第13期 12.3 等腰三角形-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（华东师大版2024）

4 素养·拓展 鼓理极 2025年9月24日·星期三 初中数学 (上接第3版] 2(12分)在R△ABC中，∠ACB=90°， 黄路！：三动相前的 妖发行质量反暖电话 13期总第1157期 华东师大 附加题⊙ ∠A■30°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于 三角形是等边三角形 0051-5271248 数理据 八年级 例【如图 (上接4版参考答案 (以下试题供各地振摄实际情况速用) (I)如图2，连结BC,求证：△BC是等边 △AC是等边三角形，分 定 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编钳出版 社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN 14-0707训F1发代号：21-206 1(8分)小马和小虎在解这样一道题：“ 角形： 延长AB至点F,BC至 2A0C=180 品味方法： 图1.在△AC中，∠ACB=90°，点D,E在AB边 (2)如图3，点是线段CD上的一点（不与 占D.CA帝占E,伸AF■ RCD+ 上，AE=AC,BD=BC,求∠DCE的度数."他点C,D重合)，以BM为一边，在BH下方作3B,BD=3BC,CE= 经过南量后，结论不一致，小马说：“∠0CE的 ∠G=0,MG交DE延长载于点G.诚深究】3C4求证：△DEF是等陈 三 边 所以 等腰分类巧解答 本周主研 123等三角形 度数与∠B的度数有关，只有知道∠B的度数才MD,DG与AD之间的数量关系，井说明理由. 02 边三角开形， 露 h△&4D和t△BCD 能求出∠DCE的度数”小虎说：·∠DCE的度 三 。广东蒋卫山 学习目标：山，拿报等腰三角形的性晴及判定 中用为B=0,A 数是一个定值，与∠B的度数无关，”他们谁说 略 CB,以△D 等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三 解析：由于给出的边长没有指明是底边通 的正确？请说明理由， 角 1 ABCOC HL》.所以 角形，同学门在求解有关等藏三角形的多解问 是稷.所以要分两种情况进行讨论 2摄等边三角形的社质及判定方法 D CD. 题时，一定要注意对等假三角形进行分类讨论 (1)当0em是长时，则底边长为5cm 形 (2)知图1.长 现举例悦明如下： 西足一角形的边单某，所2岁的积长的：1， 认知重点：掌报苹除三角形和等边三角是 10+5=25(em): 证明，因为AAB 角不确定，按顶角和底角分 性质和判定的应用，条会等腰三角形中的分到 情 是等边三角形， 例1已知等腰三角形的一个角等于沁“， (2)当5m是腰长时，则能边长为10 思想 所以∠ABC=∠ACB ∠BAC 60 求另外两个角的度数 不满足三角形的三边关系，不能胸成三角形， BC CA. 解析：由干70°的角没有指明是能角还是西 三幕不确序，转喜的位置分型 所以180°-∠AG=10-∠ABC= 角.所以要分两种情况进行讨论 例3等腰三角形一腰上的高与另一腰的 I0-∠ACB.即∠EAF=∠FBD=∠DCE= (1)当底角是70°时.等藏三角形的另外两 夹角为4°，则该等腰三角形的一个底角的度数 120. 个角的度数分别为0”和180°-70×2=40： 因为AF=3AB,BD=3BC,CE=3CA. 180 (2)当顶角是70°时，等腰三角形的另外两 解析：由丁本题设有给出图形，也没有指明 所以AF=BD=CE,AE=BF=CD (2)当便上的高在等腰三角形的外部时，如 I°为∠CD 个角的度数均为：7×(180°70)5 传上的高是在三角形的内部，还是在三角形的 斤AAE≌△BD≌△CDE 图2 外都.所以需分两种情况进行讨论 所以EF=FD=DE. 因为∠ADB=0°，∠ABD=46° ∠RM0= 因此，等便三角形的另外两个角的度数分 数理报社试题研究中心 (1)当腰上的高在等三角形的内部时，如 所以△DEF是等边三角彩 A是1△A中，因 别为70,40°或55°，55， 所以∠B4D=90-∠ABD■44 (参考答案见下期】 图1. 策路2：三个角都相等的三角形是等边三 6AB=B.∠P三 二，边不确定，按硬和底边分奥 因为∠BAD=∠ABC+∠C. 第12期2版参考答案 ADm∠延因为∠AF=∠M所C以∠C= LRCK,AP CK. 因为乙ADB=90°，∠ABD=畅 122,5料边直角边 角形 例2已知等援三角形的一边长为10cm】 所以∠A=90°-∠ABD=44, 所以∠ABC=∠C=7∠BAD=229 3)若将件 例2如图2，四边形 Pe△BCK(SAS) 斤以∠AP=∠CA 另一边长为5m.则它的周长为 所以∠ABC=∠C=(I80 ∠A 所以该等腰三角形的一个底角的度数为 5.图路. =m°，姑论C=BF成立，达论C上F不 BCD中，AB∥DC,DB平 P=B因为O=A A.20 cm B.25 cm 68成22°， 6用名RE=PH川E+5F■求+EN打尼P= 立，理由立下： 分∠ADC,∠A=60.求 化.20m或25e D.18 em 故填68或22 Gk在和△ABP相△DCE中，因为F=CE,AF= 与平可正△CAEa△FA&所更EC=是F.∠C0 正：△ABD等边三角彩， 所以PK DE,阴以1△ABF≌△DE ∠A0,因为≠0，所以CE与群不垂直.所 证明：因为AB∥DC △P0△A0中， 课堂在线 因为∠DCF=∠ACB.所以∠DCF=∠B 7.1)∠0B=85 结论C 上B不成立 为P=BK,0P=然 在△BED和△CFD中，因为∠BDE■ (2)FAACN和△ABM中，因为∠C∠B.A亡■ 第12期3版参考答案 ∠A=60°， R.∠CMV■∠B4M,开以AACN-≌AARUCASA) 125436深 所以∠ABD=∠CDB.∠ADC=180 =0,所以△ △RQ55S 直击“三线合 ∠CDF,BDCD.∠B■∠DCF &因为AD⊥BCA'D1B'C,历以∠AB 2A=120 所以△BED≌△GFD(ASA) ∠0=∠大0= :在△ABD和△A中，因为 c BB A D C D 因为DB平分∠ADC 。四川刘泽梦 所以BE=CF =A'F,A》=40,所以△AD∽卧△A'层''(HH 二，94B=0C:02:1l,2减4： 过上。上B".在△AC和△4BC中，因场AB 1240°或140 ABP+(CQ 三线合一“是等顺三角形而特有的性丽，BG于点D.DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F.若 例3如图4，在 BD (3)∠P80=90 A'E,∠B∠,BrC',所以△A8C始 即等壁三角形成边上高的，中找及顶角的要分 DE。2,5em.则BF■ △ABC中，AB■AC 为DF⊥AC,DE⊥AB,所以∠CFD∠BED=0.在 所以∠A=∠ADB=∠ABD =60 +子∠40C理出如下 重台 解：因为AB=AC,AD⊥ ∠BC■100，中线 专 全等三角形的性质与判定 h△CDF和t△BDE中，肉为CD=D,CF=E,所以 所以△ABD是等边三角形 图2，在CDE 该性质其实包括以下三方面的内客 BC,所以BD=CD. D与角平分线BE相 1C:2.03.B:4.3 CDFHt△HEH 策略3：有一个角是6)的等腰三角形是等 线上找一点K.位得 4因为CF⊥，所以∠CF=0因为 AD 图1，在△ABC中，AB 所以5aw=2Sa 交于点F,求∠AFE的 5因为CB⊥AD,AE4DC,以∠AF=∠CD= 边三角形 ，所以∠A5 P,连结队 AC,D是BC上的一点. 度数 在△BF有△C中，为 C.A8 ∠A■∠GF星.∠AB■∠FBC,■CB,所以△AB监 例3如图3.在△ABC C8. (1)若AD是等器 2×2AB·D6=25MR 解：共为ARAC,∠BACm100°，AD马 =∠CD,所以△BF△BASA) AFBC(AAS}:斤以AE=FB: 中，∠ACB=90°，过点A形 直AE折叠这个三角形， ABC成边BC上的中线， &因为点D是c的中点，丽以0=因为CF 又因为Sa=AC·BF,以AC·BF △ABC的中线，以LABC=∠C=(180 AR.所以∠8ED■∠R在△BDE和△CD球中，因为 (I)国为D为△cD的高.所以 5C落在AB边上的点Dh 么AD是顶角LBAC的平分 =2.5AB ∠F.BD=CD,以△BDE D,在△和t△D中，因为AB 连结DC.DE若AE=BE,求证：△ADC是等边 BAC)=40,∠BAD=∠BMC=50 △CF(AAS).HE B,乙ABE·L0C,EB·CR,所以△AE二 同(2)可 线，也是边C上的高 角形 (2)若AD是等腰△ABC顶角∠AC的平 因为AC=AB,開以BF=2.5 因为BE是△ABC的角平分线，以∠AB丽 7.〔1ùF⊥CE,用由在下 BG且 证明：根起析叠的性质。得AC=AD, 因为△BC二△DC所以∠ACB,∠DrE所以 分线，那么AD是底边BC上的中线，也是底边 所以BF=5em 附加 11》为A⊥6，∠DA= CAE=∠DAE 2∠PB0+∠ =7LABG=20可 C上的高 故城5. 2ACD=0因为∠B=30 2∠PB0+∠AC LB =∠AC在B△ADF有和R△AG屏中.9为A静=AC,AF 因为AE=BE 以∠AFE=∠ABE+∠BAD=70 360°以2∠P80 (3)若D是等腰△AC边RC上的高 例2如图3，在△ABC中，AB ∠BCG=90.所以FCE =B.所以△Da出△HL.).以CP= 所U∠B=∠DAE=∠CAE 10 LADC) 那么AD是顶角∠BAG的平分线，也是底边BC =AC,AD是LBAC的平分规，交 (2)∠CE=30 CAR AFE ABE =90 因为∠ACB=90 360°.所以∠0 客(1)因为∠BE=∠CF=0,以∠45+ 上的中线 BC丁点D,点E是AB上一点，作 热等习 A在△CE△AE中，因均A5=AE,AF=AB,所以△AEF 所以∠B+∠CAB=3∠B=90 “三线合一“的性质给我们腿供了说明角相∠DCF=∠ACB,交ED延长线于 和△FAB中 因为 西△A5HL,),所以EF=BE因为角△4DFG 解得∠B=30 H△AC5,肝以DF,CDF,BC-E+CE,EF {全文完) 等，直线垂直，线段相等的新巴路和新方法在点F,求证：E=CE 如图5，在△ABC中 以△CAE会△FAB5AS.所以EC=BP 所以∠CAB=60 (2)授4C交干点，因为△CB△A,所以+CE 下转1,4版中缝) 所以△ADC是等边已角形 解答一些与图形有关的问图时，要注意灵活运 证明：因为AB=AC,AD是 AB■AC,AD是BC边上 用它，下面举例来说明这一性质的重要应用 ∠BAC的平分线，所以∠B= 的中线已知∠BAD= 例1如图2.在△ABC中，AB=AC,AD⊥ ∠ACB.BD=CD 60,则C= 2 素养专练 数理极 数理极 素养·测评 3 12,31.2等边三角形的性质 G,交AE于点R 15.(14分}如图13，△ABC中，AB=AC,点D 跟踪训练 (1)若∠BAC=52“,求∠FC的度数： 年印训炼 (2)求证：BF=A. 同步检测 在边BC的延长线上，点E在边AG上，且DE=BE =AE.延长线段DE交边AB于点F L.如图1，在等边△ABC中，AD⊥BC交B 12.3等腰三角形 下点D,若BD=2,则AC= TONGBUJIANCE- (1)求证：△AEF是等腰三角形： 【检测范围：123】 (2)若△BEF是等腰三角形，求∠A的度数 12.3.1.1等腰三角形的性质 B.3 C.12 1D.4 一，精心迹一选（每小题4分，失32分） 二，细心填一填{每小薄4分，共16分》 堡型诵练 随号12345678 9.如图7，工匠们用这个工具检屋是否水 1,等腰三角形的顶角为50°，则该三角形的底 平当重垂线经过等腰三角尺底边的中点时，可圆 角为 和定一角天彩的代力与平品水平的。在司受学不 A759 B.70* C650 D.60 1,等三角形的一个底角为40，则其角的 水平的，这样薄量利用的几何性顷是 2.如图1，在△ABC中，AB=AC=10,AD是 度数是 2如图2.直线1∥m等边△ABC的顶点B BC边上的高，若BD=8,则BC的长为( C分别在1，m上.若∠1=20°，则∠2的度数为 A40 B.80 A.8 B.12 16 D18 C100 D.120 A.70 2.在△4BC中，∠B=∠C,AB=3,则AGC的 ◆A B.40 C.30 D.20 123.2.2等边三角形的判定 长为 A.1 B.3 3.如图3，在等边三角形ABC 堡理训练 10.如图8.将边长为5em的等边△ABC沿 C6 D.无法确定 中.BD⊥AC,BF=BD,则∠CDF 向右平移3em,得到△DEF,DE交AC于点M.则 1在△ABC中，AB■AC■5，∠B■60°，则 3.如图1，在蒋边△ABC中，点D在AB上，若 3.若等腰三角形的一边长为3m,周长为 的度数是 em. C的长为 4.如图4，在等边△ABC中，D是边AB上的 () ∠ADC=75°，则∠BCD的度数为 1L,如图9，△AC是等边三角形，C=BD 15em,年表角开形的民力长为 A3 B.4 c.5 D.6 点，E是CB延长线上的一点，连结CD,DE, 若 A.15 B.20 4.如图2，在△ABC中，若AB边上的点D使得 ∠GBD=90°，则∠1= 2.如图1，将含30°的直角三角板直角顶点G D.30 AD=CD=BD,则∠ACB= ∠BDE=25,CD=DE,求∠ACD的度数 故置在直尺的一边上，4C,AB与直尺的交点分 5.如图3，在AABC中，4B=AC,点D为C 为点E,F,D.若点E,F对应的刻度分别为2cm, 边的中点，走结AD,E为AD上一点，连结BE.若 6m,∠ACD=60,则AE的长是 ) 16.(16分)截长补短法是初中几何题中一种 ∠AB■25,5■E.求∠g4C的 A.2 cm R.4 cm 添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的 C.5 cm D.6cm 4.如图2，张三角形纸片被不小心撕掉个 12.如图10.在△ABC中，BC=AC,∠B= 【方法初探】(1》如图14-①，在△ABC中.AD 角，则这个三角形是 35,∠ECM=15°，AF⊥C若AF=2.5,则AB C于点D,CD■BD+AB.求证：∠B■2∠G A直角三角形 B纯角三角形 的长为 解题思路：我们可以采用“做长补短法”解决 C等力一角形 D.等牌一角形 三、耐心解一解（共52分） 该问图，在CD上截取DE■DB,连结AE,如图14- 5,图3.在等边△ABC中，AD⊥C.BE⊥ 13,(10分》如图1，AD是等腰三角形AC的 ①，从证明出结论请写出证明过星 3.如图2，已知射线0W,以点0为圆心，任意 AC,AD.BE交于点F,则∠AFE的度数是( 底边C上的高，DE∥AB,交AC于点E 【方法应用】(2)如图14-②，在等直角三 长为半径作弧，与射线OM交于点A,再以点A为 A.60 B.2 (1)求证：EA■ED: 圆心.A0为半径作刻，两宽交于点B,作射找0B c 40 D.30 (2)求证：AE■CE 角形ABC中，∠B=90,AD是∠BAC的平分找，交 3C边于点D求证：AC=AB+BD 2.32.1等覆三角形的判定 过点B作BD⊥OA于点D,那么∠OBD的度数是 便拉训练 4.某数学社团的小欢同学画了一个等边 1了钟桥而市加周桥面上物了司钱 △ABC,并在AC边上取了一定点E(不与顶点重 一股与桥面星三角形结构.如图1是桥面上两解 6.如图4，在△ABC中，AC=C,点D在线段 绳索AB,AC与桥面C的示音图，已知∠AC (I)请在图3中求作等边三角形CE下，使点 6,如图4，△ABD是等边三角形，ACAD AC上，点E在AC左侧，连结BD,CE,AE,BD=CE ∠ACB,AB=6m,则AC的长度为 在B心力上（及规作图，侯留作图痕注】： ∠CBD■15°.则∠BDC的度数为 且∠ADB=∠BCE,延长BD交AE于点F A.3 m B.5 m C.6m D.8 m (2)如图4.点D为BC边上任意一点，连结 A.120 B.125 (I)求证：AE=CD: DE.以DE为边在其右作等边△DEF,连结CF C130 D.135 (2)若∠FAB■10m°，求∠ACB的度数 情写出线段CF,GD,CE之间的数量关系，并说明 7,图5，在△ABC中，点D为AC的中点，点 由 E是AC下方一点，连结BE,CE,BD平分∠AHE CE∥AB.若CE=3,BE=7,则AB的长为 14.(12分)如图12，D,E分别是等边三角形 BC的边AB,AC上的点，且AD=CE. 2.如图2，∠A0B的两边04.0B均为平面反 C.9 (1)求证：bE=CD: 光镜，一束光找从0B上的C点射出，经OA上的D (2)求∠BPD的度数 点反射后，反射光线DE给好与0B平行，已知 ∠ADE=∠00C.0C=0,则光线CD的长度是 A.8 B,10 C,15 D,20 3.如图3，在△ABC中，AB=AC 8.如图6，△4BC是等边三角形，D是线段 =8,E.M,F分别是AB,BC,AC上的 上一点（不与点B,C重合），连结AD,点E.F分别 点，井且E∥AC.MF∥AB,四边 在线段AB,AG的延长线上，且DE=DF=AD,点 形MEAF的尚长是 D从B运动到C的过程中，△BED同长的变化规律 4如图4，在等限△ABC中，A =AG,AD为中空，正DC至点E,值 数理报社试题研究中心 A.人店 B.一直变小 DE=AD连结AE,过点B作AC的垂线，垂足为 {参考答案见下期) C先变大后变小 D.先变小后变大 (下转第4版初中数学·华东师大八年级第10~13期 数理括 答案详解 2025~2026学年初中数学·华东师大八年级 第10~13期(2025年9月) 第10期1,2版 均为直角三角形，所以54mc=20M·0C=子，Sam= -题号123456789 1011 12 答案ADDADCBDB BC B 0B,0D=.因为Sae+Sam=63,所以分+ 二13.-高2-5；14答案不惟一，如∠4CD=∠B =68.所以x2+y2=136.因为AD=16,所以x+y=16.因为 (x+y)2=x2+2y+y2,所以162=136+2y.所以xy=60. 15.9或-7：16.1或-1. 三、17.(1)1-2a;(2)-3x2 所以一块直角三角板的面积为：2y=30. 18.(1)(n-2)(m+5)(m-5);(2)400. 第10期3,4版 19.因为AC平分∠BAD,所以∠BAC=∠DAC.在△ABC 题号1234567891012 和△ADC中，因为AB=AD,∠BAC=∠DAC,AC=AC,所以 答案BDB CBADAADCA △ABC≌△ADC(SAS). =13.-7；14.(7ab+36);15.4;16.3<EF<7 20.(1)由题意，得6a+34=64,5a+b-2=25,c=3.解 得a=5,b=2. 三17.(1)-4a(x-y）2；(2)-3997 819 (2)把a=5,b=2,c=3代人3a-b+c,得3×5-2+ 18原式=当x=-2,y=分时，原式=子 3=16.因为16的平方根是±4，所以3a-b+c的平方根是±4. 19.(1)在四边形ABCD中，因为∠A=∠BCD=90°，所以 21.(1)因为AB∥DE,所以∠B=∠DEF.因为BE=CF, 90°+∠B+90°+∠ADC=360°.所以∠B+∠ADC=180°. 所以BE+EC=CF+EC,即BC=EF.在△ABC和△DEF中， 又因为∠EDC+∠ADC=180°，所以∠B=∠EDC. 因为AB=DE,∠B=∠DEF,BC=EF,所以△ABC≌ (2)连结AC,图略 △DEF(SAS). 在△ABC和△EDC中，因为AB=ED,∠ABC=∠EDC, (2)因为∠B=55°，∠ACB=100°，所以∠A=180°- BC=DC,所以△ABC兰△EDC(SAS) ∠B-∠ACB=25°.因为△ABC≌△DEF,所以∠D=∠A= 20.(1)5,√/35-5； 250 22.(1)因为x+y=3,x2+y2=5,所以(x+y)2=x2+ (2)因为3<√14<4，所以√14的整数部分是3，小数部 2y+y2=5+2y=32=9.所以y=2. 分是√14-3，即a=14-3.因为4<√22<5，所以22的 (2)①3. 整数部分是4，即b=4.所以4(a+3)2+2b=4×(14-3 ②设2025-x=a,2022-x=b,所以a-b=3.因为 +3)2+2×4=64.因为64的平方根是±8，所以4(a+3)2+ (2025-x)2+(2022-x)2=2025,所以a2+6=2025.因 2b的平方根是±8. 为(a-b)2=a2-2ab+b2,所以32=2025-2ab.所以ab= 21.(1)原式=x2+2xy+y2-4y2=(x+y)2-(2y)2= 1008,即(2025-x)(2022-x)=1008. (x+y+2y)(x+y-2y)=(x+3y)(x-y); (3)设OA=0C=x,OB=OD=y.因为△A0C,△B0D (2)S1=(3a+2)(2a+3)=6a2+9a+4a+6=6a2+ 初中数学·华东师大八年级第10~13期 1+6品=4aa+子)=4松+17a所以S-S=(6d2+ 第11期2版 12.2.3角边角 13a+6)-(4a2+17a)=6a2+13a+6-4a2-17a=2a2- 基础训练1.A；2.C；3.D; 4a+6=2(a2-2a+1+2)=2(a-1)2+4>0.所以S1> 4.∠CAB=∠DBA或∠CBA=∠DAB;5.=. 52 6.因为∠1=∠3，∠AHC=∠DHG,所以180°-∠1- 22.(1)当t=1时，△ACP与△BPQ全等，此时PC⊥PQ ∠AHC=180°-∠3-∠DHG,即∠A=∠D.因为∠1=∠2， 理由如下： 所以∠1+∠HCB=∠2+∠HCB,即∠ACB=∠DCE.在 因为点Q与点P的运动速度均为1cm/s,当t=1时，AP= △ABC和△DEC中，因为∠ACB=∠DCE,AC=DC,∠A= BQ=1cm.因为AB=4cm,所以BP=AB-AP=3cm.所以 ∠D,所以△ABC≌△DEC(ASA). AC=BP.又因为AC⊥AB,BD⊥AB,所以∠CAP=∠PBQ= 7.因为AE⊥CD,BF⊥CD,所以∠AEC=∠CFB=90°= 90°.在△ACP和△BPQ中，因为AP=BQ,∠CAP=∠PBQ, ∠ACB.所以∠CAE+∠ACE=90°，∠ACE+∠BCF=90°.所 AC=BP,所以△ACP≌△BPQ(SAS).所以∠C=∠BPQ.因 以∠CAE=∠BCF.在△AEC和△CFB中，因为∠AEC= 为∠CAP=90°，所以∠C+∠APC=90°.所以∠BPQ+ ∠CFB,∠CAE=∠BCF,AC=CB,所以△AEC≌ ∠APC=90°.所以∠CPQ=180°-（∠BPQ+∠APC)=90°. △CFB(AAS).所以AE=CF,CE=BF因为EF=CF-CE, 所以PC⊥PO. 所以EF=AE-BF (2)因为点Q的运动速度为xcm/s,运动时间为ts,所以 能力提高8.(1)DE=BD+CE. BO xt cm. (2)DE=BD+CE仍然成立.理由如下： 因为点P在AB上以1c/s的速度由点A向点B运动， 因为∠BDA=∠BAC=a,所以∠BAD+∠DBA=∠BAD 所以AP=tcm.所以BP=AB-AP=(4-t)cm +∠EAC=180°-a.所以∠DBA=∠EAC. 又因为∠CAB=∠DBA=60°，所以当△ACP与△BPQ全 在△ABD和△CAE中，因为∠BDA=∠AEC,∠DBA= 等时，有以下两种情况： ∠EAC,AB=CA,所以△ABD≌△CAE(AAS).所以BD=AE, ①当AC=BP,AP=BQ时，△ACP≌△BPQ.因为AC= AD=CE.所以DE=AE+AD=BD+CE. 3cm,由AC=BP,得3=4-t.解得t=1. (3)由(2)得△ABD≌△CAE. 由AP=BQ,得t=xt.解得x=1. 所以S AARD=S△CAE: 设△ABC的底边BC上的高为h,则△ABF的底边BF上的 所以当x=I,t=1时，△ACP和△BPO全等 ②当AP=BP,AC=BQ时，△ACP≌△BQP.因为AC= 高为h BD=3,所以BQ=AC=3,此时点Q与点D重合，如图1. 因为BC=3BF,Sa=18,所以5r=子5ae=6所 以SAFm+SACE=6. 12.2.4边边边 基础训练1.C;2.B;3.3. 图1 4.连结BC,图略.在△ABC和△DCB中，因为AC=DB,AB 由AP=BP,得t=4-t.解得t=2. =DC,BC=CB,所以△ABC≌△DCB(SSS).所以∠A=∠D. 由AC=BQ,得t=3.将t=2代人t=3,得x=1.5. 5.(1)因为BE=CF,所以BE+EC=CF+EC,即BC= 所以当x=1.5,t=2时，△ACP和△BPQ全等， EF.在△ABC和△DEF中，因为AB=DE,AC=DF,BC=EF, 综上所述，当x=1,t=1或x=1.5,t=2时，△ACP和 所以△ABC≌△DEF(SSS).所以∠A=∠D. △BPQ全等. (2)因为∠A=70°，∠B=40°，所以∠ACB=180°-∠A 初中数学·华东师大八年级第10~13期 -∠B=70°.因为△ABC≌△DEF,所以∠DFE=∠ACB= 号BDCE=5,S=AC:BF=10,所以AC=2BD 70,因为FG平分∠DFE,所以∠GFC=7∠DFE=35,所以 附加题L.(1)因为点F是AD的中点，所以AF=DF.在 ∠CGF=∠ACB-∠GFC=35°. △AEF和△DHF中，因为AF=DF,∠AFE=∠DFH,FE= 能力提高6.8. FH,所以△AEF≌△DHF(SAS), 第11期3版 (2)因为△AEF≌△DHF,所以AE=DH,∠EAF= 题号1234 5 6 78 ∠HDF.所以AB∥DH.所以∠B=∠HDC.因为AE=CD,所 以DH=DC.在△DHG和△DCG中，因为DH=DC,HG=CG, 二、9.答案不惟一，如∠B=∠C:10.130°： DG=DG,所以△DHG≌△DCG(SSS).所以∠HDG=∠CDG. 11.5m;12.3. 所以∠B=2∠GDC. 三、13.图略. 2.(1)∠DFE; 14.在△ADB和△CDB中，因为AD=CD,AB=CB,BD= (2)∠AQB=∠APB或∠AQB+∠APB=180°： BD,所以△ADB≌△CDB(SSS).所以∠ABD=∠CBD.所以 (3)BE=CF+CE.理由如下： BD平分∠ABC. 如图3，延长BA,CD交于点G.因为 15.(1)因为∠BEG=∠CDG,所以180°-∠BEG=180° ∠ACD是∠ABD的“边垂角”，所以CG -∠CDG,即∠AEB=∠CDA.因为∠BEG=∠BAC,所以 ⊥BD,AC⊥BG.所以∠EDC=∠EDF ∠BAE+∠ABE=∠BAE+∠CAD.所以∠ABE=∠CAD.在 =∠EAB=∠CAG=90°.所以∠B+ 图3 △BAE和△ACD中，因为∠AEB=∠CDA,∠ABE=∠CAD, ∠AEB=90°，∠C+∠DEC=90°.因为∠AEB=∠DEC,所以 AB=CA,所以△BAE≌△ACD(AAS). ∠B=∠C.在△ABE和△ACG中，因为∠B=∠C,AB=AC, (2)因为△BAE兰△ACD,所以SAE=S△ACD·因为BF= LBAE=∠CAG,所以△ABE≌△ACG(ASA.所以AE=AG, 2CF,所以S AABF=2 SAACF,SARDF=2 SACDE.所以SAARD=S AABF BE=CG.因为∠FAC=45°，所以∠GAF=∠CAG-∠FAC= -SARDF=2S△ACF-2 SACDF=2S△ADC.所以S△BDE=S△ABD- 45°=∠FAC.在△AGF和△AEF中，因为AG=AE,∠GAF= S△aE=S△AD·所以小麦种植区△BDE里需要施肥200千克. ∠EAF,AF=AF,所以△AGF≌△AEF(SAS).所以GF=EF. 16.(1)如图2，延长AD交BC 在△EDF和△EDC中，因为DF=DC,∠EDF=∠EDC,ED= 于点H.因为BD平分∠ABC,所以 ED,所以△EDF≌△EDC(SAS).所以EF=EC.所以BE=CG ∠ABD=∠HBD.因为AD⊥BD,所 CF FG CF +EF CF +CE. 以∠ADB=∠HDB=90°.在 H 第12期2版 图2 12.2.5斜边直角边 △ABD和△HBD中，因为∠ABD=∠HBD,BD=BD,∠ADB 基础训练1.A;2.B;3.50°；4.①②③. =∠HDB,所以△ABD兰△HBD(ASA).所以S AARD=S△HBD, 5.图略. AD=HD.所以S△AcD=S△Hc:因为△BDC的面积是5，所以 6.因为BE=CF,所以BE+EF=CF+EF,即BF=CE. S△ABc=S AARH+S△ACH=2 S AHRD+2S△HCD=2S△BDc=10. 在Rt△ABF和Rt△DCE中，因为BF=CE,AF=DE,所以 (2)如图2，过点B作BF⊥AC于点F,过点C作CE⊥BD Rt△ABF≌Rt△DCE(HL). 的延长线于点E.则∠BFC=∠CEB=90°.因为∠ABC= 7.(1)在Rt△AEB和Rt△AFC中，因为AB=AC,AE= 2∠ACB,BD平分∠ABC,所以∠BCF=∠CBE.在△BCF和 :AF,所以Rt△AEB≌Rt△AFC(HL).所以∠B=∠C=30,因 △CBE中，因为∠BFC=∠CEB,∠BCF=∠CBE,BC=CB, 为∠BAC=25°，所以∠CWB=∠C+∠BAC=55°.所以 所以△BCF≌△CBE(AAS).所以BF=CE.因为S△Bc= ∠CDB=∠B+∠CNB=85°. —3 初中数学·华东师大八年级第10~13期 (2)在△ACN和△ABM中，因为∠C=∠B,AC=AB, 第12期3版 ∠CAN=∠BAM,所以△ACN≌△ABM(ASA). 题号 1 2 5 6 78 8.因为AD⊥BC,A'D'⊥B'C',所以∠ADB=∠A'D'B= 答案CBBADC D C 90°.在Rt△ABD和Rt△A'B'D'中，因为AB=A'B',AD=A'D', 二、9.AB=DC;10.2;11.2或4： 所以Rt△ABD≌Rt△A'B'D'(HL).所以∠B=∠B'.在△ABC 12.40°或140° 和△A'B'C'中，因为AB=A'B',∠B=∠B',BC=B'C',所以 三、13.因为AD是△ABC的中线，所以CD=BD.因为DF △ABC≌△A'B'C'(SAS). ⊥AC,DE⊥AB,所以∠CFD=∠BED=90°.在Rt△CDF和 专题全等三角形的性质与判定 Rt△BDE中，因为CD=BD,CF=BE,所以Rt△CDF≌ 1.C;2.D;3.B;4.3. Rt△BDE(HL). 5.因为CB⊥AD,AE⊥DC,所以∠ABF=∠CBD= 14.因为CF⊥BE,所以∠CFB=90°.因为AD∥BC,所以 ∠CEF=90°.又因为∠AFB=∠CFE,所以∠A=∠C.在 ∠AEB=∠FBC.在△AEB和△FBC中，因为∠A=∠CFB, △ABF和△CBD中，因为∠A=∠C,AB=CB,∠ABF= ∠AEB=∠FBC,BE=CB,所以△AEB≌△FBC(AAS).所以 ∠CBD,所以△ABF≌△CBD(ASA). AE FB. 6.因为点D是BC的中点，所以BD=CD.因为CF∥AB, 15.如图4，过点A作AH⊥DE于点 所以∠BED=∠F在△BDE和△CDF中，因为∠BDE= H.所以∠AHD=∠AHE=90°=∠C. ∠CDF,∠BED=∠F,BD=CD,所以△BDE≌ 因为CD=2,BD=3,所以BC=CD+ △CDF(AAS).所以BE=CF. BD=5.因为DA平分∠CDE,所以 图4 7.(1)BF⊥CE.理由如下： ∠ADC=∠ADH.在△ADC和△ADH中，因为∠C=∠AHD, 因为△ABC≌△DEC.所以∠ACB=∠DCE.所以∠ACB ∠ADC=∠ADH,AD=AD,所以△ADC≌△ADH(AAS).所以 +∠ACG=∠DCE+∠ACG.所以∠BCG=∠ACD=60°.因为 HD=CD=2,AC=AH.在Rt△ABC和Rt△AEH中，因为AB= ∠B=30°，所以∠BGC=180°-∠B-∠BCG=90°.所以BF AE,AC=AH,所以Rt△ABC≌Rt△AEH(HL).所以EH=BC ⊥CE. =5.所以DE=HD+EH=7. (2)因为△ABC≌△DEC,所以∠E=∠B=30°.因为AC 16.(1)因为DB为△ACD的高，所以∠ABE=∠DBC= ∥DE,所以∠ACE=∠E=30°.所以∠DCE=∠ACD- 90°.在Rt△EBA和Rt△CBD中，因为AB=DB,∠ABE= ∠ACE=30 ∠DBC,EB=CB,所以△ABE≌△DBC(SAS). 8.(1)因为∠BAE=∠CAF=90°，所以∠BAE+∠BAC (2)BF=BG且BF⊥BG.证明如下： =∠CAF+∠BAC,即LCAE=∠FAB.在△CAE和△FAB中， 因为△ABE≌△DBC,所以AE=CD,SAABE=SADBC:因为 因为AE=AB,∠CAE=∠FAB,AC=AF,所以△CAE≌ △FAB(SAS).所以EC=BF BF⊥AE,BG1CD,所以号BF·AE=BG,CD.所以BF= (2)设AC交BF于点O,因为△CAE≌△FAB,所以∠AFO BG.在Rt△BEF和Rt△BCG中，因为EB=CB,BF=BG,所以 =∠OCM.因为∠AOF=∠COM,所以∠OMC=∠OAF= Rt△BEF≌Rt△BCG(HL).所以∠EBF=∠CBG.所以∠GBF 90°.所以EC⊥BF. =∠EBF+∠EBG=∠CBG+∠EBG=∠CBD=90°，即BF (3)若将条件∠BAE=∠CAF=90°改为∠BAE=∠CAF ⊥BG. =m°，则结论EC=BF成立，结论EC⊥BF不成立.理由如下： 综上所述，BF与BG的关系为BF=BG且BF⊥BG 同理可证△CAE≌△FAB.所以EC=BF,∠CMO= 附加题1.(1)因为AF⊥DE,所以∠DFA=90°= ∠FAO=m°.因为m≠90，所以CE与BF不垂直.所以结论EC ∠ABC.在Rt△ADF和Rt△ACB中，因为AD=AC,AF=AB,所 =BF成立，结论EC⊥BF不成立 以Rt△ADF≌Rt△ACB(HL).所以∠DAF=∠CAB. 4 初中数学·华东师大八年级第10~13期 (2)由(1)得∠AFE=∠ABE=90°.在Rt△AEF和：△ECA和△DBC中，因为AC=CB,∠ECA=∠DBC,CE=BD, Rt△AEB中，因为AE=AE,AF=AB,所以Rt△AEF≌ 所以△ECA≌△DBC(SAS).所以AE=CD. Rt△AEB(HL).所以EF=BE.因为Rt△ADF≌Rt△ACB,所以 (2)因为△ECA≌△DBC,所以∠EAC=∠DCB.又因为 DF=BC.所以DF=BC=BE+CE=EF+CE. ∠FAB=∠EAC+∠CAB=IO7°，所以∠DCB+∠CAB= 2.(1)因为∠ABC+∠ADC=180°，所以∠BCD+∠BAD 107°.所以∠ABC=180°-（∠DCB+∠CAB)=73°.因为AC =180°.因为∠BAD=90°，所以∠BCD=∠BAD=90°.在 =BC,所以∠BAC=∠ABC=73°.所以∠ACB=180°- Rt△BAD和Rt△BCD中，因为BD=BD,AB=CB,所以 i ∠BAC-∠ABC=34°. Rt△BAD≌Rt△BCD(HL).所以AD=CD, 12.3.1.2等边三角形的性质 (2)如图5，延长DC至点K,使CK= 基础训练1.D;2.B;3.15°. AP,连结BK 4.因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB= 因为∠ABC+∠ADC=180°，所以 60°.因为∠BDE=25°，所以∠E=∠ABC-∠BDE=35°.因 ∠BAD+∠BCD=18O°.因为LBCD+ 图5 为CD=DE,所以∠DCE=∠E=35°.所以∠ACD=∠ACB ∠BCK=180°，所以∠BAD=∠BCK在△BAP和△BCK中， -∠DCE=25°. 因为AB=CB,∠BAP=∠BCK,AP=CK,所以△BAP≌ 12.3.2.1等腰三角形的判定 △BCK(SAS).所以∠ABP=∠CBK,BP=BK.因为PQ=AP 基础训练1.C;2.B;3.16. +CQ,QK=CK+CQ,所以PQ=QK.在△PBQ和△KBQ中， 4.(1)因为△ABC是等腰三角形，∠BAC=52°，所以 因为BP=BK,QP=QK,BQ=BQ,所以△PBQ≌ ∠ABC=∠ACB=(I80°-∠BAC)=64e因为BG1AC. △KBO(SSS).所以∠PBQ=∠KBQ=∠CBK+∠CBQ= 所以∠BGC=90°.所以∠FBC=90°-∠ACB=26 ∠ABP+∠CBQ. (2)因为AB=AC,AD为中线，所以∠BAD=∠CAD,AD (3)∠PBO =90° K D ⊥BC.所以∠ADC=90°.所以∠DAC+∠DCA=90°.因为 分∠40C理由如下 ∠GBC+∠GCB=90°，所以∠GBC=∠DAC=∠DAB.因为 如图6，在CD延长线上找一点 DE=DA,所以∠DAE=∠DEA.所以∠AFB=∠CBG+ K,使得KC=AP,连结BK同(2) ∠DEA=∠DAB+∠DAE=∠BAF.所以BF=AB. 可证得∠PBK=∠ABC,∠PBQ= 图6 12.3.2.2等边三角形的判定 ∠KBQ.所以2∠PBQ+∠PBK=2∠PBQ+∠ABC=360°.所 基础训练1.C;2.B;3.30° 以2∠PBQ+(180°-∠ADC)=360°.所以∠PBQ=90°+ 4.(1)如图7，等边三角形CEF即为所求作。 合∠ADC 第13期2版 12.3等腰三角形 12.3.1.1等腰三角形的性质 图 图8 基础训练1.C；2.C;3.3cm;4.90° (2)CD=CE+CF.理由如下： 5.因为BE=AE,∠ABE=25°，所以∠BAD=∠ABE= 如图8，在CD上截取CH=CE,连结EH.因为△ABC是等 25°.因为AB=AC,点D为BC边的中点，所以∠BAC= 边三角形，所以∠ACB=60°.所以△ECH是等边三角形.所以 2∠BAD=50°. EC=EH=CH,∠CEH=60°.因为△DEF是等边三角形，所以 能力提高6.(I)因为∠ADB=∠BCD+∠DBC,∠BCE EF=ED,∠FED=6O°.所以∠CEH-∠FEH=∠FED- =∠BCD+∠ECA,∠ADB=∠BCE,所以∠ECA=∠DBC.在 FEH,即∠CEF=∠HED.在△CEF和△HED中，因为EF= 初中数学·华东师大八年级第10~13期 ED,∠CEF=∠HED,EC=EH,所以△CEF≌△HED(SAS). =∠HAD.在△ABD和△AHD中，因为∠B= 所以CF=HD.因为CD=CH+HD,所以CD=CE+CF ∠AHD,∠BAD=∠HAD,AD=AD,所以 第13期3版 △ABD≌△AHD(AAS).所以AB=AH,BD= -题号12345678 HD.因为△ABC是等腰直角三角形，所以∠C 图9 答案CBADA D BD =45°.所以∠HDC=90°-∠C=45°.所以HD=HC.所以 二、9.等腰三角形的“三线合一”；10.2； BD=HC.因为AC=AH+CH,所以AC=AB+BD. 11.75°：12.5. 附加题1.小虎说的正确.理由如下： 三、13.(1)因为AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高， 因为∠ACB=90°，所以∠A+∠B=90°.因为BD=BC, 所以∠BAD=∠CAD.因为DE∥AB,所以∠ADE=∠BAD.所 所以∠BCD=∠BDC=(180°-∠B)=90-号∠R因 以∠DAE=∠ADE.所以EA=ED. (2)因为AB=AC,所以∠C=∠B.因为DE∥AB,所以 为AE=AC,所以∠ACE=LAEC=(180-∠A)=90°- ∠EDC=∠B.所以∠EDC=∠C.所以DE=CE.由(I)得EA 号LA所以∠DCE=180°-∠DEC-∠CDE=180°-(90 =ED.所以AE=CE. 14.(1)因为△ABC是等边三角形，所以∠BCE=∠A= 分∠A)-(90-分∠B)=子（∠A+∠）=45所以 60°，BC=CA.在△BCE和△CAD中，因为BC=CA,∠BCE= ∠DCE的度数是一个定值，与∠B的度数无关，即小虎说的正 ∠CAD,CE=AD,所以△BCE≌△CAD(SAS).所以BE=CD. 确。 (2)因为△BCE≌△CAD,所以∠CBE=∠ACD.所以 2.因为∠ACB=90°，∠A=30°，所以∠ABC=60°.因为 ∠BPD=∠PCB+∠CBE=∠PCB+∠ACD=∠ACB=6O. BD平分∠ABC,所以∠DBA=∠DBC=7∠ABC=30= 15.(I)因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.因为BE= ∠A.所以AD=BD,∠BDC=∠A+∠DBA=60° DE,所以∠CBE=∠D.所以∠ABC-∠CBE=∠ACB-∠D, (I)因为DE⊥AB,所以∠BED=90°=∠BCD.在△BDE 即∠ABE=∠CED.因为AE=BE,所以∠A=∠ABE.由对顶 和△BDC中，因为∠BED=∠BCD,∠DBE=∠DBC,BD= 角相等，得∠AEF=∠CED.所以∠A=∠AEF.所以△AEF是 BD,所以△BDE≌△BDC(AAS).所以BC=BE.所以△EBC 等腰三角形. 是等边三角形. (2)由(I)得∠BFE=∠A+∠AEF=2∠A.所以∠BFE (2)AD=DG+MD.理由如下： ≠∠ABE.所以当△BEF是等腰三角形时，存在以下两种情况： 如图10，延长ED至点P,使得 P:MC ①当∠BFE=∠BEF=2∠A时，在△BEF中，5∠A= DP=MD,连结MP.因为DE⊥AB, 180°，解得∠A=36°： 所以∠AED=90°.因为∠A=30°， ②当∠BEF=∠ABE=∠A时，在△BEF中，4∠A= G 所以∠ADE=90°-∠A=60°.所以 图10 180°，解得∠A=45°. ∠PDM=60°.又因为DM=DP,所以△PDM是等边三角形. 综上所述，∠A的度数为36°或45. 所以∠P=∠PMD=60°，MP=MD.因为∠BMG=60°，所以 16.(1)因为AD⊥BC,BD=DE,所以AB=AE.所以∠B ∠PMD+∠DMG=∠BMG+∠DMG,即∠PMG=∠DMB.在 =∠AEB.因为CD=BD+AB=DE+AE=DE+CE,所以AE △PGM和△DBM中，因为∠P=∠MDB,MP=MD,∠PMG= =CE.所以∠C=∠EAC.所以∠AEB=∠C+∠EAC= ∠DMB,所以△PGM≌△DBM(ASA).所以PG=DB.因为PG 2∠C.所以∠B=2∠C. =DP+DG=MD+DG,所以AD=DG+MD (2)如图9，过点D作DH⊥AC于点H.所以∠AHD= ∠CHD=90°=∠B.因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD 6