精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市建华区等五地联合期中考试2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025—2026学年度上学期期中学业考试 初三数学试题 一、单项选择题（每小题3分，满分30分） 1. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2. 已知是一元二次方程的一个根，则m的值是（ ） A. 1 B. 0 C. 0或1 D. 0或 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；将代入方程，求解m的值即可． 【详解】解：∵是方程 的根， ∴代入得：， 整理得：， 即， ∴， ∴； 故选：A． 3. 如图，是的直径，A，C在圆上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键． 由是⊙O的直径，得到，再根据及与互余即可求解． 【详解】解：∵是⊙O的直径， ∴， ∵， ∴（同弧所对的圆周角相等）， ． 故选：C． 4. 将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的平移，掌握平移规则：上加下减、左加右减是解题的关键． 根据平移规律，依次代换即可求解． 【详解】将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为 故所得抛物线为． 故选：A． 5. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用．已知一月份销量为8000辆，三月份增至12000辆，需建立平均每月增长率x的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的倍，故三月份销量为，据此列方程即可． 【详解】设每月增长率为x，则二月份销量为，三月份销量为二月份的倍，即． 根据题意，三月份销量为辆，可得方程为：． 故选B． 6. 下列命题： ①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的圆心角相等；③任意三点都能确定一个圆；④平分弦的直径垂直于弦；⑤圆内接四边形的对角互补．其中正确的命题有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，包括弦、弧、圆心角、确定圆的条件、垂径定理及圆内接四边形的性质，需逐项判断正误． 【详解】①直径是圆中最长的弦，正确； ②等弧所对的圆心角相等（在同圆或等圆中），正确； ③任意三点不一定能确定一个圆（三点共线时不能），错误； ④平分弦的直径不一定垂直于弦（当弦为直径时，平分它的直径可能不垂直），错误； ⑤圆内接四边形的对角互补，正确； 正确的命题有①、②、⑤，共3个． 故选：C． 7. 定义运算：对于任意实数m、n．有，例如，若关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】该题考查了一元二次方程，根据运算定义将方程转化为一元二次方程，利用判别式大于零且二次项系数不为零求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵方程有两个实数根， ∴该方程为一元二次方程，且判别式大于等于零． ∴，即， 且判别式， 解得． ∴且． 故选：D． 8. 如图，等腰（）的直角边与正方形的边长均为2，且与在同一条直线上，开始时，点C与点D重合，让沿直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设的长为x，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点C的位置对x分类讨论，分别画出对应的图形，根据等腰直角三角形的性质、梯形面积公式和三角形的面积公式计算求出函数解析式，再判断即可． 【详解】解：由题意可知：当点C到点E时，；当点A到点E时，； 当时，如下图所示，此时阴影部分为直角梯形，设与交于点H， ∵，，是等腰直角三角形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 对应的函数图象是开口向下的抛物线； 当时，如下图所示，此时阴影部分为直角三角形，设与交于点H， ∵ ，，是等腰直角三角形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 对应的函数图象是开口向上的抛物线． 综上所述，只有选项A，当时，对应的函数图象是开口向下的抛物线；当时，对应的函数图象是开口向上的抛物线，选项A符合题意． 9. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，则可得，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由旋转的性质得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论：①；②；③；④；⑤若，是方程的两根，则满足．其中正确结论的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的联系，掌握函数的基本性质，理解并熟练运用函数与方程之间的关系是解题关键．综合二次函数图象与各项系数之间的关系，以及二次函数与方程之间的联系进行逐项分析． 【详解】解：由题意，，对称轴为直线， ，即， ， ，故①正确； ， ，故②正确； 当时，， ，即， ， ， 解得， ，故③错误； ，， ，故④正确； 方程的两根、是抛物线与直线交点的横坐标， ，抛物线与 轴交于点 、 ，开口向上， ，，则，， 又， ，故⑤正确； 正确的有①②④⑤， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11. 在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度到处，则点关于原点对称的点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查点的平移及对称问题，掌握平移及对称点的变化规律是解题的关键； 点P向右平移3个单位后得到点，再根据关于原点对称的点的坐标特征，即可求出点关于原点对称的点的坐标． 【详解】点向右平移3个单位长度，横坐标增加3，纵坐标不变， 因此点的坐标为， 点关于原点对称的点，横坐标和纵坐标均取相反数，即． 故答案为：． 12. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，若点，均在二次函数图象上，则与的数量关系为_____． x … 1 5 … y … 0 5 9 5 … 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了二次函数的对称性，由函数值表可知，和时值相等，确定对称轴为；点和的横坐标关于对称轴对称，故y值相等． 【详解】解：由表格数据，当时时，根据二次函数图象的对称性， 对称轴为． 点和的横坐标平均值， 即两点关于对称轴对称， 因此． 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点，，将平行四边形OABC绕点O旋转90°后，点B的对应点坐标是______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据旋转可得： BM = B1M1 = B2M2 = 3，∠AOA1 =∠AOA2 = 90°，可得B1和B2的坐标，即是B'的坐标． 【详解】解：∵A(-1，2)， OC= 4， ∴ C(4，0)，B(3，2)，M(0，2)， BM = 3， AB//x轴，BM= 3． 将平行四边形OABC绕点O分别顺时针、逆时针旋转90°后， 由旋转得：OM=OM1=OM2=2， ∠AOA1=∠AOA2=90° BM=B1M1=B2M2=3， A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴， ∴B1和B2的坐标分别为： (-2，3)， (2，-3)， ∴B'即是图中的B1和B2，坐标就是， B' (-2， 3)， (2，-3)， 故答案为： (-2，3)或 (2， -3)． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键． 14. 在的网格中，每个小正方形的边长为1，网格线的交点记为格点．若一圆弧过格点，则该圆弧所在圆的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本概念，网格与勾股定理，作垂线，垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先作图找出圆心，再运用网格与勾股定理性质列式计算，即可作答． 【详解】解：如图：分别连接和，再作它们的垂直平分线，交于一点O，该点即为该圆弧所在圆的圆心，连接， 结合网格特征，得出， ∴， ∴该圆弧所在圆的半径为， 故答案为：． 15. 如图，内接于，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点D，连接并延长交于点E，连接，则的度数是_____． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图-作已知线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识．根据尺规作图可得直线是弦的垂直平分线，得到，进而求出，根据圆周角定理即可求出． 【详解】解：由尺规作图可得直线是弦的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 16. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺指针旋转到的位置，点B，O分别落在点处，点在x轴上；再将绕点顺时针旋转到的位置，点分别落在点处，点在x轴上；再将绕点顺时针旋转到的位置，点别落在点，处，点在x轴上；依次进行下去…，若点，点，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的变化-旋转、勾股定理． 通过旋转发现， 、、……每奇数之间的B相差12个单位长度，根据这个规律可以求得的横坐标，进而可得点的坐标． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴， ∴，， 即，，，……，， 即， ∴， 当时， ， 即， 由图可知当为奇数时，点纵坐标为0， 故点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（本题共7道大题，共72分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用公式法，解方程即可； （2）利用因式分解法，解方程即可． 【小问1详解】 解：， ，，， ， ， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， 解得，． 18. 已知是方程的两个实数根，则 ， ，求代数式的值． 【答案】；； 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系等知识，根据一元二次方程根与系数的关系求出，，将变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． （1）平移，若点A的对应点的坐标为，画出平移后的； （2）将以点(0，2)为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的； （3）已知将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为__________． 【答案】（1） 作图如下，即为所求作的三角形： （2） 作图如下，即为所求作的三角形： （3）(2，1) 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，旋转作图和中心对称作图，掌握旋转和中心对称的性质是解题的关键． （1）根据点A的对应点的坐标为确定平移方式，再根据平移方程确定其它两点的对应点，最后连线即可； （2）根据中心对称的性质，找到三个顶点的对应点，再连线即可； （3）连接对应点，对应点的交点就是旋转中心(对称中心)． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接，对应点的交点就是旋转中心(对称中心) ，即点， 故答案是：． 20. 某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用笆围成一个一面靠墙的矩形花园．如图所示，墙长 ，另外三面用长的篱笆围成，其中边开有一扇宽的门(不含篱笆，其它材料制作)， （1）当矩形花园的边的长为多少米时，围成的矩形花园的面积为． （2）矩形花园的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案：如果不能，请说明理由． 【答案】（1）当矩形花园的边的长为时，围成的矩形花园的面积为 （2） 解：不能， 理由：设边的长为， 则 ， ， ， ∴方程没有实数根， ∴矩形花园的面积不能达到． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设边的长为，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程，即可求解． （2）设边的长为，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设边的长为， 依题意，得：， 解得：， 不符题意，舍去． 答：当矩形花园的边的长为时，围成的矩形花园的面积为． 【小问2详解】 略 21. 如图，四边形的顶点都在上，是⊙O的直径，点C是的中点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，熟知圆周角定理和垂径定理是解题的关键． （1）由圆周角定理可得，则可证明，据此可证明． （2）连接，交于点E，由题意知，由直径所对的圆周角是直角得到，即，则可证明，在和中，，解得，继而得到，则是的中位线，故． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，交于点E， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 解得， 又∵， ， ∴是的中位线， ∴． 22. 矩形中，，，将矩形绕点C顺时针旋转至矩形（其中A、B、D分别与E、F、G对应），旋转角度大于小于． （1）如图1，当点F恰好落在边上时，的长为 ； （2）如图2，在旋转的过程中，当直线恰好经过点A时，与的关系为 ，证明你的结论：此时，与交于点H．求线段的长度； （3）设的面积为S，则S的取值范围为 ． 【答案】（1）1 （2）解：，，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∵点在线段上， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 在中，， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）在中，利用勾股定理求出即可解决问题． （2）首先证明，设，则，在中，，构建方程求出m即可解决问题． （3）如图，由旋转可得在以为圆心，为半径的圆上运动，当三点共线时，到的距离最大，最大距离为线段的长，求解，可得的最大面积为，进一步可得答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，将矩形绕点C顺时针旋转至矩形， ∴，，， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，由旋转可得在以为圆心，为半径的圆上运动， 当三点共线时，到的距离最大，最大距离为线段的长， ∵矩形，，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴的最大面积为， 当共线时，面积记为， ∴． 【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、勾股定理，圆的基本性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．点P为直线上方抛物线上的一点（不与B、C重合），连接，若点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）当m为何值时，的面积最大，并求出最大值； （3）当时，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，过点M作x轴的垂线交直线于点N．为等腰直角三角形，则m的值为 ； （4）抛物线的对称轴上有两点E、F，且满足四边形是平行四边形，连接的最小值为 ． 【答案】（1） （2）当时， （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与特殊三角形、平行四边形的存在性问题，与面积的综合问题，以及涉及线段周长最值问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由待定系数法求解即可； （2）过点作轴交于点，先求出直线，设，则，则，由建立二次函数关系式，再由二次函数的性质求解； （3）由题意得，，当为等腰直角三角形时，只能是，设，表示出，，再建立方程求解； （4）过点作y轴的对称点，连接，则，那么，故当点三点关系时，取得最小值即为，由平行四边形得到，求出，再由勾股定理求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴ 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：过点作轴交于点， 对于， 当， ∴， 设直线， 则， 解得， ∴直线， 设，则， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴当时，； 【小问3详解】 解：如图， 由题意得，， ∴当为等腰直角三角形时，只能是， 设 对于，对称轴为直线， ∴， ∴ 将代入，则， ∴， ∴， ∴ 解得或（舍）， 故答案为：； 【小问4详解】 解：过点作y轴的对称点，连接， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，取得最小值即为的长， ∵平行四边形 ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期期中学业考试 初三数学试题 一、单项选择题（每小题3分，满分30分） 1. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是一元二次方程的一个根，则m的值是（ ） A. 1 B. 0 C. 0或1 D. 0或 3. 如图，是的直径，A，C在圆上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 5. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题： ①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的圆心角相等；③任意三点都能确定一个圆；④平分弦的直径垂直于弦；⑤圆内接四边形的对角互补．其中正确的命题有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 定义运算：对于任意实数m、n．有，例如，若关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 如图，等腰（）的直角边与正方形的边长均为2，且与在同一条直线上，开始时，点C与点D重合，让沿直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设的长为x，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. 10 B. C. D. 10. 如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论：①；②；③；④；⑤若，是方程的两根，则满足．其中正确结论的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11. 在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度到处，则点关于原点对称的点的坐标是_____． 12. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，若点，均在二次函数图象上，则与的数量关系为_____． x … 1 5 … y … 0 5 9 5 … 13. 如图，在平面直角坐标系中，点，，将平行四边形OABC绕点O旋转90°后，点B的对应点坐标是______． 14. 在的网格中，每个小正方形的边长为1，网格线的交点记为格点．若一圆弧过格点，则该圆弧所在圆的半径为______． 15. 如图，内接于，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点D，连接并延长交于点E，连接，则的度数是_____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺指针旋转到的位置，点B，O分别落在点处，点在x轴上；再将绕点顺时针旋转到的位置，点分别落在点处，点在x轴上；再将绕点顺时针旋转到的位置，点别落在点，处，点在x轴上；依次进行下去…，若点，点，则点的坐标为_____． 三、解答题（本题共7道大题，共72分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知是方程的两个实数根，则 ， ，求代数式的值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． （1）平移，若点A的对应点的坐标为，画出平移后的； （2）将以点(0，2)为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的； （3）已知将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为__________． 20. 某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用笆围成一个一面靠墙的矩形花园．如图所示，墙长 ，另外三面用长的篱笆围成，其中边开有一扇宽的门(不含篱笆，其它材料制作)， （1）当矩形花园的边的长为多少米时，围成的矩形花园的面积为． （2）矩形花园的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案：如果不能，请说明理由． 21. 如图，四边形的顶点都在上，是⊙O的直径，点C是的中点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 矩形中，，，将矩形绕点C顺时针旋转至矩形（其中A、B、D分别与E、F、G对应），旋转角度大于小于． （1）如图1，当点F恰好落在边上时，的长为 ； （2）如图2，在旋转的过程中，当直线恰好经过点A时，与的关系为 ，证明你的结论：此时，与交于点H．求线段的长度； （3）设的面积为S，则S的取值范围为 ． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．点P为直线上方抛物线上的一点（不与B、C重合），连接，若点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）当m为何值时，的面积最大，并求出最大值； （3）当时，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，过点M作x轴的垂线交直线于点N．为等腰直角三角形，则m的值为 ； （4）抛物线的对称轴上有两点E、F，且满足四边形是平行四边形，连接的最小值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $