第11期 12.2 三角形全等的判定 (ASA ,SSS)-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（华东师大版2024）

初中数学·华东师大八年级第10~13期 数理括 答案详解 2025~2026学年初中数学·华东师大八年级 第10~13期(2025年9月) 第10期1,2版 均为直角三角形，所以54mc=20M·0C=子，Sam= -题号123456789 1011 12 答案ADDADCBDB BC B 0B,0D=.因为Sae+Sam=63,所以分+ 二13.-高2-5；14答案不惟一，如∠4CD=∠B =68.所以x2+y2=136.因为AD=16,所以x+y=16.因为 (x+y)2=x2+2y+y2,所以162=136+2y.所以xy=60. 15.9或-7：16.1或-1. 三、17.(1)1-2a;(2)-3x2 所以一块直角三角板的面积为：2y=30. 18.(1)(n-2)(m+5)(m-5);(2)400. 第10期3,4版 19.因为AC平分∠BAD,所以∠BAC=∠DAC.在△ABC 题号1234567891012 和△ADC中，因为AB=AD,∠BAC=∠DAC,AC=AC,所以 答案BDB CBADAADCA △ABC≌△ADC(SAS). =13.-7；14.(7ab+36);15.4;16.3<EF<7 20.(1)由题意，得6a+34=64,5a+b-2=25,c=3.解 得a=5,b=2. 三17.(1)-4a(x-y）2；(2)-3997 819 (2)把a=5,b=2,c=3代人3a-b+c,得3×5-2+ 18原式=当x=-2,y=分时，原式=子 3=16.因为16的平方根是±4，所以3a-b+c的平方根是±4. 19.(1)在四边形ABCD中，因为∠A=∠BCD=90°，所以 21.(1)因为AB∥DE,所以∠B=∠DEF.因为BE=CF, 90°+∠B+90°+∠ADC=360°.所以∠B+∠ADC=180°. 所以BE+EC=CF+EC,即BC=EF.在△ABC和△DEF中， 又因为∠EDC+∠ADC=180°，所以∠B=∠EDC. 因为AB=DE,∠B=∠DEF,BC=EF,所以△ABC≌ (2)连结AC,图略 △DEF(SAS). 在△ABC和△EDC中，因为AB=ED,∠ABC=∠EDC, (2)因为∠B=55°，∠ACB=100°，所以∠A=180°- BC=DC,所以△ABC兰△EDC(SAS) ∠B-∠ACB=25°.因为△ABC≌△DEF,所以∠D=∠A= 20.(1)5,√/35-5； 250 22.(1)因为x+y=3,x2+y2=5,所以(x+y)2=x2+ (2)因为3<√14<4，所以√14的整数部分是3，小数部 2y+y2=5+2y=32=9.所以y=2. 分是√14-3，即a=14-3.因为4<√22<5，所以22的 (2)①3. 整数部分是4，即b=4.所以4(a+3)2+2b=4×(14-3 ②设2025-x=a,2022-x=b,所以a-b=3.因为 +3)2+2×4=64.因为64的平方根是±8，所以4(a+3)2+ (2025-x)2+(2022-x)2=2025,所以a2+6=2025.因 2b的平方根是±8. 为(a-b)2=a2-2ab+b2,所以32=2025-2ab.所以ab= 21.(1)原式=x2+2xy+y2-4y2=(x+y)2-(2y)2= 1008,即(2025-x)(2022-x)=1008. (x+y+2y)(x+y-2y)=(x+3y)(x-y); (3)设OA=0C=x,OB=OD=y.因为△A0C,△B0D (2)S1=(3a+2)(2a+3)=6a2+9a+4a+6=6a2+ 初中数学·华东师大八年级第10~13期 1+6品=4aa+子)=4松+17a所以S-S=(6d2+ 第11期2版 12.2.3角边角 13a+6)-(4a2+17a)=6a2+13a+6-4a2-17a=2a2- 基础训练1.A；2.C；3.D; 4a+6=2(a2-2a+1+2)=2(a-1)2+4>0.所以S1> 4.∠CAB=∠DBA或∠CBA=∠DAB;5.=. 52 6.因为∠1=∠3，∠AHC=∠DHG,所以180°-∠1- 22.(1)当t=1时，△ACP与△BPQ全等，此时PC⊥PQ ∠AHC=180°-∠3-∠DHG,即∠A=∠D.因为∠1=∠2， 理由如下： 所以∠1+∠HCB=∠2+∠HCB,即∠ACB=∠DCE.在 因为点Q与点P的运动速度均为1cm/s,当t=1时，AP= △ABC和△DEC中，因为∠ACB=∠DCE,AC=DC,∠A= BQ=1cm.因为AB=4cm,所以BP=AB-AP=3cm.所以 ∠D,所以△ABC≌△DEC(ASA). AC=BP.又因为AC⊥AB,BD⊥AB,所以∠CAP=∠PBQ= 7.因为AE⊥CD,BF⊥CD,所以∠AEC=∠CFB=90°= 90°.在△ACP和△BPQ中，因为AP=BQ,∠CAP=∠PBQ, ∠ACB.所以∠CAE+∠ACE=90°，∠ACE+∠BCF=90°.所 AC=BP,所以△ACP≌△BPQ(SAS).所以∠C=∠BPQ.因 以∠CAE=∠BCF.在△AEC和△CFB中，因为∠AEC= 为∠CAP=90°，所以∠C+∠APC=90°.所以∠BPQ+ ∠CFB,∠CAE=∠BCF,AC=CB,所以△AEC≌ ∠APC=90°.所以∠CPQ=180°-（∠BPQ+∠APC)=90°. △CFB(AAS).所以AE=CF,CE=BF因为EF=CF-CE, 所以PC⊥PO. 所以EF=AE-BF (2)因为点Q的运动速度为xcm/s,运动时间为ts,所以 能力提高8.(1)DE=BD+CE. BO xt cm. (2)DE=BD+CE仍然成立.理由如下： 因为点P在AB上以1c/s的速度由点A向点B运动， 因为∠BDA=∠BAC=a,所以∠BAD+∠DBA=∠BAD 所以AP=tcm.所以BP=AB-AP=(4-t)cm +∠EAC=180°-a.所以∠DBA=∠EAC. 又因为∠CAB=∠DBA=60°，所以当△ACP与△BPQ全 在△ABD和△CAE中，因为∠BDA=∠AEC,∠DBA= 等时，有以下两种情况： ∠EAC,AB=CA,所以△ABD≌△CAE(AAS).所以BD=AE, ①当AC=BP,AP=BQ时，△ACP≌△BPQ.因为AC= AD=CE.所以DE=AE+AD=BD+CE. 3cm,由AC=BP,得3=4-t.解得t=1. (3)由(2)得△ABD≌△CAE. 由AP=BQ,得t=xt.解得x=1. 所以S AARD=S△CAE: 设△ABC的底边BC上的高为h,则△ABF的底边BF上的 所以当x=I,t=1时，△ACP和△BPO全等 ②当AP=BP,AC=BQ时，△ACP≌△BQP.因为AC= 高为h BD=3,所以BQ=AC=3,此时点Q与点D重合，如图1. 因为BC=3BF,Sa=18,所以5r=子5ae=6所 以SAFm+SACE=6. 12.2.4边边边 基础训练1.C;2.B;3.3. 图1 4.连结BC,图略.在△ABC和△DCB中，因为AC=DB,AB 由AP=BP,得t=4-t.解得t=2. =DC,BC=CB,所以△ABC≌△DCB(SSS).所以∠A=∠D. 由AC=BQ,得t=3.将t=2代人t=3,得x=1.5. 5.(1)因为BE=CF,所以BE+EC=CF+EC,即BC= 所以当x=1.5,t=2时，△ACP和△BPQ全等， EF.在△ABC和△DEF中，因为AB=DE,AC=DF,BC=EF, 综上所述，当x=1,t=1或x=1.5,t=2时，△ACP和 所以△ABC≌△DEF(SSS).所以∠A=∠D. △BPQ全等. (2)因为∠A=70°，∠B=40°，所以∠ACB=180°-∠A 初中数学·华东师大八年级第10~13期 -∠B=70°.因为△ABC≌△DEF,所以∠DFE=∠ACB= 号BDCE=5,S=AC:BF=10,所以AC=2BD 70,因为FG平分∠DFE,所以∠GFC=7∠DFE=35,所以 附加题L.(1)因为点F是AD的中点，所以AF=DF.在 ∠CGF=∠ACB-∠GFC=35°. △AEF和△DHF中，因为AF=DF,∠AFE=∠DFH,FE= 能力提高6.8. FH,所以△AEF≌△DHF(SAS), 第11期3版 (2)因为△AEF≌△DHF,所以AE=DH,∠EAF= 题号1234 5 6 78 ∠HDF.所以AB∥DH.所以∠B=∠HDC.因为AE=CD,所 以DH=DC.在△DHG和△DCG中，因为DH=DC,HG=CG, 二、9.答案不惟一，如∠B=∠C:10.130°： DG=DG,所以△DHG≌△DCG(SSS).所以∠HDG=∠CDG. 11.5m;12.3. 所以∠B=2∠GDC. 三、13.图略. 2.(1)∠DFE; 14.在△ADB和△CDB中，因为AD=CD,AB=CB,BD= (2)∠AQB=∠APB或∠AQB+∠APB=180°： BD,所以△ADB≌△CDB(SSS).所以∠ABD=∠CBD.所以 (3)BE=CF+CE.理由如下： BD平分∠ABC. 如图3，延长BA,CD交于点G.因为 15.(1)因为∠BEG=∠CDG,所以180°-∠BEG=180° ∠ACD是∠ABD的“边垂角”，所以CG -∠CDG,即∠AEB=∠CDA.因为∠BEG=∠BAC,所以 ⊥BD,AC⊥BG.所以∠EDC=∠EDF ∠BAE+∠ABE=∠BAE+∠CAD.所以∠ABE=∠CAD.在 =∠EAB=∠CAG=90°.所以∠B+ 图3 △BAE和△ACD中，因为∠AEB=∠CDA,∠ABE=∠CAD, ∠AEB=90°，∠C+∠DEC=90°.因为∠AEB=∠DEC,所以 AB=CA,所以△BAE≌△ACD(AAS). ∠B=∠C.在△ABE和△ACG中，因为∠B=∠C,AB=AC, (2)因为△BAE兰△ACD,所以SAE=S△ACD·因为BF= LBAE=∠CAG,所以△ABE≌△ACG(ASA.所以AE=AG, 2CF,所以S AABF=2 SAACF,SARDF=2 SACDE.所以SAARD=S AABF BE=CG.因为∠FAC=45°，所以∠GAF=∠CAG-∠FAC= -SARDF=2S△ACF-2 SACDF=2S△ADC.所以S△BDE=S△ABD- 45°=∠FAC.在△AGF和△AEF中，因为AG=AE,∠GAF= S△aE=S△AD·所以小麦种植区△BDE里需要施肥200千克. ∠EAF,AF=AF,所以△AGF≌△AEF(SAS).所以GF=EF. 16.(1)如图2，延长AD交BC 在△EDF和△EDC中，因为DF=DC,∠EDF=∠EDC,ED= 于点H.因为BD平分∠ABC,所以 ED,所以△EDF≌△EDC(SAS).所以EF=EC.所以BE=CG ∠ABD=∠HBD.因为AD⊥BD,所 CF FG CF +EF CF +CE. 以∠ADB=∠HDB=90°.在 H 第12期2版 图2 12.2.5斜边直角边 △ABD和△HBD中，因为∠ABD=∠HBD,BD=BD,∠ADB 基础训练1.A;2.B;3.50°；4.①②③. =∠HDB,所以△ABD兰△HBD(ASA).所以S AARD=S△HBD, 5.图略. AD=HD.所以S△AcD=S△Hc:因为△BDC的面积是5，所以 6.因为BE=CF,所以BE+EF=CF+EF,即BF=CE. S△ABc=S AARH+S△ACH=2 S AHRD+2S△HCD=2S△BDc=10. 在Rt△ABF和Rt△DCE中，因为BF=CE,AF=DE,所以 (2)如图2，过点B作BF⊥AC于点F,过点C作CE⊥BD Rt△ABF≌Rt△DCE(HL). 的延长线于点E.则∠BFC=∠CEB=90°.因为∠ABC= 7.(1)在Rt△AEB和Rt△AFC中，因为AB=AC,AE= 2∠ACB,BD平分∠ABC,所以∠BCF=∠CBE.在△BCF和 :AF,所以Rt△AEB≌Rt△AFC(HL).所以∠B=∠C=30,因 △CBE中，因为∠BFC=∠CEB,∠BCF=∠CBE,BC=CB, 为∠BAC=25°，所以∠CWB=∠C+∠BAC=55°.所以 所以△BCF≌△CBE(AAS).所以BF=CE.因为S△Bc= ∠CDB=∠B+∠CNB=85°. —3 初中数学·华东师大八年级第10~13期 (2)在△ACN和△ABM中，因为∠C=∠B,AC=AB, 第12期3版 ∠CAN=∠BAM,所以△ACN≌△ABM(ASA). 题号 1 2 5 6 78 8.因为AD⊥BC,A'D'⊥B'C',所以∠ADB=∠A'D'B= 答案CBBADC D C 90°.在Rt△ABD和Rt△A'B'D'中，因为AB=A'B',AD=A'D', 二、9.AB=DC;10.2;11.2或4： 所以Rt△ABD≌Rt△A'B'D'(HL).所以∠B=∠B'.在△ABC 12.40°或140° 和△A'B'C'中，因为AB=A'B',∠B=∠B',BC=B'C',所以 三、13.因为AD是△ABC的中线，所以CD=BD.因为DF △ABC≌△A'B'C'(SAS). ⊥AC,DE⊥AB,所以∠CFD=∠BED=90°.在Rt△CDF和 专题全等三角形的性质与判定 Rt△BDE中，因为CD=BD,CF=BE,所以Rt△CDF≌ 1.C;2.D;3.B;4.3. Rt△BDE(HL). 5.因为CB⊥AD,AE⊥DC,所以∠ABF=∠CBD= 14.因为CF⊥BE,所以∠CFB=90°.因为AD∥BC,所以 ∠CEF=90°.又因为∠AFB=∠CFE,所以∠A=∠C.在 ∠AEB=∠FBC.在△AEB和△FBC中，因为∠A=∠CFB, △ABF和△CBD中，因为∠A=∠C,AB=CB,∠ABF= ∠AEB=∠FBC,BE=CB,所以△AEB≌△FBC(AAS).所以 ∠CBD,所以△ABF≌△CBD(ASA). AE FB. 6.因为点D是BC的中点，所以BD=CD.因为CF∥AB, 15.如图4，过点A作AH⊥DE于点 所以∠BED=∠F在△BDE和△CDF中，因为∠BDE= H.所以∠AHD=∠AHE=90°=∠C. ∠CDF,∠BED=∠F,BD=CD,所以△BDE≌ 因为CD=2,BD=3,所以BC=CD+ △CDF(AAS).所以BE=CF. BD=5.因为DA平分∠CDE,所以 图4 7.(1)BF⊥CE.理由如下： ∠ADC=∠ADH.在△ADC和△ADH中，因为∠C=∠AHD, 因为△ABC≌△DEC.所以∠ACB=∠DCE.所以∠ACB ∠ADC=∠ADH,AD=AD,所以△ADC≌△ADH(AAS).所以 +∠ACG=∠DCE+∠ACG.所以∠BCG=∠ACD=60°.因为 HD=CD=2,AC=AH.在Rt△ABC和Rt△AEH中，因为AB= ∠B=30°，所以∠BGC=180°-∠B-∠BCG=90°.所以BF AE,AC=AH,所以Rt△ABC≌Rt△AEH(HL).所以EH=BC ⊥CE. =5.所以DE=HD+EH=7. (2)因为△ABC≌△DEC,所以∠E=∠B=30°.因为AC 16.(1)因为DB为△ACD的高，所以∠ABE=∠DBC= ∥DE,所以∠ACE=∠E=30°.所以∠DCE=∠ACD- 90°.在Rt△EBA和Rt△CBD中，因为AB=DB,∠ABE= ∠ACE=30 ∠DBC,EB=CB,所以△ABE≌△DBC(SAS). 8.(1)因为∠BAE=∠CAF=90°，所以∠BAE+∠BAC (2)BF=BG且BF⊥BG.证明如下： =∠CAF+∠BAC,即LCAE=∠FAB.在△CAE和△FAB中， 因为△ABE≌△DBC,所以AE=CD,SAABE=SADBC:因为 因为AE=AB,∠CAE=∠FAB,AC=AF,所以△CAE≌ △FAB(SAS).所以EC=BF BF⊥AE,BG1CD,所以号BF·AE=BG,CD.所以BF= (2)设AC交BF于点O,因为△CAE≌△FAB,所以∠AFO BG.在Rt△BEF和Rt△BCG中，因为EB=CB,BF=BG,所以 =∠OCM.因为∠AOF=∠COM,所以∠OMC=∠OAF= Rt△BEF≌Rt△BCG(HL).所以∠EBF=∠CBG.所以∠GBF 90°.所以EC⊥BF. =∠EBF+∠EBG=∠CBG+∠EBG=∠CBD=90°，即BF (3)若将条件∠BAE=∠CAF=90°改为∠BAE=∠CAF ⊥BG. =m°，则结论EC=BF成立，结论EC⊥BF不成立.理由如下： 综上所述，BF与BG的关系为BF=BG且BF⊥BG 同理可证△CAE≌△FAB.所以EC=BF,∠CMO= 附加题1.(1)因为AF⊥DE,所以∠DFA=90°= ∠FAO=m°.因为m≠90，所以CE与BF不垂直.所以结论EC ∠ABC.在Rt△ADF和Rt△ACB中，因为AD=AC,AF=AB,所 =BF成立，结论EC⊥BF不成立 以Rt△ADF≌Rt△ACB(HL).所以∠DAF=∠CAB. 4 初中数学·华东师大八年级第10~13期 (2)由(1)得∠AFE=∠ABE=90°.在Rt△AEF和：△ECA和△DBC中，因为AC=CB,∠ECA=∠DBC,CE=BD, Rt△AEB中，因为AE=AE,AF=AB,所以Rt△AEF≌ 所以△ECA≌△DBC(SAS).所以AE=CD. Rt△AEB(HL).所以EF=BE.因为Rt△ADF≌Rt△ACB,所以 (2)因为△ECA≌△DBC,所以∠EAC=∠DCB.又因为 DF=BC.所以DF=BC=BE+CE=EF+CE. ∠FAB=∠EAC+∠CAB=IO7°，所以∠DCB+∠CAB= 2.(1)因为∠ABC+∠ADC=180°，所以∠BCD+∠BAD 107°.所以∠ABC=180°-（∠DCB+∠CAB)=73°.因为AC =180°.因为∠BAD=90°，所以∠BCD=∠BAD=90°.在 =BC,所以∠BAC=∠ABC=73°.所以∠ACB=180°- Rt△BAD和Rt△BCD中，因为BD=BD,AB=CB,所以 i ∠BAC-∠ABC=34°. Rt△BAD≌Rt△BCD(HL).所以AD=CD, 12.3.1.2等边三角形的性质 (2)如图5，延长DC至点K,使CK= 基础训练1.D;2.B;3.15°. AP,连结BK 4.因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB= 因为∠ABC+∠ADC=180°，所以 60°.因为∠BDE=25°，所以∠E=∠ABC-∠BDE=35°.因 ∠BAD+∠BCD=18O°.因为LBCD+ 图5 为CD=DE,所以∠DCE=∠E=35°.所以∠ACD=∠ACB ∠BCK=180°，所以∠BAD=∠BCK在△BAP和△BCK中， -∠DCE=25°. 因为AB=CB,∠BAP=∠BCK,AP=CK,所以△BAP≌ 12.3.2.1等腰三角形的判定 △BCK(SAS).所以∠ABP=∠CBK,BP=BK.因为PQ=AP 基础训练1.C;2.B;3.16. +CQ,QK=CK+CQ,所以PQ=QK.在△PBQ和△KBQ中， 4.(1)因为△ABC是等腰三角形，∠BAC=52°，所以 因为BP=BK,QP=QK,BQ=BQ,所以△PBQ≌ ∠ABC=∠ACB=(I80°-∠BAC)=64e因为BG1AC. △KBO(SSS).所以∠PBQ=∠KBQ=∠CBK+∠CBQ= 所以∠BGC=90°.所以∠FBC=90°-∠ACB=26 ∠ABP+∠CBQ. (2)因为AB=AC,AD为中线，所以∠BAD=∠CAD,AD (3)∠PBO =90° K D ⊥BC.所以∠ADC=90°.所以∠DAC+∠DCA=90°.因为 分∠40C理由如下 ∠GBC+∠GCB=90°，所以∠GBC=∠DAC=∠DAB.因为 如图6，在CD延长线上找一点 DE=DA,所以∠DAE=∠DEA.所以∠AFB=∠CBG+ K,使得KC=AP,连结BK同(2) ∠DEA=∠DAB+∠DAE=∠BAF.所以BF=AB. 可证得∠PBK=∠ABC,∠PBQ= 图6 12.3.2.2等边三角形的判定 ∠KBQ.所以2∠PBQ+∠PBK=2∠PBQ+∠ABC=360°.所 基础训练1.C;2.B;3.30° 以2∠PBQ+(180°-∠ADC)=360°.所以∠PBQ=90°+ 4.(1)如图7，等边三角形CEF即为所求作。 合∠ADC 第13期2版 12.3等腰三角形 12.3.1.1等腰三角形的性质 图 图8 基础训练1.C；2.C;3.3cm;4.90° (2)CD=CE+CF.理由如下： 5.因为BE=AE,∠ABE=25°，所以∠BAD=∠ABE= 如图8，在CD上截取CH=CE,连结EH.因为△ABC是等 25°.因为AB=AC,点D为BC边的中点，所以∠BAC= 边三角形，所以∠ACB=60°.所以△ECH是等边三角形.所以 2∠BAD=50°. EC=EH=CH,∠CEH=60°.因为△DEF是等边三角形，所以 能力提高6.(I)因为∠ADB=∠BCD+∠DBC,∠BCE EF=ED,∠FED=6O°.所以∠CEH-∠FEH=∠FED- =∠BCD+∠ECA,∠ADB=∠BCE,所以∠ECA=∠DBC.在 FEH,即∠CEF=∠HED.在△CEF和△HED中，因为EF= 初中数学·华东师大八年级第10~13期 ED,∠CEF=∠HED,EC=EH,所以△CEF≌△HED(SAS). =∠HAD.在△ABD和△AHD中，因为∠B= 所以CF=HD.因为CD=CH+HD,所以CD=CE+CF ∠AHD,∠BAD=∠HAD,AD=AD,所以 第13期3版 △ABD≌△AHD(AAS).所以AB=AH,BD= -题号12345678 HD.因为△ABC是等腰直角三角形，所以∠C 图9 答案CBADA D BD =45°.所以∠HDC=90°-∠C=45°.所以HD=HC.所以 二、9.等腰三角形的“三线合一”；10.2； BD=HC.因为AC=AH+CH,所以AC=AB+BD. 11.75°：12.5. 附加题1.小虎说的正确.理由如下： 三、13.(1)因为AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高， 因为∠ACB=90°，所以∠A+∠B=90°.因为BD=BC, 所以∠BAD=∠CAD.因为DE∥AB,所以∠ADE=∠BAD.所 所以∠BCD=∠BDC=(180°-∠B)=90-号∠R因 以∠DAE=∠ADE.所以EA=ED. (2)因为AB=AC,所以∠C=∠B.因为DE∥AB,所以 为AE=AC,所以∠ACE=LAEC=(180-∠A)=90°- ∠EDC=∠B.所以∠EDC=∠C.所以DE=CE.由(I)得EA 号LA所以∠DCE=180°-∠DEC-∠CDE=180°-(90 =ED.所以AE=CE. 14.(1)因为△ABC是等边三角形，所以∠BCE=∠A= 分∠A)-(90-分∠B)=子（∠A+∠）=45所以 60°，BC=CA.在△BCE和△CAD中，因为BC=CA,∠BCE= ∠DCE的度数是一个定值，与∠B的度数无关，即小虎说的正 ∠CAD,CE=AD,所以△BCE≌△CAD(SAS).所以BE=CD. 确。 (2)因为△BCE≌△CAD,所以∠CBE=∠ACD.所以 2.因为∠ACB=90°，∠A=30°，所以∠ABC=60°.因为 ∠BPD=∠PCB+∠CBE=∠PCB+∠ACD=∠ACB=6O. BD平分∠ABC,所以∠DBA=∠DBC=7∠ABC=30= 15.(I)因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.因为BE= ∠A.所以AD=BD,∠BDC=∠A+∠DBA=60° DE,所以∠CBE=∠D.所以∠ABC-∠CBE=∠ACB-∠D, (I)因为DE⊥AB,所以∠BED=90°=∠BCD.在△BDE 即∠ABE=∠CED.因为AE=BE,所以∠A=∠ABE.由对顶 和△BDC中，因为∠BED=∠BCD,∠DBE=∠DBC,BD= 角相等，得∠AEF=∠CED.所以∠A=∠AEF.所以△AEF是 BD,所以△BDE≌△BDC(AAS).所以BC=BE.所以△EBC 等腰三角形. 是等边三角形. (2)由(I)得∠BFE=∠A+∠AEF=2∠A.所以∠BFE (2)AD=DG+MD.理由如下： ≠∠ABE.所以当△BEF是等腰三角形时，存在以下两种情况： 如图10，延长ED至点P,使得 P:MC ①当∠BFE=∠BEF=2∠A时，在△BEF中，5∠A= DP=MD,连结MP.因为DE⊥AB, 180°，解得∠A=36°： 所以∠AED=90°.因为∠A=30°， ②当∠BEF=∠ABE=∠A时，在△BEF中，4∠A= G 所以∠ADE=90°-∠A=60°.所以 图10 180°，解得∠A=45°. ∠PDM=60°.又因为DM=DP,所以△PDM是等边三角形. 综上所述，∠A的度数为36°或45. 所以∠P=∠PMD=60°，MP=MD.因为∠BMG=60°，所以 16.(1)因为AD⊥BC,BD=DE,所以AB=AE.所以∠B ∠PMD+∠DMG=∠BMG+∠DMG,即∠PMG=∠DMB.在 =∠AEB.因为CD=BD+AB=DE+AE=DE+CE,所以AE △PGM和△DBM中，因为∠P=∠MDB,MP=MD,∠PMG= =CE.所以∠C=∠EAC.所以∠AEB=∠C+∠EAC= ∠DMB,所以△PGM≌△DBM(ASA).所以PG=DB.因为PG 2∠C.所以∠B=2∠C. =DP+DG=MD+DG,所以AD=DG+MD (2)如图9，过点D作DH⊥AC于点H.所以∠AHD= ∠CHD=90°=∠B.因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD 64 素养·拓展 鼓理极 2025年9月10日·星期三 初中数学 上接第3版) 名师点睛 妖发行质量反暖电话 第11期总第1155期 华东师大 附加题⊙ 帮你看透全等的变险术 0日51-527248 数理据 八年级 (上接4版参考答案 (以下试题铁各地根据实际精况选用) 11 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 理报社编钳出版 社长：徐文伟国内统一 连续出版物号：CN14-0707F发代号：21-206 1.(10分)如图1，在△ABC中，D为边BC 。山东贺伟 是川中的一项活，这不.全等三角 脸二：两个三角形有一条边围合 ACP与△BPO全 三，已如一边、一角对应相等 上一点，E为边AB上一点，且AE=CD,连结 AD.F为AD的中点，连结EF并延长，交AC于点 形也玩起了“变俭”，它以各种不同的面孔出现 例2如图3，已知AB A信=DE G,在FG上取点H,使FH=FE,连结HD,GD.若 在我们面前.但只要司学人真观察图彩，熟炼 =DC,AG=DB.求证 因为占D与白P 添加条件证全等 ∠B=LN 紫捏了它的判定方法 “sS5”,就能透过假 动1 HG=GG,求证： △ABCa△DCB 0四川李晓宁 汽已角的男一标发封地相等：雪是具通 《11△AEFs△DHP 面其看清其真面目，从而说明两个三角形全等 分析：在△ABC与 湖个三角形全等的判定方法有“SA5“ ∠E,不能判定△ABCa△DEF: 8G甲EF,然6是用“s5所发全等 (2)∠B=2∠GDC 直面口，因1，AAC和ADEF只两不官 △DCB中，已经给出了两组对边相￥：AB=D 以P= AsA”,“AAS”,"SSs”及直角三角形中的 加∠A= ∠FDE,根据"SAS” 判定 全重合的三角形，则△AC≌△DEF AC=DB,委证明三商形全等还缺少一个条件 H1”(夏下期它门需更三个名件，而常的 △ABC△DEF 已知两边相等，我们通常考虑应用“SAS”成 因为Ac⊥AB.D 试题在在只给出两个明显的已知条件.面对“ 故逃R SS”,找AB与AC的角∠ADC与DB的类 ”的局面，列选择绸种方法来定呢？ 二，已知两角对应相 角上D是否相等点第三条边BC与CB是香相 和△8P中，因为AU ,已知两边对应相等 例3 如图3已知 等.而由于BC与CB是金共边，故BC=CB,依 An=D 2DAB=∠4R占AB月 变胎一：两个三角形有部分公共边 “55“,网题祥解 LPO,AG=P月 BC EF 共线，加下列条件不能判 △C22△i3sA5 例1如图2，已知1B 证阴：在△ABC和△DCB中，因为AB= 定△DAB≌△CAB的是 ■DE,AC■DF,BF 线已如两边竹美角封子：先上 DC,AC DB,BC CB, 为P=00 :上E,然后金用“5A5”刺定全等 EC,那么△ABC和△DE 以△ABC△DCB(SSS) 0 A.∠DBF=∠CBF 找第三边对足相等：首先料期AC。,兰 汽已和一是的转透转平：管走封期A三D司 全会再吗？青的理中 例3如图4，已知AB= 点者队=历，城后盒“A5”同龙全等 R∠D=∠C 分析：件中已经知 DC,AC=DB.求正：AB C DA CA ∠O+∠AG 道了两对边相等，我们知道一对边相 CD. 例1 如图1.已知AB 例2 如图2，AC,BD相 D.DB CB 0,以C1Q 交干点0，∠A=∠D,请你再 即可判定全等，由已中的BP=C,我们再结 分析：委证明AB∥CD (2)为点0 :DE.AD=CF,加下列 解析：由图可知，AB是公边 条件，能判定△ABC 补充一个条件，使△AOB二 添加∠DBE=∠CBE,因为∠DAB= 合图形，不煌甚别BC=飞F,滚据"5S”印可说 只需∠ABC■∠DCB.委注 为 明全等 △DEF的是 ADOG,你补充的条件是 CAB,所以∠DBE-∠DAB=∠CBE 2(10分)【阅读理解】定义：图2，在可 明∠ABC=∠DCB,只需证明△ABC9 因为点P A AC DE ∠CAB即∠D=∠C.根据AAS”判定△DAB 平面内，点A,B分别在射线PM,PN上，过点A垂 解：△ABC≌△DEF.理由如下： △DCB B.∠A=∠FDE 解析：由对顶角相等，得∠AOB=∠D0C a△CB: 直于P的直线与过点B垂直于PN的直线交于 因为BF=EC, 证阴：在△ABC和△DCB中，因为AB= C.∠ACB=LF 要定△40B2△D0C,应添如一组边对应相 港加∠D=∠C,根据“AAs”判定△DAB APr entri 点Q,把∠AQB称为∠APB的边垂角 所以BF+C=EG+FC,即BC=EF, DC,AC DB,BC CB, D.∠B=∠E ≌△CAB: 在△ABC和△DEF中.因为AB=DE.AC 以△ABCa△DCB(sSS) 又因为C4B=∠D 解析：因为AD=CF,以AD+CD=CF+ 加A0■D0,根据“ASA”判定△AOB兰 藤加DA=CA,根据“AS定△DAB DF,BC EF. 所以LABC=∠DCB 与△P会等时，有 CD.即AC=DF,要判定△ABC≌△DEF,已经 △DOC 以△ABC口△DEF(SSS). 所以AB∥CD 添加DB=CB.无法定△DAB≌△CAB 有两边对应相等，应添加这两边的夹角对应相 添加AB=DC成B0=CO.根据“AAS”判 故选D 第10期1,2版参考答案 6.136◆2红.所以灯■60.所以绕直角三角板的面 D当AC=P,A 等或第三边对定相等 市△A0Ba△D0C 1234567390口2 )寸，AAC 加AC=DF或∠ACB=∠F∠B 故填AO=DO或AB=DC或B0 CO. 【迁移运用】(1)如图3，CD,BE是△AB 为：0 △W0因为AG=3 本周主研 零ADDADCBD RBcn 的两条高，且交干点F,则∠D4E的“边垂角”是 第10期3,4版参考答案 品味方法 二、3-品2-石14，答岁不雅一知L0= 题123456789om2 122三角形全等的判定（角边角、边边边 (2)若∠AOB是∠APB的边垂角”，则 ∠B:159或-7：16.1减-上， 等家▣DBC和ADAA D C A 截长补短来帮忙 学习目标：探索判定三角形全等的方 ∠AQB与∠APB的数量关系是 2)-3 △2△气U SA,AAS,SS,并能利用它们进行明。 (3)如图4.∠ACD是∠ABD的“边垂角 8.(1){u-2)(m+5}(m-5:(2]400 酒当P。P, 认知重点：会光取适当的判定方法进行 且AB=AC,BD交AC于点E,延长CD至F使 19. 三（--；2）-7 0时，△4CP 0山西 江鸿哲 角形会等的证明 0{14=5m之.t=3: DF=CD,连站AF,EF,且∠FAC=45，写出 △B0P.因为AC■BD 问题：如密1，已知AC 所以∠C=∠AFE因为AC∥BD,所以∠C+ 以∠FAE=∠BAE.在△AEF和△AEB中，因为 BE,CF,CE的数量关系井说明理由： 与点 D,AE,BE分别平 ∠D=10°，又因为∠EFB+∠AFE=180.所 =AB,∠FAE=∠BAE.AE=AE,所☒ CF,以E+G=CF+G.C=EF,在△A 90,90 ∠+90,乙ADC360.以B ∠CMB.∠DBA,且CD经过 以∠EFB=∠D因为BE平分∠DBA.所以 △AEF△MFB(SAS).所以EF■EB,∠F 和△DEF中，因为AB·DE,∠B=∠DEF,BC·EF.用 80,西为∠EC,∠ADC=180, 点E,试判断AB与AC+BD 上FBE=∠DBE在△BEF和△BED中，因为 ,1△ACe△DEFY SAS) ∠ABE.因为BE平分∠DBA,所以∠ABE= (2∠D-25 的数量关系，并说明理由 ∠EFB=∠D,∠FBE=∠DBE,BE=BE,所以 2》情4C,高 ∠DBE,所以∠F=∠DBE,因为AC∥BD.所以 22〈0=2 左△ABC自△EDC中，因月为AB=ED.∠A异G 方法一酸长法 △BEF≌△BED(AAS),所以BF=BD,因为 ∠ECF=∠D.在△CEF和△DEB中.因为 (2)13. 忠路分析：在线登AB上童取AF=AC,连然 AB=AF+BF,所以AB=AC+ 212025=1m42022=1。.1￥=6=3 ∠CF=∠D,∠F=∠EBD,EF=EB,所I以 2015.35-5 EF,根据“5AS”可得△CAE△FAE,则∠C= 方法二：补短法 用为2025-x)2+（2022-x2=2025.8°+5 △CEF≌△DEB(AAS).所以C=BD.因为 5.因为 (2)4(a+3)?+26的学方根是±& ∠AFE,从而得山∠EFR=∠D.根据“AAS” 4,年m3 思路分析：廷长AC到点F,烧AF=AB.连 2《1}=2+2y+2-4,2=x+} AB■AFAC+FC,以AB■AC+BD, 08,225 (202 (2(1+y+2y+y-2y)(x+3y)( 得△BEF9△BED,则BF=D,从而得到AB结EF根搭“SAS”可得△AEF≌△AEB,则∠F 温解提示：截共法和补雉法是解决全等三 (3》设A■G=x.0B=D=,可为△A, (25=(3+23(2a+3)=629a+4+6 与AG◆BD的段量关系 ■LE,EF■EB.再根据“AAS”可得△CEF 2时，△AC和△0 解：AB=AC+BD.理由如下 C△DEB,FC=BD,从而得出AB与AC+BD 角形中线段的和，差，德，分等题日的常用方法 △00均为直角三角形，所以saM-优6+13a+6,5=4(a+)=4+17所以 所， 若题司的条件或待求结论中含有“=b+”,需 2,m0-0D=.因为3+5(6m2+13a46)-《4 1或x=15,1=2 如图2，在AB上畿取 的数量美系 AF=AC,连结EF 解：AB=AC+BD,理由 要本加城盼线时，应考虑炭长法或朴挺法，其具 4w-7g=2知2-4+6=2(g2-2m+1+21=2g 数理报社试题研究中，小 6$,以一+6以+36.因为40.14所以 (全文完) 因为AE平分∠CAB 如下 非慧法为：在匠长的线授上指取一嘉线度与顿 参考答案见下期】 6.以+y=收因为x+=子+2y+).以 下转，4版中缝1 所以∠CAE=∠FAE.在 如图3，延长AC至点F 桩的线段相等，成是将一条较姬的线段延长，使 △C4E和△FAE中.因为AC=AF,∠CAE= 使AF=AB,连结EF 之与最关的线相等，利用全等三角移的知 LAE,AE=AE,所以△CAE≌△FAE(SAS) 因为AE平分∠CAB,所 识进行镜明 2 素养·专练 数理极 数理极 素养·测评 3 7.已知：如图7，∠ACB=90°，AC=BC,CD 12.2.4边边边 I4(12分》如图14，四边形ACD中，AD 跟踪训练 是经过点C的一条直线，过点A,B分别作AE」 CD,AB=CB.我门把这种两组等边分别相等的四 CD,BF⊥CD,垂足为E,求证：EF■AE-BF 廖理通镇 同步检测 边形叫做筝形AC.BD是筝形的对角线求证：BD 1下列巴角形中，与图1所示的△4BC全等 223角边角 TONGBUJIANCE- 平分∠ABC 的是 【输测范：122.3-122.4】 便团训练 ,精心选一选（每小题4分，共32分） 1,王师博不小心将一块瓷砖擇了.摔成如 题号12345678 图1所示的三块，见要去密砖生产一切事一块完 余样的瓷砖，下列典带方式可行的是 2.如图2，AB=AC.EB=EC.则由“S55”可 A.只携带①去 以直接判定 1工人博常常利用角尺构造全等三角形的 B,只携带②去 A,△ABD≌△ACDB,△ABE≌△ACE 方法来平分一个角，如图1，在∠AOB的两边0A 8.知图8，在△ABC中，∠ACB=90°，CB⊥ C.只携带多去 C.△BDE兰△CDE D.以上都不对 0B上分例取点C,D,使G■0D,移动角尺，使角 B,垂足为H,AD平分∠BAC,与CH相交于点D D.携带②利③去 尺两边相同的划度分别与点C.D重合，这时过角 过点D作DE∥BC,与边AB相交于点E,连结CE 尺项点的时线就是∠AOB的平分线这里胸造金 则下列结论中一定正确的是 等三角形的依据是 A.AD s DE B.AC EC B ASA 俺提高 A.SAS C.AAS D.SSS C.AD■CD D.CD DE 二、细心填一填（每小题4分，共6分） 8.在直线m上依次取互不重合的三个点D 2.如图2，是尺规作△ABC的痕迹，则此作图 ,E,在直线m上方有AB=AC,且满足∠BDA 3.如图3，在四边形ABCD中，对角线AC,BD 9.如图9，点E,F在BC上，BE■CF,∠AFB 15.(14分)李大爷有块三角形农田，如图15 ∠DFC,AF,DF相交于点G.要使得△ABF竺 的已知条件是 ∠AEC=∠BAC=0. 相交于点O,且AB=AD,CB=CD,则图中共有 直的小路AG从农田△ABC中字过，幸大爷把衣 △DCF,则还需添加的条件为 （一个即 田分成若干块，分别种上小麦和油菜，其中△BDE A已知两边及夹角 【积累经验】(1)如图8.当a=90°时，猜 对全等三角形 可)， 和△ACD种慎小麦，幸大爷发现AB=AC,小路AG B.日切力 线段DE,BD,CE之间的数量关系是 4.如图4，AC=BD,连结AB,CD,且AB= 2.如图2，在△ABC和△ADC中，AB=AD,BC C.已知两角及夹边 CD.求证：∠A=∠D 与小路C交于点F,且BF=2CF,点E,D在小路 =DC,∠B=110°，则∠D的度数为 D.已知两边及一边对角 AG上，且∠BEG=∠CDG=∠BAG A.60 ,70 C.1109 D.20 3图3，已知AC=CD,∠B=∠E=90 (I)求证：△BAE≌△ACD: 3.如图3，为了满量B点到问对的目标A之 AC⊥CD,则下列结论不正的是 (2》小麦种植区△ACD里需要旌肥200千克 铜的距离，在与B点同阅的河岸上选择了一点(， A.A与∠D互为余角 【类比迁移】(2)如图9，当0°<<180时 0.如图10，在四边形ABCD中，AB■CDA 《同种农作物的农旧面积和等时诡心量相同)，情 南得∠ABC=65°.∠ACB■30°，然后在M处立 B.∠A世∠2 可题(1)中的论是否仍然成立？若成立，请说明 ■BC,∠A+∠C■100°，则∠B■ 你帮李大爷算一下小麦种区△DE需要肥 标杆.使∠CM■65°，∠MCB■30°，湾得MB的 C.△4BC≌△CED 理由， 1,小乐与明友们周末去游乐园乘坐海盗船 多少千克？ D.∠1=∠2 【药展座用】(3)如图1D,在△ABC中，∠BAG 长是0米，BC的长是30米，则4，B两点间的距离游玩，想了解海盗船摆动到最高点位置时的高度， 为 是钝角，∠AD<∠CE,直线m与CB的延长线 )如图11.当静止时海盗船位干铅垂线BD上，转轴 A.1D米 且.15米 交于点F,若BC=3BF,△ABC的面积是18，请 B到地面的高D■10m,在乘坐的过程中，当 C.20米 D.30米 出△FBD与△ACE的面积之和 海盗船静止在点A处时，AG⊥BD,此时测得点A到 船垂误D的宽ACm5m。当头从A外美动 A处时发现船头处在最高位置处，此时，'B 4如图4，已知∠G∠D.只需再萨加 B,(互A”全阳的宽 条件： 点事AAC甘交ABDA(填=木 5.如图5点B.E.C,F在一条直线上，AB= 中可)， DE,AC=DF,BE=CF,FG平分∠DFE,交AC于 5.如图5，△ABC中BC边上的高为k1,△DEF 点G. 中DE边上的高为，则h, (1)求证：∠A=∠D: 4.图4，已知BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点 (2)若∠A=70°，∠B=40,求∠CGF的度 F,且BE=CF,则AD是△ABC的 A.中线 B.亮线 6.(16分》如图16，在△ABC中，∠ABC= C.角平分战 D.无法确定 12如图12，在△ABG中 2∠ACB,BD平分∠ABC,AD⊥BD. 5.图5，在AABC中，AB=AC,E,D,F是C ∠A世60，∠C和∠ACB的 (I若△BDC的面积是5，求△ABC的面积： AT 的四等分点，图中的金等三角形共有（ 平分线BD,CE相交于点0，BL (2》求证：AC=2BD. A.1对B.2对C3对 D.4对 交AC于点D,CE交AB于点E 6如图6，已知C=DC.∠1■∠2=∠3.求 若BC=7,BE=4.则CD的长 正：AABC≌△DEC 三.对解一鲜〔装52分 13.(10分)如图13.已知∠a.∠B和线段m 求作：△ABC.使∠A=∠a,∠B=∠B.BC= 6.如图6，在△ABC中，AC>AB,点D在边AB2m(尺规作图，不写作法，保留作图兼连) 佳力提高 的延长线上，ADAC,在BC上有一点E,使得C ■DE,连结AE.若∠EB=50°，则∠BED的度数 6.如图6，AB=2,BC=AE= 为 6,CE=CF,BP=8,若四边形 A.70 且.0 D.105e ADE的面积为8，则△CDF的面 7.如图7.年△ACD△BCE中，AC=君CAD 积是 ■BE,CD■CE,∠ACF■55，∠BCD■I55°，AD 数理报社试题研究中心 与BE相交千点P,1川∠PD的g数为 {参考答案见下期) A.110 R,125 C130 D.155 (下转第4版)