精品解析：湖南省湘潭市湘潭县湘潭凤凰中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

凤凰中学2026年高三开学考试 数 学 试 题 满分150分，考试时间120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 一组数据的第百分位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把数据按顺序排列，再利用百分位数的定义求解即可. 【详解】首先，我们把按顺序排列，得到， 而，故第百分位数是第个数， 则该组数据的第百分位数是，故D正确. 故选：D 2. 已知集合，，若中有且仅有三个整数，则正数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意化简集合，根据中有且仅有三个整数列不等式求解，可得答案. 【详解】由题意可得，， 若中有且仅有三个整数，则只能是， 故，解得， 故选：B． 3. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，所以，解得. 4. 设函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出导函数得出切线斜率，再点斜式写出切线方程，进而的出截距计算面积即可. 【详解】，则， 故，所以曲线在点处的切线为， 令，解得，令，解得， 故所求三角形的面积为． 故选：A． 5. 在简单经济模型中，当产量为n时，对应的价格记为，若为等差数列，记其公差为d，则其在产量为m时的点弹性为．现在某简单经济模型中，当产量为3时的点弹性为1，则当产量为6时的点弹性为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式计算即可. 【详解】显然，，解得，于是， 故． 6. 点A、B分别为椭圆的左、右顶点，F为右焦点，C为短轴上不同于原点O的一点，D为OC的中点，直线AD与BC交于点M，且MF⊥AB，则该椭圆的离心率为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用MFOC，MFOD，得到比例关系①，，②，①②得到a、c数量关系，可求得离心率． 【详解】由题意如图：MF⊥AB，且OC⊥AB，∴MFOC，同理MFOD， ∴①，，② ①②得到：===, ∴2（a﹣c）＝c+a， ∴a＝3c，∴e． 故选B． 【点睛】本题考查了椭圆的离心率的求法，通过平行线段的比例关系，找到a、b、c的关系是解决本题的关键，属于中档题． 7. 已知函数在上有两个极值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数与极值点的关系，结合诱导公式及三角函数性质求解即可.. 【详解】. 令，则，即. 令，当时，， 则问题可转化为在上有两个不同的解，即与在上有两个交点. 易知在上单调递减，在单调递增. 又当时，；当时，， 当时，， 简图如下： 所以. 故的取值范围为. 8. 函数有两个极值点，满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的极值点得到，令，则，进而得到；构造函数，，根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】求导得. 由题意知，即，即，两式相除得. 设，则，因为，所以. 所以，即，两边取对数得，则， 所以，. 令，，则. 令，，则. 令，，则， 所以在上单调递增，则， 即时，，所以在上单调递增，则， 即时，，所以在上单调递增. 当时，；当时，， 所以当时，，即的取值范围为. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最大值为2 C. 在区间上单调递增 D. 为奇函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】AB选项，根据函数图象得到解析式，得到AB正确；C选项，得到，得到函数单调性；D选项，计算出，得到其为偶函数 【详解】A选项，设的最小正周期为，， 解得，A正确； B选项，因为，所以，解得， ，将代入得，， 因为，所以，故，解得， ，将代入得，解得， 所以，最大值为2，B正确； C选项，，， 由于在上单调递增，故在区间上单调递增，C正确； D选项，，为偶函数，D错误. 10. 已知函数，如图，是直线与曲线的两个交点，若，则下列说法正确的是（  　  ）． A. ， B. 在上单调递增 C. 是的一条对称轴 D. 是曲线的一条切线 【答案】ACD 【解析】 【分析】由函数的图象可确定，的值，从而确定单调性和对称性，再通过求导得到切线方程即可求解. 【详解】设，，则， 因为，, 所以，，， 所以，即，解得， 又因为，且为下降零点， 所以，， 即，， 故取，所以， 选项A正确； 当，，显然不是单调增区间，选项B错误； 将代入方程得，所以是的一条对称轴，选项C正确； 令得或， 取点得其中一条切线为，选项D正确， 故选：ACD 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，直线过点，且与双曲线的右支交于两点，其中点在第一象限，则下列说法中正确的是（ ） A. 点到双曲线的两条渐近线的距离之积为 B. 直线斜率的取值范围为 C. 若，的内切圆的半径分别为，则的取值范围为 D. 的最小值为9 【答案】AC 【解析】 【分析】设，利用点到直线的距离公式计算可判断A；利用双曲线的性质可求得直线斜率的取值范围判断B；设直线的倾斜角为，，设的内切圆的圆心分别为的内切圆与各边切于D，G，H，计算可得，进而可判断C；利用双曲线的焦半径公式计算可判断D. 【详解】对于A. 设，双曲线的渐近线方程为， 设到直线的距离为， 设到直线的距离为, 则，故A正确； 对于B . 因为直线与双曲线的右支交于两点，根据图象与双曲线的性质， 可知直线的斜率的取值范围为，故B错误； 对于C. 设直线的倾斜角为，因为渐近线的倾斜角分别为，所以. 设的内切圆的圆心分别为的内切圆与各边切于D，G，H， 的内切圆与切于，设， 根据圆的切线的性质，可知， 所以，所以， 所以，解得，所以， 所以在直线上，同理可得也在直线上，且. 由几何关系可得， 所以. 因为，所以，所以， 令，由对勾函数性质可知在上单调递减， 在上单调递增，所以，所以， 所以，故C正确; 对于D. 由双曲线的焦半径公式可知 ， 则 ，根据， 所以，故错误. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 用数字、、、、、、组成没有重复数字的且被整除的三位数的个数为_____. 【答案】 【解析】 【分析】将个数字分为三类，被整除的有、、，被除余数为的有：、，被除余数为的有：、，先确定所选的三个数字，然后确定首位不能排，结合分类加法计数原理可得结果. 【详解】数字、、、、、、中被整除的有、、， 被除余数为的有：、，被除余数为的有：、， 若所选的个数均能被整除，即所选的三个数为、、，则三位数的首位不能放， 此时，首位数有两种选择，此时，共有个合乎条件的三位数； 若在、中选一个数，在、中选一个数，则需在、、中选一个数， 若在、、中选择，则三位数的首位不能排，首位有两种选择， 此时，满足条件的三位数个数为； 若在、、中选择为或，则首位任排， 此时，满足条件的三位数的个数为. 综上所述，满足条件的三位数的个数为. 故答案为：. 13. 已知函数，且函数是偶函数，求实数___________ 【答案】4 【解析】 【分析】函数是偶函数转化为函数关于对称，从而有，代入解得. 【详解】因为函数，且函数是偶函数， 所以所以图像关于对称，即， 即恒成立，化简为 当时，，不可能恒成立，舍去； 当时，恒成立， ，解得. 故答案为：4. 14. 已知正三棱锥与正三棱锥的底面重合，且，分别在底面的两侧，，两个三棱锥的体积之比为，若点，，，，都在球的球面上，则球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到为球的直径，由两个三棱锥的体积之比为得到， 从而得到，在中，利用勾股定理建立的等式，解出，利用球的表面积公式求解. 【详解】正三棱锥与正三棱锥的底面重合，且，分别在底面的两侧， 点，，，，都在球的球面上， 为球的直径， 设球的半径为，则， 设为的中心，则平面，平面， 两个三棱锥的体积之比为，， ， 在中，连接并延长交于点，，则， 为的中心，为的重心，， 在中，， ，，， . 故答案为： . 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，，. （1）证明：平面平面； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证，由线线垂直证线面垂直即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算即可. 【小问1详解】 证明：在等腰梯形中，，，， 过点C作于E，则，可知， 由余弦定理知， 则，所以. 又，，，平面， 所以平面. 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 解：因为平面，，所以C为坐标原点，，的方向分别为x轴、y轴的正方向建立空间直角坐标系. 则，，，， ，，. 设平面的法向量为， 则，令，则，即. 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）D在边上， （ⅰ）若D是边的中点，，，求a； （ⅱ）若，，，求a． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边、角关系转化成角的关系，再根据三角形的内角和定理和两角和的正弦公式转化，从而化简得到，即可得解. （2）（ⅰ）利用余弦定理求得，然后再用余弦定理就可求解；（ⅱ）利用正弦定理求得，然后利用余弦定理就可以求解. 【小问1详解】 由及正弦定理，得， 又，则， ∴，又，∴，又，∴， 【小问2详解】 （ⅰ）在中，由余弦定理有，， ∵，，D是边的中点，， 所以， 整理得：，解得：（舍去）或， ∴． （ⅱ）由，，∴， ∴． 在中，由正弦定理得，，又，，可得， 在中，由余弦定理得，， 所以． 17. 2026年7月17日至20日，世界人工智能大会在上海举办，主题为“智能伙伴共创未来”，聚焦人工智能全球治理与产业应用，习近平主席出席开幕式并发表主旨讲话．某校组织学生参加知识网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各调查了100人．设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，． （1）根据已知调查样本完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 （2）网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为．若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完．已知甲同学报名参加答题活动，用表示甲同学本次答题的题目数量，求的分布列和期望． 参考公式与数据：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 40 120 合计 100 100 200 认为学生报名参加答题活动与性别有关联. （2） 1 2 3 4 . 【解析】 【分析】（1）根据题意完成列联表中的数据，再计算出的值判断即可； （2）列举的所有可能取值，结合独立事件的概率特征求出对应的概率，从而可得出的分布列和数学期望. 【小问1详解】 ，所以不愿意报名参加答题活动人数为，愿意报名参加答题活动人数为， 又，所以愿意报名参加答题活动的男生人数为，愿意报名参加答题活动的女生人数为， 则可得到列联表为： 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 40 120 合计 100 100 200 零假设：学生报名参加答题活动与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为学生报名参加答题活动与性别有关联. 【小问2详解】 的所有可能取值为：， ，，，， 所以的分布列为： 1 2 3 4 故． 18. 已知椭圆的离心率为，点在上． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知动直线过曲线的左焦点，且与椭圆分别交于，两点，试问轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，当直线不与轴重合时，求的面积的取值范围． 【答案】（1） （2）在轴上存在定点，使得为定值. （3） 【解析】 【分析】（1）由离心率和点在椭圆上，列出等式求解即可； （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，利用韦达定理和向量的数量积求出，此时为定值；当直线的斜率不存在时，直线的方程为，求出此时点也满足前面的结论，即得解. （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立，由根与系数的关系可得，利用可求的面积的取值范围． 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，由题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 代入椭圆的方程，可得， 设，，则，， 设，则 ， 若为定值，则，解得， 此时，点的坐标为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 代入，得， 不妨设，若， 则，， 综上所述，在轴上存在定点，使得为定值. 【小问3详解】 设直线的方程为，代入椭圆方程， 得，整理得， 设，可得， 所以由（2）可得 ， ， 所以， 令，则在上单调递减， 当时，，当，， 所以的面积的取值范围． 19. 设函数，． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若在R上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 时，的单调递增区间为R； 时，的单调递减区间为，单调递增区间. （3） 【解析】 【分析】（1）求出，，写出切线方程； （2），讨论，，确定的正负找出单调区间. （3）恒成立，讨论的单调性，由得a的取值范围． 【小问1详解】 ∵ ∴，，， ∴切线方程为：. 【小问2详解】 ， ①当时，，在R上单调递增； ②当时，， 负 0 正 减 极小值 增 综上所述： 时，的单调递增区间为R； 时，的单调递减区间为，单调递增区间. 【小问3详解】 ， 令，即，. ①时，，单调递增，，故不成立，舍去. ②时，恒成立，此时. ③时，由（2）知，，故只需即可， ， 即. 综上所述：. 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若在区间上有最值，则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；. 若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凤凰中学2026年高三开学考试 数 学 试 题 满分150分，考试时间120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 一组数据的第百分位数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，若中有且仅有三个整数，则正数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4. 设函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 在简单经济模型中，当产量为n时，对应的价格记为，若为等差数列，记其公差为d，则其在产量为m时的点弹性为．现在某简单经济模型中，当产量为3时的点弹性为1，则当产量为6时的点弹性为（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 点A、B分别为椭圆的左、右顶点，F为右焦点，C为短轴上不同于原点O的一点，D为OC的中点，直线AD与BC交于点M，且MF⊥AB，则该椭圆的离心率为 A. B. C. D. 7. 已知函数在上有两个极值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 函数有两个极值点，满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最大值为2 C. 在区间上单调递增 D. 为奇函数 10. 已知函数，如图，是直线与曲线的两个交点，若，则下列说法正确的是（  　  ）． A. ， B. 在上单调递增 C. 是的一条对称轴 D. 是曲线的一条切线 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，直线过点，且与双曲线的右支交于两点，其中点在第一象限，则下列说法中正确的是（ ） A. 点到双曲线的两条渐近线的距离之积为 B. 直线斜率的取值范围为 C. 若，的内切圆的半径分别为，则的取值范围为 D. 的最小值为9 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 用数字、、、、、、组成没有重复数字的且被整除的三位数的个数为_____. 13. 已知函数，且函数是偶函数，求实数___________ 14. 已知正三棱锥与正三棱锥的底面重合，且，分别在底面的两侧，，两个三棱锥的体积之比为，若点，，，，都在球的球面上，则球的表面积为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，，. （1）证明：平面平面； （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）D在边上， （ⅰ）若D是边的中点，，，求a； （ⅱ）若，，，求a． 17. 2026年7月17日至20日，世界人工智能大会在上海举办，主题为“智能伙伴共创未来”，聚焦人工智能全球治理与产业应用，习近平主席出席开幕式并发表主旨讲话．某校组织学生参加知识网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各调查了100人．设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，． （1）根据已知调查样本完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 （2）网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为．若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完．已知甲同学报名参加答题活动，用表示甲同学本次答题的题目数量，求的分布列和期望． 参考公式与数据：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知椭圆的离心率为，点在上． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知动直线过曲线的左焦点，且与椭圆分别交于，两点，试问轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，当直线不与轴重合时，求的面积的取值范围． 19. 设函数，． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若在R上恒成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $