第12期 第二十四章 圆 综合评估卷-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（人教版 广东专版）

中考数学人教(GDY)第9~12期 教理括 答案详解 2025~2026学年 中考数学人教(GDY)第9~12期 形，∠ACB=90°，AC=32,AB=BD,所以AC=BC=32, 第9期2版 BD=AB=6,∠ABC=∠CAB=45°.因为DE⊥AD,所以BF 24.1.1圆 为⊙O的直径，所以∠BCF=90°，所以∠ACB+∠BCF= 基础训练1.D;2.A;3.2;4.60°. 180°，所以点A,C,F三点共线.因为∠CAB=45°，DE⊥AD,所 5.证明：因为OC=OD,所以∠OCD=∠ODC= 10 以△ADF是以∠BDF为直角的等腰直角三角形，所以DF= AD=6+6=12,所以BF=√BD+DF=65,所以⊙0 -∠0).因为0A=0B,所以∠0AB=∠0BA=(180°- ∠O),所以∠OCD=∠OAB,所以AB∥CD. 的半径为5.35 24.1.2垂直于弦的直径 (2)连接GF,连接GC并延长交AB于点M,因为AG=BG, 基础训练1.D;2.B;3.7或17；4.6. AC=BC,所以点C在线段AB的垂直平分线上，点G在线段AB 能力提高5.连接OB,OM,过点O作EF⊥BC,交BC于 的垂直平分线上，所以GM⊥AB,AM=BM.因为∠ACB=90°， 所以CM=BM,∠BCM=45°.因为BF是⊙O的直径，所以 点E,交MN于点F,因为BC∥MW,所以EF⊥MW,所以EF平 LBGF=90°.因为四边形GCBF是⊙O的内接四边形，所以 分BC,MN.因为BC=14mm,MN=30mm,所以BE=7mm, ∠GFB=∠BCM=45°，所以△BGF是等腰直角三角形，所以 MF=15mm.由题意得OB=OM=25mm,AB=36mm,在 Rt△BEO和Rt△MOF中，由勾股定理得OE=√OB2-BE= AG=BG GF BF=3而 2 24mm,0F=√OM-MFP=20mm,所以该烧瓶的高度为 第9期3版 AB+0E+0F=36+24+20=80(mm). 24.1.3弧、弦、圆心角 题号12345678 基础训练1.D;2.D;3.8;4.1:3. 答案A BCCDB B C 5.过点O作OF⊥AB于点F,延长OF交⊙0于点E. 二、9.0<a≤10；10.12；11.70°或110°；12.8； (1)证明：因为CD是⊙0的直径，AB∥CD,所以CE= 13.25°；14.3. DE,AE=BE,所以CE-AE=DE-BE,即AC=B,所以AC= 三、15.证明：因为AB=CD,所以AB=CD,所以AB+AD= BD. CD+AD,所以BD=AC,所以BD=AC (2)因为0FLAB,所以AP=24B=4.因为AB与CD间 16.(1)证明：连接AE,因为AB是⊙0的直径，所以AE⊥ BC.因为AB=AC,所以CE=BE. 的距离是3，AB∥CD,所以OF=3,所以OA=√AF2+OF产= (2)因为AB=AC,所以∠B=∠C=70°，所以∠BAC= 5,所以0C=0D=0A=5,所以CD=0C+0D=10. 180°-∠B-∠C=40°，所以∠B0D=2∠BAC=80°. 24.1.4圆周角 17.(1)因为点D是弧AC的中点，所以AD=CD,所以 基础训练1.B;2.C;3.6;4.②③④； ∠DAC=∠DCA=35°，所以∠D=180°-∠DAC-∠DCA= 5.1或2. 110°.因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠B=180° 能力提高6.(1)连接BF,因为△ABC为等腰直角三角-∠D=70°.因为AB=AC,所以∠ACB=∠B=70°，所以 中考数学人教(GDY)第9~12期 ∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=40° 45°，∠C4B=7∠B0C=45,所以∠ACD+∠CAB=90,所 (2)连接OA,因为AB=8,所以AB=AC=8.因为点D是 以∠AMC=180°-（∠ACD+∠CAB)=90°，所以CD⊥AB. 弧AC的中点，所以OD⊥AC,所以∠AED=∠AE0=90°，AE =EC=4C=4.在△ADE中，AD=5,由勾股定理，得DE 所以AB,CD是⊙O的等垂弦 (3)如图1所示，当等垂点P位于圆内 =√AD-AE=3.设⊙0的半径为r,在Rt△AE0中，由勾股 时，过点O作OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别 为E,F.根据题意，得AB⊥CD,所以四边 定理，得A0=AE2+0E,即2=42+(r-3)2,解得r= 形OEPF是矩形.因为AB=CD,所以OE 所以00的长为曾 =OF,所以四边形OEPF是正方形，所以 图1 OE=OF=PE=PF因为AP=3BP,设BP=x,则AP=3x, 18.(1)设圆弧所在圆的圆心为O,连接OA,OA',OM,则 O,M,P三点共线.设半径为xm,则OA=OA'=OP=xm,由 AB=AP+BP=4,因为OE1AB,所以AE=BE=2AB= 垂径定理可知AM=BM,A'N=B'N.因为AB=30m,所以AM 2x,所以OE=OF=PE=PF=x.如图1，连接OB,因为⊙0 =4B=15m在△A0M中，0M=0P-PM=(x-9)m, 的直径为10，所以OB=5,根据勾股定理，得OB=OE+ 由勾股定理，得A0=OM+AMP,即x2=(x-9)2+152,解 BE2,即52=x2+(2x)2,解得x=5或x=-5(舍去)，所以 得x=17,即拱桥所在的圆的半径为17m AB=4x=45. (2)因为OP=17m,所以ON=OP-PW=17-2= 如图2所示，当等垂点P位于圆外时，过 15(m).在Rt△A'OW中，由勾股定理，得A'W=√OA2-OW 点O作OH⊥AB,OG⊥CD,垂足分别为H, =8m,所以A'B'=2A'W=16m>15m,所以不需要采取紧急 G.根据题意，得AB⊥CD,所以四边形OHPG 措施。 是矩形.因为AB=CD,所以OH=OG,所以 四边形OHPG是正方形，所以OH=OG= 图2 19.(1)证明：因为直径AB平分非直径弦CD,所以CD⊥ AB,所以∠CG0=90°，所以∠OCD+∠C0G=90°.因为EF⊥ PH=PG.因为AP=3BP,设BP=x,则AP=3x,AB=2x,因 AB,EH⊥OC,所以∠EF0=∠EH0=90°，所以∠AOC+ 为0H1AB,所以AH=BH=子AB=x,所以0H=0G=PH ∠FEH=180°.因为∠AOC+∠C0G=180°，所以∠C0G= =PG=2x.如图2，连接0A,因为⊙0的直径为10，所以0A= ∠FEH,所以∠OCD+∠FEH=90°. 5,根据勾股定理，得042=0+AH,即52=x2+(2x)2,解 (2)连接OE,因为∠EFO=∠EHO=90°，所以∠EF0+ ∠EH0=180°，所以点O,F,E,H是在以OE为直径的圆上.因 得x=5或x=-5(舍去)，所以AB=2x=25. 为∠CG0=90°，所以点O,C,G是在以OC为直径的圆上.因为 综上所述，AB=25或AB=45. OE=OC,所以以OE为直径的圆和以OC为直径的圆是等圆. 第9期4版 因为∠c0c=∠PE,所以m=元.所以FH=cG=D 重点集训营 二2 1.35；2.52 ；3.4 20.(1)证明：根据题意，得AB⊥AC,OD⊥AB,OE⊥AC, 4.（1)四边形ABED是矩形，理由如下： 所以因边形AD0E是矩形.因为AB=AC,所以化=子4C 因为CD是⊙O的直径，所以∠CED=90°，所以∠BED= 子AB=AD,所以四边形AD0E是正方形， 90°.因为AD∥BC,所以∠ABC+∠A=180°.因为∠A=90°， 所以∠ABC=90°，所以四边形ABED是矩形 (2)证明：因为OD⊥OA,OC⊥OB,所以∠AOD=∠B0C (2)因为∠A=90°，∠ABD=30°，所以BD=2AD=6. =90°，所以∠AOD+∠A0C=∠B0C+∠AOC,所以∠C0D 因为2DF=BF,所以BF=4,DF=2.因为四边形ABED是矩 =LA0B,所以AB=CD.连接4C,则∠ACD=方∠A0D= 形，所以∠FDE=∠ABD=30°，所以∠FCE=∠FDE=30° -2 中考数学人教(GDY) 第9~12期 因为CD是⊙O的直径，所以∠CFD=90°，所以∠BFC=90°，线. 所以BC=8,CF=45,所以CD=√CF+DF=2/3,所 因为DE为⊙O的切线，所以DE=BE,所以∠EBD= 以⊙0的半径是3 ∠EDB. 又因为∠DCE+∠EBD=∠CDE+∠EDB=90°，所以 第10期2版 ∠DCE=LCDE,所以DE=CE,所以DE=之BC 24.2.1点和圆的位置关系 能力提高7.证明：(1)因为点I是△ABC的内心，所以 基础训练1A;2.C；3.D: AI平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD.因为CD=CD,所以 4.x≥8；5.不能；6.（-2，-1) ∠CBD=∠CAD,所以∠BAD=∠CBD. 7.(1)(2,0) (2)连接B1,因为点I是△ABC的内心，所以AI平分 (2)由勾股定理，得⊙D的半径为√42+22=25 ∠BAC,BI平分∠ABC,所以∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠CBL. (3)点E在⊙D内.理由如下： 又因为∠CBD=∠CAD,所以∠CBD=∠BAD.因为 因为DE=√32+3=32,32<25，所以点E在⊙D ∠BID=∠ABI+∠BAD,∠DBI=∠CBI+∠CBD,所以∠BID 内 =∠IBD,所以ID=BD 24.2.2直线和圆的位置关系（第一课时） (3)连接DC,因为∠BAD=∠CAD,所以BD=CD.因为 基础训练1.C;2.B;3.4;4.60;5.10或6. ID=BD,所以BD=CD=ID,所以点D是△BIC的外心 6.证明：连接OD,因为AC是⊙0的直径，所以∠ABC= 第10期3版 90°.因为BD平分∠ABC,所以∠DBE=45°，所以∠D0C= 2∠DBE=90°.因为DE∥AC,所以∠ODE=∠D0C=90°.因 题号1 2345678 为OD是⊙O的半径，所以DE是⊙O的切线。 能力提高7.(1)证明：连接OB,因为CB平分∠ACE,所 二、9.0（答案不惟一）；10.4；11.65；12.8或11； 以∠ACB=∠BCE.因为OB=OC,所以∠ACB=∠CBO,所 9 以∠BCE=∠CBO,所以OB∥ED.因为BE⊥ED,所以EB⊥ 13.614.9 B0.因为OB是⊙O的半径，所以BE是⊙O的切线. 三、15.在圆弧内作两条弦AB,BC, (2)连接OB,BD,因为AC是⊙O的直径，所以∠ABC= 分别作出AB,BC的中垂线，交于点O,以 ∠ADC=90°.因为BE⊥CD,所以∠E=90°，所以∠E+ 点O为圆心，OA的长为半径作圆，如图3， ∠ADC=180°，所以BE∥AD,所以，点B到AD的距离即为DE ⊙0即为所求。 的长 16.证明：因为AC=BC,所以∠AOC 图3 因为AB=2BC,所以∠AOB=2∠COB,所以∠BOC= =∠BOC.因为DB为⊙O的切线，所以 60°.因为OB=OC,所以△OBC是等边三角形，所以∠OBC= OB⊥BD,所以∠OBD=90°.在△OBD和△OAD中， ∠OCB=60°.因为OB⊥EB,所以∠EB0=90°，所以∠EBC OB =0A. =30°，所以∠BCE=60°，所以BC=2EC=2,AC=2BC=4, ∠BOC=∠AOC,所以△OBD≌△OAD,所以∠OAD= 0D=0D. ∠ACD=60,所以∠CAD=30°，所以CD=7AC=2,所以 ∠OBD=90°.又因为OA是⊙0的半径，所以AD为⊙0的切 DE=3.即点B到AD的距离为3. 线 24.2.2直线和圆的位置关系（第二课时） 17.(1)因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB=∠ACB= 基础训练1.B;2.A;3.5;4.80;5.5. 90°.又因为∠ABC=25°，所以∠CAB=90°-25°=65°.因为 6.证明：连接BD,因为AB为⊙0的直径，所以∠ADB= 四边形ABEC是⊙O的内接四边形，所以∠CEB=180°- 90°，所以∠BDC=90°. ∠CAB=115° 因为∠ABC=90°，OB为⊙O的半径，所以BC为⊙O的切 (2)DI=DA=DB,理由如下： 一3 中考数学人教(GDY)第9~12期 连接Al,因为点I为△ABC的内心，所以∠CAI=∠BAL,PE,所以PE=tcm,PB=(6-t)cm.在Rt△PEB中，由勾股定 LAC1=∠BCI=∠ACB=45,所以0=BD,所以∠DAB 理，得(6-)2=f+2,解得1=号 =∠DCB=∠ACI,AD=BD.因为∠DAI=∠DAB+∠BAI, (3)①由题意知⊙Q不与AB,BC相切，如图6，当⊙Q与 ∠DIA=∠ACI+∠CAI,所以∠DAI=∠DIA,所以DI=DA= AD相切时，设切点为E,连接QE,则QE上AD,QE=PQ,所以 DB. 四边形ABQE是矩形，所以QE=AB=PQ.在Rt△PBQ中，由 18.证明：(1)设PO和AB相交于点F,因为PA和PB是 勾股定得，得62=(6-)2+(2，解得1=0或号 ⊙O的切线，所以PA=PB,PO平分∠APB,所以AF=BF因 为OA=OC,所以OF是△ABC的中位线，所以OF∥BC,即BC ∥oP. (2)如图4，连接AE,BE,因为 PA是⊙O的切线，所以∠OAP= 图6 图7 90°，所以∠OAE+∠3=90°.因为 如图7，当⊙Q与DC相切时，则PQ=QC,在Rt△PQB中， PA和PB是⊙O的切线，所以PA= 由勾股定理，得(6-t)2+(2t)2=(8-2t)2,解得t1=-10+ B PB,PO平分∠APB,PO⊥AB,所以 图4 8√2,2=-10-82（舍去） ∠1+∠2=90°.因为OA=OE,所以∠OAE=∠2，所以∠1 =∠3，所以AE平分∠PAB.因为PO平分∠APB,所以点E是 综上，当：的值为0或号或-10+8厄时，©0正好与四边 △ABP的内心 形ABCD的一边（或边所在的直线）相切. 19.(1)证明：因为DE是∠AEB的平分线，所以∠AED= ②当t=0时，如图8所示，⊙Q与四边形DPQC有两个公 ∠BED.因为∠AOD=2∠AED,∠BOD=2∠BED,所以 共点： ∠A0D=∠B0D.因为∠AOD+∠BOD=180°，所以∠AOD= 0 ∠BOD=90°，所以∠ODF+∠OFD=90°.因为EF=EB,所 4(P B(0 以∠EFB=∠EBF.因为∠EFB=∠OFD,所以∠ODF+ ∠EBF=90°.因为∠CBE=∠ODF,所以∠CBA=∠CBE+ 图8 图9 ∠EBF=90°，所以BC⊥AB.因为AB为⊙O的直径，所以BC 如图9所示，当⊙Q经过点D时，⊙Q与四边形DPQC有两 为⊙0的切线. 个公共点，则QD=PQ在Rt△PBQ和Rt△DCQ中，由勾股定 (2)连接AD,因为AE=AE,所以∠ADF=∠ABE.因为 理，得(6-t)2+(2t)2=36+(8-2t)2,解得t1=-10- ∠EBF=∠EFB=∠AFD,所以∠ADF=∠AFD.因为AF= 24I(舍去)，t2=-10+24I,所以当0<t<-10+24T, 6,所以AD=AF=6.在Rt△AOD中，由勾股定理，得AD2= ⊙Q与四边形CDPQ有三个公共点. A02+D02,即2A02=36,解得A0=32(负值舍去)，故⊙0 故填0<t<-10+2√4T. 的半径为32. 20.(1)由题意知，AP=tcm,BQ=2tcm,则BP=(6- 第10期4版 )cm,因为50=分P.B0=分(6-0·21=8，解得1= 重点集训营 2或t=4,故当运动时间为2秒或4秒时，△BPQ的面积为 1.(1)连接0D和0C,因为AD=DC=CB,所以∠A0D= 8cm2. ∠D0C=∠B0C= 号×180°=60，所以∠D0B=∠D0C+ (2)如图5，设切点为E,连接PE.由题意，得D ⊙P分别与AD,BD相切，所以AD=DE=8cm, ∠B0C=120因为0A=0D,所以∠DMB=分∠D0B=号 PE⊥BD.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD= ×120°=60° 10cm,所以BE=BD-DE=2cm.因为AP= (2)证明：由(1)知，∠B0C=∠DAB=60°，所以0C∥ 图5 中考数学人教(GDY) 第9~12期 AE.因为CE⊥AD,所以OC⊥CE.又因为OC为⊙O的半径，所 所以∠0EC=90°，∠0DC=90°. 以直线CE是⊙O的切线， 因为∠EFD=70°，所以∠E0D=2∠EFD=140°， 2.(1)证明：连接0C,因为AB是⊙0的直径，AC=BC,所 所以∠ECD=360°-90°-90°-140°=40° 以∠BOC=90°.因为E是OB的中点，所以OE=BE.在△OCE 由(I)知CE=a=9,所以点E运动的路径长= ,OE BE, 40×m×9=2m. 180 和△BFE中，{∠OEC=∠BEF,所以△OCE≌△BFE,所以 24.4弧长和扇形面积（第二课时）》 CE EF, ∠OBF=∠COE=90°，即OB⊥BF因为OB是⊙O的半径， 基甜训练1：24：3（合-停）：4受-4 所以直线BF是⊙O的切线. 能力提高5.由旋转的性质，得SARCO=S△m,∠B'0C (2)因为OB=OC=4,由(1)得△OCE≌△BFE,所以 =∠B0C=60°， BF=0C=4,所以AF=√AB2+BF=45,所以SAF= 所以∠B'0C=180°-∠B'0C-∠B0C=60°， 合4B·B=F,BD,即8×4=45D,所以BD=85 所以∠B0B'=∠B'OC+∠B0C=120. 5 又因为AB=2cm,所以B0=1cm, 第11期2版 所以c0=C0=宁80=宁 2 cm, 24.3正多边形和圆 所以5tw=2四X=号（cm).5atae 360° 基础训练1.C;2.C；3.90°；4.36°；5.9. 6.设AB与⊙0相切于M,AD与⊙0相切于N,BC与⊙O 120×m×(22 =受(cm),S形=SnmE-Sac=牙 相切于P, 360° 连接OE,OF,OM,ON,OP, 晋=平(cm2). 则∠EOF=90°，OM⊥AB,OW⊥AD,OP⊥BC 24.4弧长和扇形面积（第三课时） 所以四边形AMON,OMBP是矩形， 基础训练1.C；2.D;3.54π；4.45. 所以AM=ON,BM=OP. 设⊙0的半径为r,所以EF=√OE+OF区=2r,AM= 能力提高5.(1)根据题意，得m·DE=90·T·AD 180 ON =r,BM =OP =r, 所以AD=2DE=2×5=10(cm), 所以AB=AM+BM=2r, 所以AE=AD=l0cm. 所以图中空白部分与阴影部分面积的比值为 (2)因为∠BAC=90°，AB=AC,AD⊥BC,AD=10cm, 2r)2-(22=1. 所以BC=2AD=20cm,所以S阴影=S△ABc-S第形EAFr=2 (2r)2 24.4弧长和扇形面积（第一课时） ×10×20-90×m×102 =(100-25r)cm2. 360 基础训练1C:2.D:3.1；4 3m. 第11期3版 能力提高5.(1)因为BC,AC,AB与⊙0分别相切于点 D,E,F, 题号12345678 答案ABBACCA B 所以CE=CD=a,BF=BD,AF=AE, 所以AE+BD=AF+BF=AB. 二912：102；11.二十四：12牙 因为△ABC的周长为36， 所以AE+BD+AF+BF+CE+CD=2AB+2a=36. 13.8m-83;14.(2+2)π 2 因为AB=9,所以a=9. 三、15.连接OB,因为六边形ABCDEF是⊙O的内接正六 (2)连接OE,OD,因为AC,BC分别与⊙0相切于点E,D,边形，所以∠COB=60°，OC=OB,所以△COB是等边三角 5 中考数学人教(GDY) 第9~12期 形，所以OC=0B=6cm,即⊙0的半径R=6cm.因为OC= 23=8 π-25 OB=6cm,OG⊥CB,所以CG=BG=3cm,在Rt△COG中， 19.(1)证明：连接OB,因为AB=BC,所以∠C=∠A= T6=0G=√0C2-CG=35(cm),所以S。=6Saoc=6× 30°. 合×6×35=45(em) 因为OB=OC,所以∠OBC=∠C=30°， 16.(1)证明：因为CD⊥AB,CD是直径，所以AD=BD,所 所以∠A0B=2∠C=60°，所以∠OBA=180°-∠A- 以∠ACD=∠BAD. ∠A0B=90°， (2)连接OA,OB,BC. 所以OB⊥AB. 因为CD⊥AB,CD是直径，所以AD=BD, 因为OB是⊙O的半径，所以AB是⊙O的切线. 所以∠ACD=∠BCD=30°，所以∠ACB=60°， (2)①在R△0AB中，∠A=0,所以0B=240,A0- 所以∠40B=2LACB=120,所以AB的长=120T×3 180 0B2+AB2. =2m 又因为AB=6,所以0B=25,所以BD的长为60m×25 180 7.()S能e-1206=12m(cm),制作50个需要 360 25π 12m×50=600m(cm2). 答：制作50个这样的纸帽至少需要600πcm2的扇形纸片. ②作0H1BC于H,则CH=BC=3 (2)连接点H和底面边缘A点，因为4配=120×π×6 180 在R△0CH中，因为LC=30°，所以0H= 2C0,c02= 4r(cm）, OH HC2, 所以该圆锥底面周长为4πcm, 所以0H=万，0B=0C=25,所以5度=BC×0M 所以AH=4知=2(cm. 2T 60 在Rt△OAH中，OA=6cm,根据勾股定理，得OH= =35,500=380m×(25)2=2m, √OA2-Af=42cm. 所以S阴影=SA0Bc+S扇形ODB=3V5+2m。 18.(1)因为PA,PB与⊙O相切于A,B两点，所以PA= 20.(1)证明：因为CD=C⑦，所以∠CAD=∠DBC PB.因为∠APB=60°，所以△PAB为等边三角形，所以AB= 因为∠DAB=∠CBA,所以AC=BD,∠CAD+∠DAB= PA=4. ∠DBC+∠CBA,即∠CAB=∠DBA. (2)连接AD,OB,因为PA,PB为⊙0的切线，所以OA⊥ .AC BD. PA,OB⊥PB,所以OP平分∠APB,OP垂直平分AB,所以 在△CAB和△DBA中， ∠CAB=∠DBA,所以△CAB≌ ∠AP0=号∠APB=30,所以∠A0P=60 AB AB. △DBA. 因为∠PAO=90°，PA=4,所以由勾股定理，得OA= (2)①如图10，当点C与点A重 45易得∠0A=∠H0=0 合时，连接OD,OM,过点M作ME⊥ 因为AB=号P=2,所以AD=2AE=4 AB于点E,线段ME的长度即为点MA(C) 0 到AB的距离 图10 在Rt△ADE中，由勾股定理，得DE=JAD-AE 因为直径AB=6,弦CD=3,所以OC=OD=CD=3, 25. 所以△COD是等边三角形. 易证得S△DE=S△BDE,S阴影AEc=S空白BBC, 因为M是cD的中点，所以CM=CD=子，OM1CD, 所以S阴影=S扇形Dc-S△DaE 180▣x4,5- 360 3 Γ2 ×2× 所以0M=V√0c2-CM=35 2 6 中考数学人教(GDY)第9~12期 四-0E, 所以ME=VOM-0E=√ r,则OD=r-2,OA=r,在Rt△AOD中，由勾股定理，得AD+ 0D2=0A2,即42+(r-2)2=2,解得r=5,所以⊙0的半径 所以当OE最大时，ME最小，而当C与A重合（或D与B重 为5. 合)时，OE最大 18.证明：(1)连接OE,因为EF为⊙O的切线，所以OE⊥ 因为△COD是等边三角形，M是CD的中点，所以∠MOC EF,所以∠OEF=90°.又因为AF⊥EF,所以∠AFE=90°，所 =30°，所以ME= 寸ow3 以∠OEF=∠AFE=90°，所以AF∥OE,所以∠FAE= 49 ∠AEO.又因为OE=OA,所以∠OAE=∠AEO,所以∠FAE= 即点M到AB的距离的最小值是35 ∠OAE,所以AC平分∠BAF D (2)连接OD,因为BC=AC,所以∠OAE=∠ABC.因为 ②如图11，由①知0M=3E 2 OA=OE=OB=OD,所以∠OEA=∠OAE=∠OBD= 所以点M的运动轨迹是以点O A(C) ∠ODB,所以∠AOE=∠BOD,所以BD=AE,所以CD=CE. 为圆心，3为半径的赢， 图11 四、19.(1)因为BE是⊙0的直径，所以∠BDE=90°.又 因为∠DBE=25°，所以∠E=90°-∠DBE=65°.因为四边 当C与A重合时，∠AOM=30°，同理，当D与B重合时， 形BCDE是⊙O的内接四边形，所以∠C+∠E=180°，所以 ∠B0M'=30°， ∠C=180°-∠E=115. 所以∠MOM'=120°，所以点M的运动路径长为 (2)因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠BCD 120m×3,3 +∠BAD=180°.又因为∠BCD=2∠BAD,所以3∠BAD= =√3π.故填3π. 180 180°，所以∠BAD=60°.因为BE是⊙O的直径，所以∠BAE= 第11期4版 90°，所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=30°，所以∠D0E= 2∠DAE=60° 重点集训营 20.(1)证明：连接OC,因为AB是⊙0的直径，所以 1.32 m;2.a;3.12. ∠ACB=90°，所以∠CAB+∠B=90°.因为OA=OC,所以 ∠CAB=∠ACO,所以∠AC0+∠B=90°.又因为∠ACD= 4图中阴影部分的面积为}。-25 ∠B,所以∠AC0+∠ACD=90°，即∠OCD=90°，所以OC⊥ CD.因为OC是⊙0的半径，所以CD是⊙0的切线. 第12期综合评估卷 (2)连接OC,OE,因为OB=OC,所以∠OCB=∠B= 题号12345678910 55°，所以∠C0B=70°.由(1)知0C⊥CD,又因为AD⊥CD, 答案BCBABDDD A D 所以AD∥OC,所以∠DA0=∠COB=70°.因为OA=OE,所 二、I1.在同一直线上的三点能确定一个圆： 以∠OEA=∠DA0=70°.因为AD∥OC,所以∠COE= 12.15°；13.√2；14.129°；15.4049m ∠0EA=70°.因为AB=2,所以⊙0的半径为1，所以EC的长 三、16.因为∠D=28°，所以∠B0C=2∠D=56°.因为 为70m×1.7 180=18m OC⊥AB,OA=0B,所以∠AOB=2∠B0C=112°，∠OAB= 21.(1)证明：连接OB,OP,因为PA与⊙0相切于点A,所 ∠0BA,所以∠0AB=(180°-∠A0B)=34 以OA⊥PA,所以∠OAP=90°.在△AOP和△BOP中， 17.(1)证明：因为C是弧AB的中点，所以AC=BC,所以 PA PB, AC=BC.因为OA=OB,所以OC垂直平分AB. OP=OP,所以△AOP≌△BOP,所以∠OBP=∠OAP= (2)设OC与AB交于点D,由(1)知，OC垂直平分AB,所 0A OB. 90°，所以OB⊥PB.因为OB为⊙0的半径，所以PB与⊙0相 以AD=2AB=4,∠ADC=∠AD0=90°.因为AC=25,所 切 以CD=√AC2-AD=√(25)2-42=2.设⊙0的半径为 (2)连接CB,因为△AOP≌△BOP,所以∠BPO= 7 中考数学人教(GDY) 第9~12期 ∠APO,∠BOP=∠AOP.因为∠APB=60°，∠OBP=∠OAP (2)证明：当x=m时y=r2+分，所以7(m,分m2+ =90°，所以∠AOB=120°，所以∠C0B=60°，∠B0P= ∠A0P=60°.又因为0C=OB,所以∠0CB=60°，所以OP∥ 子.过点T作M上x轴于点M,TN1)轴于点N,连接0， CB,所以△OCB和△PCB等底等高，所以SAOBC=S△PcB,所以 则TN=Iml,∠TWQ=90°.因为⊙T与x轴相切，TM⊥x轴， S阴影=S扇形0CB因为PA=43,∠0AP=90°，∠A0P=60°，由 所以r=7M=分2+分在△T0中，由勾股定理，得Ng 1 勾股定理，得01=4，所以S影=SaB=60Xx全 360 =0-=(分m2+2-m2=m-22+= 8 . (2m2-2, 五、22.证明：(1)连接BL,因为I是△ABC的内心，所以 ①当7-7≥0时，0=-7，所以00=r ∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠CBL.因为∠CAD=∠CBD,所以 ∠BAD+∠ABI=∠CAD+∠CBI=∠CBD+∠CBL.因为 N0=m2+分-（分m2-）=1,所以00,10： ∠BID=∠BAD+∠ABI,∠IBD=∠CBD+∠CBI,所以∠BID =∠IBD,所以DB=DL.因为OI⊥AD,所以A1=DL,所以AD ②当m2-分<0时，4Q=之-m2=PN,所以0P =2BD. =+P=++-=1所以P0,). (2)连接OB,OD,OD交BC于点E,因为∠BAD=∠CAD, 所以⊙T始终经过y轴上的定点(0,1) 所以BD=CD,所以OD⊥BC,BE=CE.因为OL⊥AD,IM⊥ AB,所以∠BED=∠AMI=90°，LA=DI.由(1)易得DB=LA. (3)由(2)知r=71=子m+7,所以0A=之=子m 因为∠DBE=∠DAC,∠IAM=∠DAC,所以∠DBE=∠IAM. 1 + 4, ∠BED=∠AMI, 在△DBE和△IAM中， ∠DBE=∠IAM,所以△DBE≌ ①当2-子≥0时，由(2)知此时点Q的坐标为0， DB IA. 1).若点A与点Q重合，则0A=1,所以S=0A2=1,所以当 △IAM,所以BE=AM,所以2BE=2AM.因为BC=2BE,所以 ⊙T与线段OA有交点时，S≥1； BC 2AM ②当)m-<0时，由(2)知00=r-0=2+ 23.(1)当m=2时，即点T的横坐标为 子-（分-㎡）=m,所以Q0,㎡)，若点4与点Q重合， 2.所以y=号×2+之=子，所以72， 各)如图12所示，过点T作1销于点 则01=00，所以子n+子=m,解得m= 9所以4。 M,TW⊥y轴于点N,连接TQ,则TW=2, 图12 号此时S=)当点T在)轴上时，01=子此时S=6故 ∠TWQ=90°.因为⊙T与x轴相切，TM⊥x轴，所以r=TM= 1 16≤S≤g 多，所以T0=子在△Q中，由勾股定理，得0 综上所述，正方形0ABC的面积S的取值范围为6≤S≤ 0-7N=子，所以P0=20=3. 9或S≥1. 1 一8国数学发展史上圆周率研究的帘纪元某同学在学习“制圆术“的过程中，作了一个如图4所示！的最小值为 《圆》综合评估卷 的圆接正八边形若⊙0的半径为2，这个圆内接正八边形的面积为 A.万 B.3 C.35 D./4 A.42 B.8反 C.42m D.82m 二、细心填一填{本大湖共5小题，每小划3分，共15分) 6如图5，四边形ACD内接于O0,AC是⊙0的直径，若∠ACD=∠DBC,AB=3.CD= 山.用反证法证明：“在日一直线上的三点不能确定一个置”，首光应股设 班级 姓名： 学号： 5正.鹏BC的长为 12如图0，PA.PB是O0的切线，切点分别为A,B,连0B,A8.如果∠P=30,那么 (考试用时：120分钟，满分：120分1 L0B4的度数为 A.3 B.2.5 C.5 D.4 题号 三 五 总分 得分 一，精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 写10 题号12345678910 13如图1.AB是⊙0的直径，点C,D在⊙0上，且AG■BC=2,∠BCD■30，则BD的 答案 7,图6是一把伞面呈圆弧形的雨伞的简易图.0 AC,而AC的圆心为0，若AB的度数 长为 1.若半径为5m的圆，其圆心到直线的距离是4m,则直线和圆的位置关系为 为45“，伞柄B0=60m,伞面的开距离AG为 ( 14如图12，四边形ABCD内接于⊙O,点/是△ABC的内心，点E在AD的延长线上，∠CDE A.相离 =8,则∠/C的度数为 B.相花 C,相5) D,无法定 A.45 cm B.30m C.60 cm D.60 em 2.如图1，CD是⊙0的直经，点A,B在⊙0上.若C=BC,LD=18,则∠A0C的度数为 .图7，在△ABC中，分别以点A和点B为题心，大于AB的长为半 经作，粥弧相交于D,E两点，作直线DE:分别以点B和点C为圆心.大于 1.9 B.18 C.36 D.45 2C的长为半径作到，两弧相交干F.G两点.作直线FG.直找DE与FG相 12 四13 120 交于点0，若以点0为圆，心.04为半径作圆，则下列说法错误的是() 5.如图3，四边形A5CD是正方形，曲线D4,B,C,DA,B…微“正方形的渐开线”，其 A.点B在⊙0上 B.⊙O是△4BC的外接圆 C.BC是⊙0的弦 D.0是△ABC的内心 DA,的圆心为点A,半径为AD,1,B的圆心为点B,华径为BL,:B,C,的圆心为点C,半径为 9,如图8，在四边形ACD中，先以点A为圆心，AB长为半径国，北狐恰好经过点C,再似 CB,:CD,的圆心为点D,半径为C,….瓜.B.C.CD的园心依次按A,B,C 3.如图2是某游乐场摩天轮的示意图，A,B表示率天轮上的两个折，点0是圆心，半径为 点C为圆心.CB长为半径画弧，此双恰好经过点无若AB=2存.则图中阴常分的面积为 D…陌环，当B=1时，则42eB2的长是 13m,圆心角∠A0B=12,则店的长为 三、耐心解一解（本大题共3小划，每小避7分，共21分》 A.5wm B.0= C. D.45m A.4x-6月 B,2m-35 16如图14.AB是⊙0的弦，0C1AB交⊙0于点C,点D是⊙0上一点，连接D.CD,若 4.如图3，团推的侧面展开图是一个明心角为72的扇彩，若骗形的半径1是5，则该圆的 c45-65 n-3 D■28°.求∠01B的度数 芪面圆的半径是 A.1 D.2 然 出3 出4 10如图9.在平面直角坐标系x0山中，直钱AB经过点A(6,0).B(0,6),⊙0的半径为2(0 5.刘微在（九章算术注）中首创“圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率.开创了中 为坐标原点》，点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙0的一条切线PQ,Q为切点，则切战长PQ 17.如图15.AB是⊙0的弦，C是AB的中点 20.如图18,4B为⊙0的直径，C为⊙0上一点.弦AE的红长线与过点C的直线互相通直， 23.【问题背最】 (1)连接0C.求证：0C垂直平分4B: 垂足为D,且∠ACD=∠B.连接BC (1)求证：CD是⊙0的切线： 如图21-①所际，点T是抛物线y一+子象上的动点，以点T为圆心的⊙T与特 (2)若AB=8.AC=23,求⊙0的半径 相团.设点了的横坐标为m,⊙T的半径为： (2)若AB■2.∠B=55°，求EC的长 【构建联系】 (1)当m=2时，⊙T与y轴交于P,Q两点，其中0P>00,求P0的长： (2)求证：无论m为何值.⊙T始终经过y轴上的个定点： 【深入探究】 (3)如图21-2所示.点A在y轴上.01=之，以线段0M为边作正方形0A8C当⊙7与 规段0A有交点时，求正方形0BC直积5的取值范围 18.如图16，已划△ABC,以AB为直径的⊙0与BC,AC分别交于点D.F.AF与过点E的切 找EF垂直.垂足为F 21.如图19，AC是⊙0的直径，4B弦，PA与⊙0相切于点A,连整PB,P℃，且P4=PB (1)求证：4C平分∠BAF: (1)求证：PB与⊙0相切： (2)当BC=AC时，求E:CD=CE (2)若∠APB=60°，PA=4,5.求PC,PB,弧C所围成图形的面积 五，耐心解一解（本大题共2小题，第22小通13分，第23小题14分，失27分） 四，耐心解一解（本大题兵3小题.夸小随9分，共27分） 22.如图20,1是△ABC的内心，A1的延长线和△ABC的外按题⊙0相交于点D,O1⊥D 9,已知四边形ABCD是回O的内接四边形，BE是⊙0的直径 (1)求证：AD=2B0: (I）如图17-①，连接DE和DR,若∠DBE=25“,求∠C的度数： (2)若M⊥AB于点，求证：BC=24W (2)如图17-②，连接A5和D,若∠BCD=2∠tD,求∠D0E的度数 ⊙ 数理报杜试题研究中心 第 (参考答案见下期)