专题04 双角平分线模型与角n等分线模型（几何模型讲义）数学湘教版2024七年级上册

专题04 双角平分线模型与角n等分线模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于角的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由角的和差确定解题方向，然后辅以角平分线来解决。但是，对于有公共部分的双角平分线模型，可以写出角的和差种类较多，这就增加了思考的难度。如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 5 11 角平分线的最早系统研究可追溯至欧几里得（约公元前330—前275年）所著的《几何原本》，他首次将角平分线理论化，这也为后来数学工作者提炼双角平分线模型提供了理论支持。在双角平分线模型基础上，通过推广角平分线的等分性质，形成更通用的角n等分线模型‌。两者均需结合图形分析，灵活选择结论或推导过程‌。 ‌ （24-25七年级上·广东东莞·期末）已知锐角，点为平面内一点，，分别平分和． (1)如图，点为内一点，求证：； (2)如图，点为外一点，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请证明； (3)当点在平面内其他位置时，与之间还存在其他的数量关系吗？请画图并直接写出结论． 【答案】(1)见解析 (2)（1）中的结论结成立．证明见解析 (3)存在，画图见解析，数量关系为． 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算； （1）先证明，，可得，进一步可得结论； （2）先证明，，可得，进一步可得结论； （3）先构建图形，证明，，可得，进一步可得结论； 【详解】（1）证明：，分别平分和， ，． ． ， ． （2）证明：（1）中的结论结成立． ，分别平分和， ，． ． ， ． （3）解：存在，如图所示，； 理由如下：，分别平分和， ，． ， ∵， ∴． （24-25七年级上·山东滨州·期末）已知内部有三条射线，，． (1)如图1，若，，平分，平分．求的度数； (2)如图2，若，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，以及角度的计算，正确理解角平分线的定义是解题的关键． （1）首先根据角平分线的定义求得，然后求得的度数，根据角平分线的定义求得，然后根据求解； （2）根据，，得出，，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵，平分， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴ ． 图1 图2 图3 图4 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 1）角n等分线模型 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 例1（24-25六年级下·山东东营·阶段练习）如图，平分平分． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，解题的关键是求出，； （1）根据角平分线的定义即可得到结论； （2）根据角平分线的定义可求出，，从而可求出的度数． 【详解】（1）解：平分，平分， ，， ； （2）解：是的平分线，是的平分线， 又 ． 例2（24-25六年级下·山东烟台·期末）（1）【原题初探】如图，已知，(在外)，平分，平分，直接写出的度数为 ； （2）【灵活变式】 ①若（1）中的，其他条件不变，直接写出的度数； ②如果（1）中的(为锐角)，其他条件不变，求的度数； （3）【概括表达】从（1）（2）的结论中，你能得到什么结论？ 【答案】（1）；（2）①；②；（3）从（1）（2）的结论中发现在此题中的度数永远等于的，与的大小无关 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，解题的关键是掌握角平分线的定义． （1）先求出的度数：，的度数是：，然后用的度数减去的度数即可的出的度数． （2）①根据问题（1）的解题思路把的度数用字母代替即可． ②根据问题（1）的解题思路把的度数用字母代替即可． （3）根据（1）（2）的得数可知：的度数是始终是的度数的一半． 【详解】解：（1），， ． 故答案为：． （2）①，， ． 答：的度数是． ②∠，， ． 答：的度数是． （3）从（1）（2）的结论中能得出：的度数是始终是的度数的一半，和的度数没有直接的关系． 例3（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则_______； (2)从图2中的位置绕点逆时针旋转（且），求的度数； (3)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了角的计算，分情况画图讨论是解题的关键． （1）当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，可得，再根据已知条件进行计算即可； （2）根据从图2中的位置绕点逆时针旋转（且），分两种情况画图：①当时，如（图，②当时，如（图，结合（1）进行角的和差计算即可； （3）根据从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），，分两种情况画图：①当时，如图3，②当时，如图4和5，结合（2）进行角的和差计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， 当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2， ， 故答案为：； （2）解：从图2中的位置绕点逆时针旋转且， ①当时，如（图， ， ， ， ； ②当时，如（图， ， ， ， ； 综上所述：的度数为； （3）解：从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），， ①当时，如图3， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图4， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图5， ， ， ， ，， ，， ， ， ，不合题意； 综上所述：的值为或． 例4（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图①，射线在内部，图中共有三个角，若其中有一个角的度数是另外一个角度数的一半时，则称射线为的“优线”． (1)的角平分线__________这个角的“优线”（填“是”或“不是”）；一个角共有__________条“优线”． (2)若，射线为的“优线”，则的度数为__________． (3)如图②，已知，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，射线从出发，绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，至相遇时停止，设旋转的时间为，问为何值时，射线是的优线？ 【答案】(1)是，3 (2)，， (3)24秒或30秒或秒 【分析】本题是一道阅读理解型的题目，主要考查角的和差运算，与角平分线，三等分线有关的计算，“优线”定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力，解题的关键是理解“优线”的定义． （1）根据“优线”定义即可求解； （2）分3种情况，根据“优线”定义即可求解； （3）分3种情况，根据“优线”定义得到方程求解即可； 【详解】（1）解：当是的角平分线时， ， 故的角平分线是这个角的“优线”， 同理：或时，为的“优线”． 故一个角共有3条“优线”． （2）解：射线为的“优线”， 当时， ， 当时， ， ， ， 当时， ， ， ， 综上所述，的度数为，， （3）解：旋转的时间后，，，， 当时，， 解得秒； 当时，， 解得秒； 当时，， 解得秒； 综上所述，为24秒或30秒或秒时，射线是的优线． 例5（24-25七年级上·山东青岛·期末）综合与实践 说明：本题中的角都是大于而小于的角． [问题初探] （1）如图1，射线在内部，，，求的度数． [操作探究] （2）如图2，若射线从开始绕点O以每秒旋转的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点O以每秒旋转5°的速度逆时针旋转；其中射线到达后立即改变运动方向，以相同速度绕O点顺时针旋转，当射线到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为t秒，当时，求t的值． [拓展延伸] （3）如图3，若射线从开始绕点O以每秒旋转的速度逆时针旋转，作平分，平分．设的旋转的时间为t秒． ①当时，求的度数； ②当时，直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）或或或；（3）①；②或 【分析】本题主要考查角度的和差运算，一元一次方程的应用，角平分线的性质，在解题过程中根据角度的变化进行恰当的分类讨论是解题的关键． （1）根据，进行求解即可． （2）分四种情况进行讨论：当、同向运动追及前，当、同向运动追及后，当、反向运动相遇前，当、反向运动相遇后，分别求出结果即可； （3）根据不同时间，运动的位置的不同，利用角平分线的定义进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴． （2）∵射线在内部，，， ∴， 当和第一次重合时： ∵从开始以每秒的速度逆时针旋转， ∴， ∵从开始以每秒的速度逆时针旋转， ∴，则， 当和重合时，，即，解得， 当到达时，即，此时， 当和第二次重合时： 由题意得，， ∴， ∵， ∴，解得， 当和停止运动时，，即， 以这几个节点展开进行分类讨论： 当时： ∵，， ∴， ∵，，， ∴，解得； 当时： ∵， ∴，解得； 当时： ∵， ∴，解得； 当时： ∵， ∴，解得． 综上所述，为或或或． （3）①∵以点每秒旋转的速度逆时针旋转，， ∴当到达时，即，此时， 当时， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 当时， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 综上所述，． ②当时， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 当时， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 综上所述，的度数为或． 1．（24-25七年级下·北京·开学考试）设，，，分别是，的角平分线，记．如果，互补，或者，互补，则称，是一对“分补角”． (1)若，（其中），且，是一对“分补角”，求的值； (2)如图2，，，是一对“分补角”，请直接给出的所有可能值，对于每一个的值，要求画出相应的图形，并与之互补的两个角各自的值． 例如：其中一个解如下：如图3，其中．此时与（角不必画出）互补．请再写出（并画出）其它所有满足条件的情况． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，补角的定义，角的和差，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）由题意可知不可能在内部，再画出图形，根据角平分线和“分补角”的定义求解即可； （2）分在内部和外部两种情况，分别画出图形，根据角平分线和“分补角”的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵，，是一对“分补角”， ∴不可能在内部， 如图，∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴， ∵，是一对“分补角”， ∴，即，解得∶； （2）解：当在内部时，如图∶ ∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴， 当时，， ∴； 当时，； 当在外部时， ①当为钝角时，如图， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当为锐角时，如图， 设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴． 综上，的可能值为或或或． 2．（24-25七年级上·云南文山·期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，，分别是和的角平分线． (1)求的度数； (2)如果，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，以及角度的和差计算． （1）利用平角的定义得出，再利用角平分线的定义可得出，，进而可得出． （2）利用角平分线的定义，再根据角的和差关系即可得出，． 【详解】（1）解：∵点A，O，B在同一条直线上， ∴， ∵，分别平分和． ∴，， ∴， 即． （2）∵，，平分， ∴， ∵ ∴， ∴． 3．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，将一副三角尺的两个角的顶点重叠在处，其中，，两条直角边落在直线上．将三角尺从图1的位置绕点以度/秒的速度顺时针旋转t秒．在旋转过程中，若为的角平分线，为的角平分线． (1)如图1，求的度数． (2)如图2，三角尺旋转过程中，若，当时，求t的值． (3)三角尺旋转过程中，当 秒时，． 【答案】(1)（1） (2) (3)或或 【分析】（1）利用角的和差解题即可； （2）根据角平分线得到和的度数，然后根据题意列方程解题即可； （3）分为三种情况画图，然后利用角平分线和角的和差得到和的度数，然后列方程求出t值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：旋转t秒时，，， ∵为的角平分线，为的角平分线， ∴，， ∵， ∴， 解得：； （3）①当时， 如图，， ， ∵， ∴，解得； ②当时， 如图，， ， ∵， ∴，解得； ③当时， 如图，，，， ∵为的角平分线，为的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴，解得； 综上所述，t的值为：或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查角的和差，角平分线的定义，旋转的性质，一元一次方程，利用分类讨论画图，列一元一次方程是解题的关键． 4．刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若射线在的内部，且，求的度数； (2)如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数 (3)若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是角的计算，角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．注意分类思想的运用． （1）先求出度数，根据角平分线定义求出和度数，求和即可得出答案； （2）根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可； （3）分两种情况：①射线，只有1个在外面，根据角平分线定义得出，，求出；②射线，个都在外面，根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可． 【详解】（1）解： 是 的平分线，， 是 的平分线， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解： 是 的平分线，是 的平分线， ，， ①延长至点，当在 的内部， ； ②延长至点，延长至点，当在内部， ， ； ③延长至点，当在 内部， ， ， ， 综上，度数为 或． 5．（24-25七年级下·广东湛江·期中）已知，，直线与直线、分别交于点E、F． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，与的角平分线交于点P，与交于点G，且．求证：． (3)如图3，在（2）的条件下．连接，K是上一点使，作平分，问的大小是否发生变化，若不变，请求出其值；若变化，说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)不变，的度数为 【分析】（1）利用两直线平行，同位角相等，和平角的定义，解答计算即可． （2）根据两直线平行，同旁内角互补，证明，利用垂直同一直线的两直线平行，证明． （3）设，则．．．结合解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵, ∴， ∵与的角平分线交于点P， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：的大小不变，且度数为．理由如下： ∵， ∴． 设， ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． 答：的度数为． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线的定义，三角形外角性质，角的和差表示，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键． 6．（24-25七年级上·河南郑州·期末）数学活动课上，老师带领同学们开展“角平分线”的专题研究活动． (1)操作计算 如图1，小明所在学习小组将一直角三角板的直角顶点放在直线上且三角板可以绕点旋转，接着小明分别作出了和的角平分线和． 若，则的度数为______． (2)迁移探究 小明将三角板绕点顺时针旋转到如图2所示位置，若，平分，平分，则的度数是否与（1）中的结果相等？若相等，请说明理由，若不相等，请求出的度数． (3)拓展延伸 小明继续将三角板绕点顺时针旋转，当，平分，平分时，直接写出的度数．（本题中的角均指小于的角） 【答案】(1)45° (2)相等，理由见解析 (3) 【分析】本题考查角平分线定义和角的计算，熟练掌握并根据图形和已知求出各个角的度数是解题的关键． （1）先求得，，再利用角平分线的定义求得，，结合图形计算即可得解； （2）先求得，，再利用角平分线的定义求得，，结合图形计算即可得解； （3）画出图形，同（2）的方法，结合图形计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：相等，理由如下： ∵，， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 7．（24-25七年级上·陕西·期末）【问题背景】 如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线.    【初步探究】 （1）如图1，已知，是的角平分线. ①则_____； ②若，是的角平分线，求的度数； 【拓展提升】 （2）如图2，若，，且，求的度数． 【答案】（1）①15；②；（2） 【分析】本题考查了求角度，角平分线的应用． （1）①由角平分线的性质，可得到； ②由角平分线的性质，得到度数，由已知条件中，得到的度数，利用角平分线，得到结果； （2）设，通过已知条件，求得，从而得到结果． 【详解】解：（1）①∵，是的角平分线， ∴， 故答案为：15； ②因为，是的平分线， 所以， 因为， 所以， 因为平分， 所以； （2）设，则， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 解得， 因为， 所以． 8．（24-25七年级上·广西梧州·期末）如图1，点O在直线上，过点O在直线同侧作两条射线；分别是的角平分线． (1)若，那么是多少度？ (2)若，请你猜想是多少度（结果用含α的代数式表示）？并说明理由． (3)其实线段的计算和角的计算存在着紧密的联系．如图2，已知线段，点C，D是线段上两点，线段，点M，N分别是的中点，求的长．（结果用含m，n的代数式表示） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）依据题意即可得到,，再根据，即可得出结果; （2）依据题意即可得到，，再根据，即可得出结果; （3）根据点分别是的中点，可得到，再根据，即可得到结果； 本题考查了角平分线的定义以及线段的有关计算的应用，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点． 【详解】（1）分别是的角平分线， ,     , ， ， （2）猜想：， ∵分别是的角平分线 ,     , ， ， （3）点分别是的中点， ， , 9．（24-25七年级上·湖南常德·期末）如图，已知为直线上一点，与互余，，分别为，的角平分线． (1)与相等吗？请说明理由； (2)若，试求的度数． 【答案】(1)相等，理由见解析 (2) 【分析】本题考查角度问题，涉及互余概念、角平分线定义、角度和差倍分关系、邻补角等知识，数形结合，准确表示出角度之间的和差倍分关系是解决问题的关键． （1）数形结合，利用互余及角平分线定义，结合角度之间的和差倍分关系列式即可得到答案； （2）由角度的倍分关系，借助角的互余及邻补角互补关系列式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：相等． 理由如下： 与互余， ， ，分别为，的角平分线， ，， ， ； （2）解：， ， 与互余， ，即，， ，即． 10．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知下图中的均为直角． (1)如图一，是的角平分线，是的角平分线； ①若，求的大小； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (2)如图二，若内部的射线OP、OQ把分成了三部分，且使得，我们称OP、OQ为的“三等分线”． 在图三中，OD是的三等分线，OE是的三等分线，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；②； (2)或或或． 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，解题的关键是理解题意，分情况讨论，进而求解． （1）①根据角平分线的定义，求得和的大小，进而求解；②根据角平分线的定义，求得和的大小，进而求解； （2）根据“三等分线”的定义，分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：是的角平分线，是的角平分线 ∴， ∵均为直角 ∴ ①由可得， ∴； ②由可得， ∴； （2）是的三等分线，是的三等分线，分以下四种情况， 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 综上：的度数为或或或． 11．（24-25七年级上·广东韶关·期末）完成下面的解答过程． 如图，是直角的角平分线，是的角平分线，若，求的度数．    解：∵是直角， ∴． ∵是直角的角平分线， ∴____________． ∵， ∴____________． ∵是的角平分线， ∴____________． 【答案】，，，，， 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，由角平分线的定义可得，，即可得出答案，熟练掌握角平分线的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵是直角， ∴， ∵是直角的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故答案为：，，，，，． 12．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）【综合与探究】 课堂上，李老师让同学们以“角平分线”为主题开展探究活动：如图，已知，是内部两条射线，，且．    (1)如图1，若平分平分，则的度数为______； (2)如图2，若平分平分，求的度数； (3)在（2）的条件下，在内沿顺时针方向绕点转动，在转动过程中，若，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)的度数为或． 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，角度的计算，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握角度的计算是解决问题的关键；分类讨论是难点，漏解是易错点． （1）设，，根据角平分线的定义得，，则，再根据，得，然后根据可得出答案． （2）设，，则，，根据角平分线的定义得，，进而得 ，再根据，得，然后根据可得出答案； （3）分两种情况讨论如下：①当在的左侧时，先得，根据角平分线得，进而得，则，然后根据角平分线得，然后根据可得出的度数；②当在的右侧时，先得，根据角平分线得，进而得，则，再根据角平分线得，然后根据可得出的度数，综上所述即可得出的度数． 【详解】（1）解：如图1所示：    设，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）如图2所示：    设，， ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴； （3）在（2）的条件下，在内沿顺时针方向绕点O转动，有以下两种情况： ①当在的左侧时，如图3所示：    ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②当在的右侧时，如图4所示：    ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 综上所述：的度数为或． 13．（24-25七年级上·江苏南京·期末）已知分别是和的角平分线． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，则______（用含的代数式表示）． 【答案】(1)90度 (2) 【分析】本题考查与角平分线有关的计算．找准角度之间的数量关系，是解题的关键． （1）先求出的度数，根据角平分线的性质，得到的度数，进一步求出的度数即可； （2）先求出，根据根据角平分线的性质，得到，进而推出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵分别是和的角平分线， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵分别是和的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴ 故答案为：． 14．（24-25七年级上·陕西商洛·期末）如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． (1)如图1，若分别是的角平分线，求的度数； (2)如图2，平分，且．若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，角度的计算，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． （1）利用角平分线的定义分别求得，，据此求解即可； （2），可得，再由平分，求出，继而求出，，即可求解． 【详解】（1）解：，，、分别是、的角平分线， ，， ； （2）解：∵，． ∴， 平分， ∴， ， ∴ 又∵， ∴， ． 15．（24-25七年级下·重庆九龙坡·开学考试）如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． (1)如图，若，，分别是的角平分线，求的度数； (2)如图，若平分，且，，则和之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】（）利用角平分线的定义分别求得，，据此求解即可； （）设，则，设，求得，根据题意列出等式，即可求解； 本题考查了角平分线的定义，角度的计算，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 【详解】（1）∵，，分别是的角平分线， ∴，， ∴； （2），理由如下， ∵， ∴设，则， 设， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴． 16．（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）【情境探究】 如图1，已知线段，，线段在线段上运动，E，F分别是的中点，探究线段的特征． (1)若，则________； (2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由； (3)如图2，已知，，在内部转动，分别是和的角平分线，求的度数； (4)请直接写出，和之间的数量关系． 【答案】(1) (2)不变，cm (3) (4) 【分析】（1）根据，求出的长，中点的性质，求出的长，再根据计算即可； （2）中点得到，，根据，以及，推出，即可； （3）角平分线得到，，根据，推出，即可； （4）同（3）即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴cm， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：的长度不变．理由如下： ∵E，F分别是的中点， ∴，， ∴ ∵，， ∴ （3）解：∵分别是和的角平分线， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴． （4）解：∵分别是和的角平分线， ∴，， ∴ 【点睛】本题考查线段中点有关的计算，与角平分线有关的计算．解题的关键是正确的识图，找准线段之间的和差关系，角之间的和差关系． 17．（24-25七年级上·湖南永州·期末）点O为直线上一点，在直线同侧任作射线同侧任作射线，使得． (1)如图一，过点O作射线，使为的角平分线．若时．则 ， ； (2)如图二，过点O作射线．当恰好为的角平分线时，另作射线．使得平分． ①若，求的度数； ②若（），则的度数是 （直接填空）； (3)过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，则的度数是 ． 【答案】(1)65，40 (2)①；② (3)或 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算．熟练掌握角平分线定义，得出角之间的关系是解决问题的关键． （1）根据图中角的和差关系和角平分线的定义求解； （2）根据角平分线的定义求出和，再根据求解； （3）分在内部和在外部两种情况，分别计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， 平分， ， ， 故答案为：65，40； （2）解：① ， 平分平分， ， ； ②， ， 平分平分， ， ， 故答案为：； （3）解：当在内部时，如图： 平分， ， ， ， 平分， ； 当在外部时，如图： 平分， ， ， ， 平分， ， 综上可知，的度数是或， 故答案为：或． 18．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知是的角平分线，是的角平分线． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了与角平分线有关的运算： （1）由是的角平分线，是的角平分线，得，再根据，即可作答． （2）同理，得，再根据，即可作答． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是的角平分线，是的角平分线 ∴ ∴ （2）解：∵是的角平分线，是的角平分线，且，， ∴， ∴． 19．（2024六年级下·山东济宁·竞赛）在数学活动课上，老师和同学们开展了以“线段与角的共性”为主题的数学活动．研究发现线段中点的概念与角平分线的概念类似，甚至它们在计算方法上也有类似之处，它们之间的题目可以互相转化，解法可以互相借鉴．如图1，点是线段上的一点，是的中点，是的中点． (1)会用数学的眼光观察： ①若，，则的长度为______； ②若，，则的长度为______； (2)会用数学的语言表达：“创新”小组的同学类比想到：如图2，已知，在角的内部作射线，再分别作，的角平分线，． ③若，则的度数为______； ④若，则的度数为______； (3)会用数学的思维分析：“慎密”小组在“创新”小组的基础上提出：如图3，若，在角的外部作射线，再分别作，的角平分线，．若，则的度数为______． 【答案】(1)①3；② (2)③；④ (3) 【分析】本题考查线段中点的性质，角平分线的性质． （1）把看成，再利用线段中点的性质即可； （2）把看成，再利用角平分线的性质即可； （3）把看成，再利用角平分线的性质即可． 【详解】（1）解：是的中点，是的中点， ，， ， ①， ； ②， ； （2）平分，平分， ，， ， ③， ； ④， ； （3）平分，平分， ，， ， ， ． 20．（24-25七年级上·河南郑州·期末）我们学习了“角平分线”的定义，知道角平分线在角的计算中有着非常重要的作用，请根据所学知识进行下列探究： 已知，，，分别平分和． (1)如图①，，在同一直线上，则_________； (2)如图②，在内部，且，则_________； (3)若将（2）中改为，其他条件不变，请求出的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，正确找出的不同位置是解答本题的关键． （1）根据角平分线的定义，求得，，即可得到答案； （2）根据角的和差得到，，因此，，从而可的答案； （3）分在右侧和左侧两种情况，根据角的和差分别列方程求解，可分别得到答案． 【详解】（1），分别平分和， ， ， ； 故答案为：． （2）当在内部， ，， 由（1）知，， ； 故答案为：． （3）设，， 当在右侧时，如图②， ， 解得， ； 当在左侧时，如图③， ， 解得， ； 综上所述，的度数为． 21．（24-25七年级上·广东深圳·期末）【问题情境】乐乐学习了角的相关知识后，对角度的计算比较感兴趣，请你和乐乐一起来探究下面的问题吧．已知，射线分别是和的角平分线．    (1)【初步感知】若射线在的内部，且，求的度数； (2)【探究发现】若射线在的内部绕点O旋转，则的度数为______； (3)【拓展延伸】若射线从出发，绕着点O顺时针方向旋转，旋转的角度不超过，其余条件不变，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数（不写探究过程）． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查角的和差倍分，角平分线的定义，第三问需分情况讨论： （1）根据角的和差关系求出，再根据角平分线的定义求出，，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，，代入，可得； （3）分两种情况：当在三角形内部时，根据角的和差关系，结合可得；当在三角形外部时，根据角的和差关系，结合可得，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 射线分别是和的角平分线， ，， ； （2）解：射线分别是和的角平分线， ，， ， 故答案为：； （3）解：分两种情况： 当在三角形内部时，如下图所示：   射线分别是和的角平分线， ，， ， ， ， ， ； 当在三角形外部时，如下图所示：   射线分别是和的角平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ， 综上可知，的度数为或． 22．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）【问题背景】 数学活动课上，老师将一副三角尺按图1所示位置摆放，分别作出，的平分线，，然后提出如下问题：求出的度数． 【特例探究】 小明同学决定从特例入手探究老师提出的问题，他将三角尺分别按图2方式摆放，，仍然分别是，的角平分线．其中，， （1）请你帮助小明计算出的度数为_______； 【发现感悟】 小明发现，按图1摆放时，条件不变，虽然不知道的度数，但也可以求出的度数． （2）请你帮小明完成这个问题的解答； （3）积累了以上探究问题的经验，结合图3，若，则=_______； 【类比拓展】 （4）已知，若是外一条射线，，，分别平分，，当时，求出m的值（自己画出示意图求解）． 【答案】（1）  （2）  （3）  （4） 或 【分析】本题考查了角平分线，关键是注意分类讨论. （1），代入数值即可解题； （2），把代入计算即可； （3），把代入计算解题； （4）分两种情况分别画出图形，进行计算解题． 【详解】（1）∵，分别是的角平分线， ， ， ， ， 故答案为: ； （2） ， ∴； （3） ， ∴， 故答案为： ； （4）如图， ， ， 解得：； 如图， ， ， ， 解得： ， ∴的值为 或 23．（24-25七年级上·四川广安·期末）如图，已知，射线在的内部，射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线． (1)若平分，求的度数． (2)小明说：“不论射线在的内部哪个位置，的度数始终保持不变．”你认为小明的说法是否正确？请说明理由． 【答案】(1) (2)正确，理由见解析 【分析】本题考查角平分线和角三等分线，角的和与差． （1）根据角平分线得到，再根据三等分线可得和的度数，最后利用可得答案； （2）正确，按照（1）的思路计算即可． 【详解】（1）∵，平分， ∴， ∵射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线， ∴， ， ∴； （2）小明是说法正确， ∵射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线， ∴，， ∴． 24．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）（1）如图1，点在线段上，图中共有3条线段：，和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”．则线段上共有_____个“二倍点”． （2）类似的如图1，射线在内部，图中共有3个角：，和，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“二倍线”．则内部共有_____条“二倍线”． （3）如图2，若线段，点． 从点的位置开始，以每秒的速度向点A运动，当点到达点A时停止运动，设运动的时间为秒．问为何值时，点是线段的“二倍点”． （4）如图3，若，射线从射线的位置开始，绕点按逆时针方向以每秒的速度向射线旋转，当射线到达射线的位置时停止旋转，设射线旋转的时间为秒，若射线是的“二倍线”，求的值． 【答案】（1）3；（2）3；（3）秒或5秒或10秒；（4）15秒或10秒或20秒 【分析】本题是几何变换综合题，考查了线段和角倍数关系，新定义的理解和运用等知识，并与方程相结合，运用分类讨论的思想解决问题． （1）根据C是线段的“二倍点”，即可解答； （2）根据射线是的“二倍线”，即可解答； （3）根据线段的“二倍点”的定义分三种情况即可解答； （4）根据的“二倍线”的定义分三种情况即可解答． 【详解】解：（1）当点C是的中点时，， 当点C为靠近B的三等分点时，， 当点C为靠近A的三等分点时，， ∴线段上共有3个“二倍点”； 故答案为∶3； （2）有三种情况∶ ①当为角平分线时，， ②当靠近的三等分线时，， ③当靠近的三等分线时，， ∴内部共有3条“二倍线”； 故答案为∶3； （3）分三种情况∶ ①当点M是的中点时，， ∴， ∴， ②当点M为靠近B的三等分点时，， ∴， ∴， ③当点M为靠近A的三等分点时，， ∴， ∴， 综上：t为秒或5秒或10秒时，点M是线段的“二倍点” （4）有三种情况∶ ①当为角平分线时∶， ∴， ∴， ②当靠近的三等分线时，， ∴ ∴； ③当靠近的三等分线时，， ∴ ∴； 综上，t的值是15秒或10秒或20秒时射线是的“二倍线” 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 双角平分线模型与角n等分线模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于角的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由角的和差确定解题方向，然后辅以角平分线来解决。但是，对于有公共部分的双角平分线模型，可以写出角的和差种类较多，这就增加了思考的难度。如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 5 11 角平分线的最早系统研究可追溯至欧几里得（约公元前330—前275年）所著的《几何原本》，他首次将角平分线理论化，这也为后来数学工作者提炼双角平分线模型提供了理论支持。在双角平分线模型基础上，通过推广角平分线的等分性质，形成更通用的角n等分线模型‌。两者均需结合图形分析，灵活选择结论或推导过程‌。 ‌ （24-25七年级上·广东东莞·期末）已知锐角，点为平面内一点，，分别平分和． (1)如图，点为内一点，求证：； (2)如图，点为外一点，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请证明； (3)当点在平面内其他位置时，与之间还存在其他的数量关系吗？请画图并直接写出结论． （24-25七年级上·山东滨州·期末）已知内部有三条射线，，． (1)如图1，若，，平分，平分．求的度数； (2)如图2，若，，，求的度数． 图1 图2 图3 图4 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 1）角n等分线模型 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 例1（24-25六年级下·山东东营·阶段练习）如图，平分平分． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数． 例2（24-25六年级下·山东烟台·期末）（1）【原题初探】如图，已知，(在外)，平分，平分，直接写出的度数为 ； （2）【灵活变式】 ①若（1）中的，其他条件不变，直接写出的度数； ②如果（1）中的(为锐角)，其他条件不变，求的度数； （3）【概括表达】从（1）（2）的结论中，你能得到什么结论？ 例3（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则_______； (2)从图2中的位置绕点逆时针旋转（且），求的度数； (3)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 例4（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图①，射线在内部，图中共有三个角，若其中有一个角的度数是另外一个角度数的一半时，则称射线为的“优线”． (1)的角平分线__________这个角的“优线”（填“是”或“不是”）；一个角共有__________条“优线”． (2)若，射线为的“优线”，则的度数为__________． (3)如图②，已知，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，射线从出发，绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，至相遇时停止，设旋转的时间为，问为何值时，射线是的优线？ 例5（24-25七年级上·山东青岛·期末）综合与实践 说明：本题中的角都是大于而小于的角． [问题初探] （1）如图1，射线在内部，，，求的度数． [操作探究] （2）如图2，若射线从开始绕点O以每秒旋转的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点O以每秒旋转5°的速度逆时针旋转；其中射线到达后立即改变运动方向，以相同速度绕O点顺时针旋转，当射线到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为t秒，当时，求t的值． [拓展延伸] （3）如图3，若射线从开始绕点O以每秒旋转的速度逆时针旋转，作平分，平分．设的旋转的时间为t秒． ①当时，求的度数； ②当时，直接写出的度数． 1．（24-25七年级下·北京·开学考试）设，，，分别是，的角平分线，记．如果，互补，或者，互补，则称，是一对“分补角”． (1)若，（其中），且，是一对“分补角”，求的值； (2)如图2，，，是一对“分补角”，请直接给出的所有可能值，对于每一个的值，要求画出相应的图形，并与之互补的两个角各自的值． 例如：其中一个解如下：如图3，其中．此时与（角不必画出）互补．请再写出（并画出）其它所有满足条件的情况． 2．（24-25七年级上·云南文山·期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，，分别是和的角平分线． (1)求的度数； (2)如果，求的度数． 3．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，将一副三角尺的两个角的顶点重叠在处，其中，，两条直角边落在直线上．将三角尺从图1的位置绕点以度/秒的速度顺时针旋转t秒．在旋转过程中，若为的角平分线，为的角平分线． (1)如图1，求的度数． (2)如图2，三角尺旋转过程中，若，当时，求t的值． (3)三角尺旋转过程中，当 秒时，． 4．刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若射线在的内部，且，求的度数； (2)如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数 (3)若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小． 5．（24-25七年级下·广东湛江·期中）已知，，直线与直线、分别交于点E、F． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，与的角平分线交于点P，与交于点G，且．求证：． (3)如图3，在（2）的条件下．连接，K是上一点使，作平分，问的大小是否发生变化，若不变，请求出其值；若变化，说明理由． 6．（24-25七年级上·河南郑州·期末）数学活动课上，老师带领同学们开展“角平分线”的专题研究活动． (1)操作计算 如图1，小明所在学习小组将一直角三角板的直角顶点放在直线上且三角板可以绕点旋转，接着小明分别作出了和的角平分线和． 若，则的度数为______． (2)迁移探究 小明将三角板绕点顺时针旋转到如图2所示位置，若，平分，平分，则的度数是否与（1）中的结果相等？若相等，请说明理由，若不相等，请求出的度数． (3)拓展延伸 小明继续将三角板绕点顺时针旋转，当，平分，平分时，直接写出的度数．（本题中的角均指小于的角） 7．（24-25七年级上·陕西·期末）【问题背景】 如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线.    【初步探究】 （1）如图1，已知，是的角平分线. ①则_____； ②若，是的角平分线，求的度数； 【拓展提升】 （2）如图2，若，，且，求的度数． 8．（24-25七年级上·广西梧州·期末）如图1，点O在直线上，过点O在直线同侧作两条射线；分别是的角平分线． (1)若，那么是多少度？ (2)若，请你猜想是多少度（结果用含α的代数式表示）？并说明理由． (3)其实线段的计算和角的计算存在着紧密的联系．如图2，已知线段，点C，D是线段上两点，线段，点M，N分别是的中点，求的长．（结果用含m，n的代数式表示） 9．（24-25七年级上·湖南常德·期末）如图，已知为直线上一点，与互余，，分别为，的角平分线． (1)与相等吗？请说明理由； (2)若，试求的度数． 10．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）已知下图中的均为直角． (1)如图一，是的角平分线，是的角平分线； ①若，求的大小； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (2)如图二，若内部的射线OP、OQ把分成了三部分，且使得，我们称OP、OQ为的“三等分线”． 在图三中，OD是的三等分线，OE是的三等分线，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 11．（24-25七年级上·广东韶关·期末）完成下面的解答过程． 如图，是直角的角平分线，是的角平分线，若，求的度数．    解：∵是直角， ∴． ∵是直角的角平分线， ∴____________． ∵， ∴____________． ∵是的角平分线， ∴____________． 12．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）【综合与探究】 课堂上，李老师让同学们以“角平分线”为主题开展探究活动：如图，已知，是内部两条射线，，且．    (1)如图1，若平分平分，则的度数为______； (2)如图2，若平分平分，求的度数； (3)在（2）的条件下，在内沿顺时针方向绕点转动，在转动过程中，若，直接写出的度数． 13．（24-25七年级上·江苏南京·期末）已知分别是和的角平分线． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，则______（用含的代数式表示）． 14．（24-25七年级上·陕西商洛·期末）如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． (1)如图1，若分别是的角平分线，求的度数； (2)如图2，平分，且．若，求的度数． 15．（24-25七年级下·重庆九龙坡·开学考试）如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． (1)如图，若，，分别是的角平分线，求的度数； (2)如图，若平分，且，，则和之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 16．（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）【情境探究】 如图1，已知线段，，线段在线段上运动，E，F分别是的中点，探究线段的特征． (1)若，则________； (2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由； (3)如图2，已知，，在内部转动，分别是和的角平分线，求的度数； (4)请直接写出，和之间的数量关系． 17．（24-25七年级上·湖南永州·期末）点O为直线上一点，在直线同侧任作射线同侧任作射线，使得． (1)如图一，过点O作射线，使为的角平分线．若时．则 ， ； (2)如图二，过点O作射线．当恰好为的角平分线时，另作射线．使得平分． ①若，求的度数； ②若（），则的度数是 （直接填空）； (3)过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，则的度数是 ． 18．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知是的角平分线，是的角平分线． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数． 19．（2024六年级下·山东济宁·竞赛）在数学活动课上，老师和同学们开展了以“线段与角的共性”为主题的数学活动．研究发现线段中点的概念与角平分线的概念类似，甚至它们在计算方法上也有类似之处，它们之间的题目可以互相转化，解法可以互相借鉴．如图1，点是线段上的一点，是的中点，是的中点． (1)会用数学的眼光观察： ①若，，则的长度为______； ②若，，则的长度为______； (2)会用数学的语言表达：“创新”小组的同学类比想到：如图2，已知，在角的内部作射线，再分别作，的角平分线，． ③若，则的度数为______； ④若，则的度数为______； (3)会用数学的思维分析：“慎密”小组在“创新”小组的基础上提出：如图3，若，在角的外部作射线，再分别作，的角平分线，．若，则的度数为______． 20．（24-25七年级上·河南郑州·期末）我们学习了“角平分线”的定义，知道角平分线在角的计算中有着非常重要的作用，请根据所学知识进行下列探究： 已知，，，分别平分和． (1)如图①，，在同一直线上，则_________； (2)如图②，在内部，且，则_________； (3)若将（2）中改为，其他条件不变，请求出的度数． 21．（24-25七年级上·广东深圳·期末）【问题情境】乐乐学习了角的相关知识后，对角度的计算比较感兴趣，请你和乐乐一起来探究下面的问题吧．已知，射线分别是和的角平分线．    (1)【初步感知】若射线在的内部，且，求的度数； (2)【探究发现】若射线在的内部绕点O旋转，则的度数为______； (3)【拓展延伸】若射线从出发，绕着点O顺时针方向旋转，旋转的角度不超过，其余条件不变，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数（不写探究过程）． 22．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）【问题背景】 数学活动课上，老师将一副三角尺按图1所示位置摆放，分别作出，的平分线，，然后提出如下问题：求出的度数． 【特例探究】 小明同学决定从特例入手探究老师提出的问题，他将三角尺分别按图2方式摆放，，仍然分别是，的角平分线．其中，， （1）请你帮助小明计算出的度数为_______； 【发现感悟】 小明发现，按图1摆放时，条件不变，虽然不知道的度数，但也可以求出的度数． （2）请你帮小明完成这个问题的解答； （3）积累了以上探究问题的经验，结合图3，若，则=_______； 【类比拓展】 （4）已知，若是外一条射线，，，分别平分，，当时，求出m的值（自己画出示意图求解）． 23．（24-25七年级上·四川广安·期末）如图，已知，射线在的内部，射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线． (1)若平分，求的度数． (2)小明说：“不论射线在的内部哪个位置，的度数始终保持不变．”你认为小明的说法是否正确？请说明理由． 24．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）（1）如图1，点在线段上，图中共有3条线段：，和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”．则线段上共有_____个“二倍点”． （2）类似的如图1，射线在内部，图中共有3个角：，和，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“二倍线”．则内部共有_____条“二倍线”． （3）如图2，若线段，点． 从点的位置开始，以每秒的速度向点A运动，当点到达点A时停止运动，设运动的时间为秒．问为何值时，点是线段的“二倍点”． （4）如图3，若，射线从射线的位置开始，绕点按逆时针方向以每秒的速度向射线旋转，当射线到达射线的位置时停止旋转，设射线旋转的时间为秒，若射线是的“二倍线”，求的值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $