精品解析：甘肃省兰州市五校2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年第一学期五校联考八年级数学期中考试试卷 一、选择题（共11小题，每小题3分，共33分） 1. 下列各数中，，，，，，，，无理数的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 下列曲线中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，，1 C. 4，5，6 D. 9，40，41 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（　　） A. 4的平方根是2 B. 8的立方根是±2 C. 3 D. 没有平方根 6. 若，，那么点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 1 8. 已知点P(－2，1)，那么点P关于x轴对称的点P′的坐标是（ ） A. (－2，1) B. (－2，－1) C. (－1，2) D. (2，1) 9. 已知直线经过一、二、三象限，则直线的图像只能是（ ） A. B. C. D. 10. 点（3，y1），（1，y2）都在直线y＝x+b上，则y1与y2的大小关系是（　　） A. y1＞y2 B. y1＝y2 C. y1＜y2 D. 不能比较 11. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，按这样的运动规律，第23次运动后，动点的纵坐标是（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 12. 使得代数式有意义的x的取值范围是_____． 13. 如图是利用平面直角坐标系画出的北京地铁部分站点分布图．若这个平面直角坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示崇文门站的坐标为，表示北海北站的坐标为，则表示西单站的坐标为_______． 14. 的平方根是_______． 15. 在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为6，8，24，则正方形B的面积是________． 三、解答题 16. 计算： （1） （2） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简． 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中画出，以及与关于轴对称的； （2）求出的面积． 20. 如图，在四边形中，，，，，． 求四边形的面积． 21. 已知点P(a﹣2，2a+8)，分别根据下列条件求出点P的坐标． （1）点P在x轴上； （2）点Q的坐标为(1，5)，直线PQ∥y轴； （3）点P到x轴、y轴的距离相等． 22. 已知y关于x的一次函数． （1）若y随x的增大而减小，求m的取值范围； （2）若y是x的正比例函数，求m的值． 23. 已知一次函数． （1）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； （2）根据函数图象，方程的解为___________． 24. 河南信阳毛尖是中国十大名茶之一，因其成品紧密如尖故名毛尖．某公司采购员到信阳茶叶市场购买某品牌毛尖茶，商家推出了两种购买方式： 会员卡费用(元/张) 茶叶价格(元/kg) 方式一：金卡会员 500 1600 方式二：银卡会员 200 1800 设该公司此次购买茶叶xkg，按方式一购买茶叶的总费用为元，按方式二购买茶叶的总费用为元． （1）请直接写出关于x的函数解析式； （2）若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该公司此次购买茶叶的质量； （3）若该公司此次购买茶叶的总预算为6500元，则按哪种方式购买可以获得更多的茶叶？ 25. 数学老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是数学老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题． （1）小青编的题：观察下列等式： ；． 直接写出以下算式的结果：_______． （2）小明编的题：由二次根式的乘法可知： ，，； 再根据平方根的定义可得，，． 直接写出以下算式的结果：_______． （3）数学老师编的题：根据你的发现，完成以下计算： ． 26. 对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与称为点的一对“相伴点”．例如：点的一对“相伴点”是点与． （1）求点的一对“相伴点”的坐标； （2）若点的一对“相伴点”重合，求的值； （3）若点的一对“相伴点”之一为，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期五校联考八年级数学期中考试试卷 一、选择题（共11小题，每小题3分，共33分） 1. 下列各数中，，，，，，，，无理数的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，理解定义是解题的关键， 根据无限不循环小数为无理数，其中无理数包括：，等；开方开不尽的数；以及像（每两个之间的个数依次加）等有这样规律的数． 根据无理数的定义分析判断． 【详解】解：，， 无理数有：，，，，共个； 故选：B 2. 下列曲线中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义即可判断． 【详解】解：A、对于一部分自变量的值，有多个值与之相对应，不是的函数，故选项不符合题意； B、对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，是的函数，故选项符合题意； C、对于一部分自变量的值，有两个值与之相对应，不是的函数，故选项不符合题意； D、对于一部分自变量的值，有两个值与之相对应，不是的函数，故选项不符合题意； 3. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，，1 C. 4，5，6 D. 9，40，41 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，如果a，b，c为正整数，且满足，那么，a、b、c叫做一组勾股数． 根据勾股数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A． ，，，不是整数，不是勾股数； B． ，，不是整数，不是勾股数； C． ，不是勾股数； D． ，是勾股数； 故选：D 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断． 【详解】解：，故选项A正确，符合题意； ，故选项B错误，不符合题意； 不能合并，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D错误，不符合题意； 故选：A． 5. 下列说法正确的是（　　） A. 4的平方根是2 B. 8的立方根是±2 C. 3 D. 没有平方根 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A.4的平方根是±2，因此选项A不符合题意； B.8的立方根是2，因此选项B不符合题意； C．3，因此选项C不符合题意； D．﹣6没有平方根，因此选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查平方根、算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提． 6. 若，，那么点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中象限的符号特征以及不等式的简单应用，运用了逻辑推理的思想．解题关键是根据判断出x、y异号，再结合确定x、y的正负，易错点是对象限符号特征记忆不清，导致判断错误． 已知，根据乘法法则“异号得负”，可知x和y符号不同．再由，移项得到，由此可推出y为正、x为负．最后根据平面直角坐标系中第二象限内点的横坐标为负、纵坐标为正的特征，判断出点在第二象限． 【详解】， ∴x与 y 异号． 又，即， ∴ y为正，x为负． 在第二象限． 故选：B． 7. 若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义．根据平方根的性质即可求出答案． 【详解】解：与是同一个数的两个不等的平方根， ∴， 解得：， ∴这个数是， 故选：D． 8. 已知点P(－2，1)，那么点P关于x轴对称的点P′的坐标是（ ） A. (－2，1) B. (－2，－1) C. (－1，2) D. (2，1) 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：点的坐标关于x轴对称，则对称点坐标也关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数．故P 坐标为（-2，-1），选B. 9. 已知直线经过一、二、三象限，则直线的图像只能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一次函数的图像与性质．根据题意可得：，，进而得到，推出直线经过第一、三、四象限，即可求解． 【详解】解：直线经过第一、二、三象限， ，， ， 直线经过第一、三、四象限， 故选：C． 10. 点（3，y1），（1，y2）都在直线y＝x+b上，则y1与y2的大小关系是（　　） A. y1＞y2 B. y1＝y2 C. y1＜y2 D. 不能比较 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数y＝−x＋b的图象的增减性，结合横坐标的大小，即可得到答案． 【详解】解：∵在一次函数y＝−x＋b中，k＝−1， ∴y随着x的增大而减小， 又∵−3＜1， ∴y1＞y2， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确掌握一次函数图象的增减性是解题的关键． 11. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，按这样的运动规律，第23次运动后，动点的纵坐标是（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了规律型点的坐标，数形结合并从图象中发现循环规律：纵坐标每6次运动组成一个循环是解题的关键． 由图得点的纵坐标变化每6次一循环，，点的纵坐标为符合第5个点的纵坐标为1． 【详解】解：由图得，点每运动一次横坐标就增加1， ∴的横坐标为23， 点的纵坐标变化每6次一循环， ， ∴点的纵坐标为1． 故选：C． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 12. 使得代数式有意义的x的取值范围是_____． 【答案】x＞3 【解析】 【分析】二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴x﹣3＞0， ∴x＞3， ∴x的取值范围是x＞3， 故答案为：x＞3． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 13. 如图是利用平面直角坐标系画出的北京地铁部分站点分布图．若这个平面直角坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示崇文门站的坐标为，表示北海北站的坐标为，则表示西单站的坐标为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键． 根据给出的坐标建立坐标系，然后在坐标系中确定西单站的坐标即可． 【详解】解：根据崇文门站的坐标为，北海北站的坐标为，建立坐标系如下： ∴西单站的坐标为， 故答案为：． 14. 的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 15. 在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，C，D的面积依次为6，8，24，则正方形B的面积是________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．根据勾股定理得到，，进一步运算即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴，正方形A，C，D的面积依次为6，8，24， ∴， ∴． 故答案为：10 三、解答题 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算： （1）先将二次根式化简为最简根式，再从左往右依次计算即可； （2）利用二次根式的加减乘除运算法则进行计算． 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，实数的运算，先根据平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，利用二次根式的性质化简二次根式是解题关键． 利用数轴判断得出：，，，，进而化简即可． 【详解】解：如图所示：，， ∴，，， ． 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中画出，以及与关于轴对称的； （2）求出的面积． 【答案】（1） 如图，、即为所求； （2）4 【解析】 【分析】（1）先利用关于y轴对称的点的坐标特征得到D、E、F的坐标，然后描点即可； （2）用一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积去计算的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：． 【点睛】本题考查了作图一轴对称变换，解题的关键是掌握几何图形都可视为是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的． 20. 如图，在四边形中，，，，，． 求四边形的面积． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，熟练掌握直角三角形的判定方法是解题的关键． 利用勾股定理求出的长，证得是直角三角形，再利用面积公式运算求解即可． 【详解】在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ． 21. 已知点P(a﹣2，2a+8)，分别根据下列条件求出点P的坐标． （1）点P在x轴上； （2）点Q的坐标为(1，5)，直线PQ∥y轴； （3）点P到x轴、y轴的距离相等． 【答案】（1）P(﹣6，0)；（2）P(1，14)；（3）P(﹣12，﹣12)或(﹣4，4)． 【解析】 【分析】（1）利用x轴上点的坐标性质纵坐标为0，进而得出a的值，即可得出答案； （2）利用平行于y轴直线的性质，横坐标相等，进而得出a的值，进而得出答案； （3）利用点P到x轴、y轴的距离相等，得出横纵坐标相等或互为相反数进而得出答案． 【详解】解：（1）∵点P(a﹣2，2a+8)在x轴上， ∴2a+8＝0， 解得：a＝﹣4， 故a﹣2＝﹣4﹣2＝﹣6， 则P(﹣6，0)； （2）∵点Q的坐标为(1，5)，直线PQ∥y轴， ∴a﹣2＝1， 解得：a＝3， 故2a+8＝14， 则P(1，14)； （3）∵点P到x轴、y轴的距离相等， ∴a﹣2＝2a+8或a﹣2+2a+8＝0， 解得：a1＝﹣10，a2＝﹣2， 故当a＝﹣10时，a﹣2＝﹣12，2a+8＝﹣12， 则P(﹣12，﹣12)； 故当a＝﹣2时，a﹣2＝﹣4，2a+8＝4， 则P(﹣4，4)． 综上所述：P(﹣12，﹣12)或(﹣4，4)． 【点睛】此题主要考查了点的坐标性质，用到的知识点为：点到两坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标相等或互为相反数以及点在坐标轴上的点的性质等知识，属于基础题，要熟练掌握点的坐标性质． 22. 已知y关于x的一次函数． （1）若y随x的增大而减小，求m的取值范围； （2）若y是x的正比例函数，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性、正比例函数的定义等知识点，掌握一次函数的增减性是解题关键． （1）对于一次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，据此列不等式求解即可； （2）对于一次函数，当时，此时为正比例函数，据此即可求解． 【小问1详解】 解：随x的增大而减小， ，解得：， 的取值范围是． 【小问2详解】 解：是x的正比例函数， ，解得， ． 23. 已知一次函数． （1）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； （2）根据函数图象，方程的解为___________． 【答案】（1） 该函数的图象如下： （2） 【解析】 【分析】本题考查画一次函数图象，一次函数与一元一次方程的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据解析式求出直线与坐标轴的交点坐标，描点、连线即可； （2）直线与横坐标轴的交点的横坐标即为方程的解． 【小问1详解】 解：， 当时，； 当时，，解得， 点和点在直线上 【小问2详解】 解：由（1）知，直线与x轴的交点坐标为， 故方程的解为， 故答案为：． 24. 河南信阳毛尖是中国十大名茶之一，因其成品紧密如尖故名毛尖．某公司采购员到信阳茶叶市场购买某品牌毛尖茶，商家推出了两种购买方式： 会员卡费用(元/张) 茶叶价格(元/kg) 方式一：金卡会员 500 1600 方式二：银卡会员 200 1800 设该公司此次购买茶叶xkg，按方式一购买茶叶的总费用为元，按方式二购买茶叶的总费用为元． （1）请直接写出关于x的函数解析式； （2）若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该公司此次购买茶叶的质量； （3）若该公司此次购买茶叶的总预算为6500元，则按哪种方式购买可以获得更多的茶叶？ 【答案】（1）， （2）千克 （3）按照第一种方式购买可以获得更多的茶叶 【解析】 【分析】（1）由总费用等于会员卡费用加上茶叶费用可得答案； （2）由，再建立方程即可； （3）把代入，，再求解，再比较即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ； 【小问2详解】 由题意可得：， 解得：， 答：该公司此次购买茶叶的质量为千克． 【小问3详解】 按照第一种方式购买茶叶：，解得； 按照第二种方式购买茶叶：，解得． ∵， ∴按照第一种方式购买可以获得更多的茶叶． 【点睛】本题考查的是列函数关系式，一元一次方程的应用，理解题意，确定函数关系式与相等关系建立方程是解本题的关键． 25. 数学老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是数学老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题． （1）小青编的题：观察下列等式： ；． 直接写出以下算式的结果：_______． （2）小明编的题：由二次根式的乘法可知： ，，； 再根据平方根的定义可得，，． 直接写出以下算式的结果：_______． （3）数学老师编的题：根据你的发现，完成以下计算： ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的化简. （1）根据题干提供的方法进行分母有理化即可； （2）分别把每个被开方数化为某个数的平方，再化简即可； （3）先把括号内每一项分母有理化，再合并同类二次根式，同步化简，最后利用平方差公式计算即可. 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 故答案为：； 【小问3详解】 解： ． 26. 对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与称为点的一对“相伴点”．例如：点的一对“相伴点”是点与． （1）求点的一对“相伴点”的坐标； （2）若点的一对“相伴点”重合，求的值； （3）若点的一对“相伴点”之一为，求点的坐标． 【答案】（1）与 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据新定义求出、，即可得出结论； （2）根据新定义，求出点的一对“相伴点”，进而得出结论； （3）设出点的坐标，根据新定义，建立方程组，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴点的一对“相伴点”的坐标是与； 【小问2详解】 ∵点， ∴，， ∴点的一对“相伴点”的坐标是和， ∵点的一对“相伴点”重合， ∴， ∴， ∴的值为； 【小问3详解】 设点， ∵点的一个“相伴点”的坐标为， ∴或， ∴或， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题考查点的坐标，新定义，解二元一次方程组，解一元一次方程，理解和应用新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $