专题08 正多边形与圆、弧长和扇形面积（期末真题汇编，天津专用）九年级数学上学期人教版

专题08 正多边形与圆、弧长和扇形面积 2大高频考点概览 考点01正多边形与圆的综合 考点02 弧长和扇形面积 地 城 考点01 正多边形与圆的综合 一、单选题 1．(24-25九上·天津南开区·期末)如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查正多边形和圆、正多边形的中心角的定义、圆周角定理等知识，连接、，则，由圆周角定理得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， ∵正五边形内接于， ∴， ∵P为上一点， ∴， 故选：B． 2．(24-25九上·天津静海区·期末)如图，的内接正六边形的边长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形与圆，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．连接、、，设与交于点，根据正六边形的性质可得，推出、是等边三角形，，，得到，，得到，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接、、，设与交于点， 多边形是正六边形， ， ， 、是等边三角形，，， ，， ， ， ， 故选：A． 3．(24-25九上·天津河西区·期末)下列说法中错误的是（   ） A．任意一个三角形都有内切圆 B．任意一个矩形都有外接圆 C．各边都相等的圆内接多边形一定是正多边形 D．各角都相等的圆内接多边形一定是正多边形 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆内接多边形，多边形的外接圆和内切圆， 根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A、任意一个三角形的三条角平分线都交于一点，且到三边的距离都相等，则以该点为圆心，该距离为半径画圆，可知任意三角形都有内切圆，所以A正确，不符合题意； B、任意矩形的对角线交于一点，且到四个顶点的距离相等，则以该点为圆心，该距离为半径画圆，可知任意矩形都有外接圆，所以B正确，不符合题意； C、各边都相等的圆内接多边形，则圆上的每段弧都相等，可得每个内角都相等，所以一定是正多边形，则C正确，不符合题意； D、圆内接四边形是矩形，矩形的四个角都相等，但不是正方形，所以D错误，符合题意． 故选：D． 4．(24-25九上·天津河西区·期末)下列说法中错误的是（   ） A．任意一个三角形都有内切圆 B．任意一个矩形都有外接圆 C．各边都相等的圆内接多边形一定是正多边形 D．各角都相等的圆内接多边形一定是正多边形 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆内接多边形，多边形的外接圆和内切圆， 根据定义逐项判断即可． 【详解】任意一个三角形的三条角平分线都交于一点，且到三边的距离都相等，则以该点为圆心，该距离为半径画圆，可知任意三角形都有内切圆，所以A正确； 任意矩形的对角线交于一点，且到四个顶点的距离相等，则以该点为圆心，该距离为半径画圆，可知任意矩形都有外接圆，所以B正确； 各边都相等的圆内接多边形，则圆上的每段弧都相等，可得每个内角都相等，所以一定是正多边形，则C正确； 圆内接四边形是矩形，矩形的四个角都相等，但不是正方形，所以D错误． 故选：D． 5．(24-25九上·天津河西区·期末)把一个圆三等分，经过三个分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的三角形，叫做这个圆的外切正三角形．如果这个圆的半径为，则它的外切正三角形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】为外切正三角形时，则，过作于点，作于点，则，，，然后证明，由全等三角形的性质可得，最后由直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，外切正三角形时，，过作于点，作于点， 则，，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴外切正三角形边长， 故选：． 【点睛】此题主要考查正多边形与圆，切线的性质，勾股定理，等边三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是根据题意作图，利用勾股定理求解． 6．(23-24九上·天津河北区·期末)正六边形的周长为6，则它的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求正六边形与圆．根据周长得到正六边形的边长，将正六边形的面积分成6个正三角形的面积之和，进行求解即可． 【详解】解：如图，设正六边形的一边为，外接圆的圆心为O，，垂足为C， ∵正六边形的周长为6， ∴，，是等边三角形， ∴，， ∴的面积为， ∴正六边形的面积为， 故选D． 7．(23-24九上·天津部分区·期末)如图，正六边形的中心为原点，顶点，在轴上，半径为4，则顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形与坐标，涉及正六边形性质、圆的性质、等边三角形的判定与性质，含的直角三角形性质及勾股定理，由图中坐标系，连接，如图所示，在中求出长即可得到答案，熟记含的直角三角形性质是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 在正六边形中，， 在圆中，， 是等边三角形，则，则与平行， ∴，则， 在中，，， 点的坐标为， 故选：B． 二、填空题 1．(24-25九上·天津第二十一中学·期末)一个正六边形的半径等于，则这个正六边形的周长等于 cm． 【答案】12 【分析】本题考查圆的内接多边形，根据圆内接正六边形的性质进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵六边形是的内接正六边形， ∴， 又∵， ∴是正三角形， ∴， ∴这个正六边形的周长等于. 故答案为：12 2．(24-25九上·天津第六十一中学·期末)正六边形的周长为6，则正六边形的半径为 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查正多边形和圆，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题． 由于正六边形可以由其半径分为六个全等的正三角形，而三角形的边长就是正六边形的半径，由此即可求解． 【详解】解：∵正六边形可以由其半径分为六个全等的正三角形， 而三角形的边长就是正六边形的半径， 又∵正六边形的周长为6， ∴正六边形边长为， ∴正六边形的半径等于1． 故答案为：1． 3．(23-24九上·天津第六十一中学·期末)半径为3的正六边形内接于，则正六边形的边长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查正多边形和圆，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．六边形是的内接正六边形，证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】解：解：如图，是的内接正六边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为． 4．(23-24九上·天津西青区·期末)如图，已知点是半径为的上任意一点，以点为圆心，为半径做弧，交于点，以点为圆心，为半径做弧交于点，同上述作图方法逆时针做出点，，，依次连接，则这个多边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查多边形的周长，解题的关键是根据作图可得多边形的边长等于圆的半径．据此解答即可． 【详解】解：∵的半径为， ∴ 根据作图过程可得：， ∴这个多边形的周长为：， 即这个多边形的周长为． 故答案为：． 地 城 考点02 弧长和扇形面积 一、单选题 1．(24-25九上·天津西青区·期末)已知圆锥的底面半径是3，母线长是5，则圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面积底面周长母线长，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：圆锥的侧面积． 故选：C． 2．(24-25九上·天津西青区·期末)已知圆锥的底面半径是3，母线长是5，则圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥侧面积公式，解题关键是熟记圆锥侧面积公式，正确计算即可． 【详解】解：圆锥的底面半径是3，母线长是5，则圆锥的侧面积为； 故选：C． 3．(23-24九上·天津西青区·期末)已知圆锥的侧面积是，母线长是4，则这个圆锥的底面圆周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆锥的计算，直接利用扇形的面积公式求解即可．解题的关键是理解：圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系，圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 【详解】解：设这个圆锥的底面圆周长为，则： ， 解得：， ∴这个圆锥的底面圆周长是． 故选：D． 4．(23-24九上·天津河西区·期末)一个扇形的半径为，面积是，则扇形的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形的面积公式；设扇形的圆心角为，根据扇形的面积公式列式求出n的值即可． 【详解】解：设扇形的圆心角为， 由题意得：， ∴， 即扇形的圆心角为， 故选：D． 5．(23-24九上·天津部分区·期末)如图，是的外接圆，的半径为3，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理、弧长公式，连接、，由圆周角定理可得，再根据弧长公式进行计算即可，熟练掌握圆周角定理以及弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、， ， ， ， 故选：A． 二、填空题 1．(24-25九上·天津西青区·期末)如图，为的直径，射线交于点，浮点是上一点，与射线位于直径同侧，连接，若，，，则阴影部分的面积为 （结果保留π）． 【答案】/ 【分析】本题考查圆周角定理，扇形的面积公式，等边三角形的判定及性质，连接交于点，连接、、，由，得为等边三角形，由得，进而得、为等边三角形，继而可知，可得，再结合阴影部分的面积即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点，连接、、， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴、为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， 故答案为：． 2．(24-25九上·天津第二十一中学·期末)如图，是的直径，是弦，，，则扇形的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 根据圆周角定理可以求得，然后根据扇形面积公式即可解答本题． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径，是弦，， ∴扇形的面积是：， 故答案为：． 3．(24-25九上·天津西青区·期末)如图，为的直径，射线交于点，点是上一点，与射线位于直径同侧，连接，若，，，则阴影部分的面积为 （结果保留π）． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角和圆心角定理，等边三角形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，以及扇形面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得出，进而得出是等边三角形，再根据圆周角及圆心角定理得到，从而得到四边形是平行四边形，得到，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵且是的直径， ∴ ， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： ． 4．(24-25九上·天津河西区·期末)一个扇形纸片的圆心角为，半径为，则这个扇形纸片的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式．根据扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：扇形的面积． 故答案为：． 5．(23-24九上·天津西青区·期末)如图，，是的切线，点，为切点，连接交于点，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查切线的性质，切线长定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角的直角三角形及勾股定理．连接，由切线的性质定理得到半径，半径，由切线长定理得到，由推出，，由平行线的性质推出，证明是等边三角形，得到，求出，继而求出扇形的面积，的面积，即可得到阴影部分的面积．解题的关键是求出扇形的面积和的面积． 【详解】解：连接， ∵，是的切线，点，为切点， ∴半径，半径，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵扇形的面积为：，， ∴阴影部分的面积扇形的面积， 即图中阴影部分的面积为． 故答案为：． 6．(23-24上·天津和平区第九十中学·期末)已知圆锥的底面圆的半径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角的大小= （度）． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是根据圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长来求出圆心角． 利用圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，根据弧长公式的计算即可． 【详解】解：圆锥的底面圆的周长， 圆锥的侧面扇形的弧长为， ， 解得：， 即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为． 故答案为：． 7．(23-24九上·天津滨海新区·期末)扇形的弧长为，弧所对的圆心角为，则此扇形的半径为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了弧长公式，设圆的半径为r，根据题意，得，计算即可． 【详解】设圆的半径为r，根据题意，得， 解得． 故答案为：9． 三 、解答题 1．(24-25九上·天津滨海新区·期末)如图，，为的半径，过点A作，过点B作，与相交于点P，连接交于点，连接，若，．      (1)求证：为等边三角形； (2)求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、扇形面积的计算，掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、30度角的直角三角形的性质、扇形面积的计算公式和三角形面积公式是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定与性质、平行线的性质和等边三角形的判定定理证明即可； （2）利用30度角的直角三角形和三角形面积公式求出，利用扇形面积公式求出，再由计算阴影部分的面积即可． 【详解】（1）证明：， ． 在和中， ． ，，． ， ．     ∵， ．     ． 为等边三角形． （2）解：由（1）可知． ，．     ， ． ．     ∴．    ∴扇形的面积为． ∴阴影部分的面积为． 2．(24-25九上·天津河西区·期末)如图，有一个圆形纸片，是弦，量得半径为，圆心角． (1)求弦的长； (2)若用剪刀剪下这个圆心角为的扇形，再用这个扇形围成一个圆锥，那么这个圆锥的底面圆的半径是多少？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）过点作于，则，然后由等腰三角形的性质可得，则，最后由勾股定理即可求解； （）设圆锥体底面半径为，再根据弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：过点作于， 由垂径定理得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：设圆锥体底面半径为， ∵该扇形的弧长等于圆锥体底面圆的周长， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，弧长公式，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 3．(23-24九上·天津宁河区·期末)如图，顶点的坐标分别为，，． (1)画出绕点A顺时针旋转后得到的； (2)在旋转的过程中，点B旋转到点时经过的路径长为______．（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查作图，旋转以及弧长公式，熟练掌握弧长的公式是解题的关键． （1）根据旋转的基本作图技巧画图即可； （2）根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：图形即为所求． （2）解：， ． 2 / 19 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 正多边形与圆、弧长和扇形面积 2大高频考点概览 考点01正多边形与圆的综合 考点02 弧长和扇形面积 地 城 考点01 正多边形与圆的综合 一、单选题 1．(24-25九上·天津南开区·期末)如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·天津静海区·期末)如图，的内接正六边形的边长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·天津河西区·期末)下列说法中错误的是（   ） A．任意一个三角形都有内切圆 B．任意一个矩形都有外接圆 C．各边都相等的圆内接多边形一定是正多边形 D．各角都相等的圆内接多边形一定是正多边形 4．(24-25九上·天津河西区·期末)下列说法中错误的是（   ） A．任意一个三角形都有内切圆 B．任意一个矩形都有外接圆 C．各边都相等的圆内接多边形一定是正多边形 D．各角都相等的圆内接多边形一定是正多边形 5．(24-25九上·天津河西区·期末)把一个圆三等分，经过三个分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的三角形，叫做这个圆的外切正三角形．如果这个圆的半径为，则它的外切正三角形的边长为（   ） A． B． C． D． 6．(23-24九上·天津河北区·期末)正六边形的周长为6，则它的面积为（   ） A． B． C． D． 7．(23-24九上·天津部分区·期末)如图，正六边形的中心为原点，顶点，在轴上，半径为4，则顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 1．(24-25九上·天津第二十一中学·期末)一个正六边形的半径等于，则这个正六边形的周长等于 cm． 2．(24-25九上·天津第六十一中学·期末)正六边形的周长为6，则正六边形的半径为 ． 3．(23-24九上·天津第六十一中学·期末)半径为3的正六边形内接于，则正六边形的边长为 ． 4．(23-24九上·天津西青区·期末)如图，已知点是半径为的上任意一点，以点为圆心，为半径做弧，交于点，以点为圆心，为半径做弧交于点，同上述作图方法逆时针做出点，，，依次连接，则这个多边形的周长为 ． 地 城 考点02 弧长和扇形面积 一、单选题 1．(24-25九上·天津西青区·期末)已知圆锥的底面半径是3，母线长是5，则圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·天津西青区·期末)已知圆锥的底面半径是3，母线长是5，则圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 3．(23-24九上·天津西青区·期末)已知圆锥的侧面积是，母线长是4，则这个圆锥的底面圆周长是（   ） A． B． C． D． 4．(23-24九上·天津河西区·期末)一个扇形的半径为，面积是，则扇形的圆心角为（    ） A． B． C． D． 5．(23-24九上·天津部分区·期末)如图，是的外接圆，的半径为3，，则的长是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 1．(24-25九上·天津西青区·期末)如图，为的直径，射线交于点，浮点是上一点，与射线位于直径同侧，连接，若，，，则阴影部分的面积为 （结果保留π）． 2．(24-25九上·天津第二十一中学·期末)如图，是的直径，是弦，，，则扇形的面积是 ． 3．(24-25九上·天津西青区·期末)如图，为的直径，射线交于点，点是上一点，与射线位于直径同侧，连接，若，，，则阴影部分的面积为 （结果保留π）． 4．(24-25九上·天津河西区·期末)一个扇形纸片的圆心角为，半径为，则这个扇形纸片的面积为 ． 5．(23-24九上·天津西青区·期末)如图，，是的切线，点，为切点，连接交于点，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）． 6．(23-24上·天津和平区第九十中学·期末)已知圆锥的底面圆的半径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角的大小= （度）． 7．(23-24九上·天津滨海新区·期末)扇形的弧长为，弧所对的圆心角为，则此扇形的半径为 ． 三 、解答题 1．(24-25九上·天津滨海新区·期末)如图，，为的半径，过点A作，过点B作，与相交于点P，连接交于点，连接，若，．      (1)求证：为等边三角形； (2)求图中阴影部分的面积（结果保留）． 2．(24-25九上·天津河西区·期末)如图，有一个圆形纸片，是弦，量得半径为，圆心角． (1)求弦的长； (2)若用剪刀剪下这个圆心角为的扇形，再用这个扇形围成一个圆锥，那么这个圆锥的底面圆的半径是多少？ 3．(23-24九上·天津宁河区·期末)如图，顶点的坐标分别为，，． (1)画出绕点A顺时针旋转后得到的； (2)在旋转的过程中，点B旋转到点时经过的路径长为______．（结果保留） 2 / 19 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $