专题01 利用平行线探究角的关系压轴题（专项训练）数学苏科版2024七年级上册

专题01 利用平行线探究角的关系压轴题（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型、利用平行线探究角的关系压轴问题 1 B 综合攻坚・能力跃升 题型、利用平行线探究角的关系压轴问题 1．本张老师在课堂中带领同学们探究这样的问题： 如图1，将一个含的三角板与两条平行直线如图放置．其中，三角板各角度数为． 【问题解决】 （1）下列结论错误的是（      ） A．　B．　C．　D． （2）在探究中张丽发现，这5个角之间相互都有关系，只要告诉其中一个角的度数就可求出其它角的度数，小强说：“让我试试．若，可求出其它4个角的度数”．请你替小强求出这四个角的度数； 【探索发现】 （3）如图2，张老师再把三角板如图放置，在两平行直线之间，请你探索并说明与的数量关系． 2．如图，已知，与相交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，的平分线与的平分线相交于点．请你写出与之间的关系，并加以证明； （3）如图3，当，，且时，请你直接写出的度数（用含，的式子表示）． 3．如图1，，在、内有一条折线．    (1)求证：． (2)如图2，已知的平分线与的平分线相交于点，试探索与之间的关系． (3)已知，，有与有什么关系．（直接写结论） 4．【阅读理解】 “两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想． 【建立模型】 （1）如图①已知，点E在直线之间，则___________． （2）如图②已知，点E在直线之间，请写出与之间的关系，并说明理由． 【解决问题】 （3）奥运会过后掀起一股滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，，如果人的小腿与地面的夹角，求出身体与水平线的夹角的度数． 5．如图1，，在、内有一条折线． (1)求证：； (2)在图2中，画的平分线与的平分线，两条角平分线交于点，请你补全图形，试探索与之间的关系，并证明你的结论； (3)在（2）的条件下，已知和均为钝角，点在直线、之间，且满足，，（其中为常数且），直接写出与的数量关系． 6．如图1，小明和小亮在研究一个数学问题： (1)已知：，和都不经过点P，直接写出与的关系 ； (2)在图2中，，若，则的度数为 ； (3)在图3中，，若，则的度数为 ； (4)在图4中，，探索与的数量关系，并说明理由． 7．学习《相交线与平行线》一章后，“睿思”小组准备研究如下问题：如图，直线，点，分别是，上的点，是，之间的一条折线，且． (1)【操作发现】如图①，小组成员小兰通过量角器测得，后，直接就得出______；小组成员在探讨交流后，发现，，之间满足数量关系______．（此关系在下面可直接使用，不需证明） (2)【问题探究】小组成员小芳在直线，之间、折线的左侧取一点，并画出，使的一边与平行，另一边与平行，其余条件不变，得到两种情况，如图②和图③所示．请你帮小芳同学探究，，之间满足的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】组内其他同学也都继续探究，若的一边与垂直，另一边与平行，请直接写出，，之间满足的数量关系． 8．小华在学习“平行线的性质”后，对图中，和的关系进行了探究： (1)如图1，，点在，CD之间，试探究，和之间有什么关系？并说明理由；小华添加了过点的辅助线，并且请帮助他写出解答过程； (2)如图2，若点在的上侧，试探究，和之间有什么关系？并说明理由； (3)如图3，若点在的下侧，试探究，和之间有什么关系？请直接写出它们的关系式． 9．【问题情境】 在数学课上，老师组织七年级（1）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），，分别平分和，分别交射线于点，． 【探索发现】 第一小组经过探索后发现： （1）当时，可求的度数为________，请说明理由； （2）不断改变的度数，与始终存在某种数量关系，用含的式子表示为__________； 【操作探究】 （3）第二小组利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点在射线上运动时，无论点在射线上的什么位置，和之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由； （4）点继续在射线上运动，当运动到使时，若，请直接写出的度数． 10．点A，C，E在直线l上，点B不在直线l上，把线段沿直线l向右平移得到线段． (1)如图1，若点E在线段上，求证：； (2)若点E不在线段上，试猜想并证明，，之间的等量关系； (3)在（1）的条件下，如图2所示，过点B作，在直线，之间有点M，使得，，同时点F使得，，其中，设，直接写出的度数（用含m，n的代数式表示）． 11．数学活动课上，老师以“一个含的直角三角板（厚度忽略不计）与两条平行线的关系”为主题展开数学探究活动．已知直线． 【问题解决】 （1）如图①，若，则的度数为___________； 【问题探究】 （2）如图②，在图①的基础上，在边上任取一点并过该点作，若，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图③，将三角板如图那样放置，角的顶点落在直线上，直线分别交三角板另外两边于两点，请猜想与的数量关系并说明理由． 12．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，结合图，试探索这两个角之间的关系，并说明你的结论． (1)如图1，与的关系为________． (2)如图2，与有何关系？说明理由； (3)由（1）（2）可直接得出的结论是：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角________； (4)若两个角的两边分别平行，其中一个角用表示，另一个角比的2倍少，则的度数为_______． 13．已知：直线，直线分别交、于点、． (1)如图1，的平分线与的平分线交于点，试说明与的位置关系； (2)如图2，点为直线、间一点，作的平分线，与的平分线交于点，试探究与的关系． 14．如图1，，过点作，由平行线的传递性可得，利用平行线的性质，我们不难发现：与，之间存在的关系是____________，与，之间存在的关系是____________． 利用上面的发现解决下列问题： (1)如图2，，点是和平分线的交点，，则的度数是______； (2)如图3，，平分，，平分，若比大，求的度数． 15．已知，点在直线上，平分，．    (1)如图①，若，求的度数：与有什么关系？为什么？ (2)如图②，若点在直线上任意移动，与的关系还成立吗？如果成立，请写出过程；如果不成立，请说明理由． 16．在三角形ABC中，BD垂直AC于D，点G是边AB上一点，且∠AGD=∠ABC，点E是直线BC上一点，过点E作EF垂直AC于点F． (1)如图示，若点E在BC的延长线上， ①当∠DBC=36°时，求∠BEF的度数； ②试判断∠BDG与∠BEF的数量关系，并说明理由； (2)若点E是射线CB上一点，请直接写出∠BDG与∠BEF的关系． 17．已知：直线，点A、点C分别在直线、直线上，点B在之间，连接、． (1)如图1，请写出的关系，并给出证明； (2)如图2，利用（1）中的结论解决问题：若，平分，平分，，求的度数． 18．问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与山外的世界．图为河南鹤壁市淇县的一段盘山公路，数学活动课上，老师把山路抽象成数学模型，并提出了以下问题： (1)如图，，，，求的度数； (2)如图改为图，其中，，，，求的度数； (3)如图，，试问，，，，，，的关系是什么？请直接写出你的结论． 19．综合与实践 学习了平行线的知识后，老师了解到小学已经学习了三角形内角和为，于是提议利用三角板与平行线为主题开展数学活动． (1)第一小组是这样操作的：如图，已知直线，将含角的直角三角板放入平行线之间，两个锐角顶点分别落在两条直线上，形成，，转动三角板，他们发现，与存在一个数量关系，请你直接写出这个关系． (2)第二小组把一块含角的直角三角板，按如图所示方式放置在两条平行线a和b之间，顶点A，C分别落在直线a，b上，他们发现，与存在一个数量关系，请你写出这个关系．小明通过认真思考发现，如果为任意三角形，上面的关系仍然存在，请你帮助他证明这个结论． (3)第三小组利用第二小组的结论提出了下面的问题：如图，已知，和分别平分和，与交于点G，若，求的度数． 20．【图形理解】 两根平行线，一根截线穿，角的关系藏中间，图形不全别着急，辅助线来补完整，转化思想帮你赢！ 【建立模型】 （1）如图1，，点P在直线之间，，则的度数为______； （2）如图2，，点P在直线之间，猜想与之间的关系，并说明理由； 【拓展迁移】 （3）如图3，，线段与线段相交于点E，．过点D作交直线于点G，平分，平分，求的度数． 1．【引入】在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，如图是一个“美味”的模型—“猪蹄模型”．如图1所示，，点在直线与之间，连接、，嘉琪想到了过点作，证明：． 【思考】（1）当点在如图2所示的位置时，其他条件不变．写出，，三者之间的数量关系并说明理由． 【应用】（2）如图3，延长线段交直线于点，已知，，求的度数． 【提升】（3）点、、在直线与之间，连接、、和，其他条件不变，如图4．若，则______．（直接写出答案） 2．如图，已知直线，与、分别交于点A、B，动点P在直线上且不与点A、B重合．点E在上，且位于点A的左侧，点F在上，已知，，． (1)当点F在点B的左侧时， ①点P在图1的位置时，若，，求的度数． ②点P在图2的位置时，试说明，，之间的关系． (2)当F在B右侧，且时，请直接写出，，之间可能的关系． 3．【阅读材料】 在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题： 如图①，，点P在与之间，可得结论：． 理由如下：过点P作．∴． ∵，∴．∴．∴． 【问题解决】 (1)如图②，，点P在与之间，求证：； (2)如图③，，点P在与之间，平分，平分，写出与间的等量关系，并写出理由； (3)如图④，，点P，E在与之间，，，可得与间的等量关系是______（只写结论） 24．已知，如图1，直线，、的平分线相交于点M． (1)求的度数； (2)如图2，，的平分线相交于点，请写出与之间的等量关系，并说明理由； (3)在图2中作，的平分线相交于点，作，的平分线交于点，作，的平分线交于点，请直接写出的度数． 25．已知，，AB，CD被直线l所截，点P是l上的一动点，连接PA，PC． (1)如图①，当P在AB，CD之间时，求证：； (2)如图②，当P在射线ME上时，探究，，的关系并证明； (3)如图③，当P在射线NF上时，直接写出，，三者之间关系． 26．如图1，直线与直线，分别交于B，A两点，点C在直线上，射线平分交直线于点E，． (1)请直接写出直线与的位置关系是______； (2)如图2，点P是线段上一点，射线交直线于点F，． ①若，请求出的度数； ②点N在射线上，且满足，连接，请直接写出与满足的等量关系． 27．学习了平行线的判定与性质后，小明在练习中看到这样一道题：“如图1，平分，平分，．判断，是否平行，并说明理由”，小明绕有兴趣的试着“玩”起数学来： 【基础巩固】 （1）小明把上题条件和结论互换，改成了：“如图1，平分，平分，，则．”小明认为这个结论正确．你赞同他的想法吗？请说明理由． 【尝试探究】 （2）小明发现：若将其中一条角平分线改成的垂线，则“”这个结论不成立．请帮小明完成探究： 如图2，，平分，，是与的夹角，是与的夹角， ①若，求的度数； ②试说明：． 【拓展提高】 （3）如图3，若，，平分，请直接写出与的等量关系______． 28．【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：    【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，． 【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明； 【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系． ①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明； ②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由． 【应用拓展】 （3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由． 29．已知． (1)如图1，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，平分，平分，，请利用（1）的结论求的大小； (3)如图3，平分，平分，两角平分线交于点，结合（1）的结论求与的关系． 30．已知：如图，，分别探讨下列四个图形中与， 的关系，得出四个关系式，请以所得的四个关系式中任选一个加以说明． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 利用平行线探究角的关系压轴题 （解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型、利用平行线探究角的关系压轴问题 1 B 综合攻坚・能力跃升 题型、利用平行线探究角的关系压轴问题 1．本张老师在课堂中带领同学们探究这样的问题： 如图1，将一个含的三角板与两条平行直线如图放置．其中，三角板各角度数为． 【问题解决】 （1）下列结论错误的是（      ） A．　B．　C．　D． （2）在探究中张丽发现，这5个角之间相互都有关系，只要告诉其中一个角的度数就可求出其它角的度数，小强说：“让我试试．若，可求出其它4个角的度数”．请你替小强求出这四个角的度数； 【探索发现】 （3）如图2，张老师再把三角板如图放置，在两平行直线之间，请你探索并说明与的数量关系． 【答案】（1）D （2），，， （3），理由见解析 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质和平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质和平行公理的推论是解题的关键． （1）根据平行线的性质逐项判断即可； （2）利用平行线的性质与邻补角性质求解即可； （3）过点E作，根据平行线的性质得出，再证明，得到，从而由得出结论． 【详解】解：（1）A、∵， ∴，正确，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， 又∵， ∴，正确，故此选项不符合题意； C、∵， ∴，正确，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，而与不一定相等，与不一定相等，原结论错误，故此选项符合题意； 故选：D． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）， 理由：过点E作，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图，已知，与相交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，的平分线与的平分线相交于点．请你写出与之间的关系，并加以证明； （3）如图3，当，，且时，请你直接写出的度数（用含，的式子表示）． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质可得：∠ABE+∠E+∠CDE=360°； （2）过点作，根据平行线的性质可得，再由角平分线的意义可得； （3）分别由（1）、（2）的思路可求解． 【详解】解：（1）证明：如图1，过点作 ， ∴ ， （2）与之间的关系是：，理由如下： 过点作，如图2， ， ∴ ， 平分，平分 ， ， （3）如图3， 设∠ABF=x，∠CDF=y， ∵，，且 ∴∠ABE=nx，∠FBE=（n-1）x，∠EDC=ny，∠FDE=（n-1）y， 由（1）可得：∠ABE+∠E+∠CDE=360°， ∴nx+ny+∠E=360°， ∴x+y=， ∵∠F+∠EBF+∠E+∠EDF=360°， ∴∠F+（n-1）x +∠E+（n-1）y =360°，即 ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线、n等分线及四边形的内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想的运用． 3．如图1，，在、内有一条折线．    (1)求证：． (2)如图2，已知的平分线与的平分线相交于点，试探索与之间的关系． (3)已知，，有与有什么关系．（直接写结论） 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】角平分线的有关计算、平行公理的应用、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】此题主要考查了平行线的性质的应用，平行公理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是熟记平行线的性质并灵活运用． （1）首先过点P作，然后根据，，可得，，据此判断出即可． （2）首先由（1），可得，；然后根据的平分线与的平分线相交于点Q，推得，即可判断出． （3）首先由（1），可得，；然后根据，，推得，即可判断出． 【详解】（1）证明：如图1，过点P作，    ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴． （2）如图2，    由（1），可得，， ∵的平分线与的平分线相交于点Q， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即∶， ∴． （3）由（1），可得，， ∵，， ∴ ， ∴． 4．【阅读理解】 “两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想． 【建立模型】 （1）如图①已知，点E在直线之间，则___________． （2）如图②已知，点E在直线之间，请写出与之间的关系，并说明理由． 【解决问题】 （3）奥运会过后掀起一股滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，，如果人的小腿与地面的夹角，求出身体与水平线的夹角的度数． 【答案】（1）；（2）；见解析；（3） 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查了平行线的性质，理解题意，熟练掌握运用平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，得，从而得，，进而求角度即可得解； （2）过点作，利用平行线的性质即可解答 （3）延长交直线于点，利用平行线的性质得出，再由两直线平行，内错角相等即可得出结果． 【详解】解：（1）如图，过点作， ，， ， ，， ， ，， ， 故答案为：； （2），理由如下： 如图②，过作直线， ， ， ， ； （3）解：如图，延长交直线于点， ， ， ， ． 5．如图1，，在、内有一条折线． (1)求证：； (2)在图2中，画的平分线与的平分线，两条角平分线交于点，请你补全图形，试探索与之间的关系，并证明你的结论； (3)在（2）的条件下，已知和均为钝角，点在直线、之间，且满足，，（其中为常数且），直接写出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，，证明见解析 (3) 【知识点】角平分线的有关计算、平行公理的应用、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解答此题的关键． （1）首先过点P作，然后根据，，可得，，据此判断出即可； （2）首先由（1）可得，；然后根据的平分线与的平分线相交于点Q，推得，即可判断出． （3）首先由（1）可得，；然后根据，，进一步即可判断出． 【详解】（1）证明：如图1，过点作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴； （2）解：如图2，平分，平分，交点为， 由（1）可得：，， ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴ ， ∴； （3）解：如图，由（2）可得：，， ∵，， ∴ ， ∴； 6．如图1，小明和小亮在研究一个数学问题： (1)已知：，和都不经过点P，直接写出与的关系 ； (2)在图2中，，若，则的度数为 ； (3)在图3中，，若，则的度数为 ； (4)在图4中，，探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)，见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数 【分析】（1）过作，因为，所以，可得，，所以； （2）过点作，因为，所以，可得，，已知，，可得的度数，即得的度数； （3）过点作，因为，所以，可得，，已知，，因为，可得的度数； （4）过点作，因为，所以，可得，，因为，可得． 本题考查了平行线的性质，平行公理，关键是掌握平行线的性质． 【详解】（1）解：过作， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：过点作， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （4）解：过点作， ，即， ， ， ，即， ， ． 7．学习《相交线与平行线》一章后，“睿思”小组准备研究如下问题：如图，直线，点，分别是，上的点，是，之间的一条折线，且． (1)【操作发现】如图①，小组成员小兰通过量角器测得，后，直接就得出______；小组成员在探讨交流后，发现，，之间满足数量关系______．（此关系在下面可直接使用，不需证明） (2)【问题探究】小组成员小芳在直线，之间、折线的左侧取一点，并画出，使的一边与平行，另一边与平行，其余条件不变，得到两种情况，如图②和图③所示．请你帮小芳同学探究，，之间满足的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】组内其他同学也都继续探究，若的一边与垂直，另一边与平行，请直接写出，，之间满足的数量关系． 【答案】(1)46， (2)或，理由见解析 (3)或 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，平角的定义，正确的作出图形是解题的关键． （1）图1，过P作直线a，根据平行线的性质得到，于是得到结论； （2）如图2，延长交直线b与点E，可知，可得到得到，根据平角的定义即可得到结论； （3）由垂直的定义得到，由平行线的性质得到，根据平角的定义得到结论． 【详解】（1）解：如图，过P作直线a， ， ， ； ， 故答案为：46，； （2）如图，延长交直线b与点E， ， ， ， ； 即或； （3）如图，，， ， ， ， ， ， ， 即或． 8．小华在学习“平行线的性质”后，对图中，和的关系进行了探究： (1)如图1，，点在，CD之间，试探究，和之间有什么关系？并说明理由；小华添加了过点的辅助线，并且请帮助他写出解答过程； (2)如图2，若点在的上侧，试探究，和之间有什么关系？并说明理由； (3)如图3，若点在的下侧，试探究，和之间有什么关系？请直接写出它们的关系式． 【答案】(1)，见解析 (2)，理由见解析 (3) 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． （1）求出，根据平行线的性质得出，，再得出答案即可； （2）求出，根据平行线的性质得出，，再得出答案即可； （3）求出，根据平行线的性质得出，，再得出答案即可． 【详解】（1）， 理由是：，， ， ，， ； （2）， 理由是：如图：过作， ， ， ，， ； （3）， 理由是：如图：过作， ，OM∥CD， ， ，， ． 9．【问题情境】 在数学课上，老师组织七年级（1）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），，分别平分和，分别交射线于点，． 【探索发现】 第一小组经过探索后发现： （1）当时，可求的度数为________，请说明理由； （2）不断改变的度数，与始终存在某种数量关系，用含的式子表示为__________； 【操作探究】 （3）第二小组利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点在射线上运动时，无论点在射线上的什么位置，和之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由； （4）点继续在射线上运动，当运动到使时，若，请直接写出的度数． 【答案】（1），见解析；（2）；（3），见解析；（4） 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，即可求解； （3）根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，即可； （4）结合（2）（3）的结论可得出，根据平行线的性质以及角的和差关系可求，则，求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴． ∵分别平分和， ∴， ∴； （2）解：∵分别平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （4）∵，， ∴， ∵， ∴，， 又， ∴， ∴， 解得， ∴． 10．点A，C，E在直线l上，点B不在直线l上，把线段沿直线l向右平移得到线段． (1)如图1，若点E在线段上，求证：； (2)若点E不在线段上，试猜想并证明，，之间的等量关系； (3)在（1）的条件下，如图2所示，过点B作，在直线，之间有点M，使得，，同时点F使得，，其中，设，直接写出的度数（用含m，n的代数式表示）． 【答案】(1)详见解析 (2)当点E在的延长线上时，；当点E在的延长线上时，； (3) 【知识点】平行公理的应用、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】（1）如图1中，过点E作．利用平行线的性质证明即可 （2）分两种情形：当点E在CA的延长线上时，当点E在AC的延长线上时，构造平行线，利用平行线的性质求解即可． （3）利用（1）中结论，可得，由此解决问题即可． 【详解】（1）证明：如图1中，过点E作．由平移可得， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：当点E在的延长线上时，；当点E在的延长线上时，，理由如下： 如图中，当点E在的延长线上时，过点E作． ∵， ∴， ∴， ∴． 如图中，当点E在的延长线上时，过点E作． ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述：当点E在的延长线上时，；当点E在的延长线上时，； （3）解：如图，设， ∵， ∴与（1）同理可得：， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又与（1）同理可得：， ∴． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平行线的性质，解题的关键是学会条件常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． 11．数学活动课上，老师以“一个含的直角三角板（厚度忽略不计）与两条平行线的关系”为主题展开数学探究活动．已知直线． 【问题解决】 （1）如图①，若，则的度数为___________； 【问题探究】 （2）如图②，在图①的基础上，在边上任取一点并过该点作，若，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图③，将三角板如图那样放置，角的顶点落在直线上，直线分别交三角板另外两边于两点，请猜想与的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的判定与性质，平行公理的推论，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据平行线的性质，即可解答． （2）先求出，再根据，即可解答． （3）过点C，作，易证，可得，继而求出，代入化简，即可解答． 【详解】解：（1）∵ ∴． 故答案为：． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． (3) ，理由如下： 过点C，作，如图 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，结合图，试探索这两个角之间的关系，并说明你的结论． (1)如图1，与的关系为________． (2)如图2，与有何关系？说明理由； (3)由（1）（2）可直接得出的结论是：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角________； (4)若两个角的两边分别平行，其中一个角用表示，另一个角比的2倍少，则的度数为_______． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)相等或互补 (4)为或． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的性质； （1）根据两直线平行，内错角相等的性质，分别得、，再通过等量代换计算，即可得到答案； （2）根据两直线平行，内错角相等和同旁内角互补的性质，分别得、，从而完成求解； （3）根据（1）和（2）的结论分析，即可得到答案； （4）结合（3）的结论列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. （3）解：根据（1）和（2）的结论，得:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （4）解：设一个角的度数是，则另一个角的度数是． 根据题意，得或， 解得或． ∴为或． 13．已知：直线，直线分别交、于点、． (1)如图1，的平分线与的平分线交于点，试说明与的位置关系； (2)如图2，点为直线、间一点，作的平分线，与的平分线交于点，试探究与的关系． 【答案】(1)互相垂直 (2)，理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算、平行公理推论的应用、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论， （1）如图，过点作，根据平行线的性质及平行公理的推论得，，根据角平分线的定义得，，推出，可得结论； （2）如图，过点作，过点作交于点，设，，，，则，根据平行线的性质及平行公理的推论得，，根据角平分线的定义得，，推出，根据平行线的性质进一步推出，可得结论； 解题的关键是通过作辅助线构造平行线并熟练掌握平行线的性质。 【详解】（1）解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴与的位置关系为：互相垂直； （2）与的关系：。 理由：如图，过点作，过点作交于点，设，，，，则， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴ ， ∴。 14．如图1，，过点作，由平行线的传递性可得，利用平行线的性质，我们不难发现：与，之间存在的关系是____________，与，之间存在的关系是____________． 利用上面的发现解决下列问题： (1)如图2，，点是和平分线的交点，，则的度数是______； (2)如图3，，平分，，平分，若比大，求的度数． 【答案】(1)发现：，；（1）； (2) 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】发现：根据平行线的性质以及平行线的传递性即可表示各角之间的关系； （1）运用上面的关系式以及角平分线的定义即可求出的度数； （2）运用上面的关系式表示出的度数，再根据角平分线的定义可得的度数，再根据表示出的度数，根据比大列方程，求解即可． 【详解】（1）发现：解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （1）， 又， ， 点是和平分线的交点， ， ， 故答案为：； （2）解：设， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 平分， ， 比大， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行线的传递性，角平分线的定义等，熟练掌握这些性质是解题的关键，本题综合性较强，难度较大． 15．已知，点在直线上，平分，．    (1)如图①，若，求的度数：与有什么关系？为什么？ (2)如图②，若点在直线上任意移动，与的关系还成立吗？如果成立，请写出过程；如果不成立，请说明理由． 【答案】(1)的度数为，，理由见解析 (2)成立，写出过程见解析 【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】（1）根据平行线的性质可得，，根据角平分线的定义可得出,根据垂直的定义可得，进而求得，，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，根据垂直的定义可得，根据平角的定义可得出，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴, ∵， ∴，则， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴, ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 16．在三角形ABC中，BD垂直AC于D，点G是边AB上一点，且∠AGD=∠ABC，点E是直线BC上一点，过点E作EF垂直AC于点F． (1)如图示，若点E在BC的延长线上， ①当∠DBC=36°时，求∠BEF的度数； ②试判断∠BDG与∠BEF的数量关系，并说明理由； (2)若点E是射线CB上一点，请直接写出∠BDG与∠BEF的关系． 【答案】(1)①∠BEF=36°；②∠BDG=∠BEF，理由见解析； (2)∠BDG=∠BEF，理由见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质求角度 【分析】（1）①利用平行线的判定与性质证明BD∥EF得出∠BEF=∠DBC即可求解；②由∠AGD=∠ABC得到DG∥BC，再通过角的转换即可证明； （2）理解题干画出图形进行分析，方法与（1）类似． 【详解】（1）解：①BD⊥AC，EF⊥AC，点E直线BC上ー点，点F在直线AC上， ∴∠BDC=∠CFE=90°， ∴BD∥EF， ∴∠BEF=∠DBC， ∴∠DBC=36°， ∴∠BEF=∠DBC=36°； ②∠BDG=∠BEF. 理由：∠AGD=∠ABC， ∵DG∥BC， ∴∠BDG=∠DBC， ∵BD∥EF， ∴∠BEF=∠DBC， ∴∠BDG=∠BEF； （2）解：∠BDG=∠BEF． 理由：如图所示（只写出结果即可） ∵BD⊥AC，EF⊥AC，点E是射线CB上一点，点F在直线AC上， ∴∠BDC=∠CFE=90°， ∵BD∥EF， ∴∠BEF=∠DBC ∵∠AGD=∠ABC ∴DG∥BC， ∴∠BDG=∠DBC， ∴∠BDG=∠BEF． 【点睛】本题主要考查平行线的性质和角的转换，根据实际理解题意并结合平行线的性质进行求解是解题的关键． 17．已知：直线，点A、点C分别在直线、直线上，点B在之间，连接、．    (1)如图1，请写出的关系，并给出证明； (2)如图2，利用（1）中的结论解决问题：若，平分，平分，，求的度数． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明 【分析】（1）过点B作，得到，得到，推出； （2）根据角平分线平分角，得到，由（1）可得：，利用，进行求解即可． 【详解】（1） 证明：过点B作，   ， ， ， ； （2）平分，CE平分， ， ， ， 由（1）可知：， ； 所以，的度数为． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，与角平分有关的计算．解题的关键是添加辅助线，构造平行线． 18．问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与山外的世界．图为河南鹤壁市淇县的一段盘山公路，数学活动课上，老师把山路抽象成数学模型，并提出了以下问题： (1)如图，，，，求的度数； (2)如图改为图，其中，，，，求的度数； (3)如图，，试问，，，，，，的关系是什么？请直接写出你的结论． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】平行公理的应用、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查的知识点是平行于同一条直线的两直线互相平行、平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质． （1）作交于点，可推得，再根据两直线平行，内错角相等、两直线平行，同旁内角互补即可求出； （2）作交于点，作交于点，推得后，再根据两直线平行，内错角相等、两直线平行，同旁内角互补即可得出； （3）作交于点，作交于点，作交于点，作交于点，作交于点，推得后，根据两直线平行，内错角相等即可得到各角之间的关系． 【详解】（1）解：作交于点， ， ， ，， ， ∴． （2）解：作交于点，作交于点， ， ， ，，， 又，，， ，， ， ． （3）解：作交于点，作交于点， 作交于点，作交于点， 作交于点， ， ，，， ，，， 又，，， ，， ， ， ， ， ， ， 即． 19．综合与实践 学习了平行线的知识后，老师了解到小学已经学习了三角形内角和为，于是提议利用三角板与平行线为主题开展数学活动． (1)第一小组是这样操作的：如图，已知直线，将含角的直角三角板放入平行线之间，两个锐角顶点分别落在两条直线上，形成，，转动三角板，他们发现，与存在一个数量关系，请你直接写出这个关系． (2)第二小组把一块含角的直角三角板，按如图所示方式放置在两条平行线a和b之间，顶点A，C分别落在直线a，b上，他们发现，与存在一个数量关系，请你写出这个关系．小明通过认真思考发现，如果为任意三角形，上面的关系仍然存在，请你帮助他证明这个结论． (3)第三小组利用第二小组的结论提出了下面的问题：如图，已知，和分别平分和，与交于点G，若，求的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了根据平行线的判定和性质求角的度数，三角板中的相关角度计算，角平分线的有关计算等知识． （1）根据直角三角板可知：，则，再根据平行线的性质可得出． （2）过点B作，根据平行线的性质得出，，则可得出，即． （3）由角平分线的定义可设故设，，由(2)得，，再结合已知条件可得出，再根据(2)可得出． 【详解】（1）解：如下图： 根据题意可知：， ∴， ∵， ∴， 即． （2）如果为任意三角形，则． 证明：过点B作， ∵， ∴ ∴， ∴，， ∴， 即， 故如果为任意三角形，则． （3）解：∵和分别平分和， 故设，， 由(2)得，， ∵， ∴ ∴， ∴． 20．【图形理解】 两根平行线，一根截线穿，角的关系藏中间，图形不全别着急，辅助线来补完整，转化思想帮你赢！ 【建立模型】 （1）如图1，，点P在直线之间，，则的度数为______； （2）如图2，，点P在直线之间，猜想与之间的关系，并说明理由； 【拓展迁移】 （3）如图3，，线段与线段相交于点E，．过点D作交直线于点G，平分，平分，求的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点P作，则，由平行线的性质得到，则可证明，据此可得答案； （2）过点P作，则，由平行线的性质得到，再根据即可得到结论； （3）由平行线的性质得到，，由角平分线的定义得到，，则由平角的定义可得，同理可得． 【详解】解；（1）如图1所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2），理由如下： 如图2所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图所示，点M为延长线上一点， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 同理可得． 1．【引入】在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，如图是一个“美味”的模型—“猪蹄模型”．如图1所示，，点在直线与之间，连接、，嘉琪想到了过点作，证明：． 【思考】（1）当点在如图2所示的位置时，其他条件不变．写出，，三者之间的数量关系并说明理由． 【应用】（2）如图3，延长线段交直线于点，已知，，求的度数． 【提升】（3）点、、在直线与之间，连接、、和，其他条件不变，如图4．若，则______．（直接写出答案） 【答案】（1），理由见解析（2）（3） 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角的和差等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）过点作，得到， 【详解】解：（1），理由如下： 如图，过点作， ， ， ， ， ， 即； （2）由（1）可知：， ， ， ； （3）如图，过点作，则， 由（1）的结论得：， ， ， ， ， ， ． 2．如图，已知直线，与、分别交于点A、B，动点P在直线上且不与点A、B重合．点E在上，且位于点A的左侧，点F在上，已知，，． (1)当点F在点B的左侧时， ①点P在图1的位置时，若，，求的度数． ②点P在图2的位置时，试说明，，之间的关系． (2)当F在B右侧，且时，请直接写出，，之间可能的关系． 【答案】(1)①；②； (2)或或． 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质求角度 【分析】（1）①过点P作，根据平行线的判定和性质即可得到答案； ②过点P作，根据平行线的判定和性质即可得到答案； （2）分四种情况讨论，画出图形，根据平行线的判定和性质即可得到答案． 【详解】（1）解：①如图，过点P作， ， ， ， ， ； ②如图，过点P作， ， ， ， ， ； （2）解：①如图1，过点P作， ， ， ， ， ， ； ②如图2，过点P作， ， ， ， ， ， ， ③当点P在直线下方时，同理可得：； ④当点P在直线之间且靠近点B时，如图3， 过点P作， ， ， ， ， ， ； 综上可知，，，之间关系为或或． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，利用分类讨论的思想，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 3．【阅读材料】 在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题： 如图①，，点P在与之间，可得结论：． 理由如下：过点P作．∴． ∵，∴．∴．∴． 【问题解决】 (1)如图②，，点P在与之间，求证：； (2)如图③，，点P在与之间，平分，平分，写出与间的等量关系，并写出理由； (3)如图④，，点P，E在与之间，，，可得与间的等量关系是______（只写结论） 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】（1）过点P作．由平行线的性质可得，，进而可得； （2）由题意可设，，则，，由（1）可知：，同理可得，可得，，证得； （3）由（2）可知，由，，可得，由题意可知，进而可得； 【详解】（1）证明：过点P作． ∵， ∴； ∵， ∴． ∴， ∴； （2）结论：． 理由：如图中，∵平分，平分， ∴，． 设，，则，， 由（1）可知：， 同理可得：， ，， ∴； （3）． 理由如下：由（2）可知， ∵，， ∴，即：， 由题意可知：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理的推论，等量代换等相关知识．解题的关键是熟练运用平行线的判定与性质，难点是作辅助线构建平行线． 4．已知，如图1，直线，、的平分线相交于点M．    (1)求的度数； (2)如图2，，的平分线相交于点，请写出与之间的等量关系，并说明理由； (3)在图2中作，的平分线相交于点，作，的平分线交于点，作，的平分线交于点，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【知识点】图形类规律探索、角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数 【分析】（1）由平行线的性质得，由角平分线的定义得，，求出，进而可求的度数； （2）结论：．如图2中，过点作．利用平行线的性质解决问题； （3）探究规律，利用规律解决问题即可． 【详解】（1）如图1中， ∵， ∴， ∵、的平分线相交于点M， ∴，， ∴， ∴； （2）结论：． 理由：如图2中，过点作．    ∵，， ∴， ∵，的平分线相交于点， ∴，， ∵，， ∴， 由（1）知，， ∴； （3）由（2）可知，， 同法可知，， …， ∴， 当时，． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 5．已知，，AB，CD被直线l所截，点P是l上的一动点，连接PA，PC．      (1)如图①，当P在AB，CD之间时，求证：； (2)如图②，当P在射线ME上时，探究，，的关系并证明； (3)如图③，当P在射线NF上时，直接写出，，三者之间关系． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】（1）过 点作 ，则 ，再由 得出 ，故，利用等量代换即可得出结论； （2）先由平行线的性质得出 ，再由三角形外角的性质即可得出结论； （3）根据 得出 ，再由三角形外角的性质即可得出结论； 【详解】（1）证明：过点P作             ∵ ∴                     ∴， ∴ 即    （2） 理由：过点P作 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴    （3） ∵    【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键 6．如图1，直线与直线，分别交于B，A两点，点C在直线上，射线平分交直线于点E，．    (1)请直接写出直线与的位置关系是______； (2)如图2，点P是线段上一点，射线交直线于点F，． ①若，请求出的度数； ②点N在射线上，且满足，连接，请直接写出与满足的等量关系． 【答案】(1) (2)①；②或，证明见解析 【知识点】角平分线的有关计算、同位角相等两直线平行、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数 【分析】（1）根据角平分线的定，可得，即可证明，则； （2）①由已知条件和平角的定义得到，，由平行线的性质得到，，再求出的度数即可得到答案；②分当点N在线段上时，当点N在射线上时，利用平行线的性质得到，再根据三角形内角和定理进行证明即可． 【详解】（1）证明：∵ 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∴； ②或，证明如下： 当点N在线段上时，如图所示， 同理可得， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；    当点N在射线上时，如图所示，    同理可得， ∴， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质，解题关键是熟练运用这些性质，分情况讨论点的位置． 7．学习了平行线的判定与性质后，小明在练习中看到这样一道题：“如图1，平分，平分，．判断，是否平行，并说明理由”，小明绕有兴趣的试着“玩”起数学来： 【基础巩固】 （1）小明把上题条件和结论互换，改成了：“如图1，平分，平分，，则．”小明认为这个结论正确．你赞同他的想法吗？请说明理由． 【尝试探究】 （2）小明发现：若将其中一条角平分线改成的垂线，则“”这个结论不成立．请帮小明完成探究： 如图2，，平分，，是与的夹角，是与的夹角， ①若，求的度数； ②试说明：． 【拓展提高】 （3）如图3，若，，平分，请直接写出与的等量关系______． 【答案】（1）赞同他的想法，见解析；（2）①；②见解析；（3） 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟知两直线平行，同旁内角互补是解答本题的关键． （1）根据两直线平行，同旁内角互补可得，结合根据角平分线的定义得到的，，即可证明； （2）①由垂直定义可求得，再结合平行线的性质得，进而根据角平分线的定义即可求解； ②根据平行线的性质，得，根据角平分线的定义，再结合垂直定义得，进而可得结论； （3）类比（2），即可求解． 【详解】解：（1）赞同他的想法，理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ； （2）①， ， ，， ， ， ， ， 平分， ； ②， ， 平分， ， ， ， ， ； ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 8．【提出问题】睿睿在学习完平行线的基本模型——猪蹄模型后，想继续研究相关模型的特点，于是他组织数学兴趣小组进行了以下探究：    【分析问题】如图，已知直线，直线c分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线c的左侧，点P是直线c上一动点（不与点E，F重合），设，，． 【解决问题】（1）问题一：如图1，当点P在线段EF上运动时，试探索，，之间数量的关系，并给出证明．睿睿回忆猪蹄模型的证明方法：“过点P作……”请你用直尺和铅笔在图1中作出这一辅助线，并帮助睿睿完成证明； 【类比探究】（2）问题二：当点P在线段外运动时，（1）中的结论是否还成立呢？兴趣小组的同学们认为要分两种情况进行讨论，请你结合图形帮助他们探究这三个角的数量关系． ①如图2，当动点P在线段之外且在直线a的上方运动（不与E点重合）时，，，满足什么数量关系？请给出证明； ②请用直尺、铅笔，在图3中画出动点P在线段之外且在直线b的下方运动（不与F点重合）时的图形，并仿照图1，图2，标出图3中的，，，此时，，之间有何数量关系，请直接写出结论，不必说明理由． 【应用拓展】 （3）问题三：如图4所示，请直接写出图4中，，，之间的数量关系，不必说明理由． 【答案】（1），见解析， （2）①不成立，新的结论为   ②不成立，结论为:  （3） 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键. 过点作利用两直线平行内错角相等得到，根据 得到，再利用两直线平行内错角相等，根据，等量代换即可得证； ①过点作，同理得到，根据，等量代换即可得证； ②过点作，同理得到，根据，等量代换即可得证； （）过点作，点作，得到，，，然后根据等量代换即可． 【详解】（1），理由如下： 过点作，    ， ， ， ， ， ； （2）①不成立，新的结论为 理由为： 过作，   ， ， ， ， ， ； ②不成立，如图③所示， 结论为：； 过作， ， ， ， ， ， ；    （3）， 过点作，点作， 又∵， ∴， ∴，，， 即， ∴．    9．已知． (1)如图1，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，平分，平分，，请利用（1）的结论求的大小； (3)如图3，平分，平分，两角平分线交于点，结合（1）的结论求与的关系． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)，见解析 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键． （1）如图：过点G作， 易得，由平行线的性质可得，然后根据角的和差即可解答； （2）由角平分线定义可得，设，则、；结合（1）的结论可得、，再结合可得，同理可得，然后代入数据即可解答； （3）由角平分线定义可得，设，则、；结合（1）的结论可得、，进而得到、，然后观察即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图：过点G作， ∵， ∴， ∴， ∴，即． （2）解：∵平分，平分， ∴， 设，则， 由（1）的结论可得：，， ∵ ∴，解得：， ∴． （3）解：∵平分，平分， ∴， 设，则， 由（1）的结论可得：，， ∴，， ∴ ． 10．已知：如图，，分别探讨下列四个图形中与， 的关系，得出四个关系式，请以所得的四个关系式中任选一个加以说明． 【答案】图①：结论：；图②，结论：；图③：结论：；图④，结论：.证明见解析 【知识点】平行公理的应用、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，过点E作，结合， 可得，再利用平行线的性质与角的和差关系证明即可. 【详解】解：如图①，结论：，理由如下： 过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图②，结论：，理由如下： 如图，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴； 如图③：结论：，理由如下： 如图，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴； 如图④，结论：，理由如下： 如图，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴； 1 / 55 学科网（北京）股份有限公司 $$