精品解析：重庆市第八中学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

重庆八中2023—2024学年度（下）半期考试初二年级 数学试题 A卷（100分） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各式中是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，解题的关键是明确分式是分母中含有字母的代数式． 根据分式的定义，判断每个选项的分母是否含有字母，从而确定哪个是分式． 分式的定义是分母中含有字母的代数式． 【详解】解：A、的分母是5，是常数，不是分式； B、的分母是2，是常数，不是分式； C、是整式，不是分式； D、的分母是，是字母，是分式． 故选：D． 2. 将多项式进行因式分解，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解． 直接通过提取公因式法进行因式分解． 【详解】 故选：B． 3. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件是解决问题的关键． 根据分式有意义的条件是分母不为零，列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：∵ 分式有意义， ∴ ， ∴， 故选：D． 4. 若关于x的一元二次方程的一个根是3，则m的值为（　　） A. B. 3或 C. 3 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解答本题的关键是明确能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解；把代入方程得，然后求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是3， ∴， 解得． 故选：A． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是菱形 D. 对角线垂直的矩形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形、正方形、菱形的判定，熟记和掌握矩形、正方形、菱形的判定是解题关键． 根据矩形、正方形、菱形的判定即可判断出正确答案． 【详解】解：A、对角线相等的四边形有可能是等腰梯形，故本选项错误，不符合题意； B、对角线相互垂直的四边形有可能是等腰梯形，故本选项错误，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是应为矩形，故本选项错误，不符合题意； D、对角线垂直的矩形是正方形，正确，符合题意， 故选：D． 6. 如果一个多边形的每一个外角都等于，那么这个多边形的边数为（ ） A. 七 B. 八 C. 九 D. 十 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和，解题的关键是熟练掌握多边形外角和为．由题意可知，该多边形的每个外角相等，结合多边形外角和求解即可． 【详解】解：∵该多边形的每一个外角都等于， ∴该多边形的边数为， 故选：C． 7. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，，若，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 由直角三角形的性质可求的长，由可证，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 点， 故选：C． 8. 如图，在中，分别为边的中点，连接为上一点，连接，若，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及三角形中位线判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，熟记三角形中位线判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决问题的关键． 先由三角形中位线的判定与性质得到，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，最后数形结合表示出即可得到答案． 【详解】解：在中，分别为边的中点，， ， 在中，，为边的中点，， ， ， 故选：B． 9. 在国际生物多样性日（每年5月22日）即将到来之际，某校八年级师生到距离学校的湿地公园进行相关调查研究，一部分师生骑自行车先出发，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时达到，已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用．设骑车的速度为，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设骑车的速度为，根据题意得： ． 故选：B． 10. （多选）如图，在中，是对角线，点为中点，过点的直线与边分别交于点，连接，下列条件中能使得四边形是菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】在题目已知条件的基础上，结合各个选项中所给的条件，由平行四边形的判定与性质、菱形的判定定理判定即可得到答案． 【详解】解：A、当时， 是对角线，点为中点， ， 四边形是平行四边形， 没有足够条件证明，四边形是菱形，不符合题意； B、当时， 在中，，则， 四边形是平行四边形， 没有足够条件证明，四边形是菱形，不符合题意； C、当时， 是对角线，点为中点， ， 在和中， ， ，且， 即， ， 在中，，则， ， 在和中， ， ， 则， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形，符合题意； D、当时， 是对角线，点为中点， 是线段的垂直平分线， 则， 是对角线，点为中点， ， 在和中， ， ，且， 即， ， 在中，，则， ， 在和中， ， ， 则， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形，符合题意； 故选：CD． 【点睛】本题考查添加条件构成菱形，涉及平行四边形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质等知识，熟记菱形的判定是解决问题的关键． 二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 如果，且，那么______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查分式求值，将代入分式化简是解决问题的关键． 将已知条件代入分式，化简求值即可得到答案． 【详解】解：，且， ， 故答案为：． 12. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，即经整理后，如果方程含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程为一元二次方程，掌握此概念是关键，千万不要忘记二次项系数不为零．根据一元二次方程的概念，最高项系数为2，二次项系数不为零，由这两点即可确定a的值． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得：． 故答案为：． 13. 如图，在扇形中，，，的平分线交弧于点，过点作于点，于点，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，角平分线的性质，扇形的面积公式，勾股定理，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 根据，，以及角平分线的性质即可得到四边形是正方形，进而根据正方形的性质得到，最后利用扇形的面积公式减去正方形的面积即可解答． 【详解】解：∵是的角平分线，，， ∴， ∵，，， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，对角线、相交于点O，垂直平分于点，若，则________________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出，得出，由勾股定理求出即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， 垂直平分， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题：（本大题5个小题，第15，16，17题各8分，其余每题各10分，共44分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘除运算，解题的关键是掌握分式乘除的运算法则，将除法转化为乘法后约分计算． （1）将分式除法转化为乘法，再通过因式分解约分计算； （2）先对括号内的式子通分计算，再将除法转化为乘法，通过因式分解约分得出结果． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）原分式方程无解 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程．熟练掌握解分式方程，解一元二次方程是解题的关键． （1）去分母将分式方程化成整式方程，求整式方程的解，最后进行检验即可； （2）公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得，， 经检验，不是原分式方程的解， ∴原分式方程无解； 【小问2详解】 解：， ， ∴， ∴，． 17. 如图，已知点E为对角线上一点，连接． （1）用直尺和圆规，在内部作，使得，射线交于点，连接，（只保留作图痕迹）； （2）求证：四边形为平行四边形（请完善下面的证明过程）， 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，______①______ ∴ 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴（______③______）（填写推理依据） ∴______④______ ∴四边形为平行四边形． 【答案】（1） 解：如图所示：即为所求； （2）①；②；③等角的补角相等；④ 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理及平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据题意作一个角等于已知角即可； （2）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 品历史扬华夏文明，鉴古今铸国运长盛，某校初二年级组织进行历史知识竞赛．比赛结束后分别从男生，女生中各随机抽取20名学生成绩进行整理分析（单位：分，满分：50分，成绩均为整数）． 抽取的男生成绩如下：43，44，44，44，45，45，45，47，48，48，49，49，49，50，50，50，50，50，50，50． 抽取的女生成绩用x表示，整理后分成五组（；；；；）并绘制成如图所示扇形统计图，其中D组学生的成绩为：47，47，48，48，48，48． 抽取男生与女生成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 男女生成绩统计表 平均数 中位数 众数 男生 47.5 48.5 c 女生 47.5 b 49 （1）根据上述信息可得：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为男生的历史知识竞赛成绩更好还是女生的历史知识竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校初二年级有男生800人，女生600人，请估计该校初二年级历史知识竞赛在49分及以上的学生共有多少人． 【答案】（1）15，48，50 （2）男生的历史知识竞赛成绩更好，因为男生的历史知识竞赛成绩的中位数48.5大于女生的历史知识竞赛成绩的中位数48． （3）估计该校初二年级历史知识竞赛成绩在49分及以上的学生共有670人 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数、用样本数据估计总体等知识，解题关键是理解题意，能读懂扇形图与表格，牢记相关概念等． （1）计算扇形统计图中的百分比，女生成绩的中位数，男生成绩的众数； （2）比较男女生成绩，通过中位数判断成绩好坏； （3）利用样本中49分及以上的比例，估计总体中相应的人数． 【小问1详解】 解：因为扇形统计图各部分百分比之和为， 所以， 女生抽取20人，中位数是第、个数的平均数， 组有人，B组有人，组有人，D组有6人，那么前四组共有人，组有人， 所以第、个数都在组的最后两个数和组的第一个数中，组成绩为组成绩是的整数， 所以第10个数是48，第11个数是48，则， 男生成绩中50出现的次数最多， 所以， 故答案为：15，48，50； 【小问2详解】 解：男生的历史知识竞赛成绩更好， 因为男生的历史知识竞赛成绩的中位数48.5大于女生的历史知识竞赛成绩的中位数48． 【小问3详解】 解：据题意得：（人）， ∴估计该校初二年级历史知识竞赛成绩在49分及以上的学生共有670人． 19. 五一假期将至，某商店看准商机用2000元和2400元分别购进A，B两种水果．已知A种水果每箱的进价比B种水果每箱的进价少20元，且购进A种水果的箱数是B种水果箱数的． （1）求A，B两种水果每箱的进价分别为多少元； （2）商店开始出售这些水果，已知A种水果的售价为60元/箱，出售完40箱后，对剩下部分打a折进行销售；B种水果每箱售价比进价多元，两种水果均全部售出．若要使销售这批水果的总利润率不低于40%，求a的最小值． 【答案】（1）A，B两种水果每箱的进价分别为40元，60元 （2）a的最小值为8 【解析】 【分析】本题考查了分式方程与一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据题意找出等量关系和不等关系，建立方程与不等式求解． （1）设A种水果每箱进价为元，根据A、B水果进价关系和购进箱数的关系列分式方程求解； （2）先求出、水果的购进箱数，再根据总利润率不低于的条件列一元一次不等式，求解得出的最小值． 【小问1详解】 解：设A种水果每箱进价为x元，则B种水果每箱进价为元， 据题意得：， 解得：， 经检验，为方程的根， ∴A，B两种水果每箱的进价分别为40元，60元； 【小问2详解】 解：购进A种水果的箱数为：箱， 购进B种水果的箱数为：箱， 据题意得：， 解得：， ∴a的最小值为8． B卷（50分） 四、选择题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，请将答题卡上对应选项的代号涂黑． 20. 如图，将正方形纸片的和进行折叠，使两个直角的顶点重合于对角线上的点O处、分别是折痕，若点O沿从点B向点D移动过程中，下列有关阴影部分周长的说法正确的是（ ） A. 先变大，后变小 B. 先变小，后变大 C. 当点O在中点处时，周长最大 D. 保持不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查正方形与折叠问题，勾股定理，根据题意知，可证明四边形是矩形，可得，由勾股定理得，从而可求出阴影部分周长进而解决问题． 【详解】解：根据题意知，，且均为等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴， ∴ 又 ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∴阴影部分的周长， ∵是定值， ∴阴影部分的周长不变， 故选：D． 21. （多选）若关于的方程有正整数解，且关于的不等式组有解且至少有两个整数解，则符合条件的整数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解不等式组，解题的关键是掌握相关知识．首先解分式方程，确定使解为正整数的整数；再解不等式组，结合至少两个整数解的条件筛选，综合两部分结果确定答案． 【详解】解：， 解得， 关于的方程有正整数解，且， 可取，，， ， 解得， 有解且至少有两个整数解， ，即， 综上，符合条件的为和， 故选：BD． 五、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分）请将每小题的答案直接填写在答题卷中对应的横线上． 22. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值． 将原式提取公因式并利用完全平方公式进行化简，然后代入已知数值计算． 【详解】原式 ． 代入，，得． 故答案为：． 23. 如图，在中，，于点D，E为上一点，，连接，将沿所在直线翻折至所在的平面内得到，连接，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图形折叠，解题关键是全等三角形性质的应用． 作，设，由，得，得，由，得，由，得，得，得，即可得． 