第11期 5.1 认 识二元一次方程组 5.2 二元一次方程组的解法（答案见下期）-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（北师大版2024）

8 素养·拓展 鼓理极 质量反电话 初中数学 0351-527126 2025年9月10日·星期三 思维天地 以x+=, 纸发行质量反情电话 第11期总第1155期 北师大 观察特点 把代人①，得3x+4=7 专项训练 0351-52124s 数理括 八年银 解得x=1.所以y=0. 整体求解 所以原方程组的为· (上接4版参考答案】 山两师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社辑出版杜长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN 14-0707F)邮发代号：21-204 ￥m0 0山东正本 三，整体换元 1.解方程组 2 然到4·或号。或习 专题辅导 解二元一次方程组的基本方法是代人消元 4x+y)-5(x 时，它门更窗地面的高 恋周专进0 法和加减消元法，在运用这两种方法解二元 例3架方：红-2)+2+2)=5， 12x-2}--2r=1. “代"解干愁 度符为6 次方鞋组时.我们可可以灵活运用整体思想，使解 分析：遥到此类题，大多数同学是将方程如 5.1认识二元一次方程组 2(1)直线C 避更加简 52二元一次方程组的解法 广东 李青 先转化为二元一次方置的一般形式，然导得 函达式为 代入科元去县显二元一次方甲细的其水方 一，整体代入 求解，这样不但过程紫填，而且客易出错。行 2.博解执以下何， 学习目标：1.拿援二元一次才程组)的根 所以原方程组的解是 「三2 1解方程维：-4(-2)=5, 观察方程组，会发现个方程中靠含有x一2r和 (1)镇齿例1的解法解方程组： 2+3 命学会恰胎一组数值是否是装个二元一 法之一，具体运用时，如何才能灵活“代入 2=1， 2 x+2y,如果将-2y和+2y分别看作一个整 3g=2y■5. (21①过点B 方提组)的解 呢？这需要根据方程组的结构特点进厅分析和 三，整体代入 分析：见察方杠组可发现，两个方程中都有 体，并分别用m,M来表示，整体换元，原方程组 -+3(3-2y)12: D⊥P0于点D.路 2会用清元法样二元一次方祖 处理.现举例说明如下 将方程组中某一个方程当成一个整体，代 就可化简为m+2加=5，解北方程组求出m, (2)已知实数.y满足方程组 设点M(m,0),则 认知重点：抓住二元一次方锐组的未 、直接代入 入另一个方程中消元 即可求出x的值，再把年的值代入方程中即可 求出y的值 2m-n=1 3x-2+247,①求24y的值 P风m,m+3。点 敏的系数特点，灵活选取代入消元法或加减 方组中某一未知数的系数的绝对值是1 〔具休实制请同学们详北本期4餐《观C特 消元法体会消元的思想 时，可将该方程变形，并用含另一未妇数的整式立数休求解)一文，) 解：把②代人①.得3x-4=5 n的值，再解方银知-2=m即对得解 2x2+y+8)2=36,2 解得x=3 x+2y=N 表示该未知数，然后代人另一个方程中消元 四、参数代入 把x=3代入②，得y=1, 解：设x-25=m,x+2y=m W1-2m+3 一次方程组精 方程组中某一方保是比例形式时。可通过 通“变脸术”，经常以名 所以原方程组的解为体=3 原方程组可化荷为m+2n=5。 m+3》11m1.融 种不同的而孔出现在 ②设参数代入的方法消玩 2m-m=1. y 1. 解：把①代人②，得4y+2y-12 化+1=+2 二、整体相加 ①+②×2，得7m=7. 学们面前.同学们只要 =1w1.所以S 解得y■-2 例3解方组： 例2解方程组：x+4(+) =7 解得m=1 练掌挥它的概念和解 3y+5(+y)■5 把m=1代人②：得m=L 'LI=TL 脸 法，就能透过“面具 把y-2代入①，得x-8 2x-3y=1 分析：方程①流明的是年与x+y的关系，方 方程：2士：0 6=8z+L0×+①(z 香清其真面月，从而运 术 所以原方程组的是严一8 用翼决何属. ly-2 3 程西说明的是y与士·y的关系，仔细察方程 7=1 组，会发现过①+②写得的值，进而代 所原方组的解为： ‘E=x1)z 以点的际为（号 、设有大活司 二.局部代入 3-2 人原方程组中可求解 1=1 程 例I若x+Y=5】 两个方程中同一未知数的系数成倍数关系 把，的值分别代人2，得2(3址-2)-3（制 解：①+②.得3(x+)+9(x4)=12 【对应练习见本版《专项训练》】 “1=x1李安 2x-3)10,则￥-4 时，可可连同系数一起代人 -1)=1 的值是 第10期1版参考答案 2由意，倒心 分析：根据己知方 例2 以(0,4，即0B4因为08■D,所以C20448C的积相等，以号1m×1=×3×2解得 解方程组：+4y=12, 3}.C6.0).当点f在 l3x-2y=2. 《勾验定建》 复和是求代数式的系量 145 =8因考点片，0)，所以点C-m+4,点”=6吸-6所以点P的坐标为(60)或(-60 的左封，因为意 解：由②.得2y■3年-2 所以x=-3,y= 213: 33.43 转点用第二个方程直提 6米，D=24米 20.《1》由条件可A=3-(-2)=5.0=3 点A关于 0=0米.所 对称， 去第个方程可求 把③代人①.得2◆2(3-2》■12 代m,w.所以(-w·4)-m·8或m-《-、m·因为A后=G,所以批=5.附以0C=√C-0附 +y=5 家考■2 所以原方程组的解易 (2)由1)知∠AD0 4)=8,解得m=-3成w=9 4复积货C年由正拍r折以0.41 4C=∠B汇A因 解：眼据圈意，得 3y=10 把x■2代人，得y■2 2》好吉940的景竹夷大为=：。客山 1棉米配 A-2.0),C0,4)分8代人，得-2站+60，b=4 2-①，得x-4y=5.故填5 二，没有未知数 版型空 =30米因为0E1AC,以Saw=ABGD=AC 〔2)设乙车距沈阳种学位的路程y与同车行驶时间 以青=2所以线C的数表达式为y=2+4 ∠P 倒2已知代数式+，当x=3时，它的 的数关系式为y=+(0).将点(0,15)，（ 21.1)厅- 0=所以∠程C 将错就错巧求系数 E以E.D。是米 值是6：当￥=-1时，它的值是-& AC ∠490 《1)求，的值 客小路E的长为及米 D分别代人，5，+-所k -45. 。四川 江利海 (3)原式= 门-3 《2)若该代数式的值是，用含网的代数式 乙车沈阳科学的路程，与两车行时x韵数关 ∠RMC+∠C4 学习二元一次方程组的过程中，解随时常 {2◆B)(2-B 把=-2， 代人方程a+by=1,得-2 乐式为y=-45+5(0≤了】 常会遇到关于解方程组看错系数的向题，这类 =1 5-2四 分析：利用代数式的值的定义构造出相关 61)元：24E- (5+25)(5-15)(2万+厅)025-厅 可能帮助我们深刻理解方保组的解的合义， +h l. 2 的方程组，解方程雏即可求出素，了的值 3 ,u+3), 培衣我们根据定义进行推理的能力. 《位置与坐标 解：0由意，6& 倒1已知1是一个被墨水污 联立02，得解得子 第10期综台测课卷参考答案 1.D:23-2.3):4,40.1 得B l■x-7y=1 0=g2+9,C 5(1)(0,7 -,学234567890 所以原方程组为2+1， H B C D C A C D R B L=2x=7世1. 2)因为直慢PA平丁于，且A(m4,=2),而圆 a)B 子 染的方程组园园说：“这个方程组的解是 解得 3w+1=-2.解得w=-1.所以2m-4=-6.所以点P 二，11.2：12(-54：13(-3，-1： .22.(113.24 =-号 (:于错了第二个方中：的数 例2 解方程组=：时，甲把。 的(-6-2). 410:5.(4,3)成(3,4 (2)2线段N所在直我的原数表达式为y=妇 g+y=1 m(k+D.将点0.20)，N(8.16)分别代人y一4 三、16〔14+，(21 片，部得一 h ②由)，得代数式+b=子-是 求出的解是=2 请你根地以上信息，把方型 =- =3m+1或2m-4+3m+1=0.解得=-5或m= 能，牌m=2D,8k+隆·16.解得4。一了所以线段N =1 石请了，得到 乙把d看销了，得到 子当m-5时，2m-4-14,3m+1”-4,则点 组复出来 对应的茶数表达式为y=一。+2006写8. 川-是.当点N =- 分折：北题是样二元一次方程组的是运汇设 2 P风-4，-14》：当m=号时，2m-4=-14,3m+1▣ 方根是-2，所以各。-8.因为是6=5的变数视分 3》当0运忘8时.节无人相￥与x之m的买数去 在y轴的右侧时，可 三，只有量关系 =-6 式为y,3:当24反：后D时.乙无人机y与x之问的数 例3若(4w+y-4)2与12x-y+11互 墨水污染的“▲”为，●”为b,■”为，把原 方程的解代入可求出的值，并停到一个关于 =-9 求：，的值 的 3 达式为y6+子(a-24)=了-6当0r≤8 为相反数，的情是 18 棕上所述，点P的 ,b的方程：由于圆者错了第二个方程中x的系 -)减-号号. 分析：利用“王为相反戴的两敛之和为0 分析：由方鞋键的鲜的定受可知，人求辉 8 dm 所 且它面离地的高破楚为6■时得-x+0-3和= 坐标为(-三，兰)或 数，所以将国出的解代入心的式子不成立。 列出等高，再利用非负量的性痛有出方程组，求 的姑果都是方程+=的解，于是魏得 《一次石数》 =17,因为=【m,GD=4, 故只能代入第个式子，又星到=关平m,6的方 +4=7,以，+=, 解方程组即可得到无，干的植连而得根 美于信，6的方程征，迁而可来出.b的值 1A:2x1；3.2；4y■-24+4 514 以△0是直角二州形，∠BCD=阳，所以C⊥0， 6,解待年=4或号：当24云年≤30，且它距离峡面的高 解：根据意，得4x+y4)12-y 程，二者联立，即可求出，6的值 (2)5=18 发推车符合设十要术. 解：设被墨水污染的▲”为：，“●“为b,“■ 国、19(1)(-34).(2国路 度装6m时，得24-(-6)一6，解斜：：引 (全文完】 解：根弼题意.得 (3)(1)知-了+4当=0对，=4,所 (下转1,4版中缝) 为r 6a-191， 〔3)设点P的掣标为（四，D).因为△C的到积与 la-7y=1, 以=（宁尸=子故城好 -6=1. =-2 2 素养专练 数理极 数理极 素养·测评 3 52二元一次方程组的解法 5.22加减消元法 17.(12分)下面是甲，乙两位同学解方程细 跟踪训练 5.2.1代入消元法 型训练 同步检测 2x+5y=11.①时的部分解题过程 2x-3y=-7② 纪训练 1.用加藏消元法解二元一次方程组 51认识二元一次方程组 -TONGBUJIANCE- 1.用代人法解方程组了6，①时，将② 【小+3打=2，时，下列方法中消元正确的是 得2x5y-11 2x-5y=72 【检测范围：5.1-52】 将代入2，得-5y-1-3y=-7 Ly2:2 堡础练 代入①正确的是 一、精心选一选（每小题4分，共32分】 -y=了，则代数式3红+y的值为 解得y… 1.下列各式中，为二元一次方程的是( 1.￥=2x=6 且.2y+y=6 A①×5+② 目.1①◆②1 题号12345678 2x+y=1. A.4r+3y-9=0 C.+24■6 D.y+y=6 G.①-2×2 D.①+②×2 2已二元一次方配二 答案 2.关于，的方程组+3=4-的 (1)甲同学远用的是 滑元法，乙同学 4r-三4 B.2x+y+3:=4 运用的是 消元法 个未知数的值互为相反数，则的值为 Cx+6 2对于二元二次方程组州，。14，②将 1.下列方组中，是二元一次方程组的是 (2)他们的解过程正碎妈若不正确，请找 ①代入②.可以得-5y+9=14.则方程①是 y的值为 42 出错识的地方及京因。 D.3r-xy+20=0 B.-2 C,4 D.-4 B2+y=1, 3.如图，数轴上标出若干个点，每相两点 (3)请选择其中的一个同学，将他的解题过程 2是关于的方 A.y=x-3 B.x =y-3 3若关于，的二元一次方程组 相距一个单位长度，点A,B,C,D对应的数分别是 G.2x-3=y D.2y+1=x 仁-2y=3:和+2=5有相同的解，则，石 5的解，那么m的值为 D.-3y =2. 数a,6,,d,且2-5=-2,那么数轴的原点是点 改正并完善 -2 已2职合：代式表示 5x+bv 1 lax +5y =4 c 5 ,A的信易 2,将方程2x+y=4改写成用含x的式子表示 C.2 D.3 4.解下列方程组： y的形式，结果是 3,下面四组数值中，是二元一次方程细 4.解下列方程组： A,y=4+2 B.y"4-2￥ 14.已知关于xy的二元一次方程组 5+3y刘的解的是 x+T=8 )2+3,=22, Dx=2- +了=7·有正整数解，其中长为整数，则-1 18,(12分)规定：形如+=6与+= x =y+l; 3x-y=0 m=-1, 玉已知[子”是关于的二元一次方程 的值为 的两个关于，于的方程互为“共柜二元一次方 y=9 三，耐心解一解（共科分） 程”，其中k1.由这两个方程组成的方程细 x+ky =6 cp-g. mx+时=7的帮，则代数式4m+6:-3的值是 15.(12分)解下列方程组： "叫作“转柜方程组”：k.表称为“共桐 (2)2-7=8. (1)3+y=-, 系数” 老，关于 A.14 B.11 C.7 lx=2y-5 (1)方程3x+y5的共轭二元一次方程1 3x-8y-10=0: 4,七件甲商品和八件乙商品共重48千克，甲 为 元一次方异组，到m为= (2)+2▣4. 前品比乙商品重，互换其中一件，格好一样重，设 (2)若关于*y的二元一次方程组 5.已知关干x,y的二元一次方程组 l2x-y3: 每件甲品重干克，每件乙商品重y干克，根 任：m。7的解是”3。其中y的值被盖 包意可列方程组为 [红+(2-5y=-6-4为~共矩方程组”，求此 l(1-2)x+y=-5-a le+y=5 共矩方程组”的“共轧系数 住子，不过仍能求出m,刻m的值是 l6x+y=7y+本 6样-￥=71T-x (2+4y6 12x+3y=1: 低提高 D.+=48 7红+y=8y+王 6小量和小红都是航天爱好者，他叶划购买 甲，乙两种飞榄型收下面是两位词学的对话； (3)片+子=3 5.解关于，y的方积组+=1.① {3-9+2y=10 3x-2y-1)=11 2-=3,2下列 消元方法正确的是 A.②×2+①，消去 B.由②得=3，代人①，消法y a产4 附加题⊙ 《以下试题供各地根据实称情况选月) C,①×2-②×3，消去± 2(3y-1)=5x+3 1.(8分)小明.小义都到黑板上做同道题： D,由②得y=2#+3,代人①.消去) (1)若小显列出方程2a+3(40-a)=5,则 已知，6凝方后，：则+ 二花-次方程仁 小明将①中 a表示的意义是 《2)若设甲种船型每件的售价为x元， 5.小鑫，小查两人同时样关于x,y的方程组 的值为 的看成了它的相反故解得气 小文抄错② 种船横型每件的售价为y元，根据圈意，可列方 化：女：咨小者T方程D中的 B.2 C.3 D.4 积为 5.如果关于，y的二元一次方程短的满足 7.已知(x+y-1)子+-y-了=0，则y的 中的e解得三2请根据上述倍息，求出a一方+ =4 (3)若购买甲，乙两种船模型共花费 1x-y|■，我门就说方程组的解x与y具有“邻 好关系 解一：小食酒结了方程面中的.那器 值是 的平方根。 170元，则甲，乙两种飞模型各购买了几件？ f任m5, A-1B1 C-2B.2 《1)方程组+2=5，的解x与 2,(12分)对于有理数x,y,定义新运算：x·) x-y=- -4 8.已知关于【y的二元一次方程组 168分)已则和子是关于®”-，中a是肩藏已划 邻好关系”（填“有”亮“没有“）： 1》求正的年，b的值： +2:+a是常数)，若不论取什么实的方y=丘+6的解，,的值 11=1.3®2=8 (2)若方程组径：？=6：的解x与y具有 (2)求原方程组的正确解 lr-3y=4m+6 (1)求a,b的值： l4x +y 6m 数，代数式红-2y(传是常数)的值始终不变，则k (2)若关于x,y的方霜组了=4-m:的 邻好关系”，求m的值， 的值为 y =5m A-1B.-2C.1 .2 解也满足方程￥+y=5,求m的值： 二、组心填一填（每小题4分，共24分） (3)若关于，y的方程6y=的 9.若(m+I)江+2y=3是关于x,J的二元 m*☒2y= 次方程，则m的值为 解为关于的二元一次方程组 ,(+)(x-》=6的解 华用加威消元法消去未知数x,按聚色的思路，用 (x+y)②(x-)2 数理报社试题研究中心 ①一②得到的方程是 数理报杜试题研究中心 (参考答案见下期) 1.已知关于xJ的二元一次方程组 (参考答案见下期)