专题08 几何图形（数学竞赛真题汇编）七年级全国通用

专题08 几何图形 1．（2023九年级下·福建龙岩·竞赛）如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的个点表示个车站．在这段路线上往返行车（　　）种车票． A．20 B．11 C．12 D．13 2．（2023七年级下·广东深圳·竞赛）如图所示，图中正六边形有（    ）个． A．15 B．13 C．11 D．10 3．（2023七年级上·辽宁沈阳·竞赛）你小时候玩过积木吗？有关专家指出，搭积木游戏可以促进孩子视觉智能的成长．当孩子刚开始搭积木时，首先会学习到的是线条的排列组合，接着则是思考如何运用空间的垂直性来搭建塔楼．下面就来测试一下你搭积木的水平吧．在下列四个积木块中，能与右图完全组合拼成一个的正方体木块的是（   ） A． B． C． D． 4．（2023七年级上·湖南长沙·竞赛）如图所示的是一个正方体的表面展开图，若在正方体上的各面填上数，使其对面两数之和为7，则的值是 ． 5．（2023七年级·山东青岛·竞赛）12点整时，钟面上的时针、分针、秒针刚好重合．请计算再过 分钟，钟面上的时针和分针再次重合． 6．（2023七年级下·浙江衢州·竞赛）如图，直线，平分，平分，点，，在同一直线上，若，则 ． 7．（2023九年级下·浙江·竞赛）如图，点O在直线上，从O点引一条射线，平分，． (1)如图1，若，，求； (2)如图2，若为直角，求n的值； (3)如图3，若，设（用含m的代数式表示的度数）． 8．（2024七年级下·湖南长沙·竞赛）18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种多面体模型，解答下列问题 (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4     _____       长方体 8 6 12 正八面体   _____       8 12 正十二面体 20 12 30 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是______． (2)如图，有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，求正五边形、正六边形的个数． 9．（2023七年级下·江苏南京·竞赛）已知：，过点作射线，平分，如果，且关于的方程有无数多个解，求的度数． 10．（2023七年级下·河南洛阳·竞赛）如图，在中，是的角平分线交于点D，，交于点E，，，求各内角的度数． 11．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）（1）已知直线，点为平行线，之间的一点．如图，若，，平分，平分，求的度数． （2）（探究）如图，当点在直线的上方时，若，，和的角平分线交于点，求的度数；若与的角平分线交于点 与的角平分线交于点．以此类推，求的度数． （3）（变式）如图，的角平分线的反向延长线和的补角的角平分线交于点，试猜想与的数量关系，并说明理由． 12．（2024七年级下·江西上饶·竞赛）如图，平面直角坐标系中，点的坐标分别为，其中满足，将点向右平移个单位得到点． (1)求两点的坐标； (2)点分别为线段上两个动点，自点向点以个单位/秒向右运动，同时点自点向点以个单位/秒向左运动、设运动的时间为秒（），连接，当恰好平分四边形的面积时，求的值． (3)点是直线上一点，连接，作一个，边与的延长线相交于点，平分，平分，当点运动时，的度数变不变？如变化．请求变化范围：如不变，请求出的度数． 1．（2024七年级·全国·竞赛）如图，，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级·全国·竞赛）将如图的正方体展开后，不可能是（   ） A． B． C． D． 3．（2024七年级·全国·竞赛）如图，A，B，C，D四点在同一直线上，是的中点，是线段的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024七年级下·全国·竞赛）如图，下午3时，时钟上的时针和分针所成的角为，那么下一次时针与分针成直角，要经过的时间是（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 5．（2023九年级下·全国·竞赛）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角称为多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（   ）． A． B． C． D． 6．（2024七年级·全国·竞赛）如图，，平分，平分，则 ． 7．（2023七年级上·全国·竞赛）如图，在四边形中，线段长，为直角，为，而且点到边的垂线段的长为，线段的长为，则四边形的面积为 ． 8．（2023七年级上·全国·竞赛）如果和互补，且，则下列表示的余角的式子正确的有 个． ①；②；③；④ 9．（2024七年级·全国·竞赛）已知线段上有一点，，的中点分别为点，． (1)如图1，若点为的中点，，求线段的长度； (2)如图2，若点为上任意一点，求的值． 10．（2024七年级·全国·竞赛）如图1，两条直线相交于点，且，射线从开始绕点逆时针方向旋转，速度为，射线同时从开始绕点顺时针方向旋转，速度为．运动时间为秒．（，本题出现的角均不超过平角）． (1)若所在的直线平分，求的值； (2)如图2，直线交于点，交于点，交射线的延长线于点，当射线在内部，且是定值时，求的取值范围，并求出这个定值． 11．（2024七年级下·全国·竞赛）【理解新知】 如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为．若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称射线为的“2倍角线”． （1）角的平分线__________这个角的“2倍角线”；（填“是”或“不是”） （2）若，射线为的”2倍角线”，则__________． 【解决问题】 如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕O点逆时针旋转；射线从出发，以每秒的速度绕O点顺时针旋转，射线同时出发，当一条射线回到出发位置的时候，整个运动随之停止，设运动的时间为． （3）当射线旋转到同一条直线上时，求t的值； （4）若，，三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“2倍角线”，直接写出所有可能的值．（本题中所研究的角都是小于等于的角．） 12．（2024七年级下·全国·竞赛）已知数轴上有三点A，B，C，它们对应的数分别a，b，c，且，点C对应的数是20，． (1)若，求a，b的值； (2)在（1）的条件下，动点P，Q分别从A，C两点同时出发向左运动，同时动点R从点B出发向右运动，点P，R，Q的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，M为线段的中点，N为线段的中点，R，Q相遇后三点同时停止运动，则在三点出发后多少秒时，恰好满足？ (3)在（1）的条件下，O为原点，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P向左运动，点Q向右运动，点P的运动速度为8个单位长度/秒，点Q的运动速度为4个单位长度/秒，N为的中点，M为的中点，在点P，Q运动的过程中，的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 几何图形 1．（2023九年级下·福建龙岩·竞赛）如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的个点表示个车站．在这段路线上往返行车（　　）种车票． A．20 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】本题考查了线段条数的计算，应按照一定的顺序,才能做到不遗漏，不重复，还需注意每条线段应印2种车票．根据线段的定义找出线段的条数，再根据车票的起始站的不同，乘以2即可得到车票的种数． 【详解】解:图中线段有：， 共（条）， 每条线段应印2种车票， 共需（种）， 故选：A． 2．（2023七年级下·广东深圳·竞赛）如图所示，图中正六边形有（    ）个． A．15 B．13 C．11 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了正六边形，具备一定的空间想象能力是解题关键．结合图形，分别画出所有可能的正六边形，由此即可得． 【详解】解：①如图，这样的图形有6个． ②如图，这样的图形有3个． ③如图，这样的图形有1个． ④如图，这样的六边形有1个． 则一共有（个）， 故选：C． 3．（2023七年级上·辽宁沈阳·竞赛）你小时候玩过积木吗？有关专家指出，搭积木游戏可以促进孩子视觉智能的成长．当孩子刚开始搭积木时，首先会学习到的是线条的排列组合，接着则是思考如何运用空间的垂直性来搭建塔楼．下面就来测试一下你搭积木的水平吧．在下列四个积木块中，能与右图完全组合拼成一个的正方体木块的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查拼装几何体—正方体．根据题意观察图形即可得到本题答案． 【详解】解：∵的正方体木块数为64块，右图积木块数为35块， 又∵块，选项中的积木块数小于等于29块， 观察图象可知A、D的积木块数等于29块，只有D能与右图完全组合拼成一个的正方体木块． 故选：D． 4．（2023七年级上·湖南长沙·竞赛）如图所示的是一个正方体的表面展开图，若在正方体上的各面填上数，使其对面两数之和为7，则的值是 ． 【答案】14 【分析】本题考查正方体的展开图，解题的关键是掌握正方体展开图中对应面的关系．利用空间想象能力得出相对面的对应关系，得到B和2对应，A和1对应，C和4对应，即可求出结果． 【详解】解：若B是底面，则4是正面，A是左面，1是右面，C是后面，2是上面，得，，， ∴， 故答案为：． 5．（2023七年级·山东青岛·竞赛）12点整时，钟面上的时针、分针、秒针刚好重合．请计算再过 分钟，钟面上的时针和分针再次重合． 【答案】/ 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，钟面角． 设再过分钟，钟面上的时针和分针再次重合，分针比时针多转一圈，列方程求解即可． 【详解】解：，， 分针每分钟走，时针每分钟走， 设再过分钟，钟面上的时针和分针再次重合， 根据题意可得， 解得 ∴再过分钟，钟面上的时针和分针再次重合， 故答案为：． 6．（2023七年级下·浙江衢州·竞赛）如图，直线，平分，平分，点，，在同一直线上，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键．作，，根据平行公理的推论，平行线的性质，对顶角的性质和角平分线的性质表示出和，再结合即可求出． 【详解】如图，作，， 则， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， 设， ∵， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 7．（2023九年级下·浙江·竞赛）如图，点O在直线上，从O点引一条射线，平分，． (1)如图1，若，，求； (2)如图2，若为直角，求n的值； (3)如图3，若，设（用含m的代数式表示的度数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键． （1）已知平分，可得的度数，因为，可得的度数，再根据即可解答； （2）因为为直角，即，因为平分，所以，即可得n的值； （3）已知平分，可得的度数，因为，可得的度数，再根据即可解答． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵为直角， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（2024七年级下·湖南长沙·竞赛）18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种多面体模型，解答下列问题 (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4     _____       长方体 8 6 12 正八面体   _____       8 12 正十二面体 20 12 30 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是______． (2)如图，有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，求正五边形、正六边形的个数． 【答案】(1)，， (2)正五边形有个，正六边形有个 【分析】本题考查根据表格整理归纳的能力，通过表格的数据推导出欧拉公式，通过欧拉公式来解决实际问题． (1)本题通过表格给出的数据，推导出欧拉公式，也就是； (2)本题通过设五边形的个数为，六边形的个数为，通过欧拉公式，得到一个方程组，解出对应的值． 【详解】（1）由图中可以数出，四面体的棱数为，正八面体的顶点数为，通过表格可以推出，， 故答案为，，； （2）设黑皮有个，白皮有个， 则这个足球的面数为：， 棱数为：， 顶点数为：， 由欧拉公式可得：， 解得：， 个黑皮与个白皮相邻，个白皮与个黑皮相邻， 白皮个数为（个）， 故正五边形有个，正六边形有个． 9．（2023七年级下·江苏南京·竞赛）已知：，过点作射线，平分，如果，且关于的方程有无数多个解，求的度数． 【答案】或 【分析】本题考查角平分线的定义，一元一次方程的解，根据关于x的方程有无数多个解，可求出m、n的值，再分两种情况，即在的内部或外部，分别计算即可． 【详解】解：∵关于x的方程即有无数多个解， ∴，且， 解得，， 即， ∵平分， ∴， 当在的内部时，如图1，有， ∴，， ∴， ∴； 当在的外部时，如图2，有， ∴，， ∴平分， ∴， ∴； 所以的度数为或， 故答案为：或． 10．（2023七年级下·河南洛阳·竞赛）如图，在中，是的角平分线交于点D，，交于点E，，，求各内角的度数． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 由角平分线的定义可得，由三角形外角的性质可得，易得；再根据平行线的性质可得，再根据三角形内角和可得即可解答． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， 又∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，，． 11．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）（1）已知直线，点为平行线，之间的一点．如图，若，，平分，平分，求的度数． （2）（探究）如图，当点在直线的上方时，若，，和的角平分线交于点，求的度数；若与的角平分线交于点 与的角平分线交于点．以此类推，求的度数． （3）（变式）如图，的角平分线的反向延长线和的补角的角平分线交于点，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】； ； ． 【分析】过点作，根据平行线的判定可知，利用平行线的性质可证，，再根据角之间的位置关系可得； 过点作，可得，利用平行线的性质可得：，同理可得：，根据规律可得：； 过点作，可得：，根据平行线的性质可得：，由可得：，所以可得． 【详解】解：如下图所示，过点作， ， ， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ，， ； 解：如下图所示，过点作， ， ， ，， ， ， 和分别是和的角平分线， ，， ， 同理：， 以此类推，可得：； 解：， 理由如下： 如下图所示，过点作， ， ， ，， ， 平分，平分， ，， ， 由可知， ． 12．（2024七年级下·江西上饶·竞赛）如图，平面直角坐标系中，点的坐标分别为，其中满足，将点向右平移个单位得到点． (1)求两点的坐标； (2)点分别为线段上两个动点，自点向点以个单位/秒向右运动，同时点自点向点以个单位/秒向左运动、设运动的时间为秒（），连接，当恰好平分四边形的面积时，求的值． (3)点是直线上一点，连接，作一个，边与的延长线相交于点，平分，平分，当点运动时，的度数变不变？如变化．请求变化范围：如不变，请求出的度数． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（）根据非负数的性质解答即可求解； （）由题意可得，即得，进而得到，又由题意得，，，， 根据梯形的面积公式列出关于的方程解答即可； （）分两种情况：点在线段的延长线上或的延长线 上；点在线段上，分别画出图形，根据角平分线的定义解答即可； 本题考查了非负数的性质，一元一次方程的应用，角平分线的定义等，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴，； （2）解：∵轴，， ∴， ∴， 当运动时间为时，，，，， ∵恰好平分四边形时， ∴， ∴， 解得； （3）解：当点运动时，的度数不变． 如图，当点在线段的延长线上或的延长线上时， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 当点在线段上时， ∵平分，平分， ∴，， 设， 则，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 1．（2024七年级·全国·竞赛）如图，，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的性质，掌握平行线的性质，角平分线的性质，垂直的性质，合理作出平行线是解题的关键． 如图所示，作交于，作，根据平行线的性质可求出的度数，根据垂直的性质可求出的度数，最后根据即可求解． 【详解】解：如图所示，作交于，作， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（2024七年级·全国·竞赛）将如图的正方体展开后，不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正方体的平面展开图，根据正方体的平面展开图中三个有阴影的面的位置关系进行判断．根据正方体中三个阴影矩形在正方体的同一个顶点的位置，所以正方体的平面展开图中含有阴影的面不可能出现在相对面上，观察个选项中的平面展开图中三个有阴影的面的位置关系判断不可能是哪一个． 【详解】解：A选项：正方体展开图中上面和下面两个面是相对面，两个面中的阴影不可能在正方体的同一个顶点的位置，可知正方体展开后不可能是A选项； B选项：把平面展开图折叠后三个阴影在一个顶点的位置，可知正方形展开后可能是B选项； C选项：把平面展开图折叠后三个阴影在一个顶点的位置，可知正方形展开后可能是C选项； D选项：把平面展开图折叠后三个阴影在一个顶点的位置，可知正方形展开后可能是D选项； 故选：A． 3．（2024七年级·全国·竞赛）如图，A，B，C，D四点在同一直线上，是的中点，是线段的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段中点的定义，线段的和差计算，熟练掌握线段中点的定义及线段的和差计算是解答本题的关键．先求出，再由线段中点的定义，可得，，由此即可求得的长． 【详解】，， ， 是的中点，是线段的中点， ，， ． 故选C． 4．（2024七年级下·全国·竞赛）如图，下午3时，时钟上的时针和分针所成的角为，那么下一次时针与分针成直角，要经过的时间是（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和钟面角问题，此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力． 根据实际问题，时针转动速度为度/分钟，分针转动速度为度/分钟，设再次转成直角的时间间隔为x分钟，可以列出方程，从而求解下一次时针与分针成直角的时间． 【详解】解：设再次转成直角的时间间隔为x分钟，则由题意得： ， 解得． 分钟小时． 故选：C． 5．（2023九年级下·全国·竞赛）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角称为多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义问题，解题的关键是理解曲率的定义，结合正八面体的性质进行计算． 根据曲率的定义，先求出正八面体一个顶点的曲率，再结合正八面体顶点的数量，求出总曲率． 【详解】解：由正八面体的性质，每个面均为等边三角形， ∴在一个顶点处的四个角均为，故一个顶点的曲率等于， 故正八面体的总曲率等于． 故选：B． 6．（2024七年级·全国·竞赛）如图，，平分，平分，则 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，几何图中角度的计算，由角平分线的定义得出，，再由计算即可得出答案． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， 故答案为：． 7．（2023七年级上·全国·竞赛）如图，在四边形中，线段长，为直角，为，而且点到边的垂线段的长为，线段的长为，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查邻补角，等腰直角三角形，不规则图形的面积． 延长，，交于点，可得等腰直角三角形和等腰直角三角形，从而可得和的面积，相减即可得四边形的面积． 【详解】解：延长，，交于点， ∵为直角， ∴， ∴， ∵为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 8．（2023七年级上·全国·竞赛）如果和互补，且，则下列表示的余角的式子正确的有 个． ①；②；③；④ 【答案】3 【分析】本题考查了余角，补角的定义，根据余角，补角的定义逐项判断即可求． 【详解】解：∵， ∴是的余角，故①正确； ∵和互补， ∴，， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③错误，不合题意； ∵， ∴，故④正确． 故答案为：3 9．（2024七年级·全国·竞赛）已知线段上有一点，，的中点分别为点，． (1)如图1，若点为的中点，，求线段的长度； (2)如图2，若点为上任意一点，求的值． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查了线段中点的定义，线段的和差，熟练掌握线段中点的定义及线段的和差的推理计算是解答本题的关键． （1）根据点，，分别为，，的中点，可得点，，是线段的四等分点，可求得，即可得到答案； （2）根据点，分别为，的中点，可推得，即得答案． 【详解】（1）点，，分别为，，的中点， ∴点，，是线段的四等分点， ， ； （2）点，分别为，的中点， ， ． 10．（2024七年级·全国·竞赛）如图1，两条直线相交于点，且，射线从开始绕点逆时针方向旋转，速度为，射线同时从开始绕点顺时针方向旋转，速度为．运动时间为秒．（，本题出现的角均不超过平角）． (1)若所在的直线平分，求的值； (2)如图2，直线交于点，交于点，交射线的延长线于点，当射线在内部，且是定值时，求的取值范围，并求出这个定值． 【答案】(1)56.25 (2)当时，是定值，定值为7． 【分析】本题考查了角平分线的性质，角的和差运算，一元一次方程的应用，注意分类讨论． （1）分在外部和在内部两种情况列出方程解答即可； （2）先确定时t的值，再分和两种情况进行计算，解题即可． 【详解】（1）解：当在外部时，， 解得：； 当在内部时，， 解得：． （2）解：当点P在点E的左边时，， 解得， t秒时，，， ， ∴． 当点P在点E的右边时，，， ∴，不是定值． ∴当时，是定值，定值为7． 11．（2024七年级下·全国·竞赛）【理解新知】 如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为．若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称射线为的“2倍角线”． （1）角的平分线__________这个角的“2倍角线”；（填“是”或“不是”） （2）若，射线为的”2倍角线”，则__________． 【解决问题】 如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕O点逆时针旋转；射线从出发，以每秒的速度绕O点顺时针旋转，射线同时出发，当一条射线回到出发位置的时候，整个运动随之停止，设运动的时间为． （3）当射线旋转到同一条直线上时，求t的值； （4）若，，三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“2倍角线”，直接写出所有可能的值．（本题中所研究的角都是小于等于的角．） 【答案】（1）是 （2）或或 （3）4或10或16 （4）2或12 【分析】本题考查一元一次方程的应用，角平分线的性质，找等量关系列出方程是解决问题的关键，属于中考常考题型． （1）由角平分线的定义和“2倍角线”的定义可得； （2）分三种情况讨论，由“2倍角线”的定义，列出方程可求的值； （3）分三种情况讨论，列出方程可求的值； （4）分六种情况讨论，由“2倍角线”的定义，列出方程可求的值． 【详解】解：（1）∵一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的2倍， ∴一个角的角平分线是这个角的“2倍角线”； 故答案为：是； （2）有三种情况： ①若时，且， ∴； ②若时，且， ； ③若时，且， ； 故答案为：或或； （3）由题意得，运动时间范围为：， 则有①， 解得：； ②， 解得：； ③， 解得：； 综上，的值为4或10或16； （4）在整个过程，有如下几个临界点： 当共线时，由（3）知，或10或16， 当为的反向延长线时，， 当为的反向延长线时，， 故一共分成6种情况，①当时，如图①， ， 若时，， 即， 解得：（舍去）； 若， 则，无解； 若， 则， 解得：， ②当时，如图②，没有任何一条射线在另外两条射线组成的角内； ③当时，如图③， ∵，则， 若时，， 则， 解得：（舍去）； 若时，则， 解得：（舍去）； 若时，则， 解得：（舍去）； ④当时，如图④， 则， 若时，，则， 解得：（舍去）； 若时，则， 解得：（舍去）； 若时，则， 解得：； ⑤当时，如图⑤，没有任何一条射线在另外两条射线组成的角内； ⑥当时，如图⑥， 则， 若时，，则， 解得：（舍去）； 若时，则， 解得：（舍去）； 若时，则，无解； 综上，或12． 12．（2024七年级下·全国·竞赛）已知数轴上有三点A，B，C，它们对应的数分别a，b，c，且，点C对应的数是20，． (1)若，求a，b的值； (2)在（1）的条件下，动点P，Q分别从A，C两点同时出发向左运动，同时动点R从点B出发向右运动，点P，R，Q的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，M为线段的中点，N为线段的中点，R，Q相遇后三点同时停止运动，则在三点出发后多少秒时，恰好满足？ (3)在（1）的条件下，O为原点，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P向左运动，点Q向右运动，点P的运动速度为8个单位长度/秒，点Q的运动速度为4个单位长度/秒，N为的中点，M为的中点，在点P，Q运动的过程中，的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)2.5秒 (3)值不变；是定值10；理由见解析 【分析】（1）根据，得出，利用点对应的数是20，即可得出a，b的值； （2）设在三点出发后x秒时，Q在R右边时，恰好满足，表示出，，然后列方程求解即可； （3）设运动的时间为t，则，，表示出，然后根据中点的性质得到，，然后表示出，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图，∵， ∴， ∵C点对应的数为20， ∴点A对应的数为：，点B对应的数为：， ∴，； （2）解：如图2，根据（1）可得， 设在三点出发后x秒时，Q在R右边时，恰好满足， ∵，， ∴当时，， 解得：， ∴在三点出发后2.5秒时恰好满足； （3）解：的值不变．理由如下： 如图3，设运动的时间为t，则，， 由（1）可得，点C表示20， ∴，，， ∴， ∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴， ∴． 即的值不发生变化，是定值10． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $