第16期 直线的方向向量与平面的法向量，用向量方法讨论立体几何中的位置关系-【数理报】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步学案（北师大版）

本森责任编情：冀朝调 相纸编框质量反情电话 高中数学 02515271268 兹理括 [22 年10月27日·星期 担纸发行责量反墙电话： 16期总第16期 北师大 0351-5271248 选择性必修第一 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社辑出版 社长：徐文信 ho.p.1-6.12-r-.:1m.03.2.18 17. ABEF,AB /EF.AE L AF.DA AF 1.AE =.P.Q 国内统一连续出版物号：CN14-0707八F)邮发代号：21-16 为什么鸽子 方法技巧 法向量秒解大招 垂直，AC=CB=1,PG■2.如 能识别路线 .找到平面内的两个不共线的向量，求其 图1建立空间直角坐标系 秒求 坐标 分别为a 列向量中是平面PAB的法向量 长 将两 的是 ,而不会速路 鸽子的这个性能 平面的法向置 (wl,2) 度被人们利来什 口湖南张成林 3.刘掉最边上两列 图1 递书 的通 法向量是立体几何的 个概念 n D 高度发达的 面的直线的方向向量为该平面的法向量 由于 利用信鸽传通 空间内有无数条直线垂直于已知平面，且每第 直线存在不同的方向向量，因一个平面存在 不 军事猜推 的周 那么 数个法向量，这此法向量相互平行 从理 00--2x12 句量是 任何 法向量 1 -Ix 零向量不能表示平而的信息，放不选择零向量 为平面的法向量， 所以N=(2,2,1),只要跟n成倍数，An( 至于连失方向呢 里本上法物量的法 故平面的法向量为： 》把是平面的法向量，无以选(A 文其中有什么数 如图2.长方ABCD 求 的法向量为( CD中 极过 找：找平面上的两条不共线向量： 分 (3)乘：将平面上向量与法向量相来，点来 CD的 为： 点A(3,2,1).B 4财 为 .0 C(4 2. 则平面a的 以DA.DC,DD 个法 飞行的特 间直角到 月2 (5)得：得出结论，求得法向量， (A)(4.-9,-16) )49. -16 起处 在长 C}(-16,9.-4 D}16.9.-4 秒解：D,(0,0,3).E(1.4,0).F(02,0) 其 费用 法向量与其垂直的性历】 解=(-4.0.-1).元=(1.-4. -2》 所以DE=(1,4.-3)D,F=(0,2.-3 它们可利同地球 数 零 设平面D,F的个法向量是#可(x,y,) 又因为 未知数通过网个方程得 出唯 19 ihd-4Ix -3 -0 ,需要将其中一个变量适当赋值，再去求解 光 这个过程是 个准点和易错点，如何避免此处 则=《-4， -9. 6),只婴跟n成倍数都是 科学 来为 以导这生 错，急常我们了解更为简做 易操作的方 平面的法向量，所 .2) 只要跟成倍数 AHCpPDLAECP.PD 鸡子体内 法！ 例2在三棱锥P-ABC中，CP,CM,CB两两 物钟” 空问位置关系是立体几何中的重婴内客 它这 量证明线线垂直 因为，C =0 发面垂 0.4C. 直问题，供同学移考. 天空中 满来 艾三1 平面 BDE 利用向量运算 就能记太 fe 用向量证明线线 正崂线而平行主委有两备 用古 所对应的向量与干而的法 证明位置关 家 明 直：(2)用向量平行的条件，证明直线所 在 。山西张瑞 例3 =0,以w四 的气索。 线W E明 图1，以D为坐 行 与牛面在直主有两 (1):GH/DMN: 则E(0.0.),F( 30 为》 1)根面面垂直的判定定果，莉用向量过 内的 g:n台)河路7：·德管业就息公用业D2.8-a.6.p 应该先让鸽子热 C(0.1.0),B(1,1.1) 证明：作AP⊥CD于点 隔国的环境。 以后 P,建立如图3所示的空问直 国3 相 角坐标系A,则A(0.0.0),B(1,0,0),P(0, 梯形 初几次距高 所以FC即F1C ,PA⊥ 太运， 证明线面垂直 4BCD,且PA=AD= 立刻让它们 刺用向量证明直线与平面 还要准备 L 有两条径：(1)根抵战面 县 往它们 垂直 直的判定完理 利用向证明 面内的 相交直线 4 角修 0,0).0.2,0) 身体慢慢强壮 明直线的方向向 2而=（- ,-2 D1,0.0.P(0.0.1 设平面OCD的 个法向量为=(,了2》 则0=0，…0币=0 a20 面P的个法高量为 在夜间 呢 B2.2,0) 2.01 E(02.1 =(02.1),那=(2,2.0)4，C=(-2 -马+-2=0 0 令z=2,得n=(0,4,2) N 百（小小）医小小) Dkn:.·Acn 9.1 批净就子。3.1。 :A()0(000)).=1. 十山包)·小小) (月1。 -2.-3 t-3.20 82.七 (D)(3,2) (E9t-2.2.2) -(1,1.I)(-1,-1.-1). 要美村 E.=C.A c [0.1]. 月小風 (1)AA':(2)BD' 一 .- 一后二元 - 8话13·27-4-4-0-0 rails6.lnls8 五品 (2)(10.2).8(0.10).C(00.0 (0,12). CP能s用n0.1.0t.0. C)海热度P炒图乐： =5:12. X.P.gol幸p.内请pL图S.BDP:PPD (C)ICa (A)I//a (B)I L a (A)a nea//B (B)a 1 nea (c)p(1.-3.)(D)(-1.-3.- (A)P(1.-11)(BP(13.) 【H功保(2。-6.2)再f用a进：n3. 海林具街中防收高书责 7.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中 (A)I∥a 4. 1 4.2同步核心素养测评 将底而为矩形，且有 一条侧棱垂直于底面的四 (B)a⊥B 称为阳马.如图3，在阳马P ABCD中，PA (C)1与m为相交直线或异面直线 ◆数理报社试题研究中心 面ABCD,碳面ABCD是正方彩.E,F分别为PD PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O (D)a在向量上的投彩向量为(0，】 第I卷选择题（共58分） PA=AB=2,若OG∥平面EFC,则AG= 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 () 1.若直线1,4的方向向量分别为a=《1,2,-2),b=(-2,3 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共5分 2).则 ( @号 (D1 12,设平面a的一个法向量为m《-1,3,5),点P(-1,1,1) (A)4∥ (B)416 8.在长方体ABCD-AB,C,D,中，AB=AD=1,AA,=E,B 在平面a内，(x,y,:)是a内任意 点，则：满足的关系式为 (C)44相交但不垂直 (D)不能确是 2.已知直线I的一个方向向量m=(2,-1,3),且直线1过A(0 =2D.DN=C.Q为长方体表面上的动点，且0N.i=0,则点 13.已对平面a与平面ABC是不重合的两个平面，若平面：的法 3)和B(-1,2,)两点.则y-:= Q的轨迹为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (A)2x-2y+=1 (B)-2+= 向量为m=(2,-1.4),且=(20，-1).C=(1,6,1).则坪 高中数学 高中数学·选择性必修第一册《北师大版)同步核心素养测计 3.如图1，在位正方体ABCD-A,B,C,D 面a与平而ABC的位置关系是 中，以D为原点，DA,DC,DD,所在直线为x,y, (C-22-= (D)2x+2y-:=1 14,直线m的方向量为=(1，-2.A).直线4的方向向量为 轴立空间直角坐标系，则平面4，C,的法向量 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 N=(-2,4,5).平面a的法向量为k=(4,-8,y),m上，N1a 《 Atu+y= 9.已知a,b分别是直线，的方向向量，以下四组向量中 选择性必修第 四、解答题：本题共5小题，共77分. (A)(1,11) 它们互相平行的是 (B)(-1,1.1) 15.(13分)如图4，在棱长为3的正方体ABCD-AB,CD,中， (A)a=(1,-2,1),b=(-1,2,-1) (C)1,-11 点M在楼C,C上.且C=2MC-求平面MD,B的 个法向量 (B}a=(8,4,0),b=(2,10) (D)(1.1.-1) (C)a=(1,0,-1),b=(-3,0,3 4.若直线的方向向量为b,平面α的法向量为，则能使 a的是 (D)a=（-子.1-1）.b=4,-3.3 (A)b=(1,0,0),m=(-20,D) I0.在空可直角坐标系中，已知向量=(a,6,)（其中mc (B)b=(1,3,5,N=(10.1) 0),定点P(,),异于点P的动点P(,y,)则以下说法正确 (C1=(02.1)■(-1.0，-1) 的是 (D)b=(1,-1,3),=(03,1 5.已知两个向最店=(1,2,3)，AC=〈3,2,1)，则平面ABC的 个法向量为 (B)若u为直线PP的方向量，则a(x-)+(y-)+c(: (A)(-1,2,-1) (B)1.2,1) )=0 (C)1,2,-1) (D(-1,2,1 (C)若为平面a的法向量，平面a经过和P.则 6.如图2，在空间直角坐标系D-:中 正四棱柱ARCD-A'BCD的底面边长为4 高为2,0为上底面中心，E,F,G分别为模 (D)若为平面a的法向量，平面a经过P,和P,则a(x-】 AD.AB.CD的中点，若平面OEF与平而 My-)+(:-)=0 DBG的交线为1，则1的方向向量可以是 11.已知平面α的一个法向量为，=（山，-2.一了）平面B的 (A(2,-1,2) (B)(2,-1,1 个法向量为=(-1,0,-2),直线1的方向向量为=(1,0, (C)(2,1,-2） (D)(2,1,-1) 2),直线m的方向向量为b■(01，-22，则高中数学北师大版选择性必修第一册第13~16期 数理括 答案详解 2025~2026学年高中数学北师大版选择性必修第一册第13~16期(2025年10月) 将其代入抛物线方程， 第13期参考答案 得48=-2p×(-60),解得p=6 5 圆锥曲线核心素养综合测评 一、单项选择题 则抛物线的方程为=-12 1~4 BABB 5 ~8 ABCD 8.依题意得a=3,b=√5，c=2, 提示： 1.c=5-1=2,可得焦点坐标为(-2,0)和(2,0) 2.由焦点为(3,0)，则32=a+12,解得a=8. 3抛物线C:2=y的准线方程为y=一子 图1 又点M在抛物线上且纵坐标为1， F(-2,0),F2(2,0),N(3,5), 所以点M到C的焦点的距离为1-(-）=子 则1NE,I=√2+(5)2=6， 4.由题得a2=80,b2=35, INE1=52+(5)2=√30， 所以a=45,c=√a2-6=35, 所以IMWI+1MF,I≥|NF,I=√/30， 所以长轴长2a=85,焦距2c=65, 当M位于线段NF,与椭圆交点M2处时等号成立 所以长轴长与焦距之差等于2a-2c=25. 根据椭圆的定义可知IMNI+1MF,I=IMW1+2a- 5双确线号-若-1。>06>0)的渐证线方程为 I MF2 I =6+I MNI -I MF2Is6+I NF2 I, 如图1所示，设NF2的延长线与椭圆相交于M1, b y=± a , 则当M位于M1时，6+1MN1-IMF2I取得最大值， 又痛近线过点P3,-9),即-9=-合×3，则片=3， 为6+1NF21=6+6, a 综上，IMNI+MF,I的取值范围为[√30,6+6]. 所以离心率e=C= +6 /1+ =+3=m 二、多项选择题 6.设A(x1,少1)，B(x2,2),则y1+y2=1. 9.BCD;10.AC;11.ABD. 提示： y=4x1, 所以 →(y+y2)(y1-y2)=4(x1-为2)， 9.设椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,半焦距为c, =4 椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆的直径， 所以k=么二上= 4=4. x1-x2y1+y2 由截面与圆柱底面的夹角0=牙得 7.由题意可设抛物线方程为x2=-2py(p>0), e0s0=8,解得a=4, 4 由题意知点(48，-60)在该抛物线上， 2a= 高中数学北师大版选择性必修第一册第13~16期 即椭圆的长轴长为2a=8,(A)不正确； 所以b=2a,所以占=2， 显然b=2,则c=√a-=25, 所以双曲线的渐近线方程为y=±√2x,故(C)错误； 肉心率e=台=.()正确： a 因为c2=a2+b2=3a2,所以e=C=5,故(D)正确： 当以椭圆长轴所在直线为y轴，短轴所在直线为x轴建立 因为OM⊥直线FP,且IOM1=a, 平面直角坐标系时，椭圆的标准方程为后+号-1，（©）正确： 所以直线FP与圆x2+y2=a2相切，故(A)正确； 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a-c=4-2√5， 双曲线的焦点坐标为（±√3a,0), (D)正确。 s1, 故选(B)(C)(D). 为中心在原点焦点在x轴上的椭圆， 10.由∠M0F=45°，可得amLM0F=6=1,即，=元， 半焦距=√4a2-a=5a,焦点坐标为（±5a,0), 「6=， 「x0=4, 联立方程组 解得厂4， 或 所以E与 +立=1有相同的焦点，故(B)正确。 262 y=4x0, %=4y0=-4, 故选(A)(B)(D. 所以(A)正确，(B)不正确； 三、填空题 又由抛物线的定义可得1MF1=+号=4+1=5， 2 12.25；13.3;14 2 所以(C)正确； 提示： 在△OFM中，可得1OF1=1,IMFI=5,I0M1=42, 12.由题意知，焦点在y轴上，则a2=4,b2=m,c2=1, 由余弦定理得 从而4=m+1,解得m=3. COSZ OFM =1 OF12+1 MF12-1 0M12 21 OFII MFI 则b=3,所以短轴长为2b=25. -- 13由题意得2，=0+号，解得=子，即A号，-3 2×1×5 所以(D)错误.故选(A)(C) 代入=2px(p>0)得(-3)2=2·号，解得p=3. 11.如图2，过双曲线的右顶点A(a,0)作x轴的垂线交渐 14.因为IPF,I=3IPF2I, 近线y=合于点B(a,b) 由双曲线的定义可得 I PF I-1 PF2 I =21 PF2 I 2a, 则1OBI=c=|OF1,不妨设M,P在x轴上方， 所以IPF2I=a,IPF1I=3a; 因为∠F,PF2=60°，由余弦定理可得4e2=9a2+a2-2 ×3a×a×cos60°， 图2 毯理可得：0，所以e后-子 因为IOBI=IOFI,∠AOB=∠MOF,∠OAB=∠OMF 即es 2 =90°，所以Rt△OAB≌Rt△OMF, 四、解答题 所以IFM1=IAB1=b,IOMI=IOA1=a, 由已知亦=2P成得1PM1=冬， 15解：(1)由题可得√+(-)=y+ 化简得2=2y.故点P的轨迹方程为x2=2y 由1OM12=FM1MP1,得a= 2 (2)由题意设A(x1少1)，B(x2y2), 2 高中数学北师大版选择性必修第一册第13~16期 将直线方程y=kx+1与抛物线方程x2=2y联立得x2- 2kx-2=0, 1&解：由=合√+（合= a 则x1+x2=2k,x1x2=-2. 得女=36 =,4=3,所以C的渐近线方程为y=±3x 所以IAB1=√+k·√(x1+2)产-4x (2)已知得：x=-号 =√1+k2·42+8=26, 解得2=1，所以k=±1. 代人浙近线方程得M(-子，-)，-分，) 16.(1)证明：双曲线C的渐近线方程为x±2y=0. 1 所以1MNI=3p,Sawm=2×3p×p=12, 点P(x,y)到直线x-2y=0的距离d,=|x-2yL 5 解得p=2√2，所以D的方程为y2=4√2x. 点P(x,)到直线x+2y=0的距离山，=x+2yL 2 1 5 「a+3=1， a2=3, 19.解：(1)由题意得 解得 所以点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积为 1 2 d,d,=x-21.x+2l=1-421 后+3=1， 62=1, 5 5 5 所图C的方程为号+子。山 又P(x,)在双曲线C上，所以号-子=1， (2)设A(x1,y1)(x当1≠0)，D(x2,3), 即x2-4y2=4, 则B(-x1,-y) 所以44=号是一个含数 所以直线AB的斜率kB=立 (2)解：由号-y1得子- 4-1≥0， 设直线AD的方程为y=kx+m, 由题意知k≠0，m≠0. 解得x≤-2或x≥2.所以1PA12=(x-3)2+y =(-3)2+学-1=(-号)+号 因为AB上AD,所以k=-立 y [y =kx+m, 当x=号时，1PA1取得批小值子 由之 可得(1+3k2)x2+6mkx+3m2-3=0, 3+y2=1 所以1PA1的最小值为5 5 6mk 所以x+为=-1+3R 17.解：(1)由题可设椭圆C的标准方程为 2m =1(a>b>0). 1+=k(x+)+2m=1+3 b2 所以直线BD的斜率 且c=1,所以IPF,I+lPF2I=4=2a, 解得a=2,b2=a2-c2=4-1=3, 如-=一就=杂 1 x1+x2 即药园C的标准方裂为子+号1 所以直线D的方程为y+一汇(x+小， (2)在△PFF2中，由余弦定理得 IFF12=IPFI2+1PF2I2-2IPFI1PF2Icos120°， 令y=0得x=2x,即M(2x,0),可得h1=-当 4 =(I PF 1+I PF2 1)2-1 PF 1I PF21, 令=0得y=-号即N0-警）可得么一费 5y1 4=(2a)2-1 PF II PF,I 16-1 PFII PF2 I, 所以k=-子，即A=-子 3 所以IPF II PF2I=12, SamPF:PF I simn120 因此，存在常数入=一子使得结论成立。 —3 高中数学北师大版选择性必修第一册第13~16期 第14期1版参考答案 7.在Rt△ABC中，AC=√AB+BC=5cm, oB4G=专oLACB=子 专项小练一 1.ACD;2.C;3.D;4.(0,2,-3);5.(1,4,6). 所以cosLCAD=亏： 3 专项小练二 所以AC.BD=AC.(B+AD 2 1.BD2A:3.D:4.b-a-c:5.-30+2b+2C =AC.BA+A元.AD 专项小练三 =5×4×(号)+5x3×号-7 1.ABC2.D:3.C:43平：54 8.如图，过点P作平行于底面的截面圆O, 3 第14期3,4版参考答案 空间直角坐标系，空间向量与向量运算同步核心素养测评 一、单项选择题 B 1~4 ADAA 5~8 CBCC 提示： 过点Q作平行于底面的截面圆02,0102=6， 1.0A+AB CB OB CB BC BO OC. 设圆柱的底面圆半径为r,则2πr=12, 2.显然点B,的坐标为(2,4,2) 解得=合 3.因为BD=BC+CD=2a+4b=2AB. 于是(0，，0，⊙=2+2=2 且AB,B配有公共点B,所以A,B,D三点共线。 4.因为BM=BB,+BM 由P0=p0+0,02+020, =,+(BA+BC) 得1P01=√/(P0+002+0,0)2 (B =√/2r2+0022+2P0.0,d =c+(-a+b) √2×()+6+2×(】 =63+m T 5.设点C的坐标为(0，y,z),则 所以P,Q两点间的距离为53+ √/(0-1)2+(y-2)2+(z-2)7 二、多项选择题 =(0-1)2+(y+3)2+(z-1), 9.BD;10.AB;11.AD. 即(y-2)2+(z-2)2=(y+3)2+(z-1)2, 提示： 即5y+z+1=0. 9.在棱长为4的正方体ABCD-A1B,C,D,中，IBD,I=45, 经检验知，只有选项(C)满足. 对于(A),1BD1=√16+16+4=6≠45， 6.因为单位向量a,b,c两两垂直， 所以1a1=lb1=1cl=1,a·b=b·c=c·a=0, 对于(B),1BD11=√16+16+16=45， 所以(2a-2b+4c)·(-a-3b+2c)=-2a2-6a·b+ 对于(C),1BDI=√16+16+4=6≠45， 4a·c+2a·b+6b2-4b·c-4a·c-12b·c+8c2=-2+6 对于(D),IBD11=16+16+16=45, +8=12. 故选(B)(D). 4 高中数学北师大版选择性必修第一册第13~16期 10对于(A),因为0心=号+子成。 坐标分别为(0,1,2)，(2cos0,2sim0,-1) 所以1AB1=√/4cos20+(2sin0-1)2+9 则}(0配-0=子(o店-0心)，即号配=子成， =√14-4sin0≥√/10， 所以AC∥CB,所以A,B,C三点共线，故(A)正确； 等号成立当且仅当sim0=1.故答案为√0. 对于(B),空间中三个向量a,b,c,若a,b共线， 四、解答题 则a,b,c共面，故(B)正确； 15.解：由题图可得M=M+AD+DN, 对于(C),(a·b)·c是与c共线的向量，a·(b·c)是与a M=Mi+B元+C, ② 共线的向量，而a与c方向不确定， MA =-MB.DN =-CN. 故无法确定(a·b)·c与a·(b·c)是否相等， 因此，①+②得2M=AD+BC, 故(C)错误； 对于(D),当非零向量a,b方向相反时，a·b<0, 即孤=子d+子8配 此时向量夹角为180°，故(D)错误。 16.解：由空间两点间的距离公式得， 故选(A)(B) 1AB1=√(1-4)2+(-2-2)2+(11-3)7=89， 1.因为P是CA的中点，所以正=之（杯+心 1AC1=(1-6)2+(-2+1)2+(11-4)2=53, 之(+店+=(a+b+c),()正确： 1BC1=/(4-6)2+(2+1)2+(3-4)2=√14， 所以IABI2=IACI2+IBCI2,且IAB1,IAC1,IBCI 因为点Q在CA1上，且CQ0A,=4:1, 互不相等，所以△ABC为直角三角形. 所以d-A+A,d=+5A,C 17.解：设B,正=AB1C(0≤入≤1) =+与（配-=5C+号 因为A正=AB+B,正=AB+ABC=AB+BB+AB,C, 所以A正·A元=(AB+BB+AB,C)·AC =与证+动+号=与+古0+专， 4 =A正.AC+BB.A+入B,C.AC (D)正确.故选(A)(D). =1×2×cos45°+入×1×2×cos45°=1+X. 三、填空题 所以向量正在向量A配方向上的投影数量为+A, 12.0;13.充分不必要；14.√10. 2 提示： 又0≤A≤1，所以1∈1+A≤2.所以号≤1方产≤厄 12.因为a,b是单位向量，所以a2=b=1. 因为1a1=1a+b1,所以a2+2a·b+b2=1, 所以响量死在向配涧上投数量的取值范为号.D] 故ab=-2 1 18.解：设AB=a,A元=b,AD=c, 所以（口+2b）b=a:b+28=-分+分=0 则1al=1b1=Icl=1,(a,b〉=(b,c〉=(c,a〉=60 13.由AP·AB=0,AP.AC=0得： ()脉=励=（而-=c-2,赋-a, A.(AC-AB)=0,即A.B元=0， 脉.=（分小(-a)=0-c 反之.B元=0，则4.(A配-A)=0, 但A.A元=AP.AB未必为0. =×12-×1×1×2 =4 故4.A=0且A4P.AC=0是4.BC=0的充分不必要条件 (2)E元.BD=(E+A·(AD-AB 14由题意点A(1,7,2）与点B(2,6,-1)的空间直角 =(分店+方元+分而)（动- -5- 高中数学北师大版选择性必修第一册第13~16期 =(-2a+2b+c）(c-a) 当且仅当O,A,B三点共线，且A在O,B中间时AB取最小值. =×(-1x1×+1x1x3+12+1-1x1× 第15期3,4版参考答案 空间向量基本定理及向量的直角坐标运算 号1x1x2）= 同步核心素养测评 19.(1)证明：设C=a,C正=b,CC=c, 一、单项选择题 根据题意，1al=lb1=1cl,且a·b=b·c=c·a=0, 1~4 AAAC 5~8 BCCB 所以c2=b+之c,元=-c+2b-之a 提示： 1.a+2b=(1,2,3)+2(-1,0,1)=(1,2,3)+(-2,0, 所以屁.而-之c+=0, 2)=(-1,2,5) 所以C龙⊥A'D,即CE⊥A'D. 2.设点A在基底{a,b,c}下对应的向量为p, (2)解：因为AC=-a+c, 则p=8a+6b+4c=8(i+j》+6(0+k)+4(k+i)= 1C1=1a1,=1al, 12i+14+10k, 故点A在基底{ij,k}下的坐标为(12,14,10). C.成=(-a+c(b+2)=2c=1a, 3.0元=子0C=子(+aG 所以cos(AC,C2= 10 :是成+×号引宁+脑] 万.51a2 2 =子+[（成-+(o元-0] 即异面直线CE与AC所成角的余弦值为而 10 =子o+o成+0d 第15期2版参考答案 4.由正方体的性质可得E(2,0,1),C1(0,2,2), 专项小练一 设F(2,y,0),则EC=(-2,2,1),E=(0,y,-1), 1.B;2.A;3.A; 因为∠CEF=90°，所以EC·E=2y-1=0, 4(3,3:5(号号号) 解得y=,则点F的坐标为(2,2,0）月 6.解：a+b=(2,-3,5)+(-3,1,-4)=(-1,-2,1), 5.由P,A,B,C四点共面，可得PA,P店，P元共面， a-b=(2,-3,5)-(-3,1,-4)=(5,-4,9), 设P元=xP+yP=(x+5y,2x-y,4x+3y)=(m,n,-1), 8a=8(2,-3,5)=(16,-24,40), x +5y m, 1+2n=-5y, a·b=(2,-3,5)·(-3,1,-4)=-6-3-20=-29. 则2x-y=n, 解得 1+4m=17y, 专项小练二 4x+3y=-1, 1.ABc:2.A:3c:4-9:52厘 所以17(1+2n)+5(1+4m)=0, 21 得10m+17n=-11,反之亦成立， 6.解：因为A(x,y,z),0(0,0,0),B(2,5,2),A0=1, 故“P,A,B,C四点共面”是“10m+17n=-11”的充要条件 所以A是以O为球心，1为半径的球上的点。 6.由题可得=店+B配+C=店+办+子A, 因为B(2,5,2), 所以0B=√(2)2+(5)2+2=3. 于是A=A=A店+布+专A, 所以AB的最小值为OB-OA=3-1=2, 由N为AM与平面BDA1的交点，得点N,B,D,A1共面， 6 高中数学北师大版选择性必修第一册第13~16期 则：+1+方=1，所以1=弓 0 7.因为a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),t∈R, 所以a-b=(-1-t,1-2t,0), 所以1a-b1=√(-1-t)2+(1-2t)7 图2 =52-2t+2= √5-+号 10.以D为原点，D,D元，DD的方向为x,y,z轴的正方向 建立空间直角坐标系， 35 ≥ 5 设正方体棱长为2， 8.由圆锥的性质可知SO⊥平面ABC,故可以点O为坐标 则A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),A(2,0,2),B1(2, 原点，平面ABC内过点O且垂直于AC的直线为x轴，OC、OS分 2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2),M(2,0,1),N(2,2,1). 别为y、z轴建立空间直角坐标系，如图1， 于是AC=(-2,2,0),D1N=(2,2,-1), A元.DN=0,AC⊥D,N,(A)正确： M元=(-2,2，-1)，M元.D,=1,(B)错： 4B-AD=D,B=(2,2,0), MC.(AB-AD)=0,(C)正确； 图1 配=记-成=证+而-分=屈+2耳店+0 设0A=0B=1,SA=5,则0S=2, (D)正确.故选(A)(C)(D). 易知A0,-1,0),c0,1.0),50.0,2),4M(0,-之1 11.连接并延长PG交CD于点F, 因为G为△PCD的重心， 因为cos∠B0C=亏， 2 所以民=子序=子x宁屁+励=了（民+励， 所以sin∠B0C=√1-cos2∠B0C= 5 所以B配=B脉+P心=B+子(P心+P 所以（停号） =-p+子(P元+P=成-P+}(P元+p 所=（停号-2）网=(0.-是） =成-元-+（元+m=--子元+专成 所以cos(SB,C= -1-2 又BG=mpi+nP元+pPi, 所以m=-1n=-号p=子， 2 4 =-665 65 所以m+n+p=-号，(A)正确； 因此，异面直线SB与CM所成角的余弦值为5丽 65 因为P丽=元+成=号(P元+Pi-子BC 二、多项选择题 9.BCD;10.ACD;11.ACD. =元+成子可+号风+网 提示： +子心-}m, 9.结合长方体，如图2，可知向量a,b,x共面，x,y,2不共 面，b,c,z不共面，x,y,a+b+c也不共面，故选(B)(C)(D) 所以1成2=（分+号元-号Pm) -7 高中数学北师大版选择性必修第一册第13~16期 =g亦+号心+4㎡-号成.心}m 13.设P(x,y,2),则A=(x-2,y+1,2-2), +子底风 (-d=(3,子，-2） 号x32+号×32+×2-号×3×3x-号× 所以(x-2,y+12-2)=(3,号，-2） x-2=3, rt=5, 3x2×7+号×3x2×=5， 所以+1=多解得y=2 1 所以PM=√5，(B)错误； 2-2=-2, z=0. 因为G=P时-P心=P历-P心-历=-}P氏 所以点P的坐标为(5，，0 -元而=丽-P,P成=+子元-分成 14.因为AB,AC的夹角为锐角， 所以A正.A元=2A+2+2>0, 设D=xG+yPm, 且不能同向共线，解得入>-2，且入≠4. 则宁=1，-分+子=0，-立分=1， 则入的取值范围为(-2,4)U(4,+). 所以x=-4,y=-2,所以Ad=-4G7-2P. 四、解答题 所以向量Pi,AD,G7共面，(C)正确： 15.解：(1)AB=(-1,-1,-1)-(1,-2,-3)=（-2,1,2). 因为才=时-底=可-专庇-背可-号元 （2②)因为a/6,所以片=手= 解得x=2,y=-4, +(A-)元，成=--号元+号而， 则a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1). 由BG1可得，.=(--子P元+号m): 又因为b1c,所以b·c=0,即-6+8-z=0, 解得z=2,于是c=（3,-2,2). [-g元+(a-号)m]=0 16.证明：由题图知 MN DN -DM 又1P12=4,1pP元2=1Pm2=9, pp元=pm=3,Ppm=号， =(号耐+成)-号成 =子成+}成.子(+心 所以1-3a-号）+2-3A-3)-2+12(A-3) =0 =号成子成 所以向量M,C⑦，D正共面。 所以6(-号)=-1，所以A=右，(D)正确， 17.解：(1)成=-花=分AC+子-成 故选：(A)(C)(D) BC=BC BB'AC AB AA 三、填空题 (2)连接AB,假设线段CB上存在一点E,使得BD⊥AE, 2(兮号号)或（分子号）： 且B,E=BC,A∈[0,1]， 13.(5,30:14.(-2,4)U(4,+) 则A正=AB+B正=A店+AA+入B,C 提示： =入A配+(1-A)A店+(1-A)AA, 12.AB=(1,2,2),1AB1=3,所以与AB平行且模为1的向量 因为BD1A,所以励·花-（分C+分-） 器片导)品宁子》 [A4花+(1-)+1-A)=2(1-3M).+ 一8一 高中数学北师大版选择性必修第一册第13~16期 之AA交+之1-0-(1-)A应 6.解：(1)由已知可得， 长方体顶点A,B,A',D的坐标分别为 =1-3x+2A+8(1-入)-4(1-A)=5-5λ=0， A(4,0,0),B(4,2,0),A'(4,0,3),D'(0,0,3) 所以入=1，此时点E与点C重合，1A正1=1AC1=2, 因为向量A4=(0,0,3), 所以存在点E,且1A正1=2. 所以直线A4'的一个方向向量为(0,0,3) 18.解：AB=（-2,-1,3),AC=(1,-3,2). (2)因为向量BD=(-4,-2,3), (1)因为cos(A正，AC=A店·AC IABIIACI 所以直线BD'的一个方向向量为(-4，-2,3). -2+3+6 专项小练二 4+1+9·个+9+4= 1.A;2.ABD;3.B. 所以m(店心= 4.-8;5.(1,1,1)(答案不唯一)，x+y+z=3. 6.解：以D为原点，以DA,DC,DD的方向分别为x轴、y轴、 所以S=|ABII ACI sin(AB,AC=75. z轴的正方向建立空间直角坐标系， 即以AB,AC为边的平行四边形面积为75. 则D(0,0,0),D(0,0,1),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0): (2)设a=(x,y,z),由1a1=5,a1AB,a上AC, 因为DP:PA=DQ:QB=5:12, x2+y2+2=3, =1， =-1, 所以P(音0号》（吾.o,成=(0，高，-》 可得-2x-y+3z=0, =1,或y=-1, x-3y+2z=0 z=1, z=-1. )101=√0+(》+(-)=号 所以=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1) (2)因为DA=(1,0,0),所以P0.D=0,即PQ1DA 19.解：以C为原点，以CA,CB,CC,所在直线分别为x轴y 又DA=(1,0,0)是平面CDDC1的一个法向量， 轴、z轴建立空间直角坐标系C一xz 且PQ丈平面CDD,C1,所以PQ∥平面CDDC: (1)依题意得B(0,1,0),M(1,0,1), 所以1B1=√(1-0)2+(0-1)2+(1-0)=5. 第16期3,4版参考答案 (2)依题意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B(0,1,2) 4.1~4.2同步核心素养测评 所以BA=(1,-1,2),CB=(0,1,2),B·CB=3, 一、单项选择题 1BA1=6,1CB1=5, 1~4 BAAD 5~8 ADCC 所以（瓜，成）：·成画 提示： IBA,I .ICB I 10 1.因为a·b=1×(-2)+2×3+(-2)×2=0, （3)依题意得C(00,2).N分72 所以4上12 2.由题知：AB=(-1,2-y,z-3), 所以4店=(-1,1，-2)，G=(分 因为m》孩房以子名，：品 因为1庄.G=-分+分+0=0， 解得y=子：=子，所以y-:=0 所以AB⊥CN,即A,B⊥C,N. 3.由题意可知，A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1), 第16期2版参考答案 则BA=(0,-1,1),BC=(-1,0,1). 设平面A1BC的法向量是n=(x,y,z), 专项小练一 1.B;2.BCD:3.B. rn·BA=-y+z=0, 则 取x=1,得n=（1,1,1), 4.(0,0,z)(z≠0)；5.-1,2. ln·BC=-x+z=0, 9 高中数学北师大版选择性必修第一册第13~16期 所以平面ABC1的法向量是(1,1,1). 4.若可能l∥a,则b⊥n,即b·n=0. （A)选项，b·n=1×(-2)=-2≠0； (B)选项，b·n=1×1+5×1=6≠0： 图2 (C)选项，b·n=1×(-1)=-1≠0； 则P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,2,0),0(1,1,0), (D)选项，b·n=(-1)×3+3×1=0.故选：(D). 则F(1,0,1),E(0,1,1) 5.设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z), 所以F元=(1,2，-1)，F2=（-1,1,0), 由AB⊥n,AC⊥n, 得+2y+32=0, 设平面EFC的法向量为n=（x,y,z), z=x 所以 l3x+2y+z=0,y=-2x, n·F元=0，「x+2y-2=0, 则 n.F2=0l-x+y=0, 令x=-1,解得y=2,z=-1, 令x=1,则y=1,2=3. 所以n=(-1,2,-1). 所以平面EFC的一个法向量为n=(1,1,3), 6.如图1，连接B'D',BD,ED',FB, 因为OG∥平面EF℃，则n·OC=0. 正四棱柱ABCD-A'B'C'D'的对角面BDD'B'是矩形， 设G(0,0,a),则0C=(-1,-1,a), 则BD∥B'D' 所以-1-1+3a=0. 解得a=子所以c(0.0,子)， 即46：景 图1 8.如图3，连接DM,D1B, 因为E,F分别是AD,AB的中点， 且以C为原点建立空间直角坐标系， 则EF∥BD∥B'D' 又O为上底面中心，则O∈B'D', 因此四边形EFB'D'是平面OEF截正四棱柱ABCD- A'B'CD'所得的截面.延长GO∩A'B'=H, 图3 由G是CD'的中点，0为上底面中心，得 故C(0,0,0),D1(1,2,0),D(1,0,0),B(0,0,1) GH∥B'C'∥BC, 设Q(x,y,z）, 连接BH,CG,则四边形BCGH是平面OBG截正四棱柱 由D示=N元，B成=2MD, ABCD-A'B'C'D'所得的截面， 知N是DC的中点，M是DB的三等分点， 显然FB'与BH相交，令交点为M,M∈l,四边形BB'HF是 正方形，则M(4,3,1), 所以（分0.0）（子，22） 而0(2,2,2)，又0el, 所以向量0=(2,1，-1)是直线1的一个方向向量，(D) 城（令29合）丽=（合小 满足， 因为Q.M0=0, 选项(A)(B)(C)中向量与O不共线，故选(D). 则（分-，-（分9写）=0 7.以A为坐标原点，AB,AD,AP的方向分别为x,y,z轴的正 方向建立空间直角坐标系如图2所示， =0, 3 10