第13期 4.2角 4.3多边形和圆的 初步认识（答案见15期）-【数理报】2025-2026学年新教材七年级上册数学学案（北师大版2024）

4H 素养·拓展 数理极 本森责任编横：周晓徽 相纸编桥质量反馈电话 数理据 2025年9月23日·星期二 初中数学 (上接第3版) 第12期2版参考答案 025152712068 2.(12分》如图2，点A,0,B在同一条直钱 上.从点0引条射线0.且∠A0C120 担纸发行质量反情电话 第13期总第1157期 北师大 附加题可 4.【线段射线，直线 0351-5271248 七年级 (1)求∠BOC的度数： 4.11线、射线直线的基本概 (以下试题供各地根据实际情况选周) (2)将∠烧点0m时转a(0°<< 基出姓1，B:2C:3.C: (上接4版参考答案) 山师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707川F)邮发代号：21-43 1.(8分》若同一平面内的三条附线0A 180,且位不是60°的梦数倍)得到∠B'0C,在 4点确2一条直线：52：62 用如驱1(1)田 一理解角的定堂 0B.0C有公共端点，且满足∠A0C■于∠BOG ∠AOC内引射战0P,在∠C0B内引射#线O0,且 7.格 为AC=号5C.所以A 本周主讲 1.有公共增 点的两 区#线组成的网形围作 时，我们称O是(0A,0B)的“新风线”，目 能力提高1)0，"，山 42角 ，这个公共端点是角的 0C'日0B.0A)的买风当线" D若a=45°，求∠P00的时数： 2)一其暖进行的比算为21.231（扬） AC- BC=子C 学习目标：1，掌摇角的概念及其表示方 质 ，这两条射线是角的 带你全面认识角 (1)如图1-①，已知∠B0N=120 若∠P0Q=2∠COC,求a的大小 边，角也可以着成是由 ∠MON=60.OE.0F是∠M0N的三等分线 4.,2比较线段的长短 2会比角的大小 条射线绕着它的指点 。四川张云敏 则射线 是(M,0N)的“新风尚线“： 那1A2B:3C:4D: 认知重点：1.会进行角的运算 转m的，0的纪台位立 (2)如图1-②，若∠A0B=30°.0C是 5.369. 因为8DC 处有两个或两个以上的角时，不能只用顶点的 2拿报商的平分线的概命及括速方法 置叫作角的的边，终止位置创作角的终边， (DA.OB)的"新风尚线”，求∠B0C的度数 以G=C-D 43多边形和圆的韧步认识 工平角是指一条射线烧它的增点旋转，当 ∠MC,∠CAD,∠RLD,这些舟就不能用∠A来 8因为AC=C3=B,所以CD=D那= 学习目标：了解多边形和国的概◆ 终边和始边成一条直线时所成的角.平角的特 ,4C阴以A=AC+C》+=4C+24G+240 认知重点：能根提扇形和图的关系求角 点是两边成一条直线周角是指终边张续旋转 (3)用个阿拉伯数字表示：在角的顶点 当它又和始边重合时所成的角，周角的特点是 5AC=I0emf以AC=2om以CD=DN=4m 形的图心角的度数及扇形的面积 加上弧钱.标上数字，就可以用这个数字来表示 角，如图1中的∠A0B可记作∠1. 为E是线段DB的中点，阴以DEDB=2m 48-BC = 一，学角的平分线 温馨提示：衡的大小与边的长短无头，与 构或角的两条射线的张开幅度有关。平角的两 (4)用个小写希腊字丹表示：在的顶点 EI CE C0+DE 6m 处加上弧线，标上小写希册字母，就以用这个 项点引出的 条射线把 边成一条直线，但不能说平角就是直周角的 能力漫高9A:0D 这个角分成两个相等的 两边重合成一条射气.但不能说周角就是射线 写希腊字来表示角，如图2中的∠CD 作∠m 11(1)是： (2)因为A齿=2 角，文名计线作文个色 二，握角的表示方法和度量 《2》因为A出=24，点C品段A程的“巧点" 以DC=三4B=5 平分线如图 2帝的 射 1.角的表方法 P∠A0B分成两个相 (1)用三个大写英文字母表示：用角的两边 (1)角的大小是可以度量的，度量的单位是 D若BC=2AC,刘4C=AB=8:2若AB 度、分，秒，他门之间是60进制的，换算的关系 2.f1)1,8: 等的角（∠AOP 上的两个大写字母和点的字母表示角，如图 ∠B0P),则OP是∠AOB 数理报社试题研究中心 (2)①当点C在 1,可记作∠A0B,注意顶点的字母零写在中间 是：1=60,1'=601=()，1”=（) (参考答案见15期】 的左时，AC=3, (2)周角，平角、直角之间的关系： 1周角=2平角=4直角=360 名师船 综上所述，4C=8em或12em减16m 三、角的大小比2 与钟面角有关求涌问题 的右时，C=3,所 角的大小常用的所法有丙知 第12期3版参考答案 2 ()度量法：用量角器量出两个角的度数 的值为-8或5 (2)用一个大写英文字母表示：在所的顶点按照度数的大小比较角的大小 西 周1234s678 西当立七作点A 温馨提示：①角的平 处只有 个角时，也可以只用顶点的字母表示 (2)叠合法：把两个角的质点及一条边 在角的学习中，有关时钟的求角问题是同 A.30 .60° B C D C A B C A 时，C=12.所 角，如图1中的∠A0B也可记作∠0.一个顶点合，另一条边放在重合边的同进行比较大小 学们感觉最根难的回题解答它们时，应了解和 C.09 D.120 二9周点之何规段短0.0；山.-4 的点是用的点 利用时钟表而上时针和分针的 解：因为件表上10时整，分 n=-0:当点C在点B )角的平分线年角的内 名师，点睛 1.时钟表面都可以着设 12,时针指向数 126:1线-6:14.244 的右时，42，月 写：4角的 12个大格，60个小格，每个大格对应的圆心角 三，15. 0,叶写分分中间相短2个 m=,棕上所述，n的 成两个相等的 为：360°+12=30，每个小格对应的圆心角为： 格，每大格之间的夹角为30°，所 16(1)AD,C 2.：1，为时0P∠A0B 中上 60°◆60■69 以10时整，时针与分针构成的 《2)因为D线段AC的中点，AC=16.所以A0 为-1成7 平分线，所以∠A0P■∠BOP■ ∠AOB或 多边形的对角线 2时针每小时转过1个大格.转过30°，每 角是：2×30”=60故选B (3)当点F在点 A0B=2∠A0P=2∠B0 口广东尤文琦 分钟过0个大格或节个小格.即转过0.5“：分 ,任意时制时针与分针的夹角 的左时，x<一7，= 连多边形不相邻两个质点的线段叫作多 斯以已如多边形的边就可求得对角线的条 例3如图4，图5，分别确定下列两个时钟 D-D=6 二用角的平分线 表面上时针和分针构成角的度数， E==5=享，m 针每时转过12个大格.转过360°每分钟转 17.(1)根题，得DEF-747所 1.求角度 边形的对角线.与多边形的对角线有关的精影已如对角线的条蚊也可确定多边形的边数 题目主要涉及以下两个方面 二分成三角影的个皆间四 过个大格或1个小格，即转过6 A=D-3=44em所以AFEP,CDAB 例1如图2,00 因的4山的为已 L40B的平分找.0D 一，对角线的条数同题 例3每一个多边彩都可以按如图所示的 45 一，时针与分针转过的角度 ∠A0C,且∠C0D=30°，则 列1 从十边形的 个顶点出发可画出 以-5-)+{-}= 方法分成若干个三角形，那么十五边可以 例1如图1，图2，当钟表由3时30分走 (2)丙为AF=1I6m防A =AF EF 条对角线，它共有 条对角线 3时55分时，时计.分针各转过了多 2t國为点C为AE的中点，以AC=CE=一4因 3以=-： 解：因为0D平分∠A0C 解析：在十边形中，从一个顶点出发，只能 分成 个三角形 当点E在点的 ∠G0Dm30°.，H以∠ACm2∠C0Dm609 画(10-3)条对角线，也就是7条对角线从每 解：在第一个时钟表面上，从8时整出发，走 1以C,AB-AC-3m,DECD c 时，a≥2山■EB 因为0C是∠AOB的平分线，所以∠A0B= 个顶点出发都可面出7条对角线，0个顶点共 到8时25分时，时针转过了×25=昌个大 a16 -24=5=x42 2∠A0C=120%故填120 可同10×7条对角线，去掉重复的，所以十边形 18I)因为点CD分别是线段04.0B的中点 格所以在8时25分时，时针和分针相距(3 -5)=x+7, 例2如图3.DB是 共有号×10×735条对角钱 解析：观察可知四边形分成2个三角形 解：表针由3时30分走到3时55分，历时25 )个大格，所成的角=(3+品×30 因为，、的和为 AOC内部的 条射线 故填7,35. 五边形分成3个三角形，六边形分成4个 04+,0=AR又因为CD=6,所以AB 2 13,月开.x24x47 把三角尺的6 分钟，因刷针每分钟转过05°，分针每分钟转 102.59 例2若从个多边形的一个顶点出发，最 角形，依次类推，过边形的一个顶点作对角线。 在第二个时钟表面上，从2时整出发，走到 13,所以=4 魔点放在点0处，转动 过6，以由3时30分志到3时55分时，时针转 角 多以国出0条对线，它是 可以把边形分割成(4-2)个三角形所以十 {2)图路因为点C,D分别昆线段A,0呢的中点 当0D边平分 过的度数为：0.5×25=12.5“，分针转过的度 2时40分时，时针转过了而×0子个大格 综上所速，：的值 解析：由题意可知与该顶点不相的顶点 五边形可以分割成3个三角形， 数为：6×25 150 丽以0C=04,0D=0以CD=00-0C 角尺的另 9减4 边0F也正好平分∠B0C,干是小明就断定 有10个，加上陵项点及两个相部匝点，可知度多 放填13 二，整点时刻时针与分针的夹角 所以在2时40分时，时针和分针相距(6-三)个 0B-4又因为A-8,所以CD4. {全文完 ∠A0C为120·.这为中么9 边形有13个顶点，所以这个多边形是十三边形 评注：从”边形的一个顶点画对角线，可把 例2如图3，钟表上10时整，时针与分针 大格，胸成的角=《6-子)×30°=160 解：因为0D.0E分别平分 LAOB,∠B0C 增十 构成的角是 四边形分制成(n一2》个三角形.根据这一结论 (下转1,4版中缝) 所以∠A0B=2∠BOD,∠BG=2∠B0B.所 评注：经过边形的一个顶点可善出(n- 已如多边形可得到分割成的三角形个数，已如 ￡AC■∠AB+∠B0C=2(∠B0D+ LB0E)=2∠D0E=120 3)条对角战，该多边形共有，3】条对角战 分割成的三角形个数也可得到多边形的边 2 素养专练 数理极 数理极 素养·测评 3 4.2.2角的比较 43多边形和圆的切步认识 17.(13分)已知∠A0B,∠C0D共顶点0,0M 跟踪训练 平分∠A0D,0N平分∠B0C 堡训炼 堡迎调练 同步达标检测题（九》 (1)如图12-①，当0B与00重合时，若 1,如图1.用同样大小的三角板比较∠A和 1.如图1，将一根木棒的一州周定在0点，另 ∠A0B=130°，∠M0N=25,求∠B0C的度数 42角 ∠B的大小，下列中断正确的是 洲绑一重物，将此重物拉到A点后放开，让此国 -TONG BU DA BIAO JIAN CE TI 2)将∠0D烧点0寸十活至12-2 4.2.1角的概念 ,物由A点摆动到B点，则此重物移动路径的形状 【检测范围：424.3】 所示位置，若∠B0D=60°，∠A0C=10°.求 一、精心选一送（每小题4分，共32分） ∠MON的度数 每团训练 A.线段 B.直线 避号123 1.如图1.上1表示 C.圆 D.圆觅 A.∠A R.∠CAD A.∠A>∠B 答案 G.∠BAG D.∠BD C∠A=LB D.没有量角器，无法确定 1.下列图中的∠1也可以用∠0表示的是 工如图2，在下面的四个 式中，不能表示0心是 10.计算：957‘+1848 ∠A0B的平分找的是( 1,如图7，货轮0在航行过程中，发现灯塔A A.∠A0C=∠BOC 5 在它的北偏西30“方向上，同时，海岛B在它的东 B.∠AOC=∠A0 2若一个多边形从一个顶点最多衡引出5 2,从九边形的一个顶点出发作的树角线有 南方向句上，贝∠A0B= 2.下列说法中，正确的是 C.∠A0B=2∠B0C 对角线，则这个多边形是 12.已知一个扇形的半径为24m.面积是 B.八力开形 A直线是一个平角 D.∠A0C+∠BOC=∠AOE A,六边形 C.5条D.6条 B.周角是一条射线 C九边形 A.3条B.4条 240πum2,该端形的圆心角为 D.十边形 3比萨斜塔从建成之日起就一直倾斜.目前， 3.如图1、∠A0C=0°，点B,0.D在同一直线 13.如图8，已知∠A0B=100,∠C0D 3.如图2，在扇形A0B中，∠A0B=9D C.角的两边是射线 它与地面所成的较小的角的是86°，则它与地面同 上，若∠1=23则∠2的度数为 AOC。∠BC,若扇形A0B所在圆的半径为 40°，0P平分∠A0C,0Q平分∠B0D,则∠P0Q的 D.角的两边是直 成的较大的角约是 A.113+B.107*C.870 D.157 数为 3,如图2A,B.C三人在同一直找上，AB= 2cm,则扇形AOC的面积为 4加闲3.日2B4D.占C年动0上青用 5米，BC=10米，下列说法正确的是 尺在∠BAD内部作LDCP,使得∠DCP A.2m em' B.cn A.C在A的北偏东0°方向的15米处 ∠B4D(傑留作国痕迹，不写作法). B.A在C的北偏东60方向的15米处 C.wem D.s cm C.B在C的北偏东0方向的10米 4月一平面内。点P到一个圆上的点的距离 D.B在A的北偏东30方向的5米处 鼎长为10m,最短为4cm,则该圆的半径为 4,下列说法正确的是 14.将一剖直角三角板ABC,ADE按如图9 4.10点0分时.钟表上的时针与分针构成的 m A,各边相等的多边形是正多边形 加战置，其中B与E重合，∠BAC=45“,∠BAD= 角的数为 5.将国成一个正五边形的一条细铁丝去 B,若AC=BC,则点C是线段AB的中点 30,将三角板ADE从图中位置开给绕点A逆时针 18(14分)已知∠A0B=100°，线0E,0F 5.解答下列问题 5m后，恰好可以围成一个正四边形若这时个 C质点在圆上的角叫作心，角 旋转一周，当∠DAC=90时，∠BAE的度数为 分别是∠A0C和∠C0B的平分线， (1)1.05等干多少分？等干多少秒y 正多边形的边长相等，求原来铁坐的长度 D,钟表显示9点，此时时针与分针的夹角是 (I)如图13-①D,若射线0C在∠AOB的内 (2)将0.23用度，分秒表示 00 三、耐心解一解（共44分） ，且∠A0C=30°，求∠0F的度数： 5.如图4，已知∠A0B=90，0E平分 5,如图2，点0在直线A8上，∠A0C= 15.(7分)如图10，已知∠1和∠2，请用尺规 (2)如图13-②，若射线0C在∠A0B的内部 ∠A0B,∠OF=60°，0F平分∠B0C,求∠B0C 7∠B0C+30°，0E平分∠B0C.则∠B0E的度数 作∠A0B,使得∠A0B=∠1-∠2 绕点0旋转，求∠EOF的度数： 利A0C的度数 (3)若射线0C在∠A0B的外部烧点0定转 6.如图3. 为 设桔中∠AC.∠OC均指小于180的角)，会 （1)写出能用一个字母表示的角 A40. B.50 C09 D.70 条件不变，请助图13-③探究∠E0F的大小 (2)写出以A为顶点的角 6.自行车的示意图如图3，∠ADC=65 (3)写出以C为顶点.C4为一边的所有角 ∠BCD55°，两车轮的直径均为60m,现要在自 行车两轮的阴影那分（分以C,D为圆心的两个 扇形)装上挡水的铁皮，那么安装单侧（别影部分】 6如图3，在正方形ABCD中，AD=4,以点B 需要的铁皮面积约是 为圆心，BC长为半径画孤，求阴影部分的面积（结 A.3=cm B.500=em' 果保留r) C.900m em' D.1 200m em 能刀提富 16.(0分)如图，把一个圆分成甲，乙，丙 7.如图4，在综合实践课上，老而上同学们动 6.如图5,0是直线AB上的一点，∠C0D 四个嘉形， 手操作在∠M0N内画一条射线时，观旅发现图 90°，0E平分∠B00 1 (1)求甲，乙，丙三个扇形的心角的度数 中共有3个角：在∠0N内画两条射线时，图中 (1)若∠A0C=30,求∠C0E的度数； 乙.如图4，点0在直线AB上，0C平分∠A0M (2)若国的半径为1m,求扇形丁的面枫 共有6个角：在∠M0N内画三条射时，图中共 (2)若LA0C=a,求∠D0E的度数（用合 且∠AOM=90°，射线DN在∠BOM的内廊.若 有0个角. 的代数式表示) ∠0C=5∠NOB,则∠MON的度数为( (1)在∠0N内国15条射即时，图中角的个 A.43 B戈3g C.639 D.73 数是 8.如图5，从点0引出6 (2)在∠0N内画n条射时，求图中角的 时线0A,0B.0C,0D,0E,0F 作刀提高 ∠AOB= 100°，0F平分 7.如图4.是由两个 ∠B0C,∠A0E=∠D0E, 入个爪 扇形组成的会的几何 ∠E0F=140°，则∠C0D的度 图形.0B=10,01=20 数为 ∠B0G=120°，图4中 A.12° B.15 的阴影部分的面积为 C18 D.20 二、细心填一填〔每小题4分，共24分) 敏理报社试题研究中心 9.如图6，∠A0 =90,以0为顶点的悦角 (参老答案见15期】 (下转第4版】