专题03 线段中的双中点模型（几何模型讲义）数学沪教版五四制2024六年级上册

专题03 线段的双（多）中点模型 关于线段的计算，这类题型对于刚上初中的学生来说，是第一个要面对的几何难题。我们在解决这一类问题时，首先要有一个明确的思路，知道解题的方向，其次是如何根据思路列出相关的数量关系，最后就是正确计算问题。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.线段的双中点模型 4 模型2.线段的多中点模型 6 11 双中点模型源于对中点性质的逆向应用。线段的双中点模型是解决共线线段中点距离问题的几何工具，其核心结论为‌两个中点之间的距离等于共端点的两线段和或差的一半‌。 ‌通用公式‌：在线段AC上任取一点B（点B可以在线段上、延长线或反向延长线），分别取AB、BC的中点为M和N，则。‌ ‌应用技巧‌：在选择题或填空题中，直接利用中点模型可简化计算。该模型还可推广至‌多中点场景‌，如通过多个中点将复杂线段转化为简单比例关系。‌ （2025·河北保定·模拟预测）已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（    ） A． B． C． 或 D． 或 （2025·河北邯郸·二模）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为，2，点P，Q从点A同时出发，沿数轴匀速向点B运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度． (1)计算点A，B表示的数之和； (2)设运动时间为，当点P是的中点时，求t的值． 1）线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN，∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN，∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM，∴； 2）线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， 模型1.线段的双中点模型 例1（24-25七年级上·湖南湘西·期末）如图，已知线段，点C为线段上的一个动点，点D，E分别是和的中点． (1)若点C恰为的中点，求的长； (2)若，求的长； (3)试说明不论取何值（不超过），的长不变． 例2（24-25七年级下·江苏南通·开学考试）如图，点A、B、C在直线l上，点M为的中点，N为的中点，且，，求的长． 例3（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）如图，是线段上的任意两点，是的中点，是的中点．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 例4（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）数轴上两个点、对应的数为、，若、两点分别从、两点出发，各自以一定速度在数轴上运动，且点的运动速度为个单位/秒． (1)若、两点均向数轴正方向同时运动，当点运动到时，点恰好到达原点，求点的运动速度． (2)若、两点以（1）中的速度向右运动，运动多少时间时，？ (3)若点在、之间，点从点出发向数轴负方向运动．当点走到、两点的中点处时，它到、两点的距离和为多少？ (4)若点沿数轴向右运动，记的中点为，记的中点为，假设运动t秒，此时：点表示的数为 ，点表示的数为 ，点与点的距离 ． 例5（25-26七年级上·重庆·阶段练习）如图，点A、B、C、D在数轴上，点A表示的数是，点D 表示的数是9，． (1)线段 ； (2)若点B 以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，同时点C 以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动t秒后，， 求t的值． (3)若线段以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，同时线段以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，M是中点，N为中点，运动t秒后，求线段的长度． 模型2.线段的多中点模型 例1（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，已知是线段的中点，点、把线段三等分，已知线段的长为，那么的长为 ． 例2（24-25六年级下·山东济南·期末）已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（　　） A． B． C．或 D．或 例3（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）已知M是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），即或． (1)若，求的长． (2)若点在线段上，，，求线段的长． (3)若是延长线上的点，，，求线段的长． 例4（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，已知，是线段上的两点，，是的中点，，求的长． 例5（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，C为射线上一点，，比的多5，P、Q两点分别从A、B两点同时出发，分别以3单位/秒和2单位/秒的速度在射线上沿方向运动，运动时间为t秒，M为线段上一点，且，N为的中点，以下结论： ①；②；③当时，， 其中正确的是 ． 1．（24-25七年级上·广东清远·期末）如图，C、D是线段上两点，若，且D是的中点，则的长等于（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖南长沙·开学考试）如图，线段，点为的中点，点在线段上，，则线段的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25七年级上·贵州黔东南·期末）已知线段，C点是直线上的一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度（   ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图，点是线段上的一点且，点是的中点，点是的中点，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 5．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）如图，线段的长为，是的中点，将线段分为和两部分，且，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·全国·期末）如图，C是线段上一点，D，E分别是线段的中点，若，，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 7．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）线段，点C为线段上的三等分点，当点D为线段的中点，则线段的长为（  ） A．4 B．6 C．2或6 D．2或4 8．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点在线段上，且，点是的中点，，已知点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿线段向终点匀速运动，设点的运动时间为t秒，点是的中点，点是的中点，若，则t的值为 ． 9．（24-25七年级上·全国·期末）在直线l上顺次取A，B，C三点，使得，，若点O是线段的中点，则 ． 10．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）如图，线段，在直线上作线段，使得，若是线段的中点，是线段的中点，则线段的长为 ． 11．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点． ①运动后，；②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变；④当时，运动时间为．   以上说法正确的是 ． 12．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知线段，点、在上且满足，点从点出发沿射线方向以的速度运动，同时，点从出发沿射线方向以的速度运动，设运动时间为秒，点、分别为、的中点，当时，则 ． 13．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长是 14．（24-25七年级上·河南郑州·期末）若线段上的一个点把这条线段分成两部分，则称这个点是这条线段的三等分点．如图，两点分别从、同时出发，以相同的速度沿射线运动．在，出发的同时，点也从出发，以某一速度沿相同方向运动；在运动过程中，当点为的三等分点时，点恰好为中点，此时的长为 ． 15．（24-25七年级上·甘肃天水·期末）如图，为线段上一点，点为的中点，且，． (1)求的长； (2)若点在直线上，且，求的长． 16．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图1，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数是b，并且a、b满足． (1)点A表示的数为______，点B表示的数为______； (2)若点C是线段上一点，点H为线段的中点，图中所有的线段长度和是66，求点H表示的数； (3)若点P开始从点A以每秒2个单位的速度向右移动，同时点Q从点B开始以每秒1个单位的速度也向右移动，设运动时间为t秒，M是线段的中点，N是线段的中点．若线段，求t． 17．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）松花江大桥被称为“冰城第一桥”，是哈尔滨著名的旅游景点之一．现有一辆公交车（长度为）和一辆小汽车（长度为）在桥上匀速行驶，如图所示，以点O为原点，向右为正方向将大桥看成一条数轴，已知点A在数轴上表示的数是，点D在数轴上表示的数是36． (1)点B在数轴上表示的数是______；点C在数轴上表示的数是______；线段______． (2)若公交车以每秒3个单位长度的速度匀速向右运动，同时小汽车以每秒6个单位长度的速度匀速向左运动，设运动时间为t秒，当时，求t的值． (3)若公交车以每秒3个单位长度的速度匀速向左运动，同时小汽车以每秒6个单位长度的速度匀速向左运动，设运动时间为t秒，当时，点M为中点，点N为中点，求线段的长． 18．（24-25七年级上·四川泸州·阶段练习）如图，数轴上A，B，C三点对应的数分别是，，14，满足，动点P从A点出发，沿数轴以每秒1个单位长度匀速向左运动，动点Q从C点出发，沿数轴匀速向左运动，且两点同时出发． (1)则________，________． (2)当P点运动到数的位置时，Q点的运动位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度？ (3)点Q以（2）中的速度运动，当P、Q两点相距2个单位长度时，它们所对应的数分别是多少？ 19．（24-25七年级上·广东东莞·阶段练习）如图，已知A，B，C是数轴上的三点，点C表示的数是6，，． (1)写出数轴上点A，点B表示的数； (2)点M为线段的中点，，求的长； (3)动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，求t为何值时，原点O恰好为线段的中点． 20．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知A、B、C是数轴上三点，O为原点，点A、点B在原点的右侧，点C在原点左侧，点A表示的数为，若关于的多项式不含，且． (1)求点B、点C在数轴上所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒6个单位的速度沿数轴的正方向运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度沿数轴的正方向运动，M为的中点，点N在上，且，设运动时间为秒，请用含的式子表示点M、点N在数轴上所表示的数； (3)在（2）的条件下，若R为的中点，求为何值时，满足． 21．（24-25七年级上·贵州·期末） A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）． (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求的值； (3) M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图象，并求出线段的长． 22．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】 当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】 问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 线段的双（多）中点模型 关于线段的计算，这类题型对于刚上初中的学生来说，是第一个要面对的几何难题。我们在解决这一类问题时，首先要有一个明确的思路，知道解题的方向，其次是如何根据思路列出相关的数量关系，最后就是正确计算问题。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.线段的双中点模型 4 模型2.线段的多中点模型 6 11 双中点模型源于对中点性质的逆向应用。线段的双中点模型是解决共线线段中点距离问题的几何工具，其核心结论为‌两个中点之间的距离等于共端点的两线段和或差的一半‌。 ‌通用公式‌：在线段AC上任取一点B（点B可以在线段上、延长线或反向延长线），分别取AB、BC的中点为M和N，则。‌ ‌应用技巧‌：在选择题或填空题中，直接利用中点模型可简化计算。该模型还可推广至‌多中点场景‌，如通过多个中点将复杂线段转化为简单比例关系。‌ （2025·河北保定·模拟预测）已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（    ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】A 【分析】本题考查了有关线段中点的计算．熟练掌握线段中点的定义，线段的和差，分情况讨论，是解题的关键． 分两种情况讨论，①当点C在线段上时，②当点C在线段的延长线上时，根据线段中点定义及和差关系即可求解． 【详解】解：①当点C在线段上时，如图所示： ∵，， ∴（）， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴（）． ②当点C在线段的延长线上时，如图所示： ∵，， ∴（）， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴（）． 综上所述，线段的长度是8． 故选：A． （2025·河北邯郸·二模）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为，2，点P，Q从点A同时出发，沿数轴匀速向点B运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度． (1)计算点A，B表示的数之和； (2)设运动时间为，当点P是的中点时，求t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了数轴，熟练掌握数轴上点表示的数，两点间的距离，中点定义，一元一次方程的应用，是解题的关键． （1）A、B两点表示的数相加即得； （2）根据，写出．根据P是的中点，得，解方程即得． 【详解】（1）解：． （2）解：， ． 当点P是的中点时，， ∴， 解得． 1）线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN，∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN，∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM，∴； 2）线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， 模型1.线段的双中点模型 例1（24-25七年级上·湖南湘西·期末）如图，已知线段，点C为线段上的一个动点，点D，E分别是和的中点． (1)若点C恰为的中点，求的长； (2)若，求的长； (3)试说明不论取何值（不超过），的长不变． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了线段中点的性质，线段的和差计算，熟练掌握线段中点的概念是解题的关键． （1）根据线段中点的性质求出，，，进而求解即可； （2）首先求出，然后根据线段中点的概念求出，，进而求解即可； （3）根据线段中点的性质求解即可． 【详解】（1）解：若点C是中点，则， ∵点D、E分别是和的中点， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵点D、E分别是和的中点， ∴，， ∴； （3）解：∵点D、E分别是和的中点， ∴，， ∴． ∴不论取何值（不超过），的长不变． 例2（24-25七年级下·江苏南通·开学考试）如图，点A、B、C在直线l上，点M为的中点，N为的中点，且，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段中点的性质，线段的和差，解题的关键是熟练掌握线段中点的性质． 利用线段中点的性质得出相等的线段，然后再利用线段和差进行求解即可． 【详解】解：∵点M为的中点， ∴， ∵N为的中点， ∴， ∴， ∴． 例3（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）如图，是线段上的任意两点，是的中点，是的中点．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查线段的中点，线段的和差，掌握相关知识是解决问题的关键．首先根据，是线段上任意两点，可得，，所以；然后根据，，求出的值，即可求出的值；最后用的值加上的长度，求出线段的长是多少即可． 【详解】解：，是线段上任意两点，是的中点，是的中点， ，， ； ，， ， ， ． 故选：A． 例4（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）数轴上两个点、对应的数为、，若、两点分别从、两点出发，各自以一定速度在数轴上运动，且点的运动速度为个单位/秒． (1)若、两点均向数轴正方向同时运动，当点运动到时，点恰好到达原点，求点的运动速度． (2)若、两点以（1）中的速度向右运动，运动多少时间时，？ (3)若点在、之间，点从点出发向数轴负方向运动．当点走到、两点的中点处时，它到、两点的距离和为多少？ (4)若点沿数轴向右运动，记的中点为，记的中点为，假设运动t秒，此时：点表示的数为 ，点表示的数为 ，点与点的距离 ． 【答案】(1)点的运动速度为个单位/秒； (2)运动秒时，； (3)当点走到、两点的中点处时，它到、两点的距离和为； (4)，， 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离． （1）设点的运动速度为个单位/秒，根据题意列方程求解即可； （2）设运动时间为秒时，根据点和原点的位置关系分类讨论，列方程求解即可； （3）根据已知可得，由点之间的位置关系可得当点走到、两点的中点处时，它到、两点的距离和； （4）根据题意可得，从而可得点表示的数，根据点和点的位置关系，进行分类讨论，可得，从而可得点表示的数，减去点表示的数， 即可得点与点的距离． 【详解】（1）解：设点的运动速度为个单位/秒， 根据题意可得， 解得， ∴点的运动速度为个单位/秒． （2）解：设运动时间为秒时，， ∵点、对应的数为、， ∴，， 若点在原点左侧，， 解得， 若点在原点右侧，，无解， ∴运动秒时，． （3）解：∵点、对应的数为、， ∴， 当点走到、两点的中点处时，， ∴， ∴当点走到、两点的中点处时，它到、两点的距离和为． （4）解：， ∴点表示的数为， 若点在点左边， ， ∴点表示的数为， ， 若点在点右边， ， ∴点表示的数为， ， ∴点表示的数为，点表示的数为，点与点的距离． 故答案为：，，． 例5（25-26七年级上·重庆·阶段练习）如图，点A、B、C、D在数轴上，点A表示的数是，点D 表示的数是9，． (1)线段 ； (2)若点B 以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，同时点C 以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动t秒后，， 求t的值． (3)若线段以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，同时线段以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，M是中点，N为中点，运动t秒后，求线段的长度． 【答案】(1)9 (2)运动秒或秒后， (3) 【分析】本题主要考查数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间距离，一元一次方程的运用，理解数量关系，正确列式是关键． （1）根据数轴上两点之间距离的计算即可求解； （2）根据题意表示出移动后点B，C表示的数，结合两点之间距离的计算，分类讨论，列方程求解即可； （3）分别表示出移动后点A，B，C，D表示的数，结合两点之间距离，中点的计算列式求解即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数是，点D 表示的数是9，， ∴， ∴点B表示的数是，点C表示的数是， ∴， 故答案为：； （2）解：点B表示的数是，点C表示的数是，点B 以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，同时点C 以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动， ∴移动时点B表示的数为，点C表示的数为， 当点B在点C的左侧时，， 解得，； 当点B在点C的右侧时，， 解得，； 综上所述，运动秒或秒后，； （3）解：根据题意，移动后点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为， ∵M是中点，N为中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， 当点B，C重合时，， 解得，， ∵运动t秒后， ∴点C在点B的右边， ∴． 模型2.线段的多中点模型 例1（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，已知是线段的中点，点、把线段三等分，已知线段的长为，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两线段的和、差，掌握线段中点和三等分点的定义是解题的关键． 根据题意得出，，进而得到，计算即可得到答案． 【详解】解：解：，， ， 故答案为： ． 例2（24-25六年级下·山东济南·期末）已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查线段的中点有关的计算，先根据线段中点定义求得，再分和两种情况，画出图形，分别求解即可． 【详解】解：∵，点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的三等分点， 若，如图，则；    若，如图，则，    综上，的长为或， 故选：D． 例3（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）已知M是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），即或． (1)若，求的长． (2)若点在线段上，，，求线段的长． (3)若是延长线上的点，，，求线段的长． 【答案】(1)2或4 (2)3 (3)或 【分析】本题考查了两点间的距离，能画出符合题意的所有图形是解此题的关键，用了分类讨论思想． （1）根据题意画出两种图形，再求出即可； （2）根据题意画出两种图形，先求出长，再求出长，最后求出即可； （3）根据题意画出两种图形，先求出的长，再求出长，最后求出即可． 【详解】（1）分为两种情况： ①当时，如图，   ， ； ②当时，如图，   ， ； 所以的长为2或4； （2）分为两种情况： 当时，   ，， ， ， ， ； 当时，   ， ， ， （不符合题意，舍去）； 所以的长是3； （3）分为两种情况： ①当时，   ，， ， ， ， ； ②当时，   ，， ， ， ， ， 所以的长是或． 例4（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，已知，是线段上的两点，，是的中点，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查线段中点和线段的和与差，一元一次方程的应用，能够表示出线段的和与差是解题的关键． 先设，，，根据中点表示出，再由线段和差得到，求出，再由求解即可． 【详解】解：， 设，，， ， ∵是的中点， ， ， ， ， ． 例5（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，C为射线上一点，，比的多5，P、Q两点分别从A、B两点同时出发，分别以3单位/秒和2单位/秒的速度在射线上沿方向运动，运动时间为t秒，M为线段上一点，且，N为的中点，以下结论： ①；②；③当时，， 其中正确的是 ． 【答案】① 【分析】本题考查有关线段上的动点问题以及两点间的距离，根据已知，比的多5，列方程可得，进而得；再由P、Q两点分别以3单位/秒和2单位/秒的速度在射线上沿方向运动，运动时间为t秒，即得、的长，找到、、、之间的数量关系即可得结论． 【详解】解：当在线段上时， ∵，比的多5， ∴， 解得：， 则， ∴， 当在线段外时， ∵，比的多5， ∴， 解得：，不合题意； 故①正确； ∵P、Q两点分别从A、B两点同时出发，分别以3单位/秒和2单位/秒的速度在射线上沿方向运动，运动时间为t秒， ∴时间为时，，， 当在左边时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵N为的中点， ∴， ∴， ∴； 当在右边时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵N为的中点， ∴，此时不一定等于； 故②错误， 当在左边时，，， ∴当时， 则， 解得：， 当在右边时，，， ∴当时， 则， 解得：， 故③错误， 故答案为：①． 1．（24-25七年级上·广东清远·期末）如图，C、D是线段上两点，若，且D是的中点，则的长等于（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查两点间的距离、线段中点的定义、线段的和差等知识点，弄清图形线段的和差关系是解题的关键． 根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵D是的中点， ∴． 故选：A． 2．（24-25七年级下·湖南长沙·开学考试）如图，线段，点为的中点，点在线段上，，则线段的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题主要考查了线段的计算和线段的中点．先根据点为的中点可求出，再根据求出的长，进而根据可得出答案． 【详解】解：∵，点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 3．（24-25七年级上·贵州黔东南·期末）已知线段，C点是直线上的一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了线段和差，线段的中点等知识，分点在点右侧与点在点左侧两种情况考虑是解题的关键．分点在点右侧与点在点左侧两种情况画出图形求解． 【详解】解：当点在点右侧时，如图所示． ， ， ． 是中点，是的中点， ， ， ； 当点在点左侧时，如图所示． ， ， ． 是中点，是的中点， ， ， ． 综上所述：线段MN的长度为5 cm． 故选：B． 4．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图，点是线段上的一点且，点是的中点，点是的中点，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，先求出，由线段中点的定义可得，，求出，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故选：B． 5．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）如图，线段的长为，是的中点，将线段分为和两部分，且，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中点的定义，可求出和的长度，根据和的比例关系，可求出的长度，最后用加上即可求出的长． 【详解】解：∵点为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中点的定义和成比例线段，熟练地根据中点的定义和线段间的比例关系求出需要线段的长度是解题的关键． 6．（25-26七年级上·全国·期末）如图，C是线段上一点，D，E分别是线段的中点，若，，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差，以及线段中点的特点，根据D，E分别是线段的中点，推出，再结合求解，即可解题． 【详解】解：因为D，E分别是线段的中点， 所以， 所以 ， 又因为， 所以 ， 故选：C． 7．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）线段，点C为线段上的三等分点，当点D为线段的中点，则线段的长为（  ） A．4 B．6 C．2或6 D．2或4 【答案】D 【分析】此题主要考查线段之间的关系，中点的定义，解题的关键是熟知线段的和差关系； 根据点C是线段上的三等分点，分两种情况画图进行计算即可． 【详解】解：如图， 点C是线段上的三等分点， ， ， D是线段的中点，， ； 如图， 点C是线段上的三等分点， ， ， D是线段的中点，， ； 则的长为2或4． 故选：D． 8．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点在线段上，且，点是的中点，，已知点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿线段向终点匀速运动，设点的运动时间为t秒，点是的中点，点是的中点，若，则t的值为 ． 【答案】或． 【分析】本题考查了线段中点定义、线段的和与差．正确的画图，理清线段之间的和差关系，是解题的关键．注意，分类讨论． 根据点是的中点，，可以求出，，再由点P的运动方式确定，，进而根据中点确定，，再由列方程求解即可． 【详解】解：如图， ∵点是的中点，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 由题意得：，， ∴ 又∵点是的中点，点是的中点， ∴， ， ∴， ， ∵， ∴， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 综上所述：t的值为或． 9．（24-25七年级上·全国·期末）在直线l上顺次取A，B，C三点，使得，，若点O是线段的中点，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了中点的概念与线段的和差计算．理解中点的概念是解题的关键． 点O是线段的中点，则．先求出的长度，再根据中点的定义求出的长度． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∵点O是线段的中点， ∴， 故答案为：6． 10．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）如图，线段，在直线上作线段，使得，若是线段的中点，是线段的中点，则线段的长为 ． 【答案】1或5 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，分点C在线段上和点C在的延长线上两种情况，根据线段中点的定义求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当点C在线段上时， ∵，是线段的中点， ∴； ∵，是线段的中点， ∴， ∴； 如图所示，当点C在的延长线上时， ∵，是线段的中点， ∴； ∵，是线段的中点， ∴， ∴； 综上所述，的长为1或5； 故答案为：1或5． 11．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点． ①运动后，；②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变；④当时，运动时间为．   以上说法正确的是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了线段的中点定义，线段的和差倍问题，一元一次方程的应用，根据题意分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：运动后，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，故①错误； 设运动，则，， ∵为的中点，为的中点， ∴，， ∴， ∴的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ∵，， ∴， ∴的值不变，故③正确； ∵，， 当时，则， 解得，故④正确； 综上，说法正确的是②③④， 故答案为：②③④． 12．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知线段，点、在上且满足，点从点出发沿射线方向以的速度运动，同时，点从出发沿射线方向以的速度运动，设运动时间为秒，点、分别为、的中点，当时，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，线段的和差计算，一元一次方程的应用，根据相等之间的关系可得，以点A为原点，射线的方向为正方形，为1个单位长度建立数轴，则点A表示的数为0，点B表示的数为5，点C表示的数为20，点D表示的数为50，再求出点P表示的数为，点Q表示的数为，进而得到点E表示的数为，点F表示的数为，根据建立方程求解即可。 【详解】解：∵，， ∴， 如图所示，以点A为原点，射线的方向为正方形，为1个单位长度建立数轴， ∴点A表示的数为0，点B表示的数为5，点C表示的数为20，点D表示的数为50； 由题意得，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵点、分别为、的中点， ∴点E表示的数为，点F表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得或， ∴或， 综上所述，的长为或， 故答案为；或。 13．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长是 【答案】2或14 【分析】本题考查了线段中点及“折中点”的概念，解题的关键是理解折中点的定义，分情况讨论点D的位置（在或上），再结合线段长度关系列方程求解．由E是中点及，得；分D在上和上两种情况，根据“折中点分折线为等长两部分”列方程，求的长． 【详解】∵E是的中点，且， ∴． 分析折中点D的位置（分两种情况）： 折线的总长度为，折中点D需满足“从A到D的折线长等于总长度的一半”． 情况1：D在上， 此时为从A到D的折线长，且． 由折中点定义：，即，解得． 情况2：D在上， 此时从A到D的折线长为． 由折中点定义：，即，解得． 故答案为：2或14． 14．（24-25七年级上·河南郑州·期末）若线段上的一个点把这条线段分成两部分，则称这个点是这条线段的三等分点．如图，两点分别从、同时出发，以相同的速度沿射线运动．在，出发的同时，点也从出发，以某一速度沿相同方向运动；在运动过程中，当点为的三等分点时，点恰好为中点，此时的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了两点间的距离，解题关键是正确识别图形，理解线段与线段之间的和差倍分关系．先根据已知条件可知，然后分两种情况讨论：①当点靠近点的的三等分点，②当点靠近点的的三等分点，根据三等分点的定义和中点的定义，把、和都用表示出来，求出，从而求出即可． 【详解】解：、两点分别从、同时出发，以相同的速度沿射线运动， ， ①当点靠近点的的三等分点，如图所示： ， 为中点， ， ， ， ， ②当点靠近点的的三等分点，如图所示： ， 为中点， ， ， ， ， 综上，的长为或， 故答案为：或． 15．（24-25七年级上·甘肃天水·期末）如图，为线段上一点，点为的中点，且，． (1)求的长； (2)若点在直线上，且，求的长． 【答案】(1) (2)25或35 【分析】本题考查了线段的和差关系，线段中点的定义，数形结合是解题的关键． （1）根据线段中点的定义，可得，，再由，可得，即可求解； （2）分两种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，即可求解． 【详解】（1）解：点为的中点，， ，． ， ． ， ． （2）解：①当点在线段上时， 此时． ②当点在线段的延长线上时， 此时． 综上所述：的长为25或35． 16．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图1，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数是b，并且a、b满足． (1)点A表示的数为______，点B表示的数为______； (2)若点C是线段上一点，点H为线段的中点，图中所有的线段长度和是66，求点H表示的数； (3)若点P开始从点A以每秒2个单位的速度向右移动，同时点Q从点B开始以每秒1个单位的速度也向右移动，设运动时间为t秒，M是线段的中点，N是线段的中点．若线段，求t． 【答案】(1)；4 (2)点H表示的数为 (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值的非负性以及偶次方的非负性，数轴上两点间的距离公式，解题的关键是利用绝对值及偶次方的非负性，求出，的值，找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）利用绝对值及偶次方的非负性，可得出，，解之可得出，的值，进而可得出点A，表示的数； （2）设点C表示的数为x，则点H表示的数为：，根据图中所有的线段长度和是66，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）当运动时间为秒时，得出点表示的数为，点表示的数为，根据，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ，， ，， 点A表示的数为，点表示的数为4． 故答案为：；4． （2）解：如图， ∵点A表示的数为，点表示的数为4， 设点C表示的数为x， ∴点H表示的数为：， ∴，，， ，， ， ∴， 解得：， ∴， ∴点H表示的数为； （3）解：当运动时间为秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为：， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵， ∴， 解得：或． 的值为或． 17．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）松花江大桥被称为“冰城第一桥”，是哈尔滨著名的旅游景点之一．现有一辆公交车（长度为）和一辆小汽车（长度为）在桥上匀速行驶，如图所示，以点O为原点，向右为正方向将大桥看成一条数轴，已知点A在数轴上表示的数是，点D在数轴上表示的数是36． (1)点B在数轴上表示的数是______；点C在数轴上表示的数是______；线段______． (2)若公交车以每秒3个单位长度的速度匀速向右运动，同时小汽车以每秒6个单位长度的速度匀速向左运动，设运动时间为t秒，当时，求t的值． (3)若公交车以每秒3个单位长度的速度匀速向左运动，同时小汽车以每秒6个单位长度的速度匀速向左运动，设运动时间为t秒，当时，点M为中点，点N为中点，求线段的长． 【答案】(1)，33，54； (2)t的值或9； (3)． 【分析】本题考查了在数轴上表示点，两点间的距离，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）先求得，，，，再利用线段的和差即可得出答案； （2）设运动时间为t秒，依题意列出方程求解即可； （3）当运动时间为t秒时，得出点，点，点，点在数轴上表示的数，再根据点M为中点，点N为中点，得到点表示的数为，点表示的数为，即可求出． 【详解】（1）解：∵点A在数轴上表示的数是， ∴， ∵， ∴， ∵点在原点的左侧， ∴点表示的数为， ∵点D在数轴上表示的数是36， ∴， ∵， ∴， ∵点在原点的右侧， ∴点表示的数为， ∴， 故答案为：，，． （2）解：设运动时间为t秒，依题意得： 或， 解得：或， ∴当时，t的值为或； （3）解：当运动时间为t秒时，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为， ∵， ∴点一直在点的右侧， ∵点M为中点，点N为中点， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴． 18．（24-25七年级上·四川泸州·阶段练习）如图，数轴上A，B，C三点对应的数分别是，，14，满足，动点P从A点出发，沿数轴以每秒1个单位长度匀速向左运动，动点Q从C点出发，沿数轴匀速向左运动，且两点同时出发． (1)则________，________． (2)当P点运动到数的位置时，Q点的运动位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度？ (3)点Q以（2）中的速度运动，当P、Q两点相距2个单位长度时，它们所对应的数分别是多少？ 【答案】(1)，8 (2)3 (3)P点，Q点或P点，Q点 【分析】本题考查数轴与有理数，一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离是解题的关键： （1）根据点在数轴上的位置结合两点间的距离公式进行求解即可； （2）求出点表示的数，根据速度等于路程除以时间，进行求解即可； （3）分点在点左边和右边两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，可知：，， ∴； 故答案为：，8； （2）由题意，点移动的时间为秒； 点表示的数为：， ∴点的运动速度为：（单位长度/秒）； （3）开始时两点相距个单位长度，P的速度为1个单位长度/秒，Q的速度为3个单位长度/秒， P、Q相距两个单位长度时有两种情况： ①P在左侧，此时Q点运动的距离比P点多16个单位长度，即：，解得：， 此时P点位置为，Q点在的位置； ②Q点在左侧，此时此时Q点运动的距离比P点多20个单位长度，即，解得：， 此时P点位置为，Q点在的位置． 19．（24-25七年级上·广东东莞·阶段练习）如图，已知A，B，C是数轴上的三点，点C表示的数是6，，． (1)写出数轴上点A，点B表示的数； (2)点M为线段的中点，，求的长； (3)动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，求t为何值时，原点O恰好为线段的中点． 【答案】(1)A表示的数是，B表示的数是2 (2)7或13 (3)当时，原点O为的中点 【分析】本题主要考查数轴上的点与有理数，线段的和与差，线段中点，掌握数轴上的点与有理数的关系，能够表示出线段的和与差并分情况讨论，理解线段中点的含义是解题的关键． （1）根据点C表示的数和B，C之间的距离可求出B表示的数，然后再根据A，B之间的距离即可求出A表示的数； （2）根据M是的中点，求出的长度，然后分N点在C的左侧和右侧两种情况，当N在C左侧时，，当N在C右侧时，，最后利用即可得出答案； （3）原点O为的中点时，，分别用含t的代数式表示出，，然后建立方程，解方程即可求出t的值． 【详解】（1）解：如图，∵点C表示的数是6，， ∴B表示的数是． ∵， ∴A表示的数是， ∴A表示的数是，B表示的数是2； （2）解：∵，M是的中点． ∵， 因为， 当点N在点C的左侧时，，此时； 当点N在点C的右侧时，，此时； 综上，的长7或13； （3）解：∵A表示的数是， ∴ ∵C表示的数是6， ∴， ∵点P、点Q同时出发，且运动的时间为t秒， ∴，， ∴，， 当原点O为的中点时，， ∴．解得， 故当时，原点O为的中点． 20．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知A、B、C是数轴上三点，O为原点，点A、点B在原点的右侧，点C在原点左侧，点A表示的数为，若关于的多项式不含，且． (1)求点B、点C在数轴上所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒6个单位的速度沿数轴的正方向运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度沿数轴的正方向运动，M为的中点，点N在上，且，设运动时间为秒，请用含的式子表示点M、点N在数轴上所表示的数； (3)在（2）的条件下，若R为的中点，求为何值时，满足． 【答案】(1)点B所表示的数是10；点C所表示的数是 (2)点M所表示的数是；点N所表示的数是 (3)或 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值方程、两点间距离等知识点，理解题意，学会构建绝对值方程解决问题是解题的关键． （1）根据题意求出的值即可解答； （2）先表示出点P表示的数为：，点Q表示的数为：，再根据题意可得点M在数轴上所表示的数为，点N在数轴上所表示的数为即可； （3）由题意可得点R表示的数为、点M在数轴上所表示的数为，点N在数轴上所表示的数为，易得，再根据列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的多项式不含， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B所表示的数是10；点C所表示的数． （2）解：由题意可得：点P表示的数为：，点Q表示的数为：， ∵M为的中点，点N在上，且， ∴点M在数轴上所表示的数为，点N在数轴上所表示的数为． （3）解：∵点P表示的数为：，点Q表示的数为：，R为的中点，、 ∴点R表示的数为， ∵点M在数轴上所表示的数为，点N在数轴上所表示的数为， ∴， ∵， ∴， ①当时，，解得：， ②当时，，解得：， ③当时，，解得：（舍弃）． 综上所述，或． 21．（24-25七年级上·贵州·期末） A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）． (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求的值； (3) M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图象，并求出线段的长． 【答案】(1)； (2)4或6 (3)不变，见解析，长度始终是5 【分析】本题主要是考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，只要能够画出图形就可以轻松解决，但是要注意考虑问题要全面． （1）根据点P的运动速度，即可求出； （2）当时，要分两种情况讨论，点P在点B的左侧或是右侧； （3）分两种情况结合中点的定义可以求出线段的长度不变． 【详解】（1）解：因为点 P 的运动速度每秒2个单位长度， 所以当时，的长为2， 因为点 A 对应的有理数为，， 所以点P表示的有理数为； （2）解：当，要分两种情况讨论， 点P在点B的左侧时，因为，所以， 所以； 点P在点B的右侧时，， 所以； 综上分析可知：的值为4或6； （3）解：长度不变且长为5．理由如下： 当在线段上时，如图，    ∵M为线段 的中点，N 为线段的中点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． 当在线段的延长线上时，如图， 同理可得：； 综上：． 22．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】 当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】 问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 【答案】（1）3（2）①②（3）当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，线段中的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． （1）根据新定义，确定线段的长度，然后求点表示的数即可； （2）①利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； ②利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； （3）采用分类讨论的思想，根据动点的运动轨迹，结合新定义下的线段长度关系，列方程求解即可． 【详解】解：（1）， 根据题意得，， ∴表示的数是； （2）①点C在线段上时， 如图所示， ∵线段，的中点分别为点M，N， ∴， 又， ∴； ②点C在线段的延长线上时，当时，， 如图所示，此时，点是线段的中点，即点与点重合， ∵点为线段的中点， ∴， ∴； （3）点运动到终点所需时间为秒，点运动到终点所需时间是秒，设运动时间为秒，讨论如下： ①如图所示，当时，根据题意得， ， 解得； ②如图所示，当时，根据题意得， 解得； ③如图所示，当时，根据题意得， 解得（舍去）； ④如图所示，当点到达点折返回来后，时，根据题意得， 解得； 综上，当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $