第13期 14.2 三角形全等的判定 (HL)-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（沪科版2024 安徽专版）

八年级数学沪科(AH) 第10~13期 装理报 答案详解 2025~2026学年 八年级数学沪科(AH) 第10~13期 10期1,2版综合测评卷（一） LABC. 一、 题号12345678910 因为OD⊥OB, 答案AABBBDC CBD 所以∠BOD=90°. 二、11.60°；12.如果(a+b)2=a2+b2,那么a=0或b 所以∠AD0=∠BOD+∠DB0=90°+ =0:13.21416:15.20,或号安号 ∠ABC= ∠AOC. 三、16.因为∠A=80°，∠C=40°，所以∠ABC=180°- (2)因为BF平分∠ABE,CF平分∠ACB, ∠A-∠C=60°.因为BD是△ABC的角平分线，所以∠DBC 所以LFBE= ∠ABE,∠FCB=7∠ACB ∈7∠ABC=30°，因为DE∥BC,所以LBDE=∠DBC白 所以LF=∠FBE-∠FCB=(LABE-LACB)= 30°. 17.(1)A(1,3),A'(-3,1),B(2,0) 2∠BAC=∠DA0=32 (2)由平移的性质得AA'∥CC',AA'=CC. 所以∠AOD=180°-∠AD0-∠DA0=38° (3)因为三角形ABC经过平移得到三角形A'B'C',平移方 21.(1)1号气球以8米/秒的速度匀速上升，30秒时上升 式是先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度， 的高度为：8×30=240（米）.因为气球是从海拔10米的A处出 所以若点P'(x,y)是三角形A'B'C'内部一点，则平移前三 发，所以点B的纵坐标为：240+10=250（米），横坐标为30秒， 角形ABC内部的对应点P的坐标为P(x+4,y+2) 即点B的坐标为(30,250). 故填(x+4,y-2). 2号气球以6米/秒的速度匀速上升，到达C点250米高度 18.（1)将A(1,4),B(2,2)代入y1=kx+b(k≠0)，得 所需时间为：(250-10)÷6=40（秒），所以点C的坐标为(40， [+力三4；解得一2，所以该一次函数的表达式为1= 250). 2k+b=2. 1b=6. 故填(40,250). -2x+6. (2)y2=6x+10. (2)对于y=-2x+6,因为k=-2<0,所以y随x的增 (3)①当0≤x≤30时，由题意，得y1=8x+10,2=6x 大而减小.所以在-2≤x≤2范围内，当x=-2时，少取得最 +10,则两气球高度之差h=y1-为=(8x+10)-(6x+10) 大值，此时y1=-2×(-2)+6=10,所以最大值为10. =2x.令h=60,即2x=60,解得x=30.所以2=6×30+10 (3)由题意画草图如图1，由图象 1=-2x+6y =190(米).所以在0≤x≤30这个时间段内，当两气球高度之 可知，在两条直线交点的左侧，总有y1y=-x+2m6 差等于60米，此时2号气球的高度是190米. >y2·因为两条直线交点的横坐标为 ②当30<x≤40时，由题意，得y1=250,y2=6x+10, 12-2m,所以m≤12-2m.所以m≤ 12-2m 则两气球高度之差h=y1-为2=250-(6x+10)=240-6x 令h=60,即240-6x=60,解得x=30,不合题意，舍去. 19.(1)根据题意，得2a+3a+1= 综上，当两气球高度之差h等于60米，2号气球的高度是 图1 Q解得a=一分 190米. 10期3,4版综合测评卷（二） (2)根据题意，得-2a-(3a+1)=9.解得a=-2.所以 一、 题号12345678910 2a=-4,3a+1=-5.所以点A的坐标是(-4，-5). 20.(1)①115°，115°. 答案C D C D C A D C A C ②∠AOC=∠AD0.理由如下： 二、11.如果一个数是无限小数，那么这个数是无理数； 因为△ABC中，三个内角的平分线交于点O,所以∠OAC 12.2;13.45,锐角，等边；14.4； =方∠BAC,∠0CA=∠ACB,∠AB0=分∠ABC 15.(-3,-1)或(-3，-4). 三、16.图略. 所以∠A0C=180°-（∠0AC+∠0CA)=180°- 17.因为AB∥y轴， 之（∠BAC+∠ACB)=180-子(180°-∠ABC)=90+ 所以A,B两点的横坐标相同， 所以2a-2=-2.解得a=0. 八年级数学沪科(AH) 第10~13期 所以A(-2,2),B(-2,4), 故填(4,6)；(4,6). 所以A,B两点间的距离为：4-2=2 (2)如图2，分两种情况：当点P在OC 18.(1)因为BD,CE是△ABC的两条高， 上时，由题意，知OP,=4,则点P的运动时 所以∠ADB=∠AEC=90° 间为：4÷2=2(s);当点P在AB上时，AP2 P 所以BD⊥AC,CE⊥AB. =4,则BP2=AB-AP2=6-4=2,所以0C 所以∠A+∠ABD=90°，∠A+∠ACE=90°， +BC+BP2=6+4+2=12,则点P的运动 所以∠ABD=∠ACE. 时间为：12÷2=6(s). 0 综上，当点P到x轴的距离为4个单位 图2 (2)因为∠A+∠ABD=90°， 所以∠ABD=90°-∠A=90°-70°=20° 长度时，点P运动的时间为2s或6s 因为CE⊥AB, (3)设点P的运动时间为ts,三角形OBP的面积是10，分 所以∠BEC=90°. 以下两种情况：当点P在OC上时，则OP=2t,所以S△oBP= 所以∠ABC+∠BCE=90°. 0p,BC=10,即宁×2Ix4=10,解得1=三：当点P在BC 1 5 所以∠BCE=90°-∠ABC=90°-60°=30° 所以∠EOD=∠ABD+∠BEC=20°+90°=110°. 上时，0C+CP=2,则BP=10-2,所以Saom=0C,BP 19.(1)因为一次函数y=kx+b的图象经过(-1，m), ksL-m =10即7×6×(10-2)=10，解得1=9 （m,1)两点，所以一k+6=m,解得 m+1' (mk+b 1. 6=m2+1 综上，当点P的运动时间为子或号：时，三角形0BP的 m+1… 面积是10. 因为m>1, 所以1-m<0,m+1>0,m2+1>0, 第11期2版 所以k<0,b>0, 14.1全等三角形及其性质 所以该函数的图象经过第一、二、四象限 基础训练1.C;2.C；3.A;4.A;5.48°； (2)因为b=2k+3, 6.13；7.21. 8.如图3. 所以y=kx+b=kx+2k+3,即y=k(x+2)+3 对于任意实数k,都有当x=-2时，y=3, 所以对于任意实数k,其图象都经过定点(-2,3) 故点P的坐标为(-2,3). 20.(1)由题意，得当x<180时，y与x之间的关系式为y =4.4x(x<180). 图3 (2)当180<x≤300时，y与x之间的关系式为：y=4.4 9.(1)因为△ABC≌△EDF,所以AC=EF ×180+5.95(x-180)=5.95x-279. 所以AC-CF=EF-CF,即AF=CE. 当x>300时，y与x之间的关系式为：y=4.4×180+5.95 (2)因为△ABC≌△EDF,所以∠B=∠EDF ×(300-180)+10.6(x-300)=10.6x-1674. 因为∠ADE=2∠B,所以∠ADF=∠ADE-∠EDF= 当44=911时，解得x=207元（舍去）： ∠B. 因为∠DAF=∠AFD=2∠B, 当5.95x-279=911时，解得x=200;当10.6x-1674= 所以在△ADF中，根据三角形内角和定理，得∠DAF+ 91时，解得x=243给（合去）， ∠AFD+∠ADF=5∠B=180° 解得∠B=36°. 综上，2024年小明家用了200t水. 所以∠AFD=72°，∠EDF=36°. (3)建议：适当调整各阶梯的水量标准。 所以∠E=∠AFD-∠EDF=36°. 原因：随着生活水平提升和用水设备普及，部分家庭用水 能力提高1O.由折叠的性质得△CEF≌△C'EF, 量增长较快.若阶梯水量标准过低，大量家庭易进人高收费阶 梯，增加经济负担；适当调整标准可平衡居民用水成本与节水 所以LCEF=∠C'EF=∠CEC,LCFE=LCFE= 意识，既减轻负担又引导合理用水. 1 21.(1)因为a,b满足/a-4+lb-61=0,所以a-4= ∠CFC', 0,b-6=0.所以a=4,b=6. 所以∠CEC'=180°-∠BEC',∠CFC'=180°-∠C'FD, 所以点A的坐标为(4,0)，点C的坐标为(0,6).所以0A= 所以∠CEF=∠CEC=90-7∠BEC,LCFE- 4,0C=6. 因为四边形OABC为长方形，所以BC=OA=4,OC=AB 340FC=0-7CFD, =6,所以点B的坐标为(4,6). 所以∠C=180°-∠CEF-∠CFE=180°-90°+ 当点P运动5s时，点P的运动路径长为：2×5=10=0C +CB,此时点P与点B重合，所以P(4,6) E0FD(LFD LBEC). 一2 八年级数学沪科(AH) 第10~13期 14.2三角形全等的判定 所以点A,M,F在一条直线上 14.2.1两边及其夹角分别相等的两个三角形 (2)由(1)知△BCF≌△DCE. 基础训练1.B;2.D:3.B;4.2;5.8;6.68 因为DE=100米， 7.因为AC∥CE,所以∠ACB=∠E. 所以BF=DE=1O0米 BC DE, 因为BM=40米，FV=20米， 在△ABC和△CDE中，因为 ∠ACB=∠E, 所以MN=BF-BM-FW=40米， AC CE, 答：山中隧道MW的长为40米. 所以△ABC≌△CDE(SAS). 17.(1)①因为∠BAC=∠DAE, 所以∠B=∠D. 所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD= 能力提高8.因为∠1+∠2=180°，∠1+∠ACB= ∠CAE. 180°， 又因为AD=AE,AB=AC, 所以∠2=∠ACB. 所以△ABD≌△ACE(SAS) 因为AD=CE, ②BC⊥EC,理由如下： 所以AD+CD=CD+CE,即AC=DE. 因为△ABD≌△ACE,所以∠B=∠ACE. BC FE, 所以∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠BCE. 在△ACB和△DEF中， ∠ACB=∠2， 又因为∠BAC=90°， LAC DE, 所以∠B+∠ACB=90°， 所以△ACB≌△DEF(SAS). 所以∠BCE=90°. 所以AB=DE 所以BC⊥EC. 第11期3版 (2)a+B=180°，理由如下： 题号12345678 由(I)得∠B=∠ACE. 所以∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠BCE=B. 因为a+∠B+∠ACB=180°， 二、9.DA;10.40°；11.120°；12.64. 所以a+B=180° 三、13.因为AB∥DE,所以∠BAC=∠ADE. 附加题(1)EF=BE+DF.理由如 AB DA. 下： 在△ABC和△DAE中，因为{∠BAC=∠ADE, 如图4所示，延长EB到点G,使BG= AC DE, DF,连接AG, 所以△ABC兰△DAE(SAS). 因为∠ABC=∠D=90°， 所以∠C=∠E. 所以∠ABG=180°-∠ABC=90. 图4 14.因为△ABC≌△ADE,所以∠AED=∠ACB=105°. 所以∠ABG=∠D. 因为∠D=25°，所以∠DAE=180°-∠D-∠AED= AB AD, 50°. 在△ABG和△ADF中，因为{∠ABG=∠D, 因为∠CAD=10°，所以∠GAC=∠DAE+∠CAD=60°. BG DF, 所以∠G=∠ACB-∠GAC=45°. 所以△ABG≌△ADF(SAS). 15.(1)因为C是线段AB的中点，所以AC=BC 所以AG=AF,∠BAG=∠DAF 因为CD平分∠ACE,CE平分∠BCD, 所以∠ACD=∠DCE=∠ECB=60°. 因为∠EF=分∠BD, AC BC, 在△ACD和△BCE中，因为 ∠DCA=∠ECB. 所以∠BME+∠DF=之∠BMD CD CE, 所以∠BAE+LBAG=LBAD=LEAF,即∠GAE= 所以△ACD≌△BCE(SAS). (2)因为△ACD≌△BCE, ∠EAF. 所以∠E=∠D=40° 又因为AE=AE, 所以∠B=180°-∠E-∠ECB=80° 所以△AEG≌△AEF(SAS), 16.(1)由对顶角相等，得∠BCF=∠DCE. 所以EG=EF BC DC. 因为EG=BE+BG, 在△BCF和△DCE中，因为{∠BCF=∠DCE, 所以EF=BE+DF CF CE, (2)(1)中的结论仍然成立.证明如 所以△BCF≌△DCE(SAS) 下： 13 所以∠F=∠E. 如图5所示，延长EB到点G,使BG 所以MF∥DE. =DF,连接AG, 因为AM∥DE, 因为∠ABC+∠D=180°，∠ABG+ 3 八年级数学沪科(AH) 第10~13期 ∠ABC=180°， ∠AEC=∠CFB, 所以∠ABG=∠D 在△AEC和△CFB中，因为 ∠CAE=∠BCF, AB AD, AC CB. 在△ABG和△ADF中，因为{∠ABG=∠D, 所以△AEC≌△CFB(AAS), BG DF, 所以AE=CF,CE=BF. 所以△ABG兰△ADF(SAS). 又因为EF=CF-CE, 所以AG=AF,∠1=∠2. 所以EF=AE-BF ∠BAD, 因为LEAF=2 能力提高5.(1)DE=BD+CE. (2)DE=BD+CE仍然成立.理由如下： 1 所以∠2+∠3=2∠BMD 因为∠BDA=∠BAC=QX,所以∠BAD+∠DBA=∠BAD +∠EAC=180°-Q.所以∠DBA=∠EAC 所以∠1+L3=宁∠BAD=∠EM,即∠CAE=∠EAK ∠BDA=∠AEC, 在△ABD和△CAE中，因为 ∠DBA=∠EAC,所以 又因为AE=AE, AB CA, 所以△AEG≌△AEF(SAS) △ABD兰△CAE(AAS). 所以EG=EF 所以BD=AE,AD=CE. 因为EG=BE+BG, 所以DE=AE+AD=BD+CE. 所以EF=BE+DF (3)由(2)得△ABD≌△CAE. 第12期2版 所以S AABD=SACAE· 14.2.2两角及其夹边分别相等的两个三角形 设△ABC的底边BC上的高为h,则△ABF的底边BF上的 基础训练1.A;2.C;3.△CDA;ASA;4.16; 高为h. 5.18. 因为BC=3BF,Sam=18,所以Sar=5。c=6,所 6.因为∠1=∠3，∠AHC=∠DHG,所以180°-∠1- ∠AHC=180°-∠3-∠DHG,即∠A=∠D.因为∠1=∠2， 以S△FBD+S△ACE=6. 所以∠1+∠HCB=∠2+∠HCB,即∠ACB=∠DCE.在 第12期3版 ∠ACB=∠DCE, 题号12345678 △ABC和△DEC中，因为 AC DC. 折所以△ABC兰 答案DBAADDDB ∠A=∠D, 二、9.稳定性；10.2.8；11.5；12.80° △DEC(ASA). AD CD, 14.2.3三边分别相等的两个三角形 三、I3.在△ADB和△CDB中，因为{AB=CB, 基础训练1.C；2.B;3.3. BD BD, 4.连接BC,图略.在△ABC和△DCB中，因为 所以△ADB≌△CDB(SSS). rAC DB, 所以∠ABD=∠CBD. AB=DC,所以△ABC≌△DCB(SSS).所以∠A=∠D. 所以BD平分∠ABC. BC CB. 14.因为AB=CD,所以AB+BC=CD+BC. 5.(1)因为BE=CF,所以BE+EC=CF+EC,即BC= 所以AC=BD. AB DE. 因为AE∥DF,所以∠ECA=∠FBD. EF.在△ABC和△DEF中，因为 AC=DF,所以△ABC兰 ∠A=∠D BC EF, 在△ACE和△DBF中，因为{AC=BD, △DEF(SSS).所以∠A=∠D. N∠ECA=∠FBD, (2)因为∠A=70°，∠B=40°，所以∠ACB=180°-∠A 所以△ACE≌△DBF(ASA): -∠B=70°.因为△ABC≌△DEF,所以∠DFE=∠ACB= 所以AE=DF 702.因为FG平分∠DFE,所以∠GFC=分∠DFC=359.所以 15.(1)因为∠BEG=∠CDG, 所以180°-∠BEG=180°-∠CDG,即∠AEB=∠CDA. ∠CGF=∠ACB-∠GFC=35°. 因为∠BEG=∠BAC, 能力提高6.8. 所以∠BAE+∠ABE=∠BAE+∠CAD. 14.2.4其他判定两个三角形全等的条件 所以∠ABE=∠CAD. 基础训练1.D;2.B；3.=. ,∠AEB=∠CDA, 4.因为AE⊥CD,BF⊥CD,∠ACB=90°， 在△BAE和△ACD中，因为{∠ABE=∠CAD, 所以∠AEC=∠CFB=∠ACB=90° AB CA, 所以∠CAE+∠ACE=90°，∠ACE+∠BCF=90°. 所以△BAE≌△ACD(AAS). 所以∠CAE=∠BCF (2)因为△BAE≌△ACD,所以S△BmE=S△ACD: 八年级数学沪科(AH) 第10~13期 因为BF=2CF, △AEF(SAS).所以GF=EF在△EDF和△EDC中，因为 所以S△BF=2S△ACF,S△BmF=2S△CDF, DF DC. 所以S△ABD=S△HBF-S ABDF=2S△ACF-2S△cDF=2S△ADc: ∠EDF=∠EDC,所以△EDF≌△EDC(SAS).所以EF= 所以SARDE=S△ABm-S ABAE=S△cn EDED, 所以小麦种植区△BDE里需要施肥200千克. EC.所以BE=CG=CF+FG=CF+EF=CF+CE. 16.(I)因为点F是AD的中点，所以AF=DF.在△AEF和 第13期2版 AF DF. 14.2.5两个直角三角形全等的判定 △DHF中，因为 ∠AFE=∠DFH,所以△AEF≌ 基础训练1.A;2.B;3.50 FE FH. △DHF(SAS). 4.(I)在R△A5B和R△AC中，因为1B=AC,所以 LAE AF, (2)因为△AEF≌△DHF,所以AE=DH,∠EAF= Rt△AEB≌Rt△AFC(HL).所以∠B=∠C=30.因为∠BAC ∠HDF.所以AB∥DH.所以∠B=∠HDC.因为AE=CD,所 =25°，所以∠CNB=∠C+∠BAC=55°.所以∠CDB=∠B DH DC, +∠CWB=85°. 以DH=DC.在△DHG和△DCG中，因为{HG=CG,所以 r∠C=∠B, DGDG. (2)在△ACN和△ABM中，因为{AC=AB, 所以 △DHG≌△DCG(SSS).所以∠HDG=∠CDG.所以∠B= L∠CAN=∠BAM, 2∠GDC. △ACN≌△ABM(ASA). 17.(1)如图6，延长AD交BC于 5.因为AD⊥BC,A'D'⊥B'C',所以∠ADB=∠A'D'B'= 点H.因为BD平分∠ABC,所以 ∠ABD=∠HBD.因为AD⊥BD,所 0P在AARD和AABD中，因为{B二A所以 以∠ADB=∠HDB=0°.在△ABD和 Rt△ABD≌Rt△A'B'D'(HL).所以∠B=∠B'.在△ABC和 ∠ABD=∠HBD, H AB A'B', △BD中，因为 BD BD. 所 图6 △A'B'C 中， 因为 ∠B=∠B',所以△ABC≌ L∠ADB=∠HDB, BC B'C', 以△ABD≌△HBD(ASA).所以SABD=SABD,AD=HD.所 △A'B'C(SAS). 以S△CD=S△HCD·因为△BDC的面积是5，所以S△ABc=SAAm 专题一 全等三角形的性质与判定 +S△AGH=2S△HBD+2S△H0m=2 S ARDC=10. 1.C;2.B;3.3. (2)如图6，过点B作BF⊥AC于点F,过点C作CE⊥BD 4.因为点D是BC的中点，所以BD=CD. 的延长线于点E.则∠BFC=∠CEB=90°.因为∠ABC= 因为CF∥AB, 2∠ACB,BD平分∠ABC,所以∠BCF=∠CBE.在△BCF和 所以∠BED=∠F. r∠BFC=∠CEB, ∠BDE=∠CDF, △CBE中，因为 ∠BCF=∠CBE,所以△BCF≌ 在△BDE和△CDF中，因为 ∠BED=∠F,所以 BC CB, BD CD, △CBE(AAS).所以BF=GE因为SAe=方BD·CE=5, △BDE≌△CDF(AAS).所以BE=CF. 5.(1)BF⊥CE,理由如下： Sc=AC,BF=10,所以AC=2BD 因为△ABC≌△DEC.所以∠ACB=∠DCE. 所以∠ACB+∠ACG=∠DCE+∠ACG. 附加题(1)LDFE; 所以∠BCG=∠ACD=60°. (2)∠AQB=∠APB或∠AQB+∠APB=180°； 因为∠B=30°，所以∠BGC=180°-∠B-∠BCG= (3)BE=CF+CE.理由如下： 90°，所以BF⊥CE. 如图7，延长BA,CD交于点G.因为 (2)因为△ABC≌△DEC,所以∠E=∠B=30°， ∠ACD是∠ABD的“边垂角”，所以CG⊥ 因为AC∥DE,所以∠ACE=∠E=30°.所以∠DCE= BD,AC⊥BG.所以∠EDC=∠EDF= ∠ACD-∠ACE=60°-30°=30°. ∠EAB=∠CAG=90°.所以∠B+ 6.(1)因为∠BAE=∠CAF=90°， ∠AEB=90°，∠C+∠DEC=90°.因为 B 所以∠CAE=∠BAF ∠AEB=∠DEC,所以∠B=∠C.在 图7 AE AB r∠B=∠C, 在△CAE与△BAF中，因为{∠CAE=∠BAF,所以 △ABE和△ACG中，因为{AB=AC, 所以△ABE≌ LAC AF, L∠BAE=∠CAG, △CAE≌△FAB(SAS).所以EC=BF. △ACG(ASA).所以AE=AG,BE=CG.因为∠FAC=45°，所 (2)设AC交BF于点O,因为△CAE≌△FAB, 以∠GAF=∠CAG-∠FAC=45°=∠FAC.在△AGF和 所以∠AFO=∠OCM. rAG AE. 因为∠AOF=∠COM,所以∠OMC=∠OAF=90°. △AEF中， 因为 ∠GAF=∠EAF,所以△AGF≌ 所以CE⊥BF. AF AF, (3)结论CE=BF成立，结论CE⊥BF不成立，理由如下： S 八年级数学沪科(AH) 第10~13期 同(1)可证△CAE≌△FAB. AB DB, 所以CE=BF,∠CMO=∠FAO=m. 因为{∠ABE=∠DBC, 因为m≠90，所以CE与BF不垂直， EB CB. 所以结论CE=BF成立，结论CE⊥BF不成立. 所以△ABE≌△DBC(SAS). 专题二用尺规作三角形 (2)BF=BG且BF⊥BG,证明如下： 基础训练1.C；2.C. 因为△ABE≌△DBC, 3.图略. 所以AE=CD,S△E=S△Dac 第13期3版 因为BF⊥AE,BG⊥CD, 题号12345678 所以宁BP,AB=合BG·Cn 答案CBB ADCDC 所以BF=BG 二、9.AB=DC;10.2;11.2或4： 在R△BEF和R△BCG中，因为JEB=CB, 12.40°或140°. BF BG, 三、13.图略. 所以Rt△BEF≌Rt△BCG(HL). 所以∠EBF=∠CBG, 14.因为CF⊥BE,所以∠CFB=90°.因为AD∥BC,所以 所以∠GBF=∠EBF+∠EBG=∠CBG+∠EBG= LAEB=∠FBC.在△AEB和△FBC中，因为 ∠CBD=90°，即BF⊥BG. r∠A=∠CFB 综上，BF与BG的关系为BF=BG且BF⊥BG ∠AEB=∠FBC,所以△AEB≌△FBC(AAS).所以AE= 附加题(1)因为∠ABC+∠ADC=180°， BE CB. 所以∠BCD+∠BAD=180°. FB. 因为∠BAD=90°，所以∠BCD=∠BAD=90°. 15.如图8，过点A作AH⊥DE于点 H. 在RIABAD和t△BCD中，因为{B:B所以 所以∠AHD=∠AHE=90° Rt△BAD≌Rt△BCD(HL). 因为CD=2,BD=3,所以BC 所以AD=CD. CD BD =5. (2)如图9，延长DC至点K,使CK= 因为DA平分∠CDE,所以∠ADH 图8 AP,连接BK =∠ADC 因为∠ABC+∠ADC=180°， ∠ACD=∠AHD, 所以∠BAD+∠BCD=180°. 在Rt△ADC和Rt△ADH中，因为 ∠ADC=∠ADH, 因为∠BCD+∠BCK=180°， ADAD, 所以∠BAD=∠BCK 图9 rAB CB. 所以Rt△ADC≌Rt△ADH(AAS) 在△BAP和△BCK中，因为{∠BAP=∠BCK, 所以AC=AH,HD=CD=2. AP CK. 在Rt△ABC和R△AEH中，因为AB=AE, 所以△BAP≌△BCK(SAS). LAC AH, 所以∠ABP=∠CBK,BP=BK 所以Rt△ABC兰Rt△AEH(HL). 因为PQ=AP+CQ,QK=CK+CQ, 所以EH=BC=5.所以DE=HD+EH=7. 所以PQ=QK 16.(1)因为AF⊥DE, BP BK. 所以∠DFA=90°=∠ABC. 在△PBQ和△KBQ中，因为{QP=QK,所以△PBQ≌ 在R△ADF和Rn△CAB中，因为F站， BO =BO, △KBQ(SSS). 所以Rt△ADF≌Rt△ACB(HL). 所以∠PBQ=∠KBQ=∠CBK+∠CBQ=∠ABP+ 所以∠DAF=∠CAB. ∠CBQ. (2)由(1)得∠DFE=∠ABC=90°. (3)如图10，∠PBQ=90°+ 在Rt△AEF和Rt△AEB中， 2∠ADC.理由如下： 1 因为{AEA所以Rt△AEF≌Rt△AEB(H) 如图10，在CD延长线上找一 点K,使得KC=AP,连接BK 所以EF=BE. 同(2)可得，∠ABP=∠CBK, 因为Rt△ADF≌Rt△ACB, ∠PBQ=∠KBQ. 所以DF=BC 所以∠PBK=∠ABC, 图10 所以DF=BC=CE+BE=EF+CE. 所以2∠PBQ+∠PBK=2∠PBQ+∠ABC=360° 17.(1)因为DB为△ACD的高， 所以2∠PBQ+(180°-∠ADC)=360°. 所以∠ABE=∠CBD=90°. 在Rt△EBA和Rt△CBD中， 所以LPB0=0°+分∠ADC 64 素养·拓展 数理超 数理据 25年9月24日星期三 初中数学 51-S27126 (上接第3版】 纸发行质量反喷电话 13期总第1157期 沪科 附加题》可 0B5-52248 直击 直角三角形全等的判定 八年级{AH 上接4版参考答案 (以下试供各地根情况选用) 山西师范大学主管 山西师大教育科技传媒集团主办 数报社出 杜长：徐文伟 》正 连埃出版物号：CN14-0707F 吉林白艺阳1 已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADG “HL”可以判定直角三角形全等，但是 用“ASA”或“AA 判定直角三角形 专题辅导 =180°，AB=BC 热本修它不格空言角一角形会享的准 (2) 因 本周主册 (1》如图1，连接BD若∠BAD=0 法，前面学习的判定一般三角形全等的方法都 倒2m☒2.RUAABC △AEF△DHF,所 HL”的魅力展示 i证：AD=CD: 话用干直角三角形.下面举例加以说明 和B△EDF中，∠B=∠D 以AE=DH,∠EAU 14.2三角形全等的判定1HL】 (2》如图2，点P.Q分别在线段AD,DG上 一、蓝用“HL”判定直角三角形全等 在不带加任何辅曲线的情况 =∠HDF.所以AB 学习目标：1，在所给的件下，能够利 。安徽宋并 EBE+EF.即DE=BE 三，证明两线段相等 且满足PQ=AP+CQ,求证：∠PBQ=∠AB 例1 如图1，在 下，请你都加一个名件 /DH.所以∠B 尺规作三角 +∠CBQ: R1△ABC中.∠G=90° 使R1△ABC 在△ADE和R△CBF中，因为 例3如图3.已知4D 和 ∠HDC因为AE 2深套三角形全等的判定方法(HL),并 AC=AE,DE⊥A.若 Rt△EDF全车 能料洞其进行道明 (AD CB. (3)若点Q在DC的证长线上，点P在D4 CD,所以D=D AF分别是两个钝角△ABC ∠BDE=46°，则∠DAE= 分析：本题是一道开被型的题日，答常不推 3能够利用三角形的企芋解决实际问 DE BF. 的延长线上，连按BP,Q,PQ.仍然满足PQ■ 在△DHG知△DC0 和△ABE的高，AD=AF,AC 4P+C.请在图3中补全图形.根起图形写出 只要转台三角形全的判定定理即可 会就学与实际生活的联系 所以R△ADE兰Rt△CBF(,. =AE.求证：BC=BE. 分析：根暴直角三角形的注质求得∠B的 ∠PBQ与∠ADC的数量关系并说明理由 解：①添加条件：AB=ED. DH DC. 4能服地通意选取适当的方法进行三角彩 二，证用两角相等 证阴：根据题意，得∠ADC=∠AFE= 度数，即可得到∠BAC的度数，得远用“HL.”证 证明：在△ABC和△EDF中，因为 全等的判定 例2如图2.AB■ 0 明△ACD≌△AED.得到∠CAD=∠EAD即可 HG CG. 8=0 DE,D⊥E于点C,且C是 解 DGDG, 在R:△ADC和R△AFB中，因为 AB ED. “机”格一边孝疾的声角形全会尊的古 解：因为DE1AB.以∠AED=∠BED= △DHG 的中点，求证：∠B (AC AE. ∠A=∠DEF 法，尽管它只能在直角三角形中施展拳期，但是 △DCG(sSs). 所以 E AD AF. 所以△ABC2△EDF(ASA). 由于应用简单，仍然受到同学门的青换.下面饮 所以LB+∠BDE=90 ②函加条件：BC=DF或AC=EF或AE= HDG 止我们脉一下它的魅力吧 证明：因为AD⊥BE,所以LACB=∠DCE 以I△ADC≌△AFE(IL.) 因为∠C=90°. 所以 ∠B 90 所以DC=FE 所以∠B+LBC=90 C℉（添加这三个条件所用到的判定方法抽同，此 ,正明两三角形全得 2∠D 处以C=DF为阀进行证明). 例1如图1.已知AE 因为C为BE的中点，所以BC=EG 在RIAADB和RI△AFB中， ∠B4G=∠君DE=46 证明：在△ABC和△EDF中，因为 17.(1)△AB 在R1△ACD和△AED中， 在B△ABC和R△DEC中，因 因为 BD干点E,CF⊥BD于点 因为=超 A=/DEF 的而积为10 ADAD, F,且AD=BC,BE=DE求 A8 DE. LAD AF. LAC-AE. ∠B=∠D （2)过点B年 正：△ADE≌△CBF BC EC. 前以RH1△ADB≌R△AFB(HL) 所以BI△ACD≌RIAAED(HL) BC DF. BF⊥AC于点F,过 点C作CE⊥BD的 证明：因为AE⊥BD,CF⊥BD.所以∠AEL 所以R△ABC≌RIADEC(HL) 航以DB=FB 所以△ABC≌△EDF(AAS) 所以∠CMD=LB1D=7∠B1C=23 Fl D-DC 放吉AB=D成C=DF艾AC=EF安 长规丁点E,图 CFB=0,因为DF=BE,所以DF+E 所以∠B=∠E 数理报社试题研究中心 (参考答案见15期 故填23 E =CE 学习了三角形全等的判定后，我们可以惜 型空回 ∠CEB=90P.为 助全等三角形的知识，根掘所给的条件，用尺规 第12期2版参考答案 (2}∠CGF的度数为35 14.因为AB=CD,所以AB+C=CD+ ∠ABC=2∠ACB 作图的方法作三角形下面举说明 规作三角形 14,2.2两角及其夹边分别相等的两个三角形 能力提离6&. BC. BD平分∠ABC. 一、已知两边及其央角作三角形 Q陕西岳 基础训练1A:2,C:3.△CD:ASA 14,24其他判定两个三角形全等的条份 所以AC=BD 例1已知一个三角形的两条边分别为a, 分析：作出线段AB量「，即可定三角形的 作法： 46;5.18 基训练LD:2.B:3. 因为AE∥DF ∠CBE,在△BCF和 这两涤边的夹角为∠a,如图1，求作这个三角形 两个顶，点，再在AB边的可剑，分到以A,B为 (1)先作线段AB=e: 6,因为∠1=∠3，∠AHC=∠DHG 4.因为AE⊥CD,BF⊥CD.∠ACB=90°， 所以∠ECA=∠FBD △CBE中， 因 是作每个角等于已角，这巧个角的另一鱼的 (2)分别以B,A为圆心，以,长为半径国 以180-∠1-∠AHC=180"-∠3 以∠AEC=∠CFB=∠ACB=90. 在△ACE和△DBF中， ∠BPC=∠C 文杰就是第三个顶点 弧，两面交于点C: ∠DHo,即∠A=∠D 所以∠CAE+∠ACE■90°，∠CE rLA=∠D ∠BCF=∠CBE 作法： (3)接AC,BC,则△ABC即求知圆6) 因为∠1=∠2， ∠BCF=90 温馨提示：利用尺规作三角形时，一龙要注 因为AC=BD, BC CB, (I)先作线段AB=c 所以LCAE=LBC 意分析条件，确定出基本的图形画出草图，进 所以∠1+∠HCB=∠2+∠HCB,即 I∠ECA=∠FBD 所以△BCF (2)再分别以A,B两点为质点，财线AB,B4 而确定作图的步骤 LACB LDCE 在△AEC和△CFB中 所以△MCE△DBF(ASA) △GBE(AAS).所 分析：根据巴如条件，可以先作∠DBE,使 为边，在AB边的同一侧作∠DB=∠a, 四.已如长度不蒋的两边作直角三角形（较 在△ABC和△DEC中 LABC=∠CFB BF=CE.因为 其等于∠《，然后分别在∠DBE的两边载和线 所以AE=DF ∠EBA=∠B: 长边为斜边 T∠ACB=∠DCE 因为∠CAE=∠BCF 段BC=a.BA=b.连接AC即可 (3)AD,BE交于点C,则△ABG即为所求 例4如图7.已知线段4.b,其中b>.作 因为AC■DC, AC CB. 15.(1)因为∠BEG=∠CD 作法： 加图4) 直角三角形ABC,使6为料边，∠B■90 以180-∠BEG=180-∠CDG.即 I∠A=∠D 所以△AEC△GFB(AA5) (I)先作∠DBE=∠a: 温馨提示：由干已知条件中有一边，所以 ∠AEB=∠CDA. 所以△ABC△DEC(ASA) 所以AE=CF,GE=BF (2)然后分别在∠DBE的两边上截取BC BF=0,所以AC 角形的两个顶点客易确定，关是确定第三个 142.3三边分别相等的两个三角形 义因为EF=-CE 因为∠BEG=∠BAC 2RD. u,BA =b: 基础训练1C:2.B:3.3 以EF■AE-BF 以∠BAE+∠ABE=∠BAE+∠CAB. (3)连AC,则AABC即为所求（如2） 附加题 三，已如三边作三角形 分析：根据已知是件。可以光件B=0 4.证明路 能力提高元.(I)DE=BD◆CF 所以∠ARF=∠CAD, 温馨提示：①求作三角形时，一般先作出 (I)∠DFE 例3已知一个三角形三条边分别为a,6, 角，然后根据条件作出所求作的图形：②尺规作，如图5，求作这个三角形 然后在∠B的一边上食取气BC=,再以点C 5.(I)因为E■CF,所以BE+EG■CF (2)DE=BD+CE仍然成立.理由略 在△BAE和△ACD中 (2)∠A0B 为心，线段b的长为年径即可确定第三个 +EC,即BC=EF.在△ABC和△DEF中， (3)△FBD与△ACE的面积之和为6 ,∠AEB=∠CDA 时，应注意作图语古的规性 LAPB成∠AOB 项点L 因为∠ABE=LCAD 二，已知斯角及其夷边饱三角形 rAB DE. 第12期3版参考答案 作法： ∠APB=I0 题号1234567 AB■CA. 例2已知一个三角形的两角分别为∠a (1)先作∠B=0°： 因为AG=DF (3)BE CF ∠B,夹边为,如图3，求作这个三角形 (2)然后在∠B的 为上线取BC= BC EF 琴*DB AA DDD# 所以△BAE≌△ACD(AAS): CE,理由略 (3)以点G为圆心，段6的长为半径国 以△ABCe△DEF(SSS).以∠A= 二、9.稳定性：10.2.8；11.5；12.80 (2)小麦种抽区△BDE里需要箱肥200千克 (全文完 分析：先作出△ABC的一边（如AB=), ∠R的另一力干点A ∠D 三、13明略 下转1,4履中缝 确定出两个项点，然后分到法这两个项点为图 (4)连接AC,则△ABC即为所求（如函8） 出，以气及信，的长为单径画出两是蕴即可确尾 遇馨提示：由已知条作可得三角形的一个 第三个点 角.再用能取法容易确定其他两个顶点， 2 素养专练 数理热 数理极 素养·测评 3 专题一全等三角形的性质与判定 6如图6.已知∠BAE=∠CAF=90°，EC. 15.(I0分)如图13，在△ABC中，∠C=90。 跟踪训练 1.如图1.△ABC△BDE.若AB=12.DE BF相交于点M,AE=AB.AC=AF 同步检测 D为BC边上一点，DA平分∠CDE,且AB=AE,若 =5,则CD的长为 (1)求证：EC=BF: CD=2,BD=3,求DE的长 A.5 B.6 (2)求证：EC⊥BF: ● TONGBUJIANCE- 4.25两个直角三角形全等的判定 C.7 D.8 (3)若上B4E=∠CAF=m(m0)，其 多件不变，则(1)(2)中的结论还成立吗？请说明 【检测范围：14.25】 尽型用练 理由， 一、精心选一选（年小题4分，共32分） 8.如图7，在四边形 I,如图1，在△ABG和△DFF中，∠A 号1234 56 BCD中，AB=AD,∠BD ∠EDF=90°，BC=EF,AC=DF,则能直接判定 答案 90°.DE1AC于点E.连接 △AABC≌△DEF的依据是 1.如图I,在R△ACD和 BE,若BE■BC,DE■8，AE A.HL B.ASA C.SAS D.sSS △BCE中，∠C=90°，点E在AC 6,则CE的长为( 2.如图2，在△ABC中，AB=AC,∠BAC 0°，分别以ABAC为一边，向△AC外作△AD 上，点D在BC上，AD与E交于点 A.1 B.2 C.4 D.6 和△ACE若AD■CE.BD■AE.∠E■125°，则 O,AD=BE,DC=EG,则可判定 二、细心填一填（每小题4分，共16分） ∠DAE的度数为 Rt△ACD≌RL△BCE的依据是 9.如图8，∠ACB=∠DBC=90,能直接根据 A,105= B.115 HL,“”判定△ABC≌△DCB,还需要还加的条件是 2.如图2，在△ABC中，∠C=90,DE⊥AB C.1209 D.135 A.SAS B.ASA C.HL D.555 于点E且AE=AC.DF=DC,若RC=7,BE= 3三个顶点分别在小正方 2.如图2，在R△ABG和R△DEF中，∠B 形的顶点（格点）上的三角形 16,(12分)如图14-①，在四边形ACD中。 5.则△BDE的周长为 ∠E■90°.AB■DE,AC=DF,∠1■42，则∠2 格点三角形如图3，除格品 LB=0°，连接C,且AC=AD,点E在边C上， A.14 B.12 c.9 D.7 △ABC外，在网格中可画出与 的度数为 生接DE,过点A作AF⊥DE,垂足为F.AB=AF 3.如图3，在△AbC中，点 F在边BC上，FD⊥AC于点D △AC全等的格点三角形共有 (I)求证：LDAF=∠CAB: DE⊥AB下4点E,AD=CF,AE 个 I0.如图9，E是正方形ABCD内一点.EF⊥AE (2)如图14-2，连按AE,若AE是∠BAF的 4.如图4，在△4BC中，点D是BC的中点.E 1 =CD,若∠CFD=40°，则 交CD于点F,若AB=AE=5.EF=3,则CF的长 平分战，求正：DF=EF+CE, 是AB边上一点.过点C作CF∥AB交ED的延长 图2 ∠EDF的度数为 专毯二用尺规作三角形 A42 B.48C.58 0.63 为 4.如图4.∠E=∠F=90,AB=AC,AE= 线于点.求证：E=CF ,如图1，是尺规作△4BC的痕迹，则此作图 3.根据下列条件，能作出惟一△C的是 I1.如图10，∠C=∠CAM= AF. 90°，AG■8m,BC量4m,点P (1)当∠C■30°，∠BAC=252时.求∠CDB 的已知条件是 A.AB =3.BC =4.AC =8 在段AC上，以每北2m的到 的度数： A.已知两边及夹角 (2)求证：△ACN≌△AB B.已知三边 B.∠A=60.∠B=45°.AB=4 从点A出发向C运动，到点C停止 C.已知两角及夹边 C.∠C=90°，AB=6 运动，点Q在射线A上运动，且 D.已知两边及一边对角 D.AB=4.BC=3.∠A=30 PQ=AR,当点P的运动时闻为 4.如图3.EC⊥D,垂足为C,A是EC上一点 时，△ABC才能和△PQA全等 且AC=CD,连接AB.ED,AB=DE.若AC=35 I2.在△ABC和△DEF中，AB=DE,AC BD=9,则CE的长为 )DF,∠C=0°AM,DN分别为BC,EF边上的高 A5.5 t.25 C.3 7 且AM■DN,则∠DFE的度数为 2如图2.在△4BC中，∠A=8,∠B 三、耐心解一解（共52分） 42,点D在边A上，以点C为圆心，小于我段GD 13.(8分)如图1,在△ABC中，点D是线段 5.如图5.已知△ABC≌△DEC,∠ACB是锐 长为半径画I分别交线段BC,DC于点E,F,以点 C延长线上的点，点E在直线C的上方.请利用 角，∠B=30°.∠ACD=0.延长B4交DE于点 D为圆心，线段CF为半径面觅①交线段DC丁点 E度百尺和作△DEC,使∠ECD=ACB 17.(14分)如图15，点B在线段AC上，点E在 F,交CE于点G G,以点G为圆心，线段EF为半径，交孤①丁 CD=AB,CE=2AC(不写作法，保留件图表) 线段BD上，DB为△ACD的高.AB■DB,EB■ (1)书直线BF与CE是否垂直？请说明理 5.如图4，在△ABC中，D,E为边AG上两点 占用.生用3AC5/.日川∠AD的国数为 圭接BD,BE,DF⊥BE于点F.若∠A=90,AD= (I)求证：△ABE△DBC 5.如图5.在AABC和AAB'C中，AB (2)若AC∥DE,求∠DCE的度数 A.50 B.55 C.60 D.65 DF,∠DBF=25,则∠BEC的度数为 (2)若BF⊥AE于点F,BG⊥CD于点G,探 A'B,BC=BC.AD⊥BC于点D,A'D⊥B'C 3如3，已知∠1，找改m,求作：△ABC,使 A.115 .1200125a D.140 究BF与G的关系，并证明你的结论 点，且AD=A'D'.求证：△ARG二△A'B'G ∠A=∠1，AB=m,AC=2m(尺规作国，不写 6.如5，在∠A0B中摆故两个相同的直角 法，保图作图建迹). 角板，两个三角板的一条直角边EM,下N分别与边 14.(8分)如图12，AD∥BC.∠A=90°.以点 OA,0B重合，两个三角板的长直角边交丁点P,作 B为圆心，BC长为半径孤，与射线AD交于点E 射线0P,若Sr=6,PPN,则为 连接E,过点C作GF⊥BF于点求证：AE FB. 43 日.6 12 ù.16 7.如图6.D为等腰三角形BC内一点，AG BC=BP,AD=BD,∠DBP=∠DBC.∠Cs62 数理报社试题研究中心 则上P的度数为 (参考答案见15期) A.20 且.28°C30° D.31- 下转第4版】