【详解】解：作， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由翻折可得， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 24. 对于一个四位正整数s，如果满足各数位上的数字各不相同，它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，称s为“相等数”，则最小的相等数是______．令相等数s的十位数字与百位数字之差的2倍为，若正整数a，b都是相等数，其中，（，，，，且m，n，x，y都是整数），当的值是一个整数的平方时，则满足条件的正整数a的最大值是______． 【答案】 ①. 1032 ②. 6598 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减运算，新定义，理解新定义是解题的关键． 对于第一问，根据相等数的定义，千位数字最小为1，百位数字最小为0，通过尝试十位与个位数字组合，即可找到满足条件的最小数字1032；对于第二问，根据a和b的表达式及相等数条件，推导出n与m、x与y的关系，再结合数字互异条件确定m和y的取值范围，代入给定表达式得到（k为整数），求解满足条件的m和x组合，计算a的值并取最大值。 【详解】解：第一问：考虑千位数字为1，百位数字为0，十位数字为3，个位数字为2，且数字1、0、3、2互异，且1+2=0+3，满足相等数条件，故最小相等数为1032； 第二问：， 其各位数字分别为：千位为n、百位为5、十位为、个位为8． 由相等数条件得：， 即． 由相等数的数字互异，， 即，， 由于， 所以m可取2、4、5、7，对应地n取1、3、4、6． ， 其各位数字分别为：千位为4、百位为5、十位为x、个位为， 由相等数条件，， 即． 由数字互异，， 即， 由于， 所以y可取1、3、4，对应x可取2、6、8． 由定义，， 则， 该值为整数的平方，设其为，则． 由于x的取值都为偶数2、6、8，对应地为偶数，10，16， 则或或，它们为5的整数倍数， 故当时，； 当时，，． 当时，，； 以上k的值均满足条件， 而， 则当时，为最大值． 故答案为6598． 六、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 25. 阅读材料：为了解方程，我们可将看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过计算，该方程的解为，，然后分别解方程，，得原方程的解为，，，．我们通常把以上这种解决问题的方法叫做换元法，即把问题中的某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），它能将复杂的问题转化成简单的问题． 根据以上材料，解决下列问题： （1）方程的解为：________； （2）解方程：； （3）若实数满足，求的值． 【答案】（1），，，； （2），； （3），． 【解析】 【分析】本题考查了利用换元法解一元二次方程，分式方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）设，则原方程可化为，然后解得，，从而求出原方程的解； （）令，则原方程化为，解得，，再把的值代入解方程并检验即可； （）原式变形为，令，则原方程化为，解得，，再把的值代入解方程并检验即可． 【小问1详解】 解：设，则原方程可化为， ∴，， ∴，， ∴，，，， 故答案为：，，，； 【小问2详解】 解：令， 则原方程化为， ∴，， 当时，， ∴，； 当时，无解， ∴原方程的解为，； 【小问3详解】 解：原式变形为， 令， 则原方程化为， ∴，， 当时，，无解， 当时，， ∴，， 经检验：，是原方程的解， ∴原方程的解为，． 26. 在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于、两点，将线段绕点顺时针旋转得到线段． （1）如图1，连接，求的面积； （2）如图2，点为直线上一动点，过点向轴、轴作垂线，垂足分别为、两点，连接、，求的最大值，以及此时E点的坐标； （3）在（2）的条件下，点F为直线上一点，若的其中一个内角等于，直接写出所有符合条件的点F的坐标． 【答案】（1） （2）的最大值为 ，此时E点的坐标为 （3）所有符合条件的点F的坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）取的中点, 连接, 过点作轴于,得到是等边三角形，然后证明即可解题； （2）作点关于直线的对称点 过点作 轴于, 连接、,设交于，运用面积法可得，运用勾股定理可得 ，得出，再求得( 运用两点间距离公式可得, 由于 ，可得当且仅当三点共线时， 的最大值为 再运用待定系数法可得直的解析式为联立方程组求解即可得出此时点坐标； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别求得点F的坐标即可． 【小问1详解】 解：在 中,令 得 ， 令 得 ，解得： ∴， ， 如图1, 取的中点, 连接, 过点作轴于, 则，, ∴, ∴是等边三角形, ∴, ∴, 由旋转得: , ∴， ∴, 在和中, ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图2，作点关于直线的对称点过点作轴于, 连接、 设交于, 则 ， ，， ， ， ， 由（1）得: ， ， ， ， 轴 , 轴, ， ∴四边形是矩形， ， 关于直线对称， ， ， ， 当且仅当三点共线时，， 的最大值为 ， 设直线的解析式为 则 ，解得： ∴直线的解析式为 联立得：解得：， ∴此时点的坐标为 ， ∴此时点坐标为； 【小问3详解】 解：由（2）得，， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时， ∴， ∴，即轴， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴； 当时，设交y轴于L， 则， ∴， ∴， ∴， 则直线的解析式为， 联立得， 解得：， ∴； 当时，显然点F与点C重合时符合题意，即； 如图3，作的外接圆交于另一点，连接、，则，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：（点C的坐标，舍去）或， 当时，， ∴； 综上所述，所有符合条件的点F的坐标为或或． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的图象交点，勾股定理，两点间距离公式，等边三角形的判定和性质，矩形的性质，轴对称性质，旋转变换的性质等，正确添加辅助线是解题关键． 27. 如图，在中，为对角线，，点E为上一点，连接BE． （1）如图1，若，，，求的面积； （2）如图2，过点A作交于点F，垂足为点G，连接交于点H，若，求证：； （3）如图3，若于点K，M为中点，N为直线上一点，连接，将沿所在直线翻折到所在平面内得到，连接，再将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，点Q为直线上一点，连接，若，当取得最小值时，直接写出的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）通过和特殊角构造直角三角形，进而求解即可； （2）要证，含有肯定和会有关系，而恰好，所以过点作于点，这样就推出，再通过构造的一半等于，然后利用全等即可证明； （3）连接，过作，且，连接，先证明，则，作关于的对称点，连接，，，则，当、、、共线时最小，此时也最小，过作交延长线于点，连接，证明，得到四边形是矩形，然后得到是等腰直角三角形，且和都是等腰直角三角形，求出，再由即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， 在中，，，， ∴， ， ∴由勾股定理得， 在中，，， ，， ∴， ， ； 【小问2详解】 证明：过点作于点，过点作于点， ， ， 在中，，， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ，， ∴为等腰直角三角形，， 在和中， ， ， ， ， 设， ， 在中，， ， ∵ ∴在中，， ， 为的外角， ， 在中，， ， ， ， ∴， ，， ，， ∴， 在和中， ， ， ， 在中，，， ∴， ∴， ， ∴， ； 【小问3详解】 解：如图，连接，过作，且，连接， 是中点，， ， 由旋转得，， ， ， ，， ， ， 作关于的对称点，连接，，， 则 当、、、共线时最小，此时也最小，如图： ，， ， 过作交延长线于点，连接， ， ，， ， ，， ，，， 四边形是矩形， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ，， ，且和都是等腰直角三角形， ，， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质，角直角三角形的性质，二次根式的混合运算等内容，熟练掌握相关知识和正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆八中2023—2024学年度（下）半期考试初二年级 数学试题 A卷（100分） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列各式中是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 将多项式进行因式分解，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程的一个根是3，则m的值为（　　） A. B. 3或 C. 3 D. 0 5. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是菱形 D. 对角线垂直的矩形是正方形 6. 如果一个多边形的每一个外角都等于，那么这个多边形的边数为（ ） A. 七 B. 八 C. 九 D. 十 7. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，，若，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，分别为边的中点，连接为上一点，连接，若，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 在国际生物多样性日（每年5月22日）即将到来之际，某校八年级师生到距离学校的湿地公园进行相关调查研究，一部分师生骑自行车先出发，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时达到，已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. （多选）如图，在中，是对角线，点为中点，过点的直线与边分别交于点，连接，下列条件中能使得四边形是菱形的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 如果，且，那么______． 12. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 ___________． 13. 如图，在扇形中，，，的平分线交弧于点，过点作于点，于点，则图中阴影部分的面积为______． 14. 如图，在矩形中，对角线、相交于点O，垂直平分于点，若，则________________． 三、解答题：（本大题5个小题，第15，16，17题各8分，其余每题各10分，共44分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 15. 计算： （1） （2） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，已知点E为对角线上一点，连接． （1）用直尺和圆规，在内部作，使得，射线交于点，连接，（只保留作图痕迹）； （2）求证：四边形为平行四边形（请完善下面的证明过程）， 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，______①______ ∴ 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴（______③______）（填写推理依据） ∴______④______ ∴四边形为平行四边形． 18. 品历史扬华夏文明，鉴古今铸国运长盛，某校初二年级组织进行历史知识竞赛．比赛结束后分别从男生，女生中各随机抽取20名学生成绩进行整理分析（单位：分，满分：50分，成绩均为整数）． 抽取的男生成绩如下：43，44，44，44，45，45，45，47，48，48，49，49，49，50，50，50，50，50，50，50． 抽取的女生成绩用x表示，整理后分成五组（；；；；）并绘制成如图所示扇形统计图，其中D组学生的成绩为：47，47，48，48，48，48． 抽取男生与女生成绩的平均数、中位数、众数如表所示： 男女生成绩统计表 平均数 中位数 众数 男生 47.5 48.5 c 女生 47.5 b 49 （1）根据上述信息可得：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为男生的历史知识竞赛成绩更好还是女生的历史知识竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校初二年级有男生800人，女生600人，请估计该校初二年级历史知识竞赛在49分及以上的学生共有多少人． 19. 五一假期将至，某商店看准商机用2000元和2400元分别购进A，B两种水果．已知A种水果每箱的进价比B种水果每箱的进价少20元，且购进A种水果的箱数是B种水果箱数的． （1）求A，B两种水果每箱的进价分别为多少元； （2）商店开始出售这些水果，已知A种水果的售价为60元/箱，出售完40箱后，对剩下部分打a折进行销售；B种水果每箱售价比进价多元，两种水果均全部售出．若要使销售这批水果的总利润率不低于40%，求a的最小值． B卷（50分） 四、选择题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，请将答题卡上对应选项的代号涂黑． 20. 如图，将正方形纸片的和进行折叠，使两个直角的顶点重合于对角线上的点O处、分别是折痕，若点O沿从点B向点D移动过程中，下列有关阴影部分周长的说法正确的是（ ） A. 先变大，后变小 B. 先变小，后变大 C. 当点O在中点处时，周长最大 D. 保持不变 21. （多选）若关于的方程有正整数解，且关于的不等式组有解且至少有两个整数解，则符合条件的整数的值为（ ） A. B. C. D. 五、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分）请将每小题的答案直接填写在答题卷中对应的横线上． 22. 已知，，则______． 23. 如图，在中，，于点D，E为上一点，，连接，将沿所在直线翻折至所在的平面内得到，连接，若，，则______． 24. 对于一个四位正整数s，如果满足各数位上的数字各不相同，它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，称s为“相等数”，则最小的相等数是______．令相等数s的十位数字与百位数字之差的2倍为，若正整数a，b都是相等数，其中，（，，，，且m，n，x，y都是整数），当的值是一个整数的平方时，则满足条件的正整数a的最大值是______． 六、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 25. 阅读材料：为了解方程，我们可将看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过计算，该方程的解为，，然后分别解方程，，得原方程的解为，，，．我们通常把以上这种解决问题的方法叫做换元法，即把问题中的某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），它能将复杂的问题转化成简单的问题． 根据以上材料，解决下列问题： （1）方程的解为：________； （2）解方程：； （3）若实数满足，求的值． 26. 在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于、两点，将线段绕点顺时针旋转得到线段． （1）如图1，连接，求的面积； （2）如图2，点为直线上一动点，过点向轴、轴作垂线，垂足分别为、两点，连接、，求的最大值，以及此时E点的坐标； （3）在（2）的条件下，点F为直线上一点，若的其中一个内角等于，直接写出所有符合条件的点F的坐标． 27. 如图，在中，为对角线，，点E为上一点，连接BE． （1）如图1，若，，，求的面积； （2）如图2，过点A作交于点F，垂足为点G，连接交于点H，若，求证：； （3）如图3，若于点K，M为中点，N为直线上一点，连接，将沿所在直线翻折到所在平面内得到，连接，再将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，点Q为直线上一点，连接，若，当取得最小值时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $