海南省东方市东方中学2025-2026学年高三上学期第二次月考数学试题

2025-2026学年度第一学期第二次月考高三年级数学科试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，则集合（　　） A． B． C． D． 2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．下列函数中，单调递增且值域为的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，且，，则的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 5．已知向量，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．0 6．定义在上的奇函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 7．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）?（    ）（注：，） A．30 B．31 C．32 D．33 8．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列定义域为的函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 10．下列函数中有零点的是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当，，则下列说法中正确的有（   ） A．函数关于直线对称 B．4是函数的周期 C． D．方程恰有4不同的根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．“”是“”的 条件. 13．已知函数则 . 14．若函数满足，且在单调递增，则实数的最小值等于 ． 四､解答题：本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15．已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为． 16．如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 17．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆C上一点，且的周长是，椭圆C的离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)已知O为坐标原点，过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且，求. 18．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]. (1)求图中a的值； (2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分； (3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数. 19．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 第2页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期第二次月考考试高三年级数学科试卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B A A B C B AD ABC 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】解指数不等式化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】由，解得，则，而， 所以. 故选：C 2．D 【分析】利用除法运算化简后写出其共轭复数，进而作出判定. 【详解】，所以 所以其在复平面内对应的点位于第四象限. 3．B 【分析】逐项分析函数的单调性和值域，可得正确答案. 【详解】对A：函数在上单调递减，在上单调递增，故A不满足函数的单调性； 对B：函数在上单调递增，且函数值域为，故B满足题意； 对C：函数在上单调递增，且函数值域为，故C函数的值域不满足条件； 对D：函数在上单调递增，值域为，故D函数的值域不满足条件. 故选：B 4．A 【分析】利用代换1法，结合基本不等式即可求最小值. 【详解】由，可得， 又因为，，所以， 当且仅当时取等号， 故选：A. 5．A 【分析】根据向量垂直的坐标运算求解即可. 【详解】因为， 所以，解得． 故选：A. 6．B 【分析】由题意可得函数的周期为2，利用函数为奇函数及周期为2，求解即可. 【详解】因为， 所以函数是周期函数，是其一个周期， 所以， 又因为函数为R上的奇函数， 所以， 即. 故选：B. 7．C 【分析】设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别是和，根据条件算出的值，然后可得答案. 【详解】设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别是和， 由题意：，. 于是， 所以. 故选：C. 8．B 【分析】由图可知，函数为奇函数，结合函数奇偶性的概念可排除选项A；结合时函数的取值可排除C；结合时，排除D选项；再进行验证B选项. 【详解】由图可知，函数为奇函数. 对于A，函数，定义域为，是非奇非偶函数，排除； 对于C，函数， 当，，不满足图象，排除C； 对于D，函数， 当时，，不满足图象，排除； 对于B，函数，定义域为， 而，则函数为奇函数， 当时，，当时，，满足图象. 故选：B. 9．AD 【分析】利用幂函数、指数函数、二次函数、正弦函数直接判断奇偶性. 【详解】对于A，幂函数是奇函数，A是； 对于B，指数函数不具奇偶性，B不是； 对于C，二次函数是偶函数，不是奇函数，C不是； 对于D，正弦函数是奇函数，D是. 故选：AD 10．ABC 【分析】将函数有零点问题转换为方程有根问题求解即可. 【详解】对于A，时，，所以有零点，故A正确； 对于B，时，，所以有零点，故B正确； 对于C，时，，所以有零点，故C正确； 对于D，时，，因为，所以方程无解，所以没有零点，故D错误； 故选：ABC. 11．ABD 【分析】根据奇偶性的定义，结合函数的对称性，即可判断A的正误；根据题意，结合函数的周期性，可判断B的正误；根据函数的周期性，结合解析式，即可判断C的正误；分别作出和的图象，即可判断D的正误，即可得答案. 【详解】对于A：因为是偶函数， 所以，即 所以关于对称，故A正确； 对于B：因为， 所以， 所以，即周期，故B正确； 对于C：， ， 所以，故C错误； 对于D：因为，且关于直线对称， 根据对称性可以作出上的图象， 又，可知关于点对称，又可作出上的图象， 又的周期，作出，的图象与的图象， 又，，所以，即， 如图所示： 所以与有4个交点，故D正确. 故选： ABD 12．充分不必要 【分析】解分式不等式，结合充分必要条件进行判断. 【详解】，解得或， 则是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 13． 【分析】代入计算出，相加即可. 【详解】因为，，所以. 故答案为：. 14． 【详解】试题分析：根据可知函数的图像关于直线对称，可知，从而可以确定函数在上是增函数，从而有，所以，故的最小值等于. 考点：函数图像的对称性，函数的单调性. 【方法点睛】该题根据题中的条件确定好函数本身的单调区间，根据函数在函数增区间的所有子区间上是增函数，从而求得参数的取值范围，关键是根据条件，得出函数图像的对称性，确定出函数图像的对称轴，从而得到函数的增区间，从而根据集合间的包含关系，从而确定出参数的取值范围. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的求和公式来列方程即可求得公差，从而可得等差数列的通项公式； （2）利用裂项相消法来求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，....................................................................1分 则由等差数列求和公式得：，................................................. 3分 又因为，所以可得，.........................................................5分 即数列的通项公式为；........................................................6分 （2）由，..............................................................8分 所以. ..............................................................................................................................................13分 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可证得，则，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明； （2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可. 【详解】（1）由， 得，...........................................................................................................1分 又，在中， 由余弦定理得,..........................................2分 所以，则，即，....................................................3分 所以，又平面，.........................................4分 所以平面，又平面，....................................................................5分 故；........................................................................................................................6分 （2）连接，由，则， 在中，，得， 所以，由（1）知，又平面， 所以平面，又平面， 所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系，..................7分 则， 由是的中点，得，.......................................................................................8分 所以，.........................9分 设平面和平面的一个法向量分别为， 则，， 令，得， 所以，.....................................................................................................12分 所以，..............................................................................13分 设平面和平面所成角为，则， 即平面和平面所成角的正弦值为................................................................15分 17．(1) (2) 【分析】（1）根据周长和离心率列出方程组可得方程； （2）联立方程结合韦达定理和向量数量积求出斜率，利用弦长公式可得答案. 【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，由题意可得，....................................2分 解得，，所以，............................................................................4分 所以椭圆C的方程为.............................................................................................5分 （2）由题意可知直线l的斜率存在，设为k，所以直线l的方程为. 设，，......................................................................................................6分 由，得，...................................................8分 所以，，由得.......................................9分 由，.................11分 得，满足，所以，，.....................................................13分 所以...........15分. 18．（1）   （2）73   （3）10人 【详解】试题分析 ：（1）由频率分布真方的面积为1，解得．（2）取每个区间的中点数值与这个区间的频率相乘的和为平均数．（3）数学成绩在的人数为：．数学成绩在之外的人数为：． 试题解析：（Ⅰ）由题意得，........................2分 解得．................................................................................................................5分 （Ⅱ）由．.................................10分 （Ⅲ）由频率分布表可知， 数学成绩在的人数为：．.............14分 于是，数学成绩在之外的人数为：．.........................................17分 19．(1) (2) 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【详解】（1）当时，则，，....................................1分 可得，，.........................................................................................3分 即切点坐标为，切线斜率，..................................................................4分 所以切线方程为，即...................................6分 （2）解法一：因为的定义域为，且，.........................................7分 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意；............................................................9分 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，....................................11分 则有极小值，无极大值，...................................................12分 由题意可得：，即，...................................13分 构建，则，................................................14分 可知在内单调递增，且，.............................................................15分 不等式等价于，解得，.............................................16分 所以a的取值范围为；.......................................................................................17分 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $