第12期 12.2 三角形全等的判定(HL)-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（华东师大版2024）

初中数学·华东师大八年级第10~13期 数理括 答案详解 2025~2026学年初中数学·华东师大八年级 第10~13期(2025年9月) 第10期1,2版 均为直角三角形，所以54mc=20M·0C=子，Sam= -题号123456789 1011 12 答案ADDADCBDB BC B 0B,0D=.因为Sae+Sam=63,所以分+ 二13.-高2-5；14答案不惟一，如∠4CD=∠B =68.所以x2+y2=136.因为AD=16,所以x+y=16.因为 (x+y)2=x2+2y+y2,所以162=136+2y.所以xy=60. 15.9或-7：16.1或-1. 三、17.(1)1-2a;(2)-3x2 所以一块直角三角板的面积为：2y=30. 18.(1)(n-2)(m+5)(m-5);(2)400. 第10期3,4版 19.因为AC平分∠BAD,所以∠BAC=∠DAC.在△ABC 题号1234567891012 和△ADC中，因为AB=AD,∠BAC=∠DAC,AC=AC,所以 答案BDB CBADAADCA △ABC≌△ADC(SAS). =13.-7；14.(7ab+36);15.4;16.3<EF<7 20.(1)由题意，得6a+34=64,5a+b-2=25,c=3.解 得a=5,b=2. 三17.(1)-4a(x-y）2；(2)-3997 819 (2)把a=5,b=2,c=3代人3a-b+c,得3×5-2+ 18原式=当x=-2,y=分时，原式=子 3=16.因为16的平方根是±4，所以3a-b+c的平方根是±4. 19.(1)在四边形ABCD中，因为∠A=∠BCD=90°，所以 21.(1)因为AB∥DE,所以∠B=∠DEF.因为BE=CF, 90°+∠B+90°+∠ADC=360°.所以∠B+∠ADC=180°. 所以BE+EC=CF+EC,即BC=EF.在△ABC和△DEF中， 又因为∠EDC+∠ADC=180°，所以∠B=∠EDC. 因为AB=DE,∠B=∠DEF,BC=EF,所以△ABC≌ (2)连结AC,图略 △DEF(SAS). 在△ABC和△EDC中，因为AB=ED,∠ABC=∠EDC, (2)因为∠B=55°，∠ACB=100°，所以∠A=180°- BC=DC,所以△ABC兰△EDC(SAS) ∠B-∠ACB=25°.因为△ABC≌△DEF,所以∠D=∠A= 20.(1)5,√/35-5； 250 22.(1)因为x+y=3,x2+y2=5,所以(x+y)2=x2+ (2)因为3<√14<4，所以√14的整数部分是3，小数部 2y+y2=5+2y=32=9.所以y=2. 分是√14-3，即a=14-3.因为4<√22<5，所以22的 (2)①3. 整数部分是4，即b=4.所以4(a+3)2+2b=4×(14-3 ②设2025-x=a,2022-x=b,所以a-b=3.因为 +3)2+2×4=64.因为64的平方根是±8，所以4(a+3)2+ (2025-x)2+(2022-x)2=2025,所以a2+6=2025.因 2b的平方根是±8. 为(a-b)2=a2-2ab+b2,所以32=2025-2ab.所以ab= 21.(1)原式=x2+2xy+y2-4y2=(x+y)2-(2y)2= 1008,即(2025-x)(2022-x)=1008. (x+y+2y)(x+y-2y)=(x+3y)(x-y); (3)设OA=0C=x,OB=OD=y.因为△A0C,△B0D (2)S1=(3a+2)(2a+3)=6a2+9a+4a+6=6a2+ 初中数学·华东师大八年级第10~13期 1+6品=4aa+子)=4松+17a所以S-S=(6d2+ 第11期2版 12.2.3角边角 13a+6)-(4a2+17a)=6a2+13a+6-4a2-17a=2a2- 基础训练1.A；2.C；3.D; 4a+6=2(a2-2a+1+2)=2(a-1)2+4>0.所以S1> 4.∠CAB=∠DBA或∠CBA=∠DAB;5.=. 52 6.因为∠1=∠3，∠AHC=∠DHG,所以180°-∠1- 22.(1)当t=1时，△ACP与△BPQ全等，此时PC⊥PQ ∠AHC=180°-∠3-∠DHG,即∠A=∠D.因为∠1=∠2， 理由如下： 所以∠1+∠HCB=∠2+∠HCB,即∠ACB=∠DCE.在 因为点Q与点P的运动速度均为1cm/s,当t=1时，AP= △ABC和△DEC中，因为∠ACB=∠DCE,AC=DC,∠A= BQ=1cm.因为AB=4cm,所以BP=AB-AP=3cm.所以 ∠D,所以△ABC≌△DEC(ASA). AC=BP.又因为AC⊥AB,BD⊥AB,所以∠CAP=∠PBQ= 7.因为AE⊥CD,BF⊥CD,所以∠AEC=∠CFB=90°= 90°.在△ACP和△BPQ中，因为AP=BQ,∠CAP=∠PBQ, ∠ACB.所以∠CAE+∠ACE=90°，∠ACE+∠BCF=90°.所 AC=BP,所以△ACP≌△BPQ(SAS).所以∠C=∠BPQ.因 以∠CAE=∠BCF.在△AEC和△CFB中，因为∠AEC= 为∠CAP=90°，所以∠C+∠APC=90°.所以∠BPQ+ ∠CFB,∠CAE=∠BCF,AC=CB,所以△AEC≌ ∠APC=90°.所以∠CPQ=180°-（∠BPQ+∠APC)=90°. △CFB(AAS).所以AE=CF,CE=BF因为EF=CF-CE, 所以PC⊥PO. 所以EF=AE-BF (2)因为点Q的运动速度为xcm/s,运动时间为ts,所以 能力提高8.(1)DE=BD+CE. BO xt cm. (2)DE=BD+CE仍然成立.理由如下： 因为点P在AB上以1c/s的速度由点A向点B运动， 因为∠BDA=∠BAC=a,所以∠BAD+∠DBA=∠BAD 所以AP=tcm.所以BP=AB-AP=(4-t)cm +∠EAC=180°-a.所以∠DBA=∠EAC. 又因为∠CAB=∠DBA=60°，所以当△ACP与△BPQ全 在△ABD和△CAE中，因为∠BDA=∠AEC,∠DBA= 等时，有以下两种情况： ∠EAC,AB=CA,所以△ABD≌△CAE(AAS).所以BD=AE, ①当AC=BP,AP=BQ时，△ACP≌△BPQ.因为AC= AD=CE.所以DE=AE+AD=BD+CE. 3cm,由AC=BP,得3=4-t.解得t=1. (3)由(2)得△ABD≌△CAE. 由AP=BQ,得t=xt.解得x=1. 所以S AARD=S△CAE: 设△ABC的底边BC上的高为h,则△ABF的底边BF上的 所以当x=I,t=1时，△ACP和△BPO全等 ②当AP=BP,AC=BQ时，△ACP≌△BQP.因为AC= 高为h BD=3,所以BQ=AC=3,此时点Q与点D重合，如图1. 因为BC=3BF,Sa=18,所以5r=子5ae=6所 以SAFm+SACE=6. 12.2.4边边边 基础训练1.C;2.B;3.3. 图1 4.连结BC,图略.在△ABC和△DCB中，因为AC=DB,AB 由AP=BP,得t=4-t.解得t=2. =DC,BC=CB,所以△ABC≌△DCB(SSS).所以∠A=∠D. 由AC=BQ,得t=3.将t=2代人t=3,得x=1.5. 5.(1)因为BE=CF,所以BE+EC=CF+EC,即BC= 所以当x=1.5,t=2时，△ACP和△BPQ全等， EF.在△ABC和△DEF中，因为AB=DE,AC=DF,BC=EF, 综上所述，当x=1,t=1或x=1.5,t=2时，△ACP和 所以△ABC≌△DEF(SSS).所以∠A=∠D. △BPQ全等. (2)因为∠A=70°，∠B=40°，所以∠ACB=180°-∠A 初中数学·华东师大八年级第10~13期 -∠B=70°.因为△ABC≌△DEF,所以∠DFE=∠ACB= 号BDCE=5,S=AC:BF=10,所以AC=2BD 70,因为FG平分∠DFE,所以∠GFC=7∠DFE=35,所以 附加题L.(1)因为点F是AD的中点，所以AF=DF.在 ∠CGF=∠ACB-∠GFC=35°. △AEF和△DHF中，因为AF=DF,∠AFE=∠DFH,FE= 能力提高6.8. FH,所以△AEF≌△DHF(SAS), 第11期3版 (2)因为△AEF≌△DHF,所以AE=DH,∠EAF= 题号1234 5 6 78 ∠HDF.所以AB∥DH.所以∠B=∠HDC.因为AE=CD,所 以DH=DC.在△DHG和△DCG中，因为DH=DC,HG=CG, 二、9.答案不惟一，如∠B=∠C:10.130°： DG=DG,所以△DHG≌△DCG(SSS).所以∠HDG=∠CDG. 11.5m;12.3. 所以∠B=2∠GDC. 三、13.图略. 2.(1)∠DFE; 14.在△ADB和△CDB中，因为AD=CD,AB=CB,BD= (2)∠AQB=∠APB或∠AQB+∠APB=180°： BD,所以△ADB≌△CDB(SSS).所以∠ABD=∠CBD.所以 (3)BE=CF+CE.理由如下： BD平分∠ABC. 如图3，延长BA,CD交于点G.因为 15.(1)因为∠BEG=∠CDG,所以180°-∠BEG=180° ∠ACD是∠ABD的“边垂角”，所以CG -∠CDG,即∠AEB=∠CDA.因为∠BEG=∠BAC,所以 ⊥BD,AC⊥BG.所以∠EDC=∠EDF ∠BAE+∠ABE=∠BAE+∠CAD.所以∠ABE=∠CAD.在 =∠EAB=∠CAG=90°.所以∠B+ 图3 △BAE和△ACD中，因为∠AEB=∠CDA,∠ABE=∠CAD, ∠AEB=90°，∠C+∠DEC=90°.因为∠AEB=∠DEC,所以 AB=CA,所以△BAE≌△ACD(AAS). ∠B=∠C.在△ABE和△ACG中，因为∠B=∠C,AB=AC, (2)因为△BAE兰△ACD,所以SAE=S△ACD·因为BF= LBAE=∠CAG,所以△ABE≌△ACG(ASA.所以AE=AG, 2CF,所以S AABF=2 SAACF,SARDF=2 SACDE.所以SAARD=S AABF BE=CG.因为∠FAC=45°，所以∠GAF=∠CAG-∠FAC= -SARDF=2S△ACF-2 SACDF=2S△ADC.所以S△BDE=S△ABD- 45°=∠FAC.在△AGF和△AEF中，因为AG=AE,∠GAF= S△aE=S△AD·所以小麦种植区△BDE里需要施肥200千克. ∠EAF,AF=AF,所以△AGF≌△AEF(SAS).所以GF=EF. 16.(1)如图2，延长AD交BC 在△EDF和△EDC中，因为DF=DC,∠EDF=∠EDC,ED= 于点H.因为BD平分∠ABC,所以 ED,所以△EDF≌△EDC(SAS).所以EF=EC.所以BE=CG ∠ABD=∠HBD.因为AD⊥BD,所 CF FG CF +EF CF +CE. 以∠ADB=∠HDB=90°.在 H 第12期2版 图2 12.2.5斜边直角边 △ABD和△HBD中，因为∠ABD=∠HBD,BD=BD,∠ADB 基础训练1.A;2.B;3.50°；4.①②③. =∠HDB,所以△ABD兰△HBD(ASA).所以S AARD=S△HBD, 5.图略. AD=HD.所以S△AcD=S△Hc:因为△BDC的面积是5，所以 6.因为BE=CF,所以BE+EF=CF+EF,即BF=CE. S△ABc=S AARH+S△ACH=2 S AHRD+2S△HCD=2S△BDc=10. 在Rt△ABF和Rt△DCE中，因为BF=CE,AF=DE,所以 (2)如图2，过点B作BF⊥AC于点F,过点C作CE⊥BD Rt△ABF≌Rt△DCE(HL). 的延长线于点E.则∠BFC=∠CEB=90°.因为∠ABC= 7.(1)在Rt△AEB和Rt△AFC中，因为AB=AC,AE= 2∠ACB,BD平分∠ABC,所以∠BCF=∠CBE.在△BCF和 :AF,所以Rt△AEB≌Rt△AFC(HL).所以∠B=∠C=30,因 △CBE中，因为∠BFC=∠CEB,∠BCF=∠CBE,BC=CB, 为∠BAC=25°，所以∠CWB=∠C+∠BAC=55°.所以 所以△BCF≌△CBE(AAS).所以BF=CE.因为S△Bc= ∠CDB=∠B+∠CNB=85°. —3 初中数学·华东师大八年级第10~13期 (2)在△ACN和△ABM中，因为∠C=∠B,AC=AB, 第12期3版 ∠CAN=∠BAM,所以△ACN≌△ABM(ASA). 题号 1 2 5 6 78 8.因为AD⊥BC,A'D'⊥B'C',所以∠ADB=∠A'D'B= 答案CBBADC D C 90°.在Rt△ABD和Rt△A'B'D'中，因为AB=A'B',AD=A'D', 二、9.AB=DC;10.2;11.2或4： 所以Rt△ABD≌Rt△A'B'D'(HL).所以∠B=∠B'.在△ABC 12.40°或140° 和△A'B'C'中，因为AB=A'B',∠B=∠B',BC=B'C',所以 三、13.因为AD是△ABC的中线，所以CD=BD.因为DF △ABC≌△A'B'C'(SAS). ⊥AC,DE⊥AB,所以∠CFD=∠BED=90°.在Rt△CDF和 专题全等三角形的性质与判定 Rt△BDE中，因为CD=BD,CF=BE,所以Rt△CDF≌ 1.C;2.D;3.B;4.3. Rt△BDE(HL). 5.因为CB⊥AD,AE⊥DC,所以∠ABF=∠CBD= 14.因为CF⊥BE,所以∠CFB=90°.因为AD∥BC,所以 ∠CEF=90°.又因为∠AFB=∠CFE,所以∠A=∠C.在 ∠AEB=∠FBC.在△AEB和△FBC中，因为∠A=∠CFB, △ABF和△CBD中，因为∠A=∠C,AB=CB,∠ABF= ∠AEB=∠FBC,BE=CB,所以△AEB≌△FBC(AAS).所以 ∠CBD,所以△ABF≌△CBD(ASA). AE FB. 6.因为点D是BC的中点，所以BD=CD.因为CF∥AB, 15.如图4，过点A作AH⊥DE于点 所以∠BED=∠F在△BDE和△CDF中，因为∠BDE= H.所以∠AHD=∠AHE=90°=∠C. ∠CDF,∠BED=∠F,BD=CD,所以△BDE≌ 因为CD=2,BD=3,所以BC=CD+ △CDF(AAS).所以BE=CF. BD=5.因为DA平分∠CDE,所以 图4 7.(1)BF⊥CE.理由如下： ∠ADC=∠ADH.在△ADC和△ADH中，因为∠C=∠AHD, 因为△ABC≌△DEC.所以∠ACB=∠DCE.所以∠ACB ∠ADC=∠ADH,AD=AD,所以△ADC≌△ADH(AAS).所以 +∠ACG=∠DCE+∠ACG.所以∠BCG=∠ACD=60°.因为 HD=CD=2,AC=AH.在Rt△ABC和Rt△AEH中，因为AB= ∠B=30°，所以∠BGC=180°-∠B-∠BCG=90°.所以BF AE,AC=AH,所以Rt△ABC≌Rt△AEH(HL).所以EH=BC ⊥CE. =5.所以DE=HD+EH=7. (2)因为△ABC≌△DEC,所以∠E=∠B=30°.因为AC 16.(1)因为DB为△ACD的高，所以∠ABE=∠DBC= ∥DE,所以∠ACE=∠E=30°.所以∠DCE=∠ACD- 90°.在Rt△EBA和Rt△CBD中，因为AB=DB,∠ABE= ∠ACE=30 ∠DBC,EB=CB,所以△ABE≌△DBC(SAS). 8.(1)因为∠BAE=∠CAF=90°，所以∠BAE+∠BAC (2)BF=BG且BF⊥BG.证明如下： =∠CAF+∠BAC,即LCAE=∠FAB.在△CAE和△FAB中， 因为△ABE≌△DBC,所以AE=CD,SAABE=SADBC:因为 因为AE=AB,∠CAE=∠FAB,AC=AF,所以△CAE≌ △FAB(SAS).所以EC=BF BF⊥AE,BG1CD,所以号BF·AE=BG,CD.所以BF= (2)设AC交BF于点O,因为△CAE≌△FAB,所以∠AFO BG.在Rt△BEF和Rt△BCG中，因为EB=CB,BF=BG,所以 =∠OCM.因为∠AOF=∠COM,所以∠OMC=∠OAF= Rt△BEF≌Rt△BCG(HL).所以∠EBF=∠CBG.所以∠GBF 90°.所以EC⊥BF. =∠EBF+∠EBG=∠CBG+∠EBG=∠CBD=90°，即BF (3)若将条件∠BAE=∠CAF=90°改为∠BAE=∠CAF ⊥BG. =m°，则结论EC=BF成立，结论EC⊥BF不成立.理由如下： 综上所述，BF与BG的关系为BF=BG且BF⊥BG 同理可证△CAE≌△FAB.所以EC=BF,∠CMO= 附加题1.(1)因为AF⊥DE,所以∠DFA=90°= ∠FAO=m°.因为m≠90，所以CE与BF不垂直.所以结论EC ∠ABC.在Rt△ADF和Rt△ACB中，因为AD=AC,AF=AB,所 =BF成立，结论EC⊥BF不成立 以Rt△ADF≌Rt△ACB(HL).所以∠DAF=∠CAB. 4 初中数学·华东师大八年级第10~13期 (2)由(1)得∠AFE=∠ABE=90°.在Rt△AEF和：△ECA和△DBC中，因为AC=CB,∠ECA=∠DBC,CE=BD, Rt△AEB中，因为AE=AE,AF=AB,所以Rt△AEF≌ 所以△ECA≌△DBC(SAS).所以AE=CD. Rt△AEB(HL).所以EF=BE.因为Rt△ADF≌Rt△ACB,所以 (2)因为△ECA≌△DBC,所以∠EAC=∠DCB.又因为 DF=BC.所以DF=BC=BE+CE=EF+CE. ∠FAB=∠EAC+∠CAB=IO7°，所以∠DCB+∠CAB= 2.(1)因为∠ABC+∠ADC=180°，所以∠BCD+∠BAD 107°.所以∠ABC=180°-（∠DCB+∠CAB)=73°.因为AC =180°.因为∠BAD=90°，所以∠BCD=∠BAD=90°.在 =BC,所以∠BAC=∠ABC=73°.所以∠ACB=180°- Rt△BAD和Rt△BCD中，因为BD=BD,AB=CB,所以 i ∠BAC-∠ABC=34°. Rt△BAD≌Rt△BCD(HL).所以AD=CD, 12.3.1.2等边三角形的性质 (2)如图5，延长DC至点K,使CK= 基础训练1.D;2.B;3.15°. AP,连结BK 4.因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB= 因为∠ABC+∠ADC=180°，所以 60°.因为∠BDE=25°，所以∠E=∠ABC-∠BDE=35°.因 ∠BAD+∠BCD=18O°.因为LBCD+ 图5 为CD=DE,所以∠DCE=∠E=35°.所以∠ACD=∠ACB ∠BCK=180°，所以∠BAD=∠BCK在△BAP和△BCK中， -∠DCE=25°. 因为AB=CB,∠BAP=∠BCK,AP=CK,所以△BAP≌ 12.3.2.1等腰三角形的判定 △BCK(SAS).所以∠ABP=∠CBK,BP=BK.因为PQ=AP 基础训练1.C;2.B;3.16. +CQ,QK=CK+CQ,所以PQ=QK.在△PBQ和△KBQ中， 4.(1)因为△ABC是等腰三角形，∠BAC=52°，所以 因为BP=BK,QP=QK,BQ=BQ,所以△PBQ≌ ∠ABC=∠ACB=(I80°-∠BAC)=64e因为BG1AC. △KBO(SSS).所以∠PBQ=∠KBQ=∠CBK+∠CBQ= 所以∠BGC=90°.所以∠FBC=90°-∠ACB=26 ∠ABP+∠CBQ. (2)因为AB=AC,AD为中线，所以∠BAD=∠CAD,AD (3)∠PBO =90° K D ⊥BC.所以∠ADC=90°.所以∠DAC+∠DCA=90°.因为 分∠40C理由如下 ∠GBC+∠GCB=90°，所以∠GBC=∠DAC=∠DAB.因为 如图6，在CD延长线上找一点 DE=DA,所以∠DAE=∠DEA.所以∠AFB=∠CBG+ K,使得KC=AP,连结BK同(2) ∠DEA=∠DAB+∠DAE=∠BAF.所以BF=AB. 可证得∠PBK=∠ABC,∠PBQ= 图6 12.3.2.2等边三角形的判定 ∠KBQ.所以2∠PBQ+∠PBK=2∠PBQ+∠ABC=360°.所 基础训练1.C;2.B;3.30° 以2∠PBQ+(180°-∠ADC)=360°.所以∠PBQ=90°+ 4.(1)如图7，等边三角形CEF即为所求作。 合∠ADC 第13期2版 12.3等腰三角形 12.3.1.1等腰三角形的性质 图 图8 基础训练1.C；2.C;3.3cm;4.90° (2)CD=CE+CF.理由如下： 5.因为BE=AE,∠ABE=25°，所以∠BAD=∠ABE= 如图8，在CD上截取CH=CE,连结EH.因为△ABC是等 25°.因为AB=AC,点D为BC边的中点，所以∠BAC= 边三角形，所以∠ACB=60°.所以△ECH是等边三角形.所以 2∠BAD=50°. EC=EH=CH,∠CEH=60°.因为△DEF是等边三角形，所以 能力提高6.(I)因为∠ADB=∠BCD+∠DBC,∠BCE EF=ED,∠FED=6O°.所以∠CEH-∠FEH=∠FED- =∠BCD+∠ECA,∠ADB=∠BCE,所以∠ECA=∠DBC.在 FEH,即∠CEF=∠HED.在△CEF和△HED中，因为EF= 初中数学·华东师大八年级第10~13期 ED,∠CEF=∠HED,EC=EH,所以△CEF≌△HED(SAS). =∠HAD.在△ABD和△AHD中，因为∠B= 所以CF=HD.因为CD=CH+HD,所以CD=CE+CF ∠AHD,∠BAD=∠HAD,AD=AD,所以 第13期3版 △ABD≌△AHD(AAS).所以AB=AH,BD= -题号12345678 HD.因为△ABC是等腰直角三角形，所以∠C 图9 答案CBADA D BD =45°.所以∠HDC=90°-∠C=45°.所以HD=HC.所以 二、9.等腰三角形的“三线合一”；10.2； BD=HC.因为AC=AH+CH,所以AC=AB+BD. 11.75°：12.5. 附加题1.小虎说的正确.理由如下： 三、13.(1)因为AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高， 因为∠ACB=90°，所以∠A+∠B=90°.因为BD=BC, 所以∠BAD=∠CAD.因为DE∥AB,所以∠ADE=∠BAD.所 所以∠BCD=∠BDC=(180°-∠B)=90-号∠R因 以∠DAE=∠ADE.所以EA=ED. (2)因为AB=AC,所以∠C=∠B.因为DE∥AB,所以 为AE=AC,所以∠ACE=LAEC=(180-∠A)=90°- ∠EDC=∠B.所以∠EDC=∠C.所以DE=CE.由(I)得EA 号LA所以∠DCE=180°-∠DEC-∠CDE=180°-(90 =ED.所以AE=CE. 14.(1)因为△ABC是等边三角形，所以∠BCE=∠A= 分∠A)-(90-分∠B)=子（∠A+∠）=45所以 60°，BC=CA.在△BCE和△CAD中，因为BC=CA,∠BCE= ∠DCE的度数是一个定值，与∠B的度数无关，即小虎说的正 ∠CAD,CE=AD,所以△BCE≌△CAD(SAS).所以BE=CD. 确。 (2)因为△BCE≌△CAD,所以∠CBE=∠ACD.所以 2.因为∠ACB=90°，∠A=30°，所以∠ABC=60°.因为 ∠BPD=∠PCB+∠CBE=∠PCB+∠ACD=∠ACB=6O. BD平分∠ABC,所以∠DBA=∠DBC=7∠ABC=30= 15.(I)因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.因为BE= ∠A.所以AD=BD,∠BDC=∠A+∠DBA=60° DE,所以∠CBE=∠D.所以∠ABC-∠CBE=∠ACB-∠D, (I)因为DE⊥AB,所以∠BED=90°=∠BCD.在△BDE 即∠ABE=∠CED.因为AE=BE,所以∠A=∠ABE.由对顶 和△BDC中，因为∠BED=∠BCD,∠DBE=∠DBC,BD= 角相等，得∠AEF=∠CED.所以∠A=∠AEF.所以△AEF是 BD,所以△BDE≌△BDC(AAS).所以BC=BE.所以△EBC 等腰三角形. 是等边三角形. (2)由(I)得∠BFE=∠A+∠AEF=2∠A.所以∠BFE (2)AD=DG+MD.理由如下： ≠∠ABE.所以当△BEF是等腰三角形时，存在以下两种情况： 如图10，延长ED至点P,使得 P:MC ①当∠BFE=∠BEF=2∠A时，在△BEF中，5∠A= DP=MD,连结MP.因为DE⊥AB, 180°，解得∠A=36°： 所以∠AED=90°.因为∠A=30°， ②当∠BEF=∠ABE=∠A时，在△BEF中，4∠A= G 所以∠ADE=90°-∠A=60°.所以 图10 180°，解得∠A=45°. ∠PDM=60°.又因为DM=DP,所以△PDM是等边三角形. 综上所述，∠A的度数为36°或45. 所以∠P=∠PMD=60°，MP=MD.因为∠BMG=60°，所以 16.(1)因为AD⊥BC,BD=DE,所以AB=AE.所以∠B ∠PMD+∠DMG=∠BMG+∠DMG,即∠PMG=∠DMB.在 =∠AEB.因为CD=BD+AB=DE+AE=DE+CE,所以AE △PGM和△DBM中，因为∠P=∠MDB,MP=MD,∠PMG= =CE.所以∠C=∠EAC.所以∠AEB=∠C+∠EAC= ∠DMB,所以△PGM≌△DBM(ASA).所以PG=DB.因为PG 2∠C.所以∠B=2∠C. =DP+DG=MD+DG,所以AD=DG+MD (2)如图9，过点D作DH⊥AC于点H.所以∠AHD= ∠CHD=90°=∠B.因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD 64 素养·拓展 鼓理极 量反 2025年9月17日·星期三 初中数学 上接第3版) 351-27126 纸发行质量反喷电话 第12期总第1156期 华东师大 附加题可 角形全等的判定 035-5271248 数理据 直击 直角三 八年银 上接4版参考答案】 (以下试题供各地根实际情选用》 附加题 111 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社辑出版 社长：徐文国内统 连续出版物号：CN14-0707F)邮发代号：21-206 L.(8分)如图1-①，在四边形ABCD中 6吉林白艺阳1 ∠B■90°，连结AC.且AC■AD.点E在边G 故填23 的中 专题辅异 AF=在△AEF 上连结DF,过点A作AF上DE,垂足为F,A 赞注意它不是判定直角三角形全等的惟一方 二、运用“ASA”或“AAS”判定直角三角形 △H中，美AE 本周主册 AF. 法，前面学习的判定一般三角形全等的方法都 全养 E,AE=∠DUH.E “HL”的魅力展示 活用干宫角二伯.而塔测的且 (I)求证：∠DAF■∠CAB: 例2 如图2，R△ABC H所以△ 12,2三角形全等的判定斜边直角边 。四川差建国 (2如图1-②，连结AE,若AB是∠BA 运用“HL“判定直角三角形全端 和R△EDF中，∠B=∠D, 2)因为△ABF 学习日标：探三角形全￥的判定 证明：因为AE1BD.CF⊥BD,所以∠AED 所以∠B=∠E 酬1知阳。在 的平分线求证：DF=EF+CE 在不添加任何辅助线的情况 △DHF.H以AE=DH =∠CFB=90,因为DF=BE,所以DF+EF 三、证明两线段相等 R△ABC中，∠C=90.AC 去(HL),齐能利用其进行证明 AE,DE⊥A.若DE 下，请你函加一个条件： EAF =UDF =BE+EF即DE=BE 例3如图3.已知AD. 以∠ 2能够利用生角形的企等解决实际问 ,中Rt△AB知R△EDF会 在R△ADE和L△CBF中，因为AD=CB, 4F分别是两个纯角△A( 46°.则∠DAE■ .为A 分析：本题是一道开放塑的避日，不州 随，体会数学与实际生活的联系 所H=DC DE BF, 和△ABE的高，AD=AF,A 分析：根据直角三角形的性质桌得∠B的度 只持合三角形全的判定定理即可 △DHG△DCG中. 3能根据题意选取适当的方法进行三 所以R:△ADE≌R△CBF(IIL) =AE.求正，HC=E 数，即可得到∠G的度数，运用“L,”证明 解：①添加条件：4B=ED 为H=D,HG 角形全等的判定 二、证胡两角相部 证明：根据题意，得∠ADC=∠AFE= 证明：在△AC和△EDF中，因为∠B= ,所以△ AACD△AD算到∠CAD=∠EAD伸可煤解 例2如图2.AB= 。AAs》.所 解：因为DE⊥AB,所以∠AED=∠BED= ∠D,AB=ED,∠A=∠DF, “机”格一女孝获的声角形全会尊的右 8r0日1 DE,AD⊥E于点C,且C是 在R△ADC和R△AFE中，因为AC=AE 90, 所以AABC△EDF(ASA). H=1∠DC 法，尽管它只能在直角三角形中施展拳胞，但是E的中点，求证：上B= ID AF. 所以∠B+∠BDE=0 2加条件：BC=DF成AC=EFAE 21)2 由于应用简单，仍然受到同学门的青换下面饮 E 月以R△C>Ru△AFECHI).LDG 因为LG=90 《2)∠A0 CF(海加这三个条件所用到的料定方法和问，此 止上我们脉富一下它的魅力吧」 证明：因为AD⊥BE,所以∠ACB∠DCE■E. 所以∠B+∠BAC=90° LPB或∠AB 处以BC=DF为铜进行证明). AP出m10: ,正明两三角形全等 90 在R△ADB和R△AFB中，因为AB=AB, 所以∠BAC=∠BDE=46, 正明：在AABC和AEDF中，因为∠A 11月5 例1如图1，已知AE 因为C是BE的中点，前以BC=EC LD AF 在△ACD和RI△AED中，因为AD= ∠DEF,∠B=∠D,BC=DF CE理由如下 BD于点E.CF⊥BD于点 在R△ABC和R△DEC中，因为AB= 航以R△ADB≌R△AFB(HL).所以DB AC AE. 以△ABC△EDF(AAS) F,且AD=BC,BE=DR.求 BC EC. -FR 所以△ACDR△AED(HL 交于就G 所以∠C4D=∠BAD=LBAC=23 放填AB=ED或BC=DF或AC=EF成 E:△ADE≌△CBF 以Rt△ABC≌RI△DEC(HL) FR-FE EIBC 8E AE■GF 学习了三角形全等的判定后，我们可以 型空 2(12分)已知在四边形ABCD中，∠AB( F,C=bF,所以△ABC一△Ess.丽以∠A h全弯三角汗彩的识，根据合冷的件，用尺规 +∠ADC=180,AB=BC 第11期2版参考苦离 1之23衡边角 e0 作三角形 (1》如图2-①，连结BD.若∠B4D 图的方法作三角形下面举例说明 基萄训练 3.D: 因为 给 0°.求证：AD=CD: 一，已如两边及其夹角作三角形 1∠4B■∠DA或∠4=∠B:5 按力提高8 BD的边 。陕西岳浩 (2)如图2-②，点P,Q分别在线段A山 h月为∠1=∠3，∠AC=∠DHG.以1) 第11期3版参考答案 C⊥BD.AC⊥ 例1已知-一个三角形的两条边分别为，， 两个项点，再在AB边的同倒，分利以A.B为项 (2)分别以B,A为圆心，以4，b长为半径▣ DC上，且满足P0=AP+CQ,求正：∠PQ= ∠【-∠AHC=180-∠3-∠G即A=∠因为 号2348 /E x两条边的夹角为∠，如图1，求作这个 一由开 点作两个角等于已知角，这两个角的为一边的 ,草客下点C: ∠ABP+∠CBO: 发DC C A D E C D 在△ABC和△EC中，因为ACLE 90.历以∠B◆∠AE 文点就是第三个明点 (3)结AC,C,则△4BC即%所求（如菌6）. (3)若点Q在DC的延长线上，点P在D. AC=,∠A=∠D,以AG≌ADE,A5A 二、9.苍案不m一，如∠B”∠C:10,13 作法 温馨提示：利用尺规作三角形叶，一定要注 125. 的延长线上，连结BP,BQ,PQ,仍然满足PQ 7I月为4EPD.程F.LCDH2AP=2RB 三，13 (1)先作线段AB=c: 意分析条件，确定出基本的图形，画出草图，进 AP+CQ.请在图2-③中补全图形.根掘图无 I4在△ADB知△CDB中.因为AD=CD.AB=CB (2)再分别以A,B两点为顶点，射规AB,BA 而确定作的步骤 写出∠PBQ与∠ADC的数量关系井说明理由 BD=rD.所以△AB≌△CD555).所以∠A0= 中，月为∠AEC=∠CFB,∠CAE=∠BCF.AC=CB, ∠以开LD平分∠ABC. ACG中， 因名 边，在AB边的同一侧作∠D4B=∠a, 四，已知长度不等的边作直角三角形（ △AEG兰△CFBCAAS.以A5=GF,CE=FF因 15(1)因为∠EG·乙心，以180 分析：极据已知条件，了以先作∠DBE,使 LEBA=∠B: 长边为边 =180 G,即AEB=2CA因为∠G =∠C4信，T以△A 其于∠,然后分别在∠DBE的两边取线 (3)AD.BE交于点C,则△ABC即为所求 能力提高&1E。BD+CE ∠4C,所以∠B4层+∠ABE=L4E+∠C所园 sA社时1多月日 BC=a,=,连结AC即可 倒4如图7，已知线段a.,其中6>4，求 (如君4}. DE仍然成立理由下 ∠AB=∠C4n在△4E知△AC0中.为∠A界 --CC 作直角三角形ABC,使6为边，∠B=90 ∠CDM,∠ABE·LMD,AB·Cs,薪以△R4E 作法 为∠0=∠且4C=，新∠D+∠04= 温馨提示：由T已知条件中有一边，所以 △A4S) ∠HG (I》先作∠DBE=∠a: 角形的两个点客易确定，关键是确定第三 在△ABD和△C4E中，因为∠DA=∠AEC 6(1)话长AD交r于点H,图略，因为D平分 FAC=45=∠FA (2)然后分别在∠DBE的两边上截取C 顶点 DRA c, 车△AGF白△AEF ∠ABC,所以ABD∠HD因为AD⊥BD,所 a,BA = 三，已知三边作三角形 C-F/Cu (3)圭结AC,则A48C即为所求（如图2） 例3已如个三角老三条边分别为，6， =+CE 分析：根器己加条件.可这先作∠B■90 AD.=∠HD,D=D,∠A=∠HDB.所 3由2)AAD△C4E以S AD =HO AGF△AE(SAS 温馨提示：①求作三角形时，一般先作出 ,如图5，求作这个三角形 然后在∠B的一边上裁敢我段G=m,再法点G 力C上的高为.则△ = 因为△0C的积是5，S 角，然后根据条件作出所求作的图形：2尺规作 为圆心，线段6的长为半径画孤即可确定第三个 的高为因为C=3BF,5,以8。w 0 △DF1AEDC中. 2过g作F1AC于,过点c作E0 图时，应注意作图语言的规岂性 的长于点E 为F nc. 顶点A 二，已如两角及其夹边作三角形 作法： 1224边边垃 A点 例2已知一个三角形的两角分别为 基程调练1.C:2.B:33 在△BCcF和△CBE中，因为 ∠B,夹边为G,如图3，求作这个三角形 用> (1)先作∠B■90P △EDNCLSAS).斤L7 CBE.8C C8, 分析：先作出△ABC的一条边（如AB=c) =EC以BE=CG (2)然稻在∠B的一边上战取BC■： CF+FG =CK+E 瑞定出两个顶点，然后分利以这两个顶点为国 (3)以点C为圆心，找段6的长为半径西 以∠A=∠以 =5,5=4C,8F=10,所以AC=2 CF+CE(全文完) 心，以线橙，6的长为半径画出两条蠶即可确定 五，交∠B的野边严点A: 数理报社试研究中心 5(I)因为BE=CF,所以E+C=CF+EC.即 第三个项点 (4)案吉AC,△ABC印%所成：图8) 1移考告见下15阴 m=在△AC和△5F中，因为AB=DE,AC= (下转1,4版中缝】 作法： 温馨提示：由已却条件可得三角彩的一个 分析：作出线段AB=心，即可确定 L角形的 (1)先作线段AB=c: 角，再用献取法客易确定其他两个顶点， 2 素养专练 数理松 数理极 素养·测评 3 7.如图7，∠E=∠F=90,AB=AC,AE= 5已知：如图5.CB⊥AD,ABDC.垂足分 14.(12分)如图12，AD∥BC.∠A=90°，以 跟踪训练 别为B,E,AE,C相交于点F,且AB=BC,求证 点B为圆心，BC长为半径两，与射线AD交于点 (1)当∠G=30,∠AC=25时，求∠CDB △ABF≌△CBD 同步检测 E,连结BE,过点C作CF1BE于点F,求证：AE= 的度数： TONGBUJIANCE- FR. 2.25斜边直角边 (2)求证：△ACVa△ABM 【检测范围：122.5】 厚础训练 一、精心选一选（每小题4分，共32分 BC BP.AD BD ∠DBP 则∠P的度数为 .如图1，在△ABC和△DEF中，∠A= 题号12345678 A.20 B.28 ∠EDF=90°，BC=EF,AC=DF,能直按判定 器家 G.30 D.31 △ABC≌△DEF的依据是 L.如图1，在△ACD和 B.ASA 如图7，在四边形 A.HL C.SAS D.SSS 6如图6，在△ABC中，点D是BC的中点，E R△BCE中，∠C=0,点E在 ABCD中，AB=AD,∠BAD= 是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长 上，点D在BC上，AD与BE交于点 90°，DE⊥AC于点E,连结 线于点R求证：BE=GF 0,AD=BE,DC■EC.则可判定 BE,若BE=BC,DE=8,AE R:△ACDR:△BCE的依据是 =6,则CE的长为( B.2 C.4 图1 D.6 2.如图2.在△ABC中，∠C=90°.DE⊥AB 8.如图8.在△ABC和△ABC中，AB= A.SAS B.ASA 二，细心填一填（每小题4分，失16分】 于点E,且AE=AG,若BC=7,BE=5,则△BDE A'B',BC=B'C.AD⊥BC于点D,A'D'⊥BC C.HL D,55s 9.如图8，∠ACB=∠DBC=90°，能直按根据 的周长为 点D',且AD='D.求证：△ABC≌△M'BC 2.如图2，在R△ABC和RLADEF中，∠B= “HL”判定△ABC≌△DCB,还需要落加的条件是 A.14 B.12 C.9 D.7 ∠E=90°，AB=DE,AC=DF,∠1=42"，则∠2 15.(14分】如图13，在△4BC中.∠C=90 3.如图3，在△AC中，点F在边G上，FD 的度数为 D为BC边上一点，DA平分∠CDE,且AB=AE,若 AC当D.DE⊥AB下点E,AD=CF.AE=CD A.42 B.48" 若∠CFD=40,则∠EDF的度数为 C.58 D.63 CD=2,BD=3,求DE的长 7.如图7，已知AABC9ADiC,∠ACB是锐 角.∠B=30°，∠ACD=60,延长BA交DF于点 I0.如图9，E是正方形ABCD内一点，EFA F,交CE于点G 2 交CD于点F,若AB=AE=5,EF=3,则CF的长 (1)断直线BF与(E是否直？请说明理 3,根据下列条件，能作出一 △ABC的是 由： 11,如图10，∠C=∠CAM= 4.如图4.已知BE⊥AD,GF⊥AD,垂足分别 (2)若AC∥DE,求∠DCE的变数 A.AB 3,BC =4,AC =8 909,AC■8m,BC=4em.点P 为E,F.则下列条件：①MB■DC,∠B■∠G: B.∠A=60°，LB=45°，AB=4 在线段AC上，以每沙2em的g 2B DC,AB /CD:3AB DC.BE CF: C.∠C=90°，AB=6 专履金等三角形的性质与判定 从点A出发向C运动，到点C停山 44R=DF君E=CP庄中日可以生中R△ABE D.AB=4,BC=3,∠A=30 运动，点Q在射线AW上运动，且4西 △DCF的是 《桌序号). 1.如图1.△ABC△BDE,若AB=12,D 4,如图3.EC⊥BD,垂足为C,A是EC上一点 PQ=B,当点P的运动加时间为 5.如图5，已知线段，b(m>),求作 =5,则CD的长为 且AC=CD,连结AB.ED,AB=DE,若AC=3,5, _时.△BC能和△PQ4全等 Rt△ABC,使∠A=0°，BC=a,4C=6(尺规作 A.5 .6 C.7 BD=9.期CE的长为 16(16分》如图14，点B在线段AC上，点E在 I2.在△ABC和△DEF中，AB=DE,AG= 图，不写作法，保留作壤迹) A.5.5 DF,∠C■40，AH.DN分别为BC,EF边上的高， 线段BD上，DB为△ACD的高，AB=DB,EB= C.3 CB. 且AM=DN,则∠DFE的度数为 三、耐心解一解（共52分） I)求证：△ABE≌△DBC: 13.(10分)如图11，AD是△ABG的中线，D (2)若BF⊥AE于点FBG⊥CD于点G,探 1 2 究BF与BG的关系，并明你的站论 2加*2，H知△ABCa△DCB.AR=10 AG,DE⊥AB,垂足分别为F,E,BE■CF求证 8如图8.已知∠BAE=∠CAF=90,EC. ∠A=60,∠AC=80“,那么下列登结论中情误的 △CDF≌RI△BDE. BF相交于点M,AE=AB.AC=AF (1)求证：EC=BF: 5如图4，在△MBG中，D,E为边AC上阿点， A,∠D=60 R.∠DBC=4D° (2)求证：EC⊥BF 连结BD,BE,DF⊥BF于点F,若∠A=90°，AD C.AC DB D.BE 10 (3)若∠RAE=∠CAF=m(m90),其他 DF,∠DBF■25°，则∠EC的度数为 6.如图6，已知∠A=∠D=90,E,F在线段 3.如图3，在△ABC中，AB=AC,∠BAC= 条件不变，则(1)(2)中的站论还成立吗？请说明 A.115 B.120 BC上，DE与AF交于点0，且AF=DE,BE=CF 60°，分别以AB.AC为一边，向△ABC外作△ADB 即由， C125 D.140 求证：B△ABF≌R△DCE 和△ACE若AD=CE,BD=AE.∠E=125",则 6.如图5，在∠AOB中摆放两个相同的直角三 ∠DAE的度数为 角板，两个三角板的一条直角边E,FV分别与边 A.1059 0A,0B重合，两个三角板的长直角边交于点P,作 C.120 D.135 射线OF,若Saaw=6,PM=PN,则Snww为 C.12 4.三个顶点分别在小正方形的顶点（格点】 上的三角形叫做格点三角形，如图4，除格点 △ABC外，在网格中可出与△ABC金等的格点 数理报社试题研究中心 三角形共有 (参老答案见下期) 7,如图6，D为等腰三角形ABC内一点.4C■ 下转第4版)