专题10 命题与证明（数学竞赛真题汇编）七年级全国通用

专题10 命题与证明 1．（2024七年级下·天津竞赛）要判断命题“若，则”是错误的，可以举一个反例，则下列反例中符合要求的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（2023八年级下·吉林竞赛）下列说法错误的是（   ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．命题的逆命题不一定是真命题 D．定理的逆定理一定是真命题 3．（2024八年级上·湖南岳阳·竞赛）下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．互为倒数的两数之积必为正 4．（2024八年级下·湖南长沙·竞赛）小龙、小军和小康三人在甲、乙、丙三所不同的学校读书，唱歌、阅读、绘画是三人的不同爱好． 并且知道：①小龙不在甲校读书，小军不在甲校读书，也不在丙校读书；②在甲校读书的同学爱好唱歌，爱好绘画的同学不在丙校读书． 根据以上信息，下列选项中正确的是（    ） A．小龙在乙校读书，爱好阅读 B．小龙在丙校读书，爱好绘画 C．小军在乙校读书，爱好绘画 D．小康在甲校读书，爱好阅读 5．（2023·安徽竞赛）设a，b，c为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2022八年级下·浙江杭州·竞赛）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，应首先假设这个直角三角形中（   ） A．两个锐角都大于 B．没有一个锐角大于 C．至少有一个锐角大于 D．两个锐角都大于等于 7．（2025九年级下·陕西竞赛）甲，乙，丙共人参加三项知识竞赛，每项知识竞赛第一名到第三名的分数依次为，，．竞赛全部结束后，甲获得其中两项的第一名及总分第一名，则下列说法错误的是（　　） A．第二名，第三名的总分之和为分或分 B．第二名的总分可能超过分 C．第三名的总分共有种情形 D．第三名不可能获得其中任何一场比赛的第一名 8．（2023九年级·浙江竞赛）甲、乙、丙、丁四个人参加一个比赛，有两个人获奖．在比赛结果揭晓之前，四个人做了如下猜测： 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中．                乙：我没有获奖，丙获奖了． 丙：甲、乙两个人中有且只有一个人获奖．        丁：乙说得对． 已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，则两名获奖者为（    ）． A．甲  丁 B．乙  丙 C．乙  丁 D．以上都不正确 9．（2024七年级下·浙江杭州·竞赛）三位同学去食堂吃饭，他们每人要的不是牛排就是拉面：（1）如果A要的是牛排，那么B要的就是拉面；（2）A或C要的是牛排，但是不会两人都要牛排；（3）B和C不会两人都要拉面．根据以上信息，B要的是 ． 10．（2023七年级上·湖南邵阳·竞赛）在每星期的七天中，甲在星期一、二、三讲假话，其余四天都讲真话；乙在星期四、五、六讲假话，其余各天都讲真话．今天甲说：“昨天是我说谎的日子．”乙说：“昨天也是我说谎的日子．”问今天是星期 ． 11．（2023七年级上·湖南长沙·竞赛）有6个队，两两之间比赛一场，已知第一个队到第五个队依次赛了1场、2场、3场、4场、5场，则第六个队赛了 场． 12．（2023八年级上·江苏泰州·竞赛）已知A，B，C，D，E代表1至9中不同的数字，，求的最大值． 1．（2024八年级·全国·竞赛）甲、乙、丙、丁、戊与小明同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，甲、乙、丙、丁、戊分别比赛了5、4、3、2、1场，则小明已赛（    ）． A．1场 B．2场 C．3场 D．4场 2．（2024七年级·全国·竞赛）下列说法正确的有（    ）个． ①两条直线所成的各角中必有一个锐角；②如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等；③经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④经过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A． B． C． D． 3．（2024九年级·全国·竞赛）如图A、B、C是固定在桌面上的三根小棒，其中A上有5个大小不同的圆片，从上到下，圆片的直径依次增大．现要将这5个圆片移动到B上，要求：①每次只能移动一个圆片；②圆片只能在A、B、C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面．那么完成这件事情最少要移动圆片（    ）    A．31次 B．33次 C．17次 D．25次 4．（2024九年级·全国·竞赛）甲、乙、丙、丁4个人轮流下一副象棋，每两个人都要下一盘棋．如果甲胜了丁，并且甲、乙、丙三人胜的盘数相同，那么甲、乙、丙三人各胜2盘的概率为 ． 5．（2023七年级上·全国·竞赛）六人参加乒乓球比赛，每两人比赛一场，分胜负，无平局．最终他们胜利的场数分别是a，b，b，c，d，d，且，那么a＝ ． 6．（2024八年级·全国·竞赛）关于三角形的内角，有下列说法：①至少有两个锐角，②最多有一个直角，③必有一个角大于，④至少有一个角不小于．其中不正确的说法是 （填序号）． 7．（2023七年级上·全国·竞赛）王明参加了10场数学擂台赛，他输的场数、打平的场数都大于他赢的场数，则王明最多赢了 场比赛． 8．（2024八年级上·全国·竞赛）袋中有红、黄、黑三种颜色的球各若干个，黄色球上标有数字5，黑色球上标有数字6，红色球上标的数字看不清．现从袋中拿出8个球，其中黄色球和黑色球的个数分别少于红色球的个数．已知8个球上的数字和是39，那么红色球上标的数字是 ；拿出黑色球的个数是 ． 9．（2023七年级上·全国·竞赛）已知a，b，c，d，e，f是1～9中六个互不相等的正整数，那么关于x的方程的最大整数解是 ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 命题与证明 1．（2024七年级下·天津竞赛）要判断命题“若，则”是错误的，可以举一个反例，则下列反例中符合要求的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查的是命题和定理．根据条件，逐项把数值代入计算并判断，即可解题． 【详解】解：A、，且，满足命题，不符合题意； B、，且，不满足命题，符合题意； C、，且，满足命题，不符合题意； D、，不满足命题，不符合题意； 故选：B． 2．（2023八年级下·吉林竞赛）下列说法错误的是（   ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．命题的逆命题不一定是真命题 D．定理的逆定理一定是真命题 【答案】B 【分析】本题考查命题与定理，逆定理、互逆定理、原命题、逆命题、互逆命题等知识，解题的关键是掌握基本概念，根据命题和定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、任何命题都有逆命题，正确，故本选项不符合题意； B、任何定理不一定都有逆定理，故本选项符合题意； C、命题的逆命题不一定为真命题，故本选项不符合题意； D、如果一个定理的逆命题能被证明为真命题，那么它叫做原定理的逆定理.故定理的逆定理一定是真命题，本选项不符合题意； 故选：B． 3．（2024八年级上·湖南岳阳·竞赛）下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．互为倒数的两数之积必为正 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值，有理数的加法和乘法，倒数的定义，解题的关键是熟练掌握以上概念和运算． 利用绝对值的意义，有理数的加法和乘法法则，以及倒数的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A.互为相反数的两个数的绝对值相等，该选项错误，不符合题意； B.当两个数都为0时，两数之积为0，该选项错误，不符合题意； C.两数之积小于0，那么两数符号相反，只根据符号相异的两个数，无法判断绝对值大小，该选项错误，不符合题意； D.互为倒数的两数之积为1，为正数，该选项正确，符合题意； 故选：D． 4．（2024八年级下·湖南长沙·竞赛）小龙、小军和小康三人在甲、乙、丙三所不同的学校读书，唱歌、阅读、绘画是三人的不同爱好． 并且知道：①小龙不在甲校读书，小军不在甲校读书，也不在丙校读书；②在甲校读书的同学爱好唱歌，爱好绘画的同学不在丙校读书． 根据以上信息，下列选项中正确的是（    ） A．小龙在乙校读书，爱好阅读 B．小龙在丙校读书，爱好绘画 C．小军在乙校读书，爱好绘画 D．小康在甲校读书，爱好阅读 【答案】C 【分析】本题考查逻辑推理，根据①得到小康在甲校读书，小军在乙校读书，小龙在丙校读书，根据②得到小康爱好唱歌，小军爱好绘画，小龙爱好阅读，进行判断即可． 【详解】解：因为小龙不在甲校读书，小军不在甲校读书，也不在丙校读书， 所以小康在甲校读书，小军在乙校读书，小龙在丙校读书， 因为在甲校读书的同学爱好唱歌，爱好绘画的同学不在丙校读书， 所以小康爱好唱歌，小军爱好绘画，小龙爱好阅读， 故选C． 5．（2023·安徽竞赛）设a，b，c为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举反例可判断A和B，将式子整理可判断C和D． 【详解】解：A．当，，时，，故A错误； B．当，，时，，故B错误； C．整理可得，故C错误； D．整理可得，故D正确； 故选：D． 6．（2022八年级下·浙江杭州·竞赛）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，应首先假设这个直角三角形中（   ） A．两个锐角都大于 B．没有一个锐角大于 C．至少有一个锐角大于 D．两个锐角都大于等于 【答案】A 【分析】本题考查了反证法，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 用反证法证明命题，应先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过推理，得出矛盾，从而证明原命题成立． 【详解】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设两个锐角都大于． 故选：A． 7．（2025九年级下·陕西竞赛）甲，乙，丙共人参加三项知识竞赛，每项知识竞赛第一名到第三名的分数依次为，，．竞赛全部结束后，甲获得其中两项的第一名及总分第一名，则下列说法错误的是（　　） A．第二名，第三名的总分之和为分或分 B．第二名的总分可能超过分 C．第三名的总分共有种情形 D．第三名不可能获得其中任何一场比赛的第一名 【答案】C 【分析】本题考查了逻辑推理与论证，分类讨论是解答本题的关键． 根据甲的得分情况分类，然后列出第二名和第三名可能的得分情况，最后判断各个选项的正确性即可． 【详解】解：人的总得分为（分）， 依题意，甲的得分为，，或，，， 当甲得分为，，时，第二名、第三名的总分之和为分， 甲得分为，，时，第二名、第三名的总分之和为分，A正确； 甲得分为，，时，第二名得分有种情况：，，；，，；，，，总分分别为分，分，分，第三名得分对应有种情况：，，；，，；，，，总分分别为分，分，分； 甲得分为，，时，第二名得分有种情况：，，；，，；，，，总分分别为分，分，分，第三名得分对应有种情况：，，；，，；，，，总分分别为分，分，分， B，D正确，第三名的总分共有种情形，C错误， 故选：C． 8．（2023九年级·浙江竞赛）甲、乙、丙、丁四个人参加一个比赛，有两个人获奖．在比赛结果揭晓之前，四个人做了如下猜测： 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中．                乙：我没有获奖，丙获奖了． 丙：甲、乙两个人中有且只有一个人获奖．        丁：乙说得对． 已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，则两名获奖者为（    ）． A．甲  丁 B．乙  丙 C．乙  丁 D．以上都不正确 【答案】C 【分析】本题主要抓住乙、丁的预测是一样的这一特点，则乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．先假设乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，可推出矛盾，故乙、丁的预测不成立，则甲、丙的预测成立，再分析可得出获奖的是乙和丁． 【详解】解：由题意，可知： ∵乙、丁的预测是一样的， ∴乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符． ①假设乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立， 根据乙、丁的预测，丙获奖，甲、丁中必有一人获奖； 这与丙的预测不成立相矛盾． 故乙、丁的预测不成立， ②乙、丁的预测不成立，则甲、丙的预测成立， ∵甲、丙的预测成立， ∴丁必获奖． ∵乙、丁的预测不成立，甲的预测成立， ∴丙不获奖，乙获奖． 从而获奖的是乙和丁． 故选：C． 9．（2024七年级下·浙江杭州·竞赛）三位同学去食堂吃饭，他们每人要的不是牛排就是拉面：（1）如果A要的是牛排，那么B要的就是拉面；（2）A或C要的是牛排，但是不会两人都要牛排；（3）B和C不会两人都要拉面．根据以上信息，B要的是 ． 【答案】拉面 【分析】本题考查了逻辑推理，通过假设对不同情况即进行推理即可得出结论． 【详解】解：假设A要的是牛排，则B要的是拉面；由（3）B和C不会两人都要拉面可知C要的是牛排，与（2）A或C要的是牛排，但是不会两人都要牛排；相矛盾，故A要的不是牛排，是拉面， ∵A要的是拉面，由（2）A或C要的是牛排，可知C要的是牛排，由（3）B和C不会两人都要拉面．可知B要的是拉面． 故答案为：拉面 10．（2023七年级上·湖南邵阳·竞赛）在每星期的七天中，甲在星期一、二、三讲假话，其余四天都讲真话；乙在星期四、五、六讲假话，其余各天都讲真话．今天甲说：“昨天是我说谎的日子．”乙说：“昨天也是我说谎的日子．”问今天是星期 ． 【答案】四 【分析】本题考查了逻辑推理，根据题干条件以及甲乙说话内容进行分析，即可作答． 【详解】解：∵甲在星期一、二、三讲假话，其余四天都讲真话，且今天甲说：“昨天是我说谎的日子． ∴甲只有在星期一和星期四才能说:“昨天是我说谎的日子”， ∵乙在星期四、五、六讲假话，其余各天都讲真话．且今天乙说：“昨天也是我说谎的日子．” ∴乙只有在星期四和星期日才能说:“昨天是我说谎的日子”； 综合起来，今天是星期四； 故答案为：四 11．（2023七年级上·湖南长沙·竞赛）有6个队，两两之间比赛一场，已知第一个队到第五个队依次赛了1场、2场、3场、4场、5场，则第六个队赛了 场． 【答案】3 【分析】本题考查了逻辑推理，理解题意，正确推论是解题关键．先分析第五个队，再依次分析第一个队，第二个队、第三个队、第四个队，由此即可得． 【详解】解：第五个队赛了5场，说明第五个队和第一个队、第二个队、第三个队、第四个队、第六个队各进行了1场， 第一个队赛了1场，说明第一个队只和第五个队赛了1场， 则第四个队是和第二个队、第三个队、第五个队、第六个队各进行了1场，共4场， 则第二个队是和第四个队、第五个队各进行了1场，共2场， 则第三个队是和第四个队、第五个队、第六个队各进行了1场，共3场， 综上，第六个队赛了3场， 画出表格如下： 第一个队 第二个队 第三个队 第四个队 第五个队 第六个队 第一个队 — ╳ ╳ ╳ √ ╳ 第二个队 ╳ — ╳ √ √ ╳ 第三个队 ╳ ╳ — √ √ √ 第四个队 ╳ √ √ — √ √ 第五个队 √ √ √ √ — √ 第六个队 ╳ ╳ √ √ √ — 故答案为：3． 12．（2023八年级上·江苏泰州·竞赛）已知A，B，C，D，E代表1至9中不同的数字，，求的最大值． 【答案】 【分析】此题主要考查了数的十进制，根据两个数的和一定时，两个数越接近，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小，推出它们乘积的最大值与最小值，然后计算它们的差即可得解．已知，因为两个数的和一定时，两个数越接近，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小．验证，8时均无解，当时，，，此时符合题意且积最大，再把它们相乘即可求解． 【详解】解：首先两个数的和一定时，两个数的差越小，乘积越大，所以越大，乘积越大， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，，此时符合题意且积最大， 此时积为：． 1．（2024八年级·全国·竞赛）甲、乙、丙、丁、戊与小明同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，甲、乙、丙、丁、戊分别比赛了5、4、3、2、1场，则小明已赛（    ）． A．1场 B．2场 C．3场 D．4场 【答案】C 【分析】根据题意画图分析，两人连线表示两人赛一场，根据图形即可得到答案，此题考查了线段的数量的应用，数形结合是解题的关键． 【详解】解：画图分析，两人连线表示两人赛一场． ∴小明已赛3场， 故选：C 2．（2024七年级·全国·竞赛）下列说法正确的有（    ）个． ①两条直线所成的各角中必有一个锐角；②如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等；③经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④经过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了命题，根据垂直的定义、平行线的性质、平行公理逐一判断即可求解，掌握垂直的定义、平行线的性质、平行公理是解题的关键． 【详解】解：当两条直线垂直时，所成的四个角都是直角，故错误； 如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故错误； 同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误； 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误； ∴正确的说法有个， 故选：A． 3．（2024九年级·全国·竞赛）如图A、B、C是固定在桌面上的三根小棒，其中A上有5个大小不同的圆片，从上到下，圆片的直径依次增大．现要将这5个圆片移动到B上，要求：①每次只能移动一个圆片；②圆片只能在A、B、C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面．那么完成这件事情最少要移动圆片（    ）    A．31次 B．33次 C．17次 D．25次 【答案】A 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，逻辑推理的应用，由题意，一个圆片至少要移动一次，两个圆片至少要移动3次，三个圆片至少要移动7次，从而归纳出五个圆片至少要移动的数量． 【详解】解：移动一个圆片，至少移动1次，而， 移动两个圆片，至少要移动3次，而， 移动三个圆片，至少要移动7次，而， ∴移动五个圆片，至少要移动（次）， 故选：A． 4．（2024九年级·全国·竞赛）甲、乙、丙、丁4个人轮流下一副象棋，每两个人都要下一盘棋．如果甲胜了丁，并且甲、乙、丙三人胜的盘数相同，那么甲、乙、丙三人各胜2盘的概率为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了概率．首先根据“每两人都要赛一场”算出比赛的总场数，再根据“甲胜了丁，并且甲、乙、丙三人胜的场数相同”推出甲、乙、丙胜出的次数． 【详解】解：一共要比赛：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，即一共要下6盘棋，每人下3盘． 因为甲、乙、丙3人胜的盘数相同， 所以①若甲、乙、丙三人各胜0盘，则显然不成立； ②若甲、乙、丙三人各胜1盘，则丁胜（盘），丁全胜，与题意矛盾（甲胜了丁）； ③若甲、乙、丙三人各胜2盘，则丁胜（盘），符合题意． 甲、乙、丙三人各胜2盘是必然发生的事件， 其概率为1． 故答案为：1 5．（2023七年级上·全国·竞赛）六人参加乒乓球比赛，每两人比赛一场，分胜负，无平局．最终他们胜利的场数分别是a，b，b，c，d，d，且，那么a＝ ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了整数问题的综合运用、不等式的性质等知识点，灵活运用不等式的性质是解题的关键． 根据题意求出比赛的场数，得到，根据列出不等式，进而求出a的值即可． 【详解】解：六人参加乒乓球比赛，每两人比赛一场， 则共有：场比赛， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵d为非负整数， ∴， 当时，， ∴， ∴，即与已知矛盾， 当时，， ∴，即， 当时，有， 结合和 解得， 当时，， ∴，即，与已知矛盾， 当时，， ∴，， 当时，． 故答案为：5． 6．（2024八年级·全国·竞赛）关于三角形的内角，有下列说法：①至少有两个锐角，②最多有一个直角，③必有一个角大于，④至少有一个角不小于．其中不正确的说法是 （填序号）． 【答案】③ 【分析】本题考查了三角形内角和定理，反证法，举反例，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．根据反证法，可证明①②④正确，通过举反例，可证明③错误． 【详解】解：①若三角形的三个内角至多只有一个锐角，则三个内角中至少有2个钝角，那么三个内角的和就大于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以①正确； ②若三角形的三个内角最少有2个直角，那么三个内角的和就大于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以②正确； ③因为三角形的三个内角可以都等于，所以③错误； ④若三角形的三个内角都小于，那么三个内角的和就小于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以④正确． 故答案为：③． 7．（2023七年级上·全国·竞赛）王明参加了10场数学擂台赛，他输的场数、打平的场数都大于他赢的场数，则王明最多赢了 场比赛． 【答案】2 【分析】本题考查了不等式，逻辑推理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设王明赢了a场，输了b场，平了c场，则，根据他输的场数、打平的场数都大于他赢的场数，可知，当时，可知，，，但，矛盾，当时，，此时，或，或，均符合题意，从而推出答案． 【详解】解：设王明赢了a场，输了b场，平了c场， 则， ∵他输的场数、打平的场数都大于他赢的场数， ∴， ∴， 又∵a，b，c都是非负整数， ∴， 当时，，，且 则，这与矛盾， 当时，， 此时，或，或，均符合题意， 综上所述，王明最多赢了2场， 故答案为：2． 8．（2024八年级上·全国·竞赛）袋中有红、黄、黑三种颜色的球各若干个，黄色球上标有数字5，黑色球上标有数字6，红色球上标的数字看不清．现从袋中拿出8个球，其中黄色球和黑色球的个数分别少于红色球的个数．已知8个球上的数字和是39，那么红色球上标的数字是 ；拿出黑色球的个数是 ． 【答案】 4 3 【分析】本题考查了逻辑推理，先确定红色球个数的可能取值，再分类讨论是解题的关键；分别讨论红色球的个数，再根据黄色球和黑色球个数的限制条件列出所有可能组合，最后通过数字和计算红色球的数字并验证是否为整数即可． 【详解】解：黄色球和黑色球的个数分别少于红色球的个数， 红色球只可能有4、5、6个， 若红色球6个，则黄色球1个，黑色球1个， 则红色球标的数字为：（舍去）； 若红色球5个，黄色球1个，黑色球2个，   则红色球标的数字为：（舍去）； 若红色球5个，黄色球2个，黑色球1个， 则红色球标的数字为：（舍去）； 若红色球4个，黄色球1个，黑色球3个， 则红色球标的数字为： ； 若红色球4个，黄色球2个，黑色球2个， 则红色球标的数字为：（舍去）； 若红色球4个，黄色球3个，黑色球1个， 则红色球标的数字为：（舍去）； 红色球上标的数字是4；拿出黑色球的个数是3． 故答案为：4，3． 9．（2023七年级上·全国·竞赛）已知a，b，c，d，e，f是1～9中六个互不相等的正整数，那么关于x的方程的最大整数解是 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了推理与论证、一元一次方程等知识点，根据题意正确推理是解题的关键． 原方程整理可得，则，要求最大整数解，首先使x为正数且为整数；其次应使的绝对值尽量小且不为0，即使其绝对值为1，同时要使的绝对值尽可能大，显然最大只能为，所以x最大为8．使x取到8的a，b，c，d，e，f的取值情况很多，举一例子即可． 【详解】解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， ∵a、b、c、d、e、f是1到9中六个互不相等的正整数， ∴当或，对应的或时，其商为最大，且等于8． 故答案为：8． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $