专题05 方程组的应用（数学竞赛真题汇编）七年级全国通用

专题05 方程组的应用 1．（24七年级下·广东）若m使得关于x，y的二元一次方程组有解，且使关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，那么所有满足条件的整数m的值之和是（   ） A． B． C． D． 2．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）已知，均为完全平方数，则 3．（24七年级下·湖北武汉）已知关于x，y的方程组的解都为非负数，且满足，，若，则的取值范围是 ． 4．（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是 ． 5．（24七年级上·福建）在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿． 6．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）圆周上刻有1，2，3三个数字并把圆周三等分．现有一长一短两指针同时指在1处．每次操作只允许转长针或短针中的一根，并顺时针旋转．操作一次，记录一次．经过9次操作后，两针刚好回到初始位置，且记录得到的9次图形的形态均互不相同． (1)写出其中一种可行的方案． (2)问共有几种方案符合题干． 7．（24九年级下·浙江）某公司准备每周（按120个工时计算）组装三种型号的无人机360台，组装这些无人机每台所需工时和每台产值如下表． 无人机型号 ① ② ③ 工时（个） 产值（万元/台） 0.4 0.3 0.2 (1)如果每周准备组装100台型号③无人机，那么每周应组装型号①、②无人机各几台？ (2)若一周型号③无人机至少组装20台，一周产值记为，求的最大值． 8．（24七年级上·重庆）（1）小亮给同学们表演纸牌魔术．他请一名同学随意洗乱一副不含大小王的扑克牌，然后从中任意抽取一张牌，再让这个同学将这张牌的点数乘5，再加上4，再乘2，再减去12，然后加上抽出纸牌花色的代号，其中黑桃的代号是1，梅花的代号是2，红桃的代号是3，方块的代号是4，最后这位同学说出运算的结果是78．小亮迅速说出这位同学抽出的纸牌是梅花8．请借助方程解释其中原因． （2）甲、乙、丙、丁、戊五名同学围成一圈在讲台上表演游戏．游戏的规则是：每个同学心中想一个数，并将所想的数报给左右两边和自己相邻的同学，每位同学将其他两个同学报来的数求和后说出结果，最终得到的结果如图所示，请大家利用方程分析，求出甲同学心中所想的数是多少？ 9．（2025九年级下·江西南）3月12日我国的植树节，某校准备组织全校师生参加植树活动，校总务处人员到市场上采购树苗，市场上分为小树苗和大树苗两种不一样的树苗．计划用23000元分别购买1000棵小树苗和大树苗，如果只购买400棵小树苗和500棵大树苗则只需要10700元． (1)求小树苗和大树苗的单价； (2)如果市场上每种树苗购买数量达到了200棵及以上，供应商将按8折优惠价格出售，试算出如果某校要求大树苗一定不少于400棵，则原来购买树苗款最多可以购买两种树苗多少棵？ 10．（24-25七年级下·江苏南京）整数的简单构成，若干世纪以来一直是数学获得新生的源泉——伯克霍夫 请解答下列整数问题： (1)写出满足的一对正整数m和n的值：________． (2)是否存在正整数m和n，使得，若存在，求出满足条件的m和n的值；若不存在，请说明理由． (3)一个长方体的所有棱长都是整数，记长方体的所有棱长值之和为l，所有各面的面积值之和为s，体积的值为v，已知，则所有可能的v的值是________． 11．（24-25七年级下·江苏扬州）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得．原方程组的解为． (1)解方程组． (2)解方程组 (3)已知关于x、y的方程组的解是，关于x、y的方程组的解是__________． 1．（2024七年级·全国·竞赛）小强问他的数学老师今年多少岁了，数学老师说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我就40岁了．”那么数学老师今年的岁数是 岁． 2．（2024七年级·全国·竞赛）若正整数满足，则的最小值是 ． 3．（2024七年级·全国·竞赛）学校组织学生进行篮球比赛，记分办法是：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．在这次篮球比赛中，七年级（1）班代表队比赛了10场得16分，且平的场数是负的场数的整数倍，则七年级（1）班代表队胜的场数为 场． 4．（2024八年级·全国·竞赛）在解方程组时，甲看错了，得到解为；乙看错了，得到解为，则 ． 5．（2024七年级·全国·竞赛）羊村举行割草比赛，在团体赛中得前三名的是甲、乙、丙三组，其中甲组平均每只羊割18千克，乙组平均每只羊割21千克，丙组平均每只羊割22千克，若甲、乙、丙三组共割草300千克，则这三组最多共有 只羊． 6．（2024七年级·全国·竞赛）某果品商店进行组合销售，甲种搭配：3千克水果，6千克水果；乙种搭配：2千克种水果，5千克水果，1千克水果；丙种搭配：3千克水果，7千克水果，1千克水果．已知水果每千克4元，水果每千克5元，水果每千克8元，某天该商店销售这三种搭配共得1630元，某中水果的销售额为384元，则水果的销售额为 元． 7．（2024七年级·全国·竞赛）解方程组 8．（2024九年级·全国·竞赛）体育老师挑选了若干名同学列成8行排练团体操，场外的某同学通过细心观察和思考，发现体操队伍如果再增加或减少120人都能组成正方形的队列，那么体育老师原来挑选了多少名同学排练团体操？ 9．（2024七年级·全国·竞赛）甲乙两人分别从两地出发相向而行（不同时），甲骑自行车，乙步行．两人在距地450米处第一次相遇，甲继续骑车到地后返回地拿东西，同时将速度提高，在距地350米处追上乙．到达地后立即前往地，在距地250米处再次与乙相遇，最后两人同时到达目的地．求两地的距离． 10．（2024七年级·全国·竞赛）某工厂生产1件甲型号产品需要1个工人和4台机器，生产1件乙型号产品需要2个工人和3台机器． (1)现有162个工人和340台机器，若要生产两种型号的产品共100件，其中生产甲型号产品件． ①根据题意，完成下表： 甲型号产品数量（件） 乙型号产品数量（件） 工人数量（个） 机器数量（台） ②按甲、乙两种型号产品的生产件数来分，有哪几种生产方案？ (2)若有162个工人和台机器可投入生产甲、乙两种型号的产品，工人和机器恰好都分配完．如果，那么的值为多少？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 方程组的应用 1．（24七年级下·广东）若m使得关于x，y的二元一次方程组有解，且使关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，那么所有满足条件的整数m的值之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组的整数解，解题关键是正确求出不等式组的解集． 先由方程组得，根据方程组有解得出，再解不等式组得出，根据不等式组有且只有3个整数解得出，从而确定m的取值范围，继而得出答案． 【详解】解：， ，得：， 即， ∵方程组有解， ∴，即， 解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组有且只有3个整数解， ∴不等式组的解集为，且整数解为， ∴， 解得， ∴符合条件的整数m的值为，，， 它们的和为， 故选：B． 2．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）已知，均为完全平方数，则 【答案】或或 【分析】本题考查完全平方数，设①，②（、为整数），得，将所有可能情况列出来即可解答．解题的关键是根据题意列出等式进行试解，同时要知道完全平方数是整数． 【详解】解：设①，②（、为整数）， ②－①得：，即， 可能情况如下： ，，，，，， 解得：（舍去），，，（舍去），（舍去），， 当时，， 当时，， 当时，， ∴或或． 故答案为：或或． 3．（24七年级下·湖北武汉）已知关于x，y的方程组的解都为非负数，且满足，，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解方程组得出，由方程组的解都是非负数得，解之可得，据此得出，即，结合知，继而得出，由，结合b的取值范围再求出a的另一个范围，两者结合可最终确定a的范围，从而得出的范围，即可得出答案． 本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出a的取值范围和b的取值范围是解答此题的关键． 【详解】解：解方程组，得， ∵方程组的解都是非负数， ∴，解得：， ∴， 则， ∵，即， ∴， ∵， ∴b的范围是， 则， ∴， 解得， ∴， 即， 故答案为：． 4．（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是 ． 【答案】或 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，掌握完全平方公式及二元一次方程组解法是解题的关键． 利用完全平方公式将方程组整理成类似方程组的形式，根据方程组的解计算即可． 【详解】解：的方程组可化为， ， ∴关于的方程组的解是或． 故答案为：或． 5．（24七年级上·福建）在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁， 根据题意得： 解得： ∴当奶奶岁时，小花的年龄为， ∴小花岁时将为奶奶贺白寿， 故答案为：． 6．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）圆周上刻有1，2，3三个数字并把圆周三等分．现有一长一短两指针同时指在1处．每次操作只允许转长针或短针中的一根，并顺时针旋转．操作一次，记录一次．经过9次操作后，两针刚好回到初始位置，且记录得到的9次图形的形态均互不相同． (1)写出其中一种可行的方案． (2)问共有几种方案符合题干． 【答案】(1)长针转3次，短针转6次 (2)4 【分析】该题考查了二元一次方程的非负整数解，将实际问题转化为数学问题思考是解题的关键． （1）根据圆周角的度数与每次转的关系确定每个指针转的次数具有特殊倍数关系即可解答； （2）根据实际问题列出二元一次方程，并找出其非负整数解即可解答． 【详解】（1）解：圆周角是，每次转，每个指针转一周需要3次，两个指针一共转9次，所以两个指针转的次数必须是3的倍数，如长针转3次，短针转6次，两针刚好回到初始位置； （2）解：设短针转次，长针转次，且都是3的倍数， 根据题意得：， 其非负整数解如下：， 所以共有四种方案符合题干． 7．（24九年级下·浙江）某公司准备每周（按120个工时计算）组装三种型号的无人机360台，组装这些无人机每台所需工时和每台产值如下表． 无人机型号 ① ② ③ 工时（个） 产值（万元/台） 0.4 0.3 0.2 (1)如果每周准备组装100台型号③无人机，那么每周应组装型号①、②无人机各几台？ (2)若一周型号③无人机至少组装20台，一周产值记为，求的最大值． 【答案】(1)每周应组装型号①、②无人机分别是50台、210台 (2)的最大值是107万元 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式和一次函数的应用． （1）设每周应组装型号①无人机台、②无人机台，根据题意列方程组，解方程组即可； （2）设每周组装型号①、②、③无人机分别是x台、y台、z台，可得：，故，而，由一次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：设每周应组装型号①、②无人机分别是台、台． ， 解得， 所以每周应组装型号①、②无人机分别是50台、210台； （2）解：设每周组装型号①、②、③无人机分别是台、台、台． ， 解得， ∴， 由于，且， 所以， 当时，最大（万元）， 所以，的最大值是107万元． 8．（24七年级上·重庆）（1）小亮给同学们表演纸牌魔术．他请一名同学随意洗乱一副不含大小王的扑克牌，然后从中任意抽取一张牌，再让这个同学将这张牌的点数乘5，再加上4，再乘2，再减去12，然后加上抽出纸牌花色的代号，其中黑桃的代号是1，梅花的代号是2，红桃的代号是3，方块的代号是4，最后这位同学说出运算的结果是78．小亮迅速说出这位同学抽出的纸牌是梅花8．请借助方程解释其中原因． （2）甲、乙、丙、丁、戊五名同学围成一圈在讲台上表演游戏．游戏的规则是：每个同学心中想一个数，并将所想的数报给左右两边和自己相邻的同学，每位同学将其他两个同学报来的数求和后说出结果，最终得到的结果如图所示，请大家利用方程分析，求出甲同学心中所想的数是多少？ 【答案】（1）原因见解析；（2）甲同学心中所想的数是3 【分析】本题考查了一元一次方程与多元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题目中的数量关系列出方程（组），并通过化简、消元求解． （1）设点数和花色代号为未知数，根据运算流程列方程，利用“ 的倍数”特征确定未知数取值； （2）设五人所想的数为未知数，根据环形相邻关系列方程组，通过逐步消元求出甲的值． 【详解】解：设抽出纸牌的点数为，且x为整数），花色代号为，分别对应黑桃、梅花、红桃、方块）． 根据运算规则列方程：， 化简方程：，即， 由，得，因为的倍数， 故，则，此时． 因对应梅花，故抽出的纸牌是梅花8． （2）解题步骤： 解：设甲、乙、丙、丁、戊心中所想的数分别为a、b、c、d、e． 根据“每位同学报出左右相邻同学的数的和”列方程组： 由②得，由④得，由①得， 由③得，代入⑤：，即， ∴，即甲同学心中所想的数是3． 9．（2025九年级下·江西南）3月12日我国的植树节，某校准备组织全校师生参加植树活动，校总务处人员到市场上采购树苗，市场上分为小树苗和大树苗两种不一样的树苗．计划用23000元分别购买1000棵小树苗和大树苗，如果只购买400棵小树苗和500棵大树苗则只需要10700元． (1)求小树苗和大树苗的单价； (2)如果市场上每种树苗购买数量达到了200棵及以上，供应商将按8折优惠价格出售，试算出如果某校要求大树苗一定不少于400棵，则原来购买树苗款最多可以购买两种树苗多少棵？ 【答案】(1)小树苗单价为元/棵，大树苗的单价为元/棵 (2)最多可以购买两种树苗棵 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用， （1）设小树苗单价为元/棵，大树苗的单价为元/棵，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设购买小树苗棵，大树苗棵，根据题意分，结合题意分别求得购买的棵树，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：设小树苗单价为元/棵，大树苗的单价为元/棵，根据题意得， 解得： 答：小树苗单价为元/棵，大树苗的单价为元/棵； （2）解：设购买小树苗棵，大树苗棵， 小树苗折扣价：，大树苗折扣价：元/棵 ①当时， 设 （ ），则： 总棵数 由于 ，取 （最大可能值）： 代入 解得： 此时 总棵数 ， ②当时 将 （ ），代入 总棵数 ∵ ， ∴当 时， ，此时： 解得：（取整数2843） 此时总棵数 棵， ∴最多可以购买两种树苗棵 10．（24-25七年级下·江苏南京）整数的简单构成，若干世纪以来一直是数学获得新生的源泉——伯克霍夫 请解答下列整数问题： (1)写出满足的一对正整数m和n的值：________． (2)是否存在正整数m和n，使得，若存在，求出满足条件的m和n的值；若不存在，请说明理由． (3)一个长方体的所有棱长都是整数，记长方体的所有棱长值之和为l，所有各面的面积值之和为s，体积的值为v，已知，则所有可能的v的值是________． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)存在，，， (3)40，76，80，84，140 【分析】本题考查了因式分解的应用，解二元一次方程组等知识点，难度较大，解题的关键是灵活运用因式分解解决问题． （1）先将原式因式分解为，再根据为正整数，得到，写出符合题意的值即可； （2）将原式因式分解为，再枚举得到3组二元一次方程组，再分别求解即可； （3）设长方体的长、宽、高为a，b，c， ，由题意得：，由于，则，而，故得到，再枚举求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为正整数， ∴ ∴的值可以为： 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：存在， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴或或， 解得： ，，； （3）解：设长方体的长、宽、高为a，b，c， ， 由题意得： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴或或或或， 分别解得：或或或或， ∴或76或80或84或140． 11．（24-25七年级下·江苏扬州）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得．原方程组的解为． (1)解方程组． (2)解方程组 (3)已知关于x、y的方程组的解是，关于x、y的方程组的解是__________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，解得，把代入，，得，解方程即可； （2）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，解得，把代入，，得，解方程即可； （3）将原方程组移项整理得，令，，原方程组化为，根据题意得，把代入，，得，解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项整理得，， 令，， 原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为； （2）解方程组， 移项整理得，， 令，，原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为； （3）将关于x、y的方程组， 移项为， 整理得， 令，，原方程组化为， 根据题意得， 把代入，， 得，解得或， 原方程组的解为或． 1．（2024七年级·全国·竞赛）小强问他的数学老师今年多少岁了，数学老师说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我就40岁了．”那么数学老师今年的岁数是 岁． 【答案】27 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．设数学老师今年岁，小强今年岁，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设数学老师今年岁，小强今年岁，由题意，得： ，解得：， ∴数学老师今年岁； 故答案为：27． 2．（2024七年级·全国·竞赛）若正整数满足，则的最小值是 ． 【答案】676 【分析】本题考查了二元一次方程．由已知整理得，因为671和5互质，推出是5的倍数，是671的倍数，据此求解即可． 【详解】解：由，得，即， 因为671和5互质， 是5的倍数，是671的倍数， 所以的最小值是． 故答案为：676． 3．（2024七年级·全国·竞赛）学校组织学生进行篮球比赛，记分办法是：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．在这次篮球比赛中，七年级（1）班代表队比赛了10场得16分，且平的场数是负的场数的整数倍，则七年级（1）班代表队胜的场数为 场． 【答案】4 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的整数解，正确解答二元一次方程的整数解是解答本题的关键．设七（1）班胜了x场，负了y场，平了场，k为正整数，根据题意列出方程并求解，即得答案． 【详解】设七（1）班胜了x场，负了y场，平了场，k为正整数， 则， 消去x得， 因为y为整数，所以或2或7或14， 解得或或2或， 因为k为正整数， 所以， ． 故答案为：4． 4．（2024八年级·全国·竞赛）在解方程组时，甲看错了，得到解为；乙看错了，得到解为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程组的解法，代数式的值计算，熟练掌握解方程组是解题的关键．把代入②中求得b值，把代入①中求得a值，后求值计算即可． 【详解】解：根据题意，； 把代入的②中，得， 解得； 把代入①中，得， 解得， ， 故答案为：． 5．（2024七年级·全国·竞赛）羊村举行割草比赛，在团体赛中得前三名的是甲、乙、丙三组，其中甲组平均每只羊割18千克，乙组平均每只羊割21千克，丙组平均每只羊割22千克，若甲、乙、丙三组共割草300千克，则这三组最多共有 只羊． 【答案】15 【分析】本题考查了三元一次方程的实际应用，找出三元一次方程的正整数解是解题的关键．设甲乙丙三组分别有x只羊，y只羊，z只羊，则，找出此方程的正整数解即可求解． 【详解】解：设甲乙丙三组分别有x只羊，y只羊，z只羊， 依题意有，其中，，是正整数， 要求的最大值，可以从，开始依次尝试，找到第一组能使，，均为正整数的值，经尝试发现，当，，时满足，因此的最大值为． 故答案为15． 6．（2024七年级·全国·竞赛）某果品商店进行组合销售，甲种搭配：3千克水果，6千克水果；乙种搭配：2千克种水果，5千克水果，1千克水果；丙种搭配：3千克水果，7千克水果，1千克水果．已知水果每千克4元，水果每千克5元，水果每千克8元，某天该商店销售这三种搭配共得1630元，某中水果的销售额为384元，则水果的销售额为 元． 【答案】1070 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，设卖出x个甲种搭配、y个乙种搭配、z个丙种搭配，理解题意，正确列出方程组并灵活求解是解答的关键． 【详解】解：设卖出x个甲种搭配、y个乙种搭配、z个丙种搭配，则 ， 即， 得，则， ∴C水果的销售额为（元）， 则B水果的销售额为（元）， 故答案为：1070． 7．（2024七年级·全国·竞赛）解方程组 【答案】 【分析】本题考查分式方程组的解法，将原方程组进行合理的变形是正确解决本题的关键． 先将原方程组的每一个方程的分子、分母交换位置，化简，再利用加减法消元进而求得每一个未知数． 【详解】解：由得，即， 由得，即， 由得，即， 得， 得， 解得， 经检验，是原方程的解； 把代入④得， 解得， 经检验，是原方程的解； 把代入②得， 解得， 经检验，是原方程的解； ． 8．（2024九年级·全国·竞赛）体育老师挑选了若干名同学列成8行排练团体操，场外的某同学通过细心观察和思考，发现体操队伍如果再增加或减少120人都能组成正方形的队列，那么体育老师原来挑选了多少名同学排练团体操？ 【答案】904名或136名 【分析】本题主要考查了平方差公式、二元一次方程的应用等知识，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设体育老师原来挑选了名同学排练团体操，根据题意列出方程组，结合平方差公式可得，进而可得方程组或，求解即可获得答案． 【详解】解：设体育老师原来挑选了名同学排练团体操， 则有， 其中都为正整数，且， ∴，即， 由①、②可知，都能被8整除， ∴都能被4整除，从而都能被4整除， ∴或， 解得或， ∴或， ∴或． 答：体育老师原来挑选了904名或136名同学排练团体操． 9．（2024七年级·全国·竞赛）甲乙两人分别从两地出发相向而行（不同时），甲骑自行车，乙步行．两人在距地450米处第一次相遇，甲继续骑车到地后返回地拿东西，同时将速度提高，在距地350米处追上乙．到达地后立即前往地，在距地250米处再次与乙相遇，最后两人同时到达目的地．求两地的距离． 【答案】1100米 【分析】本题考查二元一次方程组，设乙的速度为，甲的速度为，距地450米处与地相距米，根据题意列出方程组，再设到的距离为米，再列出方程，即可求出答案． 【详解】解：设乙的速度为，甲的速度为，距地450米处与地相距米． 则， 解得：， 再设到的距离为米， 则， 解得：． 答：两地的距离为1100米． 10．（2024七年级·全国·竞赛）某工厂生产1件甲型号产品需要1个工人和4台机器，生产1件乙型号产品需要2个工人和3台机器． (1)现有162个工人和340台机器，若要生产两种型号的产品共100件，其中生产甲型号产品件． ①根据题意，完成下表： 甲型号产品数量（件） 乙型号产品数量（件） 工人数量（个） 机器数量（台） ②按甲、乙两种型号产品的生产件数来分，有哪几种生产方案？ (2)若有162个工人和台机器可投入生产甲、乙两种型号的产品，工人和机器恰好都分配完．如果，那么的值为多少？ 【答案】(1)①见解析；②生产甲、乙两种型号产品有3种生产方案，分别为38件、62件或39件、61件或40件、60件； (2)或298或303． 【分析】本题考查了不等式组和方程组的应用． （1）①根据题意，列出代数式即可；②根据题意，列出不等式组，解不等式组即可求解； （2）设生产甲、乙两种型号的产品分别为m件、n件，根据题意列出二元一次方程组，根据m和n以及为正整数，即可求解． 【详解】（1）解：①根据题意，填表如下： 甲型号产品数量（件） 乙型号产品数量（件） 工人数量（个） 机器数量（台） ②由题意得， 解得， ∵为正整数， ∴生产甲、乙两种型号产品有3种生产方案，分别为38件、62件或39件、61件或40件、60件； （2）解：设生产甲、乙两种型号的产品分别为m件、n件， 由题意得， ∴， ∵为正整数，且， ∴或298或303． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$