. 综上所述，则或.故选：C 【变式】（24-25高二下·上海浦东新·期中）若直线与直线垂直，则 ． 【答案】 【解析】由题知，斜率为， 若，则，，不垂直； 若，则，，不垂直； 若，则斜率为， 所以，解得. 【易错三】平行线间距离公式使用不当致错 点拨：在求解平行线间的距离时需先将的系数先化为一致，再使用距离公式进行求解． 【典例】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线与直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】可变为， 则两条平行直线间的距离为.故选：B 【变式】（24-25高二下·上海浦东新·期中）直线与直线的距离为 . 【答案】 【解析】直线的方程可化为，由题意可知，， 所以，直线与直线的距离为. 【易错四】遗漏二元二次方程表示圆的条件致错 点拨：二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，在此条件下，再根据其他条件求解． 【典例】（24-25高二上·福建厦门·期中）若点在圆：的外部，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点在圆：的外部， 所以，解得， 又方程表示圆， 所以，解得， 故实数a的取值范围为．故选：C 【变式】（24-25高二上·山东威海·期中）过原点可以作两条线与圆相切，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆，即 圆心为，半径，且，∴ 又因为过原点可作两条直线与圆相切，所以原点在圆外， ∴，解得且，故选：B. 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线与圆的方程 （4知识&17题型&4易错） 【清单01】直线的方程 1、直线的倾斜角 （1）倾斜角的定义：当直线与轴相交时，我们把轴称为基准，轴的正向与向上的方向之间所产生的角叫做直线的倾斜角． （2）倾斜角的范围：当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角的取值范围为，具体如下： 2、直线的斜率 （1）斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母表示，即． （2）斜率公式：经过两点、的直线的斜率公式为． 3、直线方程的五种形式 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 与x轴、y轴均不垂直的直线 截距式 横截距a，纵截距b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 （A2＋B2≠0） 平面直角坐标系内所有直线 【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数． 【清单02】两条直线的位置关系 1、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2． ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2． （2）两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1． ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2． 2、两条直线的交点的求法 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)， 则l1与l2的交点坐标就是方程组的解． 3、三种距离公式 （1）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝． 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝． （2）点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． （3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝． 【清单03】圆的方程 1、圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b)，半径：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心： 半径：r＝ 2、点与圆的位置关系 点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2． 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆内 3、二元二次方程与圆的关系 不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆． 若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有： （1）当F＝0时，圆过原点． （2）当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上． （3）当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点． （4）当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切． 【清单04】直线与圆、圆与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系 （1）直线与圆位置关系的判断方法 ① ② （2）圆的切线与切线长 ①过圆上一点的圆的切线 过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2． 过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2． ②过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0． ③切线长 从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 ． 两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝． 【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． （3）圆的弦长：直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法 ①几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2. ②代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|． 2、圆与圆的位置关系 （1）圆与圆位置关系的判断方法(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|) 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 交点个数 0 1 2 1 0 d与，的关系 【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论． （2）两圆公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 【题型一】直线的倾斜角与斜率 1、求直线倾斜角的方法及关注点 （1）定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角． （2）关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论． 2、求直线斜率的方法 （1）定义法：由倾斜角的值（或范围）求斜率的值（或范围）时，用定义式求解． （2）公式法：由两点坐标，求斜率，利用两点斜率公式求解． （3）待定系数法：如果直线沿轴负方向平移个单位长度，再沿轴正方向平移个单位长度后，又回到原来的位置，求直线的斜率．此类问题可通过平移前和平移后的两个方程的同一性，进行相应系数的比较求得结果． 【例1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）过点和点的直线倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二上·河南开封·期中）若经过，两点的直线斜率为1，则实数（    ） A．3 B． C．2 D．1 【变式1-2】（24-25高二上·贵州贵阳·月考）已知直线的斜率，则该直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二上·福建泉州·期中）平面直角坐标系中，直线的方向向量为，则的倾斜角为 . 【题型二】直线与线段相交求范围问题 利用直线的斜率的几何意义求最值（或取值范围）两点注意 （1）直线的斜率反映了直线的倾斜程度，且（，是直线上横坐标不等的两点）； （2）在求形如的式子的最值时，可以将看作动点与定点所确定的直线的斜率，数形结合求出最值（或取值范围），即将代数问题转化为几何问题来处理． 【例2】（24-25高二上·广东中山·月考）设点､，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·福建三明·月考）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·重庆·月考）已知点，，若直线与线段AB相交，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二上·四川眉山·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围 . 【题型三】五种直线方程的求解 （1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程； （2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程． 【例3】（24-25高二下·北京·期中）以为端点的线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·北京·期中）动直线与一点．当点到直线的距离最大时，直线的方程为 ． 【变式3-2】（23-24高二上·海南三亚·期中）已知的顶点为，，，求： (1)边AC上的中线所在直线的方程； (2)边AC上的高所在直线的方程； 【变式3-3】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【题型四】两条直线平行与垂直关系 由一般式方程确定两直线位置关系的方法 直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)， l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) l1与l2垂直的充要条件 A1A2＋B1B2＝0 l1与l2平行的充分条件 ＝≠(A2B2C2≠0) l1与l2相交的充分条件 ≠(A2B2≠0) l1与l2重合的充分条件 ＝＝(A2B2C2≠0) 【例4】（24-25高二下·山西·期中）若直线与直线垂直，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式4-1】（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知直线与直线平行，则实数a的值为（    ） A． B． C．或1 D．或1 【变式4-2】（24-25高二下·江西上饶·期中）（多选）若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．5 【变式4-3】（24-25高二上·山东济宁·月考）已知直线，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型五】两条直线的交点问题 求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程． 【例5】（24-25高二上·黑龙江绥化·月考）直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·黑龙江·月考）若直线与的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·江苏南京·月考）（多选）设为实数，若三条直线，和不能构成三角形，则实数的取值可能为（    ） A． B． C．1 D． 【变式5-3】（25-26高二上·安徽亳州·月考）（多选）已知与是直线（k为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况说法错误的是（    ） A．无论k、M、N如何，总是无交点 B．存在k、M、N使之无交点 C．无论k、M、N如何，总是唯一交点 D．存在k、M、N使之有无穷多交点 【题型六】直线的距离公式及应用 点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 （1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式． （2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等． 【例6】（24-25高二下·浙江·期中）若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二上·湖南邵阳·期中）已知两点和到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式6-2】（23-24高二上·山西运城·期中）若，点到直线的距离是，则这条直线的斜率是 . 【变式6-3】（24-25高二上·山东济南·月考） ，函数的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【题型七】直线的对称关系及应用 1、点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． 3、点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)， 则有 4、线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． 【例7】（24-25高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高二上·广东清远·期中）已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·云南玉溪·期中）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线不会经过下列哪个点（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高二上·贵州黔东南·期中）已知点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【题型八】圆的标准方程与一般方程 1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． 2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； （2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 【例8】（24-25高二上·湖南长沙·期中）以点为圆心，且经过点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高二上·河南南阳·月考）已知圆经过两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知点，，，则的外接圆的标准方程为 ． 【题型九】直线与圆的位置关系判断 直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． （3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 【例9】（24-25高二上·天津·期中）直线l：与圆C：的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【变式9-1】（24-25高二上·福建莆田·期中）若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相离 【变式9-2】（24-25高二上·山东菏泽·月考）（多选）直线：与圆：的公共点的个数可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式9-3】（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆上，直线与圆相切 B．点在圆内，直线与圆相离 C．点在圆外，直线与圆相切 D．点在圆上，直线与圆相交 【题型十】由直线与圆的位置关系求参数 根据直线与圆位置关系求参数问题步骤 第一步：明确直线与圆的方程形式，圆的一般方程化为标准方程，直线的斜截式化为一般式． 第二步：选择合适的代数条件，优先用距离法，次用判别式法． 第三步：建立不等式（或方程）并求解参数范围． （1）求根据题目要求的位置关系（相离/相切/相交），代入对应的代数条件，建立关于参数的不等式； （2）求解不等式时，注意参数的隐含限制（如圆的半径为正、直线斜率存在的条件等），最终取“不等式解”与“隐含限制”的交集． 【例10】（24-25高二上·辽宁·期中）“”是“直线与曲线恰有1个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式10-1】（24-25高二下·上海·期中）若直线与曲线有两个公共点，则实数b的取值范围是 . 【变式10-2】（24-25高二下·黑龙江佳木斯·月考）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是______________． 【变式10-3】（24-25高二上·四川成都·期末）已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【题型十一】直线与圆的相交弦长问题 1、几何法：如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 2、代数法：若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点， 则|AB|＝·＝ ·|yA－yB| (其中k≠0)． 特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|． 【例11】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线与圆相交于M、N两点，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式11-1】（24-25高二下·湖南·期中）已知直线与圆相交于两点，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式11-2】（24-25高二下·云南·期中）已知直线与圆交于A、B两点，若，则a的值是（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（24-25高二下·福建福州·期中）已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则弦长的取值范围是 . 【题型十二】圆的切线与切线长问题 1、几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证； 2、代数法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证． 【例12】（24-25高二上·江苏镇江·期中）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（24-25高二下·湖南常德·开学考试）已知圆C:,过点P（3,1）作圆C的切线，则切线方程为 ． 【变式12-2】（2025·湖北黄冈·二模）已知方向向量为的直线与圆相切，则的方程为 ． 【变式12-3】（24-25高二上·吉林·月考）若过点作圆的切线，切点为，则 ． 【题型十三】圆与圆的位置关系 可用代数法与几何法判断圆与圆的位置关系： （1）几何法：通过比较两圆半径为r1，r2与圆心距d＝|O1O2|之间的关系判断； （2）代数法：联立两圆的方程，通过确定方程解的个数来判断圆与圆的位置关系． 【例13】（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【变式13-1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）圆和与圆的位置关系为（    ） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 【变式13-2】（24-25高二上·青海西宁·期中）已知圆，圆，则圆的位置关系为（    ） A．内含 B．外切 C．内切 D．相交 【变式13-3】（24-25高二上·山东·期中）已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【题型十四】两圆的公共弦问题 公共弦长的求法 （1）代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． （2）几何法：将两圆作差可得到公共弦所在直线方程，利用其中一个圆的圆心和半径，求得该圆心和公共弦所在直线的距离即弦心距，在弦心距、弦的一半和半径构成的直角三角形中，利用勾股定理可以求得弦的一半，进而得到公共弦长． 【例14】（24-25高二上·河北邢台·期末）圆与圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式14-1】（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】（24-25高二上·广东深圳·期中）圆与的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】（24-25高二下·湖北·期中）已知圆和圆，则两圆的公共弦长为 . 【题型十五】两圆的公切线问题 两圆公切线方程的确定 （1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程； （2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程． 【例15】（24-25高二下·湖南娄底·期中）圆与圆的公切线有且仅有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【变式15-1】（24-25高二上·湖南·月考）圆：与圆：的内公切线长为（    ） A．3 B．5 C． D．4 【变式15-2】（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）（多选）与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 【变式15-3】（24-25高二上·江苏苏州·期中）圆与圆C关于直线对称，写出两圆的一条公切线： . 【题型十六】圆的轨迹问题 1、直接法：直接根据题目提供的条件列出方程； 2、定义法：根据圆、直线等定义列方程； 3、几何法：利用圆的几何性质列方程； 4、代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式． 【例16】（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知点P在圆上运动，为坐标原点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式16-1】（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·开学考试）已知A，B为圆上的两个动点，P为弦AB的中点，若，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式16-2】（25-26高二上·河北保定·月考）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹． 【变式16-3】（24-25高二上·江苏常州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，点满足，则点的轨迹为圆，设其圆心为，已知直线：经过定点，则的面积的最大值为 ． 【题型十七】与圆有关的最值问题 求解与圆有关的最值问题步骤 第一步定型：根据题目条件确定最值问题的类型； 第二步作图：根据几何意义，画出图形，利用数形结合思想求解； 第三步求值：根据图形，利用相关知识求解． 【例17】（24-25高二上·安徽·期中）已知直线恒过点，圆，则圆上的点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式17-1】（24-25高二下·贵州遵义·期中）已知点满足，点，则的最大值为（    ） A．3 B． C． D．6 【变式17-2】（24-25高二上·福建福州·期中）已知实数，满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式17-3】（24-25高二上·福建莆田·期中）已知圆，若为圆上的动点，则的最大值与最小值的差是 . 【易错一】误解“截距”与“距离”致错 点拨：截距是指曲线与坐标轴交点的横（纵）坐标，它是一个实数，可为正数、负数、零，而距离一定是非负数，应高度重视． 【典例】（24-25高二下·河南·期末）直线在轴的截距为（    ） A． B． C． D．3 【变式】（24-25高二上·上海·月考）过点，且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程为 ． 【易错二】忽视斜率不存在的情况致错 点拨：(1)在解决两直线平行的相关问题时，若利用l1∥l2⇔k1＝k2求解，忽略k1，k2不存在的情况，就会导致漏解． (2)对于解决两直线垂直的相关问题时，若利用l1⊥l2⇔k1·k2＝－1求解，要注意其前提条件是k1与k2必须同时存在． 【典例】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C．或 D．或 【变式】（24-25高二下·上海浦东新·期中）若直线与直线垂直，则 ． 【易错三】平行线间距离公式使用不当致错 点拨：在求解平行线间的距离时需先将的系数先化为一致，再使用距离公式进行求解． 【典例】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线与直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式】（24-25高二下·上海浦东新·期中）直线与直线的距离为 . 【易错四】遗漏二元二次方程表示圆的条件致错 点拨：二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，在此条件下，再根据其他条件求解． 【典例】（24-25高二上·福建厦门·期中）若点在圆：的外部，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式】（24-25高二上·山东威海·期中）过原点可以作两条线与圆相切，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $