第12期 复数与三角函数、解三角形、平面向量综合-【数理报】2026年高考数学一轮复习学案

本板责任编：金明 相纸编框质量反馈电话 02515271268 担纸发行质量反情电话 兹理括 年9月16日星期三 高考数学 第 12期 总第1156 0351-5271248 第一轮复习 孙子定理 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报 社长 徐文 国内统一 续出 物号：CN140707NF) 邮发代号：21-28 7h.c.p..B。律拉Ei净5L(L 17 17 D esin A aeas C-2a 0:2eus A+(cusB+xin B) 我国古算 专题辅导 命题趋势 (孙子算》中有这 样一个问题：“今有 复数专题解读 复鼓元乎是每年的必考题，一般属于客易题.要能区分与复数有关的 物不知其鼓，三三 0山西 卢泽 数之二，五五数之 =√（-1)+(-1)=万故选(C). 点评：本题委考查是数的运算，考查学生 制三，七七数之 考点精析 点评：衣题主要考查复数的模，考查学生的 的化归与转北能力和运算求解能力 二问斯几何？“问题 运算束解能力， 点二复数的几何章义 例3若：=5+i,则（+）= 颇有倩速趣味解法 (A)10i(B2i(C10 (D)2 例1若，=1+i,则： 例5复数在复平面内对应的点所在 此避有 解析：因为：■5+i.以三5 i 多有趣的到名命 (A)-1-i (B)-1+1 C(三4：1量1D1地法(A} 的象跟为 鬼谷算“，“王 (C)1-1 (D)1+i 点评：本题主必考查共纯复数的概念和复 (A)第一象限 (B)第二象限 的算，考查运算求解能力 (G)第三象限 (D)第四象限 点兵”“劳算术” 解折：因为：=1+i,所以：=(-)1 福算”，“大求 倒4已知啦数：，其实部为1，且：+三 +i).即：=：-1+i-i,即i=1+i.所以：= 解桥： (2-)1+3) 1-3(1+3 术”等等。明代数 m(meR),实数m= =1-i,故(C) 2+6i-1+3 18.()AABC i(-1) 解析：设x=1+i(beR且6*0).则：+ +宁，所以复数在复平 ()张AAEC可r湿火镇 学家程大位在其 点评：未题主要考查复数的叫则运算，考查 《算法航常》里用诗 =1+ 1+b 面内对应点为（位于第一象限 学生的运算条解能力， 概了这个问则 例2已知：-1 故选(A) 的解法： (A)0 (B)I (c) (D)2 点评：题主要考查复数的法运算与夏 三人同行七十稀， 解析：1：=1-1-1 =0,得 =1,所以m=1++ 2 敏的儿何意义，考查学生的运其求解能力 五树梅花廿一枝。 在三角形中，“四心“是一组特殊的点，它门 故选(G) 专题辅导 七子团国月正半 的向量表达形式具有许多重要的性质，在近年高 二，垂心及其性质 除百零五便科知 考试题中，总会出现一些新颖别致的问邀，不权 三角形三条高线的交点叫垂心它与引限 巧用数量积 它的意思是韩 与查了向量等知识点，而且培养了考生分析何 的线垂直丁对边.在向量表达形式中，若H △ABC的垂心.则H,派=丽，元=元 用3除所得金最乘 解向题的能九现就“四心”作如下介绍： 剖析三角形四心”问题 一、重心及其性质 成+8=+=心+A店反之， 上70，加上用5除斯 口湖南周洪织 兰角形条中线的交点叫重心、它到三角 若瓜H丽=丽.=，，则H是△ABC 心就是三角形内切的圆心，它到角形三边 得会数上2， 形爱桌距离与该点到对边中点距离之比为2 的垂心 的胞离相等，在向量表达形式中，若点是 如上用7除所得余 在向量表达形式中，设点G是△AC所在平面 例20是平面上一定点，4，B.C是平面上 △ABC的内心，则有1B1·+1·店 数上15，站减去 内的-一点，则当点G是△ABC的重心时，有C+ 不共线的三个点，动点P满足示 1A1·元=.反之，若BC+1C丽 105的待数，这样便 丽+G=成P元=(+P店+P心（其中 3x- 0.+ ).则 +A正1·=0，则点1是△4B的内心 A1BA元cmC 例3已知0是△ABC所在平面上的一点， P为平面为任一点).反之.若C+C+GC= 算是70x2+2x3+ 点P的就达一定通过△ABC的 若a0+b0丽+c0元0，其中4=1元1， 0,则点G是△AC的重心 :-c2:+B2:M电填c.A..E.A练 15×2-2x105=23 (A)外心 (B)内心 例1 0是平面上一定点，A,B,C是平面上 (C)重心 1C1,■1A1.则0是△ABC的 (D)垂C 1852年，《孙子 (A)外心 (B)内心 不共我的三个点，动点P满足示=+A(A因 解析：如图2所示，4D垂 (C)重心 (D)垂 算经》传入吹洲，人 A元，Ae 直BC.BE垂直AC,D,E是到 0 +)，则点P的轨迹 定通过 足，AD,BE交点为户 解析：因为a0+60丽+c0元=0. 门发现子的解法 △ABC的 与湖著名登学宗 (A)外C (B)内C 以(a+6+e)O后◆6A丽◆cAC=0 高斯的定理是一数 (C)重C (D)垂C 而中国人的际 解桥：如图1所示， 在 店+花 院委早一千多年 △ABC中，D,E分别为边C e0s B I ACI cos C 所=+话+花 AC的中点 因为 于是大家称之为 分别为A店和C方向 因为尿+配■2A万 中国剩余定理”成 所以00+2A +1 CI=0. 上的单位向量，设= .则AF “子剩金定理” 因为0证=0+正 所以点P的轨迹一定通过△ABC的垂心 故选(D), 平分∠BC.又0.A正共线，40平分∠BAC 所以P=2AAD,所以正∥AD, 三，内心及其性质 同理可证，B0平分∠ABC,C0平分∠AC 所以点P的轨边一定通过△ABC的重心。 三角形三条内角平分找的交点叫内心，内 (下转第2版)》 2H 素养专练 数理极 健益孙「命晚脱口拟姬烈那 (上接第1版) 从而0是△ABC的内心故选(B) 考题预测 (A)第一象限 (B)第二象限 四，外心及其性质 。数理报社试题研究中心 (C)第三象限 (D)第四象限 三角形三条边的中垂线的交点叫外心外 1.若复数：=(a2-2)+(2-a-2》i,4E 心就是三角老外接简的圆心，它到三角形的三 R是纯虚数，则 (多选)若复数：=共中：为数的 个顶点的距离相等，在向量表达形式中。若点0 (A)g≠2且4≠-1 位，侧下列结论正确的是 ( 是△ABC的外心.则(0+0，=(0丽 (B)a=0 (A):的虚部为-1 0元.店=(0元+0·A花=0成101= ()a■2 (B)1■万 10丽1=10元1.反之，若101=l0丽1 (D)a=0或m=2 (C)2为纯虚数 0元，则点0是△4BC的外心 212+221= Dm=-1-1 例4已知0是△ABC所在平面上的一点， (A) (B)2 6,在复平面内，向量店对应的复数是2+i,向 若0亦=0产=0心，则0是△4BC的( (C)8 (D35 (A)外心 (B)内C心 量C第对应的复数是-1-3i,则向量C了对应的复 3设aeR.(g4)·(1-ai)=2.则m= (C)重心 (D)垂 数是 解析：因为0心=0心=0心 7.已知i是数单位，若：=cs0+isin(8c (A)-2 (B)-1 所以10=10g12=10元2.即10= R),且其在复平面内对应的点位干第二象限，则8 (G)1 (D2 为第 象限角 O1=10元1.则0是△BC的外心故选A) 参考答案见下期 1。0 4在复平面内，(1+3i)(3-)对应的点位于 第11期2版参考答案 阴以5s=子mm程=支×4×9=厅 又c为袋角，所以G=是，所mG:套 1.A:2D:3.B:4.D:5C 若边择条件②，由正定理，得 6,-是 血aA=厅in dsin 因为4e(心，》，以mA0 得层。(为△BC外接洞的径 第11期3版参考答案 所以mB=B0e复，由二倍角公式。 列以△ABC的尚长L 一、单项选择题 1 -4 AADC 5 -8 ABCB 得2imge号-月com号 =2(in4+in+万=2imA+2im+月 0 二、多项选择题 因为e0,).那以号。(0号) =2im42恤（停-A）+万 9.BD:10.AB:11.ABD. 三，填应通 以m号<0，则n号.， =3mA+5mA4店 2年这后：4增 院以号=子即= 2ma…开）+后， 因，解苦题 后间流张件① 由鹦应如4=(0，受）号-4。(0.号） 5解：1)由得1a=+(-2:2, 1以.解：(1)由照意及正被定理得。 !:e:管： 1b1=2下-5 两4e(层）航以4+君e(得） 以2.imw=2im月+C}+inC m25m+号）+后=3,635]. 一十。003 ) 2)石。+A与2a-b的夹角为悦， 水甲得2e的n心+inm1, 州以△4C满长的取值范用是(3·5,3万】 则a+人b),(2a-)>0,且g+Ab与2a-b不共找 I9.解：()由6(1A+unB)=m& 又a,b(2+2,4-2),2-(2,-5 销合正被远理得， 以22A+2-5A-2)20. 因为R。《0,),所以8= ().4 2(4-2》4524+2)+0, (2)由imG=2imA,得e-2a 解得1<4且4-分 二色) 由2=g2+2-2 ZA8C 8日) S734) 符7=+42◆20院以=【=2 放数A的德是(~，一)U(子4 又D为LA8C的平分线，S么+Srm=Sa 产. 6解：若选泽名件①，山正弦定理，将 :分4 cos b ) 瓦(inG-imA)=Csim 因为8=0，m),C(0m),用以1nB￥0，nG≠0 4) sin A sin(B+C)sin Beos C oos Bsin C. 得-万m=异aC=Ck 即时0x2×号，mx1x号，分×1x2x号 丽以m4一号又Ae(0,以4…票 因为C(0,》,以C≠0 2)因为C边的中线长为1，以1福，配1一2 所以-osB=n又emB0 以2++2csA=4, (十) ) 8解：()出in Asin in C=5A,snB- 即+d4-E之2ce,解得c4-22 所以层，要 ) 腕以。，（忍-配2。-2oem4 由余德理及=25,2+2-22 及正弦定理.得obin C。夏。+-2， =4-Eo-2m=4-2Ex 24-2E(4-25)-2-8反 生 84) 当 即12(a◆c)子-r将a+e4代人得ac4 由余这定年得ahnC·石abcoC,所以1■C。百。 解得≥2万-1即4的景小值是2反-2高考数学第一轮复习第10~13期 装理橘 答案详解 2025~2026学年 高考数学第一轮复习 第10~13期(2025年9月) f(x)取最大值， 第10期2版 4f(x)=5sim(-子+号）=-5sin(分-号) 考题预测 1.B;2.B;3.C;4.B;5.B 令2m-受≤-号≤2km+受(keZ), 6号：1.-5 得4hm-号≤x≤4m+罗k后Z)。 第10期3版 令k=0,得-号≤x≤积， 高考数学一轮总复习达标检测（十） 因为[受][-号]， 一、单项选择题 所以函数f()在区间[受，]内单调递减 1~4 ABCB 5~8 DBBA 提示： 5.y=cos(2x+g）=im(2x+石+号) 1令一音-受得-铝所以该点坐标为（停0） =sim(2x+号）， 2.易知y=sinx,y=tanx为奇函数， 将函数y=sin2x的图象向右平移p个单位长度后， (A),(C)不符合题意； 得到函数y=sin[2(x-p)]=sin(2x-2p)的图象， y=|sinx的定义域为R,关于原点对称， 则宁=2km-24(keZ),解得。=km-号(keZ), 且lsin(-x）l=|-sinx=|sinx, 所以y=I sinxl为偶函数，(B)符合题意； 令k=1,得。=号 y=cos(-）=sinx, 6.由题可得f()=-2snx+3sim+2,e[牙受] 所以y=os(x-受） 为奇函数，(D)不符合题意 令m=,则y-2x+3+24e[Ξ小 故选(B). 当1=子时，y取得最大值贺，当1=1时，y取得最小值3。 3.由题意知f(x)=sin子+cos号 因此所求值蛟为[3答] =(停m学+竖音）=in(告+子） 7因为函数f(x)=s血(ox+号）满足f(受-x）= 则最小正周期T=2红=6元 1 -f(),即受-x）+f(x)=0, 当im(号+平）=1，即x=3买+6km,ke乙时， 4 所以f(x)的图象关于点（平，0）对称， 高考数学第一轮复习第10~13期 所以+号=kw.kcZ,解得。=4k-号，keZ 又因为石是f()的下降零点， 因为f()在区同（无，号）上单调， 所以号+9=m+2km,keZ, 所u5=≥号-=且m>0 所以p=号+2冰ke2, 所以0<w≤6，则当k=1时，0=3 8 不妨取k=0,则9=3， 2π 8根据题意，函数(x)=sim(ar+石)） 则f()=sm(2x+）=sim[(2x+君）+受] 因为当x≤0时，p(x)=x2+2x有2个零点， =cos(2x+石） 所以要使p(x)在(-，3π]上有5个零点， 则需g(x)在(0,3π]上有3个零点. f)=sim(2x+）)=sim[m-(号-2)] 由xe0,3]得or+君e(石3om+君] =in(号-2x), 所以3m≤30m+后<4，解得识≤w< 23 6 故选(B)(C). 二、多项选择题 1.依题意得f()=-cos(2r+2牙），w>0, 9.BD;10.BC;11.ACD. 对于(A),由题意得T=m,T=严=m,解得0=1， 提示： 9因为)=1am(2x+号)的定义域是(-晋+受，哥 故(A)错误； 对于(B),由题意得xe[0,2m],则于≤2c+号≤4om +钙），k。乙，其在定义域内的每一个区间上都是单调递增函 数，但在整个定义域上没有单调性，(A)错误； +要若f()在[0,2]上拾有9个零点，则≤4wm+ f(x-若）=am[2(x-石）+号]=1am2x,易知其是 <2,得贸≤<碧放(5)正确： 奇函数，(B)正确； 对于(C),由题意得∫(x)的图象向右平移石个单位长度 函数()=an（2x+号） 的最小正周期为T=受，(C) 后，得到的图象所对应的函数解析式为g(x)=-cos2wx- 错误； 罗+等)，又ae(0,2),所以0<-+号<不能得出 T0,2T 令2x+号：经k后Z,解得x:经-后keZ,所以 g(x)的图象关于y轴对称，故(C)错误； )图象的对称中心是（年-石，0）keZ,(D)正确 对于(D),当xe[-号]时，-+罗≤2a+ 故选(B)(D). 10.设y=sin(ox+p)的最小正周期为T ≤2+若f()在[-石]上单调递增， 由题图可知，号=罗-石=受所以7=， 0+2≥2m, 3 3 rω≤-6k+2, 则 得 2+2≤2m+m.≤36+ 1因为ke乙， 由7=可知，2=，所以1=2 3 不妨取w=2,则f(x)=sin(2x+p), 且0>0，所以当k=0时，0<0≤分，故(D)错误 因为图象过石，0），所以sin号+p）=0, 故选(A)(C)(D) 高考数学第一轮复习第10~13期 三、填空题 显然此时k只可取0， 2{m+<<m+受kez}: 4+4≥- 2 3 则 解得0≤2 13(0.号]：142 4≤2， 提示： 又w>0,所以0<u≤子，则ω的最大值是子 12.因为f(x)=lg(tanx-1), 四、解答题 所以tanx-1>0,即tanx>1, 15.解：(1)由题图可知，y=f(x)的最大值为1， 所以m+年<x<m+受ke乙， 最小值为-1，故A=1. 所以函数f(x)的定义域是 因为好-罗-语=景所以7= {m+晋<x<m+受keZ} 即f(x)的最小正周期是π 1.由xe[-a,al,得x-号e【-a-牙a-号] 又1w1=2只，且w>0,所以。=2， 则f(x)=sin(2x+p), 易知-a-号a-号][-m,01, 将点(，-1代人y=f(), -a-牙≥-m, 3 则 解得a≤于 得f(）=m(+）=-1, a-号≤0， 所以智+p-7+2kmke工， 又a>-a,所以a>0, 所以实数a的取值范围是(0，号]· 解得p=石+2hm,keZ, 14.由正弦函数在某区间单调时，区间长度不超过半个周 因为1<受，所以当k=0时e=石， 期，得石- 故f()=m(2x+君） 结合u>0,得0<a≤号设0=r+ 4,w>0, (2)将y=f(x)的图象向右平移石个单位长度得到 因为-平≤x≤ g(x)=m[2(-）+石]=sin(2x-石）的图象 所以-平w+平≤0≤石+平， 因为xe[0,受]所以2x-石e【-君]。 +骨≤号+= 所以当2x-石=-石，即=0时8(x)=-之 6 当2x-石=受，即x=号时g(x)=1 故0最大的可能取值区间是[一牙器]： 16.解：(1)中心点0距地面60m,则b=60, 库天轮的半径为0m,即A=50,7=300=号= 根据正弦函数的单调性，得 15 又最低点到地面的距离为10m, y=2sim0在[2km-受，2km+受]，ke上单调递增， 所以50sinp+60=10,即sinp=-1, 故需满足[-行]c[2m-受2m+]ke乙， 又pe[-,],所以p=-受， 一3 高考数学第一轮复习第10~13期 所以所求表达式为y=50sin否-受）+60， 所以f(x)=2sin (ox+受 2cos wx. (2)由题意得，y=50sin(骨-受）+60>85， 因为f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为牙， 所以T=品=，又w>0,解得w=2。 取-个周期内，有后<哥-受<爱，即10<1<20， 所以f(x)=2cos2x 因为20-10=10，所以摩天轮转动一圈， (2)将函数)的图象向右平移石个单位长度，可得)= 点P有10min的时间距离地面超过85m. 20(2x-号)的图象，再将横坐标缩小为原来的2（纵坐标 17.解：(1)由题意得，函数f(x)=2 sin xcosx+Acos2x =sim2x+Acos2x=√1+A·sim(2x+p), 不变)，得到函数g(x)=2cos4红-号)的图象。 其中anp=A,不妨设9∈（-受，受）) 若()-m=0在[-受，石】上有两个不同的根，则方 对于条件①：若f代0)=0，则A=0. 程os(4-牙）=受在[-受]上有两个不同的根，即 对于条件②：若f(x)的最大值为2，则√1+A=√2，得 A=±1，所以①②不能同时成立. 函数y=co(4-号）的图象与直线y=受在[-石] 当4=0时（受）-竖生1，不满足条件③. 上有两个不同的交点。 因为xe【-]所以4-号e【-罗号]， 当A=1时(x)=2sim（(2x+平)，f(）=2,满足 条件③， 且os(-号）=号=，os0=1, 当A=-1时x)=2sim(2x-平)，f(g）=0,不满 所以∈艺 <1,所以1≤m<2. 足条件③. 故m的取值范围是[1,2). 综上可得，存在A=1,使得(x)同时满足条件②③. 19.(1)证明：若a=1,xe [受]小 (2)由(1)得f)=2im(2x+平） 则f(x)=x+cosx+sinx, 当0<<m时，平<2x+年<2m+年， f'(x)=1-(sinx-os)=1-万sin(x-平）， 因为f(x)在区间(0，m)上有且只有一个零点， 因为7≤x≤，所以牙≤x-年≤平。 所以m<2m+子≤2m,得g<m≤及. im(x-平）≥号万in(x-平）≥1， 即m的取值范围是（爱受] 1-2sin(x-平)≤0，即f'(x)≤0， 18解：()因为函数x)=5in(we+p)+2sir(e） 所以f()在[牙，]上单调递减 -1=万in(we+p)-cos(ur+p)=2sin(or+p-石）为 (2)f(x)≤1+2sinx+2cosx在(0，T]上恒成立， 偶函数，所以9-石=km+受ke乙， 即a≤（八+simx+cosx) ,x∈(0，r], min 又0<p<π，可得9= 3” 令g(x)=1+sim+cos,x∈(0，m], 一4 高考数学第一轮复习第10~13期 则g'(x）=（cosx-sinx)x-1-simx-cosx 2.若a+b=0,则a=-b,故a∥b. 若a∥b,则a+b=0不一定成立 =(x-1)cosx-(+1)sinx-1 故“a+b=0”是“a∥b”的充分不必要条件 令h(x)=(x-1)cosx-(x+1)sinx-1,x∈(0，r], 3.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, h'(x)=cos a -(x-1)sin x-sinx-(x+1)cosx 在△ABC中，由题意知b=√19，c=2, =-x(sinx+cos)=-万xsin(x+牙） 由余弦定理得b2=c2+a2-2 cacos B, 即19=4+a2-2×2acos120°，整理得a2+2a-15=0, 当0<<平时，h()<0,h()单词递减. 解得a=3或a=-5(舍去)，所以BC=3. 4.因为F1=(2,4),F2=（-5,3), 当<<石时，'()>0，A()单调递增， 所以F1+F2=（-3,7), 而h(0)=-2<0,h(π)=-T<0, 又A(1,0),B(2,4),所以AB=(1,4), 故h(x)<0在(0，π]上恒成立， 故W=(F1+F2)·AB=-3+7×4=25. 故g'(x)<0在(0，π]上恒成立， 5.在△BCD中，∠BDC=30°-20°=10°， 所以g(x)在(0，π]上单调递减， 由正弦定理得BD」 BC 所以g(x)min=g(T)=0,故a≤0， simn20°= sin 10, 所以实数a的取值范围是(-∞，0]. 则BD=BC·sim20° sin10° =2BC·c0s10°=10cos10°≈9.85， 第11期2版 在Rt△ABD中，AD=BDsin∠ABD≈9.85×sin30 ≈4.93. 考题预测 1.A;2.D;3.B;4.D;5.C; 6,因为a+b在b上的投影向量为子0， 所以a+b)·b.b ·T=2b,所以a·b=-3， 所以ema,6)=o=-分 1 第11期3版 高考数学一轮总复习达标检测（十一） 7.庄，C分别为与花，元方向相同的单位向量。 I ABII ACI 一、单项选择题 即A正 AC =1 1~4 AADC 5~8 ABCB 提示： 由向量加法的平行四边形法则可知， 1.零向量是有方向的，其方向是任意的，故(A)中说法不 向量矿+亡所在的直线为∠BAC的平分线， ABIA元 正确； AB AC 由零向量的定义知，零向量的长度为0，故(B)中说法正 因为 十 .BC=0, I ABI I ACI 确； 所以∠BAC的平分线垂直于BC,所以AB=AC. 因为日与力都是单位向量，所以口与6反向共线时。 ABACABAC 又 IABI IACI1B11ACI ·cos BAC=2 日与合是相反向量，合+场=0成立，故(C)中说法 b 所以cos∠BAC=,又0<∠BAC<, 正确； 由相等向量的定义知，(D)中说法正确.故选(A). 所以∠BAC=号，所以△ABC为等边三角形， 高考数学第一轮复习第10~13期 8.以A为坐标原点，可建立如下图所示的平面直角坐标 系， 所以(A)正确； 由余弦定理c2=a2+b2-2 abcos C, 得3=a2+4-4a×5 3 整理得3a2-45a+3=0, 则40.0).B(0）.c(0,)4>0) 解得a=5或a=尽 3 则正=（什0），花=0,0， 当a=5时，a=c,则A=C, 所以d=(0）+?(0,)=1,9,即P1,9, 因为B=2C,A+B+C=T,所以C+2C+C=T, 所以m=(}-1,-9）元=(-1，-9。 得C=平则nC=im平= 4 不台超在 所以P成.P元=1--9g+81=82-(9+)月 所以a=5舍去，所以a= 3 因为1>0.所以9+≥2√9=6， 由c=万，得a=号，所以(B)正确，(C)错误； 当且仅当=即1=号时，等号成立， S△AB= 1 absin C= 1 3 3 所以PB.P元≤82-6=76. 所以(D)错误. 二、多项选择题 故选(A)(B) 9.BD:10.AB:11.ABD. 11.对于(A),设AB的中点为D,BC的中点为E, 提示： 连接DE,PD,PE. 9.因为a=(1,m),b=(2,-4), 因为P+3PB+2P元=0， 所以a+b=(3,m-4), 所以P+P店=-2(P2+P心， 所以1a+b1=√9+(m-4)7=10, 所以2P元=-4P元，即P币=2E序， 解得m=5或m=3,故(A)错误； 所以P,D,E三点共线且P在线段DE上， 因为a∥b,所以2m=-4,解得m=-2,故(B)正确； 又DE为△ABC的中位线， 因为a⊥b,所以a·b=2-4m=0, 所以点P在△ABC的中位线上，(A)正确； 解得m=,故(C)错误： 对于(B),设AB的中点为D,连接PD,CD. 由P+P2+P元=0得p+P2=-P元=C 当m=1时，a=(1,1),a·b=2-4=-2<0, 又P+P店=2P元，所以C=2P丽， 又此时a,b不共线，所以向量a,b的夹角为钝角， 故(D)正确 所以P在中线cD上，号-2， 故选(B)(D) 所以P为△ABC的重心，(B)正确； 10.由B=2C,所以sinB=sin2C=2 sin Ccos C, 对于(C),因为AB·AC>0,所以A为锐角， 由正弦定理得b=2 ecos C,因为c=5,b=2, 但无法判断B,C是否都为锐角，(C)不正确； 所以c是后：停因为ce0 对于(D),因为亦=号花+子4心 6 高考数学第一轮复习第10~13期 所以P为线段BC上第近点C的三等分点，即=子底。 2(2A+2)-5(A-2)>0, 所以 2(入-2)+5(2λ+2)≠0， 所以S△Bc:S△AP=BC:BP=3:2,(D)正确 解得入<14且入≠-2， 1 故选(A)(B)(D). 三、填空题 故实数入的取值范围是(-0，-分)U(子，4)月 12.1；13.5；14.140 13 16.解：若选择条件①，由正弦定理，得 提示： 3(sin Bcos C-sinA)=sin Csin B. 12.「a+b12=a2+b2+2a·b=49, sin A sin(B+C)=sin Bcos C cos Bsin C, 即2a·b=49-9-16=24. 得-√5 cos Bsin C=sin Csin B. 所以1a-b12=a2+b2-2a·b=9+16-24=1, 因为C∈(0，π)，所以sinC≠0， 所以1a-b1=1. 13.因为3 sin Ccos A=simB, 所以-√3cosB=sinB.又cosB≠0， 所以30.尽+2-d=6, 所以tanB=-5,又B∈(0，π)， 2bc 整理得62=3(a2-c2),又a2-c2=1, 所以B=受 所以2=3，所以b=5 2 由余弦定理及b=2万，得(25)2=。+c2-2acos3, ra=m2-4, 即12=(a+c)2-ac.将a+c=4代入得ac=4, 14.由已知可得{b=4m, 显然EF=c 所以56版=宁imB=方x4×9=5 1 c=m2+4, 若a=PF=12,即m2-4=12,解得m=4. 若选择条件②，由正弦定理，得 此时PE=b=4m=16>12,与PF>PE矛盾，不符合题意； sin Bsin A =sin AsinB 若b=PF=12,即4m=12,解得m=3. 2 此时PE=a=32-4=5<12,满足题中PF>PE. 因为A∈(0，π)，所以sinA≠0， 所以PE=5,PF=12,EF=13,EM=3,MF=10, B 所以sinB=5cos乞，由二倍角公式， sE=器= B B =3cos 2 B 得2sin2cos2 则PM.M下=(P元+E)·M示=P呢.M示+.M =I PEI xI MFI cos(T-E)+EMlxI MFI cos0 因为Be(0,m),所以号e(0,受)： =5×0×(-)+3×10×1=智 所以c号≠0，期m号=， 四、解答题 15.解：(1)由题得1a1=√22+(-2)了=22， 所以号=号，即B:号 1b1=√22+1产=5， 后同选条件①， 17.解：(1)由题意及正弦定理得， a·b cose=1 al161-22.5=100 10 2sin Bcos C 2sin A sin C, (2)若a+Ab与2a-b的夹角为锐角， 所以2 sin Bcos C=2sin(B+C)+sinC, 则(a+Ab)·(2a-b)>0,且a+Ab与2a-b不共线. 2sin Bcos C=2sin Bcos C +2cos Bsin C sin C, 又a+Ab=(2入+2，A-2),2a-b=(2,-5), 整理得2 cos Bsin C+sinC=0. 高考数学第一轮复习第10~13期 因为C∈(0，m),所以sinC≠0，所以cosB=-2, 1 结合正弦定理得，sinB(sim4+sinB) 2sin Csin B cos B cos B 因为BE0,),所以B=孚 sin B sin Acos B+cos Asin B 2sin Csin B cos Acos B cos B, (2)由sinC=2sinA,得c=2a, sin Bsin(A+B)=sin Csin B 由b2=a2+c2-2 accos∠ABC, cos Acos B cos B 得7=a2+4a2+2a2,所以a=1,c=2, 即sin Bsin C-2 sin Csin B 'cos Acos B cos B 又BD为∠ABC的平分线，S△BD+S△cBD=S△ABC, 因为B∈(0，m),Ce(0,T),所以simB≠0，simC≠0. 1 1 所以2 BDesin号+26Dam号=ac·n号， 2π 所以cmA:号，又Ae(O,).所以A=子 即时0×2×9+Dx1×9=×1×2×9 (2)因为BC边的中线长为1，所以1AB+AC1=2 解得BD= 2 所以c2+b2+2 becosA=4, 即b2+c2=4-2bc≥2bc,解得bc≤4-22. 18解：（)由indin inC-号(snA+sirB-iC 所以a2=(AB-AC2=c2+b2-2 bccosA 及正弦定理，得alin=孕(d+公-)， =4-√2bc-√2bc=4-22bc ≥4-22(4-22)=12-82， 由余弦定理得absin C=√3 abcos C,所以tanC=√5， 解得a≥2√2-2.即a的最小值是22-2. 又C为锐角，所以C=号，所以mC=县 2 第12期2版 (2)由2R=,c 5 sin C= 考题预测 1.B;2.C;3.C;4.A;5.ABC; 得R=1(R为△ABC外接圆的半径)， 6.-3-4i;7.二 所以△ABC的周长L 第12期3版 =a +b+c =2R(sin A sin B)+3 =2(sin A sin B)+3 2sin A +2sin B+3 高考数学一轮总复习达标检测（十二） =2in4+2sin(-A）+5 一、单项选择题 1 ~4 BDCB 5~8 CACD =3sin A +3cos A+3 提示： =25血(4+君）+5. 1.√-cos2x=√21 sinxI,又x为第三象限角， 由题意知Ae(0,号)浮-4e(0,受)， 所以原式=-√2sinx. 2.由2 bsin A=√5a及正弦定理，得2 sin BsinA=√5sinA. 得Ae(石受)，所以A+∈（号，号）， 因为Ae(0,m),所以sinA≠0，所以sinB=5 2 所以25sm(4+若）+5e(3+5,3]. 因为Be0,),所以B=号或B- 所以△ABC周长的取值范围是(3+5,35]. 3.c=2a+b=(-6+k,2+3k),因为a∥c, 19.解：(1)由b(tanA+tanB)=√2 ctan B 所以-6+k=(2+3k)×(-3),解得k=0. —8 高考数学第一轮复习第10~13期 4.sin(0-平）=cosim0-sincos0 因为函数x)在区向[受，]上单调递减， 5(sin0-cos0)=22 = 3, 5+2h≥m, 4w0 所以满足 k EZ. 4 即sin0-cos0= 3,所以(sin0-cos0)2=16 +2如≤， 91 40 2’ 即1-6m20=5所以m20=-子 解得生必≤u34&eZ. 5.因为a·b=1a11b1cos0=10cos0=-6, 由题易知2西≥2×(m-受）=， 3 所以cos0=-亏，又0e[0,],所以sin6= 4 5 即w≤2，所以k=0, 所以1axb1=a161sin0=10x号=8 所以知的取值范图是[宁，]· 6.以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y 二、多项选择题 轴，建立平面直角坐标系，如图1， 9.BC;10.ABD;11.BCD. 提示： 9函数)=am(2x-）的最小正周期为受 B (A)错误； 图1 由2x-平=受（(kez),解得x=罕+骨(keZ, 则A(0,0),B(1,0),C(0,2), 则函数)的图象的对称中心是（年+冬，0）k∈Z), 因为∠DAB=60°，所以设D(m,W3m)(m≠0)， 则AD=(m,5m)=入AB+uAC (B)正确； =A(1,0)+u(0,2)=(入，2u), 函数y=|f(x)1的图象是由把y=f代(x)在x轴下方的图 则A=m=所以十=2 象翻折到上方，x轴上方的图象保持不变得到的， 3 所以2x-牙=经k∈Z, 7.根据题意()=2sm(2x+平） 解得：年+受山eZ, 因为xe[0,m),所以2x+平e[年，F)月 所以函数y=1x)1的图象的对称轴是直线x=如+ 4 由g()=-1,可得sim(2x+平）=- 号(keZ),(C)正确： 所以2a+牙+28+晋=受×2，化简得u+B=5平 4 不等式x)≥万即am(2x-平）≥5， 所以ma+)=m平-号 4 则m+号≤2x-牙<km+受(ke2, 8由2km+号≤o+年≤2km+3罗，keZ,得 2+品≤x 2k区+40' 解得受+牙<空+ke, 2 +5匹，keZ, 8 即函数f代x)的单调递减区间为 即不等式≥厅的解袋是{号+器≤<号+ +品海+]z ke乙，()错误 9 高考数学第一轮复习第10~13期 故选(B)(C). 易得11=2，N(3,0）,P(分，万）MN的中点为 10.对于(A)选项，a·b=3cos0+sim0=2sim 0+ (子，0），故以MN为直径的圆在点P的下方，作出以MN为直 哥）当0+号=受，即0=石时，ab取得最大值2，故(A)正 径的圆，记以MN为直径的圆与f(x)的图象有交点Q,Q2,故 确； 当点Q位于f(x)图象上的曲线段MQ1或曲线段Q2N上时，有 对于(B)选项，要使Ia+b1=1a-b1,则a·b=0, ∠M0N>受，从而f(x)在M,N间的图象上存在点Q,使得O 所以5cos0+sin0=0,即tan0=-√5，又0≤0≤π， ·Q<0,故(D)正确。 所以0=2红即存在0，使得1a+b1=a-b1,故(B)正确： 3 故选(B)(C)(D). 对于(C)选项，因为1e1= √(-)+()1， 三、填空题 所以向量e不是单位向量，故(C)错误； 21-：4[94) 对于(D)选项，因为c=(1,0)为单位向量， 提示： 所以a在c上的投影向量为号：·c=5c,故(D)正确 12.由题意知，1a1=|b1=1且a·b=0, 则Ia+2b1=/a2+4b+4a·b=5, 故选(A)(B)(D). 11.记f(x)的最小正周期为T.如图2， 12a+b1=√4a2+b2+4a·b=5, (a+2b)·(2a+b)=2a2+5a·b+2b2=4, 所以0-80：a05文5专 4 4 13由题得(nA+osB2=号 图2 sinA+2sin Acos B+cosB=4 ① 显然m=(子0），脉=（任A）,=(-子A) 由题得(cosA+sinB)2=1, 所以应+2丽亦=（子）广+-买=0， cos2 A 2cos Asin B+sin'B 1, ② 所以-A- ①+②得2+2(sin Acos B+cos Asin B)=5 9 因为△MP的面积是5，所以片×子×A=厅， 所以n(4+)=武 14.依题意，设函数f(x)的图象向左平移π个单位长度 A=5 6w 即AT=45,联立得 4 后，所得图象对应的函数为g(x), AT=45, 解得A=√5，T=4,故(A)错误； 由T=4=2石，得0=受，故(B)正确： 而a≠0，w>0,当xe[0,7]时， 由M(-20）得/5sm[受×(-2)+p]=0, or+e[+君]， 解得p=平，故(C)正确； 若函数g(x)在[o,] 上有且只有两个零点， -10