12.3.1 等腰三角形的性质 讲义 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

12.3.1等腰三角形的性质 学习目标 1. 理解等腰三角形的概念，知道等腰三角形各部分的名称。 2. 掌握等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等（简称为“等边对等角”）；等腰三角形三线合一（即等腰三角形底边上的高、中线和顶角平分线互相重合）。 3. 能够运用等腰三角形的性质进行相关的计算和证明，提高逻辑推理能力和解决问题的能力。 知识点讲解 1. 等腰三角形的定义 有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 例如，在中，如果，那么就是等腰三角形，其中(AB)、(AC)是腰，(BC)是底边，是顶角，、是底角。 2. 等腰三角形的性质 · 性质1：等腰三角形的两腰相等 这是等腰三角形的基本特征，从定义直接可得。用数学语言表示为：在中，若，则。 · 性质2：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 证明：已知中，，作(AD)平分，交(BC)于点(D)。 在和中， 所以，则。 用数学语言表示为：在中，因为，所以。 · 性质3：等腰三角形三线合一 即等腰三角形底边上的高、中线和顶角平分线互相重合。 证明：以底边上的高和中线重合为例。已知中，，(AD⊥ BC)于点(D)。 因为，，，所以，则，即(AD)是(BC)边上的中线。 用数学语言表示为：在中，若，(AD⊥ BC)，则，（或若，，则(AD⊥ BC)，；若，，则(AD⊥ BC)，）。 例题解析 1. 例题1：已知等腰三角形的一个顶角为，求它的底角的度数。 所以它的底角的度数为。 2. 例题2：在等腰中，，，求的度数。 3. 例题3：已知等腰三角形的底边长为(6)，腰长为(5)，求这个等腰三角形的周长。 4. 例题4：在中，，(AD)是(BC)边上的中线，，求、的度数。 巩固练习 （一）选择题 1. 等腰三角形的一个角是，则它的底角是（ ） A. B. C. D. 或 2. 等腰三角形的周长为(13)，其中一边长为(3)，则该等腰三角形的腰长为（ ） A. (7) B. (3) C. (5) D. (7)或(3) 3. 已知等腰三角形的两边长分别为(2)和(5)，则它的周长为（ ） A. (9) B. (12) C. (9)或(12) D. (5) （二）填空题 1. 等腰三角形的一个底角为，则它的顶角为______。 2. 等腰三角形中，已知腰长为(4)，底边长为(6)，则此等腰三角形的周长为______。 3. 等腰三角形的一个外角为，则它的底角为______。 （三）解答题 1. 已知等腰三角形的一个内角为，求其余两个内角的度数。 2. 在等腰中，，，求的度数。 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.3.1等腰三角形的性质 学习目标 1. 理解等腰三角形的概念，知道等腰三角形各部分的名称。 2. 掌握等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等（简称为“等边对等角”）；等腰三角形三线合一（即等腰三角形底边上的高、中线和顶角平分线互相重合）。 3. 能够运用等腰三角形的性质进行相关的计算和证明，提高逻辑推理能力和解决问题的能力。 知识点讲解 1. 等腰三角形的定义 有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 例如，在中，如果，那么就是等腰三角形，其中(AB)、(AC)是腰，(BC)是底边，是顶角，、是底角。 2. 等腰三角形的性质 · 性质1：等腰三角形的两腰相等 这是等腰三角形的基本特征，从定义直接可得。用数学语言表示为：在中，若，则。 · 性质2：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 证明：已知中，，作(AD)平分，交(BC)于点(D)。 在和中， 所以，则。 用数学语言表示为：在中，因为，所以。 · 性质3：等腰三角形三线合一 即等腰三角形底边上的高、中线和顶角平分线互相重合。 证明：以底边上的高和中线重合为例。已知中，，(AD⊥ BC)于点(D)。 因为，，，所以，则，即(AD)是(BC)边上的中线。 用数学语言表示为：在中，若，(AD⊥ BC)，则，（或若，，则(AD⊥ BC)，；若，，则(AD⊥ BC)，）。 例题解析 1. 例题1：已知等腰三角形的一个顶角为，求它的底角的度数。 解：因为等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和为。 设底角的度数为(x)，则。 所以它的底角的度数为。 2. 例题2：在等腰中，，，求的度数。 解：因为，所以。 又因为三角形内角和为，所以 3. 例题3：已知等腰三角形的底边长为(6)，腰长为(5)，求这个等腰三角形的周长。 解：等腰三角形的周长等于两腰长与底边长之和。 已知腰长为(5)，底边长为(6)，则周长为(5 + 5 + 6) 所以这个等腰三角形的周长为(16)。 4. 例题4：在中，，(AD)是(BC)边上的中线，，求、的度数。 解：因为，所以。 又因为，，所以。 则。 因为(AD)是(BC)边上的中线，根据等腰三角形三线合一，(AD)也是的平分线。 所以。 巩固练习 （一）选择题 1. 等腰三角形的一个角是，则它的底角是（ ） A. B. C. D. 或 2. 等腰三角形的周长为(13)，其中一边长为(3)，则该等腰三角形的腰长为（ ） A. (7) B. (3) C. (5) D. (7)或(3) 3. 已知等腰三角形的两边长分别为(2)和(5)，则它的周长为（ ） A. (9) B. (12) C. (9)或(12) D. (5) （二）填空题 1. 等腰三角形的一个底角为，则它的顶角为______。 2. 等腰三角形中，已知腰长为(4)，底边长为(6)，则此等腰三角形的周长为______。 3. 等腰三角形的一个外角为，则它的底角为______。 （三）解答题 1. 已知等腰三角形的一个内角为，求其余两个内角的度数。 2. 在等腰中，，，求的度数。 巩固练习答案 （一）选择题 1. 答案：C 解析：等腰三角形两底角相等，三角形内角和为，当为顶角时，底角为；不能为底角，因为若两个底角为，则内角和超过，所以选C。 2. 答案：C 解析：当(3)为腰长时，三边为(3)，(3)，(7)，因为，不满足三角形三边关系（两边之和大于第三边）；当(3)为底边时，腰长为，三边为(5)，(5)，(3)，满足三边关系，所以腰长为(5)，选C。 3. 答案：B 解析：当腰长为(2)时，三边为(2)，(2)，(5)，因为，不满足三边关系；当腰长为(5)时，三边为(5)，(5)，(2)，满足三边关系，此时周长为，所以选B。 （二）填空题 1. 答案： 解析：因为等腰三角形两底角相等，三角形内角和为，已知底角为，则顶角为。 2. 答案：(14) 解析：等腰三角形周长等于两腰长与底边长之和，腰长为(4)，底边长为(6)，则周长为。 3. 答案：或 解析：当这个外角是顶角的外角时，顶角为，则底角为；当这个外角是底角的外角时，底角为，所以底角为或。 （三）解答题 1. 解： 当角为顶角时，底角为 其余两角为，。 当角为底角时，顶角为 其余两角为，。 2. 解：因为，所以。 又因为三角形内角和为，所以 学科网（北京）股份有限公司 $