专题3.4 线段的长短比较【十大题型】-【新教材】2024-2025学年七年级数学上册举一反三系列（华东师大版2024）

专题3.4 线段的长短比较【十大题型】 【华东师大版2024】 【题型1 尺规作线段】 1 【题型2 比较线段的长短】 2 【题型3 线段的性质】 3 【题型4 线段的和差】 4 【题型5 与线段中点有关的计算】 5 【题型6 与线段n等分点有关的计算】 6 【题型7 由线段之间的数量关系求线段长度】 7 【题型8 最短路径问题】 8 【题型9 与线段有关的对折问题】 9 【题型10 与线段有关的动点问题】 10 知识点1：画一条线段等于已知线段 ①度量法；②用尺规作图法. 【题型1 尺规作线段】 【例1】（23-24七年级·全国·课后作业）如图所示，已知线段，，（），求作线段AB，使．下面利用尺规作图正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【变式1-1】（23-24七年级·浙江台州·期末）如图，已知平面上三点A，B，C，请按如下要求作图：    (1)画直线，射线，线段． (2)在射线上作一点D，使得．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【变式1-2】（23-24七年级·全国·课后作业）尺规作图：作一条线段等于已知线段． 已知：线段，如图 求作：线段，使． 小亮的作法如下： 如图，（1）作射线 ； （2）以点 为圆心， 长为半径作弧交于点 ． 线段就是所求作的线段． 【变式1-3】（23-24七年级·陕西渭南·期末）点，，的位置如图所示．（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (1)作直线和线段； (2)作射线，在射线上作一点，使得． 知识点2：线段的长短比较方法 ①度量法；②叠合法；③圆规截取法. 【题型2 比较线段的长短】 【例2】（23-24七年级·全国·课后作业）为了比较线段和线段的长短，把线段移到线段上，使点与点A重合．（填“>”“=”或“<”） （1）当点落在线段上时， ； （2）当点与点重合时， ； （3）当点落在线段的延长线上时， ． 【变式2-1】（23-24七年级·北京海淀·期末）如图，用圆规比较两条线段和的长短，其中正确的是（    ） A． B． C． D．没有刻度尺，无法确定 【变式2-2】（23-24七年级·山东临沂·期末）两根木条，用叠合法比较他们的长短时，发现长的比短的长2cm，此时两根木条中点之间的距离是 cm（木条的粗细忽略不计）. 【变式2-3】（23-24七年级·河南洛阳·期末）如图：A、M、N、B四点在同一直线上． (1)若． ①比较线段的大小：______（填“>”、“=”或“<”）； ②若，且，则的长为______； (2)若线段被点分成了三部分，且的中点和的中点之间的距离是，求的长． 知识点3：线段的性质 两点的所有连线中，线段最短.简单地：两点之间，线段最短. 【题型3 线段的性质】 【例3】（23-24七年级·黑龙江大庆·期末）如图所示，从甲到乙共有，，三条路线，最短的路线是（ ）    A． B． C． D．无法确定 【变式3-1】（23-24七年级·甘肃张掖·阶段练习）在实际问题中，修路和架线都尽可能减少弯路，是因为 ． 【变式3-2】（23-24七年级·山东济宁·期中）如图，是一条笔直的公路，在公路的两侧各有一个村庄，，两个村庄准备集资修建一个公交车站，经过协商，要求车站到两个村庄的路程和最短，小聪帮助设计了公交车站修建点，则小聪设计的理由是 ． 【变式3-3】（23-24七年级·河北石家庄·阶段练习）下列两种现象： ①用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动；②把弯曲的河道改直，可以缩短河道长度，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象是（   ） A．① B．② C．①② D．都不可以 知识点4：两点的距离 连接两点的线段的长度叫做两点的距离（距离是线段的长度，而不是线段本身）. 【题型4 线段的和差】 【例4】（23-24七年级·浙江宁波·期末）如图，为直线上从左到右的三个点，，动点分别从两点同时出发，向右运动，点的速度是点的速度的3倍．在运动过程中，若要知道的长，则只要知道下列哪条线段的长，该线段是（    ）    A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24七年级·辽宁·期末）在直线上顺次取三点、、，使线段，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24七年级·福建福州·期末）已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为 （用a，b的式子表示）． 【变式4-3】（23-24七年级·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点、、在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列说法：，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 知识点5：线段的中点 定义：把一条线段平均分成两条相等线段的点. 图形：A M B 符号：若点M是线段AB的中点，则AM=BM=AB，AB=2AM=2BM. 【题型5 与线段中点有关的计算】 【例5】（23-24七年级·陕西西安·期末）如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)当t＝1时，PQ＝　 　cm； (2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？ (3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由． 【变式5-1】（23-24七年级·山东东营·期末）如图，点C是线段上的点，点M、N分别是的中点，若，则线段的长度是（　　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24七年级·河南南阳·期末）如图，已知点C在线段上，点D、E分别在线段、上， （1）观察发现：若D、E分别是线段、的中点，且，则_______； （2）拓展探究；若，，且，求线段的长； （3）数学思考：若，（k为正数），则线段与的数量关系是________． 【变式5-3】（23-24七年级·四川眉山·期末）如图，线段在射线上运动，，且． (1)求线段、的长； (2)点M、N分别为线段、的中点，若，求的长； (3)当运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段延长线上任意一点求证：． 【题型6 与线段n等分点有关的计算】 【例6】（23-24七年级·湖北武汉·期末）在直线l上有A、B、C、D四点，其中点B是线段的三等分点，点C是线段的中点，点E是线段延长线上一点，且，则的值为 ． 【变式6-1】（23-24七年级·上海青浦·期末）已知线段厘米，延长线段到点 C，点M是线段的中点，如果 ，那么 厘米． 【变式6-2】（23-24七年级·山东青岛·期末）如图1，点C在线段上，图中有三条线段，分别为线段和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)线段的中点______这条线段的“巧点”，线段的三等分点_______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； (2)若线段，点C为线段的“巧点”，则_______； (3)如图2，已知．，动点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，点P为线段的“巧点”？并说明理由． 【变式6-3】（23-24七年级·四川成都·期末）（1）如图1，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长； （2）设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）， ①如图2，M，N分别是，的三等分点，即，，求的长； ②若M，N分别是，的n等分点，即，，直接写出的值． 【题型7 由线段之间的数量关系求线段长度】 【例7】（23-24七年级·江西南昌·期末）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．    (1)若，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，求的长； ②若点在线段上，且，，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值． 【变式7-1】（23-24七年级·安徽池州·期末）如图，已知线段，点C是线段的中点，点M在线段上，且． (1)求线段的长； (2)若点N在线段上，且，求线段的长． 【变式7-2】（23-24七年级·江西南昌·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【变式7-3】（23-24七年级·福建厦门·期末）如图已知线段、， (1)线段在线段上（点C、A在点B的左侧，点D在点C的右侧） ①若线段，，M、N分别为、的中点，求的长． ②M、N分别为、的中点，求证： (2)线段在线段的延长线上，M、N分别为、的中点，②中的结论是否成立？请画出图形，直接写出结论 【题型8 最短路径问题】 【例8】（2024七年级·全国·竞赛）某城市平面图如图所示，每条线段均表示街道． (1)图中共有多少条线段？ (2)小饶需从到办事，最近的走法共有几种？ 【变式8-1】（23-24七年级·宁夏银川·期末）几何知识可以解决生活中许多距离最短的问题．让我们从书本一道习题入手进行探索． (1)如图①，A、B是公路l两侧的两个村庄．现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，请在图中画出点C的位置，并说明理由． (2)如图②，在B村庄附件有一个生态保护区，现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，从B村庄到公路不能穿过生态保护区，请在图中画出点C的位置． 【变式8-2】（23-24七年级·重庆巫山·期末）如图所示，某乡镇A、B、C、D、E五个村庄位于同一条笔直的公路边，相邻两个村庄的距离分别为AB＝1千米，BC＝3千米，CD＝2千米，DE＝1.5千米．乡村扶贫改造期间，该乡镇打算在此间新建一个便民服务点M，使得五个村庄到便民服务点的距离之和最小，则这个最小值为 千米． 【变式8-3】（23-24七年级·北京·开学考试）如图，在公路两侧分别有七个工厂，各工厂与公路（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”，由以上几个描述：①车站的位置设在C点好于B点；②车站的位置在B点与C点之间任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长短无关．其中，正确的是 ． 【题型9 与线段有关的对折问题】 【例9】（23-24七年级·辽宁沈阳·阶段练习）如图，有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为 ． 【变式9-1】（23-24七年级·广东东莞·期末）如图，将一根绳子对折一次后用线段表示，点在上，且，现从处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最短的一段为，则这条绳子的原长为 ． 【变式9-2】（23-24七年级·安徽滁州·期末）如图，线段表示一条已经对折的绳子，现从点处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为30cm． （1）若点为的中点，则对折前的绳长为 cm； （2）若，则对折前的绳长为 cm． 【变式9-3】（23-24七年级·福建泉州·期末）如图①，在数轴上点表示的数为，将点沿数轴向左平移12个单位，得到一条线段． （1）在数轴上点表示的数为 ； （2）若为线段上一点，如图②，以点为折点，将此数轴向右对折，如图③，点落在点的右边点′处，若恰好为线段′的中点，求线段的长． 【题型10 与线段有关的动点问题】 【例10】（23-24七年级·吉林·期末）如图，在直线上顺次取，，三点，已知，，点，分别从，两点同时出发向点运动．当其中一动点到达点时，，同时停止运动．已知点的速度为每秒2个单位长度，点速度为每秒1个单位长度，设运动时间为秒． (1)用含的式子表示线段的长度为______； (2)当为何值时，，两点重合？ (3)若点为中点，点为中点．问：是否存在时间，使长度为5？若存在，请说明理由． 【变式10-1】（23-24七年级·四川绵阳·期末）如图，数轴上，，三点对应的数分别是，，，满足，，且为最大的负整数，点为线段上一点，将射线沿点对折后落在射线上，点的对应点为，点为的中点． (1)求的值； (2)动点从点出发沿数轴以每秒1个单位的速度向点运动，同时动点从点出发沿数轴以每秒2个单位的速度向点运动．设运动的时间为秒，当，相遇时，求的值． 【变式10-2】（23-24七年级·吉林长春·期末）如图，点B在线段上，且，．动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．设点Q的运动时间为． (1)线段、的中点之间的距离为_______． (2)当点P到点C时，求的长． (3)求的长（用含t的代数式表示）． (4)设时，直接写出t的值． 【变式10-3】（23-24七年级·湖北黄石·期末）已知数轴上有、两点，分别表示的数为和，点以每秒个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)运动开始前，、两点的距离为 ；线段的中点所表示的数为 ． (2)它们按上述方式运动，、两点经过多少秒会相遇，相遇点所表示的数是什么？ (3)当为多少时，线段的中点表示的数为？并直接写出在这一运动过程中点的运动方向和运动速度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.4 线段的长短比较【十大题型】 【华东师大版2024】 【题型1 尺规作线段】 1 【题型2 比较线段的长短】 4 【题型3 线段的性质】 7 【题型4 线段的和差】 8 【题型5 与线段中点有关的计算】 12 【题型6 与线段n等分点有关的计算】 18 【题型7 由线段之间的数量关系求线段长度】 22 【题型8 最短路径问题】 29 【题型9 与线段有关的对折问题】 33 【题型10 与线段有关的动点问题】 37 知识点1：画一条线段等于已知线段 ①度量法；②用尺规作图法. 【题型1 尺规作线段】 【例1】（23-24七年级·全国·课后作业）如图所示，已知线段，，（），求作线段AB，使．下面利用尺规作图正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据图形观察分析得出. 【详解】、错误，图中； 、错误，图中； 、错误，图中； 、正确， 故选： 【点睛】本题主要考查了尺规作图的应用，解题的关键是明确作一条线段等于已知的线段的方法. 【变式1-1】（23-24七年级·浙江台州·期末）如图，已知平面上三点A，B，C，请按如下要求作图：    (1)画直线，射线，线段． (2)在射线上作一点D，使得．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）本题考查了画直线，画射线，线段，解题的关键是掌握直线，射线，线段之间的区别；（2）本题考查了线段的尺规作图，解题的关键是作线段． 【详解】（1）解：如下图所示，直线，射线，线段即为所求；    （2）如（1）图，以A为圆心，以线段的长为半径画弧交射线于D，则，，点D即为所求． 【变式1-2】（23-24七年级·全国·课后作业）尺规作图：作一条线段等于已知线段． 已知：线段，如图 求作：线段，使． 小亮的作法如下： 如图，（1）作射线 ； （2）以点 为圆心， 长为半径作弧交于点 ． 线段就是所求作的线段． 【答案】 C D 【分析】根据尺规作图的要求进行作图即可． 【详解】作法如下： 如图，（1）作射线； （2）以点C为圆心，长为半径作弧交于点D． 线段就是所求作的线段． 故答案为：（1）；（2）C，，D． 【点睛】本题考核知识点：作一条线段等于已知线段．解题关键点：注意尺规作图的要求． 【变式1-3】（23-24七年级·陕西渭南·期末）点，，的位置如图所示．（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (1)作直线和线段； (2)作射线，在射线上作一点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了复杂作图， （1）过点和点画直线即可，用线段连接点和点两点即可； （2）连接并延长即可；以为圆心，长为半径画弧，交于的延长线于点E，再以为圆心，长度为半径画弧，交线段于点，线段则为所求． 解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：如图，点即为所求． 知识点2：线段的长短比较方法 ①度量法；②叠合法；③圆规截取法. 【题型2 比较线段的长短】 【例2】（23-24七年级·全国·课后作业）为了比较线段和线段的长短，把线段移到线段上，使点与点A重合．（填“>”“=”或“<”） （1）当点落在线段上时， ； （2）当点与点重合时， ； （3）当点落在线段的延长线上时， ． 【答案】 > = < 【分析】（1）正确画出图形，根据图形求解即可； （2）正确画出图形，根据图形求解即可； （3）正确画出图形，根据图形求解即可． 【详解】解：（1）如图，    当点落在线段上时，； （2）如图，    当点与点重合时，； （3）如图，    当点落在线段的延长线上时，． 故答案为：，， 【点睛】本题主要考查了线段比较长短，正确理解题意并画出图形是解题的关键． 【变式2-1】（23-24七年级·北京海淀·期末）如图，用圆规比较两条线段和的长短，其中正确的是（    ） A． B． C． D．没有刻度尺，无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了线段的大小比较，熟练掌握线段大小比较的方法是解答本题的关键．根据比较线段长短的方法即可得出答案． 【详解】解：由图可知，， 故选：C． 【变式2-2】（23-24七年级·山东临沂·期末）两根木条，用叠合法比较他们的长短时，发现长的比短的长2cm，此时两根木条中点之间的距离是 cm（木条的粗细忽略不计）. 【答案】1 【分析】根据点D是的中点，点E是的中点，得，整理得，即可得答案． 【详解】解：如下图，点D是的中点，点E是的中点，， 点D是的中点，点E是的中点， ， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了线段的中点及线段的和差，熟练掌握线段的中点及线段的和差的计算方法是解题的关键． 【变式2-3】（23-24七年级·河南洛阳·期末）如图：A、M、N、B四点在同一直线上． (1)若． ①比较线段的大小：______（填“>”、“=”或“<”）； ②若，且，则的长为______； (2)若线段被点分成了三部分，且的中点和的中点之间的距离是，求的长． 【答案】(1)①=；② (2) 【分析】本题考查线段及其中点的有关计算，理解线段中点的意义是正确计算的关键． （1）①根据等式的性质，得出答案；②求出的值，在求出的长，进而求出的长即可； （2）根据线段的比，线段中点的意义，设未知数，列方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 即，， 故答案为：=； ②∵ ∴ ∴， ∴， 故答案为：21； （2）解：如图1所示， 设每份为x，则， ∵P是的中点，点Q是的中点， ∴， 又， ∴， 解得，， ∴． 知识点3：线段的性质 两点的所有连线中，线段最短.简单地：两点之间，线段最短. 【题型3 线段的性质】 【例3】（23-24七年级·黑龙江大庆·期末）如图所示，从甲到乙共有，，三条路线，最短的路线是（ ）    A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】两点之间，线段最短，甲到乙最短的路线是从甲到乙的线段，由此解答即可． 【详解】解：甲到乙最短的路线是， 故选：B． 【点睛】此题考查了两点之间线段最短，解题的是理解最短路线的简单应用． 【变式3-1】（23-24七年级·甘肃张掖·阶段练习）在实际问题中，修路和架线都尽可能减少弯路，是因为 ． 【答案】两点之间线段最短 【分析】本题主要考查两点之间线段最短，理解并掌握最短线段的含义是解题的关键，根据实际问题中的修路可知运用的是两点之间线段最短的原理，由此即可求解. 【详解】解：减少弯路是因为两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短. 【变式3-2】（23-24七年级·山东济宁·期中）如图，是一条笔直的公路，在公路的两侧各有一个村庄，，两个村庄准备集资修建一个公交车站，经过协商，要求车站到两个村庄的路程和最短，小聪帮助设计了公交车站修建点，则小聪设计的理由是 ． 【答案】两点之间线段最短 【分析】根据两点之间线段最短即可求解． 【详解】解：两点之间线段最短． 【点睛】本题主要考查线段的基本事实，理解线段的基本事实是解题的关键． 【变式3-3】（23-24七年级·河北石家庄·阶段练习）下列两种现象： ①用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动；②把弯曲的河道改直，可以缩短河道长度，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象是（   ） A．① B．② C．①② D．都不可以 【答案】B 【分析】此题主要考查了线段的性质，直接利用两点之间线段最短分析即可得出答案． 【详解】解：①用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动，不能用“两点之间线段最短”来解释， ②把弯曲的河道改直，可以缩短河道长度，可用“两点之间线段最短”来解释． 故选：B． 知识点4：两点的距离 连接两点的线段的长度叫做两点的距离（距离是线段的长度，而不是线段本身）. 【题型4 线段的和差】 【例4】（23-24七年级·浙江宁波·期末）如图，为直线上从左到右的三个点，，动点分别从两点同时出发，向右运动，点的速度是点的速度的3倍．在运动过程中，若要知道的长，则只要知道下列哪条线段的长，该线段是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和差关系，根据题意可设，，则，，可求出，，，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：设，则， ∵动点分别从两点同时出发，向右运动，点的速度是点的速度的3倍， ∴， 设，则， ∴， ， ∴， 故选：D． 【变式4-1】（23-24七年级·辽宁·期末）在直线上顺次取三点、、，使线段，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和差运算，根据在直线上顺次取三点、、，得出，再代数计算，即可作答． 【详解】解：在直线上顺次取三点、、， ， ，， ， 故选：D． 【变式4-2】（23-24七年级·福建福州·期末）已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为 （用a，b的式子表示）． 【答案】/ 【分析】根据题意画出图形，分情况讨论，再利用线段和差分别表示线段的长度即可． 【详解】解：∵M为的中点，N为的中点， ∴，． ∵线段和线段在同一直线上， 线段（A在左，B在右）的长为a， 长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动， ∴分以下5种情况说明： ①当在左侧时，如图1， 即， ， ， ； ②当点D与点A重合时，如图2， 即 ， ； ③当在内部时，如图3， 即 ， ； ④当点C在点B右侧时， 同理可得：； ⑤当在右侧时， 同理可得：； 综上所述：线段的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查线段的和差，根据题意画出对应情况的图形是解题的关键，注意分类讨论思想的运用． 【变式4-3】（23-24七年级·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点、、在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列说法：，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段中点的定义和线段的和差分别计算即可. 【详解】① ∵H是的中点， ∵分别是的中点， .     ∴①正确. ② 由①知 ∴②错误. ③ ∴③正确. ④      ∴④正确. 综上，①③④正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查了线段中点的定义，线段的和差.根据线段的和差进行求解是解题的关键. 知识点5：线段的中点 定义：把一条线段平均分成两条相等线段的点. 图形：A M B 符号：若点M是线段AB的中点，则AM=BM=AB，AB=2AM=2BM. 【题型5 与线段中点有关的计算】 【例5】（23-24七年级·陕西西安·期末）如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)当t＝1时，PQ＝　 　cm； (2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？ (3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)3.5 (2)t为2或时，点C为线段PQ的中点 (3)存在，PM的长度为3cm或1cm，理由见解析 【分析】（1）根据题意可求出AC的长，AP和CQ的长，再由即可求出PQ的长； （2）由题意可得出t的取值范围，再根据点C在线段CB上做来回往返运动，可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即时，分别用t表示出CP和CQ的长度，再根据中点的性质，列出等式，求出t的值即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即时，同理求出t的值即可；③当Q由C往B第二次运动时，即时，同理求出t的值即可．最后舍去不合题意的t的值即可． （3）同理（2）可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即时，分别用t表示出CP和CM的长度，再根据，求出即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即时，同理求出即可；③当Q由C往B第二次运动时，即时，同理求出即可．最后根据判断所求PM的代数式中是否含t即可判断． 【详解】（1）解：当时， ∵ ∴， ∴． 故答案为：3.5． （2）∵点P运动到点C时，点P、Q都停止运动， ∴． ∵ ∴． ①当Q由C往B第一次运动时，即时， 此时，， ∴， ∵点C为线段PQ的中点， ∴，即， 解得：； ②当Q由B往C点第一次返回时，即时， 此时，， ∴， 解得：，不符合题意舍； ③当Q由C往B第二次运动时，即时， 此时，， ∴， 解得：； 综上可知，t为2或时，点C为线段PQ的中点； （3）根据（2）可知． ∵点M是线段CQ的中点， ∴． ①当Q由C往B第一次运动时，即时， 此时，． ∵， ∴， ∴此时PM为定值，长度为3cm，符合题意． ②当Q由B往C点第一次返回时，即时， 此时，， ∴， ∴此时PM的长度，随时间的变化而变化，不符合题意； ③当Q由C往B第二次运动时，即时， 此时，， ∴， ∴此时PM为定值，长度为1cm，符合题意． 综上可知PM的长度为3cm或1cm． 【点睛】本题考查线段的和与差，线段的中点的性质，与线段有关的动点问题．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 【变式5-1】（23-24七年级·山东东营·期末）如图，点C是线段上的点，点M、N分别是的中点，若，则线段的长度是（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查线段中点的定义、线段的和差等知识点，掌握线段的中点定义是解题的关键． 根据线段中点的定义可得、，再结合可得，进而得到，即，据此求解即可． 【详解】解：∵点M、N分别是的中点， ∴,, ∵, ∴,即, ∴，即， ∴． 故选：D． 【变式5-2】（23-24七年级·河南南阳·期末）如图，已知点C在线段上，点D、E分别在线段、上， （1）观察发现：若D、E分别是线段、的中点，且，则_______； （2）拓展探究；若，，且，求线段的长； （3）数学思考：若，（k为正数），则线段与的数量关系是________． 【答案】（1）6；（2）；（3） 【分析】（1）根据中点的定义，结合线段的和、差计算即可 （2）利用线段之间的和、差关系倍数关系计算即可 （3）结合（2）的求解，再利用线段之间的和、差关系倍数关系计算即可 【详解】（1）、为线段AC，BC的中点 （2） ， （3） ， 【点睛】本题考查了线段等分点的有关计算，掌握线段之间和、差倍数关系是解题关键． 【变式5-3】（23-24七年级·四川眉山·期末）如图，线段在射线上运动，，且． (1)求线段、的长； (2)点M、N分别为线段、的中点，若，求的长； (3)当运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段延长线上任意一点求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查非负数的性质，线段和差倍分的计算，分类讨论是解题的关键． （1）依据非负数的性质可知，，从而可求得m、n的值； （2）需要分类讨论：①如图1，当点C在点B的右侧时，根据“M、N分别为线段、的中点”，先计算出、的长度，然后计算；②如图2，当点C位于点B的左侧时，利用线段间的和差关系求得的长度； （3）先求得，然后求得，从而可求得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：①点C在点B右边时，如图： M、N分别为线段的中点， ， ， ； ②点C在点B左边时，如图： M、N分别为线段的中点， ， ， ； 综上，． （3）证明：当点B与点D重合时，如图： ， ， ． ， 即． 【题型6 与线段n等分点有关的计算】 【例6】（23-24七年级·湖北武汉·期末）在直线l上有A、B、C、D四点，其中点B是线段的三等分点，点C是线段的中点，点E是线段延长线上一点，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的和差关系，中点的性质，线段n等分点的计算，设，根据题意可得，再根据点B的位置分情况讨论即可． 【详解】解：设， 点C是线段的中点， ， 如图，当点B是靠近A的线段的三等分点时， 则，， ， ， ， ； 如图，当点B是靠近D的线段的三等分点时， 则，， ， ， ， ， 故答案为：或． 【变式6-1】（23-24七年级·上海青浦·期末）已知线段厘米，延长线段到点 C，点M是线段的中点，如果 ，那么 厘米． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的中点，分类讨论，即点在B点左边或者右边，两种情况，用线段的和差进行解答即可，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． 【详解】解：如图，当点在B点左边时， 点 M是线段的中点， ， ， ， 厘米， 厘米； 如图，当点在B点右边时， 利用上述原理可得 厘米， 厘米， 综上所述，或厘米， 故答案为：或． 【变式6-2】（23-24七年级·山东青岛·期末）如图1，点C在线段上，图中有三条线段，分别为线段和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)线段的中点______这条线段的“巧点”，线段的三等分点_______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； (2)若线段，点C为线段的“巧点”，则_______； (3)如图2，已知．，动点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，点P为线段的“巧点”？并说明理由． 【答案】(1)是；是 (2)或或 (3)或或，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，线段中点的有关计算，解题的关键是理解题意，注意进行分类讨论． （1）根据线段“巧点”的定义进行判断即可； （2）根据点C为线段的中点或三等分点时，点C是线段的“巧点”进行解答即可； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程求出结果即可． 【详解】（1）解：根据“巧点”定义可知，线段的中点是这条线段的“巧点”，线段的三等分点是这条线段的“巧点”； 故答案为：是；是． （2）解：∵当点C为线段的中点或三等分点时，点C是线段的“巧点”， ∴， 或， 或． 故答案为：或或． （3）解：由题意得：，，，t的范围应该在秒之间， ∵点P为的巧点， ∴点P应该在点Q的左边，t的范围应该在秒之间， 当时，P为的巧点， ∴ ， 解得：； 当时，P为的巧点， ∴， 解得：； 当时，P为的巧点， ∴ ， 解得：； 所以当t为或或时，点Р为线段的“巧点”． 【变式6-3】（23-24七年级·四川成都·期末）（1）如图1，点C在线段上，M，N分别是，的中点．若，，求的长； （2）设，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）， ①如图2，M，N分别是，的三等分点，即，，求的长； ②若M，N分别是，的n等分点，即，，直接写出的值． 【答案】（1）6；（2）①；② 【分析】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． （1）由中点的定义可得，然后根据求解即可； （2）①由，可得，然后根据求解即可；②仿照（2）的过程求解即可． 【详解】解：（1），分别是，的中点 （2）① ； ② ． 【题型7 由线段之间的数量关系求线段长度】 【例7】（23-24七年级·江西南昌·期末）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．    (1)若，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，求的长； ②若点在线段上，且，，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】（1）根据已知条件得到，，①由线段中点的定义得到，求得，由线段的和差得到；②点在点的左侧，点是的中点，所以，可以根据进行求解，当点在点的右侧，，，求出的长度，再根据进行求解即可； （2）当在点的右侧时，设，，则，，，求得，当在点的左侧时，设，，则，，，求得，分别代入关系式即可得出答案． 【详解】（1）解：①，，， ，， 如图， 为中点， ， ， ； ②如图， ， 点在点的左侧， 点是的中点， ， ， ； 当点在点的右侧，如图 ，， ， ， （不合题意，舍去）， 综上所述，的长为； （2），，满足关系式， 如图，当在点的右侧时： 设，，则， ，， ，， ， ， ， ， 解得，，    ； 如图，当在点的左侧时： 设，，则， ，， ，， ， ， ， ， 解得，，    ． 故答案为是或． 【点睛】本题考查了两点间的距离，熟悉各线段间的和、差及倍数关系，根据题意分情况讨论是解答本题的关键． 【变式7-1】（23-24七年级·安徽池州·期末）如图，已知线段，点C是线段的中点，点M在线段上，且． (1)求线段的长； (2)若点N在线段上，且，求线段的长． 【答案】(1)8 (2)7 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差等知识，数形结合是解答本题的关键． （1）先根据中点的定义求出，然后根据即可求解； （2）先求出，根据求出，然后根据求解即可． 【详解】（1） ，点C是线段的中点， ． ， ． （2） ，， ， ， ． ， ． 【变式7-2】（23-24七年级·江西南昌·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或1 【分析】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． （1）先求出、的长，再根据线段的和差即可得； （2）先求出与的关系，再根据线段的和差即可得； （3）根据已知得，然后根据，代入即可求解； （4）分点N在线段上和点N在线段的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得． 【详解】（1）解：根据题意知，，， ∵，， ∴， ∴，， 故答案为：；． （2）解：当点C、D运动了时，，， ∵， ∴； 故答案为：； （3）解：根据C、D的运动速度知：， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：①当点N在线段上时，如图1，      ∵， 又∵ ∴， ∴ ∴； ②当点N在线段的延长线上时，如图2，    ∵， 又∵， ∴， ∴； 综上所述：或1． 【变式7-3】（23-24七年级·福建厦门·期末）如图已知线段、， (1)线段在线段上（点C、A在点B的左侧，点D在点C的右侧） ①若线段，，M、N分别为、的中点，求的长． ②M、N分别为、的中点，求证： (2)线段在线段的延长线上，M、N分别为、的中点，②中的结论是否成立？请画出图形，直接写出结论 【答案】(1)①10，②见解析 (2)不成立，见解析 【分析】（1）①利用求出的值，利用中点平分线段，得到，再利用，即可得解；②利用中点平分线段，得到，进而得到，再利用，即可得证； （2）分点在点的左侧，点在点的右侧，点在点的左侧，点在点的左侧，以及点在点的左侧，三种情况分类讨论，求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵M、N分别为、的中点， ∴， ∴； ②∵M、N分别为、的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）不成立； ∵M、N分别为、的中点， ∴， ①当点在点的左侧，点在点的右侧时，如图： 或 ； ②当点在点的左侧，点在点的左侧时，如图： 或 ； ③当点在点的左侧时，如图： 或 ； 综上：或；故结论不成立． 【点睛】本题考查线段之间的和与差．正确的识图，理清线段之间的和，差，倍数关系，是解题的关键．注意分类讨论． 【题型8 最短路径问题】 【例8】（2024七年级·全国·竞赛）某城市平面图如图所示，每条线段均表示街道． (1)图中共有多少条线段？ (2)小饶需从到办事，最近的走法共有几种？ 【答案】(1)144条 (2)6种 【分析】本题考查了线段的数量问题、最短路径问题，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据两点可以确定一条线段，水平方向每行有条线段，竖直方向处含列外，每列有条线段，含点这列有条线段，方向有3条线段，还有这一条，即可得出答案； （2）观察图形即可列出线路，从而得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：（条）， 图中共有条线段； （2）解：最近路线为： ， ， ， ， ， ， 共种走法． 【变式8-1】（23-24七年级·宁夏银川·期末）几何知识可以解决生活中许多距离最短的问题．让我们从书本一道习题入手进行探索． (1)如图①，A、B是公路l两侧的两个村庄．现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，请在图中画出点C的位置，并说明理由． (2)如图②，在B村庄附件有一个生态保护区，现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，从B村庄到公路不能穿过生态保护区，请在图中画出点C的位置． 【答案】(1)见解析，理由为：两点之间，线段最短 (2)见解析 【分析】本题考查作图−应用与设计作图，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）如图所示，连接交直线l于点C，点C即为所求，理由为两点之间，线段最短； （2）如图所示，设生态保护区右下角的顶点为P，连接，连接交直线l于点C，点C即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，连接交直线l于点C，点C即为所求； 理由为：两点之间，线段最短； （2）解：如图所示，设生态保护区右下角的顶点为P，连接，连接交直线l于点C，点C即为所求． 【变式8-2】（23-24七年级·重庆巫山·期末）如图所示，某乡镇A、B、C、D、E五个村庄位于同一条笔直的公路边，相邻两个村庄的距离分别为AB＝1千米，BC＝3千米，CD＝2千米，DE＝1.5千米．乡村扶贫改造期间，该乡镇打算在此间新建一个便民服务点M，使得五个村庄到便民服务点的距离之和最小，则这个最小值为 千米． 【答案】12.5/ 【分析】分类讨论当便民服务点分别在A、B、C、D、E时，根据线段的和与差计算即可． 【详解】当便民服务点在A或E时，由A、E为两端点，可知此时五个村庄到便民服务点的距离之和最长； 当便民服务点M在B时，五个村庄到便民服务点的距离之和为AB+BC+BD+BE=1+3+(3+2)+(3+2+1.5) =15.5千米； 当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和为AC+BC+CD+CE=(1+3)+3+2+ (2+1.5)=12.5千米； 当便民服务点M在D时，五个村庄到便民服务点的距离之和为AD+BD+CD+DE=(1+3+2)+(3+2) +2+1.5=14.5千米． 综上可知当便民服务点M在C时，五个村庄到便民服务点的距离之和最小，最小值为12.5千米． 故答案为：12.5． 【点睛】本题考查线段的和与差．利用分类讨论的思想是解题关键． 【变式8-3】（23-24七年级·北京·开学考试）如图，在公路两侧分别有七个工厂，各工厂与公路（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”，由以上几个描述：①车站的位置设在C点好于B点；②车站的位置在B点与C点之间任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长短无关．其中，正确的是 ． 【答案】①③/③① 【分析】根据最优化问题，即可判断出正确答案．此题属于最优化问题，做这类题要做到规划合理，也就是要考虑到省时省力． 【详解】解；如图， 因为A、D、E点各有一个工厂相连，B，C，各有两个工厂相连，把工厂看作“人”．可简化为“A，B，C，D，E处分别站着1，2，2，1，1个人（如图），求一点，使所有人走到这一点的距离和最小”把人尽量靠拢，显然把人聚到B、C最合适，靠拢完的结果变成了，最好是移动3个人而不要移动4个人．所以车站设在C点，且与各段小公路的长度无关． 故答案为：①③ 【题型9 与线段有关的对折问题】 【例9】（23-24七年级·辽宁沈阳·阶段练习）如图，有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为 ． 【答案】4或24 【分析】本题主要考查两点间的距离，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键．根据“折中点”的定义分情况求出的长度即可． 【详解】①如图，，， ∵点D是折线的“折中点”， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，，， ∵点D是折线的“折中点”， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴ ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为4或24， 故答案为：4或24． 【变式9-1】（23-24七年级·广东东莞·期末）如图，将一根绳子对折一次后用线段表示，点在上，且，现从处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最短的一段为，则这条绳子的原长为 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了线段的和差，分两种情况：当点为折点时，当点为折点时，结合图形，分别求出各段绳子的长度，即可得出答案，熟练掌握线段的和差计算，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：①如图1，当点为折点时， ， ∴剪开的三段分别为， ； ②如图2，当点为折点时， ， ∴剪开的三段分别为， ， ， ， 综上所述，这条绳子的原长为或， 故答案为：或． 【变式9-2】（23-24七年级·安徽滁州·期末）如图，线段表示一条已经对折的绳子，现从点处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为30cm． （1）若点为的中点，则对折前的绳长为 cm； （2）若，则对折前的绳长为 cm． 【答案】 60 50或75 【分析】（1）根据为中点，可知，根据线段和即可得到答案； （2）分类讨论：①是最长的一段，根据，可得的长，再根据线段的和差，可得答案；②是最长的一段，根据，可得的长再根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：（1）为中点， ， , 故答案为：； （2）①是最长的一段，，得 ， 由线段的和差，得 ， 原来绳长为， ②是最长的一段，由题意， ， 由线段的和差，得， 原来绳长为， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了线段的和与差，分类讨论是解题关键，以防遗漏． 【变式9-3】（23-24七年级·福建泉州·期末）如图①，在数轴上点表示的数为，将点沿数轴向左平移12个单位，得到一条线段． （1）在数轴上点表示的数为 ； （2）若为线段上一点，如图②，以点为折点，将此数轴向右对折，如图③，点落在点的右边点′处，若恰好为线段′的中点，求线段的长． 【答案】（1）-14；（2）4 【分析】（1）根据点的平移方向列式求解； （2）利用数轴上两点间距离公式先去得AB的长，然后根据折叠及中点的概念列出线段间的和差关系，从而求解． 【详解】解：（1）∵在数轴上点表示的数为，将点沿数轴向左平移12个单位，得到一条线段． ∴在数轴上点表示的数为-2-12=-14 故答案为：－14　  ， （2）∵A点表示-2，B点表示-14 ∴AB=-2-（-14）=12 ∵为′的中点 ∴ 由对折得 ∴ ∴． 【点睛】此题数轴上两点之间的距离及线段中点的定义，利用数形结合的思想和数轴上求两点之间距离的方法解决问题． 【题型10 与线段有关的动点问题】 【例10】（23-24七年级·吉林·期末）如图，在直线上顺次取，，三点，已知，，点，分别从，两点同时出发向点运动．当其中一动点到达点时，，同时停止运动．已知点的速度为每秒2个单位长度，点速度为每秒1个单位长度，设运动时间为秒． (1)用含的式子表示线段的长度为______； (2)当为何值时，，两点重合？ (3)若点为中点，点为中点．问：是否存在时间，使长度为5？若存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，M、N两点重合 (3)当或时， 【分析】本题考查一元一次方程的应用、列代数式、线段的和与差，理解题意，正确得出表示线段的代数式，利用数形结合思想和分类讨论思想求解是解答的关键． （1）直接根据路程时间速度求解即可； （2）先用t表示出、，再根据题意列出方程求解即可； （3）先用t表示出，，再分点P在Q的左边和点P在Q的右边，利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点M的速度为每秒2个单位长度，运动时间为t秒， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意，，， 当，两点重合时，， ∴， 解得， ∴当时，M、N两点重合； （3）解：存在时间t，使． 由题意得，， ∵点为中点，点为中点． ∴，， ∴， 当点P在Q的左边时，，解得； 当点P在Q的右边时，，解得， ∴当或时，． 【变式10-1】（23-24七年级·四川绵阳·期末）如图，数轴上，，三点对应的数分别是，，，满足，，且为最大的负整数，点为线段上一点，将射线沿点对折后落在射线上，点的对应点为，点为的中点． (1)求的值； (2)动点从点出发沿数轴以每秒1个单位的速度向点运动，同时动点从点出发沿数轴以每秒2个单位的速度向点运动．设运动的时间为秒，当，相遇时，求的值． 【答案】(1)2． (2)． 【分析】本题考查的是负整数的定义，线段中点的定义，一元一次方程的几何应用，理解题意是关键． （1）先求解，，由中点的定义可得，再建立方程求解即可； （2）当点，相遇时，结合，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解： ，，且为最大的负整数， ，，． 由题意，得，． 为的中点， ， 即， 解得． 的值为2． （2）解：根据题意，得，，． 当点，相遇时，由， ，解得． 当，相遇时，． 【变式10-2】（23-24七年级·吉林长春·期末）如图，点B在线段上，且，．动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．设点Q的运动时间为． (1)线段、的中点之间的距离为_______． (2)当点P到点C时，求的长． (3)求的长（用含t的代数式表示）． (4)设时，直接写出t的值． 【答案】(1)6 (2)6 (3)当时，；当时，；当时，； (4)或 【分析】（1）设点的中点为M，的中点为N，分别求出和的长，再求和即可； （2）先求出当P到点C时t的值，再根据路程时间速度可求出； （3）先找到何时P、Q相遇，再分段讨论，当时，当时，当时，分别求出的长即可； （4）根据（3）中求出的长，利用列方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：设点的中点为M，的中点为N， ∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴ ∵动点P从点A出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动 ∴当P到点C时，， ∴； （3）解：当点P、Q相遇时，． 当时，； 当时，； 当时，； （4）解：当时，，解得； 当时，，解得． 当时，，（舍）． ∴或． 【点睛】本题考查在动点问题的背景下考查线段的和差运算，线段中点的性质，一元一次方程的应用等知识，关键是理清点的运动状态，找到临界点． 【变式10-3】（23-24七年级·湖北黄石·期末）已知数轴上有、两点，分别表示的数为和，点以每秒个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)运动开始前，、两点的距离为 ；线段的中点所表示的数为 ． (2)它们按上述方式运动，、两点经过多少秒会相遇，相遇点所表示的数是什么？ (3)当为多少时，线段的中点表示的数为？并直接写出在这一运动过程中点的运动方向和运动速度． 【答案】(1)， (2)， (3)；向右， 【分析】本题属于数轴上的动点问题，主要考查了数轴上两点之间的距离，中点的含义，解一元一次方程等知识点，弄清题意，熟练掌握数轴的相关知识是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离以及中点的含义即可求解； （2）根据题意列方程即可求解； （3）秒后，数轴上点、点表示的数分别为、，则线段的中点表示的数为，于是得到方程，解方程即可求解；根据在这一运动过程中起始时刻和终了时刻点的位置，即可求出点的运动方向和运动速度． 【详解】（1）解：根据题意可知，运动开始前，、两点的距离， 线段的中点所表示的数为：， 故答案为：，； （2）解：根据题意可得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， ，， ， 相遇点所表示的数是， 答：它们按上述方式运动，、两点经过秒会相遇，相遇点所表示的数是； （3）解：秒后，数轴上点、点表示的数分别为、，则线段的中点表示的数为， 依据题意可得：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 当时，中点表示的数为， 当时，中点表示的数为， 中点的运动方向向右，运动速度为， 答：当时，线段的中点表示的数为；在这一运动过程中，点的运动方向向右，运动速度为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$