精品解析：云南省红河哈尼族彝族自治州第一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

红河州第一中学2025年秋季学期期中考高二年级 数学 试卷 （全卷满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. 8 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用对进行化简，再根据复数模的计算公式求解． 【详解】， ， ， 故选：D． 2. 设向量，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】因为向量， 由，可得，解得. 故选：C. 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数奇偶性及特殊点函数值即可判断. 【详解】由，可得定义域为， 又， 函数为偶函数，故排除D， 又，结合图像可排查BC， 故选：A 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助诱导公式计算即得. 【详解】. 故选：D. 5. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程求出直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系，即可得出答案. 【详解】直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则， 因为，所以. 故选：C. 6. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过中间值0和1，即可比较大小. 【详解】因为， 所以， 故选：B 7. 已知函数是定义在上的奇函数，对于任意的，且，有.若，则的解集为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，对于任意的，有，得到函数在是增函数，结合函数的图象，分类讨论，即可求解不等式的解集. 【详解】由题意，对于任意的，且，有， 即在是增函数，又， 依题意，画出的图象（如图所示）， 等价于① 或 ②. 由①的解集为，由②的解集为， 故不等于的解集为， 故选D. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，以及不等式的求解问题，其中解答中根据题意得出函数的单调性，画出出函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 8. 已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，得，，，在中由勾股定理得，在中由勾股定理列方程可得答案. 【详解】 设，因为，所以， 由椭圆的定义可得，， 因为，在中由勾股定理得，解得 所以，， 在中由勾股定理得，从而可得. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某超市在两周内的蓝莓每日促销量如图所示，根据此折线图，下面结论正确的是（ ） A. 这14天日促销量的众数是214 B. 这14天日促销量的中位数是196 C. 这14天日促销量的极差为195 D. 这14天日促销量的第80百分位数是243 【答案】AC 【解析】 【分析】先将数据从小到大排列，接着再根据众数、中位数、极差和百分位数的定义或求解步骤直接去求解即可判断得解. 【详解】根据题意得蓝莓每日促销量从小到大排列得到数据为： ， 对于A，则这14天蓝莓每日促销量的众数是214，故A正确； 对于B，这14天蓝莓每日促销量的中位数是第7和8个数据的平均值，即，故B错误； 对于C，这14天蓝莓每日促销量的极差是，故C正确； 对于D，因为，所以这14天蓝莓每日促销量的第80百分位数为第12个数据，即260，故D错误. 故选：AC. 10. 对于，有如下判断，其中正确的是（ ） A. 若，则必为等腰三角形 B. 若，则 C. 若，则符合条件的有两个 D. 若，则必为钝角三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正弦函数性质，正弦定理，余弦定理对每个命题进行判断． 【详解】∵是三角形内角，∴由得或，即或，三角形为等腰三角形或者直角三角形，A错； ，又由得，B正确； 若，则，无解，C错； 若，则，即，由正弦定理得，∴，为钝角，D正确． 故选：BD． 【点睛】本题考查正弦函数的性质，考查正弦定理、余弦定理解三角形．掌握正弦定理和余弦定理是解三角形的关键．应用正弦定理解三角形时注意三角形解的情况，可能1解也可能2解，还可能无解． 11. 若定义在R上的函数，满足，，，则下列结论中正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是周期为4的周期函数 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用与得到，然后利用，得到的周期性，然后得到周期；再利用与得到为偶函数；利用得到，最后利用得到的值即可. 【详解】因为，所以． 又因为，所以． 又，则， 即，所以，故是周期为4的周期函数． 因为，所以也是周期为4的周期函数，选项B正确； 因为，则，则， 所以，所以为偶函数，选项A正确； 因为，令，得，即， 令，得，即， 故，选项C正确； 由， 得 ， 所以，选项D错误． 故选：ABC． 【点睛】当有两个函数时，需要根据其函数关系消元，得到一个函数的关系，然后得出的性质；最后再利用与的关系求解相关的一些性质即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，则集合__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两集合的研究对象可判断它们没有公共元素即得交集. 【详解】由于集合是数集，集合是点集， 所以它们没有公共元素，交集为空集. 故答案为：. 13. 曲线方程，其图像与直线有两个不同的交点，则的取值范围是____________ . 【答案】 【解析】 【分析】首先确定所给曲线的特征，然后结合直线与圆的位置关系考查临界条件即可求得实数的取值范围. 【详解】曲线方程表示圆位于轴上方的部分， 直线表示斜率为1的直线系， 如图所示，当直线与半圆有两个不同的交点时，考查临界条件： 当直线经过点时：， 当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即： ，解得：(舍去负值)， 综上可得：的取值范围是. 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 14. 在棱长为4的正方体中，正方形所在平面内的动点到直线，的距离之差为2．设的中点为，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，建立平面直角坐标系，求出点在正方形所在平面内的轨迹方程，再将问题转化成求的最小值. 【详解】因为正方形所在平面内的动点到直线，的距离之差为2， 则点在平面内的轨迹为双曲线，其方程为，则， 取的中点，连接，则， 当最小时，则最小. 设，，则，， 对称轴，所以函数在单调递减， 所以当时，， 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】本题以立体几何为问题背景与解析几何中的双曲线进行知识交会，考查距离的最值问题，二次函数的性质，求解时注意利用坐标法思想进行求解，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查运算求解能力. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，且函数． （1）求的周期 （2）若将函数的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得图像向左平移个单位，得到的图像，求函数在的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算和辅助角公式得，再利用周期公式得结论； （2）利用函数图象的平移变换得，再利用函数的值域，计算得结论． 【小问1详解】 因为向量，， 所以． 因为， 所以最小正周期． 【小问2详解】 因为将函数的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得图像向左平移个单位，得到的图像， 所以． 当时，，， 所以． 16. 2025年8月21日，DeepSeek在官方公众号发文称，正式发布DeepSeek-V3.1模型，此次升级也标志着国产大模型在技术迭代与商业化探索中又迈出了关键一步.为强化相关技术的落实应用能力，某公司特针对，两部门开展专项技能培训. （1）已知该公司，两部门分别有3位领导，需要从这6位领导中随机选取3位当组长负责组织培训工作，假设每人被抽到的可能性都相同，求组长中有两位来自于部门的概率； （2）此次培训分三轮进行，员工甲第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮的培训结果均相互独立，至少两轮培训达到“优秀”才算合格，求甲培训合格的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用列举法求得选取3位当组长的总的方法数，进而求得两位来自于部门的不同结果，利用古典概型概率公式求解即可； （2）记“甲经过培训合格”，“甲第轮培训达到优秀”，可得，利用互斥事件的概率加法公式与独立事件的概率乘法公式求解即可. 【小问1详解】 记部门的3名领导为，，，部门的3名领导为，，， 从这6位领导中随机选取3位当组长，不同结果有： ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，共20种， 组长中有两位来自于部门的不同结果有：，，，，，，，，共9种， 所以组长中有两位来自于部门的概率为. 【小问2详解】 记“甲经过培训合格”，“甲第轮培训达到优秀”， 则，，，， 依题意， ， 所以甲经过培训合格的概率为. 17. 已知a，b，c是△ABC的三个内角A，B，C的对边，且． （1）求B； （2）若，求△ABC面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用正弦边角关系、三角形内角性质及和角正弦公式得，进而求B的大小； （2）应用余弦定理及基本不等式求得，注意等号成立条件，再应用三角形面积公式求面积最值. 【小问1详解】 由结合正弦定理可得， 则， 而， 所以，而，故， 所以，则， 由，所以即. 【小问2详解】 由，则，仅当时等号成立， 所以，即△ABC面积的最大值为. 18. 一年一度的创意设计大赛开幕了．今年小王从世界名画《永恒的记忆》中获得灵感，创作出了如图1的《垂直时光》．已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径折成了直二面角（其中对应钟上数字3，对应钟上数字9）．设的中点为，若长度为2的时针指向了钟上数字8，长度为3的分针指向了钟上数字12．现在小王准备安装长度为3的秒针（安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移；不考虑三根指针的粗细）． （1）若秒针指向了钟上数字4，如图2．连接、，若平面．求半圆形钟组件的半径； （2）若秒针指向了钟上数字5，如图3．设四面体的外接球球心为，求二面角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】1）根据平面可得，再应用正弦定理计算可得半径； （2）根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算二面角的余弦值，进而求得正弦值. 【小问1详解】 由平面，平面，平面平面， 可得，故， 又由，知为等腰三角形，，， 由正弦定理得，故半圆形钟组件的半径等于； 【小问2详解】 依题意，二面角为直二面角，为交线，， 故平面，又， 以为原点，、、所在直线为轴、轴，轴建立空间直角坐标系， 如图，则，，，， 将四面体补成长方体，知即为长方体的中心，得， 则，，，   设平面的法向量为， 则，即， 取，得， 设平面的法向量为， 则，即， 取，得， 设二面角为， 则， 则， 故二面角的正弦值为. 19. 已知双曲线的一条渐近线方程的倾斜角为，焦距为4． （1）求双曲线的标准方程； （2）A为双曲线的右顶点，为双曲线上异于点A的两点，且． ①证明：直线过定点； ②若在双曲线的同一支上，求的面积的最小值． 【答案】（1） （2） ①证明：设直线的方程为，点的坐标分别为， 由（1）可知点A的坐标为， 联立方程消去后整理为， 可得， ， ， 由， 有 ， 由，可得，有或， 当时，直线的方程为，过点，不合题意，舍去； 当时，直线的方程为，过点，符合题意， 故直线过定点； ②9 【解析】 【分析】（1）由渐近线方程与焦距可得答案；（2）①设直线MN方程为，将其与双曲线方程联立，利用韦达定理及题目条件可得，后由题意可得所过定点坐标；②结合①及图形可得都在左支上，则可得，后由图象可得，后通过令，结合单调性可得答案. 【小问1详解】 设双曲线的焦距为， 由题意有解得． 故双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 ①略 ②由①，设所过定点为，， ， 若在双曲线的同一支上，可知都在左支上， 有，可得， 故的面积为 ， 令，可得， 有， 由函数为函数值都为正的减函数， 可得当时，的面积的最小值为9． 【点睛】关键点睛：求直线所过定点常采取先猜后证或类似于本题处理方式，设出直线方程，通过题目条件求出参数或找到参数间等量关系；求圆锥曲线中三角形面积的最值或范围，首先需结合图象或已知得到面积的表达式，后通常利用换元等思想将问题转化为求相关函数的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红河州第一中学2025年秋季学期期中考高二年级 数学 试卷 （全卷满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. 8 B. C. 5 D. 2. 设向量，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 6. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，对于任意的，且，有.若，则的解集为 A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某超市在两周内的蓝莓每日促销量如图所示，根据此折线图，下面结论正确的是（ ） A. 这14天日促销量的众数是214 B. 这14天日促销量的中位数是196 C. 这14天日促销量的极差为195 D. 这14天日促销量的第80百分位数是243 10. 对于，有如下判断，其中正确的是（ ） A. 若，则必为等腰三角形 B. 若，则 C. 若，则符合条件的有两个 D. 若，则必为钝角三角形 11. 若定义在R上的函数，满足，，，则下列结论中正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是周期为4的周期函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，则集合__________． 13. 曲线方程，其图像与直线有两个不同的交点，则的取值范围是____________ . 14. 在棱长为4的正方体中，正方形所在平面内的动点到直线，的距离之差为2．设的中点为，则的最小值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，且函数． （1）求的周期 （2）若将函数的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得图像向左平移个单位，得到的图像，求函数在的值域． 16. 2025年8月21日，DeepSeek在官方公众号发文称，正式发布DeepSeek-V3.1模型，此次升级也标志着国产大模型在技术迭代与商业化探索中又迈出了关键一步.为强化相关技术的落实应用能力，某公司特针对，两部门开展专项技能培训. （1）已知该公司，两部门分别有3位领导，需要从这6位领导中随机选取3位当组长负责组织培训工作，假设每人被抽到的可能性都相同，求组长中有两位来自于部门的概率； （2）此次培训分三轮进行，员工甲第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮的培训结果均相互独立，至少两轮培训达到“优秀”才算合格，求甲培训合格的概率. 17. 已知a，b，c是△ABC的三个内角A，B，C的对边，且． （1）求B； （2）若，求△ABC面积的最大值． 18. 一年一度的创意设计大赛开幕了．今年小王从世界名画《永恒的记忆》中获得灵感，创作出了如图1的《垂直时光》．已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径折成了直二面角（其中对应钟上数字3，对应钟上数字9）．设的中点为，若长度为2的时针指向了钟上数字8，长度为3的分针指向了钟上数字12．现在小王准备安装长度为3的秒针（安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移；不考虑三根指针的粗细）． （1）若秒针指向了钟上数字4，如图2．连接、，若平面．求半圆形钟组件的半径； （2）若秒针指向了钟上数字5，如图3．设四面体的外接球球心为，求二面角的正弦值． 19. 已知双曲线的一条渐近线方程的倾斜角为，焦距为4． （1）求双曲线的标准方程； （2）A为双曲线的右顶点，为双曲线上异于点A的两点，且． ①证明：直线过定点； ②若在双曲线的同一支上，求的面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $