第13期 3.4 平 面 图形 3.5 最基本的图形——点和线-【数理报】2025-2026学年新教材七年级上册数学学案（华东师大版2024）

素养·拓展 数理热 衣5责任第板：丹慧蝴 纸编饼话量质情单话 2025年9月23日·星期二 初中数学 石学门车学习数学 专题铺导 纸发行量反墙电话 的过程中，面对实际问题 数理招 第13期总第1157期 华东师大 0351-521248 数线段条数 七年银 时，罗能主动尝试从数等 的角度云用所竖的好团识 数学名人故事集锦 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社辑出版 社长：徐文信 国内统一连续出版物号：CN140707八F】邮发代号：21-44 和方法子求解决题的 高断 。山东 赵 市路.下面就让我们 高新出生于17 直品学些习的难 2,3,4.行以线上线的位致为：1+2+3 事周主讲盆 生 一，准确解的关是要做到不重，不 +4=10(条) 和线段的无穷鞋力！ 理学和天文写 飞话車面群形 下面教同学门三个绝招，让大家快速学会数相 2 家，减城力批全E于 几何入门 勇闯“三关 两点确定一条 直线”的应用 图形中线段的条数， a三岁味雪基明上童月 学习目标：提多边形的基本械念 3 的教单天。正 飞5其意的形一占0传 例1如图1.A,B.C 蜂程一酒次法 故填10. 福建田丽棋 学习目标：山.掌提线段、转线、直线的 表示三个村庄，它们被三 所调顺次法就是从左边第一个点开始，依 招三：公式法 概金及其表示方法 步人几何王国，就要学会三种几何语，即 干计算和说理 条可隔开，现在打算在： 次数出以这个点为增点的线段的条数，再把所 所四公法进只百店用公武十道.是士 2拿报两点之间的拒高的舍义会比 文字话言，图形语★和符号语言.这是我们学好 二，学会三种语言的互译 有的第数相加 线段的长短 几何识必备的基本功 三种语言只是形式上不同，其本质是相同 用 公式为：当一条直线上有：个点时，线段的条数 直的公路，则 一共需要第 例1 如图1，在直线 一，阴确三种的特征 的，即表示同一几何对象.同学初学几时 多少空桥？请在图上用字 , 计其到 在学习和中活中我门 上有A,B.心三点，可中共 有线 其他司学还在 说 经常会理到出较两条找受 1,文字语言.像点G在直线B上”，“圆点必如通过不断练习，学会它们之间的互化和互 母标明桥的位 44444 高斯已 之间线段最短”等就是女字语言，其特点是精 译，做到三种语言的统一，如下表： 解析：如图2，利用“两点确定一条直线”可可 A.1 C3条 的长短的问，那么解决这 D.4 4 知，将A.B,C三个村庄两两相连，线AB,BC 个何圈都有原些方法呢？ 炼严谨 语常 分斯：袋胆从友到右的顺序依次去数，然足 影希卧人和中国人单已 把握好文字语言应做到以下两点：(1)正通 4C与三条河共有5个交点，所以 共需要 要求如图4所示的直线上共有多少条线，可 、目测法 4G■C■ 再求和脚可 《竹重山心成直 时干两茶号香的长行 理解文字语言所表达的含义.如“经过两点有目 5整标，分别在D,E,F,G,H处 根据“次法”"（色可以报据“标批法”，请网学们自 道 解：以点A为左猫点的线段有AB,AC,共 己动手空试)从左起次去数，以点，为始点的 的中 条：以点B为左端点的线段有BC.共1条2+ 人家 只有一条直线”的含义是：经过两点有一条直 线有A42A,4,…44,共-1)条：以点A 的看法 短 这种方法例如，图1中的 线，并且只有一条直线，不会有两条，三条等， 1=3(条)，即图中一共有3条找段 为左猫点的线段有441，A,4,…,A,4,共(4-2) 两条线段，一看使知AB> (2)准确找出文字语言中的关键词或中心语，如 三、熟陈用三种语言 。和天文下平 故选 多个板规取保了志出 比 co. 为丁了解题方使.我们常把“文字语言”译成 条：以点为左点的线腹有A,共1扇 ·车古圆5的登的长年，叫收文两5的 绝招二：标数法 比，为代龄羊5度属 图直”甲“图形其言”最成“将号班高” 以直我1上比有母受：1+2+3+…+◆《n-1】= 离的关键词是“长度”，说明它是数量，而非线 二，“两点之间线段最烟”的应用 所调标数法就是从左边第二个点开始，依 由了巨大 《-1+-1卫=(m-1)条 华罗庚 段这个“图形” 例 已知C是战段AB的中点，AC=5,点 例2如国3，在河流m(不记河的宽度) 的 次标数字12,3,4，，直标到最后 一个点.再 之图形语高.几问图彩有着深刻的内涵，也 D是段AB的一年分分点求RD的长 两岸有A,B两个村庄，现在要在河流上缘建 线罗北是产用 把所有的数字相加即为线段的总条数（事实上 例3若一条直线上有10个点，则该条直 解析：如图3.分两种情况讨论： 最单的量从人之一 二叠合法 像其他语言一样能传递信息，具有形象，直现的 座跨河的大桥，为方便交通要使桥到两个村由 顺次法”的道理相就) 战上共有 条线段 自季成才的方式攻克 的距离之和最短，应在运的哪一点修硅才能 段 把两条线段放到同 例2如图2示 分析：直接运“公式法”代入值即可 许多数学难 条直线上，使它们的 特点如图1表示“点C在线段AB上，图中有线 C D B A D E 段AB,线段AC,线段BC”等：图2表示“证长线 西足或青国出这一点，并商单单明甲由 的直线！上一共有 与 解：因为直线上有10个点.即程=10，历以 个增点在它门的公共嘴点的同 图3 解析：如图4.根据“两点之线最短” 段AB”等 条线段 示的两条线段AR,CD,把它们都放 因为C是线段AB的中点，AC=5. 要使桥到两个村庄的距离之和最短，可连结AB 该条直线上共有线段：×0×(10-1)= 到点线！上，使A,C两点重合，B,D两点在点 分斯：可接概从左列右的顺序，从第二个壳 所以AB.=2AC=10 与m相交于点P,则应在运河的P点递才能 季重代灰我州官试，从 足要求 开始依去标戴，然后再求和 A(C)物国组点知果找段C的昇-一个男点D在 45(条) 开了单生翼 线段AB上，则表AB>CD:如果线股CD的 因为点D是线段AB的三等分点。 解：如图3，在点B,C,D,E上依次标数字1， 故填45. 3等号年言.量"AB:=AC","上F=EP+ +H 个出点D落在母AB特正长线上，H期A 等就是符号语言，其特点是简捷生动，便 所以BD=B=9或BD=子B=9 第122液琴考答案 (2)答率不推 CD:如果两条线段的另一个混点B,D重合，则 她在解桥 明AB=CD Ad 玉生活中的立体图形 1A图路 色，矩群几何学，熟型 名师点睛 基得训练L,C:2.A:3.D:4.27 151)2,8: 等多个北伞会直短城相 51}体，行：性体.：球林， 218 三，确定合适的停罪点 者并4h省论外 (2)组成面的个数是奇数1④36：组成面的个 (3》如图2 例3如图5，在同一所学校上学的刘明 聚焦数轴上的线段 (成，架一位冒学分川中在A:BC一不牛密 是偶数①生 在新中国成玉后 3.2立体臣形的钱压 为中国的 ©四川邵一几 区，已知A,B,C三个住宅区在 条直线上， 三，度量速 学事业培系了一大批梵 有此问圈将线段与数轴联系起来。通过规 点（各点均表示整数），且2AB=BC=3CD AB■.60m,BG■100m.他们打算合租一辆接 支2,1山立体图形到视图 40 当两条线段的长短整别 送车去上学，由于车位紧张，准备在此之间只设 1A:3.D:4中，B 段长度的计算，来断点所对应的数.下面举例若A,D两点所表示的数分别是-4和7，求线段 6 不太明显，而又不使放在 个停靠点，为使三位同学步行到停靠点的路 进行说明，供同学门参考 BD的中点E所表示的数 程总和最小，你认为停靠点应该设在理甲？ 支2.2由视正到立体图形 起比较或需要求出相差的具 一用竹轴西培算 基超训域上.C:2.A:34. 6(1①56 体数值时，可用此法如图 由增题可如，所作出的方体的长为：023 例！如图1.数轴上有A.B两点.若点C是 (28.10:3)如图1 去山重从局闻名。蓝习 3,时线设AB知D.优 3子立体图形的表开图 20K)。窗g:0.÷2-5=10鞋)。高51 鸿封地意制挂城头相 以用度尺分川出我周 B的中点，则点C所表示的数是 分折：可先根据A,D两点在段轴上所表示 解析：分5种情况时论： 基瑞调练1.C:2.D:3.B:4.C: 5 g长方比合的为200x5.1000H ”入研完，并在1 B和D的长度，数值大的线段较长，数值小的 (1)当停靠点设在A住宅区时，他门的路程 有己这 (258:发的规律为：没有剪厅的短的陵越多 短，数有相的一样长，经寸 52-1011方方 的数，泰出线段D的关，然后感据-2AB=BG 总和为220m: 7.1 ×4×5+×(4+2)2 24T 2 量，我段AB比线段CD长 ■3CD”,出BD的长，从而求出BD的中点E 侧包驱1因为红角的有与白装技情备钓面相 分析：利司数轴上两点之可的距高等于右 (2)当停点设在A,B两住宅区之间时，饱 答：这个水桶少需要4m失皮 四、载服法 斯表示的章 卫的虎所表示的数道去左单的壳所表示的慧 们的路程边和大于10m而小于220m: (2)日×(4+2)2×3×1=12(kg 钙，所以红色的面柑对的血是绿色的血.因为黄色的出 的切.之与一名线的个 解：因为AD=7-《-4)=11,2AB=B0 与白，色的西均相邻，所以白色的面相对的面是 可求出找AB的长，再利周线胶中点的性质求 《3)当停绵点设在B住宅区时，他的路程 答：水桶中的水重2x千克 点重合，保持规的张开程度不麦，移到另 第12期3版参考答案 的血，林值的加相对的白品黄色的加 出CB的长，根器CB的长刺断点C所表示的数 =3CD,所以AB=多CD, 总和为160m 所以长林的下图刊的四个面小单，督.苦，白色 条线段上，使圆规的一脚对准一个增点，保持原 可 《4)当座整点设在B,C两生它区间时 想号12343678 所似长方体的下直的花共有：5+！4+？ 菜的张开程度阿圆，如果第二条线段的另 他们的路程总和大于160m而小于260m: 解：因为AB=4-(-3)=7,点C是AB的 新以AD=AB+BC+CD=2CD+3CD CA CC BB D A 24朵) 岩点落在圆的内部，则第一条线段大于第二条 (5)当停草点设在C住宅区时，他门的路用 透受痛鸡折舟时。施 2.1110 线：如果第二条段的另一个点需在圆的 中点，所以AC=CB=AB=3.5. CD=1l,所以CD■2 总和为260m 瓷有停止过之的 所以BD=BC+CD=4CD=8 (2》图3 外部，则第一条线段小于第二条线段：如果第 综上可划，为使三位同学步行到停靠点的 三、B(1)①是五，2是调柱.3是圆，①是 (3》这个立体图形的表面积 为6×2+ 32 条线段的另一个带点正好落在圆上，测两条线 所以点C所表示的数是4-3.5=05 因为点E是D的中点， 路程总和最小，停靠点应该设在B住宅区 62+6×2+2+2D(m 段长度相等.由于这种方法相当于在一条线段 故填0.5. 雨以ED=D=4 《(或者它的是长线》上酰取另一条线段的长，所 二，利用比例巧什 以散“截法” 例2如图2，数轴上有A,B,C,D四个整数 所以点E所表示的数是：了-4=3. 2 素养专练 数理热 数理极 素养·测评 3 5.图3，AC,BD交于点E 3.如图2，在操作课上，同学们按老师的要求 16.《16分}》四1图14，点0是我AB上一+点，与 跟踪训练 能用字母表示的以点C为嘴 操作：①作射线AM:2在射线AM上面次戴取AC 同步检测（九） C,D分列是线段0A.0B的中点 的线母有测条，排用字灶光 =CD=a:图在射线DM上截取DE=b:④在线 《1)若CD=6,求AB的长： 的以点C为带点的射线有 段EA上取EB=B由操作知，线段AB的长度 (2)若题中的“点0是线段AB上一点”改为 3.4平而图形 n条，则微一和的值为 “点O是线段BA延长线上一点”，其他条件不变 6往返于A市和B市之间的某客车在途中共 A.a+b-c B.a+8+c 【检测范困：3.43.5】 青你可出图彩若AB=8,求CD的长 使团训练 有两个停布点，那么该客布应该准备车票 C.2a +hte 10.2a+6-e 、精心选一选（每小题4分，32分 点，点P是线段AB上的一点，PA=2PC,则线段 0 D R 4.如图3，C.D在线AB上.且CD=BD.AD 题号12345678 PB的长度为 cm. L.在如图1所小的图形中，属干多边形的有 14 7.如图4，平面上有A,B,C,D四个点根据 =2BC,别线段AG的长度是线段CD长度的 列语句画图： 答常 △口○○ (1)画直线AB,射线DC交于点E: L,如图1中的两个立体图形中含有相同的平 12.如图10，有公共端 (2)画射战AD,射线BC交于点F C D N 图形是 点P的两条线段MP,NP组 (3)连结EF,并反向廷长线段EF 3 A2个B.3个 C.4个D.5个 方形 ,正方形C三角形 D圆 成一条折线M-P-N,若凌 工下列各组图形是平图形的是( 5.如图4.是一根10m长的木棒，木棒上有 折线-P-N上一点Q把 A线段圆球 三个刻度，若它作为尺子，则量一次要量出一个 非.角，长有形， 这条折战分成相等的两部分，我们把这个点Q叫 C.长方体，棱锥 长度，能量出的长度有 D,三角形正方形 做这条折线的“折中点”.已知点D是折提A-C 6.如图5，已知线段#，6，，用直尺和圆规作 3如图2.从一个五边形中裁去一个三角形 8的“折中点”，点E为线段AC的中点，CD=5,CE 图（傑留作润康进）： 得到一个三角形和一个新多边形，那么这个新多 2,武淇想在白己房的墙上钉一个直线型饰 7.线股C的长为 附加题⊙ ” 型4 (1)作一条线段，使它等于a+6: 力开形是边开形？青国图总 品挂架，用来挂自已喜欢的装饰物，为了固定饰品 三、耐心解一解（共52分） (以下试题磷各地根据实际情况选同) (2)作一条线段，使它等于4-巴 柱架，试其至少需要钉子 13.(10分)如图11，已线段AB和点C,请用 1.(8分)如图1.点C在线段AB的延长线上， A.4个 B.3个 C.2个 D.I个 直尺和圆规作图（不泉写出作图过程，要留 3,如图2，下列说法错误的是 作图填陵》 C=BC,点D在A的反向延长上，BD 佳刀提高 A.出B在直线WC (1)作射线C.直线CB 8,阅读下列材料井解答回测 B.点A在直线BC外 (2)在射线BC上取一点D,使CD=24B (1)探究：平面上有n个点(n≥2)且任意3 《1)若线段4B的长为x,请用合x的代数式表 C.点C在线段MB上 个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线 D.点M在线段BC士 示G和AD的长： 共能▣多少条直线： (2)若AB=12,求线段DC的长 g 我们知道，两点确定一条直线，平面上有2个 7,如图6.已知C,D为线段AB上的两点，且 佳刀提离 点时，可以2=1条直钱：平面上有3个点 4C=CD=号DB,E是线段DB的中点若AB 4.如图3，在线段MN上分别截取ME=NF= 14.(12分)如图12，点B,D在线段AC上 4.如图3，将多边形分制成三角形，图①中可 时，一共可以32：3条直线：平面上有4个点 e,则线段MF与NE的大小关系是 I0em,求CE的长度 (1》填空：AB=DB+ AC 分树出2个三角形：图2中可分部出3个三角彩： 时，一共可以回3.6条直找平面上有5个点 A.MF>NE B.MF NE 图中可分潮出4个三角形：…照此方法，则 C.MF NE D,不能定 作边形可以分期出 时，一共时以画 条直线：….平面上有 5.如图4，点C在线段AB上，AB=3AC,点D (2)若D是线毁AC的中点，BD=子D,AC m个点时，一共可以画 系直我， 是线段CB的中点，CD=2,则段AB的长为 16,求线段BC的长 (2)运用：某足球比赛中有22个球队进行单 D B 2.(12分)【问题引入】 赛（每两队之间必比一场》，一共要进 A:6 B.4 C.2 D. 对于数抽上的线段AB和点C(AC不在找段 行多我场H比展 B上)，给出如下定义：P为线段AB上任意一点 我把C,P两点间距离的最小值称为点C关于线 6,如图5.0是线段AB的中点，P是A0上 35最基本的图形一点和绒 段B的靠近距离”，记作d,:把C,P两点距责的 点已知BP比AP长6em,则P的长为( 最大清东为互C关于我身身B的“式区过室”，已 3.5.点和线 A.2 em B.3 cm 山，.已知点A表示的数为-5，点B表示的数为2 年迎训练 座刀提高 C.6cm D.无法确定 【问题解决】 7,如国6，点C,D为线段AB上两点，AC◆BD 15.(14分)小敏在元旦期间到苍南玉苍山进 (1)若点C表示的数为3，如图2，则d= L汽车灯所射出的光线可以近以地着成 8.【新知设解】 山动，携普一根经山止，好13一1，这 如图7，点C在线段AB上，图中共有三条线段 =,且AD+BC=B,则CD的长为( )可仲山杖共有三节，我们把登山杖的三节类 A,线段 B.射线 AB,AC和BC,若其中有一条线段的长度是另外 慰看成三条线段，其中上节E下是困定不动的，长 (2)①若点C表示的数为.,=3.求m的 35.2线段的长短比较 条线段长度的2倍，则脉点G是线段AB的“巧 B.2a C.o 值： C.直线 D,曲线 为54cm.比中CD长7m.中CD比节A 2,把湾曲的公路改直，能第缩短行程，这样做 厚迎训练 点" ②若点C表示的数为，d=12,求的值 长3m,如图13-②，在无伸？的切始状态下，点 【问题迁移】 的道理是 DE带会山由BC由是重命的 用“叠合法比较阿条找段AB,CD的长短 (3)若点E和点F为数轴上的两点（点E和，点 A两点定一条直线 中正确的方史是 8.如图7，点B,C,D在线段AE上，BD=E (1求无伸密的初始状态下登山杖总长AF的 与不在线及AB上】，5B及示的数为，点表 B.两点确定一条线股 (1)一条线段的中点 这条线段的 长度： =3,则图中所有线段的长度之和为 的数为x+2,1表示点E关于线段AB的“靠近距 C.四点之间是段号短 巧点（喻是”友“不是”）： (2)如图13一线，1过中，需要根据不同地 B.48 C50 离，2表示点F关于龙段AB的“远离距离”，若， D,两点之间直线最 【问题解决】 形整杜长度，当总长度AF备矩为6em,且点 :的和为13，求x的值， 3如图2，下列几何语句 (2)若AB=24cm,点C是线段AB的“巧 C恰为E的中点时，求缩进分BC,DE的张 不正确的是 9,如图8.用剪刀沿直线将 点”，求AC的长 A,直线AB与直线B是同一条直线 片平整的树叶剪掉一部分， 2如图I,已线段AB=10cm,点N在AB (D) B.射线0A与射线0B是国一条射线 则刚下的树叶周长小干原树叶 C.射线O4与射线AB是同一条射线 上，NB=2m,是AB的中点，则线段N的长为 的周长，能解释这一现象的数 D.线段AB与线段B4是司一条线段 学首理法 A.5 em B.4 cm C.3 em D.2 cm ① 4,冠艺工人种树时，只要定出两个树坑的 10.在数轴上，点A表示16.线段AB的中点表 置，就佳使同一行树坑在同一条直战上，其中的数 数理报社试题研究中心 示6，则点B表示的数是 数理报杜试题研究中心 学道厘是： 参考答案见下期) 11.如图9，AB=24m,点C是线段AB的中 (参考答案见下期}初中数学·华东师大七年级第10~14期 数理括 答案详解 2025~2026学年 初中数学·华东师大七年级 第10~14期(2025年9月) (2)由题意，得y>4. 第10期综合测评卷 所以y+2>0,1-y<0,y-4>0. 题号123456789101112 所以原式=y+2-(1-y)-(y-4)=y+2-1+y- 答案CDB CACBDA CB C y+4=y+5. 二、13.x3+3x2-2x-1: (3)点B到点A的距离与点B到点C的距离的差值不会随 14.(2a+8b);15.-8;16.28. t的变化而变化。 三、17.(1)2x4-5；(2)-8a2-18a+5. 由题意，得点B到点A的距离为：1+t-（-2-t)=2t+ 18.(1)原式=ab-6. 3,点B到点C的距离为：4+3t-(1+t)=2t+3. 当a=-1,b=2时，原式=-8. 因为2t+3-(2t+3)=0, (2)原式=x2-5y3. 所以点B到点A的距离与点B到点C的距离的差值不会随 当x=3,y=-2时，原式=49. t的变化而变化，其值为0. 19.(1)该加密记忆芯片的面积为：(3.5+10.5)×(a+2a 第11期1,2版 +2a+2a+3a)-10.5×2a×2=14×10a-42a=98a(平 一、 题号1234567891012 方纳米). 答案B DABA B CC D B A C (2)当a=7时，98a=98×7=686, =l32,-子；49：5；162 5 答：该加密记忆芯片的面积为686平方纳米. 三、17.(1)0：(2)-24. 20.(1)因为M-2N=-x2+4x-4, 18(I)3x-1;(2)号ab-12ab 所以N=73x-4+2-(-2+4x-4)]=之(3x 19.(1)30-30-16-36+14-20+24=-34(吨)，500 -4+2+2-4+4)=(42-8x+6)=22-4+3. -（-34)=534(吨). (2)2M-V=2(3x2-4x+2)-(2x2-4x+3)=6.x2- 答：7天前仓库里有货品534吨 8x+4-2x2+4x-3=4x2-4x+1. (2)(1+301+-301+-161+-361++141+1-201 +1+241)×8=1360(元) 当x=-7时，2M-N=4×(-2-4×(-)+1 答：这7天要付1360元装卸费. =4. 20.(1)(5b+15),6b,9a: 21.(1)(x+100),(-2x+300): (2)由题意得，整个房屋的面积为：16(a+b)-2(b+3) (2)获得的总利润为：100(x+100)+120(-2x+300)= =(16a+14b-6)平方米，铺木地板的面积为：5b+15+6b= (-140x+46000)元. (11b+15)平方米. 22.(1)由题意，得1a1=2且a-2≠0，b-1=0,c-4 所以铺瓷砖的面积为：(16a+146-6)-(11b+15)=(16a =0. +3b-21)平方米. 所以a=-2,b=1,c=4. 当a=5,b=4时，11b+15=11×4+15=59,16a+3b 初中数学·华东师大七年级第10~14期 -21=16×5+3×4-21=71. (2)7-[(-9+3)(-9)]=3-[(-9+27)÷ 所以整个房屋铺完地面所需的费用为：59×200+71×100 =18900(元). (-9)1=分-[18÷(-9]= 21.(1)由题意得，点B对应的数为0，点A对应的数为：0 答：被污染的数字“口”是子 3=-3,点C对应的数为：0+8=8。 所以m=-3+0+8=5. 20.(1)由题意得，这个三位数的十位数字为5m-1,百位 (2)①当点B在原点的左侧时，由题意得，点B对应的数为 数字为m+3. -3,点A对应的数为：-3-3=-6，点C对应的数为：-3+8 所以这个三位数为：100(m+3)+10(5m-1)+m=100m =5. +300+50m-10+m=151m+290. 所以m=-6+（-3)+5=-4. (2)新得到的三位数为：100m+10(5m-1)+m+3= ②当点B在原点的右侧时，由题意得，点B对应的数为3， 100m+50m-10+m+3=151m-7. 点A对应的数为：3-3=0，点C对应的数为：3+8=11. 所以原来的三位数比新得到的三位数大：(151m+290)- 所以m=0+3+11=14 (151m-7)=151m+290-151m+7=297. 综上所述，m的值为-4或14. 21.(1)6x-12y; 22.(1)9,15: (2)-1； (2)P(132)-P(-316)=132-231L-1-316-(-613)1 (3)因为a-2b=7,2b-c=-1, 33 33 所以a-2b+(2b-c)=a-c=6. =3-9=-6 所以3a+4b-2(3b+c）=3a+4b-6b-2c=3a-2b- (3)P(A)= I100a+106+c-(100c+106+a)1 2c=(a-2b)+(2a-2c)=(a-2b)+2(a-c)=7+2× 33 6=19. 199a-99cl因为c>a,所以99a-99e<0.所以199a-99c1 33 22.(1)6; =99c-9u.所t以P(A)=L9a:99c1-9c9a=3c-3a. (2)12,18: 33 33 (3)借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒AB,图略. 第11期3,4版 爷爷若是小红现在这么大看作当B点移动到A点时，此时 A点所对应的数为-38；小红若是爷爷现在这么大看作当A点 题号123456789101112 移动到B点时，此时B点所对应的数为118.所以可知爷爷比小 红大：[118-(-38)]÷3=52（岁）. =13.956×10；14.20,10, 所以爷爷现在的年龄为：118-52=66（岁）· 15.-9；16.0或-36. 第12期2版 三17.(1)-2：(2)-3 29 3.1生活中的立体图形 18.(1)原式=b2-a2 基础训练1.C;2.A;3.D;4.27. 当a=-4,b=3时，原式=-7. 5.(1)柱体：②3⑥：锥体：①④：球体：⑤， (2)原式=-子+2 (2)组成面的个数是奇数：③④⑤⑥：组成面的个数是偶 数：①②. 当x=-2=时，原式=-1 3.2立体图形的视图 3.2.1由立体图形到视图 19（1)原武=-9×(-右)-27=- 1 2 基础训练1.D;2.A;3.D;4.中心投影 初中数学·华东师大七年级第10~14期 5.图略. 的面是黄色的面 3.22由视图到立体图形 所以长方体的下底面的四个面分别是绿、黄、紫、白色 基础训练1.C;2.A;3.4. 所以长方体的下底面的花共有：5+1+4+2=12（朵）. 4.(1)1,1,2;(2)8,10: 2.(1)10; (3)如图1. (2)如图3： 图1 3.3立体图形的表面展开图 (3)这个立体图形的表面积为：6×2+6×2 .2 基础训练1.C;2.D:3.B;4.C;5.-7. +6×2+2+2=40(cm2) 图3 6.图略 第13期2版 7.(1)π×4×5+T×(4÷2)2=24π(dm2). 答：做这个水桶至少需要24πdm2铁皮 3.4平面图形 (2)π×(4÷2)2×3×1=12π(kg). 基础训练1.B;2.D. 答：水桶中的水重12π千克 3.新多边形是四边形或五边形或六边形，图略。 能力提高4.(n-1). 第12期3版 3.5最基本的图形一点和线 题号12345678 3.5.1点和线 基础训练1.B;2.C:3.C; 二9.3；10.72；11.4；12.36或24 4.两点确定一条直线；5.2：6.12. T 7.图略 三、13.(1)①是五棱锥，②是圆柱，③是圆锥，④是球，⑤ 能力提高8(1)10，nm-1: 是六棱柱 2 (2)答案不惟一，略。 (2②)一共要进行的赛为：221=231（场）. 14.图略 3.5.2线段的长短比较 15.(1)12,8: 基础训练1.B;2.C;3.D: (2)8; 4.3;5.9. (3)如图2： 6.图略. 7.因为AC= 10 所以CD=DB. 图2 所以AB=AC+CD+DB=7CD+CD+CD=CD= 16.(1)①56： 10cm. ②由题意可知，所作出的长方体的长为：30-2×5= 所以CD=4cm=DB. 20(cm),宽为：30÷2-5=10(cm),高为5cm.所以该长方体 因为E是线段DB的中点， 纸盒的体积为：20×10×5=1000(cm3). 所以DE=DB=2m (2)58;发现的规律为：没有剪开的短的棱越多，展开图的 所以CE=CD+DE=6cm. 外围周长越大 能力提高8.(1)是； 附加题1.因为红色的面与白、紫、蓝、黄色的面相邻，所 (2)因为AB=24cm,点C是线段AB的“巧点”， 以红色的面相对的面是绿色的面.因为黄色的面与白、蓝色的 面均相邻，所以白色的面相对的面是蓝色的面，紫色的面相对 ①若BC=2AC,则AC= B=8em: 一3 初中数学·华东师大七年级第10~14期 ②若AB=2AC,则AC=AB=12em: 附加题1.(1)因为AC=5BC, 3 ⑧若4C=28C,则4C=号4B=16om 所以AB=AC-BC=子BC=x 综上所述，AC=8cm或12cm或l6cm. 3 所以BC=2 第13期3版 因为BD=3DC, 题号12345678 所以BC=DC-BD=号DC A 二、9.两点之间线段最短；10.-4： 所以0C=38c= 4 11.16；12.24或4. 所以AD=DC-AB-BC=--之 3 5 4. 三、13.图略. (2)因为AB=12, 14.(1)AD,BC; (2)因为D是线段AC的中点，AC=16, 5AB=45. 所以DC= 所以4D=子4C=8 2.(1)1,8; (2)①当点C在点A的左侧时，AC=3, 因为BD=子4D, 所以m=-8; 所以BD=2. 当点C在点B的右侧时，BC=3, 所以BC=AC-AD-BD=6. 所以m=5. 15.(1)根据题意，得CD=EF-7=47cm 综上所述，m的值为-8或5。 所以AB=CD-3=44cm. ②当点C在点A的左侧时，BC=12, 所以AF=EF+CD+AB=145cm. 所以n=-10; (2)因为AF=116cm, 当点C在点B的右侧时，AC=12, 所以AE=AF-EF=62cm. 所以n=7. 因为点C为AE的中点， 综上所述，n的值为-10或7. 所以4C=CB=宁4k=31em (3)当点F在点A的左侧时，x<-7,=AE=-5-x,2 =BF=2-(x+2)=-x, 所以BC=AB-AC=l3cm,DE=CD-CE=16cm. 因为1,2的和为13， 16.(1)因为点C,D分别是线段OA,OB的中点， 所以(-5-x)+(-x)=13, 所以0c=30A,0D=之0B 所以x=-9. 当点E在点B的右侧时，x>2,t1=EB=x-2,2=AF 所以GD=0C+0D=0A+号0B=分AB =x+2-(-5)=x+7, 又因为CD=6, 因为t1,2的和为13， 所以AB=12. 所以x-2+x+7=13, (2)图略.因为点C,D分别是线段OA,OB的中点， 所以x=4. 所以0C=20A,0D=20B 综上所述，x的值为-9或4. 第14期2版 所以CD=0D-0C=20B-0M=24B 3.6角 又因为AB=8, 3.6.1角 所以CD=4. 基础训练1.B;2.C；3.A;4.45. 4 初中数学·华东师大七年级第10~14期 5.(1)1.05°=63'=3780"： 所以∠A0C=180°-∠B0C=108°. (2)701348”=70.23°. 因为OE平分∠AOC, 6.(1)能用一个字母表示的角是∠B. 1 所以∠C0E=2∠A0C=54 (2)以A为顶点的角是∠BAD,∠CAD,∠BAC 所以∠B0E=∠COE+∠BOC=126°. (3)以C为顶点，CA为一边的角是∠ACD,∠ACE,∠ACF 能力提高7.(1)136； 能力提高5.25°或10°， (2)m+1)(n+22 第14期3版 2 题号12345678 3.6.2角的比较与运算 答案CAA DBACD 基础训练1.B;2.D;3.94°. 二、9.28.75°；10.165°；11.145.5°；12.75°或105°. 4.图略. 三、13.图略 5.因为∠AOB=90°，OE平分∠A0B, 14.(1)因为∠B0C=100°， 所以∠B0E=分∠A0B=45 所以∠A0C=180°-∠B0C=80°. 因为∠EOF=60°， 因为OM平分∠A0C, 所以LBOF=∠EOF-∠BOE=15. 所以∠A0N=∠C0M=子∠A0C=40 因为OF平分∠B0C, 因为∠C0D=90°， 所以∠B0C=2∠BOF=30°. 所以∠D0M=∠C0D-∠C0M=50. 所以∠AOC=∠B0C+∠AOB=120°. 6.(1)1014125";(2)4044'. (2)因为∠BOP与∠AOM互余， 7.(1)因为∠A0C=30°， 所以∠BOP+∠AOM=90°. 所以∠B0C=180°-∠A0C=150° 所以∠B0P=90°-∠AOM=50°. 因为OE平分∠B0C, 所以∠COP=∠BOC-∠BOP=50°. 15.(1)OF是∠BOC的平分线.理由如下： 所以∠C0E=号∠B0C=750 因为OE平分∠AOD, (2)因为∠A0C=a&, 所以∠AOE=∠DOE. 所以∠B0C=180°-∠A0C=180°-. 因为∠A0B=∠D0C=90°， 因为OE平分∠BOC, 所以∠B0F=180°-∠AOB-∠AOE=90°-∠AOE, 1 所以∠C0E=2∠B0C=90°- 2a. ∠C0F=180°-∠D0C-∠D0E=90°-∠D0E. 所以∠BOF=∠COF 因为∠C0D=90°， 所以OF是∠BOC的平分线， 所以∠DOE=∠COD-∠COE= 2. (2)因为∠C0G:∠F0G=2:5, 3.6.3余角和补角 所以∠C0G=号∠P0G 基础训练1.B;2.B；3.90. 4.(1)因为∠B0C与∠B0D互为余角， 所以∠COF=∠F0G-∠C0G=号∠FOG 所以∠B0C+∠BOD=90°=∠COD. 因为∠BOC=4∠BOD. 所以∠B0P=Lc0r=号LfoC 所以∠B0C=专∠c0D=72 因为LA0B+∠B0F+∠F0G=180°，即90°+2∠FOG (2)因为∠A0C与∠B0C互为补角， +∠F0G=180°， 所以∠A0C+∠B0C=180. 所以∠F0G=56.25°. 初中数学·华东师大七年级第10~14期 所以∠00G=子∠F0G=259 ∠BE0F=∠C0E-∠C0r=2(∠A0C-∠C0B)= 因为∠D0C=90°， 2∠A0B=50. 所以∠D0G=∠D0C-∠C0G=67.5°. 所以∠A0D=180°-∠D0G=112.5°. 综上所述，∠E0F的度数为50°或130° 16.因为OE是∠A0C的平分线，OF是∠C0B的平分线， 附加题1.(1)0B,0E; 所以∠C0E=∠A0C,∠C0F=分∠c0B (2)当OC在∠AOB的内部时， (1)因为∠A0C=30°，∠A0B=100°， 因为OC是(OA,OB)的“新风尚线”， 所以∠C0E=15°，∠C0B=∠A0B-∠A0C=70°. 所以∠A0C=方∠B0C, 所以∠C0F=35°. 2 所以∠EOF=∠COE+∠COF=50 所以∠B0C=子∠A0B=20°： (2)∠B0F=∠C0E+∠C0F=2(∠A0C+∠C0B)= 当OC在∠AOB的外部时， 1 因为OC是(OA,OB)的“新风尚线”， 2 ∠AOB=50°. (3)延长B0至点D,延长AO至点M. 所以∠A0C=合∠B0C, ①当OC在∠AOD的内部时，如图1. 所以∠BOC=2∠AOB=60° 综上所述，∠B0C的度数为20°或60 2.(1)因为∠A0D=∠A0B=130°，OM平分∠A0D, 0 图1 所以∠B0M=7∠A0D=650 ∠EOF=∠COF-∠COE= (∠C0B-∠A0C)= 1 因为∠M0W=25°， 所以∠BON=∠BOM-∠MON=40°. 2∠A0B=509 1 因为ON平分∠B0C, ②当OC在∠DOM的内部时，如图2. 所以∠B0C=2∠BON=80°. (2)因为OM平分∠AOD, 所以∠AOD=2∠D0M. 因为∠B0D=60°，∠A0C=10°， 图2 所以∠B0C=∠AOC+∠AOD+∠BOD=2∠DOM+ ∠EOF=∠COF+∠COE= 2(∠C0B+∠A0C)= 1 70°】 因为OW平分∠BOC, 2(360°-∠A0B)=130 所以∠BON=2∠B0C=∠D0M+359 ③当OC在∠BOM的内部时，如图3. 所以∠D0W=∠B0N-∠B0D=∠D0M+35°-60°= ∠D0M-25° 所以∠MON=∠DOM-∠DON=∠DOM-(∠DOM- 25°)=25° 图3 一6