12.3.2 等腰三角形的判定（教学课件）数学新教材华东师大版八年级上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形的判定，核心知识点包括等腰三角形的定义判定、“等角对等边”定理及等边三角形的判定。课堂导入先复习等腰三角形“等边对等角”性质及证明（用SAS证全等），再通过小组活动画三角形、填表探究“等角对等边”，构建性质与判定的互逆知识支架。 其亮点在于以动手操作（画指定角的三角形并量边）培养几何直观，通过严谨证明（如“等角对等边”用AAS证全等）和典例分析（例1用HL证全等得角等推边等）发展推理能力，变式训练（旋转问题、网格找等腰三角形）激发创新意识。采用“旧知-探究-典例-变式-练习”螺旋结构，小结明确几何语言与判定依据，助力学生提升逻辑推理能力，也为教师提供完整教学流程和多样化例题，便于高效教学。

12.3.2 等腰三角形的判定 第12章 全等三角形 华师大版2024·八年级上册 章节导读 学 习 目 标 掌握等腰三角形基础判定方法 能通过定义（两条边相等）直接识别等腰三角形 理解“等角对等边”定理，并能通过角相等推导边相等 灵活运用几何性质 利用对称性（如轴对称图形、角平分线/中线/高三线合一）辅助判定 结合全等三角形证明边或角的关系 掌握等边三角形核心判定标准 熟练应用三边相等或三角相等（均为60°）的直接判定 掌握“等腰三角形+60°角”的衍生判定方法 旧知复习 等腰三角形的性质 由此得到以下等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，简写成 “等边对等角”如图所示，若△ABC为等腰三角形，则∠A=∠B 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C 证明：作∠BAC的平分线AD， 在△ABD和△ACD中，∵AB=AC，∠1=∠2，AD=AD ∴△ABD≌△ACD（SAS） ∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等） 新知探究 ∠A ∠B AB AC BC 30° 30° 3cm 45° 45° 4cm 60° 60° 3cm 小组活动："如果我们知道一个三角形有两个角相等，能否反过来推出它是等腰三角形呢？"根据下面表格中的数据，借助量角器画出三角形ABC。 将你的结果填入上表，并观察线段AC、BC是否相等？ 合作探究 我们可以发现: 如果一个三角形中有两个角相等, 那么它就是等腰三角形 即有两个角相等的三角形是等腰三角形,简写成 “等角对等边” 已知：△ABC中∠A=∠B，求证：AC=BC 证明：过点C作CD⊥AB,如图所示 ∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠CDB 在△ACD和△BCD中 △ACD≌△BCD ∴AC=BC 典例分析 例1 . 已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE=DF，求证：△ABC是等腰三角形． 证明：∵D是BC的中点 ∴BD=CD ∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F ∴在Rt△BDE和Rt△CDF中 ∴△BDE≌△CDF(HL) ∴∠B=∠C ∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形 变式训练 如图所示，在△ABC中，BC⊥AB，∠BAC=45°，F是AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．求证：△ABE≌△CBF 证明：∵CB⊥AB ∴∠ABC=∠FBC=90° ∵∠BAC=45° ∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB=CB ∴在Rt△ABE和Rt△CBF中 ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL) 典例分析 例2 .如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F，若FG=4，ED=9，则BE+CD的值为（ ） A．13 B. 14 C. 15 D. 16 A 提示：由角平分线与平行线易得∠EGB=∠ABG，从而得到BE=EG，同理可得DF=CD，再根据BE+DC=ED+FG即可得到答案。 变式训练 如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE，DB=1，BC=3，则AC的长为（ ） 提示：由△BCD≌△ECD（ASA）得到BC=CE=3，BD=DE=1，由等角对等边判定AE=B，继而可求AC。 A．4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 C 新知探究 等边三角形的判定 等边三角形的两个判定定理：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 已知：△ABC中∠A=∠B=∠C，求证：△ABC是等边三角形。 证明：∠A=∠B，根据等角对等边可得BC=AC ∠B=∠C，同理可得AC=AB ∴AB=AC=BC ∴△ABC是等边三角形 你能自己证明第二个判定定理吗？ 典例分析 例3 .如图，在△ABC中，点D，E在BC边上，连接AD，AE，且AD=DE，线段DF,EH分别是△ADB和△AEC的高，且AF=AH，DF=EH．请判断△ADE是等边三角形吗？并加以证明． 证明：∵线段DF、EH分别是△ADB和△AEC的高， ∴∠AFD=∠AHE=90° 又AF=AH、DF=EH ∴△AFD≌△AHE（SAS） ∴AD=AE，又AD=DE，∴AD=DE=AE ∴△ADE是等边三角形 变式训练 如图，已知△ABC是等边三角形，且∠1=∠2=∠3．试问：△DEF是等边三角形吗？请说明理由． 解：DEF是等边三角形，理由如下： ∵△ABC是等边三角形 ∴∠ACB=60°，∴∠3+∠BCE=60° ∵∠2=∠3 ∴∠BEF=∠2+∠BCE=60° 同理∠EFD=∠FDE=60° ∴△DEF是等边三角形 典例分析 例4 .如图，∠AOB=90°，∠B=30°，△A'OB'可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的．若点A'在AB上，则旋转角的α大小可以是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° C 提示：由旋转性质可知OA=OA'，由已知可推出∠A=60°，则△A'OA'是等边三角形，故旋转∠A'OA'可求 变式训练 如图，在等边△ABC中，点D是其内部一点，连接BD、CD，将△BCD绕点C顺时针旋转得到△ACD'，连接DD'，若BD=4.5cm，CD=3cm，则DD'的长为（ ） A. 5cm B. 4.5cm C. 3cm D. 4cm C 课堂练习 1.如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（ ） B A．5 B. 6 C. 7 D. 8 提示：根据题意并结合图形，分AB为等腰△ABC底边和AB为等腰△ABC的腰两种情况分别解答即可 课堂练习 2．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转106°，若点B的对应点D恰好落在线段BC的延长线上∠B大小为 （ ） D A．33° B. 34° C. 36° D.37° 提示：由旋转的性质可得出AB=AD，∠BAD=106°，再根据等腰三角形的性质可求出∠B的度数，此题的解 课堂练习 3．如图，把三角形纸片ABC分别沿DE，MN所在直线折叠，使得点B、C都与点A重合，若∠BAC=110°，则∠DAM的度数为（ ）． C A．20° B. 30° C.40° D.50° 课堂练习 4. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点 D，DE∥AB，AE=6，则DE的长为__________． 6 5. 如图，在△ABC中，角平分线BO和CO相交于点O，OE∥AB，OF∥AC，BC=4，则△OEF的周长为___________． 4 课堂练习 6. 如图，在正方形网格中有线段AC、BC，点A，B，C在网格的格点上，则∠1+∠2=_____． 45° 7. 如图，∠ABC的平分线BF与∠ACG的平分线相交于点F，过F作DF∥BC交AB于D，交AC于E，若DB=18，DE=8，则CE的长为_______． 10 课堂练习 8．如图，A、B、C、D依次在同一条直线上，AB=CD，AE=DF，∠A=∠D，BF与EC相交于点M．求证：MC=MB． 证明：∵AB=CD ∴AB+BC=CD+BC,∴AC=BD 在△AEC和△DFB中， ∴△AEC≌△DFB（SAS） ∴∠ACE=∠DBF，∴MC=MB 课堂小结 等角对等边 判定依据：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 几何语言： 在△ABC中，若∠B=∠C，则AB=AC，△ABC是等腰三角形。 等边三角形的判定 ①判定依据：三个内角都相等的三角形是等边三角形（每个角为60°）。 几何语言：在△ABC中，若∠A=∠B=∠C=60°，则△ABC是等边三角形。 ②判定依据：若一个三角形是等腰三角形，且有一个角为60°，则它是等边三角形。 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 初 中 数 学 $