第12期 14.2 三角形全等的判定 (ASA ,SSS ,AAS)-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（沪科版2024 安徽专版）

八年级数学沪科(AH) 第10~13期 装理报 答案详解 2025~2026学年 八年级数学沪科(AH) 第10~13期 10期1,2版综合测评卷（一） LABC. 一、 题号12345678910 因为OD⊥OB, 答案AABBBDC CBD 所以∠BOD=90°. 二、11.60°；12.如果(a+b)2=a2+b2,那么a=0或b 所以∠AD0=∠BOD+∠DB0=90°+ =0:13.21416:15.20,或号安号 ∠ABC= ∠AOC. 三、16.因为∠A=80°，∠C=40°，所以∠ABC=180°- (2)因为BF平分∠ABE,CF平分∠ACB, ∠A-∠C=60°.因为BD是△ABC的角平分线，所以∠DBC 所以LFBE= ∠ABE,∠FCB=7∠ACB ∈7∠ABC=30°，因为DE∥BC,所以LBDE=∠DBC白 所以LF=∠FBE-∠FCB=(LABE-LACB)= 30°. 17.(1)A(1,3),A'(-3,1),B(2,0) 2∠BAC=∠DA0=32 (2)由平移的性质得AA'∥CC',AA'=CC. 所以∠AOD=180°-∠AD0-∠DA0=38° (3)因为三角形ABC经过平移得到三角形A'B'C',平移方 21.(1)1号气球以8米/秒的速度匀速上升，30秒时上升 式是先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度， 的高度为：8×30=240（米）.因为气球是从海拔10米的A处出 所以若点P'(x,y)是三角形A'B'C'内部一点，则平移前三 发，所以点B的纵坐标为：240+10=250（米），横坐标为30秒， 角形ABC内部的对应点P的坐标为P(x+4,y+2) 即点B的坐标为(30,250). 故填(x+4,y-2). 2号气球以6米/秒的速度匀速上升，到达C点250米高度 18.（1)将A(1,4),B(2,2)代入y1=kx+b(k≠0)，得 所需时间为：(250-10)÷6=40（秒），所以点C的坐标为(40， [+力三4；解得一2，所以该一次函数的表达式为1= 250). 2k+b=2. 1b=6. 故填(40,250). -2x+6. (2)y2=6x+10. (2)对于y=-2x+6,因为k=-2<0,所以y随x的增 (3)①当0≤x≤30时，由题意，得y1=8x+10,2=6x 大而减小.所以在-2≤x≤2范围内，当x=-2时，少取得最 +10,则两气球高度之差h=y1-为=(8x+10)-(6x+10) 大值，此时y1=-2×(-2)+6=10,所以最大值为10. =2x.令h=60,即2x=60,解得x=30.所以2=6×30+10 (3)由题意画草图如图1，由图象 1=-2x+6y =190(米).所以在0≤x≤30这个时间段内，当两气球高度之 可知，在两条直线交点的左侧，总有y1y=-x+2m6 差等于60米，此时2号气球的高度是190米. >y2·因为两条直线交点的横坐标为 ②当30<x≤40时，由题意，得y1=250,y2=6x+10, 12-2m,所以m≤12-2m.所以m≤ 12-2m 则两气球高度之差h=y1-为2=250-(6x+10)=240-6x 令h=60,即240-6x=60,解得x=30,不合题意，舍去. 19.(1)根据题意，得2a+3a+1= 综上，当两气球高度之差h等于60米，2号气球的高度是 图1 Q解得a=一分 190米. 10期3,4版综合测评卷（二） (2)根据题意，得-2a-(3a+1)=9.解得a=-2.所以 一、 题号12345678910 2a=-4,3a+1=-5.所以点A的坐标是(-4，-5). 20.(1)①115°，115°. 答案C D C D C A D C A C ②∠AOC=∠AD0.理由如下： 二、11.如果一个数是无限小数，那么这个数是无理数； 因为△ABC中，三个内角的平分线交于点O,所以∠OAC 12.2;13.45,锐角，等边；14.4； =方∠BAC,∠0CA=∠ACB,∠AB0=分∠ABC 15.(-3,-1)或(-3，-4). 三、16.图略. 所以∠A0C=180°-（∠0AC+∠0CA)=180°- 17.因为AB∥y轴， 之（∠BAC+∠ACB)=180-子(180°-∠ABC)=90+ 所以A,B两点的横坐标相同， 所以2a-2=-2.解得a=0. 八年级数学沪科(AH) 第10~13期 所以A(-2,2),B(-2,4), 故填(4,6)；(4,6). 所以A,B两点间的距离为：4-2=2 (2)如图2，分两种情况：当点P在OC 18.(1)因为BD,CE是△ABC的两条高， 上时，由题意，知OP,=4,则点P的运动时 所以∠ADB=∠AEC=90° 间为：4÷2=2(s);当点P在AB上时，AP2 P 所以BD⊥AC,CE⊥AB. =4,则BP2=AB-AP2=6-4=2,所以0C 所以∠A+∠ABD=90°，∠A+∠ACE=90°， +BC+BP2=6+4+2=12,则点P的运动 所以∠ABD=∠ACE. 时间为：12÷2=6(s). 0 综上，当点P到x轴的距离为4个单位 图2 (2)因为∠A+∠ABD=90°， 所以∠ABD=90°-∠A=90°-70°=20° 长度时，点P运动的时间为2s或6s 因为CE⊥AB, (3)设点P的运动时间为ts,三角形OBP的面积是10，分 所以∠BEC=90°. 以下两种情况：当点P在OC上时，则OP=2t,所以S△oBP= 所以∠ABC+∠BCE=90°. 0p,BC=10,即宁×2Ix4=10,解得1=三：当点P在BC 1 5 所以∠BCE=90°-∠ABC=90°-60°=30° 所以∠EOD=∠ABD+∠BEC=20°+90°=110°. 上时，0C+CP=2,则BP=10-2,所以Saom=0C,BP 19.(1)因为一次函数y=kx+b的图象经过(-1，m), ksL-m =10即7×6×(10-2)=10，解得1=9 （m,1)两点，所以一k+6=m,解得 m+1' (mk+b 1. 6=m2+1 综上，当点P的运动时间为子或号：时，三角形0BP的 m+1… 面积是10. 因为m>1, 所以1-m<0,m+1>0,m2+1>0, 第11期2版 所以k<0,b>0, 14.1全等三角形及其性质 所以该函数的图象经过第一、二、四象限 基础训练1.C;2.C；3.A;4.A;5.48°； (2)因为b=2k+3, 6.13；7.21. 8.如图3. 所以y=kx+b=kx+2k+3,即y=k(x+2)+3 对于任意实数k,都有当x=-2时，y=3, 所以对于任意实数k,其图象都经过定点(-2,3) 故点P的坐标为(-2,3). 20.(1)由题意，得当x<180时，y与x之间的关系式为y =4.4x(x<180). 图3 (2)当180<x≤300时，y与x之间的关系式为：y=4.4 9.(1)因为△ABC≌△EDF,所以AC=EF ×180+5.95(x-180)=5.95x-279. 所以AC-CF=EF-CF,即AF=CE. 当x>300时，y与x之间的关系式为：y=4.4×180+5.95 (2)因为△ABC≌△EDF,所以∠B=∠EDF ×(300-180)+10.6(x-300)=10.6x-1674. 因为∠ADE=2∠B,所以∠ADF=∠ADE-∠EDF= 当44=911时，解得x=207元（舍去）： ∠B. 因为∠DAF=∠AFD=2∠B, 当5.95x-279=911时，解得x=200;当10.6x-1674= 所以在△ADF中，根据三角形内角和定理，得∠DAF+ 91时，解得x=243给（合去）， ∠AFD+∠ADF=5∠B=180° 解得∠B=36°. 综上，2024年小明家用了200t水. 所以∠AFD=72°，∠EDF=36°. (3)建议：适当调整各阶梯的水量标准。 所以∠E=∠AFD-∠EDF=36°. 原因：随着生活水平提升和用水设备普及，部分家庭用水 能力提高1O.由折叠的性质得△CEF≌△C'EF, 量增长较快.若阶梯水量标准过低，大量家庭易进人高收费阶 梯，增加经济负担；适当调整标准可平衡居民用水成本与节水 所以LCEF=∠C'EF=∠CEC,LCFE=LCFE= 意识，既减轻负担又引导合理用水. 1 21.(1)因为a,b满足/a-4+lb-61=0,所以a-4= ∠CFC', 0,b-6=0.所以a=4,b=6. 所以∠CEC'=180°-∠BEC',∠CFC'=180°-∠C'FD, 所以点A的坐标为(4,0)，点C的坐标为(0,6).所以0A= 所以∠CEF=∠CEC=90-7∠BEC,LCFE- 4,0C=6. 因为四边形OABC为长方形，所以BC=OA=4,OC=AB 340FC=0-7CFD, =6,所以点B的坐标为(4,6). 所以∠C=180°-∠CEF-∠CFE=180°-90°+ 当点P运动5s时，点P的运动路径长为：2×5=10=0C +CB,此时点P与点B重合，所以P(4,6) E0FD(LFD LBEC). 一2 八年级数学沪科(AH) 第10~13期 14.2三角形全等的判定 所以点A,M,F在一条直线上 14.2.1两边及其夹角分别相等的两个三角形 (2)由(1)知△BCF≌△DCE. 基础训练1.B;2.D:3.B;4.2;5.8;6.68 因为DE=100米， 7.因为AC∥CE,所以∠ACB=∠E. 所以BF=DE=1O0米 BC DE, 因为BM=40米，FV=20米， 在△ABC和△CDE中，因为 ∠ACB=∠E, 所以MN=BF-BM-FW=40米， AC CE, 答：山中隧道MW的长为40米. 所以△ABC≌△CDE(SAS). 17.(1)①因为∠BAC=∠DAE, 所以∠B=∠D. 所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD= 能力提高8.因为∠1+∠2=180°，∠1+∠ACB= ∠CAE. 180°， 又因为AD=AE,AB=AC, 所以∠2=∠ACB. 所以△ABD≌△ACE(SAS) 因为AD=CE, ②BC⊥EC,理由如下： 所以AD+CD=CD+CE,即AC=DE. 因为△ABD≌△ACE,所以∠B=∠ACE. BC FE, 所以∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠BCE. 在△ACB和△DEF中， ∠ACB=∠2， 又因为∠BAC=90°， LAC DE, 所以∠B+∠ACB=90°， 所以△ACB≌△DEF(SAS). 所以∠BCE=90°. 所以AB=DE 所以BC⊥EC. 第11期3版 (2)a+B=180°，理由如下： 题号12345678 由(I)得∠B=∠ACE. 所以∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠BCE=B. 因为a+∠B+∠ACB=180°， 二、9.DA;10.40°；11.120°；12.64. 所以a+B=180° 三、13.因为AB∥DE,所以∠BAC=∠ADE. 附加题(1)EF=BE+DF.理由如 AB DA. 下： 在△ABC和△DAE中，因为{∠BAC=∠ADE, 如图4所示，延长EB到点G,使BG= AC DE, DF,连接AG, 所以△ABC兰△DAE(SAS). 因为∠ABC=∠D=90°， 所以∠C=∠E. 所以∠ABG=180°-∠ABC=90. 图4 14.因为△ABC≌△ADE,所以∠AED=∠ACB=105°. 所以∠ABG=∠D. 因为∠D=25°，所以∠DAE=180°-∠D-∠AED= AB AD, 50°. 在△ABG和△ADF中，因为{∠ABG=∠D, 因为∠CAD=10°，所以∠GAC=∠DAE+∠CAD=60°. BG DF, 所以∠G=∠ACB-∠GAC=45°. 所以△ABG≌△ADF(SAS). 15.(1)因为C是线段AB的中点，所以AC=BC 所以AG=AF,∠BAG=∠DAF 因为CD平分∠ACE,CE平分∠BCD, 所以∠ACD=∠DCE=∠ECB=60°. 因为∠EF=分∠BD, AC BC, 在△ACD和△BCE中，因为 ∠DCA=∠ECB. 所以∠BME+∠DF=之∠BMD CD CE, 所以∠BAE+LBAG=LBAD=LEAF,即∠GAE= 所以△ACD≌△BCE(SAS). (2)因为△ACD≌△BCE, ∠EAF. 所以∠E=∠D=40° 又因为AE=AE, 所以∠B=180°-∠E-∠ECB=80° 所以△AEG≌△AEF(SAS), 16.(1)由对顶角相等，得∠BCF=∠DCE. 所以EG=EF BC DC. 因为EG=BE+BG, 在△BCF和△DCE中，因为{∠BCF=∠DCE, 所以EF=BE+DF CF CE, (2)(1)中的结论仍然成立.证明如 所以△BCF≌△DCE(SAS) 下： 13 所以∠F=∠E. 如图5所示，延长EB到点G,使BG 所以MF∥DE. =DF,连接AG, 因为AM∥DE, 因为∠ABC+∠D=180°，∠ABG+ 3 八年级数学沪科(AH) 第10~13期 ∠ABC=180°， ∠AEC=∠CFB, 所以∠ABG=∠D 在△AEC和△CFB中，因为 ∠CAE=∠BCF, AB AD, AC CB. 在△ABG和△ADF中，因为{∠ABG=∠D, 所以△AEC≌△CFB(AAS), BG DF, 所以AE=CF,CE=BF. 所以△ABG兰△ADF(SAS). 又因为EF=CF-CE, 所以AG=AF,∠1=∠2. 所以EF=AE-BF ∠BAD, 因为LEAF=2 能力提高5.(1)DE=BD+CE. (2)DE=BD+CE仍然成立.理由如下： 1 所以∠2+∠3=2∠BMD 因为∠BDA=∠BAC=QX,所以∠BAD+∠DBA=∠BAD +∠EAC=180°-Q.所以∠DBA=∠EAC 所以∠1+L3=宁∠BAD=∠EM,即∠CAE=∠EAK ∠BDA=∠AEC, 在△ABD和△CAE中，因为 ∠DBA=∠EAC,所以 又因为AE=AE, AB CA, 所以△AEG≌△AEF(SAS) △ABD兰△CAE(AAS). 所以EG=EF 所以BD=AE,AD=CE. 因为EG=BE+BG, 所以DE=AE+AD=BD+CE. 所以EF=BE+DF (3)由(2)得△ABD≌△CAE. 第12期2版 所以S AABD=SACAE· 14.2.2两角及其夹边分别相等的两个三角形 设△ABC的底边BC上的高为h,则△ABF的底边BF上的 基础训练1.A;2.C;3.△CDA;ASA;4.16; 高为h. 5.18. 因为BC=3BF,Sam=18,所以Sar=5。c=6,所 6.因为∠1=∠3，∠AHC=∠DHG,所以180°-∠1- ∠AHC=180°-∠3-∠DHG,即∠A=∠D.因为∠1=∠2， 以S△FBD+S△ACE=6. 所以∠1+∠HCB=∠2+∠HCB,即∠ACB=∠DCE.在 第12期3版 ∠ACB=∠DCE, 题号12345678 △ABC和△DEC中，因为 AC DC. 折所以△ABC兰 答案DBAADDDB ∠A=∠D, 二、9.稳定性；10.2.8；11.5；12.80° △DEC(ASA). AD CD, 14.2.3三边分别相等的两个三角形 三、I3.在△ADB和△CDB中，因为{AB=CB, 基础训练1.C；2.B;3.3. BD BD, 4.连接BC,图略.在△ABC和△DCB中，因为 所以△ADB≌△CDB(SSS). rAC DB, 所以∠ABD=∠CBD. AB=DC,所以△ABC≌△DCB(SSS).所以∠A=∠D. 所以BD平分∠ABC. BC CB. 14.因为AB=CD,所以AB+BC=CD+BC. 5.(1)因为BE=CF,所以BE+EC=CF+EC,即BC= 所以AC=BD. AB DE. 因为AE∥DF,所以∠ECA=∠FBD. EF.在△ABC和△DEF中，因为 AC=DF,所以△ABC兰 ∠A=∠D BC EF, 在△ACE和△DBF中，因为{AC=BD, △DEF(SSS).所以∠A=∠D. N∠ECA=∠FBD, (2)因为∠A=70°，∠B=40°，所以∠ACB=180°-∠A 所以△ACE≌△DBF(ASA): -∠B=70°.因为△ABC≌△DEF,所以∠DFE=∠ACB= 所以AE=DF 702.因为FG平分∠DFE,所以∠GFC=分∠DFC=359.所以 15.(1)因为∠BEG=∠CDG, 所以180°-∠BEG=180°-∠CDG,即∠AEB=∠CDA. ∠CGF=∠ACB-∠GFC=35°. 因为∠BEG=∠BAC, 能力提高6.8. 所以∠BAE+∠ABE=∠BAE+∠CAD. 14.2.4其他判定两个三角形全等的条件 所以∠ABE=∠CAD. 基础训练1.D;2.B；3.=. ,∠AEB=∠CDA, 4.因为AE⊥CD,BF⊥CD,∠ACB=90°， 在△BAE和△ACD中，因为{∠ABE=∠CAD, 所以∠AEC=∠CFB=∠ACB=90° AB CA, 所以∠CAE+∠ACE=90°，∠ACE+∠BCF=90°. 所以△BAE≌△ACD(AAS). 所以∠CAE=∠BCF (2)因为△BAE≌△ACD,所以S△BmE=S△ACD: 八年级数学沪科(AH) 第10~13期 因为BF=2CF, △AEF(SAS).所以GF=EF在△EDF和△EDC中，因为 所以S△BF=2S△ACF,S△BmF=2S△CDF, DF DC. 所以S△ABD=S△HBF-S ABDF=2S△ACF-2S△cDF=2S△ADc: ∠EDF=∠EDC,所以△EDF≌△EDC(SAS).所以EF= 所以SARDE=S△ABm-S ABAE=S△cn EDED, 所以小麦种植区△BDE里需要施肥200千克. EC.所以BE=CG=CF+FG=CF+EF=CF+CE. 16.(I)因为点F是AD的中点，所以AF=DF.在△AEF和 第13期2版 AF DF. 14.2.5两个直角三角形全等的判定 △DHF中，因为 ∠AFE=∠DFH,所以△AEF≌ 基础训练1.A;2.B;3.50 FE FH. △DHF(SAS). 4.(I)在R△A5B和R△AC中，因为1B=AC,所以 LAE AF, (2)因为△AEF≌△DHF,所以AE=DH,∠EAF= Rt△AEB≌Rt△AFC(HL).所以∠B=∠C=30.因为∠BAC ∠HDF.所以AB∥DH.所以∠B=∠HDC.因为AE=CD,所 =25°，所以∠CNB=∠C+∠BAC=55°.所以∠CDB=∠B DH DC, +∠CWB=85°. 以DH=DC.在△DHG和△DCG中，因为{HG=CG,所以 r∠C=∠B, DGDG. (2)在△ACN和△ABM中，因为{AC=AB, 所以 △DHG≌△DCG(SSS).所以∠HDG=∠CDG.所以∠B= L∠CAN=∠BAM, 2∠GDC. △ACN≌△ABM(ASA). 17.(1)如图6，延长AD交BC于 5.因为AD⊥BC,A'D'⊥B'C',所以∠ADB=∠A'D'B'= 点H.因为BD平分∠ABC,所以 ∠ABD=∠HBD.因为AD⊥BD,所 0P在AARD和AABD中，因为{B二A所以 以∠ADB=∠HDB=0°.在△ABD和 Rt△ABD≌Rt△A'B'D'(HL).所以∠B=∠B'.在△ABC和 ∠ABD=∠HBD, H AB A'B', △BD中，因为 BD BD. 所 图6 △A'B'C 中， 因为 ∠B=∠B',所以△ABC≌ L∠ADB=∠HDB, BC B'C', 以△ABD≌△HBD(ASA).所以SABD=SABD,AD=HD.所 △A'B'C(SAS). 以S△CD=S△HCD·因为△BDC的面积是5，所以S△ABc=SAAm 专题一 全等三角形的性质与判定 +S△AGH=2S△HBD+2S△H0m=2 S ARDC=10. 1.C;2.B;3.3. (2)如图6，过点B作BF⊥AC于点F,过点C作CE⊥BD 4.因为点D是BC的中点，所以BD=CD. 的延长线于点E.则∠BFC=∠CEB=90°.因为∠ABC= 因为CF∥AB, 2∠ACB,BD平分∠ABC,所以∠BCF=∠CBE.在△BCF和 所以∠BED=∠F. r∠BFC=∠CEB, ∠BDE=∠CDF, △CBE中，因为 ∠BCF=∠CBE,所以△BCF≌ 在△BDE和△CDF中，因为 ∠BED=∠F,所以 BC CB, BD CD, △CBE(AAS).所以BF=GE因为SAe=方BD·CE=5, △BDE≌△CDF(AAS).所以BE=CF. 5.(1)BF⊥CE,理由如下： Sc=AC,BF=10,所以AC=2BD 因为△ABC≌△DEC.所以∠ACB=∠DCE. 所以∠ACB+∠ACG=∠DCE+∠ACG. 附加题(1)LDFE; 所以∠BCG=∠ACD=60°. (2)∠AQB=∠APB或∠AQB+∠APB=180°； 因为∠B=30°，所以∠BGC=180°-∠B-∠BCG= (3)BE=CF+CE.理由如下： 90°，所以BF⊥CE. 如图7，延长BA,CD交于点G.因为 (2)因为△ABC≌△DEC,所以∠E=∠B=30°， ∠ACD是∠ABD的“边垂角”，所以CG⊥ 因为AC∥DE,所以∠ACE=∠E=30°.所以∠DCE= BD,AC⊥BG.所以∠EDC=∠EDF= ∠ACD-∠ACE=60°-30°=30°. ∠EAB=∠CAG=90°.所以∠B+ 6.(1)因为∠BAE=∠CAF=90°， ∠AEB=90°，∠C+∠DEC=90°.因为 B 所以∠CAE=∠BAF ∠AEB=∠DEC,所以∠B=∠C.在 图7 AE AB r∠B=∠C, 在△CAE与△BAF中，因为{∠CAE=∠BAF,所以 △ABE和△ACG中，因为{AB=AC, 所以△ABE≌ LAC AF, L∠BAE=∠CAG, △CAE≌△FAB(SAS).所以EC=BF. △ACG(ASA).所以AE=AG,BE=CG.因为∠FAC=45°，所 (2)设AC交BF于点O,因为△CAE≌△FAB, 以∠GAF=∠CAG-∠FAC=45°=∠FAC.在△AGF和 所以∠AFO=∠OCM. rAG AE. 因为∠AOF=∠COM,所以∠OMC=∠OAF=90°. △AEF中， 因为 ∠GAF=∠EAF,所以△AGF≌ 所以CE⊥BF. AF AF, (3)结论CE=BF成立，结论CE⊥BF不成立，理由如下： S 八年级数学沪科(AH) 第10~13期 同(1)可证△CAE≌△FAB. AB DB, 所以CE=BF,∠CMO=∠FAO=m. 因为{∠ABE=∠DBC, 因为m≠90，所以CE与BF不垂直， EB CB. 所以结论CE=BF成立，结论CE⊥BF不成立. 所以△ABE≌△DBC(SAS). 专题二用尺规作三角形 (2)BF=BG且BF⊥BG,证明如下： 基础训练1.C；2.C. 因为△ABE≌△DBC, 3.图略. 所以AE=CD,S△E=S△Dac 第13期3版 因为BF⊥AE,BG⊥CD, 题号12345678 所以宁BP,AB=合BG·Cn 答案CBB ADCDC 所以BF=BG 二、9.AB=DC;10.2;11.2或4： 在R△BEF和R△BCG中，因为JEB=CB, 12.40°或140°. BF BG, 三、13.图略. 所以Rt△BEF≌Rt△BCG(HL). 所以∠EBF=∠CBG, 14.因为CF⊥BE,所以∠CFB=90°.因为AD∥BC,所以 所以∠GBF=∠EBF+∠EBG=∠CBG+∠EBG= LAEB=∠FBC.在△AEB和△FBC中，因为 ∠CBD=90°，即BF⊥BG. r∠A=∠CFB 综上，BF与BG的关系为BF=BG且BF⊥BG ∠AEB=∠FBC,所以△AEB≌△FBC(AAS).所以AE= 附加题(1)因为∠ABC+∠ADC=180°， BE CB. 所以∠BCD+∠BAD=180°. FB. 因为∠BAD=90°，所以∠BCD=∠BAD=90°. 15.如图8，过点A作AH⊥DE于点 H. 在RIABAD和t△BCD中，因为{B:B所以 所以∠AHD=∠AHE=90° Rt△BAD≌Rt△BCD(HL). 因为CD=2,BD=3,所以BC 所以AD=CD. CD BD =5. (2)如图9，延长DC至点K,使CK= 因为DA平分∠CDE,所以∠ADH 图8 AP,连接BK =∠ADC 因为∠ABC+∠ADC=180°， ∠ACD=∠AHD, 所以∠BAD+∠BCD=180°. 在Rt△ADC和Rt△ADH中，因为 ∠ADC=∠ADH, 因为∠BCD+∠BCK=180°， ADAD, 所以∠BAD=∠BCK 图9 rAB CB. 所以Rt△ADC≌Rt△ADH(AAS) 在△BAP和△BCK中，因为{∠BAP=∠BCK, 所以AC=AH,HD=CD=2. AP CK. 在Rt△ABC和R△AEH中，因为AB=AE, 所以△BAP≌△BCK(SAS). LAC AH, 所以∠ABP=∠CBK,BP=BK 所以Rt△ABC兰Rt△AEH(HL). 因为PQ=AP+CQ,QK=CK+CQ, 所以EH=BC=5.所以DE=HD+EH=7. 所以PQ=QK 16.(1)因为AF⊥DE, BP BK. 所以∠DFA=90°=∠ABC. 在△PBQ和△KBQ中，因为{QP=QK,所以△PBQ≌ 在R△ADF和Rn△CAB中，因为F站， BO =BO, △KBQ(SSS). 所以Rt△ADF≌Rt△ACB(HL). 所以∠PBQ=∠KBQ=∠CBK+∠CBQ=∠ABP+ 所以∠DAF=∠CAB. ∠CBQ. (2)由(1)得∠DFE=∠ABC=90°. (3)如图10，∠PBQ=90°+ 在Rt△AEF和Rt△AEB中， 2∠ADC.理由如下： 1 因为{AEA所以Rt△AEF≌Rt△AEB(H) 如图10，在CD延长线上找一 点K,使得KC=AP,连接BK 所以EF=BE. 同(2)可得，∠ABP=∠CBK, 因为Rt△ADF≌Rt△ACB, ∠PBQ=∠KBQ. 所以DF=BC 所以∠PBK=∠ABC, 图10 所以DF=BC=CE+BE=EF+CE. 所以2∠PBQ+∠PBK=2∠PBQ+∠ABC=360° 17.(1)因为DB为△ACD的高， 所以2∠PBQ+(180°-∠ADC)=360°. 所以∠ABE=∠CBD=90°. 在Rt△EBA和Rt△CBD中， 所以LPB0=0°+分∠ADC 64 素养·拓展 数理极 数理据 25年9月17日星期三 初中数学 51-S27126 (上接第3版) 名师点睛 纸发行质量反喷电话 12期总第1156期 沪科 17,(14分)如图7，在△ABC中，∠A 0B5-52248 SSS 帮你看透全等的变脸术 八年级{AH =2∠ACB,BD平分∠ABC,AD⊥BD. (1)若ABDC的面积是5，求△ABC的面 上接4版参无答案 山西师范大学主管 山西师大教育科技传媒集团主办 社长：徐文伟 国内统一连埃出版物号：CN14-0707F 山东贺伟 61 积 拾是川中的一项绝活，这不.全等三角 变触二：两个三角形有一条边围合 BC 专导☑ 三，已如一边、一角对应相等 (2)求证：AC=2BD 形也玩起了“变“，它以各种不同的面孔出现 例2如图3，已知AB 添加条件证全等 A信=D 我们面前，但只要同学队真观图形，熟 =DC,AC=DB,试说明 ∠B=LA 餐相了产的定方法 sSS”,就能透过段 AARC ADCB 分析：在△ABC与 0南景文俊 汽已角的男一标发封地相等：雪是具通 有具看清其真面目，从而说期两个三角形全等 湖个三角形全等的判定方法有“55”。 ∠E,不能判定△ABC二△DEF: 8G甲EF,然6是用“s5所发全等 △)C甘中，已经给出了 真面目：如图1，△ABC和△DEF是两个能 时边￥：AB=DC,AC=DB,叠明三角形全 SAS”,“ASA”,AAS”及直角三角形中的 加上A= ∠FDE,根据"SAS 判 全重合的三角形，则△ABC△DEF H”(见.下期1它门需更个名牛，而常风购 △ABC△DEF 等还缺少一个条件，已知两速相等，我们通常考 虑应月“SAS”成“SSS”,找AB与AC的角 以AFDE 试题在在只给出两个明显的已知条件，面对“一 故逃 对为AE ∠A.DC与DB的夹角∠D是否相等或第三条边 ”的局面，列选择绸种方法来定呢？ 二，已知两角对应相 以点A,M,F BC与CB是否加等，而由于BC与CB是公共边 名白战上 ,已知两边对应相等 例3 如图3已知 故BC=CB,摄“5S55”,问题解 (2山中1n An=D 2DAB=∠4R占AB月 B 变胜一：两个三角形有部分公共边 解：在△ABC与△DCB中， 的长为40 BC EF 共线，加下列条件不能判 17.1》D因为 例1如图2，已知AR 因为AB=DC.AC=DB,BC=CB R4C=∠ME, 定△DAB≌△CAB的是 第三边对柏等：首先利C■DP, DE.AC DF.BF 所以△ABCO△DCB(SSS). <UC 6三则“55”料定金手 EC,那么△ABC和△DEF 评注：太题要抓住公共，据等三角形 ∠MC,即LBMD 汽已和一是的转透转平：管走封期A三D司 A.∠DBF=∠CBF 结产如两海的会自转后制学，重春然 的方法“5”,是明两个三角形企 附加题⊙ 全等吗？请说明理由， CAE 点者队=历，城后盒“A5”同龙全等 R∠D=∠C 例3如图4，AB=DC 又因为40 C DA CA (以下试慧供各地级据实际情况达用) 分析：条件中已经如道了两组对边#等，我 如图2，AC,BD相 AC=DB,试说月：AB∥CD -AC 例1 如图1.已知AB 例2 D.DB CB 【阅读理解】定义：如图1，在同一平面内 们再知道一组对边相等抑可封定全革.由已知 分析：要说明AB∥CD 所以△AD :DE.AD=CF,加下列 交干点0，∠A=∠D,请你再 解析：由图可知，AB是公共边 中的BF=EC,我们再站合困形，不埠得到BC 只需∠ABC=∠DCB,委说 AACELSASI 点A,B分别在射钱PW,PN上，过点A垂直了 2C上EC,理由 条件，能判定△ABCa 补充一个条件，使△AOB二 sm∠DB北=∠CB北，5为∠DAB= PM的直线与过点B垂直于PV的直线交T点 =EF,依据“S55"中可说明全等 明∠ABC=∠DCB,只需说 △DEF的是 ADOG,你补充的条件是 LCAB,所以LDBE-∠DAB=∠CBE Q,把∠AQB称为∠APB的“边垂角” 解：△ABC≌△DEF.理由如下 明△ABC≌△DCB (2)a+8=180 A AC DE ∠CAB即∠D=∠C.根据AAS”判定△DAB 因为BF=EC. 解：在△ABG和△DCB中 由 附加 B.∠A=∠FDE 解析：由对顶角相等，得∠AOB=∠D0C a△CAB: 所以BF+FC=EC+FC.即BC=EF 为为AB=DG,AC=DB,BC=CB C.∠ACB=∠F 要定△40B2△D0C,应添如一组边对应相 加∠D·∠C,根据“AAS”判定△D4B 以△ARC≌△DCB(SSS) 在△ABC和△DEF中 (2)(1)中的 D.∠B=∠E ≌△CAB: 所以∠ABC=∠DCB 藤加DA=CA,根据“SAS定△DAB 因为AB=DE,AC=DF,BC=EE 解析：因为AD=CF,以AD+CD=CF+ 藤加A0■D0,根据“ASA判定△AOB CLAR /CD 1△ABC ADEP(SS3 DF,连接AG, CD.即AC=DF,要判定△ABC△DEF,已经 △DOC 【迁移运用】(1)如图2，CD,BE是△AB 评注：在利周“SSS”来说，明两个三角影公 添加DB=CB.无法定△DAB≌△CAB 评注：尽可能从已知条件中发现隐含的羊 添加AB=DC成B0=CO.根据“AAS”判 的两条高，且交于点F,则∠DAE的“边垂角 等时，一定要看清楚是否是这两个三形的对 有两边对应相等，应添加这两边的夹角对应相 因为∠AC 故选D 量关系是解决此夹网题的关健： 等或第三边对定相等 市△A0Ba△D0C 应边相等，否则客易产生错误， 加AC=DF或∠ACB=∠F∠B 故填AO=DO或AB=DC或BO CO. (2)若∠A0B是∠APB的“这垂角“，则 第11期2版参考答案 本周主拼 ∠AQB与∠APB的数量关系是 4. 【全等三角形及其性质 品味方法 (3)图3，∠ACD是∠ABD的"边垂角 在△ABC 42三角形全等的判定ASA 基到训练 1.C:2.C:3.A;4A:548°： A0,CDCD,CE,即4C= 且AB■AC.BD交AC于点E,延长CD至点F 613；7.21 C=FE, 截长补短来帮忙 学习目标：探索判定三角形全￥的方 使DF■CD.连按AF,EF.且∠FAG■45°，写 只桌 在△4C和△5F中， SA,S55,AA5,并能利用它们进行正明 9.《I}因为△ACa△D,开月1AC=EF 出BE,CF,CE的数量关系并说明理由， CF EF CF.AF CE. 闭以△4CB二△0EsAS). 认知重点：会选取适当的判定方法进行三 (2 上的度数为36 IAR DE Q山西 江鸿哲 帝形公￥的玉第 力提高1a,由析在性质得△GEF≌△C"5F, 第1期3版参考答案 AF. 问题：如密1，已知AC 因为AC∥BD,所以∠C+∠D=180°，又因 AF=AB 所以∠CF=∠CEF=号LCEC,∠CFE= 题2345678 D.AE.E分别平 ∠EFB+∠AFE=I0,以∠EFB=∠D,因 AAEF和△AEB中，用为 因为 LEAF FAE=∠BAE,所 卷BA C 8 C A D ∠CAB.∠DBA.且CD经 为BE单分∠DBA,所以∠FBE=∠DBE 在 AEAE。 =.4.1040,11.120.1264 点E,试判断AB与AG+BD ∠EF君m∠D. 折以∠CEC=80-∠BEC.∠CFC=I0 三因为AB∥DE,以LACAE 所以∠2·∠3 的数量关系，并说明理由 △BEF和△BED中，因为 ∠FE=∠DBE.所 =∠ABE丙为BE平分∠DBA,以∠ABE= "D. 8-DA ∠B 方法一戴长法 BEBE. ∠DBE所以∠F=∠DBE,因为AC∥BD.所以 在△AC和△DE中.因为 所以LCEF-LE=W-子LBEC, 所以∠1，∠3 思路分析：在线经AB上藏原AF=AC,连接以△BEFa△BED(AAS).庆以BF=BD.因为 ∠ECF=∠D.在△CEF和△DEB中，因为 C DE. EF,根搭“SAS”可得△CAE△FAE,则∠C= A8 AF+BF,所以AB AC BD r∠ECF=∠D. LCE=7LC=90-∠C'FD. 以△ABC二△HEsAs. ∠AFE,从5得出CEB=∠D.根暴“AA5” 方法二：通法 hIC=E LF=∠EBD.所以△CEF≌△DEB(AAS) 所2C=10-∠EF-2E=0-0+ 14∠：为数为5 △BEF≌△FD,则BF■D,从而得到AB 思路分析：延长AC到点F,使AF■AB, EF EB 15.(1)因为C是母A是的中点，所21心 与AC+BD的量关系 AEF根据“SAS”可得△AEF2△AEB,则∠F 所以FC=BD因为AB=AF=AC+FC,所以 解：AB=AC+B).用由F =∠ABE,EF=EB.再根描“AAS”可得△CEF AB AC BD. 14.2三角形全等的判定 -E 图2，在AB上位取 △DEB,则FC=BD,从而得出AB与AC+BD 温晨提示：藏关法和下姐法是解决企等 14,21两边及其夹角 年的两个三角而 [4C Bc. AF=AC,连接EF 的数量关系 形中线的和、是待、等题日的常用方法 基训1：2.D:3 在△CD和△BE中，因 所以FBE 因为AE平分∠CB 解：AB=AC+BD.理由 老通日的条件或待求结论中会有“a=b+ 4.215.81668 CD CE 要源：城助战时应美虑散长法或外2法。其其 7.于客. L△ACD ARCELSAS) 所以∠CAE■∠FAE,在 故理报社试题研究中 (全文完) AC AF, 宦力提富8.月为∠1+∠2=1D,∠1+∠沿 2)4B的度载为0 如图3，延长AC至点F 参考答案见下期 ■180P (下转1,4版中缝 △CE和△FAE中，因为 ∠CAE=∠FAE,所 使AF=AB,连接EF 短的线段相，或是特一条权姬的战段长，使 E4E 因为AE平分∠C4B,明 之与置长的就段相多，再利用套多三角影的相 以△CAE≌△FAE(SAS),所以∠C=∠AFE 以∠FAE=∠BAE 在 识进行镜明 2 素养专练 数理极 数理极 素养·测评 3 14.2,3三边分别相够的两个三角形 14,2,4其他判定两个三角形全等的条件 14.(8分)如图14，点A,B,C,D在同一条直 跟踪训练 使团训练 厚迎圳练 同步检测 线上，AB=CD,AE∥DF,EC∥BF.求证：AE= 1.下列三角形中，与图1所标的△ABC全等 1.如图1，AC=CD,∠B=∠B=90°，AC1 ● 14,2,2两角及其夹边分别相等的 CD,不正确的结论是 TONGBUJIANCE 两个三角形 A,∠A与∠D互为余角 【检测范田：14,2,2-14,24】 堡配训练 心合 B.∠A=∠2 一，精心选一选（年小题4分，共32分） C.AABC△CED 题号113 5678 1,王师博不小心将一块瓷砖棵醉了，摔成如 D.∠1=∠2 图1所示的三块，现要去砖生产厂切一块完 2.如图2.ABAC,EB■EC,则由“s5S ,工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的 全样的必砖，下携带方式可行的是( 以直接判定 方法来平分一个角.图1，在∠AOB的两边OA, A只携带①去 B.只携带②去 A.AABD△AACD B,△ABE AACE 0B上分别取点C,D,使0C=0D.移动角尺.使角 8.如图8，在△ABC中，∠A60°，∠ABC和 C.只携带③去 D.带2和力 C.△BDE△CDE D.以上都不对 尺两边相同的刻度分别与点C,D重合，这时过角 LACB的平分线BD,CE相交于点O,BD交AC 2.如图2，在△ABG中，D是AB边上的一点， 尺顶点的线就是∠A0B的平分线.这里构造全 点D,CE交AB于点E若BC=7,BE=4,则CD的 15.(10分)李大爷有块三角彩农田，如图15， DF交AC于点E,DE=EF,FC∥AB,若BD=1, 等三角形的依据是 长为 笔直的小路AG从农田△ABC中字过，李大爷把农 CP=3,uAB的长为 A.SAS B.ASA A B.3 田分成若干块分别种上小麦和油菜，其中△D A.3 B.4 C.5 D.6 C.AAS D.sss C4 D,下法角 和△ACD种植小麦，李大爷发现AB=AC,小路AG 3.如图3，△ABC中BC边上的高为4，△DE5 2.如图2，为了刚量B点与河对面的日标A之 二、细心填一填（每小4分，16分】 与小路BC交于点F,且BF=2CF,点E,D在小路 的距离，在B点同侧选择了一点C,薄得∠ABG 3.如图3.在四边形ABCD中，对角线AC,B 中DE边上的高为，则A (填 9,如图9，学校门1口设置的移动相马都用管 AG上，且∠BEG=∠CDG=∠BAC, ■5=，∠AC君m30°，然台在7了元杆，电 目交F5),且AB=AD.CB=CD,0中比有 早接成三角形，这样做的数学原理是利用了三角 (I)求证：△BAE2△ACD: ∠CBM=65°，∠MCB=30°，得到△MBC 对全等三角形 《雄“稳定性”我“不移定性”】 (2)小麦种植区△ACD里蒂要胞肥200千克 △ABC,所以渊得MB的长就是A,B两点间的阳 4.如图4.AC=BD.连接AB.CD.且AB (同针发作物的施肥量和农田的面积成正比)，请 离，这里判定△MBG二△ABC的理由是( CD.求F:∠A=∠D 13 6下 2.如图2.在△ABC中，点D,E.F分别是BC 你智李大谷算一下小麦种植区△BDE里需要施肥 A.SAS B.SSS AB,AC上的点，若∠B=∠C,BE=CD,BD=CF 多25？ C.ASA D.AAS 4.如图4，∠ACB=90P,AC■BC,CD是经过 ∠EDB=44,则∠CFD的度数为 3.如图3AB∥CD,AD∥BC,则△AB 点C的一条直线，过点A,B分别作AE⊥CD,BF A.36 B.44 C.0 D.40 ,根据是 LCD,是为E,F,求证：EF=AE-BF 10如图10，在△ABC中，∠ARC■90°，C⊥ 3.图3，已知∠1=∠2，AG=AD,增加下列 条件，不能使△ABC兰△AED的是 BD,AC=BD.若DE⊥BC,AB■3,2，BC=6.则 CE的长为 A.BC ED 我AB■AE 11.小乐与朋友门周末去游乐园乘坐海盗妈 玩（如图11一①》，想了解海盗船摆动到最高点 C∠G=ED 位时的高度如图11-②，当静止时海盗船位于 3 D.∠B=∠E 知面步力.上法经至出面的日这背)三10m 4.如图4，点B在AE上，若∠CBA=∠DB 低刀提高 来客坐的过程中，当海盗船静止在点A处时，AC1 ∠CAB=∠DAB,AC=5.BD=3,四边形ADB0 5.在直线m上依次取互不重合的三个点D BD,时薄得点A到铅垂线BD的距离AC=5m 的周长为 A,E,在直战m上方有AB=AC,且满足∠BDA= 当船头从A处摆动到4”处时发现船头处在最高位 16.12分)m图16，年△ABC中，D为i力BC 5.如图5，D是 5.如图5，点B,E,C.F在一条直线上，4B= LAEC■∠BAC■ 置处，此时，'B上AB,则求点'到地面的距离为 点，E为边AB上一点，且AECD,连按AD,F为 △ABC内一点，且AD平 DE,AC=DF,BE=CF,FG平分∠DFE交AC于 AD的中点，连接EF并延长，交ACT点G,在FG上 分∠B4C,CD⊥AD,连 【积累经验】(1)如图5，当a=90时，猜想 点0 旋BD,若△ABD的面积 段DE,BD.CE之间的数量关系是 4如图4.已知E⊥AD于点E.CF⊥AD] 取点H,使FH=FE连接D,GD.若HG=CG,求 (I)求证：∠A■∠D: F,且BE=CF,则AD是△ABC的 为9，B2、△ABC时新利 (2)若∠A=70,∠B=40,求∠CGF的 是 A.中线 B.高线 (I)△AEF△DHF: 6如6.已知4C=DC.∠1=∠2=∠3，求 C.角平分钱 (2)∠B=2∠GDC D.无法确遍 证：△ABCa△DEC 5.女如图5年△ABC中.AR=AC,D.P是BC 【类比迁移】(2)如图6，当0°<a<180时 的四等分点，图中的全等三角形共有( 12.如图12，在△AC中， 问题《1)中的结论是否仍然成立？如成立，请说明 AI对 B,2对 C.3对 D,4对 AC>AB,点D在边AB的证长 理由 钱上AD=AC,在C上有一点 【拓展应用(3)如图7，在AABC中，∠BA E使得GE■DE,连接AE.若 是钝角，∠BAD<∠CMB,直线m与CB的延长 ∠AEB=50,则∠BED的度数 交于点F,若C=3BF.△ARC的面积是18， 出△FBD与△ACE的面积之和 三、耐心解一解（共52分） 6.如图6，点B的坐标为(4,1)，AB=0B 13.(8分)如图13，四边形ABCD中，AD ∠B0■90°，则点A的坐标是 CD,AB=GB戌门出5这中时日1边分别相事的L A.(2,4)B.(2,5)C.(3.4) D.(3,5) 边形做筝形.AC.BD是筝形的对角线求证：BD 7.如图7.在△ABC中.∠ACB=0.CH⊥ 平分∠ABC AB,垂足为点H.AD平分∠BAC,与CH相交于点 6如图6,4B=2,BC=AE D,过点D作DE∥BC,边AB相交干点E,连摇 6,CE=CF,BF=8,若四边形 CE,则下列结论中一定正确的是 1BDE的面积为8，则△CDF的面 数理报社试题研究中心 AAD DE B.AC EC 积品 「参考答案见下期] C.AD CD D.CD DE (下转第4版