第16期 13.1 勾股定理及其逆定理 13.2 勾股定理的应用-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（华东师大版2024）

初中数学·华东师大八年级第14~18期 数理括 答案详解 2025~2026学年 初中数学·华东师大八年级第14~18期(2025年10月) 第14期2版 线上 12.4逆命题和逆定理 6.过点P作PQ⊥BC于点Q,图略.因为AD⊥CD,所以 12.4.1互逆命题和互逆定理 ∠ADC=90°.因为AB∥CD,所以∠BAD=180°-∠ADC= 基础训练1.D;2.D; 90°.所以AD⊥AB.因为BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB, 3.一个三角形是等边三角形，这个三角形的三个内角都相 所以PA=PO=PD 等，三个内角都相等的三角形是等边三角形 第14期3版 4.(1)逆命题为无限小数是无理数，它是假命题： 题号1 234 5 678 (2)逆命题为如果两个直角三角形全等，那么它们的斜边 答案CBD BDBBA 和一条直角边分别对应相等，它是真命题， 二、9.3；10.如果两个实数的平方相等，那么这两个实数 5.(1)真； 相等，假：11.26：12.9. (2)(1)的逆命题“若BF=AE=CD,则△DEF是等边三 三、13.图略. 角形”成立.理由如下： 14.逆命题是：如果一个三角形两边上的高相等，那么这个 因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=∠BAC 三角形是等腰三角形. =60°，AB=BC=CA.所以∠EAF=∠FBD=∠DCE=120°. 已知：如图1，在△ABC中，BD⊥AC于 因为BF=AE=CD,所以AB+BF=BC+CD=CA+AE,即 点D,CE⊥AB于点E,且BD=CE.求证： AF=BD=CE.所以△AEF≌△BFD≌△CDE.所以EF=FD △ABC是等腰三角形. =DE.所以△DEF是等边三角形. 证明：因为BD⊥AC,CE⊥AB,所以 图1 12.4.2线段垂直平分线 ∠BDC=∠CEB=90°.在Rt△BCD和Rt△CBE中，因为BC= 基础训练1.A;2.A;3.5；4.15. CB,BD=CE,所以Rt△BCD≌Rt△CBE(HL).所以∠BCD= 5.设PA交l于点C,连结BC,图略.因为l是线段AB的垂 ∠CBE.所以AB=AC,即△ABC是等腰三角形 直平分线，所以CA=CB.所以PA=CA+CP=CB+CP>PB. 15.(1)如图2，连结PA,PB. 6.因为MP和NQ分别垂直平分AB和AC,所以AP=PB, PC. AQ=CQ.因为△APQ的周长为12，所以AQ+PQ+AP=12. 因为PE垂直平分AB,PM垂B 所以CQ+PQ+PB=BC+2PQ=12.因为BC=8,所以PQ 直平分AC,所以PA=PB,PA= =2. PC.所以PB=PC.所以点P在线 图2 12.4.3角平分线 段BC的垂直平分线上 基础训练1.B;2.C;3.3或5；4.117° (2)如图2，由(1)知PA=PB=PC,所以∠PAB= 5.过点O作OM⊥AB于点M,图略.因为BD是△ABC的 ∠PBA,∠PBF=∠PCN.因为PE垂直平分AB,所以FA=FB. 一条角平分线，OM⊥AB,OE⊥BC,所以OE=OM.由题意知 所以∠FAB=∠FBA.所以∠PAF=∠PBF.同理可得∠PAW OE=OF,OF⊥AC,所以OM=OF.所以点O在∠BAC的平分 =∠PCN.所以∠PAF=∠PAN,即AP平分∠FAN. 初中数学·华东师大八年级第14~18期 16.0E+0F=20D.理由如下： 所以△ABC≌△DEF(SSS).所以∠B=∠DEF=65°.又因为 过点P作PG⊥OB于点G,图略.所以∠FGP=90°.因为 ∠A=88°，所以∠ACF=∠A+∠B=153° PG⊥OB,PD⊥OA,OC平分∠AOB,所以PD=PG,∠EDP= 18.(1)因为点O是线段AB的中点，所以OA=OB.因为 90°.因为∠PE0+∠PF0=180°，∠PF0+∠PFG=180°，所 AC=AO,BD=BO,所以AC=BD.因为CE⊥AB,DF⊥AB, 以∠PEO=∠PFG.在△PED和△PFG中，因为∠PED= 所以∠CEA=∠DFB=90°.在Rt△AEC和Rt△BFD中，因为 ∠PFG,∠EDP=∠FGP,PD=PG,所以△PED≌ AC=BD,CE=DF,所以Rt△AEC≌Rt△BFD(HL).所以∠A △PFG(AAS).所以DE=GF.在Rt△POD和Rt△POG中，因为 =∠B. OP=OP,PD=PG,所以Rt△POD≌Rt△POG(HL).所以OD (2)由(1)得∠CE0=∠DF0=90.因为Rt△AEC≌ =OG.所以OE+OF=OD+DE+OF=OD+GF+OF=OD Rt△BFD,所以AE=BF.因为OA=OB,所以OA-AE=OB- +OG=20D. BF,即OE=OF.在△CEO和△DFO中，因为CE=DF,∠CEO 附加题1.因为DE是△ABD的高，所以∠AED=90°.又 =∠DFO,OE=OF,所以△CEO≌△DFO(SAS). 因为AD是△ABC的角平分线，∠ACD=90°，所以DE=DC. 19.(1)10: 在Rt△ADE和Rt△ADC中，因为AD=AD,DE=DC,所以 (2)因为∠ADB=90°，所以∠BDC=180°-∠ADB= Rt△ADE≌Rt△ADC(HL).所以AE=AC.所以AD垂直平分 90°.因为直线l垂直平分边BC,所以BD=CD.所以∠ACB= EC. ∠DBC=45° 2.(1)因为∠PAB=15°，∠ABC=45°，所以∠APC= (3)点P在边AB的垂直平分线上.理由如下： ∠PAB+∠ABC=60°.因为点C关于直线PA的对称点为D, 连结PA,PB,图略.因为直线I垂直平分边BC,点P在直线 所以∠APC=∠APD=60°.所以∠BPD=180°-∠APC- I上，所以PB=PC.因为点P在边AC的垂直平分线上，所以PA ∠APD=60° =PC.所以PA=PB.所以点P在边AB的垂直平分线上. (2)如图3，过点A作BD,DP的垂线， 20.(1)因为AE是△ABD的角平分线，所以∠BAD= 垂足分别为G,F.因为∠APC=∠APD,所 2∠BAE.因为AD为BC边上的高，所以∠ADB=90°.所以 以AH=AF.因为∠BDP=30°，∠BPD= ∠BAD+∠ABD=90°，即∠EBF+∠FBA+2∠BAF=90°.又 60°，所以∠DBP=90°.因为∠ABC= 图3 因为∠BFE=∠FBA+∠BAF=45°，所以∠EBF+∠BAF= 45°，所以∠GBA=∠DBP-∠ABC=45°=∠ABC.所以AG 45°.所以∠EBF=∠FBA,即BF平分∠ABE. =AH.所以AG=AF,所以点A在∠GDP的平分线上.因为 (2)如图4，过点F作FM1 BC于点M,FN⊥AB于点N.因为 ∠BDP=30,所以∠GDP=150.所以∠ADP=号∠GDP= BF平分∠ABE,所以FM=FV. 、 75°.因为点C关于直线PA的对称点为D,所以∠C=∠ADP= 因为SABr=SAF,即？AB·FN 75°.因为AH为△APC的高，所以∠AHC=90°.所以∠CAH= 图4 90°-∠C=15°.所以∠BAP=∠CAH. =BC·FM,所以AB=BC在△ABF和△CBF中，因为BA 第15期综合测评卷 =BC,∠ABF=∠CBF,BF=BF,所以△ABF≌ ~题号123456789101112 △CBF(SAS).所以∠AFB=∠CFB.因为∠BFE=45°.所以 答案BCA ACCDADCCD ∠AFB=135°.所以∠CFB=135°.所以∠AFC=360°- 二、13.如果两个角的和为180°，那么这两个角互为邻补 ∠AFB-∠CFB=90° 角，假；14.70°；15.1；16.2. 21.(I)因为AB=AC,所以∠ABC=∠C.因为BD=BC, 三、I7.因为BE=CF,所以BE+EC=CF+EC,即BC= 所以∠BDC=∠C.所以∠ABC=∠BDC.因为∠ABC= EF.在△ABC和△DEF中，因为AB=DE,AC=DF,BC=EF,: ∠ABD+∠DBC,∠BDC=∠A+∠ABD,所以∠A=∠DBC. 2 初中数学·华东师大八年级第14~18期 所以BD是△ABC的“等角分割线” AN=CD=6.所以CN=AN-AC=2.因为AC=CB,所以BC (2)因为AB=AC,所以∠ABC=∠C.所以∠A=180°- =EN.在△BCP和△ENP中，因为∠BPC=∠EPN,∠BCP= 2∠C.因为BD⊥AC,所以∠BDC=∠BDA=90°.所以∠ABD ∠ENP,BC=EN,所以△BCP≌△ENP(AAS).所以BP= =90°-∠A=2∠C-90°，∠DBC=90°-∠C.因为BD是 EP,CP=PN=1.所以AP=AC+CP=5.所以S△ABE=2S△BP △ABC的“等角分割线”，所以 =AP·BC=20 ①若∠A=∠ABD,则180°-2∠C=2∠C-90°，解得 第16期2版 ∠C=67.5°； 13.1勾股定理及其逆定理 ②若∠A=∠DBC,则180°-2∠C=90°-∠C,解得∠C 13.1.1直角三角形三边的关系 =90°（舍去）. 基础训练1.B;2.18;3.1. 综上所述，∠C的度数为67.5°. 4.(1)16+x2. （3)45°或00 (2)因为BD=3,CD=x,所以BC=BD+CD=3+x. 22.(I)因为EF⊥AC,AD⊥AE,所以∠AFE=∠EAD= 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB+AC2=BC2.又因为AB= ∠ACB=90°.所以∠DAC+∠ADC=90°，∠DAC+∠EAF= 5,4C=16+x2,所以52+16+2=(3+x)只.解得x= 3 90°.所以∠ADC=∠EAF.在△AFE和△DCA中，因为∠AFE 5.在Rt△ABC中，AB=2米，BC=L.5米，由勾股定理，得 =∠DCA,∠EAF=∠ADC,EA=AD,所以△AFE≌ AC=/AB+BC2=2.5米.在Rt△DEC中，DE=2.4米，EC △DCA(AAS).所以AC=EF=3,AF=DC=1.所以CF=AC -AF=2. =AC=2.5米，由勾股定理，得CD=√EC-DE=0.7米 (2)如图5，过点E作EM⊥AP,交AP的延长线于点M.因 所以BD=CD+BC=2.2米，即小巷的宽度为2.2米. 为EM⊥AP,AD⊥AE,所以∠AME=∠EAD=∠ACB=90°. 能力提高6.13或19. 所以∠DAC+∠ADC=90°，∠DAC+∠EAM=90°.所以 13.1.2直角三角形的判定 ∠EAM=∠ADC.在△AME和△DCA中，因为∠AME= 基础训练1.C;2.D;3.60;4.2. ∠DCA,∠EAM=∠ADC,AE=DA,所以△AME≌ 5.(1)在Rt△ABC中，AB=15,BC=9,由勾股定理，得 △DCA(AAS).所以EM=AC.因为BC=AC,所以BC=ME. AC2=AB2-BC=144.因为AD=5,DC=13,所以AD2+AC 在△BCP和△EMP中，因为∠BPC=∠EPM,∠BCP= =169=DC.所以△ACD是直角三角形，且∠CAD=90° ∠EMP,BC=EM,所以△BCP≌△EMP(AAS).所以BP= (2)由(1)得AC2=144,所以AC=12.所以S四边形BcD= EP.所以BE=2BP Mo---E S版+Sam=4C,BC+2AC:AD=7×12x9+分× 12×5=84. 13.1.3反证法 基础训练1.B;2.③④①②. 图5 图6 3.假设点M与点D重合.延长AM到N,使AM=MW,连结 (3)如图6，过点E作EN⊥AP,交AP的延长线于点N.因 BN,图略.因为AM是BC边上的中线，所以BM=CM.在 为DB=2,BC=4,所以CD=DB+BC=6.因为EN⊥AP, △AMC和△NMB中，因为CM=BM,∠AMC=∠NMB,AM= AD⊥AE,所以∠ANE=∠EAD=∠ACB=90°.所以∠DAC NM,所以△AMC≌△NMB(SAS).所以∠MAC=∠MNB,CA +∠ADC=90°，∠DAC+∠EAN=90°.所以∠ADC=∠EAN. =BN.因为AM(AD)是∠BAC的平分线，所以∠BAM= 在△ANE和△DCA中，因为∠ANE=∠DCA,∠EAN= ∠MAC.所以∠MNB=∠BAM.所以BN=AB.所以AC=AB, ∠ADC,EA=AD,所以△ANE≌△DCA(AAS).所以EN=AC,:这与AB>AC相矛盾.所以假设不成立，即点M与点D不重合 一3— 初中数学·华东师大八年级第14~18期 13.2勾股定理的应用 H 基础训练1.C;2.B;3.4m;4.10. 5.(1)因为AB2+BC2=202+152=625,AC2=252= 625,所以AB2+BC2=AC2.所以△ABC是直角三角形，且 D ∠ABC=90° 图7 图8 (2)设AD=x米，若点D恰好在边AC的垂直平分线上，则 当展开图如图8所示时，过点N作NP⊥BC于点P,则BP CD=AD=x米，BD=(20-x)米.在Rt△BDC中，由勾股定 =FN=3cm,NP=BF=5cm.所以PM=BM+BP=9cm. 理，得CD=BD2+BC,即x=(20-x)2+152,解得x=125 由勾股定理，得MW=√PM+PW2=√I06cm.因为10< 8 √106，所以它需要爬行的最短路程是10cm. 答：这架无人机向下飞行的距离(40的长)为冷米 附加题1.（1)>； 第16期3版 (2)<.理由如下： 过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D,图略.所以BD 题号12345678 =BC+CD=a+CD.在Rt△ABD中，AD2=AB2-BD2,在 Rt△ACD中，AD2=AC-CD,所以AB2-BD2=AC-CD2, 二、9.9；10.合格；118,10；12.28或8. 即c2-(a+CD)2=b2-CD2,整理，得a2+b2=c2-2a·CD. 三、13.(1)由勾股定理，得c=√a+6=92+40=41. 因为a>0,CD>0,所以a2+b2<c2 (2)因为a:b=3:4,所以设a=3k,b=4k(k>0).由 2.(1)方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角 勾股定理，得2=a2+2=(3k)2+(4k)2=252=(5k)2. 形的面积，即最后化简为c2+ab; 又因为c=10,所以5k=10,解得k=2.所以a=6,b=8. 方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积和+两个直 14.△ABC为直角三角形.理由如下： 角三角形的面积，即最后化简为a2+b2+ab. 因为CD是△ABC的高，所以∠ADC=∠BDC=90°.在 根据面积相等，直接得等式c2+ab=a2+b2+ab,所以a2 Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2=AD2+CD2=42+2=20. +b2=c2. 在Rt△CBD中，由勾股定理，得CB2=BD2+CD2=1+22= (2)因为HB=4千米，设CA=AB=x千米，则AH=(x 5.因为AB=AD+BD=4+1=5,所以AC+CB2=20+5 -4)千米，在Rt△ACH中，CH=6千米，由勾股定理，得CA2= =25=AB2.所以△ABC为直角三角形. CH+AH,即x2=6+(x-4)2,解得x=6.5,即CA=6.5千米 15.连结AB,过点C作CD⊥AB于点D,图略.由题意可得， 答：原路CA长6.5千米. BC=30km,AC=40km,∠ACB=90°.由勾股定理，得AB= 第17期综合测评卷 VAC+BC=50km因为Saa-4CC-B;D所以 题号123456789101112 2 2 答案CCBAACADBACC 00-09解得CD=24km因为24>23，所以这瘦轮 2 二、13.6；14.答案不惟一，如4；15.北偏西60°； 船沿着直线AB返航至港口B,没有触礁的危险. 162s或2 & 16.因为点N是FG的中点，FG=BC=6cm,所以FW= 三、17.因为AD⊥BC,所以∠ADB=∠ADC=90°.在 号FG=3m因为AB=9cm,AM=3m,所以BM=AB-AW Rt△ABD中，由勾股定理，得BD=√AB-AD=√17-8 =6cm.当展开图如图7所示时，因为BF=5cm,所以BW= =15.所以CD=BC-BD=21-15=6.在Rt△ACD中，由勾 BF+FW=8cm.由勾股定理，得MN=√BM+BW= 股定理，得AC=√AD2+CD=82+6=10. 10 cm 18.补充过程如下：所以S四边形BDE=S△ABc+S△EF+ 4 初中数学·华东师大八年级第14~18期 S张e5=2ab+ab+b(6-a）=,S和mE=Sa版+ AM BN MN =5.6. ②设BN=x,则MW=AB-AM-BN=12-4-x=8- sm=+(b+a)6-a）=2+8-20,所以 x.因为点M,N是线段AB的“勾股分割点”，AM为以AM,MN, 62= +8-0，所以。+= NB为边的三角形的直角边，且AM=4,所以当BN为直角三角 2 形的斜边时，BW2=MW2+AM2,即x2=(8-x)2+42,解得x 四、19.(1)由题意，得BC=80米，AB=100米，CD=BE =5,此时BW=5;当BW为直角三角形的直角边时，MN2= =1.5米，∠ACB=90°.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC= AM2+BW2,即(8-x)2=42+x2,解得x=3,此时BN=3. √/AB2-BC2=60米.所以AD=AC+CD=61.5米.所以风 综上所述，BW的长为3或5. 筝离地面的垂直高度为61.5米 第18期1,2版 (2)由题意，得BF=60米，A'B=100-32=68(米)，FG 14.1数据的收集 =BE=1.5米，∠A'FB=90°.在Rt△A'BF中，由勾股定理，得 基础训练1.B;2.D;3.0.2. A'F=√A'B-BF=32米.所以A'G=A'F+FG=33.5米. 4.(2)适宜用普查：(1)(3)适宜用抽样调查 61.5-33.5=28(米)，所以此时风筝下降28米 5.(1)总体是全年级1000名学生英语作业的完成情况； 20.(1)如图9所示，点P即为所求 A C 个体是每一名学生英语作业的完成情况；样本是抽取的100名 (2)如图9，过点B作BE垂直于AC于点 学生英语作业的完成情况；样本容量是100. E.由题意，得AC=AC=2cm,BE= (3)他们的抽样是简单随机抽样.因为简单随机抽样要求 10cm,CE=BD=26-4=22(cm).所以 图9 总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到，从全年级1000 AE=A,C+CE=24cm在Rt△A,BE中，由勾股定理，得AB 名学生中抽取100名进行调查，即总体中的个体被抽到的机会 =√A1E2+BE=26cm,即蚂蚁爬行的最短路径长是26cm. 均等，所以他们的抽样是简单随机抽样。 21.(1)因为AB=20,AC=16,BC=12,所以AC+BC 14.2数据的表示 =162+122=400,AB=202=400,所以AC2+BC2=AB2. 14.2.1频数分布直方图 所以△ABC是直角三角形. 基础训练1.C；2.8. (2)连结BE,图略.因为DE是AB的垂直平分线，所以AD 3.略 =BD,AE=BE.由(I)可得△ABC是直角三角形，且∠ACB= 4.(1)10%,18: 90°.设CE=x,则BE=AE=AC-CE=16-x.在Rt△BCE (2)补全频数分布直方图略； 中，由勾股定理，得CE2+CB2=BE2,即x2+122=(16-x)2, (3)估计成绩为优秀的学生有：280×20%=56（人）. 解得x=子所以Sam=Sc-S=4C·BC- 14.2.2扇形统计图 基础训练1.B;2.210. 2CE8c=75.所以5m=m=2空 2 3.(1)八年级(1)班的学生共有：6+11+15+10+8= 22.(1)点M,N不是线段AB的“勾股分割点”.理由如下： 50(人)，60及60分以上的学生有：11+15+10+8=44（人）， 因为AM=2,MW=3,NB=4,所以AM2+MN2=22+32 所以及格率为：号×100%=88%，优秀率为：0×10%= 44 =13≠NB2,所以以AM,MW,NB为边的三角形不是一个直角 16%, 三角形.所以点M,N不是线段AB的“勾股分割点” 15 (2)①因为点M,N是线段AB的“勾股分割点”，MW为以 (2)70~79分的人数最多，其百分比为：50×10%= AM,MW,WB为边的三角形的最长边，且AM=0.7,BN=2.4, 30% 所以MN=√AM+NB=√0.7+2.4=2.5.所以AB= (3)“优”所对的扇形圆心角的度数为：16%×360°= 初中数学·华东师大八年级第14~18期 51.6:良”所对的扇形圆心角的度数为：只x360°=72： 他的少进一些（答案不惟一，合理即可） 19.(1)组距是：85-80=5，组数是4. “中”所对的扇形圆心角的度数为： 1+15×360°=187.2： 50 (2)全校参加比赛的共有：5+10+6+3=24（人） “差”所对的扇形圆心角的度数为：品×360°=43.2绘制扇 (3)分数段在85~90范围内的人数最多，其频数是10，占 形统计图略。 参赛总人数的百分比为：兴×100%=1.7% 4.(1)150: 20.(1)选择甲公司订餐.理由如下： 甲公司送餐用时在24分钟和30分钟内波动，波动较小；乙 2)a=150-12-30=54-9=45,m%三0×100% 公司送餐用时在14分钟和35分钟内波动，波动较大， =36%,即m=36. (2)选择乙公司订餐.理由如下： (3120×品=96（人） 甲公司10个工作日送餐用时都超过20min,故送餐用时 答：估计该校最喜爱花样跳绳的学生人数为96. 超过20mim;乙公司10个工作日送餐用时的平均数为：10× 14.2.3容易误导读者的统计图 (20+18+21+16+34+32+15+14+35+15)=22(mim), 基础训练1.D;2.3. 接近20min. 3.(1)小明绘制的统计图能反映每一位同学的身高，但是 21.(1)该企业共有：30÷30%=100（人）. 容易给人一种错觉，如单从条形统计图来看，小华的身高好像 (2②)A档次所占百分比为：品×10%=20%，C档次的 是小丽的2倍； (2)此图会使人产生错觉，改正如图10所示. 有：10-20-30-10=40（人），所占百分比为：0×100%= -161 10 40%;D档次所占百分比为：100×100%=10%.填表略 (3)绘制扇形统计图略.A档次所对应的圆心角度数为： 360°×20%=72°；B档次所对应的圆心角度数为：360°×30% 姓 =108°；C档次所对应的圆心角度数为：360°×40%=144°；D 图10 档次所对应的圆心角度数为：360°×10%=36°. 第18期3,4版 22.(1)学校抽取的八年级同学有：12÷30%=40（名）. y、 题号123456789101112 (2)D组的人数为：40-4-12-16=8.补全频数分布直 答案BCBDCAADCBAD 方图略 二、13.0.25；14.39；15.48；16.14. (3)A组人数所占的百分比为：表×100%=10%，C组所 三、17.(1)总体是建造的长100km、宽0.5km的防护林 中树木的棵数；个体是一块长1km、宽0.5km的防护林中树木 对应的扇形圆心角度数为：360°×40%=144°. 的棵数：样本是从中选出的10块区域防护林中树木的棵数；样 (4)八年级学生中航天知识掌握情况达到优秀的有：500 本容量是10. ￥40 =100(名). (2)采用抽样调查的方式较好.理由是数量较大，耗费人 力、物力，不易调查 18.(1)25码的皮鞋的销量最大，其频率为：00=0.31 31 (2)因为25码的皮鞋的销量最大，所以在进货时应该多进 些25码的皮鞋，其次是24.5码的，再次是24和25.5码的，其 —64 素养·拓展 数理热 351-27126 数理据 2025年10月15日·星期三 初中数学 (上接第3版) 在学习了勾吸定理后。 专题辅导 纸发行质量反喷电话 第16期总第1160期 华东师大 2,(10分)著名的赵爽图如图3.其中四 我们经常会遇到求最短路 团服定理助眠最短潞修间题 0351-5271248 八年银 个直角三角形較大的直角边长都为，较小的直 径的问题.现针对该类回题 (上接4版参考答案】 角边长都为6，斜边长都为)，由此推导出直每 选取三例分析如下，供同学 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社辑出版 社长：徐文信国内统一连续出版物号：CN14-0707川下)邮发代号：21-20 三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角 门好. 0河南 孟雅婷 长方体中的最短路径 名师点晴 边长为a,b,斜边长为心，则a+= ,图柱体中的最短路径 例1如图1.别柱体琉清容器高12：m,底 例3如图5，已知长方体 的三条棱AB.BC,BD的长分 丽后长为24m年果侧后天1m的山A 的4.52.妈蚊从点A出发沿 判别真角三角形有方法 本周讲 处有一只蚂蚁，在妈蚁正对面客器外侧距上底 1勾股定理及其逆定 方体的表面爬行到点M的最短 2:m的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚊吃列蜂蜜所 。广东幸睿泽 学习目标：1体哈均殿定理的杯拿过程，会词 只 传行的最短距离为 解析：要求长方体表面两 如果三角形的已边长a,6,c满足a2+b2= D.三内年的度数之比为3：4：5 之的最短路径，最直接的做法就是将长方 2会运用对登定里的定理料定直三 ,那么这个三角形是直角三角形由此我们可 解析：根据三角形内角和定理和匈反定理 (1)现有4个全等的直角三角形（刷是 体展开，燃后利用“两点之问，找段最短”解答 以判刷直角三角形判刚直角三角形的基本思路 的逆定理可别三角形是香为直角三角形 分)，直角边长分别为a,b,斜边长为c,将它拼 注将长方体展开G妈蚁的爬行路线有3种，分 分册 我了解反法，会用反证法证明商单的通 合为如图4所示的形状1情你利用图4推上面的 选取最短的路程即可 是：①确定最长边c:2分别计算2和a2+6的 A.根娱三角形内角和定理可求得各角分别 队知重点：掌规为橙定里及其送定理的区川 关系式 1D北6，等长方本开，面与上面所在 值；若a+b2=c2,则△ABC是直角三角形： 为30,60,90°，所以北三角形是直角三角形 32勾股定理的应 的面开成月开形AB川N.由背，品AB=4 若a2++2,则△AC不是直角三角形. ,设三边长的平方分别为￥.2x,3x(x+0).因 学习口标：能成用匀程定里及其送定理桥 2》如5.在一东西正可覆的一 解析：如图2，将圆柱体玻璃容器的阅面展 RD=2D1=BC三5.J三D+DM 一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中B 开.EC为底面周长的一，过点A作AF⊥CD 方法一，已知具体雄段长度判别直角三角形 为+2x=3x,符合勾股定理的定理，所以 7.在△ABM中，由勾段定理，得AW AC,由干某种原因，由C到A的路现在已经不通， 点F,比时AB的长即妈蚁吃到锋蜜所爬行的 例！下列各组数中，以它们为边的三角彩 三角形是直角三角形：C设三边长分别为9： 认知重点：通过观察用形，培泰动手能力 65 分析能力 村为方便村民取水决定在河边新建 距亮由题意.得AF=EC=2em,CP=AE 不品直角三伯的品 4Dr,41x(x≠0)，因为(9x)2+(40x)2 点H(点A,H,B在-一是直线上】。其所餐一字路 =1m.0=2em.C):=2m月月IBF=C/ A.1.5,2,3 B.7.24.25 (41x)子，符合勾段定理的逆定理，所以此三角形 形的顶点上，则∠C的度数是 CH.且CH⊥AR薄得CH■千米，B4千 BD-CE=9em在B△ABF中，由股定理 C.6,8,10 D.3.4.5 是直角三角形：D.根据三角形内角和定理可 A.30 .36 C45 米.求原路CA长多少千米 得AB=√AF+BF=12+915(m 解析：要判断所给的一组线段能否组成直 得各角分别为45,60°.75°.所以北三角形不是 故填15. 角三角形，只要看两条较显线段长的平方和是直角三角形故选D, 二，正方体中的最短路相 否等于最长线段的平方即可. 方法三、己知三角形三边长满足的关系式 例2如图3是个棱长为1的正方体纸 ②如图7，将长方体展开，前面与右而所在 1.1.5+2=625≠3.不能构成直角三 判别直角三角形 合，若一日口中收要沿挡下片体好念的夷酒.认而 的平面形成长方形ACMB.由图 意，得AB 4 角形，故本法项符合题意：B.7+24=625= 例3若三角形的三边长a.bc满足|2一 点A阳到顶点B去觅食，则需要爬行的最短路程 BC=5,CM=BD=2.所以AC=AB+B 2)∠C的 25,能构成直角三角彩，故本法项不符合题意： 2-21+(4-)2=0,则此三角形的形状是 9.在t△ACM中，由勾段定理，得AM= A.店 c.5 34l C.62+82=100=10心.能构成直角三角形.故本 B2 0.3 解析：连结BC,先分别算出△AC三边长 AC+Cn=+2=5 法项不符合意：D,32+42=25=32,能构成直 解析：根掘色对值和平方的非负性以及勾 度的平方，再运用勾股定理的递定理得出 加制8客长片体展开 左面与上面所在的平面形成长 角三角形，故本远项不符合随急，故选A 段定理的逆定理即解答 △BAC是等蔽直角三角形，遗而得出∠B4C的 方影AFD.由意得AFBC 方法二，已如三角形的对应比判别直角 因为1c2-a2-621+(a-b)2=0,所以c2 度数 =5M=AR=4VF=8D 角形 -2=0,且a-b=0.所以2=2+b 图2车清BC期为每不小市方形的力场 2所以MF=N+NE=6在 例2 满足下列条件的三角形中，不是直角 且a=6所以此三角形是等直角三角形.故都是1，所以AB=+3=10,CB=2+3 解析：如图4，将正方体的制面展开，线段 R△AFW中，由勾股定理，得 角形的是 填等腰直角三角形 =10,4C=2+4=20.因为10+10=20，所 AB的长即为妈蚁等要爬行的最短路程，由题意 AF+MF= +6= A.三内角的度数之比为1：2：3 方法四，已如网格信息判别直角三角形 以AB+CB=AC.又因为AB=CF,所以 得BC=.AC=2,在R1△ABC中，由勾定理 因为√6①<5<5，航以妈蚊从点A B.三边长的平方之比为1：2：3 例4如图1，在4×4的正方形侧路中，每△B4C是等腰直角三角形所以∠BC=45 得AB=®C+AC=+2=5.以 出发沿长方体的表面爬行到点的最短路程是 面 C三边长之比为9：40：41 个小正方形的边长都是1，点A,B,C都在小正方 故选C 数理报社试研究中心 要爬行的最路程是5 参考答案见18圳) 故选C 故填6 EN. 在行可道中有一北篷目不具答口可 用股定理的模煤，要想利地解答四日，首先 第14期2版参考答案 个三用形两边上的高相，那么这个 A山 根据实际问构造直角三角形，现举例分析 为AD张 0,以E 角形铺路 L D 2.0 △ 加下，共学有门为考 物形的个内角都相 例！《九章算术》是中国 勾股定理解 2)元 统数学的重些著作之 ,的 。四川唐正江 以2 定了中打吉能数学的基本 如图2是高 前以∠AF0=∠OCC=90 里m1材中中线物一 欣千的示意图，小期从起 因为∠A0C=∠A0F+∠C06=90 折竹”问题：”今有竹高 始位图点A处绕着点0经 AOF+∠0AF=90 「0“，B之APm一∠0P=5",时街后C关F有年"A 1,4,2线段看直平分性 末析低地，去根三尺，问析者高几何？”题意是： 过最低点B.最终高到最高 所以∠COG■∠DAF 根竹千原高1丈(1支=0尺)，中部有一处 点心处.若.∠AUc=0, 在△AOF和△OCG中，因为∠AF0■ 243角平分 LP=∠CA 折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试同折断处离 点A与点B的高度差AD=I米，水平距离D L0GC,∠0AF■∠C0G.A00C 1B: 417 第15期综合测评柴参考答案 电面多高？答：折断处离地面 4米，测点C与点B的高度差CE为 所以△AOF≌△OCG(AAS). 多B CAACCDADCCD 分析：表题考查了勾股定理的应用，解题的 分析：过点A作AF⊥0B于点F,过点C作 所以OG=AP=BD=4米 二，3，里个角的和为，及这个角为笔 关是根据实际问题物象出数学形竹子 CG10B于点G.根据“AA5”可判定△A0F 设0A=x米，则0F=(￥-1)米 第14期3版参考答案 m,: 断后附好构造出一个直角三角移，科用句粒定△0CC,再根揭全￥三角形的性质可得0G 在△AFO中，由勾股定理，得AF+O 题号1284567 PEO 理即可求解， 4来.在t△AF0中，根据勾股定里可聚得A0 =0,即4+(x-1)2=x 客家C B D R D RR A 双1)0 ▣45 全文完】 解：设折断处离地面x尺高 最后根据假的级量关系即可求出点C与点B 解得x=8.5 (3)点P在边46的直平分找 G以N=DEFD+FF■N (下转1,4题中缝) 根据图意，得x+3=(10-x) 分高度美CE 所以0君=0A.5米 解得x455 解：如图2，过点A作AF⊥0B于点F,过点 所以CE=GB=0B-0G=4.5米 故填455. C作GG⊥OB于点G 故填4,5 2 素养专练 数理极 数理极 素养·测评 13 13.1.2直角三角形的判定 132勾殷定理的应用 15.《14分》如37，一个小小克的白不图 跟踪训练 每团调练 厚础训练 同步检测 越，分布在以小岛C为圆心，半径r为23k 的圆形区域内.小岛C位干轮船A正西方向0km 1,下列各组数中，是勾股数的是 L安配地处戴云山脉东南坡，山峦起庆，地形 处，港口B位于小岛C正北方向30km处，如果轮 TONGBUJIANCE- 13,1勾股定理及其逆定理 A1,12 B.0.30.4.0. 较为复杂，如图1，在A村与B村之问有一座大山 妈沿着直线AB返航至港口B,那么它是否有触糖 【检测范周：13.113.2】 131,1直角三角形三边的关系 C.5,12.13 0.9.15.17 原来从A村到B村.需沿道路A→C→B(∠C= 的危险？请通过计算说明理由. 2.一个零件的形状如 精心选一选（每小题4分，共32分】 二、细心填一填（每小题4分，共6分）】 使型罐练 0)绕过村庄的大山，打通A,B间的道后，就 图1所示，按规定这个零 4 345 67 9.若△ABC的三边长为a,6,c.边长e 可直接从A村到B村.若AC=9km.BC=12km 3.则2+62 1.图1，在由边长为1个单位长度的小正方 件中的∠A和∠BDC配高 们通遂道后从A付到B比原来减少的路程为 答堂 D.木工师博要做一不长方形桌面，攸好后量 形组成的网格中，点A,B都是格点（中网格线的交 为直角，将量得的这个零 【.如图1，若正方形A的面积为9，正方形B的 件各边尺寸标注在图「 得长为2m,宽为9m,对角线为5m,这个桌面 点)，则线段AB的长为 4.4km B.5 km C 6 km D.7 k 积为4，则正方衫C的面积为 （“合格“或“不合格"). A.2 C 6 中，由北可知 A13 B.5 C.36 0.7 1被营为“中国数学界的图”的“赵爽蕊 A,∠A符合要求 图”，是用四个全等的直角三角形拼成如图5-① B.∠BDC符合要求 美 所示的大正方形中北一个正官形，其中直角 C.∠A和∠BDC都符合要求 三角形的直角边长分别为，(u<),边长为 D.∠A和∠BDC都不符合要求 用2 1(16分)如图8是放在地面上的一个长方 “现将这四个直角三角形无隙，无重在拼接成 3.在△ABC中，AB=8em,BC=15m,AC 2.如图2，有两樱树，一樱高12m,另一棵高 体盒子，其中AB=9cm.BC=6cm,BF=5m 如图5-②所示图形ABCDEFGH.若该图形的周 17cm,则△ABC的面积等于 em'. 6m,两树相距8m一只小鸟从一侯树的树梢飞 点M在按AB上，且AM=3em,点N是FG的中点， 2,加图2，所有涂色四边形都是正方形，所有 2在R△ABC中：4.,e分别是∠A,∠B.∠C 长为48,0H=6,则6 4.若个三角形的三边长分别是m+【,m 到另一侯树的树，则小鸟至少飞行 只蚂数要沿着长方体盒子的两个外表面从点M 三角形都是直角三角形若正方形A,B,C的面积 A.8 m B.10 m C.12 m D.14 m 所对的边，若∠A+上C=0°，则下面等式成立的 2,周+3，当= 时，它是直角三角形 爬行到点N,它需要爬行的最短路程是多少（盒子 分别为3,9,6，则正方形D的面积为 5.已知：如图2，在四边形ABCD中，∠ACB 3.如图3，有一个由传惑器控制的灯人，要装 是 3,如图3，已知AC= A.a+=c B.m2-2=c 面妈城无法列达)☒ 90°，AB=15,BC=9.AD=5.DC=13. 在门上方的墙上，且离地高4.5m,任何东西只要 BC,数轴上点B所表示的 C.m2+2=5 D.a2-2=2 (1)求∠CD的度数； 与该灯相距5m及5m以内，灯就会自动发光，则 数是 3下列各细数是匀股数的是 (2)求四边形ABCD的面积 -名身高1,5m的学生(CD)在灯明好发光时肉 4.如图4.在△ABC中. A.23.4 B.3,4.6 的距离CE为 C.6.8.10 ∠BAC=0,AD⊥BC,面 D.4,6,7 12在△A5C中，若AB=26.AC=30,高A 足为D.已知BD=3AB=5.设CD长为x. 4用反证法证明命题“四边形中至少有 =24.则BC的长为 角不是锐角”时，应先假设 (1)根据匀段定理，得AC= 三、耐心解一解（共52分） A没有一个角是纯角或直年 x的代数式表市，结果需化筑)： 13(12分)在R△ABG中，∠C=90°，∠A B.至多有一个钟角或直角 (2)求*的值 ∠B,∠心所时的边分》为m,b,C C没有一个角是锐角 E4 (1)若=9.6=40,求e的值： 附加题⊙ D.设有一个角是钝角 4.如图4所示的圆柱彩形玻璃杯高为0cm, 5.如图2.有一个圆柱形油罐，油的张面周 (2)若g:6■3：4，e■10，求m,6的值 (以下试题供各地根据实称情沉选用) 面周长为16cm,在杯内离杯底4m的点C处有 长是12m,高5m,要从A点环绕油赠建梯子，正好 1.(10分)顶目化学习. 一只努正好在杯外壁的点A处 到达A的正上方的B点，则梯了最短需要( 【项目主题】探究斜三角形二边的数量关系。 凤妈蚁到达蜂的最短距离为 em A.12mB.13mC.17mD.20m 【项目内客】学习了勾服定理后，同学门知道 5.如图5 一果无人机旋停在空中点A处，点 13.1.3反证法 6在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为 了直角三角形两条较小边的平方和等丁最大边的 A与非面上点B之间的距离AB=20米，点A与地 :,b,c,下列条件中不能判断△ABC是直角三角形 平方.数学长小明在计其刚上对神角三角开形和 原型调练 面上点C(点B,C处于同一水平面上)之间的距奥 的是 锐角三角形三边的数量关系产生了浓厚的兴趣 AC■25米，且BC=5米 A.∠A+∠B∠C 准备展开探究 1.“已知2=，a>0,b>0.求证：a=“ (1)求∠ABC的度数： B.6+2=a2 【项目任务】任务一：1)如图1，△ABG是的 5.图5.小巷左右两随是竖直的墙，一织梯 若用反证法证明.则应假设 (2》现这架无人机沿AB所在直线向下飞行 .a:6:e=5:12:I3 角三角形.∠A,∠B,∠C的对边分别是4，b,c,试 子AC斜靠在右楼上，测得梯子顶端距离地面 A.柱=b B.a≠b 至点D处，若点D恰好在边AC的垂直平分线上 D.∠A:∠B:∠C=5:12113 比较m2+2与2的大水 2米即AB=2米，稀子底州距右墙底端1.5米， C.a2= D.2≠ 连结CD.求这架无人机向下飞行的距离(AD的 T.如图3，长方形纸片ABCD中，AB=3m 即BC1,5米，梯子底端位置不动，将梯子料 2,已知：在△ABC中，AB=AC,求证：∠B AD=9cm,将比长方形纸片折叠，使点D与点B重 在墙计，西高地而2.4米ID￡=2.4米 如，下面是用反证法证明这个命题的四个步骤 合，点C落在点∥的位置.折寝为EF,则△ABE的 求小花的宽度 D所以∠A∠B+∠C>180°，这与三角形内月 面积为 ( 14.(10分)如图6.CD是△ABC的高，已知AD 和为1D°子盾：②因此假设不成立，所以∠B A.6m2 B.8 er =4,BD=1,CD=2,试判断△ABC的形状，井说 0°：遇假设在△ABC中，∠B≥90°：④由AB D.122 明理由， AC,得∠B=∠C≥90，即∠B+∠C3180”这 兴趣小组的思路是：如图1，过点A作AD⊥BC 四个步原正确的顺序应是 《狼序号》， 于点D.构造出Rt△ACD和R△4BD,设CD=x 3.如图，在△ABC中，AB>AC,AD是∠BA( 利用勾反定理通过A)相等得到等量关系，最后可 的平分线，AM是BC边上的中线，用反证正法正明点 得到结论2◆ 与点D不重合 任务二：(2)如图2，△ABC是纯角三角形，且 8如图4，正方形ACD的边长为4，其面积标 LC是钝角，∠A,∠B,∠C的对边分例是a,,c,猜 记为S,以CD为斜边作等腰直角三角形，以该 想：42+6已 (填“之“=”我“心“)，井 腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方 说明理由 形，其面标记为5，…，按照此规律继线下去，若 唯刀提高 6,若一直角三角形的两边长分捌为12和5， 数理报社试题研究中心 =则的值为 则阅三边长为 (参考答案见18期 A.2024B.2025C.2026D.2027 (下转第4版)