第05讲 椭圆及其性质（高效培优讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

第05讲 椭圆及其性质 目录 考情探究 2 知识梳理 3 探究核心考点 5 考点一 椭圆的定义及其应用 5 考点二 椭圆的标准方程 5 考点三 椭圆方程的充要条件 7 考点四 椭圆的焦距与长轴、短轴 8 考点五 椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 8 考点六 椭圆上两点距离的最值问题 9 考点七 椭圆上两线段的和差最值问题 10 考点八 求椭圆的离心率或其取值范围 11 考点九 与椭圆有关的范围(最值) 13 考点十 椭圆的轨迹问题 14 考点十一 椭圆的实际应用问题 15 三阶突破训练 16 基础过关 16 能力提升 18 真题感知 19 一、5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2025年全国一卷，18题，17分 根据a、b、c求椭圆标准方程 求椭圆中的最值问题 无 2025年全国二卷，16题，15分 根据a、b、c求椭圆标准方程根据离心率求椭圆的标准方程 椭圆中三角形（四边形）的面积 无 2025年北京卷，19题，15分 根据a、b、c求椭圆标准方程 椭圆中三角形（四边形）的面积 无 2024年新课标I卷，第16题，15分 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 根据韦达定理求参数 根据椭圆过的点求标准方程 椭圆中三角形（四边形）的面积 无 2024年新课标Ⅱ卷，第5题，5分 求平面轨迹方程 轨迹问题——椭圆 无 2023年新课标I卷，第5题，5分 由椭圆的离心率求参数的取值范围 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 无 2023年全国甲卷（理数），第12题，5分 椭圆定义及辨析 椭圆中焦点三角形的面积问题 无 2023年北京卷，第19题，15分 根据离心率求椭圆的标准方程 椭圆中的定值问题 根据a、b、c求椭圆标准方程 无 二、命题规律及备考策略 【命题规律】近 5 年椭圆相关命题覆盖了求椭圆标准方程（根据a、b、c、离心率、过点等条件）、离心率（或其取值范围）、最值与定值、轨迹方程、焦点三角形面积等考点，题型包含选择题、填空题、解答题，分值跨度从 5 分到 17 分不等。考查形式上，既有单一考点的直接考查，也涉及椭圆与三角形（四边形）面积、韦达定理等的综合，且 “求椭圆标准方程”“离心率相关问题” 为高频考查点，体现出对椭圆核心概念、运算能力及综合应用能力的重视。 【备考策略】备考时需扎实掌握椭圆的定义、标准方程、几何性质（离心率、a、b、c的关系等）等核心知识点。针对 “求椭圆标准方程”“离心率取值范围”“椭圆中面积与定值最值” 等高频考点进行专项训练，同时注重解答题中多考点综合题的练习，总结 “定义法”“几何法”“代数法（韦达定理、函数思想）” 在椭圆问题中的应用技巧，提升运算准确性和知识综合运用能力。 【命题预测】预计未来椭圆命题在题型和分值上会保持多样性，考查重点仍会围绕椭圆标准方程、离心率、几何性质及综合应用展开。命题将进一步强化综合性与创新性，可能在椭圆与其他圆锥曲线、函数、向量等知识的融合上有所创新，或结合实际情境考查椭圆的轨迹与方程应用，以此检验学生的数学建模和综合分析能力。 1.椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 . 注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆； (2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段； (3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在. 2椭圆的简单几何性质 （1）椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 (a>b>0) (a>b>0) 范围 顶点 轴长 短轴长为 ，长轴长为 焦点 焦距 |F1F2|＝ 对称性 对称轴： ，对称中心： 离心率 a，b，c的关系 （2）椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示， 当椭圆为＝1(a＞b＞0)时，设∠F1PF2＝θ. (1)|PF1|·|PF2|≤＝a2. (2)当PF2⊥x轴时，点P的坐标为 ． (3)|PF1|＝ ，|PF2|＝a－ex0． (4)|PF1|max＝ ，|PF1|min＝a－c． (5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ． (6)＝ ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，θ最大，S取最大值，最大值为bc. (7)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a． 考点一 椭圆的定义及其应用 典例1．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知是椭圆上的动点，，且，则 . 典例2．（2025·全国·模拟预测）设P为平面内一动点，，，若以AP为直径的圆与圆内切，则面积的最大值为（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 跟踪训练1．（2025·浙江温州·模拟预测）在中，，，的中垂线交于点，则的面积的最大值是 ． 跟踪训练2．（2025·山东·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一动点，则的取值范围是 ． 跟踪训练3．【多选】（2025·四川巴中·模拟预测）已知圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，圆心的轨迹记为曲线，则（    ） A．C的方程为 B．的最小值为 C． D．曲线在点处的切线方程为 考点二 椭圆的标准方程 典例1．（2025·陕西西安·模拟预测）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为B．若，则该椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 典例2．（2025·四川乐山·模拟预测）与双曲线有公共焦点，且离心率为的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 跟踪训练1．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的上、下焦点分别为，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于两点，的周长为12，则椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 跟踪训练2．（2025·宁夏银川·模拟预测）已知椭圆的一个焦点，为上一点，满足，，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 跟踪训练3．（2025·辽宁·模拟预测）已知椭圆，直线与C交于M，N两点，与两坐标轴分别交于点A，B，且M，N是线段的三等分点，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 跟踪训练4．（2025·广西南宁·模拟预测）已知分别是椭圆的左、右顶点，直线（为椭圆的半焦距）上存在点，使得是顶角为的等腰三角形，且的面积为，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 考点三 椭圆方程的充要条件 典例1．（25-26高三·江西九江）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 典例2．（25-26高三·重庆）方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练1．（25-26高三·黑龙江哈尔滨）已知曲线，设，曲线是焦点在坐标轴上的椭圆，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 跟踪训练2．【多选】（2025·海南·模拟预测）已知方程，则下列说法正确的有（   ） A．若，此时方程为椭圆，离心率为 B．若，此时方程为双曲线，其渐近线为 C．若方程表示双曲线，则 D．若方程表示椭圆，则 跟踪训练3．【多选】（25-26高三）已知曲线：，下列说法正确的是（ ） A．若，则是焦点在轴上的椭圆 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线 D．若，，则是两条直线 考点四 椭圆的焦距与长轴、短轴 典例1．（2025·云南红河·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，则的长轴长为（    ） A． B． C． D． 典例2．（2025·浙江温州·模拟预测）已知椭圆和双曲线的焦点相同，则 . 跟踪训练1．（2025·湖北荆州·模拟预测）已知椭圆C：的一个焦点为，则k的值为（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 跟踪训练2．（2025·江西·模拟预测）椭圆的长轴长与焦距之差等于（    ） A． B． C． D． 跟踪训练3．【多选】（2025·甘肃庆阳·模拟预测）已知椭圆：，则（    ） A．的焦点在轴上 B．的焦距为10 C．的离心率为 D．的长轴长是短轴长的5倍 考点五 椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 典例1．（2025·广西柳州·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于B、C两点，则的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 典例2．【多选】（2025·山东济南·模拟预测）已知椭圆的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（   ） A．C的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 跟踪训练1．【多选】（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．点纵坐标为 B．的周长为 C． D．的内切圆半径为 跟踪训练2．【多选】（2025·广东·模拟预测）设为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点且在第一象限.若的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为 B．以为直径的圆经过点 C．点的坐标为 D．直线的斜率为 跟踪训练3．【多选】（2025·浙江·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，上顶点为A，且，P为C上位于第一象限内的点，且，的内角平分线交x轴于点M，则下列结论正确的是（   ） A．椭圆C的离心率 B． C．的内切圆半径为 D． 跟踪训练4．【多选】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知分别是椭圆的左、右焦点．点为短轴的一个端点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（ ） A． B． C． D． 考点六 椭圆上两点距离的最值问题 典例1．（2025高三·河南开封·期中）椭圆上任一点P到点的距离的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 典例2．（2025高三·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 跟踪训练1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知定点与椭圆上的两个动点，，若，则的最小值为（    ） A． B．13 C． D． 跟踪训练2．（2025高三·广东茂名·期末）已知椭圆的离心率为，下顶点为，点为上的任意一点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练3．（2025·全国·模拟预测）已知椭圆，直线l过椭圆的右焦点F，交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，M为AB的中点，N为OF的中点，则线段MN的长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点七 椭圆上两线段的和差最值问题 典例1．（2025·湖南湘潭·模拟预测）已知是椭圆的左焦点，为上一点，，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 典例2．（2025·山东滨州·模拟预测）已知椭圆和圆分别为椭圆和圆上的动点，若为椭圆的左焦点，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．9 D．8 跟踪训练1．（2025·陕西·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 跟踪训练2．（2025·山东威海·模拟预测）已知为椭圆的上焦点，为上一点，为圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练3．（2025·湖南衡阳·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点为是椭圆上一动点，直线经过的定点为，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．6 跟踪训练4．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知，分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D． 跟踪训练5．（2025高三·江苏·期中）已知椭圆的右焦点为是椭圆上一点，点，则的周长最大值为（ ） A．14 B．16 C．18 D．20 考点八 求椭圆的离心率或其取值范围 典例1．（2025·广东广州·模拟预测）已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 典例2．（2025·河北·模拟预测）已知焦点在x轴上的椭圆 其右焦点 F 与上顶点A 和左顶点 B 构成面积为的三角形，则椭圆的离心率为（    ）． A． B． C． D． 跟踪训练1．（2025·四川巴中·模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，椭圆的左、右焦点分别为、，四边形为矩形，若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2．（2025·贵州贵阳·模拟预测）设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线交M于另一点B，的内切圆与相切于点C，若，则椭圆M的离心率为（   ） A． B． C． D． 跟踪训练3．（2025·广东梅州·模拟预测）已知A，B，F分别是椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，若过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 跟踪训练4．（2025高三·河南）已知椭圆的左､右焦点为，左､右顶点为，上､下顶点为，若四边形的面积是四边形的面积的2倍，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练5．（2025·河北·模拟预测）已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下焦点分别为，点P在x轴上，若的内切圆的圆心为，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 跟踪训练6．（2025·山东泰安·模拟预测）已知为椭圆的左顶点，、是椭圆上的点.若四边形满足，，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练7．（2025·四川德阳·模拟预测）若椭圆上存在一点到其左右焦点的距离之比为，则椭圆离心率的取值范围为 . 跟踪训练8．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知椭圆的离心率，则的值为（    ） A．12 B． C．12或 D．或 跟踪训练9．（2025高三·四川雅安）已知椭圆的离心率为，则（   ） A．2 B． C．4或 D．或2 考点九 与椭圆有关的范围(最值) 典例1．（2025·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于两点，点为坐标原点，点在椭圆上，且，则的取值范围为 . 典例2．（2025·吉林·模拟预测）已知，，且动点满足.则的取值范围为 ；若线段PM的垂直平分线与PA交于点Q，则的正切值的最大值为 . 跟踪训练1．（2025高三·上海普陀·期末）如图，已知是椭圆的左焦点，为椭圆的下顶点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，射线与圆交于点，则的取值范围为 .    跟踪训练2．（2025·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为．若在椭圆上存在点使得，则的取值范围为 ． 跟踪训练3．（2025高三·全国·期末）已知椭圆G：（）的左、右焦点分别，，离心率，点M是椭圆G上任意一点，则的取值范围是 ． 跟踪训练4．（2025·湖北·模拟预测）已知椭圆：，，若对于椭圆上任意两个关于原点对称的点，有恒成立，则实数a的取值范围是 ． 考点十 椭圆的轨迹问题 典例1．（2025·山东泰安·模拟预测）在平面直角坐标系中，满足，、分别为的重心、内心，若轴，则点的轨迹方程为 . 典例2．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，点在线段的延长线上，且，，则点的轨迹方程为 ．    跟踪训练1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在圆上取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，记线段的中点轨迹为. (1)求的轨迹方程； (2)过点的直线与轨迹交于，两点，为坐标原点，面积为，求直线的方程. 跟踪训练2．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知动点到定点的距离和它到定直线的距离之比为，记的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知点在曲线上，若直线与曲线交于、两点，且直线与的斜率互为相反数，求的中点与的最小距离．. 跟踪训练3．（2025·四川成都·模拟预测）已知点，T是圆上的动点，线段ST的垂直平分线与直线QT交于点.设点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设曲线与轴的正半轴交于点，过轴上不同于点的点作直线与曲线交于M，N两点.若使得的面积最大的直线有两条，求的取值范围，并用表示面积的最大值. 考点十一 椭圆的实际应用问题 典例1．【多选】（2025·广西·模拟预测）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，P为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点M，，点，给出下列四个结论，正确的是（   ） A．面积的最大值为 B．的最大值为7 C．若，则 D．若，垂足为，则 典例2．【多选】（2025·黑龙江·模拟预测）加斯帕尔•蒙日（如图1）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆则被称为“蒙日圆”（如图2）.已知矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆与椭圆有相同的焦点 C．椭圆的蒙日圆方程为 D．矩形的面积最大值为50 跟踪训练1．（2025·重庆·模拟预测）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则（    ）    A． B． C． D． 跟踪训练2．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高三·广东）若椭圆的短轴长为焦距的倍，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的离心率为，则的一个顶点与两个焦点构成的三角形是（   ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰非直角三角形 D．直角非等腰三角形 3．（2025·江苏·模拟预测）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南·模拟预测）已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025·山西·模拟预测）已知，分别是椭圆的左、右焦点，以线段为直径的圆与椭圆在第一象限交于点，直线的斜率为，则椭圆的长轴长等于（   ） A．3 B． C．6 D． 6．（2025·海南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，设为坐标原点，为上一点，若的面积为，则（） A． B． C． D． 7．（2025·江西新余·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，点在椭圆上，且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 8．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知椭圆C：的上顶点为A，左、右焦点分别为、，连接并延长交椭圆C于另一点B，若，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·山西晋城·模拟预测）已知分别为椭圆的左、右焦点，点为上一点，若，则（    ） A． B． C． D． 10．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点，且，若的离心率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 1．（2025·贵州·模拟预测）已知椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，上顶点为B，右顶点为A，到直线AB的距离为b，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川广安·模拟预测）已知椭圆 （）的离心率为 ，且过点 .若直线 与椭圆相切于点 ，且 （ 为坐标原点），则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，点在圆上，且圆上的所有点均在椭圆外，若的最小值为，且椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的焦距为1 B．椭圆的短轴长为 C．的最小值为 D．过点的圆的切线斜率为 4．（2025·安徽合肥·模拟预测）椭圆，圆与椭圆相交于四点，圆与椭圆相交于四点.若矩形与矩形的面积相等，则（    ） A．12 B．8 C．6 D．4 5．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．（2025·河南·模拟预测）已知椭圆上有动点在任意位置时，总存在椭圆上的另外两点，使的重心为右焦点，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·四川成都·模拟预测）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的平分线）.已知椭圆的焦距为，坐标原点到点处切线的距离为，且，则椭圆的长轴为（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l与C交于两点，为坐标原点，若的面积为，求． 3．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 5．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 6．（2023·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． (1)求的方程； (2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：． 7．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 8．（2024·全国甲卷·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 椭圆及其性质 目录 考情探究 2 知识梳理 3 探究核心考点 5 考点一 椭圆的定义及其应用 5 考点二 椭圆的标准方程 9 考点三 椭圆方程的充要条件 13 考点四 椭圆的焦距与长轴、短轴 15 考点五 椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 17 考点六 椭圆上两点距离的最值问题 23 考点七 椭圆上两线段的和差最值问题 26 考点八 求椭圆的离心率或其取值范围 30 考点九 与椭圆有关的范围(最值) 37 考点十 椭圆的轨迹问题 42 考点十一 椭圆的实际应用问题 47 三阶突破训练 51 基础过关 51 能力提升 56 真题感知 61 一、5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2025年全国一卷，18题，17分 根据a、b、c求椭圆标准方程 求椭圆中的最值问题 无 2025年全国二卷，16题，15分 根据a、b、c求椭圆标准方程根据离心率求椭圆的标准方程 椭圆中三角形（四边形）的面积 无 2025年北京卷，19题，15分 根据a、b、c求椭圆标准方程 椭圆中三角形（四边形）的面积 无 2024年新课标I卷，第16题，15分 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 根据韦达定理求参数 根据椭圆过的点求标准方程 椭圆中三角形（四边形）的面积 无 2024年新课标Ⅱ卷，第5题，5分 求平面轨迹方程 轨迹问题——椭圆 无 2023年新课标I卷，第5题，5分 由椭圆的离心率求参数的取值范围 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 无 2023年全国甲卷（理数），第12题，5分 椭圆定义及辨析 椭圆中焦点三角形的面积问题 无 2023年北京卷，第19题，15分 根据离心率求椭圆的标准方程 椭圆中的定值问题 根据a、b、c求椭圆标准方程 无 二、命题规律及备考策略 【命题规律】近 5 年椭圆相关命题覆盖了求椭圆标准方程（根据a、b、c、离心率、过点等条件）、离心率（或其取值范围）、最值与定值、轨迹方程、焦点三角形面积等考点，题型包含选择题、填空题、解答题，分值跨度从 5 分到 17 分不等。考查形式上，既有单一考点的直接考查，也涉及椭圆与三角形（四边形）面积、韦达定理等的综合，且 “求椭圆标准方程”“离心率相关问题” 为高频考查点，体现出对椭圆核心概念、运算能力及综合应用能力的重视。 【备考策略】备考时需扎实掌握椭圆的定义、标准方程、几何性质（离心率、a、b、c的关系等）等核心知识点。针对 “求椭圆标准方程”“离心率取值范围”“椭圆中面积与定值最值” 等高频考点进行专项训练，同时注重解答题中多考点综合题的练习，总结 “定义法”“几何法”“代数法（韦达定理、函数思想）” 在椭圆问题中的应用技巧，提升运算准确性和知识综合运用能力。 【命题预测】预计未来椭圆命题在题型和分值上会保持多样性，考查重点仍会围绕椭圆标准方程、离心率、几何性质及综合应用展开。命题将进一步强化综合性与创新性，可能在椭圆与其他圆锥曲线、函数、向量等知识的融合上有所创新，或结合实际情境考查椭圆的轨迹与方程应用，以此检验学生的数学建模和综合分析能力。 1.椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆； (2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段； (3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在. 2椭圆的简单几何性质 （1）椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 (a>b>0) (a>b>0) 范围 －a≤x≤a 且－b≤y≤b －b≤x≤b 且－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)， A2(a，0)， B1(0，－b)， B2(0，b) A1(0，－a)， A2(0，a)， B1(－b，0)， B2(b，0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c，0)， F2(c，0) F1(0，－c)， F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率 e＝ (0<e<1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 （2）椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示， 当椭圆为＝1(a＞b＞0)时，设∠F1PF2＝θ. (1)|PF1|·|PF2|≤＝a2. (2)当PF2⊥x轴时，点P的坐标为． (3)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0． (4)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c． (5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ． (6)＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，θ最大，S取最大值，最大值为bc. (7)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a． 考点一 椭圆的定义及其应用 典例1．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知是椭圆上的动点，，且，则 . 【答案】5 【详解】根据椭圆的定义确定点的轨迹，进而得到椭圆参数，再由椭圆参数关系求参数值. 【分析】因为， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆. 易知，即， 所以. 故答案为：5 典例2．（2025·全国·模拟预测）设P为平面内一动点，，，若以AP为直径的圆与圆内切，则面积的最大值为（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【分析】作出图形，设以线段为直径的圆的圆心为，半径为，与圆内切于点，连接，结合几何关系可以推出，从而可得出动点的轨迹是椭圆，然后根据椭圆上的点的纵坐标的取值范围求解即可. 【详解】如图， 设以线段为直径的圆的圆心为，半径为，与圆内切于点， 则点三点共线，连接， 在中，为中位线，即， 又，，， 则， 因为，所以动点的轨迹方程是以为焦点，长轴长为10的椭圆， 椭圆中，即方程为. 为椭圆上的一点，设，则且， 所以. 故选：A 跟踪训练1．（2025·浙江温州·模拟预测）在中，，，的中垂线交于点，则的面积的最大值是 ． 【答案】12 【分析】利用椭圆的定义求解，结合椭圆的几何性质求解即可. 【详解】设 ，则 .由 ，知点 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，长轴长为 10 ，焦距为 6 .椭圆半长轴 ，半焦距 ， 半短轴 . 设，则的轨迹是椭圆， 面积 ， 当 取最大值(即半短轴 )时，面积最大. 最大面积为 . 故答案为：12. 跟踪训练2．（2025·山东·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一动点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据椭圆、、之间的关系，求出，再根据椭圆的定义，把换成，最后根据，代入即可. 【详解】设椭圆的半焦距为，则， ， 因为，即， 所以，即. 故答案为：. 跟踪训练3．【多选】（2025·四川巴中·模拟预测）已知圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，圆心的轨迹记为曲线，则（    ） A．C的方程为 B．的最小值为 C． D．曲线在点处的切线方程为 【答案】CD 【分析】A.利用两圆的内切、外切的充要条件，由椭圆定义即可得的方程； B.由即求的最大值，利用椭圆性质可得； C.运用向量数量积的坐标公式计算即得； D.将选项直线与椭圆方程联立，验证消元后的方程判别式为零即可. 【详解】 圆的圆心，半径；圆的圆心，半径. 设动圆P的半径为，则， 所以. 根据椭圆的定义，可知点的轨迹是以为焦点，长轴长，焦距的椭圆（去掉重合的点）， 则，， 所以曲线C的方程为，A选项错误； 在中，， 因为M是动圆与圆的切点，是动圆与圆的切点， 所以三点共线，三点共线， 所以与互补，. 根据余弦定理. 由基本不等式（当且仅当时取等号）， 则的最小值不是，B选项错误； 因为与反向，与同向， 所以. 所以， 所以，C选项正确； 由 ，消去，整理得：， 则， 因在椭圆上，，即，代入上式得， 故是过椭圆上一点处的切线方程，即D项正确. 故选：CD 考点二 椭圆的标准方程 典例1．（2025·陕西西安·模拟预测）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为B．若，则该椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意和椭圆的几何性质，得到，进而求得的值，即可求解. 【详解】由椭圆的几何性质，因为，可得， 所以，，则，所以椭圆的方程为. 故选：A. 典例2．（2025·四川乐山·模拟预测）与双曲线有公共焦点，且离心率为的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出双曲线的焦点，即得c的值，可设出椭圆的标准方程，根据离心率以及，求出的值. 【详解】设椭圆的方程为：， 双曲线的焦点为， 所以，又因为离心率为，所以， 所以，又因为， 所以圆的方程为. 故选：C. 跟踪训练1．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的上、下焦点分别为，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于两点，的周长为12，则椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义表示出焦点三角形的周长，求出的值，结合离心率求出的值，即得椭圆方程. 【详解】 如图依题意，的周长为， 解得． 设椭圆的半焦距为，因为椭圆的离心率为，所以，解得． 所以． 故椭圆的标准方程为． 故选：D. 跟踪训练2．（2025·宁夏银川·模拟预测）已知椭圆的一个焦点，为上一点，满足，，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，设出椭圆方程，再建立方程组，利用待定系数法求解即得. 【详解】依题意，椭圆的焦点在轴上，设椭圆为，， 则，即，解得，又， 因此，解得，所以椭圆的标准方程为. 故选：B 跟踪训练3．（2025·辽宁·模拟预测）已知椭圆，直线与C交于M，N两点，与两坐标轴分别交于点A，B，且M，N是线段的三等分点，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算的坐标表示结合题意先求出，再代入椭圆方程求解即可. 【详解】由直线，不妨设，设， 则， 如图，因为M，N是线段的三等分点， 则，， 则，解得，，，， 则，又M，N两点在椭圆上， 所以，解得， 所以椭圆的方程为. 故选：A. 跟踪训练4．（2025·广西南宁·模拟预测）已知分别是椭圆的左、右顶点，直线（为椭圆的半焦距）上存在点，使得是顶角为的等腰三角形，且的面积为，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据锐角三角函数，结合椭圆的性质即可求解得，即可利用面积公式求解. 【详解】如图：,故， ，故， 故，解得， 由于， 故，故，故椭圆方程为， 故选：B    考点三 椭圆方程的充要条件 典例1．（25-26高三·江西九江）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆方程各参数的意义求解. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以. 解得. 故选： 典例2．（25-26高三·重庆）方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的椭圆方程及焦点位置列不等式求解. 【详解】由方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，得，解得， 所以k 的取值范围为. 故选：C 跟踪训练1．（25-26高三·黑龙江哈尔滨）已知曲线，设，曲线是焦点在坐标轴上的椭圆，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据方程表示焦点在坐标轴上的椭圆求出的取值范围，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可． 【详解】因为是焦点在坐标轴上的椭圆， 所以，解得：且， 所以“”是“曲线是焦点在坐标轴上的椭圆”的必要不充分条件． 故选：B． 跟踪训练2．【多选】（2025·海南·模拟预测）已知方程，则下列说法正确的有（   ） A．若，此时方程为椭圆，离心率为 B．若，此时方程为双曲线，其渐近线为 C．若方程表示双曲线，则 D．若方程表示椭圆，则 【答案】AB 【分析】AB求出具体的方程可判断；C根据可求；D根据，，可求. 【详解】若，则为椭圆，，则离心率为， 故A正确； 若，则为双曲线，则渐近线方程为，故B正确； 若方程表示双曲线，则，得或，故C错误； 若方程表示椭圆，则，得且， 故D错误. 故选：AB 跟踪训练3．【多选】（25-26高三）已知曲线：，下列说法正确的是（ ） A．若，则是焦点在轴上的椭圆 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线 D．若，，则是两条直线 【答案】CD 【分析】根据抛物线标准方程、双曲线标准方程、圆的标准方程、直线的方程的定义和性质，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】当时，由得，，所以曲线表示焦点在轴上的椭圆，A选项错误； 当时，曲线可化为，得，此时曲线是圆，半径为，B选项错误； 当时，曲线可化为，此时曲线是双曲线，C选项正确； 当，时，曲线可化为，得，此时曲线是两条直线，D选项正确； 故选：CD. 考点四 椭圆的焦距与长轴、短轴 典例1．（2025·云南红河·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，则的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知椭圆的焦点在轴上，且，由椭圆中的平方关系可求得的值，进而可求得长轴长. 【详解】因为椭圆的右焦点为，所以，且焦点在轴上， 所以，解得，所以椭圆的长轴长为． 故选：B. 典例2．（2025·浙江温州·模拟预测）已知椭圆和双曲线的焦点相同，则 . 【答案】 【分析】根据双曲线方程可得，且焦点在x轴上，再结合椭圆方程列式求解即可. 【详解】对于双曲线，可知其半焦距，且焦点在x轴上， 对于椭圆可得，且，解得. 故答案为：. 跟踪训练1．（2025·湖北荆州·模拟预测）已知椭圆C：的一个焦点为，则k的值为（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】利用椭圆的标准方程与焦点位置即可得解. 【详解】由题意得，，，，所以． 故选：D． 跟踪训练2．（2025·江西·模拟预测）椭圆的长轴长与焦距之差等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的标准方程求出，再求长轴长与焦距之差. 【详解】由题得，，所以，， 所以长轴长，焦距， 所以长轴长与焦距之差等于． 故选：B 跟踪训练3．【多选】（2025·甘肃庆阳·模拟预测）已知椭圆：，则（    ） A．的焦点在轴上 B．的焦距为10 C．的离心率为 D．的长轴长是短轴长的5倍 【答案】BC 【分析】根据椭圆的几何性质即可逐一求解. 【详解】对于椭圆：，可得， 故椭圆的焦点在轴上，焦距为，离心率为， 长轴长为，短轴长为，故AD错误，BC正确. 故选：BC 考点五 椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 典例1．（2025·广西柳州·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于B、C两点，则的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【分析】根据条件可得，然后根据椭圆的定义求解即可. 【详解】由椭圆，得， 过且垂直于的直线与椭圆交于B、C两点， 所以为线段的垂直平分线， 得， 则的周长为. 故选：B.    典例2．【多选】（2025·山东济南·模拟预测）已知椭圆的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（   ） A．C的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【分析】A：根据离心率定义计算出并判断；B：根据椭圆定义计算焦点三角形的周长并判断；C：根据的最小值为作出判断；D：根据椭圆定义结合基本不等式计算并判断. 【详解】椭圆即为， 故， 对于A，，故A错误； 对于B，的周长为，故B正确； 对于C，的最小值为，故C错误； 对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确， 故选：BD. 跟踪训练1．【多选】（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．点纵坐标为 B．的周长为 C． D．的内切圆半径为 【答案】BCD 【分析】利用三角形的面积公式可判断A选项；利用椭圆的定义可判断B选项；设，利用三角形的面积公式、余弦定理、同角三角函数的基本关系可得出关于、的方程，解出的值，可判断C选项；利用等面积法可判断D选项. 【详解】对于A选项，在椭圆中，，，， ，则、， 设点，，，故选项A错误； 对于B选项，由椭圆的定义可知， 的周长为，故选项B正确； 对于C选项，设，，可得， 由余弦定理可得 ， 所以， 所以，解得，故选项C正确， 对于D选项，设的内切圆半径为， 则， ，故选项D正确. 故选：BCD. 跟踪训练2．【多选】（2025·广东·模拟预测）设为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点且在第一象限.若的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为 B．以为直径的圆经过点 C．点的坐标为 D．直线的斜率为 【答案】ACD 【分析】先将椭圆方程转化为标准方程，求出的值，再根据椭圆定义、三角形面积公式、圆的标准方程、直线斜率公式逐一分析选项即可. 【详解】已知椭圆的方程为，两边同时除以2可得， 由此，，，，，，，； 对于A，根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和等于， 因此的周长为，选项A正确； 对于B，设点的坐标为， 则， 将代入椭圆方程得，，，， 解得或（舍），因此点的坐标为， 两点的中点为原点，可得以为直径的圆的方程为， 将的坐标代入圆的方程的左边得， 因此以为直径的圆不经过点，选项B错误； 对于C，由选项B的分析过程可得点的坐标为，选项C正确； 对于D，点的坐标为，点的坐标为， 则直线的斜率为，选项D正确. 故选：ACD. 跟踪训练3．【多选】（2025·浙江·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，上顶点为A，且，P为C上位于第一象限内的点，且，的内角平分线交x轴于点M，则下列结论正确的是（   ） A．椭圆C的离心率 B． C．的内切圆半径为 D． 【答案】AC 【分析】对于A：根据椭圆定义可得，即可得离心率；对于B：利用余弦定理即可得结果；对于C：利用等面积法求内切圆半径；对于D：根据角平分线的性质分析判断. 【详解】对于选项A：设椭圆的焦距为，    由椭圆的对称性可知， 则，，所以，故A正确； 对于选项B：因为， 所以 ， 即，故B错误； 对于选项C：因为，， 则， 所以， 又因为的周长， 设内切圆半径为r，则，故C正确； 对于选项D：由角平分线定理得，故D错误； 故选：AC． 跟踪训练4．【多选】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知分别是椭圆的左、右焦点．点为短轴的一个端点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用椭圆的定义及函数给定区间上的值域求法，可对A,C,D进行判断，利用数量积的坐标表示及二次函数值域求解可判断B选项. 【详解】解：由椭圆，得，，，且，，即. A选项：,当时，取得最大值；当或时，取得最小值1.所以.所以A选项正确. B选项:设为椭圆上一点.由题知. 则, 因为,所以,即.所以B选项错误. C选项：因为为短轴的一个端点，所以或.由椭圆的对称性，不妨设. 设，则. 因为，所以，当时，取得最大值，当时，取得最小值0，所以.所以C选项错误. D选项：设，又，所以，. 又. 又. 所以成立，故D正确. 方法二：因为,所以,所以. 因为即，所以,即. 所以.所以D选项正确. 故选：AD. 考点六 椭圆上两点距离的最值问题 典例1．（2025高三·河南开封·期中）椭圆上任一点P到点的距离的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】设，结合点在椭圆上利用两点距离公式得，根据二次函数性质求解最值即可. 【详解】设点P的坐标为，其中，由，可得， 又由， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：B 典例2．（2025高三·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设出点坐标，利用坐标表示出并进行化简，再根据椭圆的有界性结合二次函数的性质求解出的最大值. 【详解】设，，且， 所以 ， 又因为，所以当时取最大值， 所以， 故选：C. 跟踪训练1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知定点与椭圆上的两个动点，，若，则的最小值为（    ） A． B．13 C． D． 【答案】C 【分析】设出点的坐标，再利用数量积的运算律及坐标表示，列出函数关系并求出最小值. 【详解】设椭圆上的点，而， 因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 跟踪训练2．（2025高三·广东茂名·期末）已知椭圆的离心率为，下顶点为，点为上的任意一点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，得到，求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由椭圆的离心率，可得，所以椭圆的方程为， 设，则，可得， 又由点， 可得， 因为，所以，所以. 故选：A. 跟踪训练3．（2025·全国·模拟预测）已知椭圆，直线l过椭圆的右焦点F，交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，M为AB的中点，N为OF的中点，则线段MN的长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意运用垂径定理和椭圆的对称性即可求解. 【详解】轴时，故， 轴时均为顶点，为原点，，故， 不垂直坐标轴时，设，和椭圆方程联立得 即 故， 故 故，即． 设，易知，则时， 得点M的轨迹方程为，而时也满足该方程，刚好构成完整的椭圆，且N为其对称中心， 又椭圆上的点到椭圆中心的距离， 所以． 故选：A. 考点七 椭圆上两线段的和差最值问题 典例1．（2025·湖南湘潭·模拟预测）已知是椭圆的左焦点，为上一点，，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义可：，得，当，，三点共线时取得最小值，进行求解即可． 【详解】解：设椭圆的右焦点为， 易知，， 由，得， 根据椭圆的定义可得：， 所以，当且仅当，，三点共线时等号成立， 所以的最小值为， 故选：D． 典例2．（2025·山东滨州·模拟预测）已知椭圆和圆分别为椭圆和圆上的动点，若为椭圆的左焦点，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．9 D．8 【答案】A 【分析】依题意将点到圆上点距离最值转化为点到圆心距离问题，再结合椭圆定义并利用三点共线求得点在处时，使得的最小值为6. 【详解】易知椭圆中，即可得， 又圆的圆心为，半径， 易知椭圆右焦点，显然在圆上，如下图：    易知椭圆上一点到圆上任意一点的最小距离为， 因此可将的最小值转化为求的最小值， 由椭圆定义可得； 此时点在处，使得的最小值为6. 故选：A 跟踪训练1．（2025·陕西·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目条件求椭圆的方程，进而由椭圆的定义及两点间线段最短求两线段长度之和的最大值 【详解】设半焦距为，因为，故. 又过点，故. 由椭圆得，代入解得，.即，. 所以的方程为.    设的左焦点为，故. 根据椭圆的几何性质可知， 由于两点之间线段最短，所以. 因此. 当且仅当，，在一条直线上时，等号成立. 故选： 跟踪训练2．（2025·山东威海·模拟预测）已知为椭圆的上焦点，为上一点，为圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆和椭圆方程可确定圆心、半径、的长；利用椭圆定义和圆的对称性可将问题转化为求解的最大值问题，利用三角形三边关系可知当三点共线时取得最大值，由此可得结果. 【详解】由圆方程得：圆心，半径； 由椭圆方程得：，，设椭圆下焦点为，则， 由椭圆定义知：，； （当且仅当三点共线时取等号）， ， 又（当且仅当三点共线时取等号）， ，即的最大值为. 故选：D. 跟踪训练3．（2025·湖南衡阳·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点为是椭圆上一动点，直线经过的定点为，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】B 【分析】由直线经过定点，结合椭圆的定义由求解. 【详解】由椭圆得， 因为点为椭圆上的点，则， 直线经过定点， 则， 当且仅当在线段上时取等号， 所以的最大值为2. 故选：B. 跟踪训练4．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知，分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】椭圆上的点P满足，找到取等时点P位置即可求出最大值. 【详解】椭圆上的点P满足， 当点P为的延长线与C的交点时， 达到最大值，最大值为． 故选：B 跟踪训练5．（2025高三·江苏·期中）已知椭圆的右焦点为是椭圆上一点，点，则的周长最大值为（ ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】设椭圆的左焦点为，由题可知，，利用，即可得出． 【详解】如图所示设椭圆的左焦点为，则 ， 则， ， 的周长，当且仅当三点M，，A共线时取等号． 的周长最大值等于18． 故选：C． 考点八 求椭圆的离心率或其取值范围 典例1．（2025·广东广州·模拟预测）已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意在中，，在中，，再结合离心率求解即可. 【详解】连接，设，，则， 因为，所以， 在中，，所以， 化简得，则，， 在中，， 所以，即，所以离心率. 典例2．（2025·河北·模拟预测）已知焦点在x轴上的椭圆 其右焦点 F 与上顶点A 和左顶点 B 构成面积为的三角形，则椭圆的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形表示出，借助于三角形的面积公式列方程求出，利用离心率公式计算即可. 【详解】 由可得，由图知，， 则的面积为， 解得，则椭圆的离心率为. 故选：C. 跟踪训练1．（2025·四川巴中·模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，椭圆的左、右焦点分别为、，四边形为矩形，若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的边角关系，结合椭圆的定义和性质，可直接求其离心率. 【详解】如图：    设，则，因为四边形为矩形，所以. 所以，. 所以. 故选：C 跟踪训练2．（2025·贵州贵阳·模拟预测）设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线交M于另一点B，的内切圆与相切于点C，若，则椭圆M的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要是椭圆的定义及三角形的内切圆，作图利用三角形内切圆的性质即得答案. 【详解】由题意，如图，P，D是内切圆与的切点， 因为左、右焦点分别为，上顶点为A，椭圆参数关系， 由，结合对称性、圆的切线性质， 令，且， 所以， 所以，可得，故， 故选：D． 跟踪训练3．（2025·广东梅州·模拟预测）已知A，B，F分别是椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，若过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，求出圆的标准方程，再利用点A在圆上，坐标适合方程即可求解． 【详解】由已知可得：，，， 线段的垂直平分线方程为，过A，B，F三点的圆恰与y轴相切， 所以圆心坐标为，圆的半径为， 所以经过A，B，F三点的圆的圆的方程为， 在圆上，所以， 整理得：，所以，所以， 化为：，由，解得． 故选：B． 跟踪训练4．（2025高三·河南）已知椭圆的左､右焦点为，左､右顶点为，上､下顶点为，若四边形的面积是四边形的面积的2倍，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，计算即可. 【详解】由题意可得，整理得，所以， 所以椭圆的离心率为. 故选：B. 跟踪训练5．（2025·河北·模拟预测）已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下焦点分别为，点P在x轴上，若的内切圆的圆心为，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由，根据，求得，设的内切圆的半径为，则，结合由点到轴和直线的距离相等，求得，进而求得椭圆的离心率，得到答案. 【详解】由椭圆的左、右顶点分别为， 其中上下焦点为，且， 设，因为，可得，且， 所以，解得，即， 又因为的内切圆的圆心为，设的内切圆的半径为，则 可得直线的方程为，即， 由点到轴和直线的距离相等，则，解得， 即，所以，可得，所以. 故选：A. 跟踪训练6．（2025·山东泰安·模拟预测）已知为椭圆的左顶点，、是椭圆上的点.若四边形满足，，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合椭圆的对称性可得，则，设为直线的倾斜角，可得，进而求得的范围，得解. 【详解】由题意知，由知为平行四边形，则、关于轴对称， 设，（不妨设），将点坐标代入椭圆方程可得， 因为，设为直线的倾斜角，则， 所以，所以， . 所以椭圆离心率的取值范围为.    故选：B. 跟踪训练7．（2025·四川德阳·模拟预测）若椭圆上存在一点到其左右焦点的距离之比为，则椭圆离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】由椭圆的定义结合比例易得，再由椭圆上任意一点到焦点的距离满足即可解出答案. 【详解】记左右焦点分别为，由题意， 由椭圆的定义知， 所以， 椭圆上任意一点到焦点的距离满足：且 所以 所以椭圆离心率的取值范围为. 故答案为：. 跟踪训练8．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知椭圆的离心率，则的值为（    ） A．12 B． C．12或 D．或 【答案】C 【分析】通过讨论和，结合离心率，即可求解. 【详解】①当时，即椭圆的焦点在轴上时， 此时，，解得，符合题意； ②当时，即椭圆的焦点在轴上时， 此时，，解得，符合题意； 综上，的值为或12. 故选：C 跟踪训练9．（2025高三·四川雅安）已知椭圆的离心率为，则（   ） A．2 B． C．4或 D．或2 【答案】C 【分析】由椭圆方程可知对和进行分类讨论，再由离心率公式代入计算可得结果. 【详解】根据椭圆方程可知， 当时，可得，所以离心率， 解得； 当时，可得，所以离心率， 解得，所以； 所以或4. 故选：C 考点九 与椭圆有关的范围(最值) 典例1．（2025·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于两点，点为坐标原点，点在椭圆上，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】先求得椭圆的方程，再由，分轴和AB为长轴求得最值即可. 【详解】因为，所以， 因为， 当轴时，， 所以； 当AB为长轴时，， 所以， 所以的取值范围为， 故答案为： 典例2．（2025·吉林·模拟预测）已知，，且动点满足.则的取值范围为 ；若线段PM的垂直平分线与PA交于点Q，则的正切值的最大值为 . 【答案】 / 【分析】建立适当坐标系，设，利用向量模长的坐标运算求出点P轨迹方程，再利用数量积定义即可求解空1；由题设结合椭圆定义得到Q点的轨迹，再根据图形特征得到当QB与椭圆相切时，的正切值最大，接着设直线方程，联立椭圆，利用判别式求出直线即可进一步求解. 【详解】，，，. 以中点为原点，所在直线为x轴，中垂线为y轴建立如图所示平面直角坐标系， 则，设， 则 因为，所以，整理得， 点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆. ； 线段PM的垂直平分线与PA交于点Q，， 点的轨迹是以A，M为焦点、长轴长为2、短轴长为的椭圆， 所以该椭圆的方程为，当QB与椭圆相切时，的正切值最大， 设直线的斜率为k，则，直线的方程为， 联立， 令，即， 所以的正切值最大为. 故答案为：； 跟踪训练1．（2025高三·上海普陀·期末）如图，已知是椭圆的左焦点，为椭圆的下顶点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，射线与圆交于点，则的取值范围为 .    【答案】 【分析】由题意求得点轨迹，根据轨迹判断计算的取值范围. 【详解】设为椭圆的右焦点，连接，如图所示：   、分别为、的中点，，为直径，， ， 所以点轨迹是以为圆心为半径的圆，在圆内，且， 所以，，， 即的取值范围为. 故答案为：. 跟踪训练2．（2025·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为．若在椭圆上存在点使得，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据余弦定理和基本不等式可说明当为短轴端点时取得最大值，由此可得确定，根据长度关系可构造不等式求得结果. 【详解】设椭圆上一点，，，， 由椭圆定义知：， 在中，由余弦定理得： ， 当且仅当，即为椭圆短轴端点时，等号成立， 当为短轴端点时，取得最小值，即取得最大值，   要使得椭圆上存在点，使得， 根据椭圆对称性可得：，， 在中，，，即的取值范围为. 故答案为：. 跟踪训练3．（2025高三·全国·期末）已知椭圆G：（）的左、右焦点分别，，离心率，点M是椭圆G上任意一点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，，根据椭圆的定义可得，再结合与不等式的性质求解即可. 【详解】设，，则由椭圆定义可知，， ∴．由椭圆性质可知， ∴，∴， ∴， 即，即． 故答案为： 跟踪训练4．（2025·湖北·模拟预测）已知椭圆：，，若对于椭圆上任意两个关于原点对称的点，有恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】不妨设，结合题意得到点坐标，进而得到向量，结合及点在椭圆上，得到关于与的不等式，然后分类讨论求的取值范围即可． 【详解】不妨设，则， 所以， 所以， 恒成立， 即恒成立， 当时，恒成立； 当时，不等式等价于恒成立， 设，则恒成立， 又因为函数在上单调递减，所以， 所以，即， 又因为，所以的取值范围为， 故答案为：． 考点十 椭圆的轨迹问题 典例1．（2025·山东泰安·模拟预测）在平面直角坐标系中，满足，、分别为的重心、内心，若轴，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据重心的性质和内心的性质，求出两点的坐标，根据线段平行轴，纵坐标相等，列出坐标的关系式，求出轨迹方程. 【详解】设，则重心，设内切圆半径为， 又，所以， 因为，则，又，所以， 所以点的轨迹方程为. 故答案为：. 典例2．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，点在线段的延长线上，且，，则点的轨迹方程为 ．    【答案】 【分析】根据已知条件得到向量，然后用坐标表示出来，根据线段的长度即可求得点的轨迹方程. 【详解】设， 由题意，又， 所以，即， 所以，所以， 所以曲线C的方程为. 故答案为：. 跟踪训练1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在圆上取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，记线段的中点轨迹为. (1)求的轨迹方程； (2)过点的直线与轨迹交于，两点，为坐标原点，面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设出动点坐标，根据中点坐标公式，结合圆的方程，可得答案； （2）设出直线方程，联立方程组写出韦达定理，利用三角形面积公式以及弦长公式，可得答案. 【详解】（1）设点，则点，由点是线段的中点， 得 因为点在圆上，所以* 把，代入方程*，得， 即的轨迹方程：. （2）依题意，设直线，，， 联立，消去整理得，则， 由韦达定理得， 所以，，直线的方程为：或. 方法二：①当时，（不符合题意，舍去） ②设直线，，， 联立，消去整理得， 则，由韦达定理得，， 所以，，直线的方程为：或. 跟踪训练2．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知动点到定点的距离和它到定直线的距离之比为，记的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知点在曲线上，若直线与曲线交于、两点，且直线与的斜率互为相反数，求的中点与的最小距离．. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据题意可得出关于、的等式，化简可得出曲线的方程； （2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，设、，将直线的方程与曲线的方程联立，根据韦达定理可求出点的坐标，进而可得出点的坐标，可得出点的坐标，进而可求出点所在定直线的方程，求出点到定直线的距离，即为所求. 【详解】（1）设，由题意得，，化简得， 所以曲线的方程为. （2）由于直线与的斜率互为相反数， 不妨设直线的斜率为，则直线的斜率为，、， 则直线的方程为，如下图所示： 联立，整理可得， 可得，又，可得，    即， 同理用代替可得， 因此可得的中点，因此可得， 所以可得点在直线上， 可得点与的最小距离即为点到直线的距离， 当且仅当时，取得最小值. 因此，的最小值为. 跟踪训练3．（2025·四川成都·模拟预测）已知点，T是圆上的动点，线段ST的垂直平分线与直线QT交于点.设点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设曲线与轴的正半轴交于点，过轴上不同于点的点作直线与曲线交于M，N两点.若使得的面积最大的直线有两条，求的取值范围，并用表示面积的最大值. 【答案】(1)； (2)， 【分析】（1）根据给定条件，利用椭圆的定义求出轨迹方程. （2）设出直线的方程，与轨迹方程联立，结合韦达定理求出三角形面积的关系式，利用二次函数性质探讨最大值即可. 【详解】（1）依题意，，则， 则点的轨迹是以点为焦点，长轴长的椭圆，短半轴长 所以点的轨迹方程为. （2）显然直线不与轴重合，设，， 由消去，得， ，， 所以 设，则， 因使得的面积最大的直线有两条，则，解得或， 此时当，的面积最大，最大值为， 所以的取值范围是，且面积的最大值是. 考点十一 椭圆的实际应用问题 典例1．【多选】（2025·广西·模拟预测）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，P为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点M，，点，给出下列四个结论，正确的是（   ） A．面积的最大值为 B．的最大值为7 C．若，则 D．若，垂足为，则 【答案】ABC 【分析】对于A：根据椭圆性质分析判断；对于B：由椭圆定义结合几何性质分析判断；对于C：应用角平分线的性质及余弦定理即可求解；对于D，延长交于点，应用对称性及圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆方程可知：. 对于A：当点为短轴顶点时，面积的最大，最大值为，故A正确； 对于B：因为，则， 可得，当且仅当为线段与椭圆的交点时，取到最大，所以的最大值为7，故B正确； 对于C：由椭圆的光学性质，得点 P与l垂直的直线为角的角平分线， 则， 设，则， 可得， 则， 即, 整理可得，解得或， 当时，，M与O重合，不合题意， 所以，即，故C正确； 对于D：如图，延长交于点， 则在中，， 则且为中点，连， 在中，， 则点在以原点为圆心，2为半径的圆上，即，故D错误. 故选：ABC. 典例2．【多选】（2025·黑龙江·模拟预测）加斯帕尔•蒙日（如图1）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆则被称为“蒙日圆”（如图2）.已知矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆与椭圆有相同的焦点 C．椭圆的蒙日圆方程为 D．矩形的面积最大值为50 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用椭圆的几何性质，可判定A、B正确，结合椭圆的性质和蒙日圆的方程，可判定C错误，结合基本不等式和圆的性质，可得判定D错误. 【详解】由椭圆，可得，则， 所以椭圆的离心率为，所以A正确； 由椭圆，可得，则， 故椭圆的焦点与椭圆相同，所以B正确； 因为矩形的四边均与椭圆相切，所以点，即在蒙日圆上， 可得半径，可得椭圆的蒙日圆方程为，所以错误； 设矩形的边长分别为和，则有， 所以矩形的面积等于，当且仅当时取等号，所以D正确. 故选：ABD. 跟踪训练1．（2025·重庆·模拟预测）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象可知可判断A；根据图象可知，结合由不等式的性质可判断B，C；对两边同时平方化简可判断D. 【详解】如图可知，，，，A不正确； ，，；B不正确； 由，可知，C不正确； ，可得，故， 即，，，即，D正确， 故选:D. 跟踪训练2．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆定义和光的反射定理，以及角平分线定理可得 【详解】由已知得，， 由椭圆定义可得， 根据光的反射定理可得为的角平分线， 由正弦定理， 所以，，又 所以 即. 故选：D. 1．（25-26高三·广东）若椭圆的短轴长为焦距的倍，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，又，利用离心率的公式即可求解. 【详解】根据题意有， 所以. 故选：B. 2．（2025·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的离心率为，则的一个顶点与两个焦点构成的三角形是（   ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰非直角三角形 D．直角非等腰三角形 【答案】B 【分析】根据椭圆离心率及即可得出判断． 【详解】由椭圆离心率为，则，， 所以，， 所以的一个顶点与两个焦点构成的三角形是等腰直角三角形， 故选：B． 3．（2025·江苏·模拟预测）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 4．（2025·湖南·模拟预测）已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】首先得到曲线C是焦点在x轴上的椭圆的充要条件是，再进一步判断即可. 【详解】曲线C是焦点在x轴上的椭圆的充要条件是，即． 所以当时，成立，所以p是q的充分条件， 反之当时，不一定成立．所以p是q的充分不必要条件． 故选：A． 5．（2025·山西·模拟预测）已知，分别是椭圆的左、右焦点，以线段为直径的圆与椭圆在第一象限交于点，直线的斜率为，则椭圆的长轴长等于（   ） A．3 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】根据直径所对圆周角为和椭圆焦点弦的性质，用椭圆参数表示出直线的斜率，求出结果. 【详解】由在以为直径的圆上，得． 设，则由直线的斜率为，得，所以，， 设，则有，． 又在椭圆上，有，得，． 又因为，解得，故椭圆的长轴长为6. 故选：C. 6．（2025·海南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，设为坐标原点，为上一点，若的面积为，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据面积求出点的纵坐标，代入椭圆可出的坐标. 【详解】，， 设，则 ， 故选：A 7．（2025·江西新余·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，点在椭圆上，且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】依题意，，故，故， 在中，，且，故为等边三角形， 故，得，则. 故选：D. 8．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知椭圆C：的上顶点为A，左、右焦点分别为、，连接并延长交椭圆C于另一点B，若，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线段之比可设出两线段，再结合焦半径及椭圆的定义，可求出各线段长度，然后借助余弦定理得到关于的齐次方程，从而可求离心率. 【详解】 由图可知，， 根据，可设， 则，所以， 由三角形中余弦定理得:, 根据直角三角形有：， 代入上式可得：， 故选：B 9．（2025·山西晋城·模拟预测）已知分别为椭圆的左、右焦点，点为上一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义可得，结合，求出，，结合即可判断各个选项. 【详解】由题意可知，，，所以， 由椭圆的定义可知，，又，所以，， 所以． 故选：D 10．（2025·浙江嘉兴·模拟预测）已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点，且，若的离心率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理列式，再结合离心率的计算公式，可求双曲线的离心率. 【详解】如图： 设椭圆：，双曲线：. 因为它们有相同的焦点，所以. 不妨设点在第一象限，且，， 因为点在椭圆上， 所以. 又， 所以. 又在双曲线上， 所以. 所以. 所以双曲线的离心率为：. 故选：A 1．（2025·贵州·模拟预测）已知椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，上顶点为B，右顶点为A，到直线AB的距离为b，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意写出直线的方程，进而点到直线的距离化简并转化离心率的表达式，从而解方程可得结果. 【详解】设椭圆上顶点的坐标，右顶点的坐标，左焦点，    则直线的方程为，即， 由到直线AB的距离为b，得， 又，化简得，即， 所以，解得或（舍去）． 故椭圆E的离心率为. 故选：C 2．（2025·四川广安·模拟预测）已知椭圆 （）的离心率为 ，且过点 .若直线 与椭圆相切于点 ，且 （ 为坐标原点），则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件求出椭圆方程，设，可得切线的方程为 ，利用垂直关系即可求解. 【详解】由离心率 ，得 ，结合 ，解得 . 将点代入椭圆方程，得 ，解得 ，故椭圆方程为 . 设，则切线的方程为 . 当时，即，此时直线方程为，满足， 当时，即，此时直线方程为，满足 当，时，得斜率关系 ，则不满足， 结合选项，正确答案为. 故选：A 3．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，点在圆上，且圆上的所有点均在椭圆外，若的最小值为，且椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的焦距为1 B．椭圆的短轴长为 C．的最小值为 D．过点的圆的切线斜率为 【答案】D 【分析】对，由椭圆的长轴长与圆的直径长相等，可得，再由椭圆定义及的最小值，结合点到圆上点距离的最值，可得；对B，根据关系及短轴长定义可得；对C，由三角形性质及点到圆上点距离的最值可判断；对D，由直线与圆相切可求. 【详解】对于A，因为椭圆的长轴长与圆的直径长相等，所以，即，设椭圆的左焦点，由椭圆的定义可知，所以，所以，解得或5，因为，所以，即椭圆的焦距为，故A错误； 对于B，由，得椭圆的短轴长为，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，若过点的直线的斜率不存在，则直线方程为，圆心到直线的距离为4，不符合题意；设过点的切线方程为，即，则，解得，故D正确. 故选：D. 4．（2025·安徽合肥·模拟预测）椭圆，圆与椭圆相交于四点，圆与椭圆相交于四点.若矩形与矩形的面积相等，则（    ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，设出点的坐标，由面积相等列出方程，结合椭圆的方程代入计算，即可得到结果. 【详解】不妨设点在第一象限， 由矩形与矩形的面积相等， 得，即， 又在椭圆上，则 ，即，解得， 从而， 所以. 故选：B 5．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由椭圆方程求出其焦点坐标及离心率，再根据双曲线的性质，以及与椭圆的关系求出，根据双曲线的定义可得，将其代入，利用基本不等式即可求出其最小值. 【详解】因为椭圆的焦点为，离心率为， 所以可知双曲线，解得. 因为为双曲线右支上任意一点， 所以，即， 又因为， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 故选：C 6．（2025·河南·模拟预测）已知椭圆上有动点在任意位置时，总存在椭圆上的另外两点，使的重心为右焦点，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用点坐标表示的中点的坐标，再代入椭圆方程，利用椭圆方程与基本不等式，表示不等关系式，转化为离心率的不等式，即可求解. 【详解】设， 的中点为，由， 得， 而， 故， 即， 整理得， 因为的任意性，此不等式恒成立， 故，即， 解得. 故椭圆的离心率的取值范围为. 故选：C. 7．（2025·四川成都·模拟预测）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的平分线）.已知椭圆的焦距为，坐标原点到点处切线的距离为，且，则椭圆的长轴为（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【分析】作出辅助线，根据光学性质，得到点处切线与直线均为，求出点到的距离，结合椭圆的定义得到原点到点处切线的距离，得到方程，求出，，由余弦定理，，得到，结合焦距为即可求解. 【详解】如图，设点处的切线为为的平分线，交轴于点，则， 过点，分别作，垂足分别为，过点作于点. 设，则.因为，所以， 所以.因为为的中点， 所以由梯形的中位线定理， 得， 所以.因为，所以，所以.因为， 所以在中由余弦定理， 得， 即，所以，即.又因为， 所以，即椭圆的长轴为8. 故选：C. 1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l与C交于两点，为坐标原点，若的面积为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. 【详解】（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. （2） 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 3．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 【答案】(1) (2)(ⅰ) (ⅱ) 【分析】（1）根据题意列出的关系式,解方程求出,即可得到椭圆的标准方程； （2）(ⅰ)设,根据斜率相等以及题目条件列式,化简即可求出或者利用数乘向量求出； (ⅱ) 根据斜率关系可得到点的轨迹为圆（除去两点），再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直接运算即可解出. 【详解】（1）由题可知,，所以，解得， 故椭圆C的标准方程为； （2）(ⅰ)设，易知， 法一：所以，故，且． 因为，，所以， 即，解得，所以， 所以点的坐标为. 法二：设，则，所以 ，，故 点的坐标为. (ⅱ)因为,,由,可得 ,化简得,即, 所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）, 为到圆心的距离加上半径, 法一：设,所以 ,当且仅当时取等号, 所以. 法二：设，则， ，当且仅当时取等号, 故. 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【答案】(1) (2)直线的方程为或. 【分析】（1）代入两点得到关于的方程，解出即可； （2）方法一：以为底，求出三角形的高，即点到直线的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到点坐标，则得到直线的方程；方法二：同法一得到点到直线的距离，再设，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点到直线的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线斜率不存在的情况，再设直线，联立椭圆方程，得到点坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线斜率不存在的情况，再设，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘表达面积即可. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以. （2）法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 法二：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，则，解得或， 即或，以下同法一. 法三：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，其中，则有， 联立，解得或， 即或，以下同法一； 法四：当直线的斜率不存在时，此时， ，符合题意，此时，直线的方程为，即， 当线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆方程有，则，其中，即， 解得或，，， 令，则，则 同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 则，解得， 此时，则得到此时，直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 法五：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当的斜率存在时，设，令， ，消可得， ，且，即， ， 到直线距离， 或，均满足题意，或，即或. 法六：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当直线斜率存在时，设， 设与轴的交点为，令，则， 联立，则有， ， 其中，且， 则， 则，解得或，经代入判别式验证均满足题意. 则直线为或，即或. 5．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，进一步得，由此即可得解； （2）设，，联立椭圆方程，由韦达定理有，而，令，即可得解. 【详解】（1）由题意，从而， 所以椭圆方程为，离心率为； （2）直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾， 从而设，， 联立，化简并整理得， 由题意，即应满足， 所以， 若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设， 所以，在直线方程中令， 得， 所以， 此时应满足，即应满足或， 综上所述，满足题意，此时或. 6．（2023·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． (1)求的方程； (2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）结合题意得到，，再结合，解之即可； （2）依题意求得直线、与的方程，从而求得点的坐标，进而求得，再根据题意求得，得到，由此得解. 【详解】（1）依题意，得，则， 又分别为椭圆上下顶点，，所以，即， 所以，即，则， 所以椭圆的方程为. （2）因为椭圆的方程为，所以， 因为为第一象限上的动点，设，则，        易得，则直线的方程为， ，则直线的方程为， 联立，解得，即， 而，则直线的方程为， 令，则，解得，即， 又，则，， 所以 ， 又，即， 显然，与不重合，所以. 7．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，使得恒成立. 【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程. （2）设该直线方程为：，， 联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用表示，再根据可求的范围. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距， 所以，故， 故，所以，，故椭圆方程为：. （2） 若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设， 由可得， 故且 而， 故 ， 因为恒成立，故，解得. 若过点的动直线的斜率不存在，则或， 此时需，两者结合可得. 综上，存在，使得恒成立. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设. 8．（2024·全国甲卷·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，根据的坐标及轴可求基本量，故可求椭圆方程. （2）设，，，联立直线方程和椭圆方程，用的坐标表示，结合韦达定理化简前者可得，故可证轴. 【详解】（1）设，由题设有且，故，故，故， 故椭圆方程为. （2）直线的斜率必定存在，设，，， 由可得， 故，故， 又， 而，故直线，故， 所以 ， 故，即轴. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $