第14期 12.4 逆命题和逆定理-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（华东师大版2024）

初中数学·华东师大八年级第14~18期 数理括 答案详解 2025~2026学年 初中数学·华东师大八年级第14~18期(2025年10月) 第14期2版 线上 12.4逆命题和逆定理 6.过点P作PQ⊥BC于点Q,图略.因为AD⊥CD,所以 12.4.1互逆命题和互逆定理 ∠ADC=90°.因为AB∥CD,所以∠BAD=180°-∠ADC= 基础训练1.D;2.D; 90°.所以AD⊥AB.因为BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB, 3.一个三角形是等边三角形，这个三角形的三个内角都相 所以PA=PO=PD 等，三个内角都相等的三角形是等边三角形 第14期3版 4.(1)逆命题为无限小数是无理数，它是假命题： 题号1 234 5 678 (2)逆命题为如果两个直角三角形全等，那么它们的斜边 答案CBD BDBBA 和一条直角边分别对应相等，它是真命题， 二、9.3；10.如果两个实数的平方相等，那么这两个实数 5.(1)真； 相等，假：11.26：12.9. (2)(1)的逆命题“若BF=AE=CD,则△DEF是等边三 三、13.图略. 角形”成立.理由如下： 14.逆命题是：如果一个三角形两边上的高相等，那么这个 因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=∠BAC 三角形是等腰三角形. =60°，AB=BC=CA.所以∠EAF=∠FBD=∠DCE=120°. 已知：如图1，在△ABC中，BD⊥AC于 因为BF=AE=CD,所以AB+BF=BC+CD=CA+AE,即 点D,CE⊥AB于点E,且BD=CE.求证： AF=BD=CE.所以△AEF≌△BFD≌△CDE.所以EF=FD △ABC是等腰三角形. =DE.所以△DEF是等边三角形. 证明：因为BD⊥AC,CE⊥AB,所以 图1 12.4.2线段垂直平分线 ∠BDC=∠CEB=90°.在Rt△BCD和Rt△CBE中，因为BC= 基础训练1.A;2.A;3.5；4.15. CB,BD=CE,所以Rt△BCD≌Rt△CBE(HL).所以∠BCD= 5.设PA交l于点C,连结BC,图略.因为l是线段AB的垂 ∠CBE.所以AB=AC,即△ABC是等腰三角形 直平分线，所以CA=CB.所以PA=CA+CP=CB+CP>PB. 15.(1)如图2，连结PA,PB. 6.因为MP和NQ分别垂直平分AB和AC,所以AP=PB, PC. AQ=CQ.因为△APQ的周长为12，所以AQ+PQ+AP=12. 因为PE垂直平分AB,PM垂B 所以CQ+PQ+PB=BC+2PQ=12.因为BC=8,所以PQ 直平分AC,所以PA=PB,PA= =2. PC.所以PB=PC.所以点P在线 图2 12.4.3角平分线 段BC的垂直平分线上 基础训练1.B;2.C;3.3或5；4.117° (2)如图2，由(1)知PA=PB=PC,所以∠PAB= 5.过点O作OM⊥AB于点M,图略.因为BD是△ABC的 ∠PBA,∠PBF=∠PCN.因为PE垂直平分AB,所以FA=FB. 一条角平分线，OM⊥AB,OE⊥BC,所以OE=OM.由题意知 所以∠FAB=∠FBA.所以∠PAF=∠PBF.同理可得∠PAW OE=OF,OF⊥AC,所以OM=OF.所以点O在∠BAC的平分 =∠PCN.所以∠PAF=∠PAN,即AP平分∠FAN. 初中数学·华东师大八年级第14~18期 16.0E+0F=20D.理由如下： 所以△ABC≌△DEF(SSS).所以∠B=∠DEF=65°.又因为 过点P作PG⊥OB于点G,图略.所以∠FGP=90°.因为 ∠A=88°，所以∠ACF=∠A+∠B=153° PG⊥OB,PD⊥OA,OC平分∠AOB,所以PD=PG,∠EDP= 18.(1)因为点O是线段AB的中点，所以OA=OB.因为 90°.因为∠PE0+∠PF0=180°，∠PF0+∠PFG=180°，所 AC=AO,BD=BO,所以AC=BD.因为CE⊥AB,DF⊥AB, 以∠PEO=∠PFG.在△PED和△PFG中，因为∠PED= 所以∠CEA=∠DFB=90°.在Rt△AEC和Rt△BFD中，因为 ∠PFG,∠EDP=∠FGP,PD=PG,所以△PED≌ AC=BD,CE=DF,所以Rt△AEC≌Rt△BFD(HL).所以∠A △PFG(AAS).所以DE=GF.在Rt△POD和Rt△POG中，因为 =∠B. OP=OP,PD=PG,所以Rt△POD≌Rt△POG(HL).所以OD (2)由(1)得∠CE0=∠DF0=90.因为Rt△AEC≌ =OG.所以OE+OF=OD+DE+OF=OD+GF+OF=OD Rt△BFD,所以AE=BF.因为OA=OB,所以OA-AE=OB- +OG=20D. BF,即OE=OF.在△CEO和△DFO中，因为CE=DF,∠CEO 附加题1.因为DE是△ABD的高，所以∠AED=90°.又 =∠DFO,OE=OF,所以△CEO≌△DFO(SAS). 因为AD是△ABC的角平分线，∠ACD=90°，所以DE=DC. 19.(1)10: 在Rt△ADE和Rt△ADC中，因为AD=AD,DE=DC,所以 (2)因为∠ADB=90°，所以∠BDC=180°-∠ADB= Rt△ADE≌Rt△ADC(HL).所以AE=AC.所以AD垂直平分 90°.因为直线l垂直平分边BC,所以BD=CD.所以∠ACB= EC. ∠DBC=45° 2.(1)因为∠PAB=15°，∠ABC=45°，所以∠APC= (3)点P在边AB的垂直平分线上.理由如下： ∠PAB+∠ABC=60°.因为点C关于直线PA的对称点为D, 连结PA,PB,图略.因为直线I垂直平分边BC,点P在直线 所以∠APC=∠APD=60°.所以∠BPD=180°-∠APC- I上，所以PB=PC.因为点P在边AC的垂直平分线上，所以PA ∠APD=60° =PC.所以PA=PB.所以点P在边AB的垂直平分线上. (2)如图3，过点A作BD,DP的垂线， 20.(1)因为AE是△ABD的角平分线，所以∠BAD= 垂足分别为G,F.因为∠APC=∠APD,所 2∠BAE.因为AD为BC边上的高，所以∠ADB=90°.所以 以AH=AF.因为∠BDP=30°，∠BPD= ∠BAD+∠ABD=90°，即∠EBF+∠FBA+2∠BAF=90°.又 60°，所以∠DBP=90°.因为∠ABC= 图3 因为∠BFE=∠FBA+∠BAF=45°，所以∠EBF+∠BAF= 45°，所以∠GBA=∠DBP-∠ABC=45°=∠ABC.所以AG 45°.所以∠EBF=∠FBA,即BF平分∠ABE. =AH.所以AG=AF,所以点A在∠GDP的平分线上.因为 (2)如图4，过点F作FM1 BC于点M,FN⊥AB于点N.因为 ∠BDP=30,所以∠GDP=150.所以∠ADP=号∠GDP= BF平分∠ABE,所以FM=FV. 、 75°.因为点C关于直线PA的对称点为D,所以∠C=∠ADP= 因为SABr=SAF,即？AB·FN 75°.因为AH为△APC的高，所以∠AHC=90°.所以∠CAH= 图4 90°-∠C=15°.所以∠BAP=∠CAH. =BC·FM,所以AB=BC在△ABF和△CBF中，因为BA 第15期综合测评卷 =BC,∠ABF=∠CBF,BF=BF,所以△ABF≌ ~题号123456789101112 △CBF(SAS).所以∠AFB=∠CFB.因为∠BFE=45°.所以 答案BCA ACCDADCCD ∠AFB=135°.所以∠CFB=135°.所以∠AFC=360°- 二、13.如果两个角的和为180°，那么这两个角互为邻补 ∠AFB-∠CFB=90° 角，假；14.70°；15.1；16.2. 21.(I)因为AB=AC,所以∠ABC=∠C.因为BD=BC, 三、I7.因为BE=CF,所以BE+EC=CF+EC,即BC= 所以∠BDC=∠C.所以∠ABC=∠BDC.因为∠ABC= EF.在△ABC和△DEF中，因为AB=DE,AC=DF,BC=EF,: ∠ABD+∠DBC,∠BDC=∠A+∠ABD,所以∠A=∠DBC. 2 初中数学·华东师大八年级第14~18期 所以BD是△ABC的“等角分割线” AN=CD=6.所以CN=AN-AC=2.因为AC=CB,所以BC (2)因为AB=AC,所以∠ABC=∠C.所以∠A=180°- =EN.在△BCP和△ENP中，因为∠BPC=∠EPN,∠BCP= 2∠C.因为BD⊥AC,所以∠BDC=∠BDA=90°.所以∠ABD ∠ENP,BC=EN,所以△BCP≌△ENP(AAS).所以BP= =90°-∠A=2∠C-90°，∠DBC=90°-∠C.因为BD是 EP,CP=PN=1.所以AP=AC+CP=5.所以S△ABE=2S△BP △ABC的“等角分割线”，所以 =AP·BC=20 ①若∠A=∠ABD,则180°-2∠C=2∠C-90°，解得 第16期2版 ∠C=67.5°； 13.1勾股定理及其逆定理 ②若∠A=∠DBC,则180°-2∠C=90°-∠C,解得∠C 13.1.1直角三角形三边的关系 =90°（舍去）. 基础训练1.B;2.18;3.1. 综上所述，∠C的度数为67.5°. 4.(1)16+x2. （3)45°或00 (2)因为BD=3,CD=x,所以BC=BD+CD=3+x. 22.(I)因为EF⊥AC,AD⊥AE,所以∠AFE=∠EAD= 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB+AC2=BC2.又因为AB= ∠ACB=90°.所以∠DAC+∠ADC=90°，∠DAC+∠EAF= 5,4C=16+x2,所以52+16+2=(3+x)只.解得x= 3 90°.所以∠ADC=∠EAF.在△AFE和△DCA中，因为∠AFE 5.在Rt△ABC中，AB=2米，BC=L.5米，由勾股定理，得 =∠DCA,∠EAF=∠ADC,EA=AD,所以△AFE≌ AC=/AB+BC2=2.5米.在Rt△DEC中，DE=2.4米，EC △DCA(AAS).所以AC=EF=3,AF=DC=1.所以CF=AC -AF=2. =AC=2.5米，由勾股定理，得CD=√EC-DE=0.7米 (2)如图5，过点E作EM⊥AP,交AP的延长线于点M.因 所以BD=CD+BC=2.2米，即小巷的宽度为2.2米. 为EM⊥AP,AD⊥AE,所以∠AME=∠EAD=∠ACB=90°. 能力提高6.13或19. 所以∠DAC+∠ADC=90°，∠DAC+∠EAM=90°.所以 13.1.2直角三角形的判定 ∠EAM=∠ADC.在△AME和△DCA中，因为∠AME= 基础训练1.C;2.D;3.60;4.2. ∠DCA,∠EAM=∠ADC,AE=DA,所以△AME≌ 5.(1)在Rt△ABC中，AB=15,BC=9,由勾股定理，得 △DCA(AAS).所以EM=AC.因为BC=AC,所以BC=ME. AC2=AB2-BC=144.因为AD=5,DC=13,所以AD2+AC 在△BCP和△EMP中，因为∠BPC=∠EPM,∠BCP= =169=DC.所以△ACD是直角三角形，且∠CAD=90° ∠EMP,BC=EM,所以△BCP≌△EMP(AAS).所以BP= (2)由(1)得AC2=144,所以AC=12.所以S四边形BcD= EP.所以BE=2BP Mo---E S版+Sam=4C,BC+2AC:AD=7×12x9+分× 12×5=84. 13.1.3反证法 基础训练1.B;2.③④①②. 图5 图6 3.假设点M与点D重合.延长AM到N,使AM=MW,连结 (3)如图6，过点E作EN⊥AP,交AP的延长线于点N.因 BN,图略.因为AM是BC边上的中线，所以BM=CM.在 为DB=2,BC=4,所以CD=DB+BC=6.因为EN⊥AP, △AMC和△NMB中，因为CM=BM,∠AMC=∠NMB,AM= AD⊥AE,所以∠ANE=∠EAD=∠ACB=90°.所以∠DAC NM,所以△AMC≌△NMB(SAS).所以∠MAC=∠MNB,CA +∠ADC=90°，∠DAC+∠EAN=90°.所以∠ADC=∠EAN. =BN.因为AM(AD)是∠BAC的平分线，所以∠BAM= 在△ANE和△DCA中，因为∠ANE=∠DCA,∠EAN= ∠MAC.所以∠MNB=∠BAM.所以BN=AB.所以AC=AB, ∠ADC,EA=AD,所以△ANE≌△DCA(AAS).所以EN=AC,:这与AB>AC相矛盾.所以假设不成立，即点M与点D不重合 一3— 初中数学·华东师大八年级第14~18期 13.2勾股定理的应用 H 基础训练1.C;2.B;3.4m;4.10. 5.(1)因为AB2+BC2=202+152=625,AC2=252= 625,所以AB2+BC2=AC2.所以△ABC是直角三角形，且 D ∠ABC=90° 图7 图8 (2)设AD=x米，若点D恰好在边AC的垂直平分线上，则 当展开图如图8所示时，过点N作NP⊥BC于点P,则BP CD=AD=x米，BD=(20-x)米.在Rt△BDC中，由勾股定 =FN=3cm,NP=BF=5cm.所以PM=BM+BP=9cm. 理，得CD=BD2+BC,即x=(20-x)2+152,解得x=125 由勾股定理，得MW=√PM+PW2=√I06cm.因为10< 8 √106，所以它需要爬行的最短路程是10cm. 答：这架无人机向下飞行的距离(40的长)为冷米 附加题1.（1)>； 第16期3版 (2)<.理由如下： 过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D,图略.所以BD 题号12345678 =BC+CD=a+CD.在Rt△ABD中，AD2=AB2-BD2,在 Rt△ACD中，AD2=AC-CD,所以AB2-BD2=AC-CD2, 二、9.9；10.合格；118,10；12.28或8. 即c2-(a+CD)2=b2-CD2,整理，得a2+b2=c2-2a·CD. 三、13.(1)由勾股定理，得c=√a+6=92+40=41. 因为a>0,CD>0,所以a2+b2<c2 (2)因为a:b=3:4,所以设a=3k,b=4k(k>0).由 2.(1)方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角 勾股定理，得2=a2+2=(3k)2+(4k)2=252=(5k)2. 形的面积，即最后化简为c2+ab; 又因为c=10,所以5k=10,解得k=2.所以a=6,b=8. 方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积和+两个直 14.△ABC为直角三角形.理由如下： 角三角形的面积，即最后化简为a2+b2+ab. 因为CD是△ABC的高，所以∠ADC=∠BDC=90°.在 根据面积相等，直接得等式c2+ab=a2+b2+ab,所以a2 Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2=AD2+CD2=42+2=20. +b2=c2. 在Rt△CBD中，由勾股定理，得CB2=BD2+CD2=1+22= (2)因为HB=4千米，设CA=AB=x千米，则AH=(x 5.因为AB=AD+BD=4+1=5,所以AC+CB2=20+5 -4)千米，在Rt△ACH中，CH=6千米，由勾股定理，得CA2= =25=AB2.所以△ABC为直角三角形. CH+AH,即x2=6+(x-4)2,解得x=6.5,即CA=6.5千米 15.连结AB,过点C作CD⊥AB于点D,图略.由题意可得， 答：原路CA长6.5千米. BC=30km,AC=40km,∠ACB=90°.由勾股定理，得AB= 第17期综合测评卷 VAC+BC=50km因为Saa-4CC-B;D所以 题号123456789101112 2 2 答案CCBAACADBACC 00-09解得CD=24km因为24>23，所以这瘦轮 2 二、13.6；14.答案不惟一，如4；15.北偏西60°； 船沿着直线AB返航至港口B,没有触礁的危险. 162s或2 & 16.因为点N是FG的中点，FG=BC=6cm,所以FW= 三、17.因为AD⊥BC,所以∠ADB=∠ADC=90°.在 号FG=3m因为AB=9cm,AM=3m,所以BM=AB-AW Rt△ABD中，由勾股定理，得BD=√AB-AD=√17-8 =6cm.当展开图如图7所示时，因为BF=5cm,所以BW= =15.所以CD=BC-BD=21-15=6.在Rt△ACD中，由勾 BF+FW=8cm.由勾股定理，得MN=√BM+BW= 股定理，得AC=√AD2+CD=82+6=10. 10 cm 18.补充过程如下：所以S四边形BDE=S△ABc+S△EF+ 4 初中数学·华东师大八年级第14~18期 S张e5=2ab+ab+b(6-a）=,S和mE=Sa版+ AM BN MN =5.6. ②设BN=x,则MW=AB-AM-BN=12-4-x=8- sm=+(b+a)6-a）=2+8-20,所以 x.因为点M,N是线段AB的“勾股分割点”，AM为以AM,MN, 62= +8-0，所以。+= NB为边的三角形的直角边，且AM=4,所以当BN为直角三角 2 形的斜边时，BW2=MW2+AM2,即x2=(8-x)2+42,解得x 四、19.(1)由题意，得BC=80米，AB=100米，CD=BE =5,此时BW=5;当BW为直角三角形的直角边时，MN2= =1.5米，∠ACB=90°.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC= AM2+BW2,即(8-x)2=42+x2,解得x=3,此时BN=3. √/AB2-BC2=60米.所以AD=AC+CD=61.5米.所以风 综上所述，BW的长为3或5. 筝离地面的垂直高度为61.5米 第18期1,2版 (2)由题意，得BF=60米，A'B=100-32=68(米)，FG 14.1数据的收集 =BE=1.5米，∠A'FB=90°.在Rt△A'BF中，由勾股定理，得 基础训练1.B;2.D;3.0.2. A'F=√A'B-BF=32米.所以A'G=A'F+FG=33.5米. 4.(2)适宜用普查：(1)(3)适宜用抽样调查 61.5-33.5=28(米)，所以此时风筝下降28米 5.(1)总体是全年级1000名学生英语作业的完成情况； 20.(1)如图9所示，点P即为所求 A C 个体是每一名学生英语作业的完成情况；样本是抽取的100名 (2)如图9，过点B作BE垂直于AC于点 学生英语作业的完成情况；样本容量是100. E.由题意，得AC=AC=2cm,BE= (3)他们的抽样是简单随机抽样.因为简单随机抽样要求 10cm,CE=BD=26-4=22(cm).所以 图9 总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到，从全年级1000 AE=A,C+CE=24cm在Rt△A,BE中，由勾股定理，得AB 名学生中抽取100名进行调查，即总体中的个体被抽到的机会 =√A1E2+BE=26cm,即蚂蚁爬行的最短路径长是26cm. 均等，所以他们的抽样是简单随机抽样。 21.(1)因为AB=20,AC=16,BC=12,所以AC+BC 14.2数据的表示 =162+122=400,AB=202=400,所以AC2+BC2=AB2. 14.2.1频数分布直方图 所以△ABC是直角三角形. 基础训练1.C；2.8. (2)连结BE,图略.因为DE是AB的垂直平分线，所以AD 3.略 =BD,AE=BE.由(I)可得△ABC是直角三角形，且∠ACB= 4.(1)10%,18: 90°.设CE=x,则BE=AE=AC-CE=16-x.在Rt△BCE (2)补全频数分布直方图略； 中，由勾股定理，得CE2+CB2=BE2,即x2+122=(16-x)2, (3)估计成绩为优秀的学生有：280×20%=56（人）. 解得x=子所以Sam=Sc-S=4C·BC- 14.2.2扇形统计图 基础训练1.B;2.210. 2CE8c=75.所以5m=m=2空 2 3.(1)八年级(1)班的学生共有：6+11+15+10+8= 22.(1)点M,N不是线段AB的“勾股分割点”.理由如下： 50(人)，60及60分以上的学生有：11+15+10+8=44（人）， 因为AM=2,MW=3,NB=4,所以AM2+MN2=22+32 所以及格率为：号×100%=88%，优秀率为：0×10%= 44 =13≠NB2,所以以AM,MW,NB为边的三角形不是一个直角 16%, 三角形.所以点M,N不是线段AB的“勾股分割点” 15 (2)①因为点M,N是线段AB的“勾股分割点”，MW为以 (2)70~79分的人数最多，其百分比为：50×10%= AM,MW,WB为边的三角形的最长边，且AM=0.7,BN=2.4, 30% 所以MN=√AM+NB=√0.7+2.4=2.5.所以AB= (3)“优”所对的扇形圆心角的度数为：16%×360°= 初中数学·华东师大八年级第14~18期 51.6:良”所对的扇形圆心角的度数为：只x360°=72： 他的少进一些（答案不惟一，合理即可） 19.(1)组距是：85-80=5，组数是4. “中”所对的扇形圆心角的度数为： 1+15×360°=187.2： 50 (2)全校参加比赛的共有：5+10+6+3=24（人） “差”所对的扇形圆心角的度数为：品×360°=43.2绘制扇 (3)分数段在85~90范围内的人数最多，其频数是10，占 形统计图略。 参赛总人数的百分比为：兴×100%=1.7% 4.(1)150: 20.(1)选择甲公司订餐.理由如下： 甲公司送餐用时在24分钟和30分钟内波动，波动较小；乙 2)a=150-12-30=54-9=45,m%三0×100% 公司送餐用时在14分钟和35分钟内波动，波动较大， =36%,即m=36. (2)选择乙公司订餐.理由如下： (3120×品=96（人） 甲公司10个工作日送餐用时都超过20min,故送餐用时 答：估计该校最喜爱花样跳绳的学生人数为96. 超过20mim;乙公司10个工作日送餐用时的平均数为：10× 14.2.3容易误导读者的统计图 (20+18+21+16+34+32+15+14+35+15)=22(mim), 基础训练1.D;2.3. 接近20min. 3.(1)小明绘制的统计图能反映每一位同学的身高，但是 21.(1)该企业共有：30÷30%=100（人）. 容易给人一种错觉，如单从条形统计图来看，小华的身高好像 (2②)A档次所占百分比为：品×10%=20%，C档次的 是小丽的2倍； (2)此图会使人产生错觉，改正如图10所示. 有：10-20-30-10=40（人），所占百分比为：0×100%= -161 10 40%;D档次所占百分比为：100×100%=10%.填表略 (3)绘制扇形统计图略.A档次所对应的圆心角度数为： 360°×20%=72°；B档次所对应的圆心角度数为：360°×30% 姓 =108°；C档次所对应的圆心角度数为：360°×40%=144°；D 图10 档次所对应的圆心角度数为：360°×10%=36°. 第18期3,4版 22.(1)学校抽取的八年级同学有：12÷30%=40（名）. y、 题号123456789101112 (2)D组的人数为：40-4-12-16=8.补全频数分布直 答案BCBDCAADCBAD 方图略 二、13.0.25；14.39；15.48；16.14. (3)A组人数所占的百分比为：表×100%=10%，C组所 三、17.(1)总体是建造的长100km、宽0.5km的防护林 中树木的棵数；个体是一块长1km、宽0.5km的防护林中树木 对应的扇形圆心角度数为：360°×40%=144°. 的棵数：样本是从中选出的10块区域防护林中树木的棵数；样 (4)八年级学生中航天知识掌握情况达到优秀的有：500 本容量是10. ￥40 =100(名). (2)采用抽样调查的方式较好.理由是数量较大，耗费人 力、物力，不易调查 18.(1)25码的皮鞋的销量最大，其频率为：00=0.31 31 (2)因为25码的皮鞋的销量最大，所以在进货时应该多进 些25码的皮鞋，其次是24.5码的，再次是24和25.5码的，其 —6素养·拓展 鼓理 351-S2712 2025年10月1日·星期三 初中数学 学可了尺规作段垂直平分线和角平分找 纸发行质量反喷电话 后，我门可以用于解决一些实际问题下面举 第14期总第1158期 华东师大 0B51-527248 数理据 八年银 加以说明，供学门参考. 确定售票中心的位圆 思维 误区解密 接4版参考答案 山师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社辑出版 社长：徐文国内统 连续出版物号：CN 0707下)邮发代号：21-20 例1如图1.某公相有海盗船，摩天轮，碰 碰车三个娱乐项目，现隧在公园内建一个每票 型空间 。庆王 中心，使得三个圾乐目所处位置到售票中心 两找”县指角平件艾打找受垂有严升型， 后离相等的点在三条公路的交点A,B,C细成的 的距离相等，请确定售票中心的位置， 们的性质定理及其逆定理是初中几何知识的 △ABC的三角平分钱的交点处，而△ABC角 D 124逆命腰和逆定理 两线”出击 招招解题 重要内客，是几何推理和计算的重要理论依据 平分的交点只有1个，所以可选择的地址只有 学习目标：1了解正说命题，正说定理 日车阴架有立用出。一先同竖的职一此精 2堂挥线役岳直平会，角毛分线的性相 江西 海 误，为了帮助大家有效避开思维误区，下面举例 制桥：解圆过程只斯月了一角形的内角四 方5月北堂形 故选B P车PD⊥BC点D,PE u以明， 分线，事实上，三角形的外角平分线上的点也具 认如重点：运用线收垂直平分线、角平务 线的性定理及逆定理解决几何问题 二，角平分线 ⊥AC于点E.若BC=6 错误认识角平分线的性质 有相同的性， 到2如图2，点P是 如图1.在车△ABC 正解： 4C=4.则CE的长度是 线段的通直平分钱和角的平分线是考试中 心的矩离相等，可如售票中心是湾益船，摩天 中，BD为∠ABC的平分线，AB 经验：不论是三角形的内角平分线，还是外前 AC AW+CH.LC AG的个内角职分 的“常客”，利用这两线”的性质可以帮助同学 平分线上面的点到对应角的两边的亚离部相等 的交点若△ABC的周长为 A.1 B.2 C.3 轮，碰车三个乐项日新处位置点的三 =BC,点P在BD上，PW⊥AD 们解决很多问题，下面选取几例如以制析，供同 24em,面积为36m,则点 形三边垂直平分线的义点 于点M,PN⊥CD于点N,则 三墙判传用重商平分线 解：连结PA,PB,如图3. 0 解：如图2，连结ABAC,分别作线AB,AC PM和PN相等 例3 如图3，AD是△AB P到边BC的距离是 因为CP是∠BCE的平分线.PD⊥BC,PE 错解：PM=PN.理由如下： 的鱼平分DE,DF外和 一，线垂直平分线 的垂直平分规，两垂直平分线相交于点P,则点 ⊥AC,所以PD=PE 因为BD平分∠ABC,点P在BD上，PW⊥ △ABD和△ACD的高.求证：AD 例1如图I.在△ABC 解：过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥BC于 P即为售票中心的位置 在R△CDP和R△CEP中，因为CP=CP 垂直平分F 中，DE是AC的面直平分钱，且 0= 克E,PF⊥AG于点F,如图2 PD=PE,所以Bt△CDP RACEP(HL): 错解：因为AD平分∠AC 分BCAC干点D和E,∠B 所PM=PN AC,斯以∠ACE 因为的与P是△ABC的一个友角正A的 I CD=CE 借助尺规 析：根据角平分线的性质可知，当且仅当 DE⊥AB,DF⊥AC =60,∠C=25”,则∠BAD= 以D呢=D 点，所以PD=PE■PF 因为PQ是线段B的垂直平分线，所以PA DB平分∠ADC时.PW=PN 所以AD垂直平分EF 0时 以Sa=Sam+S+Sa=AB PB. 展“两线”风采 正解： 副析：我们知道，两点确定 A.50 条直线，因川 .70 在R△AEP和R△BDP中，因为PA=PB, (请你写出正骑的解答过程，下同) 要判定AD垂直平分EF,需要同时证明AE■ C.75 PD+BCPE+ACPF=PE(AB PE PD. 0黑龙江刘峰 经险：角平分线上的点到角两边的理离相苹 AF,DE=DF,不能单凭DE=DF或AE=AF就 解：因为DE是AC的垂直平分找 以RI△AEP≌RI△BDP(HL) 确定中心医腕的位置 二、思考不周，漏解 断定AD垂直平分EF =(∠A+∠81=45 月LDA=DC BC+AC)=PE×24=36.解得PE=3 鳞2如图3，现要在三角形地块ABC内境 例2如图2，直线上，山， 所以AE=BD 正解： 所以∠DAC=∠C=25 故填3 中心医院，使医院到A,B两个民小区的距 表示三条相互交叉的公路，现 经验：与我们委证明一条皇线是我段业直 所以BC=BD+CD=AC+CE+CD 因为∠B=60°，∠C=25 三、线段垂直平分线与角平分线“联烟 璃相等，并且到公路AB和AC的距璃也相等， 准一个指物山转出，热求它到 平分线时，可以用线段直平分线性定理的 条公路的距离相等，则可选样的 所以∠BAC95, 例3如图3，在△ABC中，AB边的垂直平 所以CE=CD=(BC-AC)=1. 佛定这个中心医院的位置 递定理直接江明，也可以先江明一个三角形是 地址有几处？ 等腰三府形，再证明这条直线是它底迫上的高 所以∠BAD= ∠BAC 分线PQ与△ABC的外角平分线交于点P,过点 故法A 铺解：根据角平分线的性历，到三条公路的线点中栽所在的直气 =30- AD BD 名师点晒 因为S,=子AB·PD,AB<C+BC,所以S< 77 第13期2版参考答案 品养是三角形 性质与判定 号+3.故选A 23,1,1等健三角形的性因 以△E MED( 直击角平分线的 分析：根据中心匠院到A,B两个居民小区 四，角度 1,C:2C:3,3n:40 E+C 的距焉相等，可知中心玉院在线段AB的叠直平 第13期3版参考答案 四川 吴云泽 角平分线的性质定理：角平分钱上的点 解：过点D作DF AB交B4的延长线于 例4如图4.AC,BD是 分线上又由中心院到公路AB和AC的距商 号3456？8 四边形ABCD的对角线，D 两边的离相等 F如图2 也相等，可中出压院在∠R的平分线上 多案CBA0ABs 平分∠ABC.2∠ACD ECA 角平分线性质定理的逆定理（判定）：角的 因为D平分∠ABC,DE⊥BC,所以DF= 解：如图4.作线段AB的垂直平分线EF,作 以AE ”容城三角的”三线合一+：1且.2： ∠ARC+∠BAC,已知∠CAD 内到角填边币离相率的点在角的平升发上 ∠C的平分线AM两线交于点P,则点P即为 11,75:12.5 DG DE=4.因为AB=6,以Sam=ABDF= =43,日川∠BDC的年数 这个中心医完的位置 已、13(1》习为AD是等把三角形ABC的定边C上约高 求点到直线的距离 例1如图1，在△ABC 12,填12. 三，通定妇市的位置 A ACB 以∠DE=∠AD以E4= 中，∠C=90,若AC=9,DC 三，硬明面积之间的数量关 解：过点D分别作DE⊥BC交BC的延长 例3李明准备经营一个超市，他家附近有 2》州面AAC上∠宜.为对NAN. 两个大的居民区A,B,又有相交的两条公路，李 形的性 例3如图3，在△1BC 干点E,DF⊥AB交A的延长线于点F,DG AC,BD平分∠ABC,点 中，∠B和∠CB4的票 AC干点G,如图4 =E0斯1AE"CE 用想把塘市建在到两居民区的距离，到两条公 路的距离分别相等的位上图5是民区和公 三角影的判 D到AB的距离是 线交于点P,连结P心 因为BD平分∠ABC,DE⊥C,DF⊥AB, O"C=C4在A面&心D山.为=C4.∠：r 路的位置图.请你用尺规作图确定超市P的位 2eD.CC=AD:可无ARaA4$A保}，LmE=G力 A.4 B.3 D.1 △PAB,△PC,△PC的面 所以∠DBC=∠ABC,DF=DE.因为 置（不写作法，但委泰保留因痕连 解：过点D作DH⊥AB丁点H,如图1 积分别为55,5，则 4n 2∠ACD=∠ABG+∠BAC,∠ACE=∠AB+ 因为4C=9.DC=4G.所以DC=3因 B.S=S+5 ∠BAC,所以∠ACE=2∠AGD.期GD平分 ∠ACE又因为DE⊥BC,DG⊥AG,所以DE= 相乙AEF=∠E阳L∠A=∠AEF以△AEF 为BD平分∠ABC,∠C=90°，D⊥AB,所以 132,2等边三角的树 CD=DH=3即点D到AB的距离是3.故选B 山.无出角定5写5、+5.的大小、 DG所以DF=DG.所以AD平分∠CAF因为 二，求三角形的而积 解：过点P分别作PD⊥AB于点D,PE⊥ ∠CLD=43°，以∠CF=2∠CAD=86.阴 分析：根据题，可如先作∠MON的平分 =G+ 例2如图2，已知在四 4C于点E,PF⊥BC于点F,如图3 以∠BAC=18D°-∠CAF=94.所以∠BDC= 线，再作线段A的直平分线，两线的交点P 就是超市的位夏 (全文完 边形ABCD中，DE⊥BC,D 因为∠CB和∠CBA的平分线交于点P,∠DCR-∠DRC·∠ACB-∠ABC= 解：如图6，点P即为超的位置 平分∠ABC.4B=6,DE :W=GM,∠GN=O因为△成F是等造三利思，以F 下转1,4版中缝) 所以PD=PE=PF,因为S=BC·PF,S= 4,则△ABD的面积是 （∠ACE-∠ABC)=∠BAG■47.故填 AC·PE.以S2+S=(AC+BC)·PD 40 2 素养专练 A 数理极 数理极 素养·测评 3 2.元且联欢会上，3名同学分刷站在△AB( 12.4.3角平分线 15.(14分)如图11，在△ABC中，∠iAC> 跟踪训练 个顶点的位置上游时，要求在们中间放 0°，AB的垂直平分线分别交AB,BC于点E,F,AC 个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜。为使游戏公羽 堡迎训练 同步检测 的垂直平分发分别交AC,BC于点M,N,直线EF, 凳子应放置的最合适的位置是在△ABC的 1,如图1，在△ABC中， MN交于点P 12.4逆命题和逆定理 C=g0PAD平A∠HAC ·TONGBUJIANCE (1)求证：点P在线段BG的垂直平分线上： 124,1互逆命整和互逆定理 4.三边垂直分有交点 交BC于点D,DE⊥AB,垂见 【检测范图：12.4】 (2)连结AP,求证：AP平分∠FAN B三条角平分线的交点 为B若DE=3,BC=8.则 ,精心选一选（每小题4分，32分 8.老师在信群发了这样 个图如图6)， 使配评练 司母AB为边作在力形ABCDE有王三角形AG C.三边中线的夜点 BD的长为 题号12345678 1,下列命题的逆命题是假命的是 D.三边上高的交点 4.4 B.5 C.6 D.7 连结AC,DG交于点F,下列四位同学的说法不 种的是 A若2=6，则a=6 3如知图2，直线m,交于点0，点A,B在直钱 2.两把完全相同的长方形 1.如图1，在△ABC中，∠C=90°，AD是 甲：AC⊥AG:乙：DG是AB的希直平分线： B.等便三角形的两账角相等 m上，点P.H在直线上，AP=BP,AH=BH.若 直尺按如图2方式摆放，记两担 AB■10.则0B的长为 直尺的接触点为点P.其中一把 23 ∠BAC的平分线，CD=6,则点D到AB的距离为 丙：△DGF是等腰三角彩：丁：AC∥DE C.相等的两个角已付面伯 直尺的上边缘恰好与射线04重 A.甲 B乙5 C.丙 D.两个全等三角形的面积相等 合，而另一把直尺的下边与射 A.3 B.4 C.6 D.8 二，细心填一填（每小题4分，共16分） 2下列定理中，没有逆定理的是 线OB厘合，上边缘与射线0A 9.如图7,0C平分∠AOB,点P在0C上.PD A两直线平行，同旁内角豆补 OA于点D,PD=3m,点E是射线OB上的动 B.同位角相等，两直线平行 交于点M.连结0P.若∠B0P=28°，则∠AMP的 16,(16分)如图12.0C平分∠A0B,P为00 点，则PE的最小值为 C直角三角形的两锐角互余 上一点，PD⊥DA于点D,∠PE0+∠PF0=I8D D,全等三角形的对应角相等 4,如图3，在△4BC中，以点A为圆心，AC为 A.46 B.52 C.56 D.62 式明0E+0F与20D的数量关系 半径作圆直交C于点D,再分别以点B和点D为 3,命题“等边三角形的三个内角都相等”的 3,如图3，点P是∠A0B的平分线0C上 图1 2下列说法错误的是 条件是 ,结论 ,这个 圆心，大于D的长为半径作圆孤.两孤分别交 点，PN⊥0B于点N,点M是线段ON上一点，已知 0M=3,0N=4,点D为0A上一点，若满足PD A.任何命题都有逆命图 命题的逆命题是 于点M和点N,连结MN交AB于点E.若AB=1D B任何定理都有逆定理 4,写出下列命题的逆命题，井判断所写命题 P1N.0D的长为 AG■5，则△4DE的周长为 G.命题的逆命圆不一定是真命题 10.命题“如果两个实数相等，那么它的平 的真假： 5如图4，直线是线段AB的直平分线，点 D.定理的逆定理一定是真命题 方相等”的逆命图是 ,该逆命题是 (1)无理数是无限小数： P在直线1的右侧，连结PA,PB.求证：PA>PB 3.如图2是个风筝的骨架示音图（可称为等 命（填“真”成“氧"）. (2)边和一条直角边分别相等的两个直角 形ABCD).已知AC垂直平分BD,AB=60em,CD 11,如图8，在△A8C中.D为BC边上一点，E 三角形全等。 =40cm,则筝形ACD的周长为 线段D的垂直平分线，若△ADE的周长为19 4.如图4，点0在△4BC内，且到三边的距离 A.100 cm B.140m BD=7,则△MBD的用长为 相等，若∠A=54,则∠B0C= C160m D.200 em 12.如图9，在△ABC中，点D在BC边上 5.如图5，在△ABG中，∠C=90,D是 4.如图3.在△ABC中.∠C=90°.AD平分 ∠BAD=1”,∠ABC的平分线交AC点B,U过点 △ABC的一条角平分线，点0，E,F分别在BD ∠CAB,AB=5,△ABD的面积是5，则CD的长是 E作EP⊥AB,垂足为F.且∠AF50，连结 附加题⊙ BC.AC上，且四边形OECF是正方形求证：点O DE.若AB=6,AD=4,CD=8,且Sw=18,则 (以下试题供各地德据实称情沉选用) 在∠BC的平分线上 .1 B.2 C.3 D.4 △ABE的面积为 1(8分)如图1，在△ABC中，LACD■90 AD是△AC的角平分线，DF是△ABD的高，求 5.如图，△AC是等边三角形，点D,E,F分 证：AD看直平分EC 别在边C,C,AB的延长线上 (I)命必“若△DEF是等边三角形.则BF= AE=CD”是 命题（编真”我“假"）： 4 三，耐心解一解（共52分） (2)问(1》的逆命题成立吗？若成立，请说明 5.如图4，在△ABC中，D.E为边AC上两点 13.(10分)如图10，在△4C内找一点P,使 理由：若不成立，请举反例说明 连结BD,BE,DF⊥BE丁点F,若∠A=0,AD= 点P到4，B两点的距离相等，井且点P到点C的距 6.如图5，△ABC中，∠BAC=80°，MP和( DP,∠DF25,则∠B5C的度数为 离等丁线段AC的长（尺规作，不写作法，保留作 分别垂直平分AB和AC.若△APQ的周长为12， A.1159 B.1209 C.1256 D.140 国褒拉). 2C的长为8，求PQ的长 6.下列选项中，有逆定理的是 A.等腰三角形是轴对称图彩 B.角乎分线上的点到角两边的距离相等 6.如图6，AB∥CD,BP和CP分别平分 C,全等三角形的面积相等 2.(12分)如图2.在△AG中.∠AC45, ∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与CD垂直.求证 D.特而角相等 点P为边BC上的一点，且∠PAB=15,点C关 PA PD. 7.如图5，在△ABG中，AB=16,BC=12,CA 直线PH的时称点为D,连结BD,∠BDP=30,AH =1D,∠ABC的平分线P与AC相交于点D.在线 为△APG的边PC上的高， 段AD上取一点K,以点C为圆心，CK为半径作弧， 4.(2分)写出命题等腹三角形两服上的 (1)求∠BPD的度数： 与射BP相交于点M和点N,再分别以点M和点 高相等”的逆命圆.并正明其逆命题是真命题 (2)求证：LBAP=∠CAH N为圆心，大于之MN的长为半径作斑，时相安于求写出已知、求证度猛明垃程)， 12.4.2线段垂直平分线 点Q,作射线CQ,与AB相交于点E,连结DE.则 △DAE的周长为 厚团训练 A.12 B.14 C16 1,如图1，在△ABC中 DE垂直平分A尽若BD=4. CD=2,则AC的长是( A.6 B.8 数理报社试题研究中心 数理报杜试题研究中心 C9 D.10 (参考答案见16期) (参考答案见16期)