第12期 4.3 全等三角形-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（湘教版2024）

八年级数学湘教第10~13期 数理柄 答案详解 2025~2026学年 八年级数学湘教 第10~13期(2025年9月) 10期期中复习检测卷 16.b<c<a;17.甲；18.2. 一、选择题 提示： 题号12345678910 14.解：根据题意，可得2(a+b)=20,ab=16, 即a+b=10, 所以a2b+ab2=ab(a+b)=160. 提示： 7解：因为，9 9(4+万) 15.解：因为上-↓=2， x Y 4-7(4-7)(4+7) 所以之二x=2,所以x-y=-2y, =94+=4+万， 9 所以原式=-二y+y 所以a=4,b=1, x-Y 所以a+b=5. =--2y+x 8.解：由题可知，9张卡片的总面积为4a2+4ab+b2. -2xy 因为4a2+4ab+62=(2a+b)2, =-二y=-1 -2xy-2 所以大正方形的边长为2a+b. 16.解：因为a=99°=1，b=(-0.1)1=-10, 9.解：因为(x-y)(2x-y)=0(xy≠0)， 所以x-y=0或2x-y=0, 二25 解得x=y或2x=y 原式=+-2y-x+)2-2, xy -10<8<1, 当x=y时，原式=4y -2=4-2=2: 所以b<c<a. 17.解：设甲从A到B的速度为xm/min,则从B到C的速 当2y时，原式-器-2：号-2=2 度为(x+10)m/mim 综上，原式的值是2或2分 根据题意，得100=240×1 +10×2, 解得x=50. 10.解：因为x=2-5,y=2+5, 经检验，x=50是原方程的解， 所以x+y=2-5+2+5=22, 所以x+10=50+10=60, x-y=2-5-2-5=-25, 所以甲从A到C所用的时间为 所以√x2+2xy+y+x-y-4 100+240=2+4=6(mim), 50+60 =√(x+y)2+(x-y)-4 乙从D到C所用的时间为 =√(22)2-25-4 720=12(mim）. 60 =√8-23-4=W/4-25 因为6min<12min, =√(5)2-25+1 所以甲先到达仓库C. =√(3-1)2=3-1 18解：因为x=n+工-瓜 二、填空题 n +I+n 11.>；12.84；13.4;14.160;15.- (n+I-n)3 2: (n++n)(n+T-n) 八年级数学湘教第10~13期 =(n+I-n)2 所以x=一马是原方程的解。 2 =2n+1-2n(n+1), (2)方程两边同乘最简公分母x(x+1)(x-1),得 y=IntIt/n 2(x+1)+3(x-1)=x, √n+I-n 去括号，得2x+2+3x-3=x, (n+I+n)3 移项、合并同类项，得4x=1, (n+I-√n)(n+I+n) =(√n+1+m)2 解得=子 =2n+1+2√n(n+1), 检验当x=子时(x+1)(x-)≠0， 所以x+y=4n+2,xy=1. 将xy=1代人19x2+123xy+19y2=1985,得 所以：=子是原方程的解、 19x2+123+19y2=1985, 23.解：x= 2 化简，得x+y2=98, 5+1 所以(x+y)2=x2+y2+2y 2(5-1) =98+2=100. =5+)(- 所以x+y=10(负值舍去)， =5-1, 所以4n+2=10, 2 y=7 解得n=2. Γ5-1 三、解答题 2(5+1) = 19.解：(1)原式=x2+x-4x-4+3x (5+1)(5-1) =x2-3x-4+3x =5+1. =x2-4 (1)因为x2+2xy+y2=(x+y)2, =(x+2)(x-2). x+y=(5-1)+(5+1)=25, (2)原式=(9a2-4b2)2 所以原式=(23)2=12 =(3a+2b)2(3a-2b)2. x2-16y2 (2因为（任+）（付-士）=+ .解：2.162=4y（x+4y）=x+4 (y)2 (x-4y)2 x-4y x-y=(5-1)-(5+1)=-2, 当x=2=子时， xy=(5+1)(5-1)=3-1=2, 原式=？+6=-2 所以原式=25×-2：-5 2-6 22 21.解：()原式=+5万-4万 24.解：(1)2000=1200 x x-20' =4+万 去分母，得2000(x-20)=1200x, 整理，得5x-100=3x, (2)原式=(65-6+45)÷25+√5+1 解得x=50. =(105-6)÷25+5+1 经检验，x=50是原方程的解，且符合题意， =5-5+5+1 所以x-20=50-20=30. 故答案为50,30. =6. (2)设购进甲种商品a件，则购进乙种商品(40-a)件. 22.解：(1)方程两边同乘最简公分母(x+1)(x-1),得 因为商店计划用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商 (x-1)2-3=(x+1)(x-1), 品， 去括号，得x2-2x+1-3=x2-1, 所以50a+30(40-a)≤1440， 移项，得2-2x-x2=-1-1+3, 解得a≤12. 合并同类项，得-2x=1, 答：至多购进甲种商品12件 解得：=一子 25.解：(1)9m2-4x2+4xy-y2 检验：当x=-分时，(x+1)(x-)≠0， =9m2-(4x2-4xy+y2） =(3m)2-(2x-y)2 一2 八年级数学湘教第10~13期 =(3m+2x-y)(3m-2x+y). 所以∠1=∠ACB,∠DCB=∠2=40°. (2)4a2+4a-4a262-62-4ab2+1 因为CD是△ABC的角平分线， =(4a2+4a+1)-(4a22+4ab2+b2) 所以∠ACB=2∠DCB=80°， =(2a+1)2-2(4a2+4a+1) 所以∠1=80°. =(2a+1)2-b2(2a+1)2 (2)因为∠3=40°=∠DCB, =(2a+1)2(1-62) 所以FH∥CD. =(2a+1)2(1+b)(1-b). 因为FH⊥AB, 26.解：(1)S3-S 所以CD⊥AB,即CD是△ABC的高. =(a+2b)2-(a+b)2 4.1.3三角形的内角 =(a+2b+a+b)(a+2b-a-b) 1.C;2.C;3.90°. 4.解：因为∠BAC=60°，∠C=84°， =(2a+3b)·6 AD是△ABC的角平分线， =2ab+3b, 所以∠B=180°-∠BAC-∠C=36°， 当a=1,b=3时，S3-S2=9+25. S4-S3 ∠cD=分LBC=30 =(a+3b)2-(a+2b)2 所以∠ADC=180°-∠CAD-∠C=66° =(a+3√b+a+2)(a+3b-a-2b) 因为∠ADE=子∠B=18, =(2a+5b)·6 所以∠CDE=∠ADC-∠ADE=48° =2a√b+5b 4.1.4三角形的外角 当a=1,b=3时，S4-S3=15+25. 1.C;2.70° 故答案为9+25,15+25. 3.解：(1)因为∠A=30°，∠ABC=70°， (2)Sm1-Sn=6n-3+25. 所以∠BCD=∠A+∠ABC=100°. 说明：Sn+1-Sn 因为CE是∠BCD的平分线， =(1+3n)2-[1+3(n-1)]2 所以∠BCE=子LBCD=50 =[2+5(2n-1)]×5 (2)因为∠BCE=50°，∠ABC=70°， =3(2n-1)+25 所以∠BEC=∠ABC-∠BCE=20°. =6n-3+25. 因为DF∥CE, (3)当a=1,b=3时， 所以∠F=∠BEC=20°. T=1+i2+t3+…+t0 4.2命题与证明 =S2-S1+S3-S2+S4-S3+…+S51-S0 1.A;2.C; =S51-S 3.如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零： =(1+505)2-1 4.如果两个数互为倒数，那么这两个数的倒数的乘积为 1； =7500+100/3. 5.答案不唯一，如14 11期2版 6.解：(1)真命题； 4.1.1三角形的边 (2)假命题，当a=-1,b=2时，a+b>0; 1.C;2.C;3.钝角 (3)假命题，如∠A=120°，∠B=150°，则∠A+∠B= 4.解：因为△ABC是等腰三角形， 270°，其和不是钝角； 所以AC=20或8 (4)真命题 因为20+8=28>20,8+8=16<20， 11期3,4版 所以AC=20,即2m-2=20, 一、选择题 解得m=11. 4.1.2三角形的高、中线与角平分线 题号 1 2345678910 1.B;2.△ABC,△ABD,10；3.2. 4.(1)(2)(3)图略；(4)7. 提示： 5.解：(1)因为DE∥BC,∠2=40°， 7.解：因为在△ABC中，∠A+∠C+∠ABC=180°， 一3 八年级数学湘教第10~13期 ∠A=70°，∠C=40°， 因为DE∥AC,所以∠EDB=∠C,所以∠HDB=2 所以∠ABC=70°. 因为BD平分∠ABC, 因为∠AHF为△HDB的外角， 所以∠ABD=宁∠A8C=350 所以∠AHF=∠B+∠HDB. 因为∠BAF+∠AHF+∠F=180°， 因为在△ABD中，∠A+∠ABD+∠ADB=180°， 所以3LBAC+LB+∠HDB+∠F=1S0, 所以70°+35°+∠ADB=180°， 所以∠ADB=75. 所以3∠BAC+∠B+方∠C+∠F=180 因为∠ADE=2∠BDE, 因为在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°， 所以∠ADB=∠ADE+∠BDE =2∠BDE+∠BDE=3∠BDE. 所以分LB4C+7LC=0°-号LB, 所以3∠BDE=75°， 1 所以∠BDE=25°. 所以90°-2∠B+∠B+∠F=180°， 8.解：因为BF平分∠ABC, 所以∠AF=宁BC 所以7∠B+∠F=0, 因为AE平分∠DAB, 所以∠F=90°-7∠B 所以∠EAB=宁∠DAB 三、解答题 19.解：因为CD是△ABC的中线，△ABC的面积为12cm2, 因为∠DAB-∠ABC=∠C=90°， 所以△ACD的面积为6cm2. 所以∠EAB-∠ABF=45. 因为AE是△ACD的高， 因为∠EAB=∠ABF+∠F. 所以∠F=∠EAB-∠ABF=45° 所以cD·A北=×64E=6, 9.解：因为G是△ABC是重心， 解得AE=2(cm). 所以AG=2GD,BD=CD, 20.解：因为AD是△ABC的高， 所以AD=3GD, 所以∠ADB=∠ADC=90° 所以S△cD=3S△cc=3×1=3, 因为∠B=70,∠BAD=∠ECD, 所以S△Bc=2S△ACD=6. 所以∠BAD=∠ECD=180°-∠ADB-∠B=20° 10.解：因为∠ADC是△ABD的一个外角， 因为CE是△ADC的角平分线， 所以∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE. 所以∠ACD=2∠ECD=40°， 因为∠AED是△CDE的一个外角， 所以∠CAD=180°-∠ADC-∠ACD=50° 所以∠AED=∠C+∠CDE. 21.解：(1)因为a=4,b=6, 因为∠ADE=∠AED,∠B=∠C, △ABC的周长是小于18的偶数， 所以∠C+∠BAD=∠C+∠CDE+∠CDE, 所以c是大于2且小于8的偶数， 所以2∠CDE=∠BAD=24°， 所以c的长是4或6. 所以∠CDE=7×240=12 (2)根据题意，得a+b>c, 所以1a+b-cl+lc-a-b1 二、填空题 =a+b-c-c+a +b 11.9；12.两个三角形等底等高，这两个三角形的面积相 =2a+2b-2c. 等，假；13.50°；14.2；15.270°；16.20；17.110： 22.解：因为∠ABC=40°，∠C=60°， 18∠F=90-分∠R 所以∠BAC=180°-∠ABC-∠C=80° 提示： 因为AE是△ABC的角平分线， 18.解：因为AG平分∠BAC, 所以LBAE=7∠BAC=40 所以LHAF=2LBAC. 因为AD是△ABC的高， 因为DH平分∠EDB, 所以∠ADB=90°， 所以∠BAD=180°-∠ADB-∠ABD=50°， 所以∠HDB=分∠BDB 所以∠DAE=∠BAD-∠BAE=I0. -4 八年级数学湘教第10~13期 因为BF是∠ABC的平分线，∠ABC=40°， 当AD⊥BC时，∠PDE最大为90°，此时D,E两点重合， 所以∠AB0=之∠ABC=20, ∠P=0°； 当D与C重合时，∠PDE最小，且∠C=30°， 所以∠BOE=∠AB0+∠BAO=60°. 此时∠P=90°-∠PDE=60°， 23.解：(1)△ABC是“三倍角三角形”.理由如下： 所以∠P的范围是0°≤LP≤60 因为∠A=20°，∠B=40°， 故答案为0°≤∠P≤60°. 所以∠C=180°-∠A-∠B=120°=3∠B, 26.解：(1)90,40. 所以△ABC是“三倍角三角形” (2)由(1)，知∠PBC+∠PCB=90°， (2)设△ABC的最大内角为x. 所以∠ABP+∠ACP=(∠ABC-∠PBC)+(∠ACB-∠PCB) 当最大内角是∠B的3倍时， =(∠ABC+∠ACB)-(LPBC+∠PCB) x=3∠B=90°，满足题意； =180°-∠A-90°=90°-∠A. 当最大内角是∠A或∠C的3倍时， (3)(2)中的结论不成立. 1 3x+x+30°=180， 结论：∠ACP-∠ABP=90°-∠A.理由如下： 设AB与PC交于点D. 解得x=112.5°，满足题意； 当∠B是∠A或∠C的3倍时， 由图知△PBD和△ACD是“对顶三角形” 根据“对顶三角形”的性质，得∠P+∠ABP=∠A+ 3×30°+30°+x=180°， LACP. 解得x=140°，满足题意， 因为∠P=90°， 综上，△ABC中最大内角的度数为90°或112.5°或140° 所以∠ACP-∠ABP=∠P-∠A=90°-∠A 24.(1)证明：因为DB∥AH, 12期2版 所以∠D=∠CAH. 4.3.1认识全等三角形 因为AH是△ABC的角平分线， 1.A;2.C;3.55. 所以∠BAH=∠CAH. 4.3.2全等三角形的判定定理（边角边） 因为∠D=∠E, 1.C;2.B;3.①③. 所以∠BAH=∠E, 4.证明：因为∠1=∠2， 所以AH∥EC,所以DB∥EC. 所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC, (2)解：因为∠ABD=2∠ABC, 即∠BAC=∠DAE. 所以LCBD=∠ABD+∠ABC=3LABC .AB AD. 因为DB∥AH, 在△ABC和△ADE中， ∠BAC=∠DAE, 所以∠BAH=∠ABD=2∠ABC, AC AE. ∠AHC=∠CBD=3∠ABC 所以△ABC≌△ADE(SAS) 因为∠DAB比∠AHC大5°， 4.3.3全等三角形的判定定理（角边角、角角边） 所以3∠ABC+5°=180°-4∠ABC. 1.A:2.A:3.B:4.6 解得∠ABC=25°， r∠A=∠A, 所以∠D=∠CAH=2∠ABC=50°， 5.证明：在△ABD和△ACE中，{AB=AC, 25.解：(1)因为PE⊥BC,所以∠PED=90° I∠B=∠C, 因为∠P=27°， 所以△ABD≌△ACE(ASA), 所以∠BDP=∠PED+∠P=1I7. 所以BD=CE. 因为∠B=76°， 6.解：因为∠DCB=100°，∠ADC=65°， 所以∠BAD=∠BDP-∠B=41° 所以∠A=180°-∠DCB-∠ADC=15°=∠BEC. 因为AD平分∠BAC, ∠BEC=∠A, 所以∠BAC=2∠BAD=82°， 在△BCE和△DCA中， ∠C=∠C, 所以∠C=180°-∠BAC-∠B=22° CB CD. (2)因为∠P+∠PDE=90°， 所以△BCE≌△DCA(AAS), 所以只需求∠PDE的范围. 所以CE=CA. 八年级数学湘教第10~13期 因为BC=CD, 所以DE=CE. 所以CA-BC=CE-CD,即AB=DE. 因为AB⊥BC,AB⊥AD, 所以测得DE的长就是A,B两点的距离 所以AD∥BC, 4.3.4全等三角形的判定定理（边边边） 所以∠ADE=∠BCE. 1.D;2.A;3.F,ABE;4.75° ∠ADE=∠FCE, .AB CD. 在△AED与△FEC中， DE CE. 5.证明：在△ABD和△CDB中，{AD=CB, L∠AED=∠FEC, BD DB, 所以△AED≌△FEC(ASA), 所以△ABD≌△CDB(SSS). 所以AD=FC=5, 12期3,4版 所以BF=BC-FC=5, 一、选择题 所以△ABF的面积为74B×BF=分×12×5=30， 题号 1 2 3 4 5 6 9 10 17.解：作AE=AB交BC延长线于 答案C D D D 点E,过点A作AM⊥DC于点M,如右 提示： 图所示. AC BC. 则∠AMD=∠AMC=90°，∠B= 9.解：在△ACD和△BCE中， AD BE, ∠E=45°. CD CE, 因为∠B=∠D, 所以△ACD≌△BCE(SSS), 所以∠D=∠E. 所以∠ACD=∠BCE,∠A=∠B, 因为∠ACB=105°，∠B=45°， 所以∠BCA+∠ACE=∠ACE+∠ECD, 所以∠CAB=180°-105°-45°=30° 所以∠ACB=∠ECD=(∠BCD-∠ACE) 因为∠DAB=105°， 所以∠DAC=75°， =7×(15°-5）=50 所以∠DAC+∠ACB=180°. 因为∠B+∠ACB=∠A+∠APB, 因为∠ACB+∠ECA=180°， 所以∠APB=∠ACB=50°， 所以∠DAC=∠ECA. 所以∠BPD=180°-50°=130°. ∠DAC=∠ECA, 10.解：如右图所示，延长AD到点E使 在△DAC和△ECA中， ∠D=∠E, 得AD=ED,连接CE. AC AC. 因为D是BC的中点， 所以△DAC≌△ECA(AAS), 所以BD=CD. D 所以CD=AE, 在△ABD和△ECD中， 所以CD=AB. rAD ED, 18.解：∠ABC+∠ACB=180°-∠A ∠ADB=∠EDC, =180°-60°=120. BD CD, 因为BD和CE分别平分∠ABC和 所以△ABD≌△ECD(SAS), ∠ACB, 所以AB=EC=6. 所以∠0BC=LABC,∠0CB= 因为CE-AC<AE<CE+AC, 所以6-3<2AD<6+3, 2∠ACB, 所以1.5<AD<4.5, 所以在四个选项中，AD的长不可能是5. 则∠0BC+∠0CB=之∠ABC+7∠ACB 二、填空题 11.79°；12.AB=ED或BC=DC;13.60;14.3; =2(∠ABC+∠AC)=3×120°=60 15.6cm;16.30;17.CD=AB;18.3. 在△B0C中，∠B0C=180°-（∠0BC+∠0CB)=120°， 提示： 所以∠B0E=∠COD=60°. 16.解：因为点E是CD的中点， 在BC上截取BF=BE, 6 八年级数学湘教 第10~13期 BE BF. 所以△ABO≌△CDO(SSS), 在△OBE和△OBF中 ∠OBE=∠OBF, 所以∠AB0=∠CD0=79°. -0B =OB. 因为∠CDB=38°， 所以△OBE≌△OBF(SAS), 所以∠ODF=∠CDO-∠CDB=41°， 所以∠BOF=∠BOE=60°， 所以∠D0F=180°-∠DF0-∠ODF=49° 所以∠C0F=∠B0C-∠B0F=120°-60°=60°. 23.(1)解：因为△ABD≌△CFD, ∠C0D=∠C0F=60°， 所以AD=CD=7. 在△ODC和△OFC中 0C=0C, 因为BC=10, ∠DCO=∠FCO. 所以BD=BC-CD=3. 所以△ODC≌△OFC(ASA), (2)证明：因为AD⊥BC, 所以CD=CF 所以∠ADB=90°， 因为BE=BF, 所以∠B+∠BAD=180°-∠ADB=90°. 所以BE+CD=BF+CF=BC 因为△ABD≌△CFD, 因为BE=4,BC=7, 所以∠BAD=∠FCD, 所以CD=BC-BE=7-4=3. 所以∠B+∠FCD=90°， 三、解答题 所以∠CEB=180°-（∠B+∠FCD)=90°， 19.证明：因为AB∥DE, 所以CE⊥AB. 所以∠BAC=∠ADE. 24.(1)证明：因为0B⊥0C AB DA. 所以∠B0D+∠COE=90, 在△ABC和△DAE中 ∠BAC=∠ADE 因为CE⊥OA,BD⊥OA, AC DE. 所以∠CE0=∠ODB=90°， 所以△ABC≌△DAE(SAS), 所以∠B0D+∠B=180°-∠ODB=90°， 所以∠C=∠E. 所以∠COE=∠B. 20.证明：因为∠CAB=∠DBA, ∠CEO=∠ODB 所以AE=BE. 在△COE和△OBD中 ∠COE=∠B, ∠D=∠C, OC BO, 在△ADB和△BCA中 ∠DBA=∠CAB, 所以△COE≌△OBD(AAS), AB BA. 所以OE=BD 所以△ADB≌△BCA(AAS), (2)解：因为△COE≌△OBD, 所以BD=AC, 所以CE=OD=15cm. 所以BD-BE=AC-AE,即DE=CE. 因为AD=2cm, 21.证明：因为∠E+∠CBE=180°，∠ABC+∠CBE= 所以OB=OA=OD+AD=17cm. 180°， 25.(1)证明：由对顶角相等，得∠ABC=∠GBH. 所以∠E=∠ABC 因为∠A=∠ABC, 因为AD=BE. 所以∠A=∠GBH. 所以AD+DB=BE+DB,即AB=DE 因为EF⊥AB,GH⊥AB, r∠A=∠EDF, 所以∠AFE=∠H=90° 在△ABC和△DEF中， AB DE. ∠A=∠GBH. I∠ABC=∠E, 在△AEF和△BGH中 ∠AFE=∠H, 所以△ABC兰△DEF(ASA), EF GH. 所以AC=DF 所以△AEF≌△BGH(AAS). 22.解：连接0A,OC,图略. (2)解：因为△AEF≌△BGH, 因为OE,OF分别是AC,BD的垂直平分线， 所以AF=BH, 所以OA=OC,OB=OD,∠DF0=90°. 所以AF-BF=BH-BF AB CD. 即AB=FH=4. 在△ABO和△CDO中 0A=0C, 由对顶角相等，得∠EDF=∠GDH. 0B OD. 因为EF⊥AB 八年级数学湘教第10~13期 所以∠EFD=90°=∠H. 因为AC=AD,AE⊥CD ,∠EDF=∠GDH, 在△EFD和△GHD中 所以∠BAD=∠CAB=250 ∠EFD=∠H. EF GH. 因为AE⊥CD,FM⊥CD, 所以△EFD≌△GHD(AAS), 所以AE∥FM 所以DF=DH=2 FH=2 所以∠MFD=∠EAD=22.5°. 4.5.2等边三角形的性质 26.解：(1)∠BAC+∠DAE=∠CAD: 1.A;2.C;3.10°. (2)延长CB至点G,使BG=DE,连接AG,图略， 4.证明：因为△CAP和△CBQ都是等边三角形， 所以BC+DE=BC+BG=CG. 所以∠ACP=∠B=60°. 因为∠ABC=90°， 因为∠ACB=90°， 所以∠ABG=180°-∠ABC=90° 所以∠BCH=∠ACB-∠ACP=30°. AB AE, 在△BCH中，∠BHC=180°-∠BCH-∠B=90°， 在△AGB和△ADE中， ∠ABG=∠E, 所以BQ⊥CP. GB DE. 4.5.3等腰三角形的判定 所以△AGB≌△ADE(SAS), 1.C;2.D;3.2. 所以∠GAB=∠DAE,AG=AD. 因为∠BAC+∠DAE=∠CAD, 4.证明：因为BC=DC,所以∠CBD=∠CDB. 所以∠BAC+∠GAB=∠CAD, 因为∠EBC=∠EDC, 即∠CAG=∠CAD. 所以∠EBC-∠CBD=∠EDC-∠CDB, ACAC. 即∠EBD=∠EDB, 在△AGC和△ADC中 ∠CAG=∠CAD, 所以△EBD是等腰三角形. AG AD. 4.5.4等边三角形的判定 所以△AGC≌△ADC(SAS), 1.A;2.60°；3.18. 所以CG=CD, 4.证明：连接AN,并延长交BC于点D,图略。 所以BC+ED=CD=60m. 因为MN=CN,∠ACN=20°， 所以五边形ABCDE的周长为3×60+60=240(m). 所以∠CMW=20° 所以建造木栅栏共需花费240×50=12000（元）. 因为AM=MW, 13期2版 所以∠MAN=LMNA=2 ∠CMW=10°. 4.4尺规作图 1.解：如图所示. 因为MW∥AB, 所以∠BAN=∠MNA, 所以∠BAN=∠MAN 又因为AB=AC, 所以AD⊥BC, 所以∠ADC=90°， 2.解：如图所示，点E即为所求（答案不唯一） 所以∠NCB=180°-∠ADC-∠CAD-∠ACN=60°， 又因为NB=NC, 所以△NBC是等边三角形. 4.6线段的垂直平分线 1.C;2.D;3.14 4.解：如图，点P即为所求 4.5.1等腰三角形的性质 1.C;2.D;3.40 4.解：因为∠ACB=90°，AC=BC 所以∠C1B=∠B=之(180-∠ACB)=45 一8 八年级数学湘教第10~13期 13期检测卷 所以∠AEB=180°-∠A-∠ABE 一、选择题 =180°-45°-45°=90°， 题号1 8 910 所以BE⊥AC, 答案BB 所以S△ABC= AC RE 提示： 9.解：由折叠，可知∠ADB'=∠ADB=60°，DB'=DB, =4E+EF+FG)·BE 所以∠B'DC=180°-（∠ADB+∠ADB) =宁×(6+8+10)x6=72 =180°-120°=60° 18.解：根据题意作出图形，如图所 因为BC=5,AD为BC边上的中线， 示，BD是∠ABC的平分线，E在BD上. 所以DC=DB=DB=2.5, 因为BE平分∠ABC, 所以△B'DC为等边三角形， 所以∠ABE=∠CBE=30°. 所以CB'=DC=2.5. 因为∠AEB=105°， 10.解：如图，连接AB',BB,过点A作 所以∠BAE=45°. AE⊥CD于点E. ①当AE=EP且点P在边AB上时， 因为点B关于AC的对称点B'恰好落在 ∠EAB=∠APE=45°， CD上， 所以∠AEP=90°； 所以AC垂直平分BB', ②当AE=EP'且点P'在边BC上时，连接CE. 所以AB=AB' 因为△ABC是等边三角形，所以BD垂直平分AC, 所以∠BAC=∠B'AC. 所以AE=CE 因为AB=AD, 所以∠EAD=∠ECD=60°-45°=15°， 所以AD=AB. 所以∠EP'C=∠ECB=45°， 又因为AE⊥CD, 所以∠BEP'=∠BEP=15°， 所以∠DAE=∠B'AE, 所以∠AEP'=105°+15°=120° 所以∠CB=子∠BAD=a 2 ③当点P与C重合时， 又因为∠AEB'=∠AOB'=90°， ∠AEP=∠AEC=360°-105°-105°=150°， 所以在四边形AOB'E中，∠EB'O=180°- 综上，∠AEP的度数为90°或120°或150° 2, 三、解答题 所以∠ACB'=∠EB'O-∠COB' 19.证明：因为AB=AC, .1 =180°-2a-90 所以∠ABC=∠C, 所以∠A=180°-∠ABC-∠C=180°-2∠C. 因为BD⊥AC, 所以∠ACB=∠ACB'=90°- 所以∠BDC=90°， 2. 所以∠CBD=180°-∠BDC-∠C=90°-∠C, 二、填空题 所以∠A=2∠CBD. 11.30°；12.3；13.70°；14.75°；15.10： 20.证明：因为AD垂直平分BC, 16.58:17.72:18.90°或120°或150°. 所以BD=DC,AB=AC. 提示： 因为AB+BD=DE, 17.解：如图，连接BE. 所以AC+DC=DE. 因为AB的垂直平分线交 又因为DE=DC+CE, AC于点E, 所以AC=CE, 所以AE=BE=6, 所以点C在线段AE的垂直平分线上， 所以∠ABE=∠A=45°， 21.解：如图所示，△CDE即为所求作. 八年级数学湘教第10~13期 所以∠ACE=∠ABC=2(I80°-∠A) 1 =90°-2∠A, 所以∠DCE=180°-∠DEC-∠CDE 根据作图，可得CD=AB,∠ECD=∠A,∠EDC=∠B, =180°-(90°-3∠A-(90°-7B 所以△CDE是和原三角形全等的三角形. 依据是角边角 =(2A+∠0)=45 22.解：△BCE为等边三角形.证明如下： 所以∠DCE的度数是一个定值，与∠B的度数无关，即小 因为AB=AC,∠BAC=90°， 虎说的正确 所以∠ABC=∠ACB=45° 25.(1)证明：因为D是AB的中点，OD⊥AB于点D, 因为∠DBC=30°， 所以OD垂直平分AB, 所以∠ABD=∠ABC-∠DBC=15°. 所以OA=OB. 因为△ABD和△ABE关于AB对称， 因为点O在AC的垂直平分线上， 所以∠ABE=∠ABD=15°，BE=BD, 所以0A=0C,所以OB=OC, 所以∠EBC=∠ABE+∠ABC=60°. 所以△BOC是等腰三角形. 因为BD=BC,所以BE=BC, (2)解：由(1)，可得0A=OB=0C, 所以△BCE为等边三角形. 23.解：如图，过点A作AH⊥BC 所以∠OAB=∠OBA,∠OAC=∠OCA,∠OBC=∠OCB, 于点H, 所以∠OAB+∠OAC=∠OBA+∠OCA=∠BAC=70°， 过点E作EF⊥BD于点F, 所以∠OBC+∠OCB 所以∠AHC=∠EFC=90° =180°-（∠OBA+∠OAB+∠OAC+∠OCA) 所以∠CAH+∠ACH=90°. =180°-（∠OAB+∠OAC+∠OBA+∠OCA) 因为AB=AC,BC=6, =180°-(70°+70)=40°， 所以BH=HC=3. 所以2∠BC0=40°， 因为∠ACE=90°， 所以∠BC0=20°. 所以∠ACH+∠ECF=90°， 26.(1)解：因为DE是AB的垂直平分线， 所以∠ECF=∠CAH. 所以AD=BD, ,∠AHC=∠CFE, 即△ABD是等腰三角形. 在△ACH与△CEF中， ∠CAH=∠ECF, 因为∠C=90°， LAC CE, 所以△ACD是直角三角形， 所以△ACH≌△CEF(角角边)， 所以AD是△ABC的一条等直分割线段， 所以EF=CH=3, (2)证明：如图，AD,AE是△ABC的两条等直分割线段， 所以△BCE的面积为BC·BF=之×6×3=9 24.解：小虎说的正确.理由如下： 因为∠ACB=90°， 所以AD=BD,∠CAD=90°， 所以∠A+∠B=180°-∠ACB=90°. AE=CE,∠BAE=90°， 因为BD=BC 所以∠B=∠BAD,∠C=∠CAE, 所以∠BCD=∠BDC=(1s80-∠B) ∠BAE-∠DAE=∠CAD-∠DAE, 即∠BAD=∠CAE, 所以∠B=∠C, 因为AE=AC, 所以△ABC是等腰三角形. -10盖快岩三地价一拳盖·堆避日当 数理招 2025年9月17日星期三 初中数学 51-5271268 纸发行质量反喷电话 12期 总第1156期 (湘教八年级) 035-5271248 (L号A合100：2。长电版： 1期 1,1三角形的过 山两师范大学主智 山西师大教育科技传媒集团主 数理报杜编楫出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN140707川F 3角 空回早 (2)若S。 6四力形君ECF的 30.1.2。。c标用 4:11 4.L2三角形的高 中线与角平分线 伴你走进全等的世界 ABC 4(1)2)(3)略： 全等三角形是研究图形的重要工具，是后 分桥：图形找到对应 47. *研究全等多边形的基础，而且它也为许多间 点可得解 5.1)80.2)5 通的解决提供了方法与手段.下面就让我们一 分析：北题考查的是全￥三角形的判定与 解：因为△AEC≌△ADB 41,3三鱼的内 起走进全等的世界吧！ 点E利点D是对应顶点，点A 整魔，正作出助线是解决此的关健 48 一、正确理解全等三角形的含义 公共点，以点C和点B对应 解：(1)因为AE∥DF,所以∠A=∠D 44三角形的外角 能够完全重合的网个三角形叫做全等三角 所以AE和AD是对应边，AC和AB是对应 因为AB=CD,所以AB+BC=CD+BC ACFD 1.C:2.0° 即AC=DB. 3.(110.(2)20 如△ABC和△DEF全等，即△ABC与 CA是公共角，∠AC和∠ADB是对应角， AE DF, 4,2卧愿与明 △DEF是能够完全重合的两个三角形相重合 上C和∠B是对应角 在△AEC 和△DFB中， ∠A=∠D. [为相 的顶点边、角分做对应魔点，对应边，对应 三，全等三角形的性质与判定 AC D8. 么这两个数的 角，我们也把它们称为全等三角形的对应元素 性频：全等三角形的对应边相等，对应角相 以△AEC口△DFB(SAS). (2)过点E作EH⊥AC干点H,过点F作 CU：: 1·.1504m052m 218) 点A与点D,点B与点E,点C与点F对应 等.两长相等，面积相等，对应边上的高，中线和 4.果两个数五为国 时，△ABC与△DEF全等可记为△ABC 角平分线相等 FM⊥AC于点M,如图3 数，那么这雨个数的倒 数的积为1： △DEF,符号“一”直观地反映了全等的两层含 判定：两边和它们的夹角分别相等的两个 5.(0)图24-0.2。1BK.b 义：“ 表示留形形状相同，“= 表示图形大 三角形全等：两角和它们的夹边分别相等的两 小 个三角形全等：两角和其中 个角的对边分别 假命题，当 二准确解认全等三角形的对应元素 因为AB=BC,所以BC=子4C 相等的两个三角形全等：三边分别相等的两个 2时+>0： 僻认全等三角彩的对应元素，最简单也是 角形全等（后面两个判定方法见下期） 所以5Aar■4.5 最有效的方法是：先找全等三角形的对应顶点， 例2如图2，点A,B,C,D在可一条直线 因为△AEC兰△DFB,所以Sa■Saw 120.月=150 耳确定对应边和对应角。 以EH■下M, A+∠=270. 上，AB=CD=BC,AE=DF,AE∥DF 例1如图1，△AEC二△ADB,点E和点D 所以Sm=Sar 是对应点，写出它的对应边和对应角 (I)求证：△AEC≌△DFB 25 =9 1期3考答 2: LD: 定△A0B≌△DOC 4.C5. 6.D 故填A0=D0或AB=DC成B0=C0 8C: 9.A 三，已边一边，一角对夜相河 12 添加条件 证全等 142: 520 两个 角形全等的判定方法有 就第二边对应相等 氏已加年的第一触政时庭松等，首先判 才一 1620: 17.110 “SAS”,“ASA,“AAS”,它们需要三个条件， 添加AG=DF成∠ACB=∠DFE成∠B =EF,线后“55”等 1度乙F=0 而常见的试题却往往只给出两个明显的已知 LE,不能生定△AC△DEF 己如的芳 一角对相等 :首 三.92cm 件，面对“ "的局面，到底选择哪种方法来 添加∠A=∠FDE,根据“SAS”判定 2050. 判定呢 ABC△DEF战达R .ZH店ZCAD C0) 21.(1)4成6 已知两边对应相等 、己知两角对应相等 +2》 3 如图3.已知 2A=∠D ∠CAB,点A,B,E 共线，添加下列条件不能判 角三角形“，理由略 蒂之姓对点制零：首克利斯A化=F,热 定△DMB≌△CAB的是 桃己两青的头边针位图军，首先：制AN (290 方函 140. =E,感克期”A5”钢宽女等 ∠DBE= CBE B.∠D=∠C C.DA=C D.D=CB 或女BC=FF,然后及用AA”利凳金学 (1)22 例1 如图1，已知AB 解析：由图可可知，4B是公共边. 209写∠P0 =DE,AD=CF加下列 例2 如图2，AC,BD相 零九▣∠DBE=∠CBE,因为∠DAB= 2(1)90,40 条件 能判定 △AB 交下点0，∠A=∠D.请你 LCAB.所以∠DBE-∠DAR■ 290°-∠ ADEF的是 再补充一个条件，使△40 ∠CAB.即∠D=∠C,根据“AAS 定△DAB 32)中的结伦不成 A.AC DF 2△DOC,你补充的条件是 ≌△CAB: B.∠A=∠FDE 添加∠D=∠C,根据“AAS”判定△DA5 C.LACB=∠DF 解桥：由对项角相等.得LAOB∠DOC要 ACAB: D∠Bm∠E 定△AOB≌△DOC,应添加-组边对应相陈 东加DM CA,根据“sAS 解析：因为AD=CF以AD+CD=CP 添加A0=DO,根起“ASA”定△0B △CAB: CD,即AC=DF.婴判定△ABC△DEF,已经 △DC: 加DB=CB,无法判定△DAB≌△CAB 有两边对应相等 ,应添加这两边的夹角应相 添加AB=DC成B0=C0,根据“AAS判 故选D. N AABC AADE AACR=ABDA C.AC BD P01:0 2。用55 Z060 品 2m82.12.1D. 2- - ADEE 2. 5m85.种组具便乐5. m3。2cBe.EPE A.AD FB 2m82.E种二 点.圭接AE井延长交BC于点F,AD=5,BC=I0,则△ABF的面网 4.3同步达标检测卷 为 ◆数理报社试题研究中心 1答题时长120分钟，满分20分】 8.如图8，点C在DE上，AB=AE,BC交AE干点F,∠CAD= 一、选择题（本题共10小题，每小通3分，共30分】 ∠B4E=LBCE,C=5,CD=2,则EC的长为 5 【,要使图1的木买不变形，至少需要再钉上几根木条”《 A.1 C.3 A.I根 B.2根 C.3根 17.如图I6,在四边形ABCD中，∠ACB=∠RLD=105°，∠B D4根 9.□图9.年△ACD知△BCE中AC=BCAD=E,CD=CE ∠D=45°，则CD与比的数量关系为 ∠ACE=55.∠BCD=155,AD与BE相交于点P,则∠BPD的度 18如图17，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC 数为 和∠ACB的平分线BD,CE相交于点O.BD交AC A.145 B.140 C.135 D130 于点D,CE交AB于点E若BC=7,BE=4,则CL 2 的长为 2.加2，一快三角形的波离被设一片，…位司学很快食挡比出 三，解答题（本题先8小题，共66分】 片玻璃说：根据所学知识就能配出一个与原三角形完全一样的图 形他这样做的依据是 19.(6分)如图I8,点A,D.C在同一条直线上，AB∥DE,AB■ D.AD,求正：∠C■∠ A.335 B.SAS C.AAS D.ASA 初中数学 10.老师布置的作量中有这样一道题：如图10，在△ABC中，D 3,如图3.AC平分∠BAD,∠B=∠D,AB=8cm.则AD 为BC的中点.若AC=3,AB=6,则AD的长不可能是 思考：甲同学认为AB,CAD这三条边不在同一个三角彩中，需要 4.6m 8.8 cm C.10 em D.4 cm 进行转化：乙同学认为可以从中点D出发，造捕助线，利用全 ·湘教八年级同步达标检测卷 的知识解决基于以上两位间学的温考过程，请选择三确的结果。 A.5 B.4 C.3 D.2 二、填空题（本通共8小题，每小题3分，共24分） 1L如图.当∠■ 时，图中的两个三角形全等 4,如图4.已知AB■AG,要根据“SA5”判定△ABD△CE 还需要加条件 级同步达标检测卷 A.AD AE 0D=0g C.O8 OC D.BD CE 5.图5，在AABC中，∠A=90,BE是△ABC的角平分线，ED 20(6分)如图I9,已知∠C■∠D,∠CAB■∠DBA,AC与BD ⊥BC于点D,CD=4,△CDE的周长为I2,则AC的长是( 12如图I2,已知∠A=∠E.∠BCD=∠ACE,竖运用"AAS 交于点F求证：DE。CE A.14 B.8 C.16 D.6 定△4BC≌△EDC,应添的条件是 13如图13，已知△ABC≌△ADE.∠B=75°，∠C=25 LDAC=0°，则∠EAC的度数为 6.三个全等三角形按如图6的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的 1 度数是 14.如图14.AD∥MN∥BC.∠ADC=90°.AD=BC,AC,BD交 A.90 B.120° C.135 D.1809 严点1W,2、名中的令秀一角开共有 T.如图7.已知BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F,且BE=CF I5.已知△ABC≌△DEF,BC=EF=6cm,△ABC的面积为18 则AD是△ABC的 cm,则EF边上的点的长是 A.中线 且.高线 C.角平分线 D.无法确定 16如图15，AB=12,∠ABC=90°，DA⊥AB,点E是CD的中