河北省沧州市任丘市博雅高级中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

高三年级上学期10月数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置 1．已知集合，，那么集合等于（   ） A． B． C． D． 2．已知命题，则是（ ） A． B． C． D． 3．若复数满足，则的虚部为（　　） A． B． C． D． 4．已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集（    ） A． B． C． D． 6．函数的图象的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 7．在中，，则边的长为（    ） A． B． C． D．1 8．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上的最小值为 C．点是图象的一个对称中心 D．将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称 10．给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，为单位向量，则 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量满足，则 11．已知圆锥的底面半径为3，高为4，则（    ） A．该圆锥的母线长为5 B．该圆锥的体积为 C．该圆锥的表面积为 D．若该圆锥底面内接三角形中，AB为直径，则三棱锥S-ABC体积的最大值为12 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．已知向量，若向量与共线，则 ． 13．如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，则四边形的面积 ． 14． 已知三棱锥的所有顶点都在一个球面上且平面， ，，且底面的面积为，则此三棱锥外接球 的表面积是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．记的三个内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，且的外接圆半径为，求的面积. 16．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 17．已知向量满足，且的夹角为60°. (1)求； (2)若，求实数λ的值. 18．已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，求外接圆的半径. 19．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若函数在上的最小值为，求实数m的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 高三年级上学期10月数学试题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B C A D B A BC ABC 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】先表示出集合，然后根据并集运算求得的结果. 【详解】因为，， 所以， 故选：C. 2．B 【分析】由存在量词命题的否定形式可得出结论. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知： 命题的否定， 故选：B. 3．B 【分析】先根据的幂次规律求出的值，再通过复数的运算法则求出，最后根据虚部的定义得出的虚部 【详解】由， 则， 所以的虚部为. 故选：B. 4．C 【分析】分和两种情况，分别解不等式，即可求得答案. 【详解】当时，，令，即， 解得或，结合可知，此时； 当时，，令，解得， 综合上可知不等式的解集为， 故选：C 5．A 【分析】根据题意作出函数的图像的示意图，不等式等价于或，结合图像求解即可. 【详解】因为偶函数在区间上单调递减且， 所以函数在区间上单调递增且， 作出函数的图像的示意图如图所示，    由图像知当或时，；当时，， 不等式等价于或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故选：A 6．D 【分析】利用整体法可求得的对称中心坐标为，逐项判断即可. 【详解】由，可得， 所以的对称中心坐标为； 由，解得，故不是对称中心，故A错误； 由，解得，故不是对称中心，故B错误； ，解得，故不是对称中心，故C错误； 由，解得，故是对称中心，故D正确. 故选：D. 7．B 【分析】先求出角，再利用正弦定理即可求得结论. 【详解】因，则， 由正弦定理，，则. 故选：B. 8．A 【分析】根据余弦函数的最值、指数函数的单调性及对数函数的单调性，利用中间值法比较大小即可. 【详解】，且，， 所以． 故选：A． 9．BC 【分析】由周期公式判断A；根据余弦函数的单调性可判断B；由代值法判断C；根据图象平移写出解析式判断奇偶性可判断D. 【详解】对于A，的最小正周期为，A错误； 对于B，当时，，由余弦函数的单调性可得此时函数单调递减，所以在区间上的最小值为，B正确； 对于C，因为，所以点是图象的一个对称中心，C正确； 对于D，因为，所以平移后得到的图象不关于轴对称，D错误； 故选：BC. 【点睛】三角函数图象变换题的解题入手点 1.对于函数，其图象的基本变换有如下几种： （1）纵向伸缩变换：由的变化引起，时伸长，时缩短； （2）横向伸缩变换：由的变化引起，时缩短，时伸长； （3）横向平移变换：由的变化引起，时左移，时右移； （4）纵向平移变换：由的变化引起，时上移，时下移． 可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换． 2.若变换前后的函数名不同，则需要先利用诱导公式将函数名化一致，再利用相应的变换得到结论． 3.由的图象得到的图象，可采用逆向思维，将原变换反过来进行推． 10．ABC 【分析】根据单位向量的定义判断A；根据相反向量的定义判断B；根据正方体可得四边形是矩形，进而判断C；举例判断D. 【详解】对于A，因为为单位向量，所以，故A正确； 对于B，向量是向量的相反向量，则，故B正确； 对于C，在正方体中，因为四边形是矩形， 所以，故C正确； 对于D，若，则，但不一定共线，故D错误． 故选：ABC． 11．ABD 【分析】利用圆锥的结构及体积、表面积公式计算易判断A,B,C项；对于D，结合条件根据重要不等式求出的最大值即可求出三棱锥的体积最大值. 【详解】对于A，该圆锥的母线长为，故A正确； 对于B，该圆锥的体积为，故B正确； 对于C，该圆锥的表面积为，故C错误； 对于D，如图所示，因AB为底面圆的直径，且，则, 又圆锥的高为4，故要使三棱锥S-ABC的体积最大，只需使底面三角形的面积最大. 因,当且仅当时，等号成立，此时， 而，故当时，三棱锥S-ABC的体积的最大值为12，故D正确. 故选：ABD. 12． 【分析】利用向量的坐标运算和向量共线的坐标公式即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为向量与共线，所以，解得：， 故答案为： 13． 【分析】先求出平行四边形的面积为，设四边形的面积为，由即可求解. 【详解】由题设平行四边形，的面积为，四边形的面积为， 因，所以， 根据直观图与原图面积关系. 故答案为：. 14． 【分析】由的面积计算边，利用正弦定理得 外接圆的半径，最后利用勾股定理求得外接球的半径，进而得球的表面积. 【详解】由题意有：，所以， 又，所以， 所以（为外接圆半径），设外接圆的圆心为， 即，过点作平面，作的中垂线交于点，即， 所以点为三棱锥的球心，设外接球半径为， 所以， 所以此三棱锥外接球的表面积为, 故答案为：. 15．(1) (2)4 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合正弦的和角公式计算即可； （2）利用正弦定理求出，结合余弦定理求出，利用三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 又，则， 所以， 即， 化简得，又，， 所以，又， 所以. （2）设外接圆的半径为，则，所以， 由余弦定理得，结合， ，即，解得，则， 所以. 16．(1) (2)最大值1，最小值 【分析】（1）首先求出函数的导函数，求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程； （2）设，利用导数说明其单调性，即可得到的单调性，从而得到其最值； 【详解】（1）因为，所以，. 又因为，所以曲线在点处的切线方程为. （2）设，则. 当时，，所以在区间上单调递减. 所以对任意有， 即. 所以函数在区间上单调递减. 因此在区间上的最大值为，最小值为. 17．(1)； (2). 【分析】（1）应用向量数量积的运算律及定义求数量积； （2）由向量垂直及数量积的运算律、定义列方程求参数值. 【详解】（1）由； （2）由，则， 所以，可得. 18．(1) (2)1 【分析】（1）利用正弦函数的单调性求解； （2）由求得，根据余弦定理求得，再由正弦定理求得答案. 【详解】（1）由，，得，， 所以的单调递增区间是. （2）由题知，，而，则， 由，得，得，解得， 由余弦定理得， 则外接圆的半径. 19．(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）分，两种情况结合正负性可得函数单调区间； （2）分，，三种情况结合在上的单调性可得答案. 【详解】（1）由题可得定义域为：.. 若，则在上单调递增； 若，则， 从而在上单调递减；在上单调递增. 综上，时，的单调增区间为；时，的单调减区间为，单调增区间为； （2）由（1），若，则在上单调递增， 则此时，这与假设不符； 若，则在上单调递增， 则此时，这与假设不符. 若，则在上单调递减，在上单调递增， 则此时，符合假设. 若，则在上单调递减， 则此时，这与假设不符. 综上可得，实数m的值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $