第4期 直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系-【数理报】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步学案（北师大版）

16.(15分)已知a,b,c∈R,3a2+3b2=4c2(c≠0). 1 18.(17分)已知圆心C在直线y=2x上， 19.(17分)已知圆C:(x+3)2+(y-4)2=16,直线1：(2m+ (1)证明：直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1交于两不同点 1)x+(m-2)y-3m-4=0(m∈R) M,N; (1)若圆C与y轴相切，且与x轴正半轴相交所得弦长为2√3 ! (1)若圆C截直线l所得弦AB的长为2√11，求m的值； (2)求IMNI 求圆心C的坐标： (2)若m>0,直线1与圆C相离，在直线1上有一动点P,过P (2)若圆C与直线x-2y-1=0相切，且与圆Q:x2+(y-2)2 作圆C的两条切线PM,PN,切点分别为M,V,且cos∠MPN的最小 =1相外切，判断是否存在符合题目要求的圆. 值为最 .求m的值，并证明直线MN经过定点 高中数学·选择性必修第一册（北师大版）同步核心素养测评 17.(15分)已知圆C的方程：x2+y2-2x-4y+m=0. (1)求m的取值范围： (2)当圆C与圆D:(x+3)2+(y+1)2=16相外切时，求圆C 高中数学·选择性必修第一册（北师大版）同步核心素养测评 的半径 参考答案见6期 本版责任编辑：张朝卿 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 0351-5271248 数评橘 2025年7月28日·星期 高中数学 第 期总第1148期 北师大 选择性必修第一册 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F) 邮发代号：21-168 木木和豆豆 有两只老鼠是 误区警示 所以D=-3,E=1,或D=3,E=-5. 在最近几年的高考中经常出现关于点的个 好朋友，它们的名字 认清 误区 故所求圆的方程为x2+y2-3x+y=0或 数的判断方法，如：满足圆(x-a)2+(y-b)2= +y+3x-5y=0. r2(r>0)上到直线1：Ax+By+C=0的距离为 叫木木和豆豆冬天 误区三：忽视变量的范围 定值h的点P究竟有几个？它取决于定值h、半 来临时，它们吃光了 觅正解 例3已知圆x2+y2+2y=0,求x2+y的取 径r以及圆心到直线的距离（为节省版面，下 值范 所有的奶酪后，便决 列题中均省略字母意义的设置，而同学们在做 错解：因为x2+y2+2y=0, ©四川肖启松 题中，此步骤不可省) 定去更远的地方寻 所以x2=-y2-2y 一、d>r的情形 找. 误区一、忽视直线的斜率不存在致误 则x2+y=-y-y=-(0+)+ 例1圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x 例1直线l经过点P(3,6)且和圆C:x2+y 有一天，木木和 =25相交，截得弦长为8，求直线1的方程 豆豆在翻过一座大 错解：设直线方程为y-6=k(x-3) 所以+)的取值范围为-， +4y+12=0的距离等于4的点的个数为 即x-y-3k+6=0. 剖析：忽视了题目中x,y的范围. 解：由已知得r=3,h=4, 山时，木木不幸失 足，在它滑向悬崖边 则圆心到直线的距离为d= 1-3k+61 正解：由x2+y2+2y=0得x2+(y+1)2=1. d4=3×3+4×3+121 k2+(-1)2 可知-2≤y≤0. √32+4 的一瞬间，豆豆不顾 由于直线被截得弦长为8，且r=5, 所以x2+y=- (+2) × 因此d= I-3k+61 33 自身安危，拼命地拉 W2+(-1)7 =3,解得k= 住了木木，木木于是 -2 所以直线1的方程3x-4y+15=0. 因为4=3 >r=3, 在附近的一块大石 剖析：本题错解原因在于设直线方程时没 误区四：忽视斜率的大小 有考虑直线的斜率不存在的情况，事实上，当直 例4直线x+√3y-m=0与圆x2+y2 聘 -3=d-r<h=4 头上刻下：某年某月 线斜率不存在时，即直线与x轴垂直时，直线被 在第一象限内有两个交点，则m的取值范围 所以符合条件的点有2个，如图1 某日，豆豆救了木木 圆截得的弦长也是8. 正解：当直线垂直于x轴时，直线1的方程为x 命 (A)(1,2) (B)(3,3) 专题辅导： =3, 两个好朋友继 将其代入圆方程x2+y2=25 (C)(1,w3) D)(3,2) 错解：可作出简图，如 究竟有儿个点9 续前行，一个月后 解得y1=-4,y2=4, 图1. 所以弦长为1y,-y,丨=8，满足题意； 它们来到一处结冰 直线与圆的位置关系解析 当直线不垂直于x轴时， 当直线x+5y-m 的河边，两只老鼠为 由错解知直线1的方程为3x-4y+15=0. =0与圆x2+y2=1在第 故所求直线l的方程为x=3或3x-4y+15一象限相切时，可解得m O湖南黄超 图1 踏冰而过还是寻桥 =0. =2. 二、d=r的情形 而过争吵起来，一气 误区二、概念不清致误 当直线过(1,0)点时，可解得m=1 例2圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线5x 例2求过原点及点A(1,1),且在x轴上截 要使直线与圆在第一象限内有两个交点 之下，豆豆踢了木木 +4y-12=0的距离等于3的点的个数为 得的线段长为3的圆的方程 应有1<m<2.选(A). 脚，木木跑到冰面 错解：设所求圆的方程为x2+y+Dx+Ey+F 剖析：这是由于在解题时没有分析清楚直 线在从右上方向左下方平行移动时，是先过(1， 解析：由已知得r=3,h=3 上刻下：某年某月某 =0由题意待6+公，F。-2 0)点还是先过(0,1)点.而对此起决定作用的是对 d=15×3+4×3-12 日，豆豆踢了木木一 令y=0得x2+Dx=0 余斜率大小的断. /32+4 解得x1=0,x2=-D. 正解：直线的斜率为 =3. 由x2-x1=3得D=-3,所以E=1. 5 因为0<h=3<2r=6, 有个过路的行 故所求圆的方程为x2+y2-3x+y=0. >-1,故其简图应为 所以符合条件的点有2个，如图2. 人看见了，好奇地问 剖析：以上错误的原因是概念不清，在x轴图2，直线先过(0,1)点 上截得线段长应是x2-x,的绝对值，而不是x2- 三、0<d<r的情形 木木：“你为什么把 此时m=3 例3圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线5x 豆豆救你的事刻在 正解：结合错解可知1x2-x,1=3,即D1 故正确答案为3 +4y-20=0的距离等于3的点的个数为 <2,选(D) 石头上，而把它踢了 解：由已知得r=3,h=3, 你的事刻在冰上？ 题2（求弦长)已知圆C的圆心与点P( d=5×3+4×3-201 木木说：“豆豆 2,1)关于直线y=x+1对称.直线1：3x+4y √32+4 救了我，我永远都感 :3形 -11=0与圆C相交于A,B两点，且IAB1= 5 激它；至于它踢我的 6,则圆C的方程为 事，我会随着冰上字 解：首先由圆心与点P关于y=x+1对称 因为好<h=3<r+d= 2 ©山东孙伟 迹的溶化而忘得一 可以求出圆心的坐标为C(0,-1),设圆的半径 所以符合条件的点有2个，如图3 在解直线与圆相交的问题时，很多同学喜 为r. 千二净” 四、d=0的情形 欢联立方程组，求解交点坐标，进而求弦长这 因为圆心C到直线3x+4y-11=0的距离 例4圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线5x 大启示：只有记 样做，计算量太大，容易出错而通过做图，会发 为 +4y-27=0的距离等于2的点的个数为 住别人对我们的恩 现一个奇妙的三角形 d=3×0+4×(-)-11L=15 =3. 惠，忘却自己对别人 √32+4 解：由已知得r=3,h=2 题1（求切线长）从圆C:(x-1)2+(y-1)2 先画出图形，如图2.过点 的怨恨，在人生的旅 4=5×3+4×3-271 =1外一点P(2,3)向这个圆引切线，则切线长为 C作直线1的垂线，垂足为E, w32+42 途中，我们才能活得 则△ACE为直角三角形，且E =0. 洒脱而轻松、自由而 为弦AB的中点.利用直角三 解：如图1所示，线段PA 因为0<h=2<r=3. 惬意 角形可得， AC,PC恰巧构成一个直角三角 所以符合条件的点有4个，如 r2=CE2+AE2=9+9= 形，利用此直角三角形易得切 图4. 18 点评：无论条件怎么变，只要明确了r,d,h 线 PA 的长 为 所以圆C的方程为 之间的数量关系，作出图形，便可一目了然.这 /个PC12-1CA12=2. x2+(y+1)2=18 足以说明数形结合思想的重要作用 2 素养专练 数理极 6.已知圆的方程为x2+y2=2,直线y=x+b, 专项小练一、直线与圆的位置关系 3.圆C1:(x-1)2+(y-2)2=4与圆C2:(x 当b为何值时，圆与直线相交、相切、相离？ +2)2+(y+2)2=1的位置关系是() 1.直线4x+3y=40和圆x2+y2=100的位 (A)外离 (B)外切 置关系是 ( (C)相交 (D)内切 (A)相交 (B)相离 4.圆C:x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2: (C)相切 (D)无法确定 x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦所在直线的 2.直线5x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2 方程是 =0相切，则实数m= ( 5.若点A(a,b)在圆x2+y2=4上，则圆(x (A)±5 (B)-35或5 a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1的位置关系是 (C)-3或35 (D)±33 3.点M(3,0)是圆x2+y2-8x-2y+10=0 6.求和圆(x-2)2+(y+1)2=4相切于点 内一点，过点M最长的弦所在的直线方程是 (4,-1)且半径为1的圆的方程. (A)x+y-3=0 (B)x-y-3=0 (C)2x-y-6=0 (D)2x+y-6=0 4.已知圆的方程为x2+y2=2,则经过圆上 专项小练二、圆与圆的位置关系 点(1，-1)的切线方程为 1.圆C:x2+y2=1与圆C2:(x-3)2+(y-4)2 5.圆(x-2)2+(y-2)2=2与两坐标轴相 = 16的位置关系是 ( ,则其半径r= (A)外离 (B)相交 (C)内切 (D)外切 2.圆C1:x2+y2+4x+8y-5=0与圆C2: x2+y2+4x+4y-1=0的位置关系为( (A)相交 (B)外离 数理报社试题研究中心 (C)内切 (D)外切 参考答案见6期 第3期2版参考答案 V5(a-号引+号当。台时-5 (2)设N(x1y1),G(x,y), 5 因为线段MW的中点是G, 专项小练一 故所求圆的方程为(：-号)°+(-子)广=号 ,出+3 1.B;2.B:3.C 所以由中点公式得 2 →=2x-3, 4.(x-2)2+(y+1)2=1:5.4. 16.解：如图，以AB所在直线为x轴， +4 =y Ly1=2y-4. 6.解：设圆(x-3)2+y2=9的圆心为C, 弦AB的垂直平分线为y轴，建立平面直 则C(3,0),圆的半径为3. 角坐标系设圆弧的圆心为C,连接AC, 因为N在圆C上，所以(2x-6)2+(2y-2)2=25 因为P为弦MN的中点，所以kcp·ky=-1. 则01=6 即(x-32+g-1)2=空 又如-号-分所以k。-2 所以OC=AC2-OA 所以点G的迹方程是(x-3)2+(y-1)2=空 所以直线MW的方程为y-1=2(x-1), /292-62≈28.373， 19.解：(1)设P(x,y),则1PA12=(x+1)2+y, 即2x-y-1=0. 即圆心的坐标为C(0,-28.373), 1PB12=(x-3)2+y, 专项小练二 所以圆弧AB的方程为x2+(y+28.373)2=292(-6≤ 1.D;2.C;3.D 所以PA1 x≤6，y≥0). 4.x-y+1=0;5.(-0,-13). 17.解：(1)设圆P的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则由 则9(x+1)2+9y2=(x-3)2+y2, 6.解：(1)因为x2+y2=0,所以x=0且y=0. ,12+02+D+0+F=0, D=-5, 整理得曲线C的方程为x2+3x+y2=0. 即方程表示一个点(0,0). 已知得 4+0+40+0+F=0,解得{E=7, (2)原方程可化为(x-1)2+(y-1)2=5. 6+(-2)2+6D-2E+F=0,F=4. （②)由①得线c为饭即C(+）+r=是 即方程表示圆心为(1,1)，半径为5的圆. 故圆P的方程为x2+y2-5x+7y+4=0. 设其关于直线x+y-2=0对称的圆的圆心为(x,y), (3)原方程可化为(x+a)2+(y+b)2=a2+b2 3 当a=b=0时，方程表示一个点(0,0)， (2)由圆的对称性可知，圆心P的横坐标为手4= 2 2 2 -2=0, 「x=2, 当a2+62≠0时，方程表示圆心为(-a,-b),半径为 解得 故圆心P(之2)，故圆P的半径为r=1AP叫 √+不的圆 3=1 x+ 第3期3,4版参考答案 =√1-3)+0-2y=克 所以曲线C关于直线x+y-2=0对称的曲线方程为 一、单项选择题 故园P的标准方程为(：-）广+y-2),空 a-2+(-2)=号 1 ~4 BADC 5~8 BCBA 18.解：(1)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=子， 二、多项选择题 (3)由点(3,3)到圆心c的距离为 得到圆心坐标为(a,b),半径为r, 9.AC:10.ACD:11.AD. 将A与B的坐标分别代人圆方程得 三、填空题 (-1-a)2+(1-b)2=2, d=√(3+)+3-02=5 12.(-2,1)；13.(-0,1): (-2-a)2+(-2-b)2=r2, 14.(x-4)2+(y-2)2=10(去掉(3,5)，(5，-1)两 因为圆C的半径，=多 消去r,整理得a+3b+3=0, ① 点). 将圆心坐标代人x+y-1=0得a+b-1=0,② 所以点(3,3）到圆C的最短距离为d-r=5-子 四、解答题 联立①②解得a=3,b=-2, 7 15.解：设圆心坐标为(a,-2a+3),则圆的半径 2=(-1-3)2+(1+2)2=25 子>3，故在圆C上不存在点D,使得D到点(3,3)的距 r=(a-0)2+(-2a+3-0)7=√5a-12a+9 则圆C的标准方程为(x-3)2+(y+2)2=25. 离为3. (A)12米 (B)13米 11.过点M(4,0)的直线与圆(x+2)2+(y+5)2=25交于A, 直线与圆、圆与圆的位置关系 (C)14米 (D)15米 1 1 7.如图2，在平面直角坐标系中，0为坐标原 B两点，在线致极上取点Q,使简，B侧微 同步核心素养测评 y个 点，⊙C的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,射线 段！MQI的长可能为 OP绕O点从x轴正半轴逆时针匀速旋转到y轴 ◆数理报社试题研究中心 (4)9 2 (B)16 (c)号 (D)35 6 正半轴，所扫过的内部图形（图中阴影部分）的 第I卷选择题（共58分） 面积S可表示为时间的函数y=S(),则下列图 图2 第Ⅱ卷非选择题（共92分) 象中与y=S()图象类似的是 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 1.“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的 12.直线y=-√5(x-2)截圆x2+y2=4得到的劣弧所对的圆 ( 心角为 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 13.已知P是直线I:kx+y+4=0(k>0)上一动点，PA,PB是 高中数学 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 圆C:x2+y2-2y=0的两条切线，切点分别为A,B.若四边形PACB 2.圆(x-3)2+(y+2)2=4与圆(x-7)2+(y-1)2=36的 的最小面积为2，则k= 警 位置关系是 () 选择 14.已知圆C1:x2+y2+2ax+2-4=0(a∈R)与圆C2:x2+ (A)相切 (B)内含 y2-2by-1+b2=0(b∈R)只有一条公切线，则a+b的最小值为 选择性 (C)相离 (D)相交 必修第 3.若直线上存在到曲线T上一点的距离为d的点，则称该直线 为曲线T的d距离可相邻直线.已知直线l:3x-4y+m=0为圆C: 8.平面内互不重合的点A1,A2,A3,B1,B2,B,B4,若1A1B+ 四、解答题：本题共5小题，共77分 第 册 A3B+A3B1=i,其中i=1,2,3,4,则1B,B21+1B,B31+1B,B41 15.(13分)求半径为2，圆心在直线l1:y=2x上，且被直线2： (x-1)2+(y+4)2=9的2距离可相邻直线，则m的取值范围是 册 的取值范围为 x-y-1=0所截弦的长为2√2的圆的方程 大版 (A)(-0,-24]U[14,+0) ([告] (®)[学] (B)[-24,14] 同 步 (C)(-0,-44]U[6,+0) (c)[告] (D)[1,5] 核 (D)[-44,6] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 心素养测评 4.已知圆0：x2+y2=4上恰有三个点到直线1：y=x+b的距 9.已知圆01：x2+y2-2x-3=0和圆02：x2+y2-2y-1=0 北师大版)同步核心素养测评 离等于1，则实数b的取值是 的交点为A,B,则 (A)2,-2 (B)2,-√2 (A)圆01和圆02有两条公切线 (C)-2,-2 (D)-2,2 (B)直线AB的方程为x-y+1=0 5.已知有100个半径互不相等的同心圆，其中最小圆的半径为 (C)圆O2上存在两点P和Q使得IPQ1>1AB 1,在每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，则这 (D)圆O,上的点到直线AB的最大距离为2+√2 100个圆中最大圆的半径是 ( 10.对于直线l:x-my+2-m=0与圆C:(x-5)2+(y-1)2 (A)8 (B)9 =4,以下说法正确的有 () (C)10 (D)100 (A)1过定点(-2，-1) 6.“陶辛水韵”被评为芜湖市新十景之 (B)C被1截得的弦长最长时，m=2 7 ,每年人夏后，千亩水面莲叶接天，荷花映 日，吸引远道游客纷至沓来，坐上游船穿过一 (C1与C相切时，m=0或m=5 28 座座圆拱桥，可以直达“香湖岛”赏荷.圆拱的 (D)1与C相切时，记两种情形下的两个切点分别为A,B,则 水面跨度20米，拱高约5米.现有一船，水面 以上高3米，欲通过圆拱桥，船宽最长约为 1AB1=2853 53高中数学北师大版选择性必修第一册第1~4期 数理括 答案详解 2025~2026学年高中数学北师大版选择性必修第一册第1~4期(2025年7月) 第1期2版参考答案 提示： b 专项小练一 2.已知仙≠0,6y=-x+6,由四个选项中的4可知 1c:2D:3BD4分 k>0,可排除(A),(C)； 当b<0时，可排除(B)； 5(w号或-号.(2)9 当b>0时，(D)符合题意 6.解：当2m=m,即m=0时，直线l垂直于x轴，其斜率不存 3.由题意可知直线L的斜*k=m子=1， 在； 所以直线l的方程为y-3=x-1,即y=x+2, s、1 当2m≠m,即m≠0时，直线1的斜率k=2-1 Γm-2mm 所以它在y轴上的截距为2. 专项小练二 4.因为直线1的倾斜角为150，所以tan150°=- 3 1.A;2.C;3.BD.4.2x-y+2=0; [2x, 0≤x<10, 由斜率的定义k=-兰可知，取1=y=0, 5.y= 1 50,10≤x≤40. 3x+3, 解得一组解可以是x2=-3,y2=5, 6.解：经过点(1,2)，且斜率为3的直线， 所以直线的一个方向向量可以是(-3,5). 即y-2=3(x-1), 5.由直线1的方程为2x+3y-1=0, 化简得y=3x-1; 得斜率k=tan0=-行， 2 经过点(1,2)，且斜率为-3的直线，即y-2=-3(x-1), 化简得y=-3x+5. 图象如下图所示 则sin(0-m)·m(受-0小 =-sin0·cos0=二sim0·cos0 3=1 2 =-sin0·cos0 -tan 3 6 sin 0 cos tan20+1 (-号)+1 -10 123 y=-3x+5 6.由f(牙-x）=f(年+x）知函数f()的图象关于 直线x=平对称， 专项小练三 1.A;2.A;3.AC. 所以f(0)=f受)，所以a=-6 4.x-4y+7=0;5.-3. 6.解：设AC边的中点为D,由中点坐标公式可求得D点的 由直线ax-y+c=0知其斜率k=号=-1， 坐标为(4,4)，则直线BD即为所求. 由直线方程的两点式得8-普 所以直线的倾斜角为平 即所求直线方程为x-2y+4=0. 7.因为点(-1,2)和（停，0）在直线ar-y+1=0a≠ 第1期3,4版参考答案 0)的同侧， 直线的倾斜角、斜率，直线的方程同步核心素养测评 一、单项选择题 所以(-a-2+)(-0+1）>0 1~4 ADAB 5~8 ADDD 即(a+1)(a+√5)<0， 高中数学北师大版选择性必修第一册第1~4期 所以-5<a<-1. 所以直线1恒过点(3，-1)，(A)正确： 又知直线l的斜率k=a,即-5<k<-1, 对于(B),可知所求直线的斜率存在且不为0，设为k, 又因为直线倾斜角范围是[0，π)， 则它的方程为y-1=(x-1) 所以直线1的颜斜角的取值范围为(？，平） 令x=0,得y=1-k,即该直线在y轴上的截距为1-k: 8.m(x+1)+n(y+2)=0可化为mx+ny+m+2n=0, 令y=0.得x=1-名 ① 即该直线在x销上的截距为1一名 要使l与两坐标轴能围成三角形，则mn≠0且m+2n≠0， 因为该直线在x,y轴上的截距相等， 由①令x=0得y=-m+2n, n 所以1-k=1-大解得太=1， 令y=0得x=-m+2n m 所以所求直线的方程为x-y=0或x+y-2=0,(B)错 依题意，片× m+2）×(-m2） 误； n m 对于(C),点B关于x轴的对称点为B'(-1,-1),连接 1 =2× m2+4mn+4n2 AB'交x轴于点Po,点P是x轴上任意一点，连接BP。,AP,BP, mn Γ=2 PB,如图1. 所以m+40+4=12或m+4n+4=-12, m n m 所以严+4=8或m+4n=-16. m m 设=只则+生=8或：+号=-16， 则t2-8t+4=0或2+16t+4=0, 图1 解得t=4±25或t=-8±2√15， 于是IPAI+IPBI=IPAI+PBI≥IAB1=IAP。I+ 即m=4±25或m=-8±25， n I B'Po I =1 APo I+I BPol, 所以这样的直线有4条 当且仅当点P与P。重合时，等号成立， 二、多项选择题 因此(1PA1+PB1)=|AB'1=√3+4=5，(C)正确： 9.ACD;10.BD;11.ACD. 对于(D),直线1与x,y轴的正半轴分别交于A,B两点，可 提示： 知直线l的斜率为负数，设直线：y-2=k(x-3),k<0, 9.由ax+6y+c=0可知直线斜率k=-分>0， 令x=0,得=2-36，令=0，得=3-会 直线在)轴上的裁距y=-分<0，满足条件的只有(B), 可知2-3>03-会>0， 所以不可能是(A)(C)(D). 10.对于(A), 所以5m=子×2-3k)(3-吴) 当x=2,y=6时，代入直线方程后得6≠2-8，所以点(2， 6)不在直线l上， =[(-9)++l] 故(A)错误； ≥726+12)=12 对于(B),易得直线l的斜率为k=1, 所以“=(1,1)为直线1的一个方向向量， 当且仅当-9贴=手即太子时，等号成立。 故(B)正确； 所以△AOB面积的最小值为12，(D)正确。 对于(C),令x=0得y=-8, 故选(A)(C)(D) 所以直线1在y轴上的截距为-8， 三、填空题 故(C)错误； 12.4:13.5；14.4 9 对于(D),易得向量v=(1,-1)与直线1的方向向量垂 直，故(D)正确. 提示： 故选(B)(D). 12.设直线AB的倾斜角为a, 11.对于(A),整理mx+y+1-3m=0, 则直线AB的斜率k=tana=tan45°=1， 得m(x-3)+y+1=0, 令-3=0解得=3， 又长=+治=1，解得a=4 y+1=0,y=-1, 13.因为f(2)=a°+1=2，所以A(2,2); -2 高中数学北师大版选择性必修第一册第1~4期 由kx-y+2k-1=0得y+1=k(x+2), 所以直线上的方程为)-1=-之(x+,即：+2+2=0 所以直线恒过定点B(-2,-1), 所以1AB1=√(-2-2)2+(-1-2)7=5. 选择②：由题意可设直线私的方程为六+六 =1,m≠0， 14.以C为原点，DC,BC边分别为x轴，y轴建立平面直角 因为直线2过点A(-4,1), 坐标系，如图2，则W(-120,-80),M(-60,-200), 所以2+日=1，解得m=- N' 所以直线6的方程为2+片=1，即x+2y+2=0 (2)由(1)可知直线2的方程为x+2y+2=0, 令y=0,可得x=-2, 所以直线2在x轴上的截距为-2， 所以直线1在x轴上的截距为-2. 图2 故直线1过点(-2,0)，代入ax+2y-12=0, N关于x轴的对称点为W'(-120,80),W'关于y轴的对称 得-2a+2×0-12=0,解得a=-6. 点为W"(120,80), 19.(1)证明：由kx-y+2+3k=0可得 直线MW”方向为本球射出方向， k(x+3)+2-y=0, 80+20014 故tam(受-0）=20+0 9 =9,tane =14 g8e2 y=2, 四、解答题 所以（经过定点P(-3,2), 15.解：(1)依题意，(-1，√3)是直线l的一个方向向量， 即直线过定点(-3,2)，且定点在第二象限， 所以直线1的斜率k=-5, 所以无论k取何值，直线始终经过第二象限 所以直线1的倾斜角为120° (2)解：设直线1的倾斜角为a,则0<a<号， (2)直线的倾斜角是钝角， m-3 可得1PA1=2,1PB1=3 则直线斜率ka=二m十<0， sin a cos a 1 1 一+ sin a cos a 解得m<2或m>3. 所以号PI+子1PB1= sin a cos a sin acos a 所以实数m的范围是(-0,2)U(3,+0). 16.解：(1)由题图知点A(60,6),B(80,10). 令i=sina+cosa=万in(a+牙） 由直线方程的两点式可求得直线AB的方程是 因为0<a<受，可得 x-5y-30=0. (2)依题意，令y=0,解得x=30, 子<a+子<<m(+）≤1， 即旅客最多可免费携带30千克的行李. 17.解：(1)由直线的两点式方程，得边AC所在直线的方 则t=万in(a+晋）e(1,5], 程为奶=80即-2y+8=0 将t=sina+cosa两边平方可得 2=(sin a cos a)2 =1 +2sin a.cos a, 由直线的两点式方程，得边AB所在直线的方程为一4 6-4 所以sin acos&= 2-1 2 20即x+y-4:0 所以PA1+子1PB=naC sin acos a (2)由题意，得点D的坐标为(-4,2)， 2t 2 由直线的两点式方程，得中线BD所在直线的方程为)二子 6-2 =-4周2x-+0=0 因为y=t-上在(1,2]上单调递增， t 18.解：(1)选择①：由题意可设直线，的方程为y-1=k(x+ 4), 所以0<1-1≤2 因为直线马的斜率是直线y=-子的斜辛的2倍， ≥5，所以2≥2a, 故y=一 1 t一t 所以k=-2, 1 当且仅当t=√2时取等号， 3 高中数学北师大版选择性必修第一册第1~4期 此时t=万in(a+平）=万， 即两直线交点坐标为(2,0)， 代人kx-y+3=0得：2k-0+3=0→k=- 可得a=平，所以k=ana=am T =1, 2 故选(C). 所以直线1的方程为x-y+5=0. 3.直线l1:y=3ax-2过定点A(0,-2),直线b2:a(2x+ 第2期2版参考答案 5y)-(x+1)=0过定点B(-1,号) 专项小练一 1.ABD:2.D:3.B. 所以1A1-√-1-02+号-(-2丁=号 4.4；5.垂直 4.设M(x,》,且=多， 6.解：因为c=2+25-2:-万 2-4 期(x-6y-2)=子1-，7- kc=2-22-2.2 0-4 2' -6=高1-， 则e6c=-万×号=-l 得 解得x3, -2=1-w, ly=5, 所以AC⊥BC.故△ABC是直角三角形. 代人直线y=mx-7,得5=3m-7,解得m=4. 专项小练二 5.△ABC的顶点为A(0,0),B(4,0),C(3,W3), 1.AD;2.C;3.C. 4.(-4,3)；5.-3. 所以重心c(仔，9） 6.解：(1)解方程组 3x-y+4=0, 「x=-5, 设△ABC的外心为W(2,a),则IAWI=1WCI, 得 x+3y+2=0, 即2+a=√(3-2)2+(5-a)2,解得a=0, =-5 所以W(2,0),则该三角形的欧拉线即直线GW,其方程为 所以这两条直线相交，交点坐标是(-子，-专）】 及0 3 (2)l2:9x-15y+30=0可化为方程3x-5y+10=0, y-0= —(x-2), 3x-5y+10=0:有无数多个解， 3-2 所 l9x-15y+30=0 化简得5x-y-25=0. 故l1:3x-5y+10=0与b2:9x-15y+30=0重合 6.当x≥0时，由-alxl=-a+x可得-ax=-a+x, 专项小练三 1.B:2.BCD:3.A. 当a-1时，解得。中行 当x<0时，由-alxl=-a+x可得ax=-a+x, 2攻4： 解得x=- 6.解：(1)由点到直线的距离公式可得 a-1: d=3×3-4×(-2)-1L=16 32+(-4)7 5 所以Q+1≥0， 其中a<0,解得a<-1. a (2)由直线y=6与x轴平行，得d=16-(-2)I=8. la-<0, (3)d=131=3. 7.因为直线y=kx+2026的斜率存在，所以x1≠x2, 第2期3,4版参考答案 由题意厂=缸+2026， ly2=kx2+2026, §1.4~§1.6同步核心素养测评 则x1y2-y1=x1(kx2+2026)-x(kx1+2026)= 一、单项选择题 2026(x1-x2)≠0， 1~4 BCAD 5~8 ABBA 故l:xx+yy=1与2：2x+2y=1相交， 提示： 所以方程组总有唯一解，(A),(D)错误，(B)正确； 1因为+y-5=0 3x+y-3=0 的解为厂-1， y=6, 若=↓是方程组的一组解，则西+2=1 ly =2 lx2+2y2=1, 所以集合A∩B中的元素是两直线的交点(-1,6)， 则点P(,少1)，P2(2,y2)在直线x+2y=1, 即A∩B={(-1,6). 2由2+y-4=0,x=2, 即y=之+分上， → lx-y-2=0,y=0, 但已知这两个点在直线y=kx+2026上，而这两条直线不 4 高中数学北师大版选择性必修第一册第1~4期 是同一条直线， (2)直线ax+2y+8=0分别与另外两条直线平行. 所以=1不可能是方程组的一组解，(C)错误 当ax+2y+8=0与4x+3y=10平行时， 1y=2 8由题意联立两直线方程=+2，化简得k-x=6, 有号=号≠80解得a=多 Ly =kx-4. 当ax+2y+8=0与2x-y=10平行时， k-1=-6,即k=-5时，x=-1,y=1; 有号=子≠0解得a=-4 k-1=-3,即k=-2时，x=-2,y=0; 故选(B)(C)(D). k-1=-2,即k=-1时，x=-3,y=-1; 三、填空题 k-1=-1,即k=0时，x=-6,y=-4; k-1=1,即k=2时，x=6,y=8; :13.25:141 12710 k-1=2,即k=3时，x=3,y=5; 提示： k-1=3,即k=4时，x=2,y=4: 12.由两直线平行可得m=2. k-1=6,即k=7时，x=1,y=3. 直线3x+y-3=0变形为6x+2y-6=0, 所以k的值可以取8个，(A)正确. 二、多项选择题 所以距离为d=1+6L=70 √6+2 =20 9.AC;10.ABD;11.BCD. 提示： 13设B关于直线y=子的对称点为B'(气6)， x=5-3 9.联立方程x+y-3=0, r%o -2 解得 k+1 则 o-1 =-3, Ly kx +3k-2 解得B'(2,-1). y= 6k-2 k+1 b+2=马×o+1 3 因为两直线的交点在第四象限， 2, ,5-3k 由平面几何知识得IACI+|BCI的最小值即是IB'AI= k+1 >0, 所以 √/(2+2)2+(-1-1)2=25. 6k-2<0 解得-1<k<分故远(A)(C), 14.直线l:mx-y+m=0,即m(x+1)-y=0,恒过定 k+1 点(-1,0)， 10.对于(A),当k=0时，直线2的方程为x=0,此时直 直线l3:(m+1)x-y+(m+1)=0, 线马的倾斜角为7，故(A)项正确： 即m(x+1)+x-y+1=0,也恒过定点(-1,0)， 所以直线41与l3相交于定点A(-1,0) 对于(B),当k=-时，直线的方程为x-y-1=0, 由+m+》=0、。解得任=0， 可知 与1重合，此时两直线有公共点； (m+1)x-y+(m+1)=0, 【y=m+1, 当k≠-号时，有1×k-(-1)×(k+1)=2k+1≠0， 直线2与直线相交于点B(0,m+1): 由题可得直线(，与直线l,2相互垂直，所以△ABC是C为直 即41,2一定相交， 角的直角三角形 综上所述，对任意的实数k,直线1与直线2都有公共点， 因为点A到l2:x+my-m(m+1)=0的距离 故(B)正确； 1AC1=-1-m(m+1)L=m+m+L 对于(C),由(B)可知，当k=-2时，直线，与4，重合，故 √/1+m √1+m 点B到l1:mx-y+m=0的距离 (C)错误； 对于(D),要使直线l1与直线2垂直，则应有k+1-k= 1BC1=-m=1+ml= 1 m+1 m2+1 0,该方程无解，所以对任意的实数k,直线与直线2都不垂 所以△ABC的面积 直，故(D)正确。 故选(A)(B)(D). s=1AC1BC1=分×t m2+1 11.若是三条直线两两相交，且交点不重合，则这三条直线 把平面分成7部分； 如果这三条直线将平面划分为六部分包括两种情况能够成 m<0时，△ABC的面积不可能取到最大值； 立： m=0时，S=2 1 (1)直线ax+2y+8=0过另外两条直线的交点. 由4x+3y=10和2x-y=10的交点是(4，-2)， m>0时， m 代入解得a=-1; t≤2反分当仅当n1时等 5 高中数学北师大版选择性必修第一册第1~4期 号成立，此时5=2(1+分)=子 即-2.2+D=-1,解得=1， t+1t+3 综上，当m=1时，△ABC的面积S取得最大值子 综上，t的值为1或-1. 18.解：(1)设AB边的垂直平分线所在的直线为L, 四、解答题 15.解：如图1，设P(0,3)点关于直线x-y+1=0的对称 由题可知kw=子=2则与=-分， 点的坐标为P'(a,b), 又可知AB的中点坐标为（子+）， 所以1的方程为y-4=-(x-)） 0 即y=之+兴 123 (2)设B关于直线x-y+3=0的对称点M的坐标为(a, 图1 b), b-3 =-1, 则 a-1 1b-3=-1, 解得a=0所以M0,4). a 1+a_3+b b=4, 2 2 +3=0, 解得a=2,b=1, 由题可知A,M两点都在直线AC上， 所以P'(2,1) 设Q(-2,3),N为直线x-y+1=0上的点， 所以直线4C的斜*为二合=宁， 则PWI=IPW'I. 则1QWI+PWI=IQWI+lP'WI≥IQP'I, 所以直线4C的方程为y-4=宁x-0), 当且仅当Q,N,P'三点共线时取等号. 所以AC所在直线的方程为x-2y+8=0. 而1QP'1=√(-2-2)2+(3-1)7=25， 19.解：显然四边形ABCD为等腰梯形， 因为a>0,根据等腰梯形的对称性可知：当b>1或b≤ 所以最短总路程为2√5. 0时不符合题意，所以0<b≤1. 16解：(1)由2x-y+3=0解得= 当a=分b=1时，设直线C:=之+1与y轴的交点 1 13x-y+2=0, ly=5, 即两直线的交点坐标为(1,5) F(0,1),根据等腰梯形的对称性可知符合题意； 则直线经过点(1,5)和(2,3)， 由两点式方程得号二号号 当a>方b=1时，设直线y=+1与梯形上.下底分 别交于M,N,如图2， 化简得所求直线方程为2x+y-7=0. (2)由3x+y-1=0可得直线的斜率为-3， 故平行于直线3x+y-1=0的直线的斜率为-3， 结合(1)可知两条直线y=2x+3与3x-y+2=0的交 E N O 点为(1,5)， 图2 由点斜式方程得y-5=-3(x-1), 因为三角形MCF与三角形NEF全等， 化简得所求直线方程为3x+y-8=0. 17.解：因为A,B两点纵坐标不相等， 所以直线y=ax+1(a>2)】 1 将四边形ABCD分割为面 所以AB与x轴不平行，而AB⊥CD, 积相等的两部分； 所以CD与x轴不垂直，则-t≠3，即t≠-3. 1 当0<a<2时，设直线y=6与y轴交于G点，与梯形 ①当AB与x轴垂直时，-t-3=-2t-4, 解得t=-1,此时C,D的纵坐标均为-1， 的两腰交于Q,P, 所以CD∥x轴，此时AB⊥CD,满足题意 由题直线y=ax+b(a>0)将四边形ABCD分割为面积 ②当AB与x轴不垂直时，由斜率公式 相等的两部分，则设该直线与梯形的两腰交于K,H.如图3， 如=2-4-2-1可=- 4-2 k如-名号=2， t+3 0 因为AB⊥CD,所以kAB·kD=-1, 图3 -6 高中数学北师大版选择性必修第一册第1~4期 可知直线AD:y=x+4,BC:y=4-x, 2.由题意知动点P的轨迹是以(1,3)为圆心，2为半径的 4-b 圆，结合图形可知该圆经过第一、二象限 联立=x+4, 「x= 解得 3.因为以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的两端点的圆的方 y=ax+b, ly ta=b a-1 程为(x-x1)(x-x2)+(y-1)(y-y2)=0, 所以有(x+1)(x-5)+(y-2)(y+6)=0 同理可得Q6-4).H(任兰)4-6,6 →(x2-4x)+(y2+4y）-17=0 由题意可得S一5ak+5am=子56花a, →(x-2)2+(y+2)2=25. 4.由题意知C(6,-8),10C1=√6+(-8)7=10， 即8+8206-宁4-6)(6-0-）+4 所以以0C为直径的圆的半径为5，圆心为(3，-4)， 故所求圆的方程为(x-3)2+(y+4)2=25. (0+-）=6, 5.把原圆的方程写成标准方程为 整理得-公-路6e(0,子)且0<6≤1， (x-2)2+(y+3)2=10, 由于两圆共圆心，可设另一个圆方程为 解得4-√10<b≤1. (x-2)2+(y+3)2=2, 把x=1,y=-1代人所设方程，得 综上所述，b的取值范围是(4-√10,1]. (1-2)2+(-1+3)2=2, 第3期2版参考答案 所以2=5， 所以所求的圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=5, 专项小练一 化简为2+y2-4x+6y+8=0. 1.B;2.B;3.C 6.由题意知，满足条件的点P在平面内所组成的图形的面 4.(x-2)2+(y+1)2=1;5.4. 积是以6为半径的圆的面积减去以2为半径的圆的面积，即 6.解：设圆(x-3)2+y2=9的圆心为C, 32m. 则C(3,0),圆的半径为3. 7.(3A+1)x+(2入+1)y=5A+2整理为(3x+2y-5)入 因为P为弦MN的中点，所以kcp·kuy=-1. +x+y-2=0, 又6如=号=-分所以如=2 令3x+2-5=0 解得1， 所以直线MW的方程为y-1=2(x-1), lx+y-2=0, ly=1, 即2x-y-1=0. 所以定点P的坐标为P(1,1), 专项小练二 代入圆的方程中(1+2)2+(1+1)2>4， 1.D;2.C;3.D. 所以P(1,1)在圆外. 4.x-y+1=0;5.(-∞，-13). 设圆C的半径为r=2, 6.解：(1)因为x2+y2=0,所以x=0且y=0. 所以IMPI的最大值应该为IPC1+r(如图1)， 即方程表示一个点(0,0). (2)原方程可化为(x-1)2+(y-1)2=5. 即方程表示圆心为(1,1)，半径为√5的圆. (3)原方程可化为(x+a)2+(y+b)2=a2+b2, 当a=b=0时，方程表示一个点(0,0)， 图1 当a2+2≠0时，方程表示圆心为(-a,-b),半径为 又1PC1=(-2-1)2+(-1-1)7=3, √a2+6的圆. 所以IMP1的最大值为√3+2. 8.由题易得，P在两圆外， 第3期3,4版参考答案 则IPMI的最小值为IPC1I-1, 圆的标准方程与一般方程同步核心素养测评 同理IPWI的最小值为IPC2I-3, 一、单项选择题 则IPMI+PWI的最小值为IPC1+IPC2I-4. 1~4 BADC 5 ~8 BCBA 作C1(2,3)关于x轴的对称点C1(2,-3)(图略)， 提示： 所以IPCI+PC21=|PCI+lPC2I≥1CC2I=52(当 1.方程x2+y2-6x=0可化为(x-3)2+y2=9,所以圆 且仅当C1,P,C2三点共线时，IPCI+PC2I取最小值)， 心坐标为(3,0)，半径为9=3. (I PM I +I PNI)=(I PC I +1 PC2 1)i-4 高中数学北师大版选择性必修第一册第1~4期 =52-4. 对于(C),如图4所示，函数y=g(x)是偶函数，y=g(x) 二、多项选择题 也是圆0的一个太极函数，故(C)不正确： 9.AC;10.ACD;11.AD. 对(B),根据选项(C)的分析，圆O的太极函数可以是偶 提示： 函数，不一定关于原点对称，故(B)不正确； 9.(A)中，由x2+y2-2x+4y-4=0, 得(x-1)2+(y+2)2=9, 所以圆C的半径为3，其面积为π·32=9π，正确； (B)中，将x2+y2-2y=0化为标准方程为 x2+(y-1)2=1,故圆心为(0,1)，错误； 图5 (C)中，圆心坐标为(-1，-1)， 对于(D),因为y=sinx是奇函数， 1AB1=4+16=25,r=5, 所以它的图象将圆x2+y2=1的周长与面积同时等分， 所以以线段AB为直径的圆的方程为 如图5所示，因此函数y=sinx是圆O的一个太极函数，故 (x+1)2+(y+1)2=5,正确； (D)正确. (D)中，由圆C:(x-2)2+(y+4)2=5, 三、填空题 可得圆C的圆心坐标为(2，-4)，半径为5， 12.(-2,1)；13.(-∞，1)： 则10C1=2+(-4)7=25, 14.(x-4)2+(y-2)2=10(去掉(3,5)，(5，-1)两点) 所以1P01的最小值为10C1-√5=√5，错误。 提示； 10依题意方B,AB:im号-4g=125, 12.由题意得m2+1=3m-1,解得m=1或m=2. 3 当m=1时，方程为+y2+4-2y+号=0， 解得AB=45. 设AB边的中点为D, 即(x+22+(y-1)2=3,圆心为(-2,1)： 则点M在CD上，且DB=45=25, 当m=2时，方程为5x2+5y2+8x-4y+10=0, 2 且DM=2,点V在以M为圆心，1为半径的圆上， 即(+专)+（号）广号不表示园 N.NB=(ND+D·(N⑦+DB) 故圆心坐标是(-2,1). =(N⑦)2-(DB)2 13.圆的方程变为(x+1)2+(y-2)2=5-a, =1N012-12 所以其圆心为(-1,2)，且5-a>0,即a<5. 又圆关于直线y=2x+b成轴对称， 所以2=-2+b,所以b=4. 所以a-b=a-4<1.故答案为(-0,1). 14.设C(x,y),1AB1=√(3-4)2+(5-2)7=1⑩， 因为△ABC是以BC为底边的等腰三角形， 图2 所以ICAI=IABI=√10， 结合图2可知1N⑦1m=2-1=1, 即点C的轨迹是以A为圆心，√0为半径的圆. 1N⑦1m=2+1=3, 又点A,B,C构成三角形，即三点不可共线， 故W.NBe[-11,-3]. 则轨迹中需去掉点B(3,5)及点B关于点A对称的点(5， 11.对于(A),设y=f(x)=x3+x, -1),所以点C的轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=10(去掉 因为f(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x=-f(x), (3,5),(5,-1)两点) 所以函数y=x3+x是奇函数，它的图象将圆0：x2+y2= 四、解答题 1的周长与面积分别等分，如图3所示， 15.解：设圆心坐标为(a,-2a+3),则圆的半径 所以函数y=x+x是圆O的一个太极函数，故(A)正确； r=/(a-0)2+（-2a+3-0)2 x+x =√5a2-12a+9 g(x) 当a= 时7=35 5 5 图3 图4 故所求圆的方程为 —8 高中数学北师大版选择性必修第一册第1~4期 (-)广+(-号)=号 所以点G的轨迹方程是(x-3)2+(y-1)?=2 16.解：如图6，以AB所在直线为x轴，弦AB的垂直平分线 19.解：(1)设P(x,y),则1PA12=(x+1)2+y 为y轴，建立平面直角坐标系.设圆弧的圆心为C,连接AC, 1PB12=(x-3)2+y2, 所以PA=x+1+子 1 = 1 PBI(x-3)+y 3 则9(x+1)2+9y2=(x-3)2+y2, 整理得曲线C的方程为x2+3x+y2=0. 图6 (2②)由(1)得曲线c为圆，即C(+2)广+y:号 则40=之=6， 设其关于直线x+y-2=0对称的圆的圆心为(x,y), x- 2 所以0C=√AC-0A2=√292-62≈28.373， -+ -2=0, 2 2 rx=2, 即圆心的坐标为C(0,-28.373), 则 解得 =1 y=2 所以圆弧AB的方程为 3 x+2 x2+(y+28.373)2=29(-6≤x≤6，y≥0) 所以曲线C关于直线x+y-2=0对称的曲线方程为 17.解：(1)设圆P的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则由已 r12+02+D+0+F=0, rD=-5, -2+(-3= 知得42+02+40+0+F=0,解得E=7, 6+(-2)2+60-2E+F=0,LF=4 (3)由点(3,3)到圆心C的距离为 故圆P的方程为x2+y2-5x+7y+4=0. d √(3+) +(3-0)2=5. (2)由圆的对称挂可知周心P的碳华标为兰=三 因为圆C的半径r= 2 故圆心P(各2），故圆P的半径为r=1AP 所以点(3,3)到圆C的最短距离为 √1-)+0-2y= 5 d-r=5- 3 7 2 >3 做圆P的标准方程为(-多)广+(-2=空 故在圆C上不存在点D,使得D到点 ,3 的距离为3。 18.解：(1)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=己， 得到圆心坐标为(a,b),半径为r, 第4期2版参考答案 将A与B的坐标分别代入圆方程得 (-1-a)2+(1-b)2=2, 专项小练一 (-2-a)2+(-2-b)2=2, 1.A;2.B;3.B 消去r,整理得a+3b+3=0, ① 4.x-y-2=0;5.2. 将圆心坐标代人x+y-1=0得a+b-1=0, ② 6.解：已知圆的圆心为(0,0)，半径为万， 联立①②解得a=3,b=-2, 圆心到直线的距离d= r2=(-1-3)2+(1+2)2=25, ② 则圆C的标准方程为(x-3)2+(y+2)2=25. 当d<√2，即-2<b<2时，直线与圆相交； (2)设N(x1,y1),G(x,y), 当d=2,即b=±2时，直线与圆相切： 因为线段MN的中点是G, 当d>2,即b<-2或b>2时，直线与圆相离. +3 2x, 专项小练二 1=2x-3, 所以由中点公式得 → 1.D;2.C;3.A. 当1+4 =y y1=2y-4 4.4x+3y-2=0;5.外切. (2 6.解：设所求圆的圆心为P(a,b), 因为N在圆C上，所以(2x-6)2+(2y-2)2=25, 即(x-3P+0-12-空， 所以/(a-4)+(b+1)7=1. ① (1)若两圆外切，则有 9 高中数学北师大版选择性必修第一册第1~4期 √/(a-2)2+(b+1)2=1+2=3. ② 设D(3),则有+(3+)°-6学 由①②，解得a=5,b=-1, 所以所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1. 解得a=√46. (2)若两圆内切，则有 所以要使小船通过圆拱桥，船宽最长为2√46。 /(a-2)2+(b+1)2=2-1=1. ③ 因为6.5<46<7，所以13<2√46<14， 由①③，解得a=3,b=-1, 所以船宽最长约为13米 所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1. 7.当射线OP绕O点从x轴正半轴逆时针匀速旋转到射线 综上，所求圆的方程为 OC时，所扫过的内部图形面积在变大，而且根据图2显示，变 (x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1. 化量△S也在变大； 第4期3,4版参考答案 直线与圆、圆与圆的位置关系同步核心素养测评 一、单项选择题 1 ~4 CDDA 5 ~8 CBAD 提示： 图2 图3 2.两圆的圆心分别为A(3,-2),B(7,1), 当射线OP绕O点从射线OC逆时针匀速旋转到y轴正半 半径分别为r=2,R=6, 轴时，所扫过的内部图形面积在变大，而且根据图3显示，变化 两圆心距为1AB1=√(7-3)2+(1+2)=5， 量△S在变小，综合选项可得，选项(A)符合 而R-T<IABI<R+r,所以两圆相交 8.设G为△A1A2A的重心， 3.由题意可得圆心C(1,-4)到直线1的距离d≤5， A B:+A B:+A B:=A G+GB+Ac+GB,+A C+CB 即3-4×（-4)+m≤5，解得me[-44,6]. 5 =3GB, 4.因为圆0上恰有三个点到直线1的距离等于1， 因为1AB,+AB+AB1=i, 所以圆心0(0,0)到直线l:y=x+b的距离d=1, 所以1函=号=， 所以丛=1，解得6=2或6=-2 2 即B,在以点6为圆心，=子为半径的圆上面。 5.设这100个圆的半径从小到大依次为r1,12,…,「m, 则由题知，子=1. 因为每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都 为2，即2-斤=1，-2=1，…，-=1，i-im=1, 即=1+斤=2，=1+弓=3，…，7=1+的=100， 所以T1m=10. 6.如图1，拱形桥ACB 图4 设点G与坐标原点重合， 4 =1, 则IB,B21+1B,BI+1B,B1≥1-1=3-3 当且仅当B1,B2,B都在线段OB4上时，等号成立， IB B I +1 B,BI+BBI 图1 以AB所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴， ≤r1+r2+r2+3+3+T4 1.2 建立平面直角坐标系，则A(-10,0),B(10,0),C(0,5),圆心在y 号+子×2+1x2+手=5， 轴上，设为E(0,b), 当且仅当B,O,B2在线段BB4上面，且B1在线段OB,上， 则有1AE1=1CE1,即100+b=15-b1, B2在线段OB4上时，等号成立. 整理可得26+15=0，解得b=-5 综上所述，IB,B21+1B2B1+1BB,1的取值范围为[1,5]： 2 二、多项选择题 所以圆心为E(0,-罗），半径为1CE1=15-61= 25 9.ABD:10.AB:11.BCD. 所以圆的方程为2+(+空)=空 提示： 9.对于(A),因为两个圆相交，所以有两条公切线，正确； 10