第十五章轴对称单元测试2025-2026学年人教版数学八年级上册

第十五章 轴对称单元测试 学校:___________姓名：___________班级：________ 一、单选题 1．《国家宝藏》节目通过演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让馆藏文物一个个鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．已知等腰三角形一边的长为3，另一边的长为7，则等腰三角形的周长为（   ） A．17 B．13 C．17或13 D．无法确定 3．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（　   　） A． B． C． D． 4．如图，在中，为边上的一点，，为边上一点，垂直平分，若，则的周长为（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 5．如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（　　） A．直线、的交点不一定在上 B．是等腰三角形 C．与面积相等 D．垂直平分， 6．如图，在中，，平分，垂直平分，，，则的长为（　　） A．5 B．6 C．10 D．12 7．如图，等边中，是边上的中线，且，，分别是，上的动点，则的最小值等于（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 8．如图，是等腰直角三角形，将直角三角形的直角顶点放在的中点上，转动，设分别交，的延长线于点，连，有下列结论：①；②若，，则；③；④，其中正确的结论有（   ）个 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点D，则的度数为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，且．若的平分线交x轴于点C，P，Q分别为线段上的动点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 二、填空题 11．等腰三角形底边上的高与腰的夹角为，则顶角为． 12．若点与点关于y轴对称，则的值是． 13．如图，，，则的度数为．    14．如图，在等边中，点分别在边上，且，与交于点．则度． 15．如图，是等腰直角三角形，，为的平分线．若点到直线的距离为，则的长为． 16．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，若，，则线段的长为． 17．如图，在中，，是边上的一点，是轴对称图形，所在直线是它的对称轴．若的周长为，则． 18．如图将一张长方形纸条沿折叠， 点B， A分别落在，位置上，与的交点为G， 若， 则． 三、解答题 19．如图，的顶点都在格点上，其中，，． (1)画出关于轴对称的图形并写出点，，的坐标； (2)画出关于直线 对称的，若点是内一点，请写出内对称点的坐标 20．如图，在中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的长． 21．如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为_________． 22．已知为等边三角形，，为上一点，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点，在上取点，使，连接，，求证：； (3)如图3，已知，为射线上一点，连接，，，连接，若的面积为，的面积为，的面积为，求证：． 23．在中，，点是边上一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若点是的中点，点是边上一点，且，求证：； (3)如图3，若平分，点是上一动点，点是上一动点，连接，若的面积为10，，请直接写出的最小值． 24．（1）情境观察： 如图①，中，，，垂足分别为B、F，与交于点E，与全等吗？请说明理由； （2）问题探究： 如图②，中，，，平分，，与交于点E．猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸： 如图③，中，，，受图②结论的启发，小明在上取了一点D，作，，交于点E，若，请你直接写出的长． 试卷第6页，共7页 试卷第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此求解即可． 【详解】解：A、C、D选项中的图形都能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都是轴对称图形． B选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：B． 2．A 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系．分腰长为3和腰长为7两种情况讨论，不合题意的舍去，据此即可求解． 【详解】解：当腰长为3时，三边分别为3、3、7，不能构成三角形， 当腰长为7时，三边分别为3、7、7，，能构成三角形，周长为：， 故选：A． 3．D 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键．根据关于x轴对称的两个点，横坐标不变，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是． 故选：D． 4．D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长，先由线段垂直平分线的性质得，结合，，故，即可作答． 【详解】解：∵为线段的垂直平分线， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 则的周长为， 故选：D 5．A 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握图形轴对称的性质是解题的关键．由轴对称的性质及等腰三角形的判定，即可逐步分析求解． 【详解】解：与关于直线对称， 线段和线段关于直线对称， 直线和直线关于直线对称， 直线和直线的交点一定在上， A选项错误，符合题意； 与关于直线对称，点A与点为对应点， 直线垂直平分， ， 是等腰三角形， B选项正确，不符合题意； 与关于直线对称， ， 与面积相等， C选项正确，不符合题意； 与关于直线对称，点A与点为对应点，点C与点为对应点， 垂直平分，， D选项正确，不符合题意． 故选：A． 6．B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和角平分线的性质，由边的垂直平分线交于点D，得出，由平分得出，进一步求得即可． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：B． 7．C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、轴对称的性质、垂线段的性质，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键． 要求的最小值，需考虑通过作辅助线转化，的值，从而找出其最小值求解． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点F，连接， ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴就是的最小值， ∵直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短， ∴时，最小， ∵是等边三角形， ∴是的中线， ∴， 即的最小值为8，故C正确． 故选：C． 8．B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解等腰直角三角形的性质是解决问题的关键．①连接，根据等腰直角三角形得，，先证得，进而得为等腰直角三角形，则，据此可求出的度数，进而可对结论①进行判断；②由得，再由得，然后根据可对结论②进行判断；③在中，不一定是，因此不一定成立，再根据可对结论③进行判断；④根据点D为的中点得，再根据得，然后由，得，进而得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①连接，如图所示： 是等腰直角三角形，点D为底边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ，故结论①正确； ， ， ， ， ， ，故结论②正确； 在中，不一定等于， 不一定成立， ， 不一定成立，故结论③不正确； 点D为的中点， ， ， ， 又， ， ， ，故结论④正确． 综上所述：正确的结论是①②④，共3个． 故选：B． 9．A 【详解】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，等边对等角等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据线段垂直平分线的性质得出，进而求出的度数． 【解答】解：由作图可知：垂直平分线段， 可得， 则， 故， 故选：A 10．D 【分析】通过利用角平分线的对称性，将线段和的最小值转化为点到直线的距离来求解． 【详解】解：如图，在上取一点，使，连接， 过点作于点． 平分， ． 在和中， ， ， ． 点到直线上垂线段最短， 的最小值为的长度． 点的坐标为，点B的坐标为， ． ． ， 的最小值为． 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质和垂线段最短，解题关键是利用角平分线的对称性将线段和的最小值转化为点到直线的距离，再通过三角形面积公式求解． 11．/度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一即可得到答案． 【详解】解：如图，是等腰三角形的底边上的高，， ∴平分， ∴， 即顶角为， 故答案为： 12．1 【分析】根据两点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变，列式计算即可． 本题考查了点的对称，有理数的加法，根据对称点的坐标特点，规范计算即可． 【详解】解：∵点与关于轴对称， ∴， 解得， 故， 故答案为：1． 13．/18度 【分析】本题考查了等边对等角、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．设，先根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得，，再根据等边对等角和外角的性质求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，由等边三角形的性质可得，，即可得，得到，再根据三角形的外角性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵为的一个外角， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】延长、交于点F，利用角平分线性质和全等三角形证明，得出的长度，再通过角度关系证明三角形全等，从而得到． 【详解】解：延长AD、BC交于点F， 平分，，， ，， ， （）， ，. 是等腰直角三角形，， ， 又∵， ， 又∵，， （）， . 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形性质、角平分线性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定条件和利用角的关系推导全等是解题关键． 16．3 【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，由平行线的性质和角平分线的定义可证明，则可得到，则可得的长，同理可得，据此求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 故答案为：3． 17． 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质；进行线段的等量代换后得到是正确解答本题的关键．由已知条件，利用轴对称图形的性质得，再利用给出的周长即可求出的长． 【详解】解：是轴对称图形，直线是它的对称轴， ， 的周长等于，， ， ． 故答案为：． 18． 【分析】本题考查折叠的性质，平行线的性质，关键是由折叠的性质得到，由平行线的性质推出．设，由折叠的性质得到，则，求出，由平行线的性质推出，即可得到． 【详解】解： 设， ∴， 由折叠的性质得到， ∴， 解得， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 19．(1)图见解析，，， (2)图见解析， 【分析】本题考查了轴对称作图，坐标的计算，熟练掌握轴对称的性质和作图是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标变成相反数，确定对应的坐标，后连点构造图形即可； （2）根据关于平行x轴的直线对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标平移得到，确定对应的坐标，后连点构造图形即可． 【详解】（1）解：由，，， 则关于轴对称的图形对称点，，的坐标分别为：，，，画图如下： ． （2）解：根据题意，得直线，由，，， 得三点到直线的距离分别为3，1，5，故三点分别向下平移6，2，10单位长度得到对称点，，的坐标， 故，，，画图如下： 由点，得点P到直线的距离为，故点P向下平移得到点的坐标， 故，即． 20．(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解答本题的关键． （1）由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是进一步得到，利用即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 又平分， ， 又在和中 ， ， ， 为等腰三角形； （2）如图，连接， 平分， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 又中，， ， ， ． ． 21．(1) (2)4 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，熟知轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长． 【详解】（1）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ∵， ； （2）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为4． 故答案为：4 22．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）由“”可证，可得，，可证是等边三角形，可得，即可得结论； （3）由“”可证，可得，，，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：是等边三角形，， ，， 又， ， ； （2）证明：， ， 又，， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ； （3）证明：如图3，在上截取，连接， ，，， ， ，，， ， ， 在中，， 又， ， ， 又， ， 又， ， ， ． 23．(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据题意得，结合三角形的外角有即可； （2）延长至点H，使得，交于点G，有，可证明，得和，设，则、和，进一步证明得到，可证明，有即可； （3）过点C作于点M，CM交BD于点，过点作于点，则，根据角平分线的性质得，当点P位于点，的最小值为，结合三角形面积公式求得即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：延长至点H，使得，交于点G，如图， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则； （3）解：过点C作于点M，CM交BD于点，过点作于点，如图， 则， ∵平分， ∴， 当点P位于点，，此时，的最小值， ∵的面积为10，， ∴，解得． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形外角、全等三角形的判定和性质和角平分线的性质，解题的关键是熟悉中线倍长和全等三角形的性质． 24．（1），理由见解析（2）；理由见解析（3） 【分析】（1）由，得，由，得，即可证明； （2）延长交于点G，先证明，得，再证明，则； （3）作交于点L，延长交于点H，先证明，得，再证明，则． 【详解】解：（1）与全等；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）与之间的数量关系为；理由如下： 如图②，延长交于点G， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）如图③，作交于点L，延长交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的长是． 故答案为：． 【点睛】本题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、同角的余角相等、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 答案第20页，共20页 答案第21页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 $