第6章 平面图形的初步认识（复习课件）数学苏科版2024七年级上册

单元复习课件 第6章 平面图形的初步认识 苏科版2024·七年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1. 知道直线、射线、线段的表示方法、区别与联系，知道平面内点与直线的位置关系，掌握基本事实“两点确定一条直线”、“两点之间，线段最短”，知道两点之间的距离，理解线段中点的概念，能进行线段和差计算；知道角的概念、分类，表示方法、度量，会计算角的和差，理解互余、互补的概念，掌握角平分线的概念 2.理解对顶角的概念和性质，理解垂直的概念和基本事实，理解“垂线段最短”的基本事实，理解点到直线的距离； 3.理解平行线概念，掌握平行线的基本事实及其推论，理解同位角、内错角、同旁内角的概念，掌握平行线的性质和判定 ； 4.知道多边形的相关概念：顶点、边、内角、外角、对角线；掌握多边形的内角与相邻外角互补，并能进行推理和计算；知道正多边形的概念。 单元学习目标 平行线 平面图形的初步认识 射线的表示方法 射线 角 直线 相交线 垂直 线段 线段的表示、基本事实、线段中点、和差计算 多边形、正多边形的概念 对顶角 垂线段最短 平行线的性质 平行线的判定 角的概念、表示、度量、分类、比较 角平分线、和差计算、互余、互补 单元知识图谱 考点一、直线、射线、线段   直线 射线 线段 区别 图形 表示 直线或直线或直线l 射线或射线 线段或线段或线段 特性 两点确定一条直线   两点之间，线段最短 端点 0 1 2 延伸 向两个方向无限延伸 向一个方向无限延伸 不能延伸 度量 不能度量 不能度量 可以度量 联系 考点串讲 考点二、线段的比较、中点、和差 , 1.线段的大小比较方法： 、 ； 2.线段的中点： 文字语言：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点． 图形语言： 几何语言：如图，点是线段的中点，则 ，或 ． 3.线段的和差： , 度量法 叠合法 考点串讲 考点三、角的概念、表示、角平分线、和差 , 定义 图例 解读 静止观点 有 的两条射线组成的图形叫做角 这个公共端点是角的 ，这两条射线是角的两条边 运动观点 一条射线绕着它的端点 而形成的图形 起始位置的边OA是角的始边，终止位置的边OB是角的终边． 公共端点 顶点 旋转 考点串讲 考点三、角的概念、表示、角平分线、和差 , 表示方法 图例 几何语言 说明 三个大写字母表示 或 表示角的顶点的字母写在中间 一个大写字母表示 顶点处只有一个角时可以使用 用数字表示 先在角的内部顶点处加上弧线，并标注数字或希腊字母 用希腊字母表示 考点串讲 考点三、角的概念、表示、角平分线、和差 ,  角平分线定义 图形语言 几何语言 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线 如图所示， 是的角平分线， 考点串讲 考点三、角的概念、表示、角平分线、和差 , 1.角的和差：如图， 考点串讲 考点四、余角、补角 , 名称 定义 几何语言 性质 余角 两个角的和等于 ，这两个角互为余角，其中一个角是另一个角的余角； 与互为余角 同角(等角)的余角相等 补角 两个角的和等于 ，就说这两个角互为补角. 与互为补角 同角(等角)的补角相等 考点串讲 考点五、相交线、对顶角、邻补角 , 1.对顶角： (1)定义：由两条直线相交构成的四个角中，有 没有 的两个角，互为对顶角． (2)性质：两直线相交，对顶角相等． 2.邻补角：如果两个角有一条 ，并且它们的另一边互为 ，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角． 边 边 反向延长线 考点串讲 考点六、垂直、点到直线的距离 , 1.垂直： (1)定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是 时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫 ． 2.垂线的性质： (1)基本事实： (2) ． 考点串讲 考点六、垂直、点到直线的距离 , 3.点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的 的长度，叫做点到直线的距离．例如：下图中点到直线的距离为线段 的长度。 考点串讲 考点七、同位角、内错角、同旁内角 , 角的名称 图示 位置特征 记忆方法 同位角 在两条被截直线同侧，并且在截线同侧 F 内错角 在两条被截直线之间，并且在截线异侧 Z 同旁内角 在两条被截直线之间，并且在截线同侧 U 考点串讲 考点八、平行线的性质和判定 , 性质 文字语言 图形语言 几何语言 性质1 两直线平行 同位角相等 性质2 两直线平行 内错角相等 性质3 两直线平行 同旁内角互补 考点串讲 考点八、平行线的性质和判定 , 性质 文字语言 图形语言 几何语言 判定1 同位角相等 两直线平行 判定2 内错角相等 两直线平行 判定3 同旁内角互补 两直线平行 考点串讲 考点八、平行线的基本事实及其推论 , 1.平行线的基本事实: 2.平行线的基本事实的推论： 文字语言： 。 图形语言： 几何语言： , 考点串讲 考点九、多边形 , 1.多边形的概念： 在平面内，不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的图形叫做多边形． 2.正多边形： ， 的多边形叫作正多边形。 考点串讲 题型一、线段的和差、中点计算 例1：如图，点C是线段AB上一点，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点. (1)如果AB=22cm,AM=5cm，求NC的长 (2)如果MN=7cm，求AB的长 【详解】(1)解：∵点M是线段AC的中点， ∴AC=2AM ∵AM=5cm ∴AC=10cm ∵AB=22cm ∴BC=AB-AC=12cm ∵点N是线段BC的中点 ∴NC=BC=6cm (2)∵点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点 ∴BC=2NC,AC=2MC ∵MN=NC+MC=7cm ∴AB=BC+AC=2×7=14cm 题型剖析 题型一、线段的和差、中点计算 变式：如图，B是线段AD上的一点，C是线段BD的中点，AD=10，BC=3． (1)求AB的长； (2)若E是直线AD上的一点，CE=5，F是线段BE的中点，则AF的长为 ． 【详解】(1)解：因为C是线段BD的中点，BC=3， 所以BD=2BC=6． 因为AD=10， 所以AB=AD-BD=10-6=4； 题型剖析 题型一、线段的和差、中点计算 变式：如图，B是线段AD上的一点，C是线段BD的中点，AD=10，BC=3． (1)求AB的长； (2)若E是直线AD上的一点，CE=5，F是线段BE的中点，则AF的长为 ． 【详解】 (2)当点E在AD的延长线上时，如图1，由 (1)可得AB=4,BC=CD=3, ∵CE=5,∴BE=BC+CE=3+5=8, ∵F是线段BE的中点， ∴BF=EF= BE=4，∴AF=AB+BF=4+4=8; 当点E在AD上时, 如图2, 由(1)可得AB=4,BC=CD=3, ∵CE=5,∴BE=CE-BC=5-3=2, ∵ F是线段BE的中点，∴BF=EF=BE=1， ∴AF=AB-BF=4-1=3， 因此AF=3或AF=8. 题型剖析 题型二、角的和差、角平分线的计算 例2：如图，射线OC在∠AOB的内部，OM，ON分别是∠AOB，∠AOC的平分线． (1)若∠AOB=140°，∠AOC=60°，则∠MON= 度； (2)若∠AOB的度数为α，∠AOC的度数为β，则∠MON是多少度？(用α，β表示) (3)请写出∠MON与∠BOC的数量关系，并说明理由． 【详解】(1)解：∵OM，ON分别是∠AOB，∠AOC的平分线，且∠AOB=140°，∠AOC=60°， ∴∠AOM=∠AOB=×140°=70°，∠AON=∠AOC=×60°=30°， ∴∠MON=∠AOM∠AON=70°30°=40°， 故答案为：40； 题型剖析 题型二、角的和差、角平分线的计算 例2：如图，射线OC在∠AOB的内部，OM，ON分别是∠AOB，∠AOC的平分线． (1)若∠AOB=140°，∠AOC=60°，则∠MON= 度； (2)若∠AOB的度数为α，∠AOC的度数为β，则∠MON是多少度？(用α，β表示) (3)请写出∠MON与∠BOC的数量关系，并说明理由． 【详解 】(2)解：∵OM，ON分别是∠AOB，∠AOC的平分线，且∠AOB=α，∠AOC=β， ∴∠AOM= ∠AOB=α，∠AON= ∠AOC= β， ∴∠MON=∠AOM∠AON= ； (3)解：∠MON= ∠BOC，理由如下： ∵射线OC在∠AOB的内部，OM，ON分别是∠AOB，∠AOC的平分线， ∴∠AOM= ∠AOB，∠AON= ∠AOC， ∴∠MON=∠AOM∠AON= (∠AOB∠AOC)= ∠BOC． 题型剖析 题型二、角的和差、角平分线的计算 变式：已知OD、OE分别是∠AOB、∠AOC的角平分线． (1)如图1，OC是∠AOB外部的一条射线． ①若∠AOC=28°，∠BOC=144°，则∠DOE= °； ②若∠BOC=156°，求∠DOE的度数； 【详解】(1)解：①∵∠AOC=28°，∠BOC=144°， ∴∠AOB=∠BOC∠AOC=114°， ∵OD、OE分别是∠AOB、∠AOC的角平分线， ∴∠AOE=∠AOC=14°，∠AOD=∠AOB=57°， ∴∠DOE=14°+57°=71°． ②∵OD、OE分别是∠AOB、∠AOC的角平分线 ∴∠AOD=∠AOB,∠AOE=∠AOC， ∴∠DOE=∠AOD+∠AOE =∠AOB+ ∠AOC =(∠AOB+∠AOC) =∠BOC =×156° =78°； 题型剖析 题型二、角的和差、角平分线的计算 变式：已知OD、OE分别是∠AOB、∠AOC的角平分线． (2)如图2，OC是∠AOB内部的一条射线，∠BOC=m°，用m的代数式表示∠DOE的度数． (2)解： 题型剖析 题型三、余角、补角的计算 例3 .如图，射线OC在∠AOB的内部，射线OD在∠AOB的外部，且∠AOB与∠COD互补，∠AOC=∠BOD． (1)若∠BOD=30°，求∠BOC的度数； 【详解】(1)解：∵∠AOC=∠BOD， ∴∠AOC+∠BOC=∠BOD+∠BOC， 即∠AOB=∠COD， ∵∠AOB与∠COD互补， ∴∠AOB+∠COD=180°， ∴∠AOB=∠COD=90°， ∵∠BOD=30°， ∴∠BOC=∠COD-∠BOD==60°； 题型剖析 题型三、余角、补角的计算 例3 .如图，射线OC在∠AOB的内部，射线OD在∠AOB的外部，且∠AOB与∠COD互补，∠AOC=∠BOD． (2)若OB平分∠DOC，求∠BOC的度数； 【详解】(2)解：根据(1)可知：∠AOB=∠COD=90°， ∵OB平分∠DOC， ∴∠BOC=∠COD=45°； 题型剖析 题型三、余角、补角的计算 例3 .如图，射线OC在∠AOB的内部，射线OD在∠AOB的外部，且∠AOB与∠COD互补，∠AOC=∠BOD． (3)射线OE满足∠COE:∠AOE=1:2，写出∠COE与∠AOD的数量关系，并说明理由． 【详解】(3)解：∠AOD-∠COE=90°， 当OE在∠AOB内部时，如图所示： ∵∠COE:∠AOE=1:2， ∴∠COE=∠AOC， ∵∠AOD-∠AOC=∠COD=90°， ∴∠AOD-∠COE=90°； 当OE在∠AOB外部时，如图所示： ∵∠COE:∠AOE=1:2， ∴∠COE=∠AOC， ∵∠AOD-∠AOC=∠COD=90°， ∴∠AOD-∠COE=90°； 综上可知：∠AOD-∠COE=90°． 题型剖析 题型三、余角、补角的计算 变式.如图，将一个直角三角尺OAB的直角顶点O落在直线CD上，OE平分∠AOD． (1)如图①，当点A，B在CD的同侧时，若∠AOC=68°，求∠BOE的度数； (2)如图②，当点A，B在CD的异侧时，若∠AOE=2∠BOD，求∠AOC的度数． 【详解】(1)解：∵∠AOC=68°，∠AOB=90°， ∴∠AOD=°=112°，∠BOD==22°， ∵OE平分∠AOD， ∴∠DOE=∠AOD=56°， ∴∠BOE=∠DOE-∠BOD==34°； (2)解：∵∠AOE=2∠BOD， ∴设∠BOD=α，则∠AOE=2α， ∵OE平分∠AOD， ∴∠AOD=2∠AOE=4α， ∵∠AOB=90°， ∴α+4α=90°， ∴α=18°， ∴∠AOD=4α=4×18°=72°， ∴∠AOC==108°． 题型剖析 题型四、利用同（等）角的余（补）角推理、计算 例4：如图，将两块直角三角尺的直角顶点O叠放在一起． (1)若∠AOD=30°，则∠AOC= °，∠BOD= ° ，∠BOC= ° ； 【详解】(1)解：∵∠AOD=30°，∠COD=90°， ∴∠AOC=∠COD-∠AOD=90°30°=60°， ∵∠BOA=90° ∴∠BOD=∠BOA∠AOD=90°30°=60°， ∴∠BOC=∠BOA∠AOC=90°60°=150°， 故答案为：60°,60°,150°； 60° 60° 150° 题型剖析 题型四、利用同（等）角的余（补）角推理、计算 例4：如图，将两块直角三角尺的直角顶点O叠放在一起． (2)比较∠AOC与∠BOD的大小关系，并说明理由； (3)猜想∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由． 【详解】(2)解： ∠AOC=∠BOD，理由如下： ∵∠AOC+∠AOD=90°，∠BOD+∠AOD=90°， ∴∠AOC=∠BOD． (3)解：∠AOD+∠BOC=180°，理由如下： ∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOB+∠COD=180°， 又∵∠AOB=∠AOD+∠BOD， ∴∠AOD+∠BOD+∠COD=180°， 又∵∠BOD+∠COD=∠BOC， ∴∠AOD+∠BOC=180°． 题型剖析 变式：如图，已知O为直线AB上一点，∠BOC=108°，∠COD=90°，OM平分∠AOC． (1)小明给出了求∠MOD的度数的过程，请你补全； 解：因为∠BOC=108°， 所以∠AOC=180∠BOC=72°． 因为OM是∠AOC的平分线， 所以∠MOC=________∠AOC=________°， 所以∠MOD=∠________∠MOC=________°． 【详解】(1)解：因为∠BOC=108°， 所以∠AOC=180BOC=72°． 因为OM是∠AOC的平分线， 所以∠MOC=∠AOC=36°， 所以∠MOD=∠COD-∠MOC=54°， 故答案为：，36，COD，54． 题型四、利用同（等）角的余（补）角推理、计算 题型剖析 变式：如图，已知O为直线AB上一点，∠BOC=108°，∠COD=90°，OM平分∠AOC． (2)利用三角尺在OM的右侧作射线OP，使得∠MOP=90°，直接写出∠COP与∠MOD的数量关系，判断依据的序号是： ． (①同角的余角相等；②等角的余角相等③同角的补角相等；④等角的补角相等．) (2)∵∠MOC+∠MOD=90°，∠MOC+∠COP=90°， ∴∠MOD=∠COP， 判断依据时：同角的余角相等， 故答案为：∠COP=∠MOD；①． 题型四、利用同（等）角的余（补）角推理、计算 题型剖析 题型五、利用基本事实解释生活中问题 例4：下列生活中的做法与其运用的数学原理对应正确的是 ( ) (1)如图①，工人师傅在砌墙时，先在两端各固定一点，中间拉紧一条细线，然后沿着细线砌墙就能砌直(两点确定一条直线) (2)如图②，把弯曲的公路改直，就能缩短路程(两点之间线段最短) A.①对②错 B.①错②对 C.①②都对 D.①②都错 【详解】解：工人师傅在砌墙时，先在两端各固定一点，中间拉紧一条细线，然后沿着细线砌墙就能砌直(两点确定一条直线)，符合题意； 把弯曲的公路改直，就能缩短路程(垂线段最短)，做法与其运用的数学原理是两点之间线段最短，符合题意； 故选：C． C 题型剖析 题型五、利用基本事实解释生活中问题 变式：用“垂线段最短”来解释的现象是 ( ) A． B． C． D． 【详解】解：A、测量跳远成绩是利用了“垂线段最短”，故本选项符合题意； B、木板上弹墨线是利用了“两点确定一条直线”，故本选项不符合题意； C、两钉子固定木条是利用了“两点确定一条直线”，故本选项不符合题意； D、弯曲河道改直是利用了“两点之间线段最短”，故本选项不符合题意； 故选：A． A 题型剖析 题型六、对顶角的概念与性质 例5：如图是一把剪刀，若∠AOB+∠COD=84°，则∠BOD= ( ) A.42° B.48° C.96° D.138° 【详解】解：∵∠AOB=∠COD，∠AOB+∠COD=84°， ∠AOB=∠COD=84°÷2=42°， ∴∠BOD=180°-∠AOB=180°42°=138°． 故选 ：D． D 题型剖析 题型六、对顶角的概念与性质 变式：如图，已知直线AB，CD 相交于点O，∠BOE=90°． (1)若∠BOD=40°，求∠COE的度数． (2)若∠AOC:∠BOC=3:7，求∠DOE的度数． 【详解】(1)解：∵∠BOE=90°，∠BOD=40°， ∴∠DOE=∠BOE+∠BOD=90°+40°=130°， ∴∠COE=180°∠DOE=180°130°=50°， ∴∠COE的度数为50°； (2)∵∠AOC:∠BOC=3:7，∠AOC+∠BOC=180°， ∴∠AOC×180°=54°， ∴∠BOD=∠AOC=54°， ∵∠BOE=90°， ∴∠DOE=∠BOE+∠BOD=90°+54°=144°， ∴∠DOE的度数为144°． 题型剖析 题型七、三线八角的概念与识别 例7：如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法正确的是 ( ) A.∠1与∠2是同旁内角 B.∠3与∠4是内错角 C.∠1与∠5是同位角 D.∠2与∠5互补 【详解】解：A、∠1与∠2是内错角，说法错误； B、∠3与∠4不是内错角，说法错误； C、∠1与∠5是同位角，说法正确； D、∠2与∠5是对顶角不一定互补，说法错误； 故选：C． C 题型剖析 题型七、三线八角的概念与识别 变式：如图，下列说法正确的是 ( ) A.∠1与∠8是同位角 B.∠4与∠7是内错角 C.∠3与∠6是同旁内角 D.∠2与∠5是互为邻补角 【详解】解：A、∠1与∠5是同位角，∠4与∠8是同位角，∠1与∠8不是同位角，则此项错误，不符合题意； B、∠4与∠6是内错角，∠4与∠7不是内错角，则此项错误，不符合题意； C、∠3与∠6是同旁内角，则此项正确，符合题意； D、∠2与∠1是互为邻补角，∠2与∠3是互为邻补角；∠5与∠6是互为邻补角，∠5与∠8是互为邻补角；∠2与∠5不是互为邻补角，则此项错误，不符合题意； 故选：C． C 题型剖析 题型八、利用平行线的性质与判定求角度 例8：如图，AF分别与BD，CE交于点G，H，AC分别与BD，CE交于点B，C，DF分别与BD，CE交于点D，E，∠1=55°．若∠A=∠F，∠C=∠D，求∠2的度数． 【详解】解：∵∠1+∠BGF=180°,∠1=55°， ∴∠BGF=180°∠1=125°， ∵∠A=∠F，∴AC∥DF，∴∠C=∠CEF， ∵∠C=∠D， ∴∠CEF=∠D， ∴CE∥BD， ∴∠BGF=∠2， ∴∠2=125°． 题型剖析 题型八、利用平行线的性质与判定求角度 变式：如图，已知在三角形ACB中，EF∥CD，∠1+∠2=180°． (1)试说明：DG∥AC； (2)若CD平分∠ACB，DG平分∠BDC，且∠A=40°，求∠ACB的度数． 【详解】(1)因为EF∥CD， 所以∠1+∠ECD=180°． 又因为∠1+∠2=180°， 所以∠2=∠ECD． 所以DG∥AC； (2)由(1)得DG∥AC，∠ACD=∠2． 所以∠BDG=∠A=40°． 因为DG平分∠BDC， 所以∠2=∠BDG=40°． 所以∠ACD=40°． 又因为CD平分∠ACB， 所以∠ACB=2∠ACD=80°． 题型剖析 题型九、根据证明过程填写推理依据问题 例题9：如图，AD∥BC，∠1=∠C，∠B=60°，DE平分∠ADC交BC于点E， 试说明AB∥DE．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 解：∵AD∥BC，(已知) ∴∠1=∠ =60°．( ) ∵∠1=∠C，(已知) ∴∠C=∠B=60°．(等量代换) ∵AD∥BC，(已知) ∴∠C+∠ =180°．( ) ∴∠ =180°∠C=180°60°=120°．(等式的性质) ∵DE平分∠ADC，(已知) ∴∠ADE=∠ =×120°=60°．( ) ∴∠1=∠ADE．(等量代换) ∴AB∥DE．( ) B 两直线平行，同位角相等 ADC 两直线平行，同旁内角互补 ADC ADC 角平分线的定义 内错角相等，两直线平行 题型剖析 题型九、根据证明过程填写推理依据问题 变式：读懂下面的推理过程，并填空(理由或数学式)． 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图(1)是一个“互”字，如图(2)是由图(1)抽象出的几何图形，其中AB∥CD，点E，M，F在同一直线上，点G，H，N在同一条直线上，且∠AEF=∠GHD，MG∥FN．求证：∠EFN=∠G． 证明：如图(2)，延长EF交CD于点P． ∵AB∥CD(已知)， ∴∠AEF=∠EPD( ) 又∵∠AEF=∠GHD(已知)， ∴∠EPD= ，( ) ∴EP∥GH( ) ∴∠EFN+∠ =180°( ) 又∵MG∥FN(已知)， ∴∠FNG+∠G=180°( ) ∴∠EFN=∠G( ) 两直线平行，内错角相等 ∠GHD 等量代换 同位角相等，两直线平行 ∠FNG 两直线平行，同旁内角互补 两直线平行，同旁内角互补 同角的补角相等 题型剖析 题型十、利用平行线性质探究角的关系 例题10：综合与实践 如图1，AB∥CD，M,N为直线AB,CD上的点，EM和EN交于点E． (1)若∠EMB=35°,∠END=65°，则∠MEN的度数是 ． 【详解】(1)解：过点E作直线EF∥AB， ∵EF∥AB， ∴∠BME=∠MEF=35°， 又∵AB∥CD， ∴EF∥AB∥CD， ∴∠FEN=∠DNE=65°， ∴∠MEN=∠NEF∠MEF=65°35°=30°． 题型剖析 题型十、利用平行线性质探究角的关系 例题10：综合与实践 如图1，AB∥CD，M,N为直线AB,CD上的点，EM和EN交于点E． (2)写出∠MEN,∠END,∠EMB之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，MQ平分∠EMB，NQ平分END．∠MEN=α，直接用含α的代数式表示∠MQN的度数． (2)解：∠MEN=∠END-∠EMB． 理由：如图，过点E作EG∥AB， ∵AB ∥ CD， ∴EG ∥ CD， ∴∠END=∠GEN,∠GEM=∠EMB， ∴∠MEN=∠GEN∠GEM=∠END∠EMB， 即∠MEN=∠END∠EMB． (3)解：∠MQN=α．理由如下： 由(2)可知∠MEN=∠END∠EMB, ∠MQN=∠QND∠QMB， ∵NQ平分END，MQ平分∠EMB， ∴∠END=2∠QND,∠EMB=2∠QMB， ∴∠MEN=∠END∠EMB=2∠QND2∠QMB=2(∠QND∠QMB)=2∠MQN， ∵∠MEN=α， ∴∠MQN=α． 题型剖析 题型十、利用平行线性质探究角的关系 变式：已知：AB∥DE，AC∥DF，B、C、E、F四点在同一直线上． (1)如图1，求证：∠1=∠2； (2)如图2，猜想∠1，∠3，∠4这三个角之间有何数量关系？并证明你的结论； 【详解】(1)解：延长AC、DE相交于点G． ∵AB∥DE,AC∥DF， ∴∠1=∠G,∠2=∠G， ∴∠1=∠2； (2)解：作CP∥AB，与AD相交于点P，则CP∥DE， ∵CP∥AB,CP∥DE， ∴∠1=∠ACP,∠4+∠ECP=180°， ∴∠1+180°=∠ACP+∠ECP+∠4， 即∠1+180°=∠3+∠4； 题型剖析 题型十、利用平行线性质探究角的关系 变式：已知：AB∥DE，AC∥DF，B、C、E、F四点在同一直线上． (3)如图3，Q是AD下方一点，连接AQ、DQ，且∠DAQ=∠BAD，∠ADQ= ∠ADF，若∠AQD=110°，直接写出∠2的度数． 【详解】(3)解：∵∠AQD=110°，则∠DAQ+∠ADQ=70°， ∵∠DAQ=∠BAD,∠ADQ= ∠ADF，则∠BAQ=2∠DAQ,∠FDQ=2∠ADQ， ∴∠BAQ+∠FDQ=2×70°=140°， 即∠1+∠CAQ+∠EDQ+∠2=140°①， 由AB∥DE得，∠BAD+∠ADE=180°， 即(∠1+∠CAQ+∠DAQ)+(∠ADQ+∠EDQ)=180°，其中∠DAQ+∠ADQ=70°， ∴∠1+∠CAQ+∠EDQ=180°70°=110°②， 对照①与②可知，∠2=140°110°=30°， 即∠2=30°． 题型剖析 1.下列说法正确的是 ( ) A.直线AB和直线BA表示不同的直线 B.过一点能作无数条直线 C.射线AB和射线BA表示同一条射线 D.射线比直线短 【详解】解：A、直线AB和直线BA表示同一条直线，选项错误，不符合题意； B、过一点能作无数条直线，选项正确，符合题意； C、射线AB和射线BA表示不同的射线，选项错误，不符合题意； D、射线、直线都是无限长的，不能比较长短，选项错误，不符合题意． 故选：B． B 针对训练 2.已知点A，B，C在同一条直线上，若线段AB=5，BC=2，则线段AC的长是 ( ) A.7 B.3 C.10 D.7或3 D 【详解】解：分两种情况讨论如下： ①如图，C在线段AB的延长线上， ∴AC=AB+BC=7， ②如图，C在线段AB上， ∴AC=ABBC=3， 综上可知：线段AC的长是7或3， 故选：D． 针对训练 3.已知∠1与∠2互余，∠1=30°，则∠2的补角的度数为 ( ) A.30° B.60° C.120° D.150° C 【详解】解：∵∠1 与 ∠2 互余，∠1=30° ， ∴∠1+∠2=90°，∠2=90°30°=60°， ∴∠2的补角为180°60°=120°. 故选：C. 针对训练 4.如图，已知PB⊥AC于点B，若PA=7，PB=5,PC=9，点Q是线段BC上一动点，则线段PQ的长度可能是 ( ) A.4 B.4.9 C.9.1 D.7 【详解】解：∵点Q是线段BC上一动点，PB⊥AC， ∴PBPQPC， 即5≤PQ≤9， ∴PQ的长度可能是7， 故选D． D 针对训练 5.如图，直线AB,CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠BOD，∠COF=148°，则∠AOE的度数是 ( ) A.24° B.26° C.32° D.36° 【详解】解：∵∠COF=148°， ∴∠DOF=180°148°=32°， ∵OF平分∠BOD， ∴∠DOB=32°×2=64°， ∵OE⊥CD， ∴∠EOD=90°， ∴∠AOE=180°90°64°=26°， 故选：B B 针对训练 6.如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为点O，∠BOD=56°，则∠EOC的度数为 ( ) A.28° B.34° C.56° D.124° 【详解】解：∵EO⊥AB， ∴∠EOA=90° ， ∵∠BOD=∠AOC=56°， ∴∠EOC=∠AOE∠AOC=90°56°=34° ， ∴∠EOC=34°， 故选：B． B 针对训练 7.如图，直线a截直线b,c，下列说法正确的是 ( ) A.∠1与∠2是内错角 B.∠1与∠3是同旁内角 C.∠2与∠3是同位角 D.∠3与∠4是同旁内角 【详解】解：A．∠1与∠2是同旁内角，说法错误，不符合题意； B．∠1与∠3是邻补角，原说法错误，不符合题意； C．∠2与∠3是内错角，原说法错误，不符合题意； D．∠3与∠4是同旁内角，原说法正确，符合题意． 故选：D． D 针对训练 8.如图，直线l1∥l2，直线l3交l1于点A．交l2于点B，过点B的直线l4交l1于点C，若∠2=55°，∠2+∠3+4=230°，则∠1的度数是 ． 【详解】解：如图， ∵l1∥l2， ∴∠4+∠2=180°， ∵∠2+∠3+4=230°， ∴∠3=50°， ∵∠2=55°， ∴∠5=180°∠2∠3=75°， ∵ l1∥l2 ， ∴∠1=∠5=75°． 故答案为：75°． 75° 针对训练 9.一副直角三角尺如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，则∠DBC的度数为 ． 【详解】解：由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°， ∵AB∥CF， ∴∠ABD=∠EDF=45°， ∴∠DBC=45°30°=15°， 故答案为：15°． 15° 针对训练 10.如图，∠AOB=∠COD=90°，OF平分∠AOC，若∠BOD=136°，则∠COF的度数为 °． 【详解】解：∵∠AOB=∠COD=90°，∠BOD=136°， ∴∠BOC=46°， ∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=90°46°=44°， ∵OF平分∠AOC， ∴∠COF=∠AOC=22°， 故答案为：22°． 22 针对训练 11.已知，如图线段a、b，按要求利用直尺和圆规作图： (1)作线段AB=a+b(保留作图痕迹) (2)已知AB=6cm，BC=2cm，A、B、C三点在同一直线上，若P为AB中点，Q为BC中点，请画出图形并求出PQ的长度． 【详解】(1)解：如图：线段AB即为所求， (2)解：如图，当点C在点B的左边时， ∵P为AB中点，Q为BC中点，∴BP= AB=3cm，BQ=BC=1cm，∴PQ=BPBQ=2cm， 如图，当点C在点B的右边时， ∵P为AB中点，Q为BC中点，∴BP= AB=3cm，BQ= BC=1cm， ∴PQ=BP+BQ=4cm， 综上所述，PQ的长度为2cm或4cm． 针对训练 12.