专题04 双角平分线模型与角n等分线模型（几何模型讲义）数学沪教版五四制2024六年级上册

专题04 双角平分线模型与角n等分线模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于角的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由角的和差确定解题方向，然后辅以角平分线来解决。但是，对于有公共部分的双角平分线模型，可以写出角的和差种类较多，这就增加了思考的难度。如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 5 11 角平分线的最早系统研究可追溯至欧几里得（约公元前330—前275年）所著的《几何原本》，他首次将角平分线理论化，这也为后来数学工作者提炼双角平分线模型提供了理论支持。在双角平分线模型基础上，通过推广角平分线的等分性质，形成更通用的角n等分线模型‌。两者均需结合图形分析，灵活选择结论或推导过程‌。 ‌ （24-25七年级上·浙江台州·期末）已知点在直线上，在直线的上方作两条射线、． (1)如图1，当时，写出图中互余的两个角______与______； (2)已知是的角平分线，是的角平分线，， ①如图2，当时，计算的度数； ②画图探究和之间的数量关系（可直接写出结果）． （24-25七年级下·重庆·期中）如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 图1 图2 图3 图4 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 1）角n等分线模型 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 例1（25-26七年级上·全国·期中）如图，，平分，平分，下列结论：①；②；③与可以拼成一个直角；④与可以拼成一个平角，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2（24-25七年级上·河北衡水·期末）如图，点，，在同一条直线上，，分别平分和．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例3（24-25七年级上·江西南昌·期末）如图，已知，是的三等分线，射线在内部，且，则的大小等于 ． 例4（24-25七年级上·河南新乡·期末）如图①，射线在内部，图中共有三个角，若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是 ． 例5（24-25七年级上·甘肃武威·期末）已知：如图1，分别为锐角内部的两条动射线，当运动到如图的位置时， (1)求的度数； (2)如图2，射线分别为的平分线，求的度数． (3)如图3，若是外部的两条射线，且平分，平分，当绕着点O旋转时，的大小是否会发生变化，若不变，求出其度数，若变化，说明理由． 1．（2025·河北石家庄·一模）如图，已知点O在直线上，为一条射线，射线和分别平分和，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）已知平面内，，射线、分别平分、，那么的度数是（   ） A． B．或 C． D．或 3．（24-25七年级上·山东济宁·期末）已知：如图，，，在的内部，平分，平分，则的度数等于（   ） A． B． C． D．大小不确定 4．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 5．（24-25七年级上·江西宜春·期末）如图，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“平衡线”.若，且射线是的“平衡线”，则的度数为 ．    6．（2025七年级上·全国·专题练习）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则OB是的一条三分线．    （1）如图1，若，则 ； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且． ①则 ； ②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 7．（24-25七年级上·全国·期末）如图，是内部的一条射线，分别平分，平分．下列结论：①；②；③；④．其中，所有正确结论的序号 ． 8．（24-25七年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，分别为内部三点，连接．已知平分平分．若，则的补角的度数为 ． 9．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图，平分，平分． （1）若，则的度数为 ； （2）若与互补，则 ． 10．（25-26七年级上·全国·单元测试）已知，，分别是和的平分线． (1)当射线在内部时，求的度数；的值随着在内转动是否变化，为什么？ (2)当在外部时，的值是否会随着的转变而变化？简单说明理由． 11．（25-26七年级上·全国·期中）如下图，平分平分，是直角． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 12．（24-25七年级上·江西吉安·期末）已知：如图，在内部有． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，平分，平分，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，当从的位置开始，绕着点O以每秒的速度顺时针旋转t秒时，使，求t的值． 13．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）已知，过O作射线， (1)平分，平分． ①如图1，当在内部时，求的度数（用含的式子表示）； ②当在外部时，在备用图中画出相应图形，并探究的度数是否改变？若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数（用含的式子表示）；（注：，均小于180度）． (2)如图2，若，平分，平分，求的度数（用含，的式子表示）． 14．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）【特例感知】 （1）如图1，已知线段，点A、B在线段MN上，点C和点D分别是和的中点，则______ ； 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部（在的上方），射线和射线分别平分和； ①若，求的度数； ②若，用含α、β的代数式表示． 15．（24-25七年级上·陕西汉中·期末）已知，在内部作射线OC，OD平分，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，在内部作射线OM，使，在外部作射线OE，使得，作OF平分，当时，求、的度数． 16．（24-25七年级上·陕西延安·期末）如图，已知O为直线上一点，是内部一条射线且满足与互补，，分别为，的平分线． (1)若，求与的度数； (2)若，求的度数． 17．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． 老师将三角尺如图1放置，三角板和三角板均可以绕点顺时针旋转且、与直线重合． (1)求的度数． (2)第一小组将三角板绕点旋转到如图2所在位置，此时恰好为直角，第二小组在他们旋转得到图形的基础上又加上两条角平分线，即平分，平分，让第一小组求的度数，请你帮忙解答； (3)第三小组玩嗨了，把三角板和从（2）题中位置处开始绕点顺时针旋转，转速分别为秒和秒，如图3，请问三角板边经过多少秒与三角板边首次重合?在三角板的边与三角板边首次重合前，与的比值是否发生变化?若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 18．（24-25七年级上·山东济南·期末）（1）特例探究：如图1，，，射线平分，平分，求的度数； （2）延伸拓展：如图2，，（α，β为锐角，），射线平分，平分．求的度数； （3）迁移应用：其实线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，已知点C是直线上一点，线段，，点M，N分别为，的中点，求的长． 19．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知O为直线上的一点，，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方，若，则射线的方向是 ；若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分，与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 20．（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）已知：，，，是从点O引出的三条射线． (1)如图1，若平分，平分，当时， ；当射线绕点O在内部旋转时， ． (2)如图2，若，平分，平分，当绕点O在内旋转时，试说明：与互余． (3)如图3，当射线在外，若，平分，平分． ①当小于时，猜想与的关系，并说明理由． ②当大于而小于时，直接写出的度数． 21．（24-25七年级上·全国·期末）已知，是内部的一条射线，且． (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，是直角，从点O出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； (3)如图3所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出和的数量关系； ②若，当，求t的值． 22．（24-25七年级上·广东珠海·期末）如图①，是内部的一条射线，、分别平分，． (1)若，，求 ； (2)与的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由； (3)如图②，如果是外部的一条射线，、分别平分，．那么（2）中与的大小关系还成立吗？请说明理由． 23．（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图1，已知射线，，，． (1)若，是的平分线，是的平分线，则___________． (2)若，，分别是和的平分线，，求的度数． (3)定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”． ①若平分，且为的“分余线”，则___________； ②如图2，，为的平分线，在的内部作射线，使，当为的“分余线”时，求的度数． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 双角平分线模型与角n等分线模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于角的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由角的和差确定解题方向，然后辅以角平分线来解决。但是，对于有公共部分的双角平分线模型，可以写出角的和差种类较多，这就增加了思考的难度。如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 5 11 角平分线的最早系统研究可追溯至欧几里得（约公元前330—前275年）所著的《几何原本》，他首次将角平分线理论化，这也为后来数学工作者提炼双角平分线模型提供了理论支持。在双角平分线模型基础上，通过推广角平分线的等分性质，形成更通用的角n等分线模型‌。两者均需结合图形分析，灵活选择结论或推导过程‌。 ‌ （24-25七年级上·浙江台州·期末）已知点在直线上，在直线的上方作两条射线、． (1)如图1，当时，写出图中互余的两个角______与______； (2)已知是的角平分线，是的角平分线，， ①如图2，当时，计算的度数； ②画图探究和之间的数量关系（可直接写出结果）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了余角和补角、角平分线的定义，解决本题的关键是根据角平分线的定义进行解答． （1）根据互余的定义，结合已知以及平角来找出互余的角； （2）①先根据已知条件求出的度数，再利用角平分线的性质求出的度数，最后通过，即可求解； ②设，用含的式子表示出，再根据角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 又∵， ∴， ∴互余的两个角为与； 故答案为：，； （2）解：①∵，， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴ ； ②如图：设， 则， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∵， ∴． （24-25七年级下·重庆·期中）如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了角的计算，分情况画图讨论是解题的关键． （1）当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，可得，再根据已知条件进行计算即可； （2）根据从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），，分两种情况画图：①当时，如图3，②当时，如图4和5，结合（2）进行角的和差计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， 当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2， ， 故答案为：； （2）解：从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），， ①当时，如图3， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图4， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图5， ， ， ， ，， ，， ， ， ，不合题意； 综上所述：的值为或． 图1 图2 图3 图4 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 1）角n等分线模型 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 例1（25-26七年级上·全国·期中）如图，，平分，平分，下列结论：①；②；③与可以拼成一个直角；④与可以拼成一个平角，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】此题主要考查角平分线的定义，角的和差计算，解题的关键是熟知角平分线的定义． 根据角平分线的定义求出各角度数，再判断各选项即可． 【详解】∵，平分， ∴ ∵平分． ∴， ∴，， ∴①，正确； ②，正确； ③与可以拼成一个直角，正确； ④与可以拼成一个平角，正确， 故选：D． 例2（24-25七年级上·河北衡水·期末）如图，点，，在同一条直线上，，分别平分和．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，根据得出，是解题的关键． 根据分别平分和，得出，从而得出． 【详解】解：∵分别平分和， ， ， 故选：C． 例3（24-25七年级上·江西南昌·期末）如图，已知，是的三等分线，射线在内部，且，则的大小等于 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了角的和差计算，理解图示，掌握角的三等分线的定义，角和差计算方法是解题的关键． 根据题意，分类讨论，数形结合分析即可求解． 【详解】解：∵，是的三等分线， ∴每一份是， 如图所示，， ∴； 如图所示，， ∴； 如图所示，， ∴， ∴； 如图所示，， ∴， ∴； 故答案为：或或 ． 例4（24-25七年级上·河南新乡·期末）如图①，射线在内部，图中共有三个角，若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的和差，正确分情况讨论是解题关键．分四种情况：时， 时，时，时，再根据角的和差进行计算即可． 【详解】解：由题意，分以下四种情况： ①当时，射线是的“幸运线”， ∵， ； ②当时，射线是的“幸运线”， ∵， ， ； ③当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； ④当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 例5（24-25七年级上·甘肃武威·期末）已知：如图1，分别为锐角内部的两条动射线，当运动到如图的位置时， (1)求的度数； (2)如图2，射线分别为的平分线，求的度数． (3)如图3，若是外部的两条射线，且平分，平分，当绕着点O旋转时，的大小是否会发生变化，若不变，求出其度数，若变化，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)的大小不会变化，理由见详解． 【分析】本题考查了角的和差计算、角平分线的定义，整体思想等知识点，掌握这些是解题的关键． （1）根据题目所给条件，结合图形计算，即可得出角度； （2）根据角平分线的定义计算的度数； （3）根据角平分线的定义以及角的和差关系，计算出的度数，即可得出的大小不会变化． 【详解】（1）解： ， ； （2） 射线分别为的平分线， （3） 的大小不会变化，理由如下： 又平分，平分， ． 1．（2025·河北石家庄·一模）如图，已知点O在直线上，为一条射线，射线和分别平分和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查是角平分线的定义，角的概念，角的计算，先根据角平分线的定义求出，再由得解． 【详解】解：∵射线和分别平分和， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）已知平面内，，射线、分别平分、，那么的度数是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了角的和差计算，角平分线定义以及分类讨论的思想，解题关键是运用分类讨论的思想． 分两种情况讨论：在的外部时，在的内部时，分别根据角的和差以及角平分线定义进行求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论：在的外部时， ，ON分别平分，， ，， ； 在的内部时，此时B与N重合， ，ON分别平分、， ，， ； 因此的度数为或． 故选D． 3．（24-25七年级上·山东济宁·期末）已知：如图，，，在的内部，平分，平分，则的度数等于（   ） A． B． C． D．大小不确定 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 根据角平分线，得到，从而得到结果． 【详解】解：， ， ∵平分， ， ∵平分， ， ， 故选： C． 4．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】C 【分析】分四种情况，分别计算，即可求解． 【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 综上，为或或， 故选：C． 【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 5．（24-25七年级上·江西宜春·期末）如图，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“平衡线”.若，且射线是的“平衡线”，则的度数为 ．    【答案】或或 【分析】本题主要考查了角的和差，几何图形中角的计算，正确分情况讨论是解题关键．分①，②，③，④四种情况，再根据角的和差进行计算即可得． 【详解】解：由题意，分以下四种情况： ①当时，射线是的“平衡线”， ， ； ②当时，射线是的“平衡线”， ， ， ； ③当时，射线是的“平衡线”， ，， ， 解得； ④当时，射线是的“平衡线”， ，， ， 解得； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 6．（2025七年级上·全国·专题练习）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则OB是的一条三分线．    （1）如图1，若，则 ； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且． ①则 ； ②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 【答案】 /度 /度 或 【分析】本题属于新定义类型的问题，主要考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线的定义，解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏． （1）根据三分线的定义计算即可； （2）①根据三分线的定义计算即可；②根据三分线的定义可得，由旋转得，然后分两种情况：当是的三分线，且时；当是的三分线，且时，分别求出和的值即可． 【详解】解：（1）解：∵， ∴, 故答案为：； （2）①∵，是的两条三分线，， ∴， 故答案为：； ②∵，，是的两条三分线， ∴， 由旋转得：， 分两种情况： 当是的三分线，且时，可得， ∴， ∴，即； 当是的三分线，且时，可得， ∴，即； 故答案为：或． 7．（24-25七年级上·全国·期末）如图，是内部的一条射线，分别平分，平分．下列结论：①；②；③；④．其中，所有正确结论的序号 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查的是角平分线的定义，难度适中，熟练进行不同角度之间的等量关系的转换是解决本题的关键． 根据角平分线的定义以及再根据角度之间的等量关系式进行等量代换即可得出答案． 【详解】解：∵分别平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故①正确； ∴， 即，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ，故④正确． 故答案为：①②③④ 8．（24-25七年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，分别为内部三点，连接．已知平分平分．若，则的补角的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，求一个角的补角的度数，由角平分线的定义可得的度数，进而求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，进而求出的度数，最后根据度数之和为180度的两个角互补即可求出答案． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴的补角的度数为， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图，平分，平分． （1）若，则的度数为 ； （2）若与互补，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的定义，互补的含义，角的和差运算； （1）由角平分线的性质可得，，结合角的和差运算可得答案； （2）由角平分线的性质可得，，结合与互补，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴； 故答案为： （2）∵平分，平分， ∴，， ∵与互补， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为： 10．（25-26七年级上·全国·单元测试）已知，，分别是和的平分线． (1)当射线在内部时，求的度数；的值随着在内转动是否变化，为什么？ (2)当在外部时，的值是否会随着的转变而变化？简单说明理由． 【答案】(1)；的值随着在内转动不会发生变化，理由见解析； (2)的值不会随着的转变而变化，理由见解析． 【分析】本题考查了角平分线定义，角的和差关系． （1）由，分别是和的平分线，可得从而可得答案；根据可得：不变，的大小不变； （2）据可得：不变，的大小不变． 【详解】（1）解：的值随着在内转动不会发生变化，理由如下： ，分别是和的平分线， ， ， ， ． 即的值随着在内转动不会发生变化； （2）解：的值不会随着的转变而变化，理由如下： 如图： ，分别是和的平分线， ， ， ， ． 即的值不会随着的转变而变化． 11．（25-26七年级上·全国·期中）如下图，平分平分，是直角． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题利用角平分线将角分成相等的两部分，结合为直角的条件，通过角度之间的和差关系求解． 【详解】解：（1）因为平分平分， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 故答案为：． （2）因为， 所以， 所以， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义以及角度的和差运算，解题关键是利用角平分线的性质，通过角度和差关系建立等式求解． 12．（24-25七年级上·江西吉安·期末）已知：如图，在内部有． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，平分，平分，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，当从的位置开始，绕着点O以每秒的速度顺时针旋转t秒时，使，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)19 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，关键是根据图形理清角之间的和差关系． （1）根据 计算即可； （2）先利用角平分线的定义求得，再利用求解即可； （3）根据题意可得，，再根据，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴    ． （2）解：∵平分，平分，，， ∴，， ， ∴． （3）解：由题意可知，， ， ∵， ， ． 13．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）已知，过O作射线， (1)平分，平分． ①如图1，当在内部时，求的度数（用含的式子表示）； ②当在外部时，在备用图中画出相应图形，并探究的度数是否改变？若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数（用含的式子表示）；（注：，均小于180度）． (2)如图2，若，平分，平分，求的度数（用含，的式子表示）． 【答案】(1)①，②不变，作图和理由见详解 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质及角的和差关系，熟练掌握角平分线的性质是解此题的关键． （1）①利用角平分线的定义，分别计算平分，平分的角度，最后即可求出的度数； ②先根据题意说明结论，再证明理由．此题中先作出题意对应的图形，再根据已知条件列出所求角度的对应关系可得出结论； （2）利用角平分线的定义，求得，，再根据列出的关系式，经过一系列计算后得到的度数． 【详解】（1）解：①∵， 又∵平分，平分， ∴． ②不变． 理由：∵平分， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， 即的度数为． （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴ 即的度数为． 14．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）【特例感知】 （1）如图1，已知线段，点A、B在线段MN上，点C和点D分别是和的中点，则______ ； 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部（在的上方），射线和射线分别平分和； ①若，求的度数； ②若，用含α、β的代数式表示． 【答案】（1）24；（2）①；② 【分析】本题考查了线段中点以及角平分线的有关计算，掌握整体思想是解题关键． （1）根据题意可得，再由线段中点的定义可得，即可求解； （2）①根据题意先求出，再根据角平分线的定义可得，即可求解；②根据题意先求出，再根据角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵点和点分别是和的中点， ，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）①∵， ∴， ∵射线和射线分别平分和， ，， ∴， ； ②∵， ∴， ∵射线和射线分别平分和， ，， ∴， 15．（24-25七年级上·陕西汉中·期末）已知，在内部作射线OC，OD平分，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，在内部作射线OM，使，在外部作射线OE，使得，作OF平分，当时，求、的度数． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了角的计算与角平分线的性质，解题的关键是利用角平分线的性质以及角之间的和差关系进行分析计算． （1）利用角平分线的性质，将角进行转化，结合已知条件求出的度数； （2）先根据已知条件求出的度数，再利用角之间的和差关系以及角平分线的性质求出和的度数． 【详解】（1）解：OD平分， ， ， ， 即； （2）解：， ． OD平分， ， ， ， ． ， 则， ，OF平分， ． 16．（24-25七年级上·陕西延安·期末）如图，已知O为直线上一点，是内部一条射线且满足与互补，，分别为，的平分线． (1)若，求与的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题主要考查了补角，角的计算，角平分线的定义，关键是根据图形，理清角之间的关系是解题的关键． （1）首先由互补求出，然后根据角平分线的定义得到，，进而求解即可； （2）首先根据同角的补角相等得到，求出，然后根据角平分线的定义得到，进而就即可． 【详解】（1）因为与互补，， 所以， 因为为的平分线， 所以， 因为为的平分线， 所以， 所以； （2）因为与互补，， 所以， 所以， 因为为的平分线， 所以， 所以． 17．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． 老师将三角尺如图1放置，三角板和三角板均可以绕点顺时针旋转且、与直线重合． (1)求的度数． (2)第一小组将三角板绕点旋转到如图2所在位置，此时恰好为直角，第二小组在他们旋转得到图形的基础上又加上两条角平分线，即平分，平分，让第一小组求的度数，请你帮忙解答； (3)第三小组玩嗨了，把三角板和从（2）题中位置处开始绕点顺时针旋转，转速分别为秒和秒，如图3，请问三角板边经过多少秒与三角板边首次重合?在三角板的边与三角板边首次重合前，与的比值是否发生变化?若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)经过秒后与首次重合，与的比值不变，比值为． 【分析】（1）利用平角为，结合三角板的角度（，），计算． （2）根据角平分线的定义，分别表示出和，再通过角的差计算． （3）根据旋转速度和初始角度差，列方程求出首次重合时间；再设时间为，分别表示出和，计算比值判断是否变化． 本题主要考查了角的计算、角平分线的定义以及旋转问题，熟练掌握角的和差关系、角平分线的性质以及利用方程解决旋转重合问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴； （2）解：∵平分，平分，， ∴，． 又∵，， ∴，． ∴； （3）解：设经过秒后与首次重合． ∵初始时，转速为秒，转速为秒， ∴， 解得， ∴经过秒后与首次重合． 设运动时间为秒（）， 则， ， ∴，即比值不变． 18．（24-25七年级上·山东济南·期末）（1）特例探究：如图1，，，射线平分，平分，求的度数； （2）延伸拓展：如图2，，（α，β为锐角，），射线平分，平分．求的度数； （3）迁移应用：其实线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，已知点C是直线上一点，线段，，点M，N分别为，的中点，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了角平分线的定义、几何图中角度的计算、与线段中点有关的计算、线段的和差，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先计算得出，再由角平分线的定义可得，，最后再由计算即可得解； （2）先计算得出，再由角平分线的定义可得，，最后再由计算即可得解； （3）分两种情况：当点在点的左边时；当点在点的右边时；根据线段的和差以及与线段中点有关的计算方法计算即可得解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵射线平分，平分， ∴，， ∴； （2）∵，， ∴， ∵射线平分，平分， ∴，， ∴； （3）如图，当点在点的左边时， ， ∵线段，， ∴， ∵点M，N分别为，的中点， ∴，， ∴； 如图，当点在点的右边时， ， ∵线段，， ∴， ∵点M，N分别为，的中点， ∴，， ∴； 综上所述，的长为． 19．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知O为直线上的一点，，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方，若，则射线的方向是 ；若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分，与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)北偏东；； (2)，理由见解析 【分析】本题考查与方向角有关的计算，与角平分线有关的计算，掌握方向角的定义，找准角之间的和差关系，是解题的关键： （1），得，，进而得，由此可得出答案；先求出，再根据角平分线定义得，再根据即可得出的度数； （2）设，则，，再根据角平分线定义得，进而得，由此可得出与之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴射线的方向是北偏东， 故答案为：北偏东； ∵，， ∴， ∵射线恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：与之间的数量关系是：， 理由如下： 设， ∵， ∴， ∴，， ∵射线仍然平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．（24-25七年级上·贵州铜仁·期末）已知：，，，是从点O引出的三条射线． (1)如图1，若平分，平分，当时， ；当射线绕点O在内部旋转时， ． (2)如图2，若，平分，平分，当绕点O在内旋转时，试说明：与互余． (3)如图3，当射线在外，若，平分，平分． ①当小于时，猜想与的关系，并说明理由． ②当大于而小于时，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)①互余，理由见解析；② 【分析】本题考查了角平分线的定义、余角等知识，熟练掌握角平分线的计算是解题关键． （1）先根据角的和差可得，再根据角平分线的定义可得，，然后根据求解即可得；先求出，再根据角平分线的定义可得，，然后根据求解即可得； （2）先求出，再根据角平分线的定义可得，，然后根据角的和差可得，由此即可得； （3）①先求出，再根据角平分线的定义可得，，然后根据角的和差可得，由此即可得； ②先求出，再根据角平分线的定义可得，，然后根据角的和差可得，最后根据求解即可得． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：；． （2）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴与互余． （3）解：①与互余，理由如下： 如图，当小于时， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴与互余． ②如图，当大于而小于时， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 21．（24-25七年级上·全国·期末）已知，是内部的一条射线，且． (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，是直角，从点O出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； (3)如图3所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出和的数量关系； ②若，当，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键． （1）先求出，再根据角平分线的定义得到，由此即可得到答案； （2）先求出，则，进一步求出，由角平分线的定义得到，进而可得； （3）①先求出，，根据题意可得，由此求出，，则；②求出，再由，，得到，把代入方程求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：①∵， ∴， ∴ 由题意得：， ∴，， ∴； ②由①知， ∵， ∴， ∵，， ∴， 把代入得： 解得， ∴若，当时，． 22．（24-25七年级上·广东珠海·期末）如图①，是内部的一条射线，、分别平分，． (1)若，，求 ； (2)与的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由； (3)如图②，如果是外部的一条射线，、分别平分，．那么（2）中与的大小关系还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)成立，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线，灵活利用角平分线的定义是解题的关键． （1）由角平分线的定义得出，进而即可求得； （2）由角平分线的定义得出，即； （3）由角平分线的定义得出，根据，，进而即可求解． 【详解】（1）解：、分别平分，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 、分别平分，， ， ， ， ； （3）解：成立，理由如下， 、分别平分，， ， ， ． 23．（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图1，已知射线，，，． (1)若，是的平分线，是的平分线，则___________． (2)若，，分别是和的平分线，，求的度数． (3)定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”． ①若平分，且为的“分余线”，则___________； ②如图2，，为的平分线，在的内部作射线，使，当为的“分余线”时，求的度数． 【答案】(1)75 (2) (3)①60；②或 【分析】本题考查了角平分线定义，互为余角的概念，角的和差计算，以及新定义的“分余线”的应用，熟练掌握相关知识，对新定义的理解和正确应用是解题的关键． （1）利用角平分线的定义与角的和差进行计算； （2）设，可得则，，，利用角平分线的定义和列方程求解； （3）①根据新定义，结合角平分线的定义求解；②设，根据角平分线的定义和 为的“分余线”，列方程求解． 【详解】（1）是的平分线，， ， 是的平分线， ， ． （2）如图1， 设，则， 若，则，，， 是的平分线， ， 是的平分线， ， ， ，解得， ． （3）①平分， ， 为的“分余线”， 或， 又， ， 解得． ②设，则， 在的内部作射线，使， ， 为的平分线， ， ， 当为的“分余线”时，或， 或， 解得或， 或． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $