第11期 14.1 全等三角形及其性质 14.2 三角形全等的判定 (SAS)-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（沪科版2024 安徽专版）

八年级数学沪科(AH) 第10~13期 装理报 答案详解 2025~2026学年 八年级数学沪科(AH) 第10~13期 10期1,2版综合测评卷（一） LABC. 一、 题号12345678910 因为OD⊥OB, 答案AABBBDC CBD 所以∠BOD=90°. 二、11.60°；12.如果(a+b)2=a2+b2,那么a=0或b 所以∠AD0=∠BOD+∠DB0=90°+ =0:13.21416:15.20,或号安号 ∠ABC= ∠AOC. 三、16.因为∠A=80°，∠C=40°，所以∠ABC=180°- (2)因为BF平分∠ABE,CF平分∠ACB, ∠A-∠C=60°.因为BD是△ABC的角平分线，所以∠DBC 所以LFBE= ∠ABE,∠FCB=7∠ACB ∈7∠ABC=30°，因为DE∥BC,所以LBDE=∠DBC白 所以LF=∠FBE-∠FCB=(LABE-LACB)= 30°. 17.(1)A(1,3),A'(-3,1),B(2,0) 2∠BAC=∠DA0=32 (2)由平移的性质得AA'∥CC',AA'=CC. 所以∠AOD=180°-∠AD0-∠DA0=38° (3)因为三角形ABC经过平移得到三角形A'B'C',平移方 21.(1)1号气球以8米/秒的速度匀速上升，30秒时上升 式是先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度， 的高度为：8×30=240（米）.因为气球是从海拔10米的A处出 所以若点P'(x,y)是三角形A'B'C'内部一点，则平移前三 发，所以点B的纵坐标为：240+10=250（米），横坐标为30秒， 角形ABC内部的对应点P的坐标为P(x+4,y+2) 即点B的坐标为(30,250). 故填(x+4,y-2). 2号气球以6米/秒的速度匀速上升，到达C点250米高度 18.（1)将A(1,4),B(2,2)代入y1=kx+b(k≠0)，得 所需时间为：(250-10)÷6=40（秒），所以点C的坐标为(40， [+力三4；解得一2，所以该一次函数的表达式为1= 250). 2k+b=2. 1b=6. 故填(40,250). -2x+6. (2)y2=6x+10. (2)对于y=-2x+6,因为k=-2<0,所以y随x的增 (3)①当0≤x≤30时，由题意，得y1=8x+10,2=6x 大而减小.所以在-2≤x≤2范围内，当x=-2时，少取得最 +10,则两气球高度之差h=y1-为=(8x+10)-(6x+10) 大值，此时y1=-2×(-2)+6=10,所以最大值为10. =2x.令h=60,即2x=60,解得x=30.所以2=6×30+10 (3)由题意画草图如图1，由图象 1=-2x+6y =190(米).所以在0≤x≤30这个时间段内，当两气球高度之 可知，在两条直线交点的左侧，总有y1y=-x+2m6 差等于60米，此时2号气球的高度是190米. >y2·因为两条直线交点的横坐标为 ②当30<x≤40时，由题意，得y1=250,y2=6x+10, 12-2m,所以m≤12-2m.所以m≤ 12-2m 则两气球高度之差h=y1-为2=250-(6x+10)=240-6x 令h=60,即240-6x=60,解得x=30,不合题意，舍去. 19.(1)根据题意，得2a+3a+1= 综上，当两气球高度之差h等于60米，2号气球的高度是 图1 Q解得a=一分 190米. 10期3,4版综合测评卷（二） (2)根据题意，得-2a-(3a+1)=9.解得a=-2.所以 一、 题号12345678910 2a=-4,3a+1=-5.所以点A的坐标是(-4，-5). 20.(1)①115°，115°. 答案C D C D C A D C A C ②∠AOC=∠AD0.理由如下： 二、11.如果一个数是无限小数，那么这个数是无理数； 因为△ABC中，三个内角的平分线交于点O,所以∠OAC 12.2;13.45,锐角，等边；14.4； =方∠BAC,∠0CA=∠ACB,∠AB0=分∠ABC 15.(-3,-1)或(-3，-4). 三、16.图略. 所以∠A0C=180°-（∠0AC+∠0CA)=180°- 17.因为AB∥y轴， 之（∠BAC+∠ACB)=180-子(180°-∠ABC)=90+ 所以A,B两点的横坐标相同， 所以2a-2=-2.解得a=0. 八年级数学沪科(AH) 第10~13期 所以A(-2,2),B(-2,4), 故填(4,6)；(4,6). 所以A,B两点间的距离为：4-2=2 (2)如图2，分两种情况：当点P在OC 18.(1)因为BD,CE是△ABC的两条高， 上时，由题意，知OP,=4,则点P的运动时 所以∠ADB=∠AEC=90° 间为：4÷2=2(s);当点P在AB上时，AP2 P 所以BD⊥AC,CE⊥AB. =4,则BP2=AB-AP2=6-4=2,所以0C 所以∠A+∠ABD=90°，∠A+∠ACE=90°， +BC+BP2=6+4+2=12,则点P的运动 所以∠ABD=∠ACE. 时间为：12÷2=6(s). 0 综上，当点P到x轴的距离为4个单位 图2 (2)因为∠A+∠ABD=90°， 所以∠ABD=90°-∠A=90°-70°=20° 长度时，点P运动的时间为2s或6s 因为CE⊥AB, (3)设点P的运动时间为ts,三角形OBP的面积是10，分 所以∠BEC=90°. 以下两种情况：当点P在OC上时，则OP=2t,所以S△oBP= 所以∠ABC+∠BCE=90°. 0p,BC=10,即宁×2Ix4=10,解得1=三：当点P在BC 1 5 所以∠BCE=90°-∠ABC=90°-60°=30° 所以∠EOD=∠ABD+∠BEC=20°+90°=110°. 上时，0C+CP=2,则BP=10-2,所以Saom=0C,BP 19.(1)因为一次函数y=kx+b的图象经过(-1，m), ksL-m =10即7×6×(10-2)=10，解得1=9 （m,1)两点，所以一k+6=m,解得 m+1' (mk+b 1. 6=m2+1 综上，当点P的运动时间为子或号：时，三角形0BP的 m+1… 面积是10. 因为m>1, 所以1-m<0,m+1>0,m2+1>0, 第11期2版 所以k<0,b>0, 14.1全等三角形及其性质 所以该函数的图象经过第一、二、四象限 基础训练1.C;2.C；3.A;4.A;5.48°； (2)因为b=2k+3, 6.13；7.21. 8.如图3. 所以y=kx+b=kx+2k+3,即y=k(x+2)+3 对于任意实数k,都有当x=-2时，y=3, 所以对于任意实数k,其图象都经过定点(-2,3) 故点P的坐标为(-2,3). 20.(1)由题意，得当x<180时，y与x之间的关系式为y =4.4x(x<180). 图3 (2)当180<x≤300时，y与x之间的关系式为：y=4.4 9.(1)因为△ABC≌△EDF,所以AC=EF ×180+5.95(x-180)=5.95x-279. 所以AC-CF=EF-CF,即AF=CE. 当x>300时，y与x之间的关系式为：y=4.4×180+5.95 (2)因为△ABC≌△EDF,所以∠B=∠EDF ×(300-180)+10.6(x-300)=10.6x-1674. 因为∠ADE=2∠B,所以∠ADF=∠ADE-∠EDF= 当44=911时，解得x=207元（舍去）： ∠B. 因为∠DAF=∠AFD=2∠B, 当5.95x-279=911时，解得x=200;当10.6x-1674= 所以在△ADF中，根据三角形内角和定理，得∠DAF+ 91时，解得x=243给（合去）， ∠AFD+∠ADF=5∠B=180° 解得∠B=36°. 综上，2024年小明家用了200t水. 所以∠AFD=72°，∠EDF=36°. (3)建议：适当调整各阶梯的水量标准。 所以∠E=∠AFD-∠EDF=36°. 原因：随着生活水平提升和用水设备普及，部分家庭用水 能力提高1O.由折叠的性质得△CEF≌△C'EF, 量增长较快.若阶梯水量标准过低，大量家庭易进人高收费阶 梯，增加经济负担；适当调整标准可平衡居民用水成本与节水 所以LCEF=∠C'EF=∠CEC,LCFE=LCFE= 意识，既减轻负担又引导合理用水. 1 21.(1)因为a,b满足/a-4+lb-61=0,所以a-4= ∠CFC', 0,b-6=0.所以a=4,b=6. 所以∠CEC'=180°-∠BEC',∠CFC'=180°-∠C'FD, 所以点A的坐标为(4,0)，点C的坐标为(0,6).所以0A= 所以∠CEF=∠CEC=90-7∠BEC,LCFE- 4,0C=6. 因为四边形OABC为长方形，所以BC=OA=4,OC=AB 340FC=0-7CFD, =6,所以点B的坐标为(4,6). 所以∠C=180°-∠CEF-∠CFE=180°-90°+ 当点P运动5s时，点P的运动路径长为：2×5=10=0C +CB,此时点P与点B重合，所以P(4,6) E0FD(LFD LBEC). 一2 八年级数学沪科(AH) 第10~13期 14.2三角形全等的判定 所以点A,M,F在一条直线上 14.2.1两边及其夹角分别相等的两个三角形 (2)由(1)知△BCF≌△DCE. 基础训练1.B;2.D:3.B;4.2;5.8;6.68 因为DE=100米， 7.因为AC∥CE,所以∠ACB=∠E. 所以BF=DE=1O0米 BC DE, 因为BM=40米，FV=20米， 在△ABC和△CDE中，因为 ∠ACB=∠E, 所以MN=BF-BM-FW=40米， AC CE, 答：山中隧道MW的长为40米. 所以△ABC≌△CDE(SAS). 17.(1)①因为∠BAC=∠DAE, 所以∠B=∠D. 所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD= 能力提高8.因为∠1+∠2=180°，∠1+∠ACB= ∠CAE. 180°， 又因为AD=AE,AB=AC, 所以∠2=∠ACB. 所以△ABD≌△ACE(SAS) 因为AD=CE, ②BC⊥EC,理由如下： 所以AD+CD=CD+CE,即AC=DE. 因为△ABD≌△ACE,所以∠B=∠ACE. BC FE, 所以∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠BCE. 在△ACB和△DEF中， ∠ACB=∠2， 又因为∠BAC=90°， LAC DE, 所以∠B+∠ACB=90°， 所以△ACB≌△DEF(SAS). 所以∠BCE=90°. 所以AB=DE 所以BC⊥EC. 第11期3版 (2)a+B=180°，理由如下： 题号12345678 由(I)得∠B=∠ACE. 所以∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠BCE=B. 因为a+∠B+∠ACB=180°， 二、9.DA;10.40°；11.120°；12.64. 所以a+B=180° 三、13.因为AB∥DE,所以∠BAC=∠ADE. 附加题(1)EF=BE+DF.理由如 AB DA. 下： 在△ABC和△DAE中，因为{∠BAC=∠ADE, 如图4所示，延长EB到点G,使BG= AC DE, DF,连接AG, 所以△ABC兰△DAE(SAS). 因为∠ABC=∠D=90°， 所以∠C=∠E. 所以∠ABG=180°-∠ABC=90. 图4 14.因为△ABC≌△ADE,所以∠AED=∠ACB=105°. 所以∠ABG=∠D. 因为∠D=25°，所以∠DAE=180°-∠D-∠AED= AB AD, 50°. 在△ABG和△ADF中，因为{∠ABG=∠D, 因为∠CAD=10°，所以∠GAC=∠DAE+∠CAD=60°. BG DF, 所以∠G=∠ACB-∠GAC=45°. 所以△ABG≌△ADF(SAS). 15.(1)因为C是线段AB的中点，所以AC=BC 所以AG=AF,∠BAG=∠DAF 因为CD平分∠ACE,CE平分∠BCD, 所以∠ACD=∠DCE=∠ECB=60°. 因为∠EF=分∠BD, AC BC, 在△ACD和△BCE中，因为 ∠DCA=∠ECB. 所以∠BME+∠DF=之∠BMD CD CE, 所以∠BAE+LBAG=LBAD=LEAF,即∠GAE= 所以△ACD≌△BCE(SAS). (2)因为△ACD≌△BCE, ∠EAF. 所以∠E=∠D=40° 又因为AE=AE, 所以∠B=180°-∠E-∠ECB=80° 所以△AEG≌△AEF(SAS), 16.(1)由对顶角相等，得∠BCF=∠DCE. 所以EG=EF BC DC. 因为EG=BE+BG, 在△BCF和△DCE中，因为{∠BCF=∠DCE, 所以EF=BE+DF CF CE, (2)(1)中的结论仍然成立.证明如 所以△BCF≌△DCE(SAS) 下： 13 所以∠F=∠E. 如图5所示，延长EB到点G,使BG 所以MF∥DE. =DF,连接AG, 因为AM∥DE, 因为∠ABC+∠D=180°，∠ABG+ 3 八年级数学沪科(AH) 第10~13期 ∠ABC=180°， ∠AEC=∠CFB, 所以∠ABG=∠D 在△AEC和△CFB中，因为 ∠CAE=∠BCF, AB AD, AC CB. 在△ABG和△ADF中，因为{∠ABG=∠D, 所以△AEC≌△CFB(AAS), BG DF, 所以AE=CF,CE=BF. 所以△ABG兰△ADF(SAS). 又因为EF=CF-CE, 所以AG=AF,∠1=∠2. 所以EF=AE-BF ∠BAD, 因为LEAF=2 能力提高5.(1)DE=BD+CE. (2)DE=BD+CE仍然成立.理由如下： 1 所以∠2+∠3=2∠BMD 因为∠BDA=∠BAC=QX,所以∠BAD+∠DBA=∠BAD +∠EAC=180°-Q.所以∠DBA=∠EAC 所以∠1+L3=宁∠BAD=∠EM,即∠CAE=∠EAK ∠BDA=∠AEC, 在△ABD和△CAE中，因为 ∠DBA=∠EAC,所以 又因为AE=AE, AB CA, 所以△AEG≌△AEF(SAS) △ABD兰△CAE(AAS). 所以EG=EF 所以BD=AE,AD=CE. 因为EG=BE+BG, 所以DE=AE+AD=BD+CE. 所以EF=BE+DF (3)由(2)得△ABD≌△CAE. 第12期2版 所以S AABD=SACAE· 14.2.2两角及其夹边分别相等的两个三角形 设△ABC的底边BC上的高为h,则△ABF的底边BF上的 基础训练1.A;2.C;3.△CDA;ASA;4.16; 高为h. 5.18. 因为BC=3BF,Sam=18,所以Sar=5。c=6,所 6.因为∠1=∠3，∠AHC=∠DHG,所以180°-∠1- ∠AHC=180°-∠3-∠DHG,即∠A=∠D.因为∠1=∠2， 以S△FBD+S△ACE=6. 所以∠1+∠HCB=∠2+∠HCB,即∠ACB=∠DCE.在 第12期3版 ∠ACB=∠DCE, 题号12345678 △ABC和△DEC中，因为 AC DC. 折所以△ABC兰 答案DBAADDDB ∠A=∠D, 二、9.稳定性；10.2.8；11.5；12.80° △DEC(ASA). AD CD, 14.2.3三边分别相等的两个三角形 三、I3.在△ADB和△CDB中，因为{AB=CB, 基础训练1.C；2.B;3.3. BD BD, 4.连接BC,图略.在△ABC和△DCB中，因为 所以△ADB≌△CDB(SSS). rAC DB, 所以∠ABD=∠CBD. AB=DC,所以△ABC≌△DCB(SSS).所以∠A=∠D. 所以BD平分∠ABC. BC CB. 14.因为AB=CD,所以AB+BC=CD+BC. 5.(1)因为BE=CF,所以BE+EC=CF+EC,即BC= 所以AC=BD. AB DE. 因为AE∥DF,所以∠ECA=∠FBD. EF.在△ABC和△DEF中，因为 AC=DF,所以△ABC兰 ∠A=∠D BC EF, 在△ACE和△DBF中，因为{AC=BD, △DEF(SSS).所以∠A=∠D. N∠ECA=∠FBD, (2)因为∠A=70°，∠B=40°，所以∠ACB=180°-∠A 所以△ACE≌△DBF(ASA): -∠B=70°.因为△ABC≌△DEF,所以∠DFE=∠ACB= 所以AE=DF 702.因为FG平分∠DFE,所以∠GFC=分∠DFC=359.所以 15.(1)因为∠BEG=∠CDG, 所以180°-∠BEG=180°-∠CDG,即∠AEB=∠CDA. ∠CGF=∠ACB-∠GFC=35°. 因为∠BEG=∠BAC, 能力提高6.8. 所以∠BAE+∠ABE=∠BAE+∠CAD. 14.2.4其他判定两个三角形全等的条件 所以∠ABE=∠CAD. 基础训练1.D;2.B；3.=. ,∠AEB=∠CDA, 4.因为AE⊥CD,BF⊥CD,∠ACB=90°， 在△BAE和△ACD中，因为{∠ABE=∠CAD, 所以∠AEC=∠CFB=∠ACB=90° AB CA, 所以∠CAE+∠ACE=90°，∠ACE+∠BCF=90°. 所以△BAE≌△ACD(AAS). 所以∠CAE=∠BCF (2)因为△BAE≌△ACD,所以S△BmE=S△ACD: 八年级数学沪科(AH) 第10~13期 因为BF=2CF, △AEF(SAS).所以GF=EF在△EDF和△EDC中，因为 所以S△BF=2S△ACF,S△BmF=2S△CDF, DF DC. 所以S△ABD=S△HBF-S ABDF=2S△ACF-2S△cDF=2S△ADc: ∠EDF=∠EDC,所以△EDF≌△EDC(SAS).所以EF= 所以SARDE=S△ABm-S ABAE=S△cn EDED, 所以小麦种植区△BDE里需要施肥200千克. EC.所以BE=CG=CF+FG=CF+EF=CF+CE. 16.(I)因为点F是AD的中点，所以AF=DF.在△AEF和 第13期2版 AF DF. 14.2.5两个直角三角形全等的判定 △DHF中，因为 ∠AFE=∠DFH,所以△AEF≌ 基础训练1.A;2.B;3.50 FE FH. △DHF(SAS). 4.(I)在R△A5B和R△AC中，因为1B=AC,所以 LAE AF, (2)因为△AEF≌△DHF,所以AE=DH,∠EAF= Rt△AEB≌Rt△AFC(HL).所以∠B=∠C=30.因为∠BAC ∠HDF.所以AB∥DH.所以∠B=∠HDC.因为AE=CD,所 =25°，所以∠CNB=∠C+∠BAC=55°.所以∠CDB=∠B DH DC, +∠CWB=85°. 以DH=DC.在△DHG和△DCG中，因为{HG=CG,所以 r∠C=∠B, DGDG. (2)在△ACN和△ABM中，因为{AC=AB, 所以 △DHG≌△DCG(SSS).所以∠HDG=∠CDG.所以∠B= L∠CAN=∠BAM, 2∠GDC. △ACN≌△ABM(ASA). 17.(1)如图6，延长AD交BC于 5.因为AD⊥BC,A'D'⊥B'C',所以∠ADB=∠A'D'B'= 点H.因为BD平分∠ABC,所以 ∠ABD=∠HBD.因为AD⊥BD,所 0P在AARD和AABD中，因为{B二A所以 以∠ADB=∠HDB=0°.在△ABD和 Rt△ABD≌Rt△A'B'D'(HL).所以∠B=∠B'.在△ABC和 ∠ABD=∠HBD, H AB A'B', △BD中，因为 BD BD. 所 图6 △A'B'C 中， 因为 ∠B=∠B',所以△ABC≌ L∠ADB=∠HDB, BC B'C', 以△ABD≌△HBD(ASA).所以SABD=SABD,AD=HD.所 △A'B'C(SAS). 以S△CD=S△HCD·因为△BDC的面积是5，所以S△ABc=SAAm 专题一 全等三角形的性质与判定 +S△AGH=2S△HBD+2S△H0m=2 S ARDC=10. 1.C;2.B;3.3. (2)如图6，过点B作BF⊥AC于点F,过点C作CE⊥BD 4.因为点D是BC的中点，所以BD=CD. 的延长线于点E.则∠BFC=∠CEB=90°.因为∠ABC= 因为CF∥AB, 2∠ACB,BD平分∠ABC,所以∠BCF=∠CBE.在△BCF和 所以∠BED=∠F. r∠BFC=∠CEB, ∠BDE=∠CDF, △CBE中，因为 ∠BCF=∠CBE,所以△BCF≌ 在△BDE和△CDF中，因为 ∠BED=∠F,所以 BC CB, BD CD, △CBE(AAS).所以BF=GE因为SAe=方BD·CE=5, △BDE≌△CDF(AAS).所以BE=CF. 5.(1)BF⊥CE,理由如下： Sc=AC,BF=10,所以AC=2BD 因为△ABC≌△DEC.所以∠ACB=∠DCE. 所以∠ACB+∠ACG=∠DCE+∠ACG. 附加题(1)LDFE; 所以∠BCG=∠ACD=60°. (2)∠AQB=∠APB或∠AQB+∠APB=180°； 因为∠B=30°，所以∠BGC=180°-∠B-∠BCG= (3)BE=CF+CE.理由如下： 90°，所以BF⊥CE. 如图7，延长BA,CD交于点G.因为 (2)因为△ABC≌△DEC,所以∠E=∠B=30°， ∠ACD是∠ABD的“边垂角”，所以CG⊥ 因为AC∥DE,所以∠ACE=∠E=30°.所以∠DCE= BD,AC⊥BG.所以∠EDC=∠EDF= ∠ACD-∠ACE=60°-30°=30°. ∠EAB=∠CAG=90°.所以∠B+ 6.(1)因为∠BAE=∠CAF=90°， ∠AEB=90°，∠C+∠DEC=90°.因为 B 所以∠CAE=∠BAF ∠AEB=∠DEC,所以∠B=∠C.在 图7 AE AB r∠B=∠C, 在△CAE与△BAF中，因为{∠CAE=∠BAF,所以 △ABE和△ACG中，因为{AB=AC, 所以△ABE≌ LAC AF, L∠BAE=∠CAG, △CAE≌△FAB(SAS).所以EC=BF. △ACG(ASA).所以AE=AG,BE=CG.因为∠FAC=45°，所 (2)设AC交BF于点O,因为△CAE≌△FAB, 以∠GAF=∠CAG-∠FAC=45°=∠FAC.在△AGF和 所以∠AFO=∠OCM. rAG AE. 因为∠AOF=∠COM,所以∠OMC=∠OAF=90°. △AEF中， 因为 ∠GAF=∠EAF,所以△AGF≌ 所以CE⊥BF. AF AF, (3)结论CE=BF成立，结论CE⊥BF不成立，理由如下： S 八年级数学沪科(AH) 第10~13期 同(1)可证△CAE≌△FAB. AB DB, 所以CE=BF,∠CMO=∠FAO=m. 因为{∠ABE=∠DBC, 因为m≠90，所以CE与BF不垂直， EB CB. 所以结论CE=BF成立，结论CE⊥BF不成立. 所以△ABE≌△DBC(SAS). 专题二用尺规作三角形 (2)BF=BG且BF⊥BG,证明如下： 基础训练1.C；2.C. 因为△ABE≌△DBC, 3.图略. 所以AE=CD,S△E=S△Dac 第13期3版 因为BF⊥AE,BG⊥CD, 题号12345678 所以宁BP,AB=合BG·Cn 答案CBB ADCDC 所以BF=BG 二、9.AB=DC;10.2;11.2或4： 在R△BEF和R△BCG中，因为JEB=CB, 12.40°或140°. BF BG, 三、13.图略. 所以Rt△BEF≌Rt△BCG(HL). 所以∠EBF=∠CBG, 14.因为CF⊥BE,所以∠CFB=90°.因为AD∥BC,所以 所以∠GBF=∠EBF+∠EBG=∠CBG+∠EBG= LAEB=∠FBC.在△AEB和△FBC中，因为 ∠CBD=90°，即BF⊥BG. r∠A=∠CFB 综上，BF与BG的关系为BF=BG且BF⊥BG ∠AEB=∠FBC,所以△AEB≌△FBC(AAS).所以AE= 附加题(1)因为∠ABC+∠ADC=180°， BE CB. 所以∠BCD+∠BAD=180°. FB. 因为∠BAD=90°，所以∠BCD=∠BAD=90°. 15.如图8，过点A作AH⊥DE于点 H. 在RIABAD和t△BCD中，因为{B:B所以 所以∠AHD=∠AHE=90° Rt△BAD≌Rt△BCD(HL). 因为CD=2,BD=3,所以BC 所以AD=CD. CD BD =5. (2)如图9，延长DC至点K,使CK= 因为DA平分∠CDE,所以∠ADH 图8 AP,连接BK =∠ADC 因为∠ABC+∠ADC=180°， ∠ACD=∠AHD, 所以∠BAD+∠BCD=180°. 在Rt△ADC和Rt△ADH中，因为 ∠ADC=∠ADH, 因为∠BCD+∠BCK=180°， ADAD, 所以∠BAD=∠BCK 图9 rAB CB. 所以Rt△ADC≌Rt△ADH(AAS) 在△BAP和△BCK中，因为{∠BAP=∠BCK, 所以AC=AH,HD=CD=2. AP CK. 在Rt△ABC和R△AEH中，因为AB=AE, 所以△BAP≌△BCK(SAS). LAC AH, 所以∠ABP=∠CBK,BP=BK 所以Rt△ABC兰Rt△AEH(HL). 因为PQ=AP+CQ,QK=CK+CQ, 所以EH=BC=5.所以DE=HD+EH=7. 所以PQ=QK 16.(1)因为AF⊥DE, BP BK. 所以∠DFA=90°=∠ABC. 在△PBQ和△KBQ中，因为{QP=QK,所以△PBQ≌ 在R△ADF和Rn△CAB中，因为F站， BO =BO, △KBQ(SSS). 所以Rt△ADF≌Rt△ACB(HL). 所以∠PBQ=∠KBQ=∠CBK+∠CBQ=∠ABP+ 所以∠DAF=∠CAB. ∠CBQ. (2)由(1)得∠DFE=∠ABC=90°. (3)如图10，∠PBQ=90°+ 在Rt△AEF和Rt△AEB中， 2∠ADC.理由如下： 1 因为{AEA所以Rt△AEF≌Rt△AEB(H) 如图10，在CD延长线上找一 点K,使得KC=AP,连接BK 所以EF=BE. 同(2)可得，∠ABP=∠CBK, 因为Rt△ADF≌Rt△ACB, ∠PBQ=∠KBQ. 所以DF=BC 所以∠PBK=∠ABC, 图10 所以DF=BC=CE+BE=EF+CE. 所以2∠PBQ+∠PBK=2∠PBQ+∠ABC=360° 17.(1)因为DB为△ACD的高， 所以2∠PBQ+(180°-∠ADC)=360°. 所以∠ABE=∠CBD=90°. 在Rt△EBA和Rt△CBD中， 所以LPB0=0°+分∠ADC 68 素养·拓展 数理 数理据 5年9月10日星期三 初中数学 51-27126 (上接第3版) 纸发行质量反喷电话 期总第1155期 沪科 17.(14分)在△ABC中，AB=AC,点D 动点向题来“亮相 0B5-52248 八年级{AH 线段BC上一点（不与B,C重合）.以AD为一边 在AD的右昨△ADE,使AD■AE,∠DAE 上接4版号老答案 山西师范大学主管 山西师大教育科技传媒集团主办 社长：徐文伟 国内统一连埃出版物号：CN14-0707E LB4C,连接CE 。湖北江欣乐 在求解有关全等三角形的动点问题时.要由点A向点B运动.时，点《 A的 入门向导 (2)若 6,求四边形BECF的面积 (1)如图I7-①.若∠B4C=90 ①求证：△ABD三△ACE 开究基本图形及动点的运动状态，进而确定时 在线段BD上由点B向点D运 解：(1)因为AE∥DF,以∠A=∠D ②判断BC与EC的位置关系.并说明理 出节积.世功方阻款湿淫顺过早中注将有时 欧设运动时间为：，当点Q 因为AB=CD,所以AB+BC=CD+C 所以B0AC,C 伴你走进全等的世界 即AC=DB. 由： 需要分类讨论 的运速度为 A且. AE DF 一，单向运动 时，△ACP与△BPO全等 阳∠A+∠ (2)设∠BAC=a,∠BCE=B(如17 在△AEC和△DFB中， ∠A=∠D 例1如图1，在 解析：设点Q的运动速度是/ 大为 90P,∠A+∠ACE 。江西郭春花 2),则a,3之问有2样的数量关系？请说明理 0 金等三角形是平面几间领城极为重要的研对忘边，∠D与∠C是对应角，∠AED与∠E汇 AC DR ABG中，∠ACB ∠A=∠R.所L△ACP与△BPO会等因种相 上AD 究工具，为攻克复杂的几何难题搭建了理论与 所以△AEC≌△DFB(SAS) 90°，AC=6,BC=8,点 是对应角 2)知图3,5过反 方法的桥梁，接下来，让我们一词推开全等知识 三，企等三角形的性质与判定 C在直线I上，点P从点 1①4P=BP,AC=BQ=3,则t= (2)∠BE的度 作H⊥AC干点H,过点 世南大门，t中的 出粉在角形力小得 为30，E0D的度数 性烦：全等三角形的对应边相菁，对应相F作F制上AC于点M 1m2.1王m342m1.5: ，正确理解全等三角形的含义 等，周长相等，面积相等，对应边上的高，中线和 A→C+B的路线向终点B运动：点Q从点B出 2P BQ,AC BP =3.=(4 -3) 19.（1)g话数的 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角 角分相等 以5am· 发，在三角形边上沿B→C一→A的路线向终点A 过品 形. 全等三角形中互相重合的顶点，边，角分别 运动，点P和Q分别以1单位/秒和2单位/秒 ◆1=1，所以车=【◆1= 定：①两边和它们的夹角分别相等的两EH,S。=BC·EH 的速度同时开始运动。在运动过程中，若有 点 故填1.5或1 个三角形全等：②两角和它门的边分别相等 到达终点，另一个点也随之停止运动分别过点 二，往遇运动 3 称为全等三角形的对应元素点A与点D,点B的两个三角形全等：③三边分别相等的两个三 因为AB=BC,所以BC=AC P和Q作PE⊥直线于点，QF⊥直线1于点 例3 如图3 ,1)由盟珍 与点E,点C与点F对应时，△ABC与△DEF全 角形金等：④两角分别相等且其中一组等角的 因为Sac=6.所以S 4.5 △ABC中，BC=8 F,当△PEC与△CFQ金等时，点P的运时间 等可i记为△ABCG≌△DEF 付边相等的两个三角形金等（判定方法2③④ 两为AAEC ADFB,】5. G∥BC,AG=8em, 可的系式为 准确认全等三角形的对应元索 见下期) 所LE用= 为 .4x<1} 解桥：设点P的远动时间为.因为 F从点B出发，沿线段 (2)24括、1月 绵认金等三角形的对 例如图2，点A 所以5ar=S C以4em/s的速度连 用广0t★ 应元素，最简单也是最有 △PEC与△CFO全等，所以CP=CQ.分三种情 B,C,D在同一条直线 续做往返运动，点E从点A出发沿线段AG以 效的方法是：先找全等 2e/的速度运动至点G.E,F两点同时出发 上，AB=CD=BC 珀开形的对花「质点。再确电 本周主佛 ①当0<≤4时，点P在AC上，点Q在BC 当点E列达点G时，E,F两点时停止运动，EF 附加题口 上，因为CP=CQ,所以6-t=8-2,解得t= 指升和用水 对边和对应角如图1 AE=DF,AE∥DF 141全每三角影及其性 与AC交干点D.设点E的运动时间为s,当1的 岩△ADE≌△BCE.∠1与∠2是对应角，AD与 (1)求证：△AEG (以下供各地根据实际情况选用】 值为 时，△ADE≌△CDF BC是对应边，则AE与BE是对应边，DE与CE是 ≌△DFB: 学习目标：了解全等形、全等三角形 (1)如图1，在四边彩形ABCD中，AB=AD 2当4<16时，点P,Q都在AC上，因为 解：点￡到达点G所用的时问是：8+2= 位顶志，对应边、对应角的概念 LB=∠D=0°，E,F分别是边BC,CD上的 CP=c0,所以6-=24-8.解得= 4(s).点F到达点C所用的时间是：8÷4= 收 名帅点睛 2(:),因为△ADE△CDF.所以AE=CF 认知重点：掌提全等三角形的性质 点，且∠EAF=)∠BAD诗写出线段EF,BE ③当6<1≤7时，点P在BC上，点0在AC ①当点F从点B运动至点C时.0<【≤2 14.2三角形全等的判定(sA5) DF之间的数量关系，并说明理由： 上，因为CP=CQ,所以-6=24-8，解得1= 2,不符合题意，舍去 -=2,解得1= 例析全等三角形的基本图形) 学习目标：掌提判定三角移全等的条HSAS】 (2)如图2，在四边形ABCD中，若AB 21.(14,6):(4 D,∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD上 故填2或号 ②当点F从点C返回至点B时，2<14. Q安微格端沛 千能在解过中进行有理的论 4 821，解得1■4 2)当点 全等三角形中有两个基本图形，一个可用 有些习题可运用“等长线段加上（友减去 的点，且∠EAF=∠BAD,别(1)中的结论是 例2图2，AB=4cm,AC=BD=3am 认知重点：运用判定三角形全等的方法到 故填或4 宽购4个单十长 来正明规段相等，另一个可用来证明角相等.它 等长线段后仍相等”求解 否仍然成立？若成立，请写出正明过程：若不成 ∠A。∠B,点P在线段AB上以I/的速度 时，点P岳动墙了好 们在等三角彩的证明中应用非常广泛，下面 例2如图3，AD,BC相交 明三角形全苹，可以解决相关求边，角的问通 10期1,2版绵合测评在（一）参考答案 =6x+10,门与于之第角=，-主=(8x+10 3)设点P的 举例说明 于点0.且0B=0C,04=0D. 或因为A0D=∠BOC(己知)， 题子1：34563等90 4◆0)2令h60,即20，解得x-3现 征长AD到点F,延长DA到点 所以∠AOD-∠C0D=∠BOC-∠C0D 1,=6x30+10=190(来)以车0x运301 面积是0，分以 基本国形① AE■DF,连接CF,E.求证：BE 即∠AOC=∠B0D 二11.602.知果(a)2+,部么 个时间段内，当两气球年之差等十60米，此时2号气 中：当P出风， 时，D0P=2,所 性顷：如图1，等长线段加上（或减去）同 /CF. 例3如知图5，已知 球的高度品10米 减6=0： 132:16:15.20.求是或 2当30<≤40，出题意，得1=250，为= So =0P.BC 线段后仍相等。 证明：因为0A=0D,AE=DF,以OA4 DA■0C.0B■0D 三、1依∠BDE的度数为3D +10,两高之莲为=一方=250-(6每+10) 10,即号x2x4-0 D 6 E=0D+DF即OE=OF ∠BOD=∠AO.求证： 17.1A1.31A=3.1).2.0 =240-6x,令为=60,0020-6g=60,解得x=30.不 OE OF ∠B=∠D 2)由平移性质得A ∥CC,A =0C 合题危，去 得。：当点P 一般推理步骤为：因为AB=CD(已知) 在△OBE和△OCF中，∠E0B=∠FOC, 证明：因为∠BOD 31￥44.￥-21 上时，0C+CP=2 AB+DmCD+BD.图印ADCR: 1(1该一次数的表达式为一 综上，当两气球高度之差等于0米，2号的高 0B=0C, ∠A0C. 2 是190米 的P=10-2,所 成因为AD=CB(已如)， (2)与的最大值为10 所以△OBEa△OCF(SAS). 所以∠B0D-∠A0D=∠A0C-∠AOD. 10期3,4版综合测评卷（二）数考答案 =0C.BP= 所以AD-BD=CB-BD,即AB= (3}m4 所以∠E=∠F 即∠A0B=∠C0D 例1图2.占A.B.公 号123436890 0,号×6×(10-2) 所以BE∥CF 蓉室C DCD CA DCAC D在-一条直视上，AF=DE (2)点A的坐标是（一4，一5） 0.解得=只 ∠A■∠D,AC■DR求证 基本国形② 在△AOB和△C0D中 ∠AOB=∠COD 2015Dt15o.115 二，L们果个数是无限数.那么这个数是无甲 上，当点P的 △ABF≌△DCE OB 0D. 上AC▣∠AD0,理由略 数：122：13,45.锐角，等边：44 性街：如图4，等角加上（成 证期：丙为AC=DB 所以△A0B兰△COD(SAS). [2)CAB的度为38 15-3,-1)-3，-4) 以AC-BC■DB-BC即AB■DC 减去)同一角后仍相等 所以∠B=∠D 2.1)(40.250) 三，16图， 三角形BP的面 数理报社试题母中， 是10. 最推理步骤为：因为 编者语：通到全等三角形的基本园形时，缆 2=6年+10 17,A,B南点的离为2 【元 rAF■DE 参考答案见下期 (下转1,4版中缝 在△ABF和△DCE中，∠A=∠D ∠AOC=LB0D已知)， 察题中条件对应的图形是否有重合的邮分，运 (3)0D当06x630村.由位.月，=8年+10， AB DC. 所以∠AOC+∠C0D 周有重合相减，无重合相加”即可得到定两 所以△ABF△DCE(SAS) ∠BOD◆∠GOD,即∠AOD■∠BOC: 个三角形全等的一个条件，而得解 2 素养专练 数理极 数理极 素养·测评 3 14.{8分)如图14，已知△ABC2△ADE,点 跟踪训练 同步检测 B和点D是对应顶点，BC的延长线交AD于点F, 交AE的延长线于点G,且∠ACB=I05,∠C4D TONGBUJIANCE =10°，∠D=25,求∠G的度数 1从.1全等三角形及其性质 【检测范国：14,1~142,1】 4.如图5，在△AbG中，∠B=∠C.G=3 一、精心选一选〔小题4分，共32分) 8如图8，AB=4em.BC=6em,∠B=∠C, 将△AC从点D处沿建线剪开，当线段BD的长度 如果点在线段G上以2m/移的速度由B点向 1.下列图形是全等形的是 为 时，剪下的四个三角形全等 点C运动，同时，点Q从点C出发沿射线CD运动 口☐OOAA4N 5.T86,B0为△AC的中北，正长0草点 若经过：秒后，△ABP与△CP全等，则r的值是 D.使0D=0B,连接CD,已如C=6,0C-0D 1,下列图形中，与图1全等的是 2.则△ABC与△DOC的周长差是 4或号 民.I或号 2.如图1，△ABC2 △DEF,BE=4,AE=1,则 C1或号 DE的长是 传刀提高 n.1或号 2,如图2，用螺丝钉将两根小棒AD C的中点0固定，得C,D之间的距离 二，细心填一填《每小题4分，失16分) A.1 1D把四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C 9.如图9，已知△ABC△CDA,∠BAC B.4 落在四边形ABCD内部的点C处，图7所示。 6.如7，用与小小版棕R.如果 就可知道维形瓶内径AB的长度，此方案 c.5 究∠C与∠CFD+∠BC”之间的堂员关系 骁板的支点（脚的中点》至地面的距时 依据的基本事实是 LDCA,则BC的对应边是 D.不能确定 是40：m,小明和小颖分坐在距离支点0相等的 A.8A8 B.ASA 15.(10分)如图15，C是线段4B的中点，CD 3.已知AABC≌△DEF,BC=EF=6,三角 置玩光骁板当小以水平位置CD下降28m C.AAS D.55A 平分∠ACE.CE平分∠BCD.CD=CE 形ABC的面积为8，则边EF上的高是( 时，☆时小日离地而的热 3,图3.已知△ABC白△EBD.若AB=5 (I)求证：△ACD≌△BCE: B.2 7.如图8，点B,C,E在一条直线上，AC BD=8.则CE的长为 (2)若∠D=4如°，求∠B的度数 DE.AC=CE,BC=DE.求证：∠B=∠D B.2 10.如图10，将△ABC沿BC方向平移得到 c.6 D.12 D.4 △DEF,点A,B,C的对应点分别为点D,E,F,若 4.如图2.△A0Ca△B0D.C,D是对应点 ∠ACE=I00,∠EDF=60,则∠DEF= 则下列结论错误的是 A,∠AC0和∠B是树应角 1L.g图II.若AD=AB,AC■AG.∠DB B.∠AOC和∠OD是对应角 ∠GMC=60°，DG与BC交于点0，则∠D0C C.OA和0B是对应边 D.AC和BD是对应边 4.如图4,0H=0B,0汇=0D,∠0=60°，∠C =35,则∠DA0的度数是 A.35 B.5 14.2三角形全箭的判定 D.以上都不对 14,2.1两边及其夹角分别相等的两个三角形 5.如图5，△BFD≌△CED.若△ACE的面 为3，△BFD的面积为2，则△ABF的面积为 12.图I2,年B1△ABC中.∠ABC=909.B正 5.已知图3中的两个三角形全等，则∠1的度 壁视用炼 是高，E是△ABC外一点，BE=BA,∠E=∠C,老 数是 A.3 B5 16(12分》如图16，沿AM方向开山修路，为 1,如图1，AC和BD相 6.一个三角形的三多边长分别为4.7，黑，另 交于点0，若0A=0D.用 C.7 D.9 DE=子BD,AD=16,BD=20,求△BDE的面积 了加快施工进度要在的另一而同时施工，工人 个三角形的三条边分别为y,4.6若这两个三角形 小顾思考后认为可以这样添加辅助规：如图2，在师禅在A制上取一点B,在小山外取一点C,连接 “5AS“E明△A0B≌ 全等，则x+y= D上取BF=DE,连接A.根据小领的思路可 BC井延长，使CD=BC,过点D作AB的平行线 △DOC还需添加条件 唯刀提高 7.如图4，△A5C的边 得△BDE的面积为 DE,连接EC并延长，在延长线上取一点F,使CF BC长为7m,将△ABC向 8如图9，点A,D,C,E在同一直线上.CB 三.耐心解一解（共52分） =CE,FM与的另一面交干点N,沿方向开工 A.AB DC R.OR=OC 上平移3cm.得到 EF,∠1+∠2=180°，AD=CE.求证：AB=DF 13,(8分)如图13.点A.D,C在同一桌直找 忧能使点A,让，F成一条直钱 C.∠A=LD D.∠4A0B=∠D00 △MBC',已知四边形 上，AB∥DE,AB=AD,AC=DE,求证：∠C (1)请说明其中的道理： 2.某学校美术如学生进行户外写生，需婴准 6,如图6，在△ABC中，已知AB>AC,AD平分 ∠E BCB'为长方形，则阴 (2)测量得DE■100米.BM■40米.FN■ 用4 备知图2所示的折叠小格子.将折叠简子撑开后， 部分的面积为 em" ∠BAC,交BC于点D.则下列结论正确的是 0米，求山中愿道N的长 它的面木条可简画成如图3.已知椅子腿AB和 8.图3，沿图中的嘘线画线把下面的图形 CD的长度相等，0是它们的中点，为了使折叠荷 划份为两个全等的图形（月2种不同方法） 子坐得舒适，厂家将撑开后的椅子宽度AC设十为 A.AB-AC BD DC 45am,此时BD的长度是 B.AB-AC BD -DC A.30 cm B.35m C.AB-AC BD DC 1 D.AB-AC与BD-DC的大小无法确定 C.40 cu D.45 cm 7.如图7，在△ABC中，∠A=25,∠C= 120“,沿过点B的直线折叠三角形，使顶点G落在 AB边上的点E处，折痕为BD,下列结论不正确的 是 9.如图6，△ABC≌△EDP,点B知点D是对 A.△BCD≌△BEDB.BC=BE 应顶点，AB和ED是对应边，点A,下，C,E在一条 C.∠ADE■95 D.ADs AF 直线上 3.如图4，在2×2的正方形网格中。∠1+∠2 (I)求证：AF=CE: 的度数是 2)生接AD.若∠DAP=∠AFD=∠ADE= A.100 B.90 数理报社试题研究中心 2∠B.求∠E的度数 C.80 D.60 参考答聚见下期】 下转第4版)