如图，OA平分∠BOC，点D在射线OB的反向延长线上，∠AOE=90°． (1)若∠1=25°，求∠3的度数； (2)∠3与∠4有什么数量关系，为什么？ 【详解】(1)解：∵OA平分∠BOC，∠1=25°， ∴∠2=∠1=25°， ∵∠AOE=90°，∴∠3=90°∠2=65°． (2)解：∠3=∠4．理由如下： 由题意可知，∠1+∠2+∠3+∠4=180°， ∵∠AOE=90°，即∠2+∠3=90°， ∴∠1+∠4=180°90°=90°， ∵OA平分∠BOC，∴∠1=∠2， ∴∠3=∠4． 针对训练 13.中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，由“其”字抽象出的几何图形如图所示，其中AB∥CD,EF∥GH，点M、E、G、O、P在同一直线上，点N、F、H、T、K在同一直线上，且∠AMO=∠NTD．求证：∠MGH=∠EFT．请补充证明过程，并在括号内填上相应的理由． 证明：∵AB∥CD(已知)， ∴∠AMO=∠MOD(                      )． 又∵∠AMO=∠NTD(已知)， ∴ = (等式的基本事实)． ∴PO∥KT(                       )． ∴∠MGH+ =180°(                      )． ∵EF∥GH(已知)， ∴ +∠EFT=180°(两直线平行，同旁内角互补)． ∴∠MGH=∠EFT(                      )． 两直线平行，内错角相等 ∠MOD ∠NTD 同位角相等，两直线平行 ∠GHN 两直线平行，同旁内角互补 ∠GHN 同角的补角相等 针对训练 14.在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，已知两直线a、b，且a∥b，直角三角尺ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°． (1)如图1，当三角尺的顶点B在直线b上时，若∠1=50°，求∠2的度数； 【详解】(1)解：如图，过点C作CD∥a， ∵a∥b， ∴CD∥a∥b， ∴∠2=∠ACD,∠1=∠BCD， ∴∠2+∠1=∠ACD+∠BCD=∠ACB， ∵∠1=50°，∠ACB=90°， ∴∠2=90°50°=40°； D 针对训练 14.在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，已知两直线a、b，且a∥b，直角三角尺ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°． (2)如图2，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出∠1与∠2间的数量关系，并说明理由； (2)解：∠2=∠1+120°，理由如下： 由(1)得：∠1+∠3=∠B， ∵∠ACB=90°，∠BAC=30°， ∴∠B=90°30°=60°， ∴∠3=60°∠1， ∵∠2+∠3=180°， ∴∠2+60°∠1=180°， ∴∠2=∠1+120°； 针对训练 14.在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，已知两直线a、b，且a∥b，直角三角尺ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°． (3)如图3，把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A，C始终在直线BD(D为直线b上一点)的上方，若存在∠1=4∠CBD，射线BA与直线a所夹锐角的度数为： ．(直接填空) (3)解：∵∠ACB=90°，∠BAC=30°， ∴∠ABC=90°30°=60°， 设∠CBD=α，则∠1=4∠CBD=4α， ∵∠1+∠CBD+∠ABC=180°， ∴4α+α+60°=180°， 解得：α=24°，∴∠1=4α=96°， ∵a∥b，∴∠1+∠2=180°， ∴∠2=180°∠1=84°． 故答案为：84° 针对训练 ✅ 知识构建：平面图形的初步认识 直线、射线、线段→角→相交线、平行线 ✅ 思想方法： 分类讨论：线段和角中不同情况分类讨论 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $