3.青岛市自主招生考试数学-专题三、恒等变换问题（适中版）

· 2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 · 专题三、恒等变换问题（适中版） 一、单选题 1．方程组（    ）． A．没有解 B．有1组解 C．有3组解 D．以上答案都不对 2．已知实数，，满足，，则（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 3．设，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则的值为（    ）． A．3 B．5 C． D． 5．设实数，，满足：，，则（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 6．已知非零实数a，b，c满足，则对正整数k使得 ①， ②， ③， ④中，总成立的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 7．设a、b为x2＋x﹣2021＝0的两个实数根，则a3＋a2＋3a＋2024b＝（    ） A．2024 B．﹣2024 C．2021 D．﹣2021 8．若，且，则的值为（　　）． A． B． C． D． 二、填空题 9．已知，则的值为 ． 10．已知为实数，等式对于任意实数恒成立，则的值为 ． 11．设是的小数部分，是的小数部分，则 ． 12．已知，则 ． 13．若实数满足，则 ． 14．已知整数a，b，c满足不等式，则a，b，c分别等于 ． 三、解答题 15．阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中均为整数），则有． ．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当均为正整数时，若，用含的式子分别表示，得________，________； (2)利用所探索的结论，找一组正整数，填空：________________； (3)若，且均为正整数，求的值． 16．已知是一元二次方程的一个根，若正整数，，使得等式成立，求的值． 17．已知实数，，，满足，求的值． 18．若，则，等号成立当． 19．若，证明： ．等号成立当且仅当． 20．（1）求证：； （2）已知，求证：2173可以化为两个数的平方和． 试卷第4页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ · 2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 · 专题三、恒等变换问题（适中版） 一、单选题 1．方程组（    ）． A．没有解 B．有1组解 C．有3组解 D．以上答案都不对 【答案】B 【详解】解  原方程可化为， 即． 设，则 得，即．④ 得，故， 代入④得， 代入②得， 从而为原方程组唯一一组解．故选B． 2．已知实数，，满足，，则（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】B 【详解】已知等式可变形为，，解得，，所以． 3．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据，得出，再根据等式两边平方，得出，再把进行变形，然后把代入计算即可． 【详解】解：由， 可得：， ∴， ∴， ∴ ． 故选：A 【点睛】本题考查了求代数式的值、二次根式的化简、整式的恒等变形，将所求式子进行适当的变形是解本题的关键． 4．已知，则的值为（    ）． A．3 B．5 C． D． 【答案】A 【详解】依题目条件可知，即，即，故原式． 故选：A． 5．设实数，，满足：，，则（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【解析】略 6．已知非零实数a，b，c满足，则对正整数k使得 ①， ②， ③， ④中，总成立的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据已知式子得出或或，设，可依次判断①②；令，，可判断③④． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴或或， 设， 则， 故①②成立； 令，， 则，，故③不成立； 此时，故④不成立； ∴总成立的有两个， 故选B． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，难度较大，涉及数学运算中一些高难度的运算手段，解题时要学会假设性的提出条件，通过一些特殊值判断式子的正确性． 7．设a、b为x2＋x﹣2021＝0的两个实数根，则a3＋a2＋3a＋2024b＝（    ） A．2024 B．﹣2024 C．2021 D．﹣2021 【答案】B 【分析】 先根据一元二次方程根的定义得到a2=−a+2021，再用a表示a3，得到a3=2022a−2021，所以原式变形为2024(a+b)，再根据一元二次方程根与的关系得到a+b=−1，利用整体代入法计算，即可求得． 【详解】解：∵a为x2+x﹣2021＝0的根， ∴a2+a﹣2021＝0， 即a2＝﹣a+2021， ∴a3＝a（﹣a+2021）＝﹣a2+2021a＝a﹣2021+2021a＝2022a﹣2021， ∴a3+a2+3a+2024b＝2022a﹣2021﹣a+2021+3a+2024b＝2024（a+b）， ∵a、b为x2+x﹣2021＝0的两个实数根， ∴a+b＝﹣1， ∴a3+a2+3a+2024b＝2024×（﹣1）＝﹣2024． 故选：B． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用方程的解求代数式的值，熟练掌握和运用等式的恒等变式和一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键． 8．若，且，则的值为（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用已知式子分别表示出，，再计算它们的商即可得结论． 【详解】解：， ， ． ，． ， ． ， ，． ． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的运算和整式的变形，掌握二次根式的运算和完全平方公式是解决本题的关键．其中，开平方运算时，确定符号是本题的难点． 二、填空题 9．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】首先根据乘方运算的非负性及绝对值的非负性，可求得a，b的值，再把a，b的值代入代数式中，对代数式进行变式运算即可求得． 【详解】解：，，， ，， ，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了乘方运算的非负性及绝对值的非负性，代数式求值问题，利用对代数式进行恒等变式是解决本题的关键． 10．已知为实数，等式对于任意实数恒成立，则的值为 ． 【答案】 【分析】由根据等式的性质可得，根据题意可得且，求出、的值，再求的值即可． 【详解】解：， 整理得：， 等式对于任意实数恒成立， 且，, 解得：，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等式的性质，根据等式恒成立求出、的值是解题的关键． 11．设是的小数部分，是的小数部分，则 ． 【答案】 【详解】因， 所以， 因此． 故答案为：． 12．已知，则 ． 【答案】10 【详解】解  因， 由知， 所以，于是， 因此，． 故填10． 13．若实数满足，则 ． 【答案】432 【详解】解  因题目中条件去分母整理后可写为： ， （， 故依题目条件知或是关于t的方程的两根． 由韦达定理，得， 所以． 14．已知整数a，b，c满足不等式，则a，b，c分别等于 ． 【答案】3，6，4． 【详解】解  由已知得， 即， 所以， 解得． 故应填3，6，4． 三、解答题 15．阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中均为整数），则有． ．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当均为正整数时，若，用含的式子分别表示，得________，________； (2)利用所探索的结论，找一组正整数，填空：________________； (3)若，且均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） (3)13或7． 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的混合运算，认真读题，理解题意是解题关键． （1）根据完全平方公式展开，得，得，即可作答． （2）由（1）得，取，分别求出a，m，n的值，即可作答． （3）先得，因为，且m，n均为正整数，故或，即可作答． 【详解】（1）解：， ∵a，b，m，n均为正整数，且， ∴ ∴， 故答案为：． （2）由（1）得， ∵，为正整数， ∴当时，则， ∴， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． （3）依题意，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴或； 当时， ； 当时， ． 答：a的值为13或7． 16．已知是一元二次方程的一个根，若正整数，，使得等式成立，求的值． 【答案】 【详解】解：因为是一元二次方程的一个根，显然是无理数，且． 等式即， 即，即． 因为，，是正整数，是无理数，所以，于是可得． 因此，，是关于的一元二次方程的两个整数根， 该方程的判别式． 又因为，是正整数，所以，从而可得． 又因为判别式是一个完全平方数，验证可知，只有符合要求． 把代入可得． 17．已知实数，，，满足，求的值． 【答案】 【详解】解：设，，则． 因为，即，所以…………① 又因为 ………………② 由①，②可得．即． 注：符合条件的实数，，，存在且不唯一， ，，，就是一组． 18．若，则，等号成立当． 【答案】见解析 【详解】证明  经去括号，移项整理知，要证不等式等价于： ． 而由3个正数的平均值不等式得 ． 故原不等式成立．等号成立当且仅当 19．若，证明： ．等号成立当且仅当． 【答案】见解析． 【详解】解  原不等式 ．① 而故①成立．等号成立当且仅当． 注： 称为三个正数a，b，c的调和平均值．故本例的结论可写为3个正数的算术平均值不小于它们的调和平均值，等号成立当且仅当这3个正数都相等． ②本题可直接用算术平均值不小于几何平均值来证明： 又故 ． 20．（1）求证：； （2）已知，求证：2173可以化为两个数的平方和． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查整式的乘法和完全平方公式，掌握相关公式和运算法则和将41与53化为两数的平方和是解题的关键． （1）根据整式的乘法法则和完全平方公式，将左右两边计算，所得结果一样即可； （2）将41和53化为两数的平方和再根据（1）中的等式给a、b、c、d赋上对应的值代入化简即可． 【详解】（1）证明：左边 ， 右边 ， ∴左边右边，即； （2）证明：∵，即可令， ∴， ∴2173可以化为两个数的平方和． 注意：拆成的平方和结果不唯一． 例：． 试卷第10页，共11页 试卷第7页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $