湖南省长沙市长郡中学2026届高三上学期月考（三）数学试卷

长郡中学2026届高三月考试卷(三) 数 学 得分 本试卷共8页。时量120分钟。满分150分。 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.(★)命题‘ 的否定是 2.(★)已知复数 的实部为a,z₂=i(2+i)的虚部为b,则z=a+(b+1)i在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.函数 (其中e为自然对数的底数)的大致图象为 4.已知向量 向量 ，则向量a在向量b上的投影向量为 D.( ,0,1) 5.已知 则 A. c<b<a B. a<b<c C. b<c<a D. c<a<b 6.已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若 则 的值为 B. 7.已知函数 若 且函数 f(x)的最小正周期T满足 则T= 8.某个圆锥容器的轴截面是边长为4的等边三角形，一个表面积为 的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的总面积为 A.4π B.5π C.6π D.7π 二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.(★)若 则 10.已知数列{an}的前n项和为(Sn,且 则 B.数列 是等差数列 11.设 是函数 的三个零点，则 C.若x₁,x₂,x₃.成等差数列,则-x₁,x₂,x₃成等比数列 D.若x₁,x₂,x₃成等差数列，则 选择题答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分 答案 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.) 12.已知x=0是函数 的一个极值点，则f(3)= 13.在正三棱台ABC-A1B1C₁中,AB=4,A1B1=2,侧棱与底面所成的角为，则此正三棱台的体积为 . 14.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,D,E是线段BC 上的两个点,△ADE 为正三角形,BD=4EC,则tan∠ABC= . 四、解答题(本大题共5 小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(★)(13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a+2b=2ccosA. (1)求角C; (2)若△ABC的面积. 求边c的大小. 16.(15分)记 为数列 》的前n项和，已知 (1)求 的通项公式； (2)证明: 17.(15分)已知 P为椭圆Γ： 短轴上的一个顶点， 为Γ的左、右焦点，且 的面积为 ，椭圆Γ的焦距为2. (1)求椭圆Γ的方程； (2)设直线 l为圆 的切线，且l与Γ相交于A，B两点，求 的取值范围(O为坐标原点). 18.(17分)如图1,在平行四边形ABCD中, E为CD 的中点.现将△ADE沿AE 折起,连接BD与CD,如图2. (1)当BD=4时,证明:平面 (2)设 当BE⊥DE时，是否存在实数λ，使得直线AF与平面ABCE 所成角的正弦值为 若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由. (3)当三棱锥 B-CDE 的体积最大时，求三棱锥 D-ABE 的内切球的半径. 19.(17分)已知函数 (1)求f(x)的单调区间和极值； (2)若x>1时，f(x)>a(x-1))恒成立，求实数a的取值范围； (3)当b<0时， 记g(x)的极小值点为,g(x)存在唯一零点 求证： 长郡中学2026届高三月考试卷(三) 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答 案 D A B A C D B B CD ACD BCD 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. D 【解析】命题“ 的否定是 2. A 【解析】 所以a=1,b=2,所以z=1+3i,其在复平面内对应的点为(1，3)，位于第一象限. 3. B【解析】依题意可得 又e>1,则根据指数函数图象即可判断只有选项B符合. 4. A【解析】向量a在向量b上的投影向量为 5. C 【解析】 因为指数函数 单调递减，所以 所以b<c<1,所以b<c<a. 6. D【解析】因为数列{an}是等比数列，且 所以 因为数列{bₙ}是等差数列，且 所以 则 7. B 【解析】. 为函数 f(x)的最大值或最小值. 解得ω=4k+1,k∈Z. 又函数f(x)的最小正周期T满足 且ω>0, 解得6<ω<10,∴当k=2时,ω=9满足题意, 8. B【解析】设小球的半径为r，所以小球的表面积为 所以 在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，如下图所示： 因为小球的半径 所以 又△AFE,△AGD都是等边三角形,所以EF=1,GD=AB-BG=3, 圆台的上、下底面圆的半径分别为 母线长FG=AG-AF=3-1=2,所以圆台的侧面积为 在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为 其面积为 综上，圆锥内壁上小球能接触到的总面积为4π+π=5π. 二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9. CD 【解析】由 可.得 则 A中, 不正确. B中, 不正确. C中, 正确. D中, 正确. 10. ACD 【解析】对于A,由 可得 即 所以 因此A正确； 对于B，由 可得 即 显然 不是定值， 因此数列{{aₙ₊+1}不是等差数列,即B错误; 对于C，结合B分析由 可知 即数列 是以 为首项，公比为2的等比数列， 因此可得 所以 即C正确； 对于D +n 即D正确. 11. BCD 【解析】对A、B:令 则 设 则 故当.x∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,g'(x)>0,当x∈(0,2)时,g'(x)<0, 且 故 且 故 A错误、B正确； 对C、D：由题意可得 所以 由于x₁,x₂,x₃成等差数列,则 故 则 所以 故-x₁,x₂,x₃成等比数列，故C正确； 则 化简有 则 解得 或 又 则 故 则 又 故舍去，故 又 所以 故D正确. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.) 【解析】函数 的定义域为 求导得 由x=0是函数 f(x)的一个极值点， 得f'(0)=a-1=0,解得a=1，此时 因为函数 在(-1,+∞)上都单调递增, 所以函数 f'(x)在(-1,+∞)上单调递增,而f'(0)=0, 当-1<x<0时,f'(x)<0;当x>0时,f'(x)>0, 则函数f(x)在x=0处取得极小值，符合题意， 所以a=1. 所以 【解析】设正三棱台上下底面中心分别为O₁，O，连接OO₁，A₁O₁，AO，则OO₁ 为正三棱台的高，所以 则A₁O₁∥AO,且 已知侧棱与底面所成角为，在直角梯形OO₁A₁A中， OO₁=2 所以 14. 【解析】设EC=x,DE=y,x>0,y>0,则BD=4EC=4x, 又△ADE为正三角形,所以AD=AE=y,∠ADE=∠AED=60°, 则∠ADB=∠CEA=120°,又∠BAC=120°, 所以∠B+∠C=60°,∠B+∠BAD=60°,则∠ABD=∠CAE, 故△ABD~△CAE,则 即 所以 即 y=2x, 所以BC=4x+y+x=7x, AC²=CE²+AE²-2CE·AEcos∠AEC=x²+y²+ xy=7x²,即 在△ABC中, 即 解得 又∠BAC=120°,则∠ABC为锐角,所以 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.【解析】(1)由正弦定理得 sin A+2sinB=2sinC·c osA, ∴sin A+2sin(A+C)= sin A+2sinAcosC+2cosAsinC=2sinCcosA, ∴sin A+2sinAcosC= sin A(1+2cos C)=0, 在△ABC中,0<A<π,得 sin A>0, 6分 又 由 得 ab=4, 9分 又∵a+b=5,∴a=4,b=1或者a=1,b=4 11分 由余弦定理得 c = 13分 16.【解析】(1)依题意 ① 当n≥2时, ② 由①-②, 5分 ∴当n≥2且n∈N°时, 又 也符合上式，即 9分 12分 15分 17.【解析】(1)依题意, 所以c=1. 在△PF₁F₂中， 解得 所以 所以椭圆Γ的方程为. 5分 (2)设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂), 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+t，联立 整理得 则 ，则 则 8分 又直线l为圆 的切线，则 即t^{2} = k^{2} + 1 , 10分 则 13分 当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x=±1，则 综上， 15分 18.【解析】(1)连接BE,因为AD=DE=2,∠ADE=60°, 则△ADE为等边三角形,AE=AD=2, 在△BCE中,E 由余弦定理得 所以 由 则 ,故 BE⊥AE. 由BE=2 ,DE=2,BD=4,则 所以BE⊥DE,又AE∩DE=E,AE,DE⊂平面ADE,所以BE⊥平面ADE, 又BE⊂平面ABCE,所以平面ADE⊥平面ABCE. 5分 (2)由(1)知,当BE⊥DE时,平面ADE⊥平面 ABCE. 在平面 ADE 内过E 作EG⊥AE, 由平面ADE∩平面ABCE=AE,EG⊂平面 ADE, 则 EG⊥平面ABCE,BE⊂平面ADE,则 EG⊥BE. 如图，以点E为坐标原点，以EA，EB，EG所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz, 则E(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2 ,0),C(-1, ,0),D(1,0, ), 故 由 则AF λ), 因为z轴垂直平面ABCE,故可取平面ABCE的一个法向量为m=(0,0,1), 设直线AF与平面ABCE 所成角为θ， 所以 化简得 解得 或λ=4(舍去), 故当 BE⊥DE时,存在 使直线AF与平面ABCE 所成角的正弦值为 11分 (3)设点 D到平面ABCE 的距离为h, 由 其中S△BCE为定值, 则要使三棱锥D-BCE 的体积最大时，则点D到平面BCE的距离取最大， 取AE中点H,连接DH,则 DH⊥AE, 当 DH上平面BCE时,点D到平面BCE 的距离最大, 13分 此时,由DHC平面ADE,则平面ADE⊥平面ABCE, 由(1)知,BE⊥DE,△BED为直角三角形,BD=4. 则 在△ABD中,AB=4,AD=2,BD=4,取AD中点M, 则 BM⊥AD,且 所以 设内切球球心为I，内切球半径为r，由等体积法知， 其中 故 故当三棱锥B-CDE 的体积最大时，三棱锥D-ABE 的内切球的半径为 17分 19.【解析】 令 所以f(x)在 上单调递增； 令 所以 f(x)在 上单调递减， 所以 f(x)的极小值为 无极大值 4分 (2)当x>1时,f(x)>a(x-1), xlnx> ax-a, lnx>a-ax, lnx+ ax-a>0, 令 则 当a≤1时,φ'(x)>0,φ(x)在(1,+∞)单调递增,φ(x)>φ(1)=0成立; 当a>1时,x∈(1,a),φ'(x)<0;x∈(a,+∞),φ'(x)>0,所以φ(x)在(1,a)单调递减,在(a,+∞)单调递增,φ(x) min=φ(a)= lna+1-a<φ(1)=0,不符合题目条件, 综上:a≤1. 8分 (运用洛必达法则扣1分) 令 所以h(x)=g'(x)是(0,+∞)上的增函数, 而h 0, (此处用极限思想不扣分，如x→0时，,h(x)→-∞,用 也可以) 又g(x)的极小值点为x₀，所以 且x∈(0,x₀)时,,g'(x)<0,g(x)单调递减, 时，g'(x)>0,g(x).单调递增， 又 且0<x<1时, (此处用极限思想不扣分,如x→0时,g(x)→-1) 又g(x)存在唯一零点x₁，所以 所以 12分 又 因为 所以 ∴ 记函数 则 当 m(x)单调递增， 当 m(x)单调递减， 所以当 时,m(x)取最大值, 15分 所以 即 又 时，g'(x)>0,g(x)单调递增, 所以> 4. ⋯⋯7分 学科网（北京）股份有限公司